第十七章勾股定理(20201109192829)
第十七章 勾股定理教案{2课时}
第十七章勾股定理单元要点分析教材内容本单元教学的主要内容：本单元教学的主要内容是探索直角三角形的三边之间的关系，并运用所得结论解决问题，而且能根据三角形三边的长，判断这个三角形是不是直角三角形．本单元知识结构图：本单元教材分析：在我国古代，人们将直角三角形中短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，其逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法．教材通过2500年前，毕达哥拉斯的发现来引入直角三角形三边关系，以及通过“赵爽弦图”来引进勾股定理：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方”，这个定理教材利用拼图的方法论证勾股定理存在的合理性．教材介绍了古埃及人做直角的方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结、4个结、5•个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．体现了如果围成的三角形的三边分别为3，4，5，有下面的关系“32+42=52”，那么围成的三角形是直角三角形．从而推出“如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2时，那么这个三角形是直角三角形”这个勾股定理的逆定理．在应用勾股定理时，应强调直角的前提并分清斜边和直角边．注意a、b、c可以取满足于等式的适当数（整数、分数、小数等）．教学目标（三维目标）知识与技能：结合具体的情境，理解和掌握勾股定理和逆定理以及应用．过程与方法：经历探索勾股定理的过程，理解勾股定理的意义以及内涵，掌握其应用方法．情感态度与价值观：以我国古代在勾股定理的研究方面所取得辉煌成就，激发学生的爱国热情，体会勾股定理的应用价值．教学重点本单元教学重点是理解和掌握勾股定理及其逆定理，以及应用．教学难点本单元教学难点是理解勾股定理的推导．教学关键本单元教学关键是通过古今中外的科学家的探究思想，引入勾股定理和逆定理．单元课时划分17．1 勾股定理 2课时17．2 勾股定理的逆定理 1课时复习与交流 1课时单元自测优化设计 1课时教学活动设计17．1 勾股定理第一课时勾股定理（一）教学内容与背景材料本节课主要内容是学习勾股定理及其应用．（课本P72～P76）教学目标知识与技能探索直角三角形三边关系，掌握勾股定理的运用思想，发展几何思维．过程与方法：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识．情感态度与价值观：培养严谨的数学学习的态度，体会勾股定理的应用价值．重难点、关键重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握定理的应用．难点：理解勾股定理的推导过程．关键：通过网格拼图的办法来探索勾股定理的证明过程，理解其内涵．教学准备教师准备：制作投影片，设计好拼图（用纸片制作）：“探究”1、2的教具．学生准备：预习本节课内容．学法解析1．认知起点：已认识几何图形：直角三角形（含等腰直角三角形）．2．知识线索：3．学习方式：采用观察、合作探究、交流的方式理解领会本节课内容．教学过程一、回眸历史，感悟辉煌【显示投影片1】内容1：公元前572～前492年，古希腊著名的哲学家、数学家、•天文学家毕达哥拉斯，他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关系，请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片a），•你能发现什么呢？（图片见课本图P72）．【活动方略】教师活动：操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集），引导学生观察该图片，发现问题．学生活动：观察、听取老师的讲述，从中发现图片a•中含有许多大大小小的等腰直角三角形．内容2：用图片置示学生的发现，引导学生继续发现．教师活动：教师提问：同学们，你能发现课本图18．1-1中的等腰直角三角形有什么性质吗？学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图18．1-1右边的三个正方形SⅠ=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，•即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．教师小结：从图18-1-1，我们发现，等腰直角三角形的三边之间具有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和．教师提问：上面我们研究了等腰直角三角形三边的性质，但是等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？请同学们观察图18．1-2，设定每个小方格的面积均为1，（1）•分别计算图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积；（2）观察其中的规律，你能得出什么结论？•与同伴交流．学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看法．思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积．【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲．二、合作探究，体验发现【问题牵引】猜想：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（命题1）教师活动：介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图（课本P74 图18．1-3），•解释“命题1”的，让学生领悟勾股定理的推理；为了加深学生对勾股定理的理解，•设计下面的“阅读理解”．