第三章光纤模式理论
光纤通信技术习题
TE偶模式
A cos x x h / 2 k n 2 2 0 1 Ey B exp( x ) x h / 2 2 k0 n2 2 dE y Ey , E y , H z 在界面上连续 在界面上连续 dx
阶跃折射率光纤的单模条件是:归一化频率小于2.4048.
2π 2π 2π 2 2 V a n1 n 2 an1 2Δ aNA 2.4048 λ λ λ
定义截止波长为λc
c 2 aNA / 2.4048
2 n1 NA2 n2 1.456
纤芯折射率 相对折射率差
0.004
光纤纤芯直径 dcore 2.4048c / NA 7.65 m
2. 假设某阶跃折射率分布的光纤，其包层折射率为 1.445，芯子直径8um，要想使得该光纤对1250nm 波长刚好满足单模条件， 1)该光纤的数值孔径是多少？纤芯折射率是多少? 2）对于1550nm和1300nm的光，该光纤最大接 收角是多少？ 3) 如果浸入折射率为n=1.3的液体中，对于1550nm 光，该光纤最大接收角变为多少? 4)对于波长980nm的光是否单模？如果折射率不 变，芯子直径应为多大能使980nm光满足单模条 件？
构成光信号的电磁波各频率分量在光纤中具有不同 传输速度的现象 模间色散：不同模式不同传输速度 光纤色散 材料色散：不同频率不同折射率 波导色散：不同频率不同模场分布 偏振模色散：不同偏振态不同传输速度 为什么会有传输速度的不同?
3、请说明现有单模光纤的主要种类以及它们之间的主要 区别。 G652,G653,G654,G655,主要区别是零色散波长位置 G652 普通单模光纤；零色散波长 1310nm G653 色散位移单模光纤；零色散波长 1550nm G654 截止波长移位单模光纤；零色散波长 1310nm G655 非零色散移位单模光纤；在1550nm窗口色散的 绝对值不为零，非零色散值可以抑制非线性四波 混频对DWDM系统的影响。
西北工业大学_光纤通信作业答案
答案第一章：光纤通信1、什么是光纤通信？光纤通信及系统的组成光纤通信使用光导纤维作为传输光波信号的通信方式。
光纤通信系统通常由电发射机、光发射机、光接收机、电接收机和由光纤构成的光缆等组成。
2、什么事光通信光通信就是以光波为载波的通信。
3、光纤通信的优点？①传输频带宽，通信容量大。
②传输衰减小，传输距离长。
③抗电磁干扰，传输质量好。
④体积小、重量轻、便于施工。
⑤原材料丰富，节约有色金属，有利于环保4、光纤通信的工作波长？光源：近红外区波长：0.8—1.8μm频率：167—375THz5、WDM是指什么？DWDM指什么？WDM：波分复用DWDM：密集波分复用6、光纤从材料上可以分为哪几种？从材料上分为石英光纤、多组份玻璃光纤、氟化物光纤、塑料光纤等7、光纤活动连接器从连接方式来看分为哪几种？常见的插针端面有哪几种？PC、APC、SPC（球面、斜面、超级抛光端面呈球面的物理接触）8、按缆芯结构分，光缆分为哪几种？层绞式、单位式、骨架式、带状式9、光线的制造分哪几个步骤？I 材料准备与提纯II 制棒III 拉丝、涂覆IV 塑套其中制棒分为：（1）MCVD改进的化学气相沉淀法（2）PCVD等离子化学气相沉淀法10、按材料光纤分几种？同611、无源器件的种类连接器、分路器与耦合器、衰减器、隔离器、滤波器、波分复用器、光开关和调制器等第二章：光纤通信的物理学基础1、通过哪些现象可以证明光具有波动性？光的波动性可以从光的干涉、光的衍射和光的偏振等现象证明2、什么叫光电效应？光电效应具有哪些试验规律？由于光的照射使电子从金属中溢出的现象称为光电效应⑴ 每种金属都有一个确定的截止频率γ0，当入射光的频率低于γ0 时，不论入射光多强，照射时间多长，都不能从金属中释放出电子。
