八年级数学上册第2章课外拓展：立方根与平方根的故事(北师大版)
北师大版初中数学八年级上册第二章2.2《平方根》教案
1.教学重点举例
-定义举例：通过具体的数值，如9、16等，让学生理解平方根的概念，掌握求平方根的方法。
-运算举例：通过计算√9+√16、√9×√16等，让学生熟练掌握平方根的运算规则。
-性质举例：通过分析正数、非负数的平方根特点，如√9=3，-√9=-3，让学生掌握平方根的性质。
-估算举例：以√10为例，教授学生使用近似计算方法估算平方根，如先找到最接近的完全平方数9，再计算√10与√9之间的差距。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解平方根的基本概念。平方根是一个数乘以自身得到另一个数的运算，它是解决几何、物理等问题的有力工具。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。比如，求解一个边长为10cm的正方形的面积，通过平方根的概念可以轻松得到面积为100cm²。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调平方根的定义和运算这两个重点。对于难点部分，比如平方根的性质和估算，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
4.估算平方根：学会使用近似计算方法估算一个数的平方根。
5.应用平方根解决实际问题：运用平方根知识解决生活中的问题，如面积、体积等计算。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力，通过平方根的定义和性质的学习，使学生掌握数学推理的基本方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.培养学生的数学运算能力，让学生熟练掌握平方根的运算规则，提高数学计算的速度和准确性。
-实际问题举例：将实际问题，如计算正方形面积，转化为求平方根的问题，教授学生如何建模和求解。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《平方根》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要求解一个数的平方根的情况？”（如：计算正方形边长）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方根的奥秘。
北师大版八年级上册.2平方根课件(1)
若 x2 =3，则x= ±3 .
选做题
1. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简a 2 (a 1)2
的结果是 1
.
-1 0 1 a 2
2.已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下
一个自然数的算术平方根是（ D ）
A. a+1 B. a 1 C. a2+1 D. a2 1
自学指点2：（5分钟）
（理解概念，灵活运用）
认真阅读课本P28例题3，解决以下问题：
1.我们是根据哪种运算来求平方根？(一定要注意表
示法 ± a )
2.仿例题做习题
求下列各数的平方根（按照课本例题格式）
（1）49 （2）100 （3）(-15)2
（4）10-4
49 先平方运算
再开方运算
（1）49 （2）100 （3）(-15)2
学习目标：（1分钟）
1.掌握平方根和开平方的概念. 2.能够通过平方运算求一个非负数的平方根. 3.能判断一个正数的两个平方根之间的关系.
重点：平方根的概念。
难点：平方根与算术平方根的区分与联系。
自学指点1：（6分钟）
自学课本P27－P28例3之前的内容，思考并完成. 以下问题.
1.a的平方根怎样表示？这里的a取值有什么要求？
请改正．
解：小张将求出的m的值代入这个数的算术平方
根2m－6中求解，求出的不是这个数．
当m＝4时，这个数为(2m－6)2＝4；
当m＝ 8 时，2m－6＝2× 8 －6＝－ 2 ＜0，不
3
3
3
符合题意．
所以这个数为4.
2.完成P28议一议.
一个正数a有_两_个平方根,表示为±___a_,0有_一___个平 方根，它是__0_____; __负___数没有平方根.
北师大版初中数学八年级上册第二章 实数2.2 平方根(第2课时) 课件
1.包含关系：平方根包含算术平方根，算术 平方根是平方根的一种.
2.只有非负数才有平方根和算术平方根.
区别：
3. 0的平方根是0，算术平方根也是0. 1.个数不同：一个正数有两个平方根， 但只有一个算术平方根.
2.表示法不同：平方根表示为： a，
而算术平方根表示为 a .
探究新知 素养考点 1 开平方的有关计算
2.2 平方根/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
0
？ ？
0
没有？ ？
-4
探究新知
2.2 平方根/
根据上述问题，即要找出一个数，使它的平方等于给定 的数.我们抽象出下述概念：
一般地，如果有一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个 数x叫做a的平方根（也叫作二次方根）.
