轴向拉伸与压缩

§2-1轴向拉伸与压缩杆件及实例轴向拉伸和压缩的杆件在生产实际中经常遇到，虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但一般对受轴向拉伸与压缩的杆件的形状和受力情况进行简化，计算简图如图2-1。

轴向拉伸是在轴向力作用下，杆件产生伸长变形，也简称拉伸；轴向压缩是在轴向力作用下，杆件产生缩短变形，也简称压缩。

实例如图2-2所示用于连接的螺栓；如图2-3所示桁架中的拉杆；如图2-4所示汽车式起重机的支腿；如图2-5所示巷道支护的立柱。

通过上述实例得知轴向拉伸和压缩具有如下特点：1. 受力特点：作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合，即称轴向力。

2. 变形特点：杆件变形是沿轴线方向的伸长或缩短。

§2-2横截面上的内力和应力1．内力在图2-6所示受轴向拉力P 的杆件上作任一横截面m —m ，取左段部分，并以内力的合力N 代替右段对左段的作用力。

由平衡条件 ，得0=∑X 0=−P N 0>=P N由于（拉力），则0>P合力N 的方向正确。

因而当外力沿着杆件的轴线作用时，杆件截面上只有一个与轴线重合的内力分量，该内力（分量）称为轴力，一般用N 表示。

若取右段部分，同理0=∑X ，知0=N -P得0>=P N图中N 的方向也是正确的。

材料力学中轴力的符号是由杆件的变形决定，而不是由平衡坐标方程决定。

习惯上将轴力N 的正负号规定为：拉伸时，轴力N 为正；压缩时，轴力N 为负。

2．轴力图轴力图可用图线表示轴力沿轴线变化的情况。

该图一般以杆轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。

例2-1 求如图2-7所示杆件的内力，并作轴力图。

解：（1）计算各段内力 AC 段：作截面1—1，取左段部分（图b ）。

由0=∑X 得kN （拉力）51=N CB 段：作截面2—2，取左段部分（图c ），并假设方向如图所示。

由2N 0=∑X 得05152=−+N则kN （压力）102−=N 2N 的方向应与图中所示方向相反。

（2）绘轴力图选截面位置为横坐标；相应截面上的轴力为纵坐标，根据适当比例，绘出图线。

由图2-7可知CB 段的轴力值最大，即10max=N kN 。

注意两个问题：1）求内力时，外力不能沿作用线随意移动（如P 2沿轴线移动）。

因为材料力学中研究的对象是变形体，不是刚体，力的可传性原理的应用是有条件的。

2）截面不能刚好截在外力作用点处（如通过C 点），因为工程实际上并不存在几何意义上的点和线，而实际的力只可能作用于一定微小面积内。

3．轴向拉（压）杆横截面上的应力1）由于只根据轴力并不能判断杆件是否有足够的强度，因此必须用横截面上的应力来度量杆件的受力程度。

为了求得应力分布规律，先研究杆件变形，为此提出平面假设。

平面假设：变形之前横截面为平面，变形之后仍保持为平面，而且仍垂直于杆轴线，如图2-8所示。

根据平面假设得知，横截面上各点沿轴向的正应变相同，由此可推知横截面上各点正应力也相同，即σ等于常量。

2）由静力平衡条件确定σ的大小 由于dA dN ⋅=σ，所以积分得A dA N Aσσ==∫则AN=σ （2-1）式中：σ—横截面上的正应力—横截面上的轴力 N A —横截面面积正应力σ的正负号规定为：拉应力为正，压应力为负。

对于图2-9所示斜度不大的变截面直杆，在考虑杆自重（容重γ）引起的正应力时，也可应用（2-1）式xxx A N =σ （2-2）其中x A P N x x ⋅+=γ 若不考虑自重，则P N =x对于等截面直杆，由式（2-1）知最大正应力发生在最大轴力处，此处最易破坏。

而对于变截面直杆，最大正应力的大小不但要考虑，同时还要考虑。

x N x A 必须指出，实际构件两端并非直接作用着一对轴向力，而是作用着与两端加载方式有关的分布力，轴向力只是它们静力等效的合力，如图2-2、2-4中的轴向力是通过螺齿作用呈轴对轴分布的分布力的合力。

圣维南原理指出：如将作用于构件上某一小区域内的外力系（外力大小不超过一定值）用一静力等效力系来代替，则这种代替对构件内应力与应变的影响只限于离原受力小区域很近的范围内。

对于杆件，此范围相当于横向尺寸的1～1.5倍。

例2-2 旋转式吊车的三角架如图2-10所示，已知AB 杆由2根截面面积为cm 86.102的角钢制成，kN ，。

求AB 杆横截面上的应力。

130=P o 30=α解：（1）计算AB 杆内力取节点A 为研究对象，由平衡条件0=∑Y ，得P N AB =o 30sin则2602==P N AB kN （拉力）（2）计算AB 杆应力7.1191010286.1010260643=××××==−−A N AB ABσMPa 例2-3 起吊钢索如图2-11所示，截面积分别为3=1A cm 2，4=2A cm 2，m ，kN ，材料单位体积重量50==21l l 12=P 0280.=γN/cm 3，试考虑自重绘制轴力图，并求max σ。