⑵ 对于频率高于γ0的入射光，从金属中释放出的电子的最大动能与入射光的强度无关，只与光的频率有关。
频率越高释放出的电子的动能就越大。
⑶ 对于频率高于γ0的入射光，即使入射光非常微弱，照射后也能立即释放出电子。
光纤模式
光纤的模式是能在光纤中传输的光，每一个模式是满足亥姆霍兹方程的一个解单模光纤只能传输一种光，就是平行于轴线的光，而多模光纤则可以传输多种波长的光，根据波长不同，数值孔径不同，等等跟你说的一样，不同的模式就是传输的路径不同，比如下图：光纤是一种将讯息从一端传送到另一端的媒介.是一条玻璃或塑胶纤维,作为让讯息通过的传输媒介。
通常「光纤」与「光缆」两个名词会被混淆.多数光纤在使用前必须由几层保护结构包覆,包覆后的缆线即被称为「光缆」.光纤外层的保护结构可防止周遭环境对光纤的伤害,如水,火,电击等.光缆分为:光纤,缓冲层及披覆.光纤和同轴电缆相似，只是没有网状屏蔽层。
中心是光传播的玻璃芯。
在多模光纤中，芯的直径是15μm~50μm，大致与人的头发的粗细相当。
而单模光纤芯的直径为8μm~10μm。
芯外面包围着一层折射率比芯低的玻璃封套，以使光纤保持在芯内。
再外面的是一层薄的塑料外套，用来保护封套。
光纤通常被扎成束，外面有外壳保护。
纤芯通常是由石英玻璃制成的横截面积很小的双层同心圆柱体，它质地脆,易断裂,因此需要外加一保护层。
光纤通信，是指将要传送的语音、图像和数据信号等调制在光载波上，以光纤作为传输媒介的通信方式1.本征：是光纤的固有损耗，包括：瑞利散射，固有吸收等。
2.弯曲：光纤弯曲时部分光纤内的光会因散射而损失掉，造成的损耗。
3.挤压：光纤受到挤压时产生微小的弯曲而造成的损耗。
4.杂质：光纤内杂质吸收和散射在光纤中传播的光，造成的损失。
5.不均匀：光纤材料的折射率不均匀造成的损耗。
6.对接：光纤对接时产生的损耗，如：不同轴(单模光纤同轴度要求小于0.8μm)，端面与轴心不垂直，端面不平，对接心径不匹配和熔接质量差等。
7.多模光纤：中心玻璃芯较粗(50或62.5μm)，可传多种模式的光。
但其模间色散较大，这就限制了传输数字信号的频率，而且随距离的增加会更加严重。
例如：600MB/KM的光纤在2KM时则只有300MB的带宽了。
光纤模式理论讲义
功率流密度
ey (x, y) C1Jm (U)e jm 0 1 ey (x, y) C 2Km (W)e jm 1
2
a
Pcore 0 d 0 Szrdr
Pclad
2
0 d a Szrdr
Ht
0
ez
Et
hx An 0 0 ey
功率限制因子
Pcore
Pcore Pclad
或者
UJ J
m1 U mU
WKm1 W KmW
0
UJ J
m1 U m U
WK K
m1 W m W
0
四、LPy截止条件 W 0
UJm1 U JmU
WKm1 W KmW
0
WKm1W KmW
0
当m 0时
因为： J0 U 1 所以： UJ1 U 0
J
即, U 0 和J1 U 0
截特征 止方程
远离截 止方程 简并关
系
单模条 件
J1U K1W
UJ0 (U ) WK0 (W )
J0 (U) 0
J1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
Jm (U) 0
J m1U 0
J m1U Km1W
UJm (U ) WKm (W )
m 1
标量模 LP01 LP11
矢量, 模 HE 11
模式总数 2
TE 01, TM 01 HE 21
6
LP02, LP21
HE 12 EH 11 HE 31
12
LP02 , LP31
EH 21 HE 41
16
LP21 , LP31
光模式理论简介
m2
d 2 R 1 dR m 2 R 0 1 dX 2 X dX X 2
