1.2选主元三角分解

−1000 × 1.00 + 1 × 2.00 = −0.100 × 104 + 0.200 × 10 = −0.100 × 104 + 0.0002 × 104 = −0.100 × 104 = −1000
因此计算解为x = (0, 1)T. 与精确解相差甚远 与精确解相差甚远.
在例1.2.1中, 用Gauss消去法求出的结果与精确解相差 甚远, 这是由小主元引起的 解决方法: 这是由小主元引起的. (1) 用更高精度的计算机; (2) 避免出现小主元. 比如可以①交换方程组顺序 即 交换方程组顺序, 交换方程组顺序
1.2.3 列主元消去法 与全主元Gauss消去法的差别 差别在于: 差别
(k 第k步只在 A22 −1) 的第k列上寻找模最大的元, 即选
k ( a (pk−1) = max{ aikk −1) : k ≤ i ≤ n}.
第k步不需行列交换, 只需行行交换 即有Pk = Ikp , Qk = I. 只需行行交换, 只要A非奇异, 则列主元Gauss消去法就可以进行到底, 得到列主元三角分解 列主元三角分解 PA = LU, 其中 U = A( n −1) , P = Pn −1 L P , L = P( Ln −1 Pn −1 L L1 P ) −1 . 1 1 算法1.2.2见P26.
因此计算解为x = (1.00, 1.00)T. 与精确解接近了 与精确解接近了. ②交换未知向量 的分量在方程组中的顺序 即 交换未知向量x的分量在方程组中的顺序 交换未知向量 的分量在方程组中的顺序,
1.00 0.001 x2 1.00 x = 2.00 1.00 1 3.00 1.00 0.001 1 0 ˆ 1 0 ˆ −1 ∴ L= , L = L = , U = LA = 0 1.00 −2 1 2 1
设A∈Rn×n 非奇异, 则利用列主元消去法求解线性方 程组Ax = b的步骤: (1) 用算法1.2.2计算A的列主元LU分解: PA = LU; (2) 用算法1.1.1解下三角形方程组Ly = Pb; (3) 用算法1.1.2解上三角形方程组Ux = y. 小结: 小结 列主元消去法与全主元消去法的数值稳定性差 不多, 但运算量大为减少, 是目前求解中小型线性方程组 的常用方法.
0 ˆ−1 a21 1.00 1 用算法1.1.3得l21 = = = 1000, L = =L a11 0.001 −1000 1 0 0.001 1.00 0.001 1.00 ˆ 1 所以 LA = = =U −1000 −1000 1 1.00 2.00 0
因此计算解为x = (1.00, 1.00)T. 与精确解接近了 与精确解接近了. 1.2.2 全主元消去法
y1 1.00 1 0 y1 1.00 y = ⇒ y = 2 1 2 3.00 1.00 2 x1 = 1.00 1.00 0.001 x2 1.00 x = ⇒ x2 = 1.00 − 0.001 × 1.00 1.00 1 1.00 0 = 0.100 × 10 − 0.0001 × 10 = 1.00
% A( k −1) = I 2 pk A( k −1) I 2 qk
% A( k −1)
( A11k −1) = Pk A( k −1) Qk = 0
% A1(2k −1) . ( k −1) % A22

选 主 元
( ( A11k ) A12k ) 12 % 消 A( k ) = Lk A( k −1) = Lk Pk A( k −1) Qk = , (k ) A22 去 0 (k ) 为k 阵. 惱Lk = I lkekT, A11 法 ( k −1) % % % )T , l% = aik , i = k + 1,L , n. lk = (0 L 0 lk +1k L lnk ik % (k akk −1) l%ik ≤ 1, i = k + 1,L , n. % (k % −q akk −1) = a (pkk −11)k −1 ,
1 × 1.00 − 0.001 × 2.00 = 0.100 × 10 − 0.0002 × 10 = 1.00 0 y1 3.00 y1 = 3.00 1 y = ⇒ y2 = 1.00 − 0.003 0.001 1 2 1.00 = 0.100 × 10 − 0.0003 × 10 = 1.00 x1 = 1.00 1.00 2.00 x1 3.00 x = ⇒ x = 1.00 0 1.00 2 1.00 2
Gauss
换Lk
Gauss Gauss
(4) 设全主元Gauss消去过程进行到第r步终止, 则有 LrPr···L1P1AQ1···Qr = U 其中U为上三角阵, P1 , P2 , ··· , Pr和Q1 , Q2 , ··· , Qr为初等 置换矩阵, L1 , L2 , ··· , Lr为单位下三角阵, 且| lij |≤1. 令 Q = Q1Q2···Qr P = PrPr-1···P1 L = P(LrPr···L2P2L1P1)－1,
0 0
若a
(0) p0 q0
= 0 , 则结束.
否则, 的第1行与第p0行, 第1列与第q0列, % 记交换后的矩阵为 A(0) , 则
% A(0) = I1 p0 A(0) I1q0 = P A(0) Q1 . 1
% A(0)
(1)
交换A(0)

