2 第七章 习题课 求解变力做功的四种方法

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第七章 机械能守恒定律
解析：选 C.由于水平面光滑，所以拉力 F 即为合外力，F 随位移
x
的变化图象包围的面积即为
F
做的功，即
W
＝
π 2
F 2m
＝
π 8
x
2 0
＝π4Fmx0.
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第七章 机械能守恒定律
2．用质量为 5 kg 的质地均匀的铁索从 10 m 深的井中吊起一质量 为 20 kg 的物体，在这个过程中至少要做多少功？(g 取 10 m/s2) 解析：“至少要做多少功”的隐含条件是作用在铁索上的拉力等 于物体和铁索的重力，使重物上升，如果不计铁索的重力，那么 问题就容易解决．但是现在还要考虑铁索的重力，作用在物体和 铁索上的力至少应等于物体和铁索的重力，在拉吊过程中，铁索 长度逐渐缩短，因此，拉力也在逐渐减小，即拉力是一个随距离 变化的变力，以物体在井底开始算起，拉力与物体上升距离 s 成 线性变化，这是一个变力做功的问题，可以利用 F－s 图象求解．
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第七章 机械能守恒定律
半圆形轨道在同一竖直面内，两小球均可看做质点，且不计滑轮 大小的影响，g 取 10 m/s2．现给小球 A 一个水平向右的恒力 F＝ 55 N．求：
(1)把小球 B 从地面拉到 P 点正下方 C 点过程中，重力对小球 B 做的功； (2)把小球 B 从地面拉到 P 点正下方 C 点过程中，力 F 做的功．
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第七章 机械能守恒定律
[解析] 力 F 对物体做的功等于 l 轴上方的正功(梯形“面积”) 与 l 轴下方的负功(三角形“面积”)的代数和． S 梯形＝12×(4＋3)×2 J＝7 J S 三角形＝－12×(5－4)×2 J＝－1 J 所以力 F 对物体做的功为 W＝7 J－1 J＝6 J. [答案] 6 J
【通关练习】 1．如图所示，在距水平地面高为 0．4 m 处，水平固定一根长直 光滑杆，在杆上 P 点固定一定滑轮，滑轮可绕水平轴无摩擦转动， 在 P 点的右边，杆上套有一质量 m＝2 kg 的小球 A．半径 R＝ 0．3 m 的光滑半圆形细轨道，竖直地固定在地面上，其圆心 O 在 P 点的正下方，在轨道上套有一质量也为 m＝2 kg 的小球 B．用 一条不可伸长的柔软细绳，通过定滑轮将两小球连接起来．杆和
第七章 机械能守恒定律
[解析] 在将钉子钉入木板的过程中，随着深度的增加，阻力成 正比地增加，这属于变力做功问题，由于力与深度成正比，可将 变力等效为恒力来处理． 根据题意可得 第一次做功：W＝F1d＝k2dd. 第二次做功：W＝F2d′＝kd＋d2′d′. 联立解得 d′＝( 2－1)d. [答案] B
[解析] 绳对物体的拉力虽然大小不变，但方向不断变化，所以 不能直接根据 W＝Flcos α 求绳的拉力对物体做的功． 由于不计绳与滑轮的质量及摩擦，所以恒力 F 做的功和绳对物体 的拉力做的功相等．本题可以通过求恒力 F 所做的功求出绳对物 体的拉力所做的功．由于恒力 F 作用在绳的端点，故需先求出绳 的端点的位移 l，再求恒力 F 的功．
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第七章 机械能守恒定律
2．如图所示，摆球质量为 m，悬线的长为 l，把 悬线拉到水平位置后放手，设在摆球运动过程中 空气阻力 Ff 的大小不变，求摆球从 A 运动到竖直 位置 B 时，重力 mg、绳的拉力 FT、空气阻力 Ff 各做了多少功？
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第七章 机械能守恒定律
解析：因为拉力 FT 在运动过程中，始终与运动方向垂直， 故不 做功，即 WFT＝0. 重力在整个运动过程中始终不变，小球在重力方 向上的位移为 AB 在竖直方向上的投影 OB，且 OB＝l，所以 WG＝mgl.空气阻力虽然大小不变， 但方向不断改变，且任意时刻都与运动方向相
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第七章 机械能守恒定律
解析：整个过程分两段来分析．第一段，力随位移按线性变化， 物体刚被拉动时 F＝kx1，按平均力求功；第二段拉力恒为 F，可 直接用功的定义式求解． 根据题意可得 W＝F2x1＋Fx2＝12kx21＋kx1x2 ＝12×400×0.01＋400×0.1×0.4 J＝18 J. 答案：18 J
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第七章 机械能守恒定律
拉力的 F－s 图象如图所示，拉力做的功可用图中的梯形面积来 表示，W＝(200＋250)×5 J＝2 250 J.