E z j0 H z r r j E z H z k c2 E j0 r r k c2 Er j j0 n 2 E z H z k Hr j r r E z j H z k c2 H j0 n 2 r r r
1、光纤结构
涂覆层
包层
纤芯
图 1 光纤横截面结构
图2 不同芯径的光纤
Harbin Engineering University
b 多模光纤
a 单模光纤
图 3 光纤中的光线传输
光纤五要素：纤芯/包层折射率、阶跃型/渐变型、 纤芯/包层直径、数值孔径以及材料
光线在包层和外界环境交界面处有一定 而可以进行传感。
m0
TE模 TM模
' ' J 0 U K 0 W 0 UJ 0 U WK 0 W
' 2 ' n12 J 0 U n2 K 0 W 0 UJ 0 U WK0 W
m 0 且满足弱导近似
' ' J m U K m W 1 1 m 2 2 UJ m U WK m W W U
Harbin Engineering University
主要内容
1、光纤结构 2、模式概念 3、光纤内模式传输的理论分析 4、结论
Harbin Engineering University
2、模式概念
1）模式是指满足亥姆霍兹方程的一个特解，并满足 波导中心有界、在边界趋于无穷时为零等边界条件。
Harbin Engineering University
光纤光学第三章分析
《光纤光学》第三章 阶跃折射§率3.2分阶布跃光光纤纤场解
波动光学 光波导理论逻辑过程
Maxwell方程
波动方程 波导方程 边界条件
t2 k 2 2 e 0 t2 k 2 2 h 0
第13页
E jH H j E
n12 n22
1
n1(2) 2
第4页
《光纤光学》第三章 阶跃折射率分布光纤
SIOF中光线的传播
ni sini n12 n22
导光 条件
n1 / c
最大
光线传播单 位轴向长度
时延差
所花时间为
延时（渡越
时间）
相对折
射率差
子午光线
数值 孔径
zc arccos(n2 / n1)
场的通解 边界条件
模场分布
特征方程
传输常数 场的解
《光纤光学》第三章 阶跃折射§率3.2分阶布跃光光纤纤场解
圆柱波导中场解的描述形式
E iH H i E
E H
x,
y,
z
e h
x,
y
ei
z
E H
r
,
s
n1
1
n1
n12 NAs2 c
•延时差大于子午光线
•极限情况:cos =n2/n1, s,仅反射不传播， 传输带宽比子午光线小
第11页
《光纤光学》第三章 阶跃折射率分布光纤
§3.2 阶跃光纤场解
•阶跃折射率光纤中的场模式 •弱导光纤中的线偏振模 •光波导中模式的普遍性质
光纤模式
光纤的模式是能在光纤中传输的光，每一个模式是满足亥姆霍兹方程的一个解单模光纤只能传输一种光，就是平行于轴线的光，而多模光纤则可以传输多种波长的光，根据波长不同，数值孔径不同，等等跟你说的一样，不同的模式就是传输的路径不同，比如下图：光纤是一种将讯息从一端传送到另一端的媒介.是一条玻璃或塑胶纤维,作为让讯息通过的传输媒介。
通常「光纤」与「光缆」两个名词会被混淆.多数光纤在使用前必须由几层保护结构包覆,包覆后的缆线即被称为「光缆」.光纤外层的保护结构可防止周遭环境对光纤的伤害,如水,火,电击等.光缆分为:光纤,缓冲层及披覆.光纤和同轴电缆相似，只是没有网状屏蔽层。
中心是光传播的玻璃芯。
在多模光纤中，芯的直径是15μm~50μm，大致与人的头发的粗细相当。
而单模光纤芯的直径为8μm~10μm。
芯外面包围着一层折射率比芯低的玻璃封套，以使光纤保持在芯内。
再外面的是一层薄的塑料外套，用来保护封套。
光纤通常被扎成束，外面有外壳保护。
纤芯通常是由石英玻璃制成的横截面积很小的双层同心圆柱体，它质地脆,易断裂,因此需要外加一保护层。