例如： (±1)2=1，1的平方根为±1.
探究新知
2.2 平方根/
1. 121的平方根是什么？ ±11
2.2 平方根/
例 求下列各式的值：
（1） 36 ； （2） 0.81 ； （3） 解：（1） 36 6 ；
49 ． 9
（2） 0.81 0.9 ；
（3） 49 7 .
93
巩固练习
变式训练 求下列各式的值.
2.2 平方根/
169 13 100 _1__0__
(3)2 ____3_;
（2）因为
（
7 ）2 = 11
49 ，所以
121
49 121
的平方根是
7 11
即
49 121
=
171.
（3）因为(±0.02)2=0.0004 ，所以0.0004的平方根 是±0.02,即 0.0004= 0.02
北师大版八年级数学上册第2章 实数【创新说课稿】平方根
2.2.2 平方根教材分析《平方根》是北师版初中数学八年级上第二章第二节。
在此之前，学生已经学习了有理数、有理数的乘方、用字母表示数等知识，这为过渡到本节起着铺垫作用。
本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。
本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。
因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。
学生分析八年级的学生已经能从具体事例中归纳问题的本质，通过观察、类比等活动抽象出问题的规律，同时学生在前面的学习中已经熟练掌握算术平方根的知识，具备了用所学知识来分析平方根性质的基础。
教学目标【知识与技能】掌握平方根与算术平方根的概念，能及时通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。
【过程与方法】通过对平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论和数形结合的数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。
【情感、态度与价值观】鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。
教学重、难点本节课的重点是平方根与算术平方根的概念和性质。
因为平方根与算术平方根的概念和性质始终贯穿本章，正确理解这两个概念是学好本章的关键。
本节课的难点是平方根与算术平方根的区别与联系。
因为平方根与算术平方根这两个概念容易引起学生理解上的偏差和意义上的混淆，如处理不当将直接影响以后的学习。
说教法与学法【教法】学生在七年级学过乘方运算，但由于间隔时间长，他们会有不同程度的遗忘，为了实现新旧教学方式和学习方式的接轨，我利用情景教学激发学生的兴趣，利用对比教学让学生掌握概念的本质，完善学生的知识结构。
【学法】学生才是学习的主人，教师应该把过程还给学生，让过程与结果并重。
北师版八年级数学BS版上册精品授课课件 第2章 实数3 立方根
第二章 实数
3 立方根
导入新课
上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x
a 叫a的平方根，即x=±
正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积 的公式得a3=8，那么a叫8的什么呢？
探究新知
探究
立方根的定义
如果一个数x的立方等于a，即x3=a,那么这个数
x就叫做a的立方根，记为x= ，读作x等于
解：正方体的边长为 3 64 ＝4(cm)，
它的表面积为42×6＝96(cm2).
作业布置
完成学生用书对应课时练习
36
6
④－5的立方根是－3 5 ；
⑤64的算术平方根是±8.
课堂小结
立方根的概念及性质
立 方 根
开立方及相关运算
随堂练习
1．判断正误： (1)－8没有立方根． ×
(2)1的立方根是±1. ×
(3)
1 16
的立方根是
1 4
.×
2．求下列各式的值：
3 (1)
－0.027；解：－0.3Fra bibliotek3 (3)
（－4）3；
三次根号a.
3a
如2是8的立方根， 是 的立方根，0是0
的立方根。
-2 -8 3 27
归纳总结
求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其 中a叫做被开方数。
探究新知
探究
立方根的性质
思考
（1）2的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是8？
（2）-3的立方等于多少？是否有其他的数， 它的立方也是-27？
解：－4；
3 (2)－
614；
解： －14；
3 (4)
－43.
【初中数学课件】北师大版八年级上册第二章立方根ppt课件
立方根性质 ：
”3“ 绝对不能省 ！ 为什么呢 ?