阅读与填空：（显示投影片3）全世界许多国家的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法．下面介绍的是古希腊数学家欧几里得（公元前330～前275年）给出的证明．为了使读者更好地理解这个证明，并且从中获得提高几何证题能力与思维能力的收获，对证明过程做了一些推想，请读者边阅读，边思考，并完成填空．为了使阅读能够顺利进行，首先来做一项准备工作，即对图的局部做如下分析：图中的四边形BHJC是正方形，作HM⊥AB，交AB的延长线于M，在△CBK与△BHM中，∵BC=BH，∠CBK=∠_____（填∠BHN），∠CKB=∠BMH，∴△CBK≌△BHM（）（填AAS）．• ∴BK=HM．现在来看欧几里得是怎样证明勾股定理的．这位几何大师的出发点，与课本中用拼图方法给出的证明的出发点是相同的：都是把一条线段的平方看作是以这条线段为边的________（填：正方形的面积）．从这样的想法出发，欧几里得是为了证明“a2+b2=c2”，分别以Rt△ABC的三边为边向三角形外作正方形（如图）．欧几里得可能是想到当一条直线从AE所在直线的位置开始，在保持与AE平行的前提下逐步向BD移动时，一定有一个时刻，把正方形ABDE分成的两部分的面积恰好分别等于a和b．上述特殊的位置究竟在何处呢？欧几里得大概是注意到了图形中一个极为特殊的点──点C，决定仔细考虑过点C并且与ED垂直的直线．于是，欧几里得首先引出这样辅助线：过点C作CL⊥ED，交AB于K，交ED于L．下面是这位杰出的数学家在引出上述辅助线后继续进行探索的结晶．连结CH、AH、KD，则由∠ACB=90°及四边形CBHJ知AC∥BH，点A•与点C•到直线BH的距离_______（填：相等），又因为△ABH与△CBH有公共边________（填BH），所以S△ABH=S△CBH（）（填：等底等高面积相等）；再把△ABH看作是以AB•为底的三角形，则其高为_______（填HM），由于AB=_______（填BD），HM=_______•（填：BK），所以，S△ABH=S△BDK（）（等底等高面积相等），∴S△BDK=S△CBH（）（•填：等量代换）．而S△CBH=12a2，S△BDK=12S矩形DBKL，∴a2=S矩形DBKL①同理可证，b2=S矩形AELK②．把①②相加，就得到a2+b2=S长方形DBKL+S长方形AELK，即a2+b2=c2．学生活动：阅读填空，从中吸引勾股定理的证明方法，加深对勾股定理的领悟．【设计意图】“赵爽证法”以教师讲解为主，学生参与分析为辅，让学生形成拼图意识，感受我国科学家的伟大发明，再通过设计“阅读与填空”，拓展学生的知识面，达到加深理解勾股定理的目的．三、联系实际，应用所学【显示投影片4】问题探究1：一个门框的尺寸如课本图形18．1-4所示，一块长3m，宽2.2m•的薄木板能否从门框内通过？为什么？思路点拨：从观察实验可知，木板横着进，竖着进，都无法从门框内通过，因此，尝试斜着通过，而对角线AC或BD是斜着能通过的最大长度．只要测出AC或BD，与木板的宽比较，就能知道木板是否能通过．【活动方略】教师活动：拿出教具：如图18．1-4的木框，几块木板，演示引导学生思考．学生活动：观察、讨论，得到必须应用勾股定理求出木框的斜边AC2=AB2+BC2=12+22=5，AC=5≈2.236，然后以此为尺寸，来判断薄木板能否通过木框，结论是可以！问题探究2：如图18．1-5，一个3cm长的梯子，AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？思路点拨：从BD=OD-OB可以看出，必需先求OB，OD，因此，•可以通过勾股定理在Rt△AOB，Rt△COD中求出OB和OD，最后将BD求出．【活动方略】教师活动：制作投影仪，提出问题，引导学生观察、应用勾股定理，提问个别学生．学生活动：观察、交流，从中寻找出Rt△AOB，Rt△COD，以此为基础应用勾股定理求得OB和OD．【课堂演练】演练题：在Rt△ABC中，已知两直角边a与b的和为pcm，斜边长为qcm，求这个三角形的面积．思路点拨：因为Rt△的面积等于12ab，所以只要求出ab即可，由条件知a+b=p，c=q，•联想勾股定理a2+b2=c2，将几何问题转化为代数问题．由a+b=p，a2+b2=q2求出ab．教师活动：操作投影仪，组织学生演练，以练促思；引导学生进行等式变形．学生活动：先独立思考，完成演练题1，再争取上台演示．解：∵a+b=p，c=q，∴a2+2ab+b2=（a+b）2=p2，a2+b2=q2（勾股定理）∴2ab=p2-q2∴S Rt△ABC=12ab=14（p2-q2）cm2【设计意图】以两个探究为素材，帮助学生应用勾股定理，再通过设置的演练题来灵活学生的思维．四、随堂练习，巩固深化1．课本P76 “练习”1，2．2．【探研时空】（1）若已知△ABC的两边分别为3和4，你能求出第三边吗？为什么？（2）如图，已知：在△ABC，∠A=90°，D、E分别在AB、AC上，你能探究出CD2+BE2=BC2+DE2吗？（提示：BE2+CD2=AD2+AC2+AB2+AE2=（AD2+AE2）+（AC2+AB2）=（DE2+BC2）五、课堂总结，发展潜能1．勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，a2+b2=c2．2．勾股定理适用于任何形状的直角三角形，在直角三角形中，•已知任意两边的长都可以求出第三边的长．六、布置作业，专题突破1．课本P77 习题18．1 1，2，3，4，5．2．选用课时作业优化设计七、课后反思第一课时作业优化设计【驻足“双基”】1．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=________．2．等腰△ABC的腰长AB=•10cm，•底BC•为16cm，•则底边上的高为______，•面积为_____．3．一个直角三角形三条边为三个连续偶数，则它的三边长分别为_______．4．△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，M，N在AB上，且AM=AC，BN=BC，则MN的长为（• ）．A．2 B．26 C．3 D．45．等腰三角形腰长32cm，•顶角的大小的一个底角的4•倍，•求这个三角形的面积_____．【提升“学力”】6．某车间的人字形屋架为等腰三角形ABC，跨度AB=24m，上弦AC=13m，求中柱CD．