光纤通信，是指将要传送的语音、图像和数据信号等调制在光载波上，以光纤作为传输媒介的通信方式1.本征：是光纤的固有损耗，包括：瑞利散射，固有吸收等。
2.弯曲：光纤弯曲时部分光纤内的光会因散射而损失掉，造成的损耗。
3.挤压：光纤受到挤压时产生微小的弯曲而造成的损耗。
4.杂质：光纤内杂质吸收和散射在光纤中传播的光，造成的损失。
5.不均匀：光纤材料的折射率不均匀造成的损耗。
6.对接：光纤对接时产生的损耗，如：不同轴(单模光纤同轴度要求小于0.8μm)，端面与轴心不垂直，端面不平，对接心径不匹配和熔接质量差等。
7.多模光纤：中心玻璃芯较粗(50或62.5μm)，可传多种模式的光。
但其模间色散较大，这就限制了传输数字信号的频率，而且随距离的增加会更加严重。
例如：600MB/KM的光纤在2KM时则只有300MB的带宽了。
光纤的模式理论2010-10-26
Fx
x
30
圆柱坐标系中的波动方程
j E z H z Er 2 ( r r ) t j E z H z E 2 ( r ) t H j ( H z E z ) r t2 r r H j ( H z E z ) t2 r
此时本征方程可简化为59阶跃光纤中的模式分析本征方程的统一形式heehhetmtelplplp60lmlp模截止值和远离截止值u值lp模截止条件远离截止条件截止远离截止值38317701561017313322404855201865371179149324048552018653711791493383177015610173133238317701561017313325135684171162147901lp02lp03lp04lp05lp11lp12lp13lp14lp15lp21lp22lp23lp24lp25lp61几种低阶模横截面上的光斑图62几种低阶模横截面上的光斑图63几种低阶模横截面上的光斑图64几种低阶模横截面上的光斑图65几种低阶模横截面上的光斑图66几种低阶模横截面上的光斑图6701lp几种低阶模横截面上的光斑图68几种低阶模横截面上的光斑图69模横截面上的光斑图1617lp70几种低阶模的归一化光功率分布01lp21lp11lp左边b09右边b0171he电场磁场四个低阶模式的电磁场矢量结构图横截面上72几个低阶模式的电磁场矢量结构图73多模渐变型光纤的模式特性传输常数传输常数多模渐变型光纤多模渐变型光纤传输常数的普遍公式为g和k前面已经定义了m是模式总数模式总数m是传输常数大于的模式数模式数
根据麦克斯韦方程组和物质方程（无源、各向同性介质中） D H D E ：介电常数 t B H B/ ：磁导率 E t j E H z 可得出 E ( z )
第三章光纤模式理论
n12 n22 2n12
m W 2
Km1 W WKm W
1
n12 n22 2n12
m W2
Km1 W WKm W
2
m
k0n1
2
V UW
4
2
W0 U Vc
lim
W 0
K m1 WK m
W W
1
2m 1
,
m
1
截止时的特征方程
Jm1 Vc Jm Vc
Vc m 1
n2 2 n12 n22
1 r
H r
1 r2
2H
2
2H z 2
k02n j2H
0
j=1, 2 芯层，包层 （r,,z）为柱坐标系 k0 00 2
把E=Er+E+Ez 代入到波动方程，并在柱坐标系下展开 横场 纵场
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02nj2E
0
柱坐标系下，横场满足的方程十分复杂，除Ez 、Hz 外，其它横 向分量都不满足标量的亥姆霍兹方程。因而矢量解法是从解Ez 、 Hz 的标量亥姆霍兹方程入手，再通过场的横向分量与纵向分量 的关系，求其他分量。
对称性的波动方程
光纤的圆对称性
电磁场沿方向为驻波解
Ez Frexp jm exp jz, m 0,1,2,...
