一元二次方程与一元二次不等式的解法分析及例题

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一元二次方程、二次函数与一元二次不等式总结分析及例题

(一)一元二次方程的一般形式：()002

≠=++a c bx ax

其中c b a ,,为常数，x 为未知数。根的判别式：ac b 42

-=∆ 一元二次方程根的个数与根的判别式的关系： 0<∆时，方程①无实根；

0=∆时，方程①有且只有一个实根，或者说方程①有两个相等的实根；a

b x 2-

= 0>∆时，方程①有两个不相等的实根。a

ac

b b x 2422,1-±-=

（二）二次函数的一般形式：形如()a b ac a b a y a c bx ax y 442x 022

2

-+

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+==≠++= 其中c b a ,,为常数，x 为自变量。顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--a b ac a b P 44,22，其中直线a b

x 2-=为对称轴，

1、（1）0

的图象开口向下，函数c bx ax y ++=2

在a

max -=，对任意a b ac y R x 44,2-≤∈.

~

（2）0>a 时，函数c bx ax y ++=2

的图象开口向上，函数c bx ax y ++=2

-=，对任意a b ac y R x 44,2-≥∈.

2、二次函数()02

≠++=a c bx ax y 与x 轴交点个数的判断：

0<∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴无交点；

0=∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴相切，有且只有一个交点； 0>∆时，函数()02≠++=a c bx ax y 与x 轴有两个交点。

3、二次函数图象的基本元素：开口方向（即首项系数a 的正负）、对称轴、∆.

（三）一元二次不等式的概念：形如()002

≠≠++a c bx ax 其中连接c bx ax ++2

基本步骤：化正-----计算--------求根--------写解集（大于取两边，小于取中间）

步骤：①计算∆；②若0<∆，则方程无实根；若0≥∆，利用求根公式a

（1）03522=-+x x （2）862

=-x x

【方法二】十字相乘法

利用十字相乘法求解方程()002

≠=++a c bx ax 的前提条件是：0≥∆，也就是保证方程

()002≠=++a c bx ax 必须有实根.

十字分解依据：对于方程()002

≠=++a c bx ax 而言，c b a ,,均为整数。当0>ac 时，将

【类型二】二次函数最值的求法【方法一】公式法

①0

在a

b

x 2-=取到最大值，即a b ac y 442max -=，对任意

②0>a 时，函数c bx ax y ++=2

在a

b

x 2-=取到最小值，即a b ac y 442min -=，对任意

⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=a b c a b x a b x a c x a b x a c bx ax y

（1）842+--=x x y （2）5322

+-=x x y

【类型三】一元二次不等式的解法

【例4】解下列不等式

（1）02732<+-x x ；（2）0262

（2）不等式()()7212>+-x x 的解集是 . （3）不等式()09>-x x 的解集是 .

【类型四】分式不等式的解法

解分式不等式的基本思路是将其转化为整式不等式（组）：（有分母就要考虑分母不等于零，有根式就考虑大于等于零）

()(),00)()(>⋅⇔>x g x f x g x f ()()(),000)()

(≠≥⋅⇔≥x g x g x f x g x f 且 ()(),00)()(<⋅⇔

()

(≠≤⋅⇔≤x g x g x f x g x f 且【例5】解下列不等式（1）11+-x