答案：2 250 J
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第七章 机械能守恒定律
变力做的功 W 可用 F－l 图线与 l 轴所围 成的面积表示．l 轴上方的面积表示力对物体 做正功的多少，l 轴下方的面积表示力对物体 做负功的多少．
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第七章 机械能守恒定律
(2)重力 mg 做的功 WG＝－mgR(1－cos 60°)＝－50 J. (3)物体受的支持力 FN 始终与物体的运动方向垂直，所以 WFN＝ 0. [答案] (1)62.8 J (2)－50 J (3)0
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第七章 机械能守恒定律
【通关练习】 1．(多选)如图所示，质量为 m 的滑块，由半径为 R 的半球面的 上端 A 以初速度 v0 滑下，B 为最低点，滑动过程中所受到的摩擦 力大小恒为 Ff．则( ) A．从 A 到 B 过程，重力做功为12mgπR B．从 A 到 B 过程，弹力做功为零 C．从 A 到 B 过程，摩擦力做功为－14πRFf D．从 A 滑到 C 后，又滑回到 B，这一过程摩擦力做功为－32πRFf
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第七章 机械能守恒定律
当力的方向不变，大小随位移按线性规律变化时，可先求出 力对位移的平均值 F＝F1＋2 F2，再由 W＝Flcos α 计算功．但此法 只适用于 F 与位移成线性关系的情况，不能用于 F 与时间 t 成线 性关系的情况．
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第七章 机械能守恒定律
图象法 一物体所受的力 F 随位移 l 发生如图所示的变化，求这一 过程中，力 F 对物体做的功为多少？
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第七章 机械能守恒定律
转换法 某人利用如图所示的装置，用 100 N 的恒力 F 作用于不计质量的细绳的一端，将 物体从水平面上的 A 点移到 B 点．已知 α1 ＝30°，α2＝37°，h＝1．5 m，不计滑轮质量及绳与滑轮间的 摩擦．求绳的拉力对物体所做的功．
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第七章 机械能守恒定律
解析：缓慢拉动木块，可以认为木块处于平衡状态，故拉力等于 弹力的大小 F＝ks′，是变力． 法一：图象法 力 F 随位移 s′变化的关系如图所示，则力 F 所 做的功在数值上等于图线 OA 与所对应的横轴所 包围的面积，即等于△OAs 的面积．则： W＝12s·ks＝12ks2.
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第七章 机械能守恒定律
︵ 反，即沿圆弧的切线方向，因此属于变力做功问题，如果将AB
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第七章 机械能守恒定律
分成许多小弧段，使每一小段弧小到可以看成直线，在每一小段 弧上 Ff 的大小、方向可以认为不变(即为恒力)，如图所示．因此 Ff 所做的总功等于每一小段弧上 Ff 所做功的代数和． 即 WFf＝－(FfΔ l1＋FfΔ l2＋…)＝－12Ffπl. 故重力 mg 做的功为 mgl，绳子拉力 FT 做的功为零，空气阻力 Ff 做的功为－12Ffπl. 答案：mgl 0 －12Ffπl
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第七章 机械能守恒定律
[解析] (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1、l2、…、ln，拉力在每小 段上做的功为 W1、W2、…、Wn，因拉力 F 大小不变，方向始终 与物体所在位置的切线方向成 37°角，所以： W1＝Fl1cos 37°，W2＝Fl2cos 37°，…，Wn＝Flncos 37°， 所以 WF＝W1＋W2＋…＋Wn ＝Fcos 37°(l1＋l2＋…＋ln) ＝Fcos 37°·π3R＝20π J＝62.8 J.