2E r 2
1 r
E r
1 r2
2E
2
2E z 2
k02n j2E
0
d 2 F1 dr 2
1 r
dF1 dr
U a
2 2
m2 r2
F1
0, r
光纤光学-第三章概要
波导场方程
第3页
《光纤光学》第Βιβλιοθήκη 章阶跃折射率分布光纤Ｏ
θz 纤壁入射角 n1 n2
n0 sin c n1Sin c
2 n12 n2
ψ
θz 线轴角 Ｏ’
端面入射角
n0
• 通常将 称之为孔径角，它表示光纤集光能力的大小。工 c 程上还用数值孔径来表示这种性质，记作 N.A. 定义为
《光纤光学》第三章 传输容量限制
阶跃折射率分布光纤
返回框图
n1 1 Ln12 T 1 L c sin c cn2 •色散导致的传输光脉冲展宽
1 n2 c T BL 2 B n1
1/B
色散对光纤所能 传输的最大比特 率B的影响可利 用相邻脉冲间不 产生重叠的原则 来确定，即
最大 时延差
子午光线
数值 孔径
入射媒质折射率 与最大入射角的 正弦值之积，只 与折射率有关， 与几何尺寸无关
相对折 射率差
(n n ) / 2n
2 1 2 2 2 1
2 NA ni sin im n12 n2 n1 2
第5页
《光纤光学》第三章 模间色散
阶跃折射率分布光纤
波导方程 边界条件
t2 k 2 2 e 0 t2 k 2 2 h 0
第13页
场的通解 边界条件
特征方程
传输常数
模场分布 场的解
《光纤光学》第三章
阶跃折射率分布光纤 §3.2 阶跃光纤场解
E i H H i E
1 T B
L
T
例如：
第8页
n1 1.5
2 103
光纤应用习题解第1-7章
第一章 光纤光学基础1．详述单模光纤和多模光纤的区别（从物理结构，传播模式等方面）A ：单模光纤只能传输一种模式，多模光纤能同时传输多种模式。
单模光纤的折射率沿截面径向分布一般为阶跃型，多模光纤可呈多种形状。
纤芯尺寸及纤芯和包层的折射率差：单模纤芯直径在10um 左右，多模一般在50um 以上；单模光纤的相对折射率差在0.01以下，多模一般在0.01—0.02之间。
2．解释数值孔径的物理意义，并给出推导过程。
A:：NA 的大小表征了光纤接收光功率能力的大小，即只有落入以m 为半锥角的锥形区域之内的光线，才能够为光纤所接收。
3．比较阶跃型光纤和渐变型光纤数值孔径的定义，可以得出什么结论？A ：阶跃型光纤的NA 与光纤的几何尺寸无关，渐变型光纤的NA 是入射点径向坐标r 的函数，在纤壁处为0，在光纤轴上为最大。
4．相对折射率差的定义和物理意义。
A ：2221212112n n n n n n --D =?D 的大小决定了光纤对光场的约束能力和光纤端面的受光能力。
5．光纤的损耗有哪几种？哪些是其固有的不能避免，那些可以通过工艺和材料的改进得以降低？A ：固有损耗：光纤材料的本征吸收和本征散射。
非固有损耗：杂质吸收，波导散射，光纤弯曲等。
6．分析多模光纤中材料色散，模式色散，波导色散各自的产生机理。
A ：材料色散是由于不同的光源频率所对应的群速度不同所引起的脉冲展宽。
波导色散是由于不同的光源频率所对应的同一导模的群速度不同所引起的脉冲展宽。
多模色散是由于不同的导模在某一相同光源频率下具有不同的群速度所引起的脉冲展宽。
7．单模光纤中是否存在模式色散，为什么？A ：单模光纤中只传输基模，不存在多模色散，但基模的两个偏振态存在色散，称为偏振模色散。
8．从射线光学的观点计算多模阶跃光纤中子午光线的最大群时延差。
A ：设光纤的长度为L ，光纤中平行轴线的入射光线的传输路径最短，为L ；以临界角入射到纤芯和包层界面上的光线传输路径最长，为sin c L f 。
光纤模式
光纤的模式是能在光纤中传输的光，每一个模式是满足亥姆霍兹方程的一个解单模光纤只能传输一种光，就是平行于轴线的光，而多模光纤则可以传输多种波长的光，根据波长不同，数值孔径不同，等等跟你说的一样，不同的模式就是传输的路径不同，比如下图：光纤是一种将讯息从一端传送到另一端的媒介.是一条玻璃或塑胶纤维,作为让讯息通过的传输媒介。
通常「光纤」与「光缆」两个名词会被混淆.多数光纤在使用前必须由几层保护结构包覆,包覆后的缆线即被称为「光缆」.光纤外层的保护结构可防止周遭环境对光纤的伤害,如水,火,电击等.光缆分为:光纤,缓冲层及披覆.光纤和同轴电缆相似，只是没有网状屏蔽层。