（D 为底AB的中点）7．如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=•10cm，求EC的长．【聚焦“中考”】8．（1994年天津市中考题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，•且BD=AD=10，∠ADC=60°，求△ABC面积．第一课时作业优化设计（答案）1．13cm 2．6cm；48cm2 3．6、8、10 4．D 5．3．5cm 7．3；8．753 2第二课时勾股定理（二）教学内容与背景材料本节课继续探究勾股定理及其应用（课本P76～P77）教学目标知识与技能：掌握勾股定理在实际问题中的应用．过程与方法：经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法．情感态度与价值观：培养良好的思维意识，发展数学理念，体会勾股定理的应用价值．重难点、关键重点：掌握勾股定理的实际应用．难点：理解勾股定理的应用方法．关键：把握Rt△中的三边关系，充分应用两直角边的平方等于斜边的平方，要注意直角边和斜边的区分．教学准备教师准备：制作投影片，收集并制作补充问题的投影片．学生准备：复习勾股定理．学法解析1．认知起点：在前面已经学习了一些几何知识，以及勾股定理的基础上，•对勾股定理的应用加以理解．2．知识线索：实际问题−−→←−−勾股定理3．学习方式：采用讲练结合的学习方式，注重合作交流．教学过程一、回顾交流，小测评估【课堂小测题】（投影显示）1．填空题（1）等腰三角形中，一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的面积是_______．（•填：）（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=b=2cmm，S△ABC=______（填：2cm）2．选择题（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=∠B，则BC：AC：AB=（A）．A．1：1 B．1：1：2 C．1：1：1 D．以上结论都不对（2）等边三角形面积为8cm，它的边长（D）．A．．cm C．cm D．以上结论都不对【活动方略】教师活动：操作投影仪，组织学生测试，而后讲评，通过讲评，理解勾股定理的应用．学生活动：独立小测，通过小测加深对勾股定理应用的理解．【设计意图】采用“测中反思”的方法，促进学生对知识的理解，发现问题，以利于本节课解决．二、数形结合，应用所学【显示投影片2】问题探究3：大家知道，数轴上的点有些是表示有理数，有些表示无理数，•请你在数（1）•在数轴上找到一点A，使OA=5，（2）过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB=12，（3）•连结OB，（4）以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C【活动方略】教师活动：提出问题．12的点吗？试一试！学生活动：借助课本图18．1-7的点M．【设计意图】拓展勾股定理的应用知识，学会在数轴上作无理数的点．问题探究4：如图，△ABC中，∠B=90°，AC=12cm，BC=4cm，D•在AC•上，•且AD=8cm，E在AB上，且△AED的面积是△ABC面积的14，求AE和DE的长．思路点拨：求AE的长时，可过D 作DE⊥AB于F，可求出DF=23BC=83，•这样先把AF•求出AF=23AB=1632．再由面积公式S△AED=12AE·DF先求出DF=43AE，由S△ADE=14S△ABC=42，求出AE=32，因而EF=732，•应用勾股定理求DE=32．教师活动：操作投影仪，组织学生探究，巡视、引导、启发学生进行思考，•然后请两位学生上台演示，纠正．学生活动：小组合作交流（4人），将所学习的面积、勾股定理应用于该题，•踊跃上台发言，“板演”．三、随堂练习，巩固深化1．课本P77 “练习”1，2．2．【探研时空】（1）已知，如图：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D点，求证：AB2=AD2+2CD2+BD2．（提示：AB2=AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+BD2=AD2+2CD2+BD2）（2）有一正方形ABCD池塘，边长为一丈（3丈=10米），有棵芦苇生在它的中央，高出水面部分有1尺（3尺=1米）长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，•向水深和芦苇长各是多少？（提示：设水深EF=x尺，芦苇EG=（x+1）尺，则EC=（x+1）尺，CF=5尺，通过构建△EFG，再应用勾股定理得（x+1）2=x2+52，求解出x=12尺，这样得到水深12尺，芦苇长为13尺）．四、课堂总结，发展潜能本节课主要学习的内容是：（1）勾股定理的应用，•通过两个“探究”领会勾股定理的应用思想，如可以用来在数轴上描无理数点，可以解决实际情境中的问题等．（2）感受勾股定理的历史．五、布置作业，专题突破1．课本P78 习题18．1 7，8，9，11，12，13．2．选用课时作业优化设计六、课后反思第二课时作业优化设计【驻足“双基”】1．请写出满足勾股定理a2+b2=c2的三组数值______________．2．要登上12m高的建筑物，为完全起见，需要使梯子的底端离建筑物5m，至少需要_______m长的梯子．3．一艘轮船以16海里/•时的速度离开A•港向东南方向航行，•另一艘轮船同时以12海里/时的速度离开A港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距_____海里．4．如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使点C与点A•重合，•则折痕EF的长为（）．A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.775．一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm，则长方形的长是（）．A．2.5cm B．5cm C．25cm D．