列表比较“平方根”与“立方 根”：
用定义进行开立方运算：
随堂练习一: 求下列各数的立方根：
用公式进行开立方运算：
例二．求下列各式的值。
随堂练习二. 求下列各式的值。
补充练习 求下列各式中的x的值
本课知识小结:
【初中数学课件】北师大版八年级上册第二章立方根ppt课 件
引例:
▪ 某化工厂使用半径为1米 的一种球形储气罐储藏气 体，现在要造一个新的球 形储气罐，如果要求它的 体积必须是原来体积的8 倍，那么它的半径应是原 来储气罐半径的多少倍？
▪ 如果新储气罐的体积是 原来的4倍呢？
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
八年级数学上册第2章课外资料：根号的由来(北师大版)
根号的由来现在，我们都习以为常地使用根号（如 等等），并感到它使用起来既简明又方便．那么，根号是怎样产生和演变成现在这种样子的呢？古时候，埃及人用记号“┌”表示平方根．印度人在开平方时，在被开方数的前面写上ka ．阿拉伯人用 表示 ．1840年前后，德国人用一个点“.”来表示平方根，两点“..”表示4次方根，三个点“...”表示立方根(稍细一些的点)，比如， .3、..3、...3就分别表示3的平方根、4次方根、立方根．到十六世纪初，可能是书写快的缘故，小点上带了一条细长的尾巴，变成“”．1525年，路多尔夫在他的代数著作中，首先采用了根号，比如他写4是2， 9是3，并用 8， 8表示 ， ．但是这种写法未得到普遍的认可与采纳． 与此同时，有人采用“根”字的拉丁文radix 中第一个字母的大写R 来表示开方运算，并且后面跟着拉丁文“平方”一字的第一个字母q ，或“立方”的第一个字母c 来表示开的是多少次方．例如，现在的，当时有人写成R.q.4352．现在的 ，用数学家邦别利（1526—1572年）的符号可以写成R.c.?7p.R.q.14╜，其中“?╜”相当于今天用的括号，P 相当于今天用的加号（那时候，连加减号“+”“-”还没有通用）．直到十七世纪，法国数学家笛卡尔（1596—1650年）第一个使用了现今用的根号“ ”．在一本书中，笛卡尔写道：“如果想求的平方根，就写作 ，如果想求 的立方根，则写作 abb b a c +-33.．” 这是出于什么考虑呢？有时候被开方数的项数较多，为了避免混淆，笛卡尔就用一条横线把这几项连起来，前面放上根号√（不过，它比路多尔夫的根号多了一个小钩）就为现在的根号形式．现在的立方根符号出现得很晚，一直到十八世纪，才在一书中看到符号3,的使用，比如25的立方根用325表示．54由此可见，一种符号的普遍采用是多么地艰难，它是人们在悠久的岁月中，经过不断改良、选择和淘汰的结果，它是数家们集体智慧的结晶，而不是某一个人凭空臆造出来的，不是从天上掉下来的．。
北师大课标版初中数学八年级上册 第二章 2.2 平方根 课件(共17张PPT)
7 8
，即
49 64
=
7 8
;
(4)14的算术平方根是 14 .
例2 自由下落物体的高度h（m）与下落时 间t（s）的关系为h=4.9 t2．有一铁球从 19.6m高的建筑物上自由下落，到达地面需 要多长时间？
解:将h=19.6代入公式 h=4.9 t2,
得 t2 =4,所以t = 4 =2(s). 答：铁球到达地面需要2s.