中心是光传播的玻璃芯。
在多模光纤中，芯的直径是15μm~50μm，大致与人的头发的粗细相当。
而单模光纤芯的直径为8μm~10μm。
芯外面包围着一层折射率比芯低的玻璃封套，以使光纤保持在芯内。
再外面的是一层薄的塑料外套，用来保护封套。
光纤通常被扎成束，外面有外壳保护。
纤芯通常是由石英玻璃制成的横截面积很小的双层同心圆柱体，它质地脆,易断裂,因此需要外加一保护层。
光纤通信，是指将要传送的语音、图像和数据信号等调制在光载波上，以光纤作为传输媒介的通信方式1.本征：是光纤的固有损耗，包括：瑞利散射，固有吸收等。
2.弯曲：光纤弯曲时部分光纤内的光会因散射而损失掉，造成的损耗。
3.挤压：光纤受到挤压时产生微小的弯曲而造成的损耗。
4.杂质：光纤内杂质吸收和散射在光纤中传播的光，造成的损失。
5.不均匀：光纤材料的折射率不均匀造成的损耗。
6.对接：光纤对接时产生的损耗，如：不同轴(单模光纤同轴度要求小于0.8μm)，端面与轴心不垂直，端面不平，对接心径不匹配和熔接质量差等。
7.多模光纤：中心玻璃芯较粗(50或62.5μm)，可传多种模式的光。
但其模间色散较大，这就限制了传输数字信号的频率，而且随距离的增加会更加严重。
例如：600MB/KM的光纤在2KM时则只有300MB的带宽了。
光纤模式理论
Step Fiber
Index Profile
⎧n1 , r ≤ a (n1 > n2 ) n=⎨ ⎩n2 , a < r < b
(r > a)
阶跃光纤芯区中的场
芯区内场的径向变化 F( r ) 所满足的方程是：
d 2 F 1 dF ⎛ U 2 m 2 ⎞ + + ⎜ 2 − 2 ⎟ F = 0, 2 dr r dr ⎜ a r ⎟ ⎝ ⎠
由于 β ≤ k0n1 时，上述方程的解为：
U 2 = k02 n12 − β 2 a 2 , (r ≤ a )
(
)
d 2 F 1 dF ⎛ m 2 ⎞ + + ⎜1 − 2 ⎟ F = 0 2 dx x dx ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ 当 δ2 < 0 时，作代换 x=δr/a，上述方程成为m阶虚综量Bessel方程的标准形式 d 2 F 1 dF ⎛ m 2 ⎞ + − ⎜1 + 2 ⎟ F = 0 2 dx x dx ⎜ x ⎟ ⎠ ⎝
2⎛ x 1 (m − k − 1)! ⎛ x ⎞ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ln + C ⎟ J m ( x) − ∑ k! π⎝ 2 π k =0 ⎠ ⎝2⎠
m −1
1 N 0 (x) 0 N 1 (x) -1
− m+ 2k
−
⎛ x⎞ L⎜ ⎟ ∑ π k =m ⎝ 2 ⎠ 1
∞
− m+ 2k
N0(x)
2008第3章(光纤模式理论9)
5.1 阶跃折射率光纤的模式场 一、光纤的结构
y
n1 r a nr n2 r a
１，写出光纤的模式场 ２，分析模场场所满足的方程 ３，讨论方程的解
r
n2
b
n1
a
x
４，根据物理含义确定解的形式
５，根据边界条件得到特征方程，进而求出传输常数
一、求解波动方程
１、光纤中的模式场
5.光子晶体光纤：规则排列结构，
（二）按传输模式分
利用非线性实现各种功能（如开关、滤波）作各种器件。 ；单模光纤：外径
多模光纤：外径125 ，芯径 50 125 ，芯径 8～10 。
用 阳 光 照 亮 地 铁
由于地铁建造于地下，其光源完全由电力提供，非常浪费 能源。于是一位名叫Caroline Pham学生就设计出了这样一 套地铁采光系统。它通过收集户外的阳光并用光纤传导到 地下，供给地铁的照明，而且照明墙上还会绘制各种各样 的图画，为冰冷的地铁增添一丝趣味。
根据边界条件： E a E a z1 z2
U kc a k n
2 2 0 1
2 2 1/ 2 0 2
a
2 1/ 2
2 2 V 2 W 2 U 2 a 2 k0 n12 n2
H z1 a H z 2 a
a
V称为归一化频率
E0= A1 J m U A2 K m W H0= B1 J m U B2 K m W
令等式两边等于m2
其解为：
1 2 m2 2
2 2
m 2 0
A cos m B sin m