5cm6．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．【提升“学力”】7．已知，如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC•上任意一点，• 求证：BD2+CD2=2AD2．【聚焦“中考”】8．（2003年贵州省贵阳市中考题）如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响．（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由．（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用数据：•2≈1.4，3≈1.7）第二课时作业优化设计（答案）1．3、4、5，5、12、13，8、15、17 2．13 3．30 4．B 5．C 6．169 7．提示：过A作AE⊥BC于E 8．（1）B处会影响，（2）3.8小时- 11 -。
17.1 勾股定理PPT课件01
不是直角三角形？如果是那么哪一个角是
直角？
(1) a=25 b=20 c=15是 ∠__A_=_900
_(_2_)__a=;13 b=14
_(3_)_a_=_1;b=2 c= 3
c=不15是 ____
_是___ ∠_B_=_9_0_0;
(4) a:b: c=3:4:5
是 ∠ C=900
_____ _____ ;
bc2a2(ca)(ca) a
精品课件
例题分析
勾股定理----理解
八年级下册
例1 在Rt△ABC中,BC=24,AC=7,求AB的长.
∵ Rt△ABC中, ∠C是直角
∴ AC2+BC2=AB2
B
∴ A B A2 C B2 C 22 4 7 26 2 25 5
24 如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=41, BC=40,求AC的长呢？
b B
A 图乙 a
Bb
c C
图甲
SA+SB=SC
A的面积 B的面积 C的面积
图甲 图乙 2.观察图乙，小方格
49
的边长为1.
4 16
⑵正方形A、B、C的
8 25 精品课件 面积有什么关系？
SA+SB=SC C
Aa c b
图甲 B
图乙 a
bc C
SA+SB=SC
3.猜想a、b、c 之间的关系？
a2 +b2 =c2
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3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
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3.猜想a、b、c 之间的关系？ a2 +b2 =c2
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最新人教版数学八年级下册第十七章 -勾股定理
第十七章—勾股定理一、勾股定理1. 概念：如果直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a2+b 2=c 2.2. 公式变形： ①：a2=c 2-b 2,b 2=c 2-a 2②:c=22b a + ,a=22b c - ,b=22a c -勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCBA方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证3.勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题.b acbac cabcab a bccbaED CBA5.勾股定理的常见类型：（1）勾股定理在实际问题中的应用一般情况下，遇到高度、长度、距离、面积等实际问题时，可以构造直角三角形、运用勾股定理求解。
第十七章-人教版勾股定理教案
第十七章勾股定理（一）教材所处得地位1、教材分析：本章就是人教版《数学》八年级下册第17章，本章得主要内容就是勾股定理及勾股定理得应用，教材从实践探索入手，给学生创设学习情境，接着研究直角三角形得勾股定理，介绍勾股定理得逆定理（直角三角形得判定方法），最后介绍勾股定理及勾股定理逆定理得广泛应用。
勾股定理就是直角三角形得一个很重要得性质，反映了直角三角形三边之间得数量关系。
在理论与实践上都有广泛得应用。
勾股定理逆定理就是判定一个三角形就是不就是直角三角形得一种古老而实用得方法。
在“四边形”与“解直角三角形”相关章节中，勾股定理知识将得到更重要得应用。
2、教材特点：①在呈现方式上，突出实践性与研究性。
（对勾股定理就是通过问题引出加以探索认识得。
②突出学数学、用数学得意识与过程，勾股定理得应用尽量与实际问题联系起来。
③对实际问题得选取，注意联系学生得实际生活。
④注意扩大学生得知识面。
（本章安排了两个阅读材料与一个课题学习）⑤注意训练系统得科学性，减少操作性习题，增加探索性问题得比重。
（二)单元教学目标（包括情感目标）知识与技能目标：1、经历由情境引出问题，探索掌握有关数学知识，再运用于实践得过程，培养学数学、用数学得意识与能力。
2、体验勾股定理得探索过程，掌握勾股定理，会运用勾股定理解决相关问题。
3、掌握勾股定理得逆定理（直角三角形得判定方法），会运用勾股定理逆定理解决相关问题。
4、运用勾股定理及其逆宣解决简单得实际问题。
情感与态度目标：5、感受数学文化得价值与中国传统数学得成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化得思想感情。
（三）单元教学重难点教学重点：1、探索勾股定理并掌握勾股定理；2、直角三角形得判定方法（勾股定理得逆定理）；3、勾股定理及其逆定理得应用；教学难点：1、从多个角度（代数、几何）探究勾股定理；2、勾股定理逆定理得应用；3、在勾股定理得应用过程中构造适用勾股定理得几何模型。
（四）单元教学策略1、教学步骤：①整个章节得教学可分四步：探索结论——验证结论——初步应用结论——应用结论解决实际问题。
人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》课件
bA
b c2 a2 22 12 3.