选 主 元
Gauss
(k A22 −1)
设 a (pk −1) q 若a
k −1 k −1
( = max{ aijk −1) : k ≤ i, j ≤ n}.
Leabharlann Baidu
选
( k −1) pk −1qk −1
= 0 , 则消去过程结束.
}
元
主
否则, 交换A(k-1) 的第k行与第pk-1行, 第k列与第qk-1列,
% 记交换后的矩阵为 A( k −1) , 则
初等置换矩阵： 初等置换矩阵：I 的第p列与第q列交换所得到的矩阵. Ipq = (e1 ··· ep-1 eq ep+1 ··· eq-1 ep eq+1 en), (p≤q) IpqA : 交换A的第p行与第q行 AIpq : 交换A的第p列与第q列
全主元消去法的具体过程
(0) (0) (1) 记A(0) = A, 设 a p q = max{ aij :1 ≤ i, j ≤ n}.
例1.2.1 在3位10进制的浮点数系下解方程组
0.001 1.00 x1 1.00 x = 1.00 2.00 2 3.00 −1 x1 0.001 1.00 1.00 1.002... 解: 精确解 = = x2 1.00 2.00 3.00 0.998...
§1.2 选主元三角分解
1.2.1 选主元的重要性 一些疑问： 一些疑问： (1) A非奇异可保证Ax = b有唯一解，但A非奇异并不能 保证其顺序主子阵均非奇异，因此不能保证Gauss消去 过程能够进行到底, 怎样修正算法1.1.3？ (2) Gauss消去法中计算lik时位于分母上的主元虽不为0 但很小时, 是否会对算法产生不良影响？怎样修正该算 法？
A( k −1) = Lk −1 Pk −1 L L1 P AQ1 L Qk −1 1
( 其中A11k −1) 为k－1阶上三角阵, 且
(k (k akk −1) L akn −1) = M M . (k (k ank −1) L ann −1)
( A11k −1) = 0 ( A12k −1) , ( k −1) A22
% = L1 A
(0)
换L1
% (0) %n a12 L a1(0) (1) (1) (1) a22 L a2 n A11 = M O M 0 (1) (1) an 2 L ann
(1) A12 , (1) A22
A
% (0) a11 0 = M 0
则A(1) = L1P1AQ1.

Gauss 消 去 法
(1) (2) 设 a (1)q = max{ aij : 2 ≤ i, j ≤ n}. p
1 1
(1) 若 a p1q1 = 0 , 则消去过程结束. 否则, 交换A(1) 的第2行与第p1行, 第2列与第q1列, (1) % (1) % 记交换后的矩阵为 A(1) = A11 A12 , 则 % (1) 0 A22 % A(1) = I 2 p1 A(1) I 2 q1 = P2 A(1) Q2 .
选 主 元
% A(1)
Gauss
A
(2)
换L2
% = L2 A(1)
(2) A11 = 0 (2) A12 , (2) A22
(2) A11 为2
阵, 则A(2) = L2P2L1P1AQ1Q2.

Gauss 消 去 法
(3) 假定已求出k－1个Gauss变换L1 , L2 , ··· , Lk－1∈Rn×n 和 2(k－1)个初等置换矩阵P1 , P2 , ··· , Pk－1 和 Q1 , Q2 , ··· , Qk－1 ∈Rn×n 使得
则 PAQ = LU， (1.2.1) 其中P, Q为初等置换矩阵, 且可以证明L是单位下三角阵, 并且| lij |≤1. （书P24） (1.2.1)称为A的全主元三角分解 全主元Gauss消去法 全主元三角分解(全主元 消去法) 全主元三角分解 全主元 消去法
定理1.2.1 设A∈Rn×n, 则存在排列矩阵P, Q∈Rn×n 以及 定理 单位下三角阵L∈Rn×n 和U∈Rn×n, 使得 PAQ = LU 且| lij |≤1, U的非零对角元的个数正好等于矩阵A的秩. 算法1.2.1(全主元 全主元Gauss消去法 见P25. 消去法) 算法 全主元 消去法 一些解释： 一些解释 (1) 因需要出所有的Pi , Qi , 全主元三角分解相当于对A做 好所有的行列交换得到PAQ, 再对PAQ应用不选主元 的Gauss消去法进行三角分解. 故不能在实际中进行. (2) 全主元Gauss消去法需要大量的比较, 十分费时. 为此 有列主元 列主元Gauss消去法 即仅在列中找模最大的, 只进 消去法, 列主元 消去法 行行交换.
1.00 2.00 x1 3.00 x = 0.001 1.00 2 1.00 a21 0.001 用算法1.1.3得 l21 = = = 0.001, a11 1.00 0 ˆ 0 1 1 −1 L= , L = L = −0.001 1 0.001 1 0 1.00 2.00 1.00 2.00 ˆ = LA = 1 U = −0.001 1 0.001 1.00 0 1.00