是实数
2008第3章(光纤模式理论10)
(1)
(2)
TE模式： 特征方程：
Ez=0
E0=0
根据（2）m＝0
K '0 W J '0 U 0 WK 0 (W ) UJ0 (U )
Hz=0 H0=0 根据（1）m＝0
2 n2 K '0 W n12 J '0 U 0 WK 0 (W ) UJ0 (U )
TM模式：
1 0 n12 mE 0 U UH 0 a U H r1 j Jm r J 'm r e jm r a U J m (U ) a a
2
Hr2
2 1 0 n2 mE 0 a W WH 0 W j Km r K 'm r e jm r a W K m (W ) a a 2
J 0 U
TE0n TM0n
2.405
5.520
8.654 U
只有归一化频率V大于归一化截止频率时，才能使W>0，此时才能传输
V Vc
2
a n n
2 1
2 1/ 2 2
2
C
a n n
2 1
2 1/ 2 2
例：直径为8微米，芯区折射率为1.45，相对折射率差0.005， 输入波长为1.55微米，那么能否传输TE02阶模式？ V=2.35
1 0 m H0 a W WE 0 W Er 2 j Km r K 'm r e jm r a W K m (W ) a a
2
1 m E0 U 0UH0 a U E1 j Jm r J 'm r e jm a U J m (U ) r a a 2 1 m E0 a W WH 0 W E 2 j Km r 0 K 'm r e jm a W K m (U ) r a a
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H
q* m
jq
m
p e E
n z
p n
H
q* m
j E
p n
E
q* m
0H
q* m
H (6)
p n
10
模式正交性的证明
t E H E H
q m q m
p q*
（5） （6） *
q p e E H E H m n z m 0 q m p* n p* n
S
q m
H
p* n
E Hq m ds 0
p* n
mn或 pq
0
(n,p)功率的4倍 m=n且p=q
p p* 4P4 1 Re E H e ds n n z 2
11
LP模正交性的证明
q 任意两个线偏振模 np m
考虑弱导光纤中的任意两个模式，满足标量波动方程
完备性 光波导中的模式能完全反映其中的电磁场 任意纵向均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可 以表示为波导内沿±z方向所支持的各导模和辐射模 的迭加。 事实上，这也是本征值方程的重要性质。
3
光场展开
光场展开 任意纵向均匀无损光波导，波导中的电磁场总是可以表 示为波导内沿±z方向所支持的各导模和辐射模的迭加。
Er,,zEr,exp j zexp( jt) E Et e z Ez Hr,,zHr,exp j zexp( jt) H Ht e z H z
纵向均匀波导中的任意两个模式：（m,q）&（n,p）
= t e z z
Maxwell方程
*
N
ECnEnexp jn z
n
模式正交性
H Cn Hnexp jn z
n
q e E H E H m ds 4 mn S0 p, q P n z q m p* n p* n S
物理意义：波导中总 的光功率等于各个模 式光功率之和
光波导中各模式的场分布均有一个待定积分常数（如E0或H0）针 对所研究的问题，这一常数通过适当选取归一化条件确定。常用 的归一化条件是： 1 e (EpH p*Ep*H p)ds=1 n n n 4S z n (1)按“1”归一化 (2)按总功率归一化 1 e (EpH p*Ep*H p)ds=P n n n 6 4S z n
(1) (2) (3) (4)
H （ 1） Eq 4） * m（ p H （ 3） En （ 2） *
p* n q* m
A（ B C） B（ C A）
*
E
t
p q p p p q t Eq j E q m H n j p n q m e z E m H n m E n 0 H n H m (5) * * * p n
波导横截面S积分
2 n
k
2 t n S
2
n2 n n ds C.C.