巩固练习
设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
解：由勾股定理得62+b2=102, b=8;
a
（2）已知a=5，b=12，求c；
解：由勾股定理得52+122=c2 , c=13;
（3）已知c=25，b=15，求a. 解：由勾股定理得a2+152=252 , a=20.
x=10;
x
13
（2）由勾股定理得： ∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 =169-25 =144 x=12.
连接中考
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ A ）
A．5
B．6
C．7
D．8
2. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，
那么正方形ABCD的面积为（ B ）
1.求出下列直角三角形中未知的边.
B
B
AC=8 6
C
10
8
15
A
C
A
AB=17
C B
2
C
30° A
B
45° A 2
BC 1，AC 3
BC 2，AC 2
课堂检测
2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8， 则以斜边为边长的正方形的面积为 15 .
3.如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0) 和B(0，4)，求这两点间的距离.
想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食，则它爬行的最短距离
是（ C ）
A．3 1π
B．3
2
C．3
4 π2 2
第十七章勾股定理(教案)2023-2024学年人教版数学八年级下册
6.增强学生的合作交流意识，通过小组讨论和合作解决问题，培养学生的团队协作能力和沟通技巧。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握勾股定理的表述及其在直角三角形中的应用，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b.通过实际案例和练习题，指导学生识别直角三角形的特征，强调在实际问题中如何定位直角三角形，并准确应用勾股定理。
c.对于勾股定理逆定理的理解，教师可以通过构造非直角三角形和直角三角形的对比，让学生通过观察和分析，总结出直角三角形的特性，从而掌握判断方法。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《勾股定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算直角三角形斜边长度的情况？”比如，测量旗杆的高度或者计算建筑物与地面的距离。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索勾股定理的奥秘。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了勾股定理的基本概念、重要性和应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对勾股定理的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的表述及其计算方法。对于难点部分，如定理的证明，我会通过直观的图形演示和逐步的逻辑推理来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
人教版八年级下册课件第十七章勾股定理
（1）
3c5cm 12cm
斜边长 ：
第十七章 勾股定理
第一课时 17.1 勾股定理
课件制作：林国挺 岭南师范学院
1、题中三个正方形面积之间的关系是 两个小正方形的面积之和等于大的正方形面积
2、把上题三个正方形的面积关系， 转化为直角形三边的关系，则得到什么结论？
结等论 于_：__直__斜角__三_边_角__形的__两_平_直__角方__边__的____平____方.___的__和
AB=__2____；若AB=4，BC=2，则AC=__2____．
1．（2018•滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则 弦为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，∴弦 为 =5．故选：A．
2．（2018•枣庄）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于 点F．若AC=3，AB=5，则CE的长为（ ） A． B． C． D．
命题1（勾股定理） 如果直角三角形的
两条直边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b.2=c2
4、赵爽弦图利用了____面___积关系进行勾股定理的证.
5、剪4个全等的直角三角形，拼成如图图形， 其中直角三角形的两直角边分别是a、b，则中间的
b-a 正方形的边长为________，利用面积证明勾股定理.
b，斜边长为c，那么 a2+b. 2=c2
面积 2、赵爽弦图利用了_______关系进行勾股定理的证明.
3、学习反思：_____________________________ ____________________ .
6、如图，等边三角形的边长是6，求： （1）高AD的长； （2）这个三角形的面积.
人教版八年级数学下册第十七章第一节 第1课时 勾股定理
B
解：(1) 据勾股定理得
c a2 b2 52 52 50 5 2. C
A
(2) 据勾股定理得
b c2 a2 22 12 3.
【变式题1】在 Rt△ABC 中， ∠C = 90°. (1) 若 a∶b = 1∶2 ，c = 5，求 a ; (2) 若 b = 15，∠A = 30°，求 a，c. 解：(1) 设 a = x，b = 2x，根据勾股定理建立方程得 x2 + (2x)2 = 52，解得 x 5， ∴ a 5 . (2) ∵A 30°，b 15，∴c 2a . 因此设 a = x，c = 2x，根据勾股定理建立方程得 (2x)2 - x2 = 152，解得 x 5 3 . ∴ a 5 3 ，c 10 3 .
1 4
BC2.
勾股定理
内容 注意
在Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，
b 为直角边，c 为斜边，则有 a2 + b2 = c2.
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边 还是斜边时一定要分类讨论
D
根据三角形面积公式，
3
∴ ∴
1 2
AC×BC
12
CD = 5 .
=
1 2
AB×CD.
C
4
B
归纳 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角
边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联
合使用．
练一练
求下列图中未知数 x、y 的值：
81 x
144
解：由勾股定理可得 81 + 144 = x2，
解得 x = 15.