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第七章 机械能守恒定律
当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向(或反向)时，把 物体的运动过程分为很多小段，这样每一小段可以看成直线，先 求力在每一小段上的功，再求和即可．
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第七章 机械能守恒定律
例如：如图所示，物体在大小不变、方向始终沿着 圆周的切线方向的一个力 F 的作用下绕圆周运动了 一圈，又回到出发点．已知圆周的半径为 R，求力 F 做的功时，可把整个圆周分成很短的间隔Δ s1、 Δ s2、Δ s3…．在每一段上，可近似认为 F 和位移 Δ s 在同一直线上并且同向，故 W＝F(Δ s1＋Δ s2＋Δ s3＋…)＝2πRF． 因此功等于力 F 与物体实际路径长度的乘积．即 W＝Fs． 对于滑动摩擦力、空气阻力，方向总是与 v 反向，故 W＝－Ff·s．
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第七章 机械能守恒定律
平均值法
用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木
板的深度成正比，已知铁锤第一次将钉子钉进 d，如果铁锤第二
次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入
木板的深度是( )
A．( 3－1)d
（ C．
5－1）d 2
B．( 2－1)d
D．
2 2d
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第七章 机械能守恒定律
【通关练习】 1．如图所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接， 另一端与一个质量为 m 的木块连接，放在 光滑的水平面上，弹簧的劲度系数为 k，处于自然状态．现用一 水平力 F 缓慢拉动木块，在弹簧的弹性限度内，使木块向右移动 s，求这一过程中拉力对木块做的功．
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第七章 机械能守恒定律
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第七章 机械能守恒定律
微元法 如图所示，一质量为 m＝2．0 kg 的物体从半径为 R＝ 5．0 m 的圆弧的 A 端，在拉力 F 作用下沿圆 弧缓慢运动到 B 端(圆弧 AB 在竖直平面内)．拉 力 F 大小不变始终为 15 N，方向始终与物体所 在位置的切线成 37°角．圆弧所对应的圆心角 为 60°，BO 边为竖直方向，g 取 10 m/s2．求 这一过程中： (1)拉力 F 做的功； (2)重力 mg 做的功； (3)圆弧面对物体的支持力 FN 做的功．
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第七章 机械能守恒定律
解析：选 BD.从 A 到 B 过程，重力做功 WG＝mgR，选项 A 错误； 弹力始终与位移方向垂直，弹力做功为零，选项 B 正确；摩擦力 方向始终与速度方向相反，利用分段求和的方法可知摩擦力做功 为：W1＝－FfsAB＝－Ff14×2πR＝－12πRFf，选项 C 错误；同理 由 A→C→B 过程，摩擦力做功 W2＝WAC＋WCB＝－Ff12×2πR＋ －Ff×14×2πR＝－32πRFf，选项 D 正确．
第七章 机械能守恒定律
习题课 求解变力做功的四种方法
第七章 机械能守恒定律
1．做功的两个必要因素 (1)作用在物体上的力． (2)物体在力方向上的位移． 2．功的表达式：W＝Flcos α，α 为力 F 与位移 l 的夹角． (1)α<90°时，W>0． (2)α>90°时，W<0． (3)α＝90°时，W＝0．
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第七章 机械能守恒定律
由几何关系知，绳的端点的位移为 l＝sin h30°－sin h37°＝13h＝0.5 m 在物体从 A 移到 B 的过程中，恒力 F 做的功为 W＝Fl＝100×0.5 J＝50 J. 故绳的拉力对物体所做的功为 50 J. [答案] 50 J
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第七章 机械能守恒定律
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第七章 机械能守恒定律
【通关练习】 1．静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力 F 的 作用下，沿 x 轴方向运动，拉力 F 随物块所在位置坐标 x 的变化 关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到 x0 处时拉力 F 做的功为( )
A．0
B．12Fmx0
C．π4Fmx0
D．π4x20
法二：平均力法 拉力 F＝ks′，力与位移成正比，力 F 为线性力，则平均力为 F＝ 0＋2ks＝12ks. W＝Fs＝12ks2. 答案：12ks2
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第七章 机械能守恒定律
2．如图所示，放在固定斜面Hale Waihona Puke Baidu的物体，右端与 劲度系数为 k 的轻质弹簧相连．手以沿斜面向 上的力拉弹簧的右端，作用点移动 10 cm 时物 体开始滑动，继续缓慢拉弹簧，求当物体位移为 0．4 m 时手的 拉力所做的功．(k＝400 N/m)