*
2
二维散度定理
0
0
复共轭，也为0
S
n
ds
标量波动方程 t2 n k 2 n2 n 0
14
2的稳定性的含义
结论： n n n , n2 0 对于场分布的微小变化，2是稳定的 在任意纵向均匀光波导中，由于各种原因所导致 的模式的场分布的微小变化不会对模式的传输特 性造成影响。 在分析纵向均匀光波导中模式的传输特性时，可 以用一个不太准确的近似场分布函数得到较为准 确的模式传输特性。 是光波导近似分析方法（特别是变分法）的基础， 在同一级近似下，模式传输的精确度优于场分布。
q 2 q t2 m k 2 m m 0 (1) 2 t p n 2 2 n p n
0 q q q q q q t m t np* np*t m t np* m 2t np*t np*t m np*2t m =t m
积分遍及整个波导横截面
mn
1, m n 0, m n
1 Re (EpH p*)e ds P n n z 2 s n p p* p* p =1 ez (En Hn En Hn )ds 4S
(n,p)沿z方向传输的光功率
1, p q S0 p , q 0 , p q 1, p q 物理意义
E(u,v, z ) H(u,v, z )
p p C n E n(u,v)exp jp n z Erad n ,p p p C n H n(u,v)exp jp n z H rad n ,p
各模式的激发系数
n＝1,2…不同导模
p=+,-正反向传输的模式
k
2 S
2 n
t n ds
2 n
2
0
S足够大边界上 的电磁场可忽略
S
ds
结论：对于给定的波导结构和工作波长，模式传输常数的 平方可以由相应的模式场分布得到
13
2的稳定性
n2
k
S
2 问题： n n n , n ?
2
2
n t n ds
p* n
p* n
jq
p
整个波导横截面S积分 二维散度定理
q* p S l
Fds Fndl
S l
tEn Hm Em Hn ds En Hm Em Hn ndl
q* q* p
0
S的边界
l的外法线方向
S足够大边界上的电磁场可忽略
q m p n e z E
第三章 光纤模式理论
第一节 阶跃折射率光纤中的场模式
第二节 弱导光纤中的线偏振模
第三节 光波导中模式的普遍性质 第四节 波导横向非均匀性的微扰法处理 第五节 纵向非均匀性与模式耦合方程
1
第三节 光波导中模式的普遍性质
一 模式的完备性和光场展开 二 模式的正交性 三 模式正交性的证明 四 β2的稳定性
p* n p* n
任意纵向均匀无损光波导
q e E H E H m ds 4 mn S0 p, q P n z q m S
弱导光纤
q p* 0 Re m n ds 2 mn S0 p, q P S
三 模式正交性的证明
2
S
2 n
2 n
ds
2
n n n 2 2 2 n n n
2 n
2 n
S
n
n ds k n n t n n ds
2 2 2 S展开忽略二阶小量2
2 2 2 ds k n n n t t n n t n n n n n ds C.C. * * * * S S
q p* Re m n ds 2 mn S0 p, q P 0 S
若重新选择归一化条件，线 偏振模的正交性也常写为：
q p* m n ds mn S
J m Ur a ,r a J U Gm r m K Wr a m ,r a K W m
2 n 2 m q 2 p* 2 2 qq m n n m tm m p p* p * 2 2 q p* 2* p* ntn n tt m nn
k
(2)
（ 1 ）
p* n
q (2) * m
B E t D H t
q q q t Em jq m ez E m j 0 H m q q q t H m jq m ez H m j E m p p p t En jp n ez E n j 0 H n p p p t H n jp n ez H n j E n
8
内容回顾
完备性 光波导中的模式能完全反映其中的电磁场 光场展开 任意纵向均匀无损光波导，波导中的总电磁场可 以表示为波导所支持的各导模和辐射模的迭加 模式的正交性
在纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的 各模式之间不发生能量的交换和耦合 沿正反方向传输的同一个模式也如此！ 波导中总的光功率等于各个模式光功率之和
2 n
2 m
q m S
p* n
ds 0
q p* m n ds mn S
mn或 pq 0
(n,p)功率的2倍 m=n且p=q
12
四 2的稳定性（传输常数与场分布关系）
弱导光波导中，任意线偏振模的横向场n，满足标量波动方程
* n
2 n 2 2 2
模式正交性的物理含义
在任意纵向均匀无损光波导中，模式是相互独立传输的， 互不影响。光场展开式中各模式展开系数的模表示该模式 所携带的光功率的百分比。波导中总的光功率等于各个模 式光功率之和 在任意纵向均匀无损光波导中，各模式之间不发生能量的 交换和耦合，沿正反方向传输的同一个模式也如此！ 正交性存在于任意两个不同模式之间，例如：正反向传输 的同一模式相互正交；导模与辐射模相互正交；任意两个 具有不同β值的辐射模相互正交。
辐射模在其连续谱上的积分
如果只研究在光波导内传导的电磁波，则仅需要进行导模的 迭加。否则应包括对辐射模的积分在内 4
二 模式正交性
m,n 模式序号 q,p 模式传播方向（+，-）