勾股定理有着悠久的历史：古巴比伦人和古代中国人 看出了这个关系，古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明 了这关系，下面让我们一起来通过视频来了解吧：
第十七章勾股定理
第十七章勾股定理17.2勾股定理的逆定理课时：2课时教学目标：1.复习巩固命题的意义和组成，知道逆命题的意义，会根据原命题写出它的逆命题，知道原命题成立逆命题不一定成立.2.会写出勾股定理的逆命题。
3.知道勾股定理的逆定理，了解勾股定理的逆定理的证明，进一步体会证明的必要性.4.会利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形.教学重点：1.勾股定理的逆命题.2.勾股定理的逆定理及其运用教学难点：1. 勾股定理逆命题的正确性.2. 勾股定理的逆命题的证明.教学方法：讲练结合法，对比，总结，归纳法。
教学工具：直尺，三角板第1课时教学过程：一．导入：如果两直线平行，那么同位角相等.师：这句话是对一件事情的判断，所以这句话叫做命题。
命题一般可以写成“如果，那么”的形式，“如果”后面的部分叫做题设，“那么”后面的部分叫做结论.我们把这个命题的题设和结论交换，这样我们可以得到一个新的命题，同学们试着写出来，这个新的命题叫什么呢？生：如果同位角相等，那么两直线平行.师：题设和结论经过交换，我们把这个命题叫做这个命题的逆命题二．新课：命题2 如果三角形的边长a, b, c满足，那么这个三角形是直角三角形命题1如果直角三角形的两条直角边长分别为a, b,斜边长为c, 那么我们看到，命题2与命题1的题设和结论正好相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
例如：如果把命题1当成原命题，那么命题2是命题1的逆命题。
师：下面我们再来看一个命题：对顶角相等.“对顶角相等”的逆命题怎么写？“对顶角相等”这个命题的逆命题，先要把这个命题写成“如果什么什么，那么什么什么”的样子。
生：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等）师：那么现在写出这个命题的逆命题？生：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角）师：这些命题成不成立.我们知道，命题有真有假，能成立的命题是真命题，不能成立的命题是假命题.“如果两直线平行，那么同位角相等”这个命题成立吗？生：（成立））师：它的逆命题“如果同位角相等，那么两直线平行”成立吗？生：（成立））师：（指准命题）“对顶角相等”这个命题成立吗？生：（成立））师：它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”成立吗？师：（不成立））师：从上述命题的真假可以看出，原命题成立逆命题不一定成立.一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。
八下数学第十七章勾股定理全章课件
在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.
在Rt△MDB′中，MD2＋DB′2=MB′2.
B′
∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝MD2＋DB′2，
即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，
解得x＝2.即AM＝2.
探究新知
方法点拨
折叠问题中结合勾股定理求线段长的方法:
(1)设一条未知线段的长为x(一般设所求线段的长为x)； (2)用已知线段或含x的代数式表示出其他线段长； (3)在一个直角三角形中应用勾股定理列出一个关于x的
D
3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内
通过？为什么？
C 2m
解：如图，连接AC。 在Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC AB2 BC2 12 22
AB
1m
5
5 2.236 2.2
∴木板可以从门框内通过。
巩固练习
如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方 向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离
在Rt△AFD′中，AF2=D′F2+AD′2,
(8-x)2=x2+42， 解得x=3. ∴AF=AB-FB=8-3=5， ∴S△AFC= AF•BC=10．
互逆命题:
两个命题中, 如果第一个命题的题设是第 二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第 二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命 题.