解：（1）计算轴力AB 段：取1—1截面1x A P N 11γ+= ()11l x 0≤≤ ①BC 段：取2—2截面()11l x A l A P N 2212−++=ργ ()212l l x l +≤≤1 ②（2）绘轴力图当时，0=1x 12==P N A kN （拉力）当时，kN （拉力） 11l x =42.1210503028.012l A P 211=×××+=+=γB N 当时，12l x =42.12)l l (A l A P 11211=−++=γγB N kN （拉力）当时，212l l x +=98.12l A l A P 2211=++=γγC N kN （拉力） 轴力图如图2-11b 。

（3）应力计算B 截面 4.41101031042.12643=×××==−−1B B A N σMPa （拉应力） C 截面 8.36101041098.12643=×××==−−2C C A N σMPa （拉应力） 比较B σ，C σ的大小，得4.41max =σMpa§2-3斜截面上的应力有时拉（压）杆件沿斜截面发生破坏，此时如何确定斜截面k —k 上的应力？设等直杆的轴向拉力为P （如图2-12），横截面面积为A ，由于k —k 截面上的内力仍为P P α=而且由斜截面上沿x 方向伸长变形仍均匀分布可知，斜截面上应力仍均匀分布。

αp若以表示斜截面k —k 上的应力，于是有αp αααA P p =而 ααcos A A =，所以 ασααcos cos ==AP p 则将斜截面上全应力分解成正应力αp ασ和剪应力ατ，有（2-3） ασασαα2cos cos ==p ασαταα2sin 2sin ==p （2-4）αατσα,,正负号分别规定为：α—自x 轴逆时针转向斜截面外法线n ，α为正；反之为负；ασ—拉应力为正，压应力为负；ατ—取保留截面内任一点为矩心，当ατ对矩心顺时针转动时为正，反之为负。

讨论式（2-3）和（2-4）：1）当0=α时，横截面σσα=max ，0=ατ2）当时，斜截面o 45+=α2σσα=，2max στα=3）当时，纵向截面o 90=α0=ασ，0=ατ结论：对于轴向拉（压）杆，σσ=max ，发生在横截面上；2max στ=，发生在沿顺时针转45°角的斜截面上。

同样大小的剪应力也发生在的斜面上。

o 45−=α例2-4 木立柱承受压力，上面放有钢块。

如图2-13所示，钢块截面积为cm P 1A 22×2，35=钢σMPa ，木柱截面积88×=2A cm 2，求木柱顺纹方向剪应力大小及指向。

解：（1）计算木柱压力P ，由1A P =钢σ所以kN （压力）141022103546=××××=⋅=−1A P 钢σ（2）计算木柱的剪应力o 30τ横截面上192101010643.=×××−−6414A P 2==σMPa （压应力）则950300.)=2230sin(×=στo MPao 30τ指向如图所示。

§2-4 材料在静荷拉伸时的力学性能材料的力学性能：也称机械性能。

通过试验揭示材料在受力过程中所表现出的与试件几何尺寸无关的材料本身特性。

如变形特性，破坏特性等。

研究材料的力学性能的目的是确定在变形和破坏情况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算材料强度、刚度的依据。

因此材料力学试验是材料力学课程重要的组成部分。

此处介绍用常温静载试验来测定材料的力学性能。

1. 试件和设备标准试件：圆截面试件，如图2-14：标距l 与直径的比例分为，d d l 10=，； d l 5=板试件（矩形截面）：标距l 与横截面面积A 的比例分为，A l 3.11=，A l 65.5=； 试验设备主要是拉力机或全能机及相关的测量、记录仪器。

详细介绍见材料力学试验部分。

国家标准《金属拉伸试验方法》（如GB228-87）详细规定了实验方法和各项要求。

2. 低碳钢拉伸时的力学性能低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢，如A 3钢、16Mn 钢。

1）拉伸图（P —ΔL ），如图2-15所示。

弹性阶段（oa ）屈服（流动）阶段（bc ）强化阶段（ce ）由于P —ΔL 曲线与试样的尺寸有关，为了消除试件尺寸的影响，可采用应力应变曲线，即εσ−曲线来代替P —ΔL曲线。

2）εσ−曲线图，如图2-16所示，其各特征点的含义为：oa 段：在拉伸（或压缩）的初始阶段应力σ与应变ε为直线关系直至a 点，此时a 点所对应的应力值称为比例极限，用P σ表示。

它是应力与应变成正比例的最大极限。

当P σσ≤ 则有εσE = （2-5）即胡克定律，它表示应力与应变成正比，即有αεσtan ==EE 为弹性模量，单位与σ相同。

当应力超过比例极限增加到b 点时，关系偏离直线，此时若将应力卸至零，则应变随之消失（一旦应力超过b点，卸载后，有一部分应变不能消除），此b 点的应力定义为弹性极限ε−σe σ。

e σ是材料只出现弹性变形的极限值。

bc 段：应力超过弹性极限后继续加载，会出现一种现象，即应力增加很少或不增加，应变会很快增加，这种现象叫屈服。

开始发生屈服的点所对应的应力叫屈服极限s σ。

又称屈服强度。

在屈服阶段应力不变而应变不断增加，材料似乎失去了抵抗变形的能力，因此产生了显著的塑性变形（此时若卸载，应变不会完全消失，而存在残余变形）。

所以s σ是衡量材料强度的重要指标。

表面磨光的低碳钢试样屈服时，表面将出现与轴线成45°倾角的条纹，这是由于材料内部晶格相对滑移形成的，称为滑移线，如图2-17所示。