练习题：
求下列各数的算术平方根：
36，196 ，17，0.81 ，10-4 ． 解:(1)因为 62=36 ，所以36的算术平方
根是6，即 36=6 ;
(2)因为
Hale Waihona Puke 3 42=9 16
平方根是 3
4
，所以 9 的算术
16
，即
9 16
=
3;
4
(3)17的算术平方根是 17 ;
36，
9 16
，17，0.81 ，10-4
•
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3112:26:4912:26Aug-2131-Aug-21
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。12:26:4912:26:4912:26Tuesday, August 31, 2021
2． 9的算术平方根是 9 的算术平方根是
3； 3；
3．(- 4)2的算术平方根是 4 ；
二、如图，从帐篷支撑竿AB的顶部A向 地面拉一根绳子AC固定帐篷．若绳子的长度 为8m，地面固定点C到帐篷支撑竿底部B的距 离是6.4m，则帐篷支撑竿的高是多少？
北师大版八年级数学上册第二章 平方根
1.平方根的性质有哪些？ 一个正数的平方根有两个； 0的平方根是0；负数没有平方根
2．同学们在计算的时候一定要注意区分平方根和算术平方根， 注意正负号．
教材习题：完成课本29页随堂练 习，习题2.4的1，2，3，4题． 作业本作业： ．
有.－3，－25，－7
2.思考：
①正数有几个平方根？
②0有几个平方根？
③负数呢？
没有
2个 1个
3．平方根的概念是什么？你能说说平方根与算术平方根的区 别与联系是什么吗？
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根． 联系：(1)平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个．(2)只有非负 数才有平方根和算术平方根．(3)0的平方根是0，算术平方根也是0. 区别：(1)个数不同：一个正数有两个平方根且互为相反数，但只有一个算术平
任何
正数的平方是__正____数；0的平方是__0__；
平方 a²
数
幂 负数的平方是____正_____数.
1. 小组合作完成课本29页习题2.4的5题．
2．若(x＋y＋1)(x＋y－1)＝8，则x＋y的值为(B )
A．3
B．±3 C．－3 D．±5
小组展示
越展越优秀
提疑惑：你有什么疑惑？
知识点1：平方根的概念(重点)
题型一 求一个数的平方59；
(3)241； (4)(－4)2.
解：(1)因为(±14)2＝196，所以± 196＝±14.
(2)因为±1532＝12659，所以± 12659＝±153.
北师大版八年级数学上册第2章实数2平方根第2课时平方根
数学 八年级 上册 • B
第二章 实数
2 平方根 第2课时 平方根
平方根
1．一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x就叫做a的 平方根 (也叫做 二次方根 )．
2．一个正数有 两 个平方根；0只有一个平方根是 0本身 ，负数 没有 平方根．正数a有两个平方根分别记作“ a ”和“－ a ”，它们互
为 相反数 ，两个平方根合起来记作：“ ± a ”， 读作“ 正、负根号a ”．
自我诊断1.
1．9的平方根是( A )
A．±3
B．±13
C．3
D．－3
2．25的平方根是±5，用式子表示正确的是( B )
A. 25＝±5
B．± 25＝±5
C．± 25＝5
D． 25＝5
开平方
求一个数a的平方根的运算，叫做 开平方 ，a叫做 被开方数 .
Байду номын сангаас
自我诊断2.
3．要切一块面积是81cm2的正方形钢板，它的边长是( B )
A．3cm
B．9cm
C．3 3cm
D． 3cm
4．若x2＝10，则x＝
±
10
；若x2＝694，则x＝
3 ±8
.
1．下列各式中正确的是( C )
A．± 14＝12
B． 0.01＝±0.1
C．± 0.36＝±0.6
D． 0.9＝0.3
2．下列说法正确的是( C )
A．49的平方根是7
B. 36的平方根是±6
C．(－2)2的平方根是±2
D．1.6的算术平方根是0.4
北师大版八年级数学上册第2章 实数 平方根
-1 0 1 a 2
6.利用 a ＝ ( a )2 (a≥0)，把下列非负数分别写成
一个非负数的平方的形式：
(1) 9；
2
9
(4) 0.25；
2 0.25
(2) 5； 2 (3) 2.5；
5
2
2.5
(5)
1 2
；
1 2 2
(6) 0.
2
0
7. 已知 3x 12 363，求 x 的值．
x2
x2
x
+1
1
1
4
-1 +2
这是什么 运算？
4
-2
9
9
+3 -3
开平方的定义： 求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，
a 叫做被开方数.
平方与开平方有什么关系？ 可以看出，平方与开平方互为逆运算，根
据这种关系可以求出一个数的平方根.
典例精析
例1 求下列各数的平方根：
(1) 64 ； (2) 49 ； (3) 0.0004； (4) (25)2； (5) 11.