A的面 B的面 C的面
积
积
积
C A
图1
9
9 18
B 图2-1
C A
B 图2-2
图2
4
48
A、B、C 面积关系
SA+SB=SC
直角三角形 两直角边的平方和 三边关系 等于斜边的平方
第十七章《勾股定理》
第十七章《勾股定理》本章主要内容是勾股定理及其逆定理。
首先让学生通过观察得出直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理，然后运用勾股定理解决问题。
在此基础上，引入勾股定理的逆定理，并结合此项内容介绍逆命题、逆定理的概念。
本章安排了两个小节和两个选学内容，教学时间约需8课时，大体分配如下（供参考）：17．1 勾股定理4课时17．2 勾股定理的逆定理3课时小结 1课时一、教科书内容和本章学习目标本章知识结构框图：直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。
本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质。
勾股定理是几何中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大。
它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用。
目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。
据说我国著名数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”，那么他们一定会识别这种“语言”的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义，发现勾股定理，尤其在2000多年前，是非常了不起的成就。
在第一节中，教科书让学生通过观察计算一些直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积与以斜边为边长的正方形的面积的关系，发现两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积，从而发现勾股定理。
勾股定理的证明方法很多，教科书正文中介绍的是一种面积证法。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
在教科书中，图18.1－3（1）中的图形经过割补拼接后得到图18.1－3（3）中的图形。
由此就证明了勾股定理。
部编版2020八年级数学下册 第十七章《勾股定理》教案2 (新版)新人教版
第17章 勾股定理教学目标1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边.2.勾股定理的应用.3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形.重点：掌握勾股定理及其逆定理.难点：理解勾股定理及其逆定理的应用.教学过程一.复习回顾在本章中，我们探索了直角三角形的三边关系，并在此基础上得到了勾股定理，并学习了如何利用拼图验证勾股定理，介绍了勾股定理的用途；本章后半部分学习了勾股定理的逆定理以及它的应用．其知识结构如下：1.勾股定理：(1)直角三角形两直角边的______和等于_______的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有：————————————.这就是勾股定理．(2)勾股定理揭示了直角三角形___之间的数量关系，是解决有关线段计算问题的重要依据． 22222222,,b a c a c b b c a +=-=-=,2222,a c b b c a -=-=．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为________.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状.为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.利用已知三角形的边a,b,c(a 2+b 2=c 2)，先构造一个直角边为a,b 的直角三角形，由勾股定理证明第三边为c,进而通过“SSS”证明两个三角形全等，证明定理成立.3.勾股定理的作用：(1）已知直角三角形的两边，求第三边；(2）在数轴上作出表示n （n 为正整数）的点．勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的.勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直,勾股定理是直角三角形的性质定理，而勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，它不仅可以判定三角形是否为直角三角形，还可以判定哪一个角是直角，从而产生了证明两直线互相垂直的新方法：利用勾股定理的逆定理，通过计算来证明，体现了数形结合的思想．(3)三角形的三边分别为a 、b 、c ，其中c 为最大边，若222c b a =+，则三角形是直角三角形；若222c b a >+，则三角形是锐角三角形；若2<+c b a 22，则三角形是钝角三角形．所以使用勾股定理的逆定理时首先要确定三角形的最大边．二.课堂展示例1：如果一个直角三角形的两条边长分别是6cm 和8cm ，那么这个三角形的周长和面积分别是多少?例2：如图，在四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD ．三.随堂练习1.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A ．7，24，25B ．321，421，521C ．3，4，5D ．4，721，821 2.如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A ．1倍B ．2倍C ．3倍D ．4倍3.三个正方形的面积如图1，正方形A 的面积为（ ）A ． 6B ． 36C ． 64D ． 84.直角三角形的两直角边分别为5cm ，12cm ，其中斜边上的高为（ ）A ．6cmB ．8．5cmC ．1330cm D ．1360cm 5.在△ABC 中，三条边的长分别为a ，b ，c ，a ＝n 2－1，b ＝2n ，c ＝n 2+1(n ＞1，且n 为整数)，这个三角形是直角三角形吗？若是，哪个角是直角？四.课后练习1．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm ，另一只朝左挖，每分钟挖6cm ，10分钟之后两只小鼹鼠相距（ ）A ．50cmB ．100cmC ．140cmD ．80cm2．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当它把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 （ ）A ．8cmB ．10cmC ．12cmD ．14cm3．在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝5，b ＝12，则 c ＝＿＿＿4．等腰△ABC 的面积为12cm 2，底上的高AD ＝3cm ，则它的周长为＿＿＿．5．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为＿＿＿． 6．一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm ，则它的面积是＿＿。
人教版初中数学八年级下册第十七章勾股定理17.1.1勾股定理说课稿
3.教师评价：针对学生的表现，给予积极的反馈和鼓励，指出学生的不足之处，并提出改进建议。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一定数量的基础习题，让学生巩固勾股定理的计算方法。
