有限元法及其在工程中的应用

机械与汽车学院曹国强

主要内容：1、有限元法的基本思想。2、结构力学模型的简化和结构离散化。

3、有限元法的实施过程。

一、有限元法的基本思想

有限元法是随着计算机的发展而发展起来的一种有效的数值方法。其基本思想是：将连续的结构分割成数目有限的小单元体（称为单元），这些小单元体彼此之间只在数目有限的指定点（称为节点）上相互连接。用这些小单元体组成的集合体来代替原来的连续结构。再把每个小单元体上实际作用的外载荷按弹性力学中的虚功等效原理分配到单元的节点上，构成等效节点力，并按结构实际约束情况决定受约束节点的约束。这一过程称为结构的离散化。其次，对每个小单元体选择一个简单的函数来近似地表示其位移分量的分布规律，并按弹性力学中的变分原理建立起单元节点力和节点位移之间的关系（单元刚度方程），最后，把全部单元的节点力和节点位移之间的关系组集起来，就得到了一组以结构节点位移为未知量的代数方程组（总体刚度方程），同时考虑结构的约束情况，消去那些结构节点位移为零的方程，再由最后的代数方程组就可求得结构上有限个离散节点的各位移分量。求得了结构上各节点的位移分量之后，即可按单元的几何方程和物理方程求得各单元的应变和应力分量。

有限元法的实质就是把具有无限个自由度的连续体，理想化为有限个自由度的单元的集合体，使问题简化为适合于数值解法的结构型问题。

经典解法（解析法）与有限元法的区别

数目增加到∞

微元

大小趋于0

解析法 { }

建立一个描述连续体性质的偏微分方程组 有限元解法 连续体 单元 代替原连续体

二、结构力学模型的简化和结构离散化

（一）结构力学模型的简化

用有限元法研究实际工程结构问题时，首先要从工程实际问题中抽象出力学模型，即要对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷进行简化，这种简化应尽可能地反映实际情况，不至于使简化后的解答与实际差别过大，但也不要带来计算上的过分复杂，在力学模型的简化过程中，必须判断实际结构的问题类型，是二维问题还是三维问题。如果是平面问题，是平面应力问题，还是平面应变问题。同时还要搞清楚结构是否对称，外载荷大小和作用位置，结构的几何尺寸和力学参数（弹性模量E 、波松比μ等）。

（二）结构的离散化

将已经简化好的结构力学模型划分成只在一些节点连续的有限个单元，把每个单元看成是一个连续的小单元体，各单元之间只在一些点上互相联结，这些点称作节点，每个单元体称为一个单元。用只在节点处连接的单元的集合体代替原来的连续结构，把外载荷按虚功等效原理移置到有关受载的节点上，构成节点载荷，把连续结构进行这样分割的过程称为结构的离散化。现举例说明。

设一平面薄板，中间有一个园孔，其左端固定，右端受面力载荷q ，试对其进行有限元 离散化 （单元分析） 集合 总体分析 求得近似解 q

有限元分割和力学模型简化。

薄板模型的应力变化曲线

薄板模型的位移变化曲线

三、有限元方法的实施过程

有限元方法的实施过程可以分为三个步骤：

1、前处理。将整体结构或其一部分简化为理想的数学模型，用离散化的网格代替连续的实体结构。

2、计算分析。分析计算结构的受力、变形及特性。

3、将计算结果进行整理和归纳。

对于有限元程序使用者而言，第一步和第三步的工作量最大，一个有限元程序薄板的动态应力变化

的好坏，在很大程度上取决于第一步的前处理和第三步的后处理功能是否强大。

前处理

对于第一步的前处理而言，要根据计算的目的和所关心的区域，将结构模型化、离散化。需要给出下列信息：

（1）节点的空间位置。

（2）单元与节点的连接信息。

（3）结构的物质特性和材料参数。

（4）边界条件或约束。

（5）各类载荷。

在构成离散模型时，为了使模型较为合理，必须遵循以下的原则：

（1）使计算模型尽量简化，以减少计算时间和容量，但又必须抓住主要因素以不影响计算精度。

（2）在所关心的区域加密计算网格。

后处理

有限元计算是一种大规模的科学计算，其特点是除了要花费巨大的计算机处理能力外，在计算过程中还会产生巨大数量的数字信息。只有在计算输出信息进行仔细分析理解之后，才能洞察计算中发生的情况和问题，才能获得对被研究对象的认识和见解。

在大多数情况下，被研究的对象都是三维介质中的场分布问题（应力分布、位移分布、压力分布、电场分布等），即所谓的“四维”问题。鉴于其计算结果分析的复杂性，人们提出了科学计算可视性的要求，即把四维的数据进行图形处理或称为可视化处理，使人们能够看到场的分布图象，从图象上直接进行分析、判断来获得有用的结论。这大大加快和加深了人们对计算对象的物理变化过程的认识，发现通常通过数值信息发现不了的现象，甚至获得意料之外的启发和灵感，从而缩短了研究和设计周期，提高了效率，获得更多的结果。