思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．
2
2
64 64
49 121
2
7.2 7.2
2
0 0
2
a
?
你能把所得的规律用字母表示出来吗？
归纳总结
( a )2 (a≥0) 的性质： 一般地，( a )2 ＝ a (a≥0).
例2 计算：
(1) ( 1.5)2； (2) (2 5)2.
平方根的概念及性质
填一填(1)
(1) 3 的平方等于 9，那么 9 的算术平方根就是___3__；
(2)
新北师大版八年级上册初中数学 课时2 平方根 教学课件
25
数呢？
第三页，共十六页。
新课讲解
知识点1 平方根
定义
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2 = a，那么 这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根) .
第四页，共十六页。
新课讲解
议一议 结论
（1）一个正数有几个平方根？
（2）0有几个平方根？
（3）负数呢？
正数a有两个平方根，一个是a的算术平方根 另一个a ,
是- 们互为a相, 反数.这两个平方根合起来可以记作 读作“正、负根a号, a”.
第五页，共十六页。
新课讲解
典例分析
例 1 一个正数x的平方根是2a－3和5－a，则a的值是多少？
分析：由一个正数有两个平方根，它们互为相反数，得
2a－3＋5－a＝0，解这个方程即可．
D．非负数的平方根都有两个
第十五页，共十六页。
拓展与延伸
平方根与算术平方根的区别与联系
区别：
(1)个数不同：正数的平方根有两个且互为相反
数，正数的算术平方根只有一个；
(2)表示方法不同：非负数a的平方根为±
a,
非负数a的算术平方根为 a .
联系：算术平方根是平方根中的一个．
第十六页，共十六页。
第八页，共十六页。
新课讲解
结论
(1)一个正数的正的平方根就是它的算术平方根． (2)平方与开平方是互逆运算．开平方与加、减、乘、
除、乘方一样是一种运算，即：
运算名称：加、减、乘、除、乘方、开平方(非负数)．
运算结果：和、差、积、商、幂、平方根(互为相反数)．
第九页，共十六页。
新课讲解
知识点3 √a2与（√a）2的性质
八年级数学上册第2章实数2平方根第2课时平方根课件新版北师大版
3 9 ± 4．若x2＝10，则x＝ ± 10 ；若x2＝ ，则x＝ 8 64
1．下列各式中正确的是( C ) A．± 1 1 ＝ 4 2 B． 0.01＝± 0.1 D． 0.9＝0.3
C．± 0.36＝± 0.6 2．下列说法正确的是( C ) A．49的平方根是7 B. 36的平方根是± 6 C．(－2)2的平方根是± 2 D．1.6的算术平方根是0.4
7．已知2a－1的平方根是± 3,3a＋b－1的平方根是± 4.求a＋2b的平方根．
解：∵2a－1的平方根为± 3，∴2a－1＝32，∴a＝5，∵3a＋b－1的平方根 是± 4，∴3a＋b－1＝16，∴b＝2，∴± a＋2b ＝± 5＋4 ＝± 3，即a＋2b的 平方根为± 3.
读作“
正、负根号a ”．
自我诊断1. 1．9的平方根是( A ) A．± 3 C．3 1 B．± 3 D．－3
2．25的平方根是± 5，用式子表示正确的是( B ) A. 255 D． 25＝5
开平方 求一个数a的平方根的运算，叫做 开平方 ，a叫做 被开方数 自我诊断2. 3．要切一块面积是81cm2的正方形钢板，它的边长是( B ) A．3cm C．3 3cm B．9cm D． 3cm . .
谢谢观看！
3. 16的平方根是 ±2 ，(－5)2的平方根是 ±5
. .
4．如果a是(－4)2的算术平方根， －92的平方根是b，则a＋b＝ 7或1 5．一个正数的平方根分别为2a＋1与a－7，则a＝ 2 ，这个正数为 25 .
6．求满足下列各式中的未知数x的值． (1)9x2－25＝0; (2)4(x－1)2＝9. 5 5 1 解：(1)x＝± ； (2)x＝ 或x＝－ . 3 2 2
数学 八年级 上册 • B
北师大版初二数学上册立方根小故事
求关于立方根和平方根的小故事数学家--毕达哥拉斯认为:世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题:当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少?是整数呢，还是分数?毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数.世界上除了整数和分数以外还有没有别的数?这个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言:m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数. 从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数，就是一个新数.给新发现的数起个什么名字呢?当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”. 希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌.为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑--活埋.然而真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派规矩森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了.他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人!这还了得!希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派.毕达哥拉斯学派按着规矩，要活埋希伯斯.希伯斯听到风声逃跑了. 希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊.在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海.之后它被称为无理数之父，为无理数的一切奠定了基础．倍立方问题很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都干死了，人们找不到水喝，于是大家一起到神庙里祈求．神说，我之所以不给你们降水，因为你们给我做的正方体祭坛太小了，如果你们做一个比它大1倍的祭坛放在我面前，我就给你们降下雨水．大家觉得这好办，很快做好一个祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的2倍，于是神更加发火，他说，你们竟敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来祭坛的2倍，我要进一步惩罚你们！请你想一想，要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的边长应是原来的多少倍？实际上，这就要求作出一个正方体，使它是已知正方体体积的2倍，或者说作出一条边是已知边长的32倍，这就是数学史上有名的倍立方问题．许多数学家试图用尺规作图作出它，均告失败，最后才发现这是一尺规作图不能成功的问题．。
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关于立方根和平方根的小故事
数学家--毕达哥拉斯认为:世界上只存在整数和分数，除此以外，没有别的什么数了.可是不久就出现了一个问题:当一个正方形的边长是1的时候，对角线的长m等于多少?是整数呢，还是分数?毕达哥拉斯和他的门徒费了九牛二虎之力，也不知道这个m究竟是什么数.世界上除了整数和分数以外还有没有别的数?这
个问题引起了学派成员希伯斯的兴趣，他花费了很多的时间去钻研，最终希伯斯断言:m既不是整数也不是分数，是当时人们还没有认识的新数. 从希伯斯的发现中，人们知道了除了整数和分数以外，还存在着一种新数，就是一个新数.给新发现的数起个什么名字呢?当时人们觉得，整数和分数是容易理解的，就把整数和分数合称“有理数”，而希伯斯发现的这种新数不好理解，就取名为“无理数”. 希伯斯的发现，推翻了毕达哥拉斯学派的理论，动摇了这个学派的基础，为此引起了他们的恐慌.为了维护学派的威信，他们严密封锁希伯斯的发现，如果有人胆敢泄露出去，就处以极刑--活埋.然而真理是封锁不住的，尽管毕达哥拉斯学派规矩森严，希伯斯的发现还是被许多人知道了.他们追查泄密的人，追查的结果，发现泄密的不是别人，正是希伯斯本人!这还了得!希伯斯竟背叛老师，背叛自己的学派.毕达哥拉斯学派按着规矩，要活埋希伯斯.希伯斯听到风声逃跑了. 希伯斯在国外流浪了好几年，由于思念家乡，他偷偷地返回希腊.在地中海的一条海船上，毕达哥拉斯的忠实门徒发现了希伯斯，他们残忍地将希伯斯扔进地中海.之后它被称为无理数之父，为无理数的一切奠定了基础．
倍立方问题
很久很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都干死了，人们找不到水喝，于是大家一起到神庙里祈求．神说，我之所以不给你们降水，因为你们给我做的正方体祭坛太小了，如果你们做一个比它大1倍的祭坛放在我面前，我就给你们降下雨水．大家觉得这好办，很快做好一个祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的2倍，于是神更加发火，他说，你们竟敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来祭坛的2倍，我要进一步惩罚你们！
请你想一想，要做一个体积是原来祭坛的2倍的新祭坛，它的边长应是原来的多少倍？
实际上，这就要求作出一个正方体，使它是已知正方体体积的2倍，或者说作出一条边是已知边长的32倍，这就是数学史上有名的倍立方问题．
许多数学家试图用尺规作图作出它，均告失败，最后才发现这是一尺规作图不能成功的问题.。