2.提高作业：设计一些拓展性题目，让学生运用勾股定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
1.主要内容：左侧包括勾股定理的定义、勾股数；中间部分展示勾股定理的证明过程、例题及解题步骤；右侧部分呈现本节课的总结和勾股定理应用时的注意事项。
2.风格：板书采用简洁明了的字体，用不同颜色粉笔区分重点、难点和关键步骤，以增强视觉效果。
3.作用：板书在教学过程中的作用是引导学生关注教学重点，帮助学生理清知识结构，便于复习和回顾。
3.技术工具：电子白板、几何画板等，方便学生直观地观察和操作几何图形，提高课堂互动性。
（三）互动方式
为实现师生互动和生生互动，我计划设计以下环节：
1.师生互动：在课堂提问环节，教师引导学生思考问题，学生回答问题，教师给予反馈和指导。
2.生生互动：将学生分成小组，进行合作探究、讨论。在小组内，学生共同分析问题、解决问题，相互交流想法，达成共识。
2.小组讨论：组织学生进行小组讨论，共同解决实际问题，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
3.实践活动：让学生分组测量学校周围建筑物中的直角三角形，计算其边长，并验证勾股定理。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施：
1.自我评价：让学生回顾本节课的学习内容，进行自我评价，总结自己在学习过程中的收获和不足。
在课程体系中，勾股定理的学习是在学生已经掌握了直角三角形的基本概念、三角形面积计算以及相似三角形的基础上展开的。通过本节课的学习，学生将对直角三角形有更深入的理解，为后续学习平面几何中与直角三角形相关的内容奠定基础。
第十七章 勾股定理-最新人教版八年级
B
设直角三角形的斜边长为c ,由勾股定理知
122+162=c2 c=20 ，即正方形F边长为20 同理可得， 正方形G的边长为15 故直角三角形的两直角边分别为20，15，设它
AH
F
C GD
K
的斜边长为k，由勾股定理知
202+152=K2
E
K=25
正方形E的边长为25，S正方形E=25×25=625
第 1 课时
复习旧知
问题 回忆勾股定理的内容．
勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
题设（条件）：直角三角形的
形
两直角边长为a，b，斜边长为c ．
结论：a2+b2=c2．
数
学习目标
学习目标：
1．理解勾股定理的逆定理，经历“观察－测量－猜想－论 证”的定理探究的过程，体会“构造法”证明数学命题的 基本思想；
人教版八年级下册
第十七章 勾股定理
CONTEN
目T录
1、勾股定理 2、勾股定理的逆定理
17.1 勾股定理
第 1 课时
情景导入
国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术 会议．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会．如 图就是大会的会徽的图案．
你见过这个图案吗？ 它由哪些基本图形组成？
引入新课
那么梯子底端B也外移0.5米吗？
跟踪练习：教科书第26页练习2．
讲授新课
问题探究 如果知道平面直角坐标系坐标轴上任意 两点的坐标为（x，0），（0，y），你能求这两点之间 的距离吗？
讲授新课
今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，
适与岸齐．问水深、葭长各几何？
人教版八年级数学下册第十七章勾股定理
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm
第十七章
知识点1 知识点2
第1课时 勾股定理的认识
知识要点基础练 综合能力提升练 拓展探究突破练
-14-
利用勾股定理表示无理数 3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=1,AB在数轴上,以A为圆心,AC长为半径作弧,交 数轴的正半轴于点M,则M点表示的数为( B )
∴AB= ������������ 2 -������������ 2 = 22 -12 = 3 cm.
第十七章
第1课时 勾股定理的认识
知识要点基础练 综合能力提升练 拓展探究突破练
-10-
13.如图,△ABC中,CD⊥AB于点D.若AD=2BD,AC=3,BC=2,求BD的长. 解:设BD=x,则AD=2x, 由勾股定理得CD2=AC2-AD2=BC2-BD2,
A.5 C.4
B. 13 D.3
第十七章
知识点1 知识点2
第1课时 勾股定理的认识
知识要点基础练 综合能力提升练 拓展探究突破练
-5-
已知直角三角形的两边求第三边 3.若一直角三角形两边长分别为5和12,则第三边长为( B ) A.13 B.13或 119 C.13或15 D.15 【变式拓展】一直角三角形的三边分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为( D ) A.13 B.5 C.4 D.13或5 4.如图,在△ABC中,∠B=∠C,AD平分∠BAC,AB=5,BC=6,则AD=( B )
即
32-(
2x
)2=22-x2,解得
15 . 3
x=Biblioteka 15 ( 3舍负 ),
即 BD 的长为
14.在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若c-a=4,b=12,求a,c. 解:在△ABC中,∠C=90°,∴a2+b2=c2, ∵c-a=4,b=12, ∴a2+122=( a+4 )2,解得a=16, ∴c=20.
第十七章勾股定理
四、教学过程
例5、在某段限速公路BC上(公路视为直线)，交通管理部门规 定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h，并在离该公路100 m处设置了一个监测点A.在如图的平面直角坐标系中，点A位 于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向 上，点C在点A的北偏东45°方向上．另外一条公路在y轴上， AO为其中的一段． (1)求点B和点C的坐标； (2)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用的时间是15 s，通过计
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的应用
目录
课前回顾 教学目标 教学重难点 教学过程 课堂小结
一、课前回顾
Байду номын сангаас、教学目标
掌握勾股定理，能用勾股定理解决某些简单 的实际问题
三、教学重难点
教学重点：掌握勾股定理，能用勾股定理解 决某些简单的实际问题
教学难点：熟练勾股定理，并用他们的特征 解决问题
讨论
张大爷家屋前9米远有一棵大树，在一次强风中，这棵大树从离地面6米 处折断，量的倒下部分长10米，大树倒下时能砸到张大爷家的 房子吗？
四、教学过程
四、教学过程
例2、一海轮以24n mile／h的速度从港口A出发向东南方向航 行，另一海轮以18n mile／h的速度同时从港口A出发向西南 方向航行，离开港口2h后，两海轮之间的距离为（B）.
算，判断该汽车在这段限速路上是否超速。
五、课堂小结
这节课我么们学习了什么内容？ 你有什么收获？ 你还有什么疑问吗？
六、作业
课后习题1. 随堂练习1.3.
谢谢观看
A. 84n mile C. 48n mile
第17章 勾股定理
第17章 勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形； （2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2．点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2=（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.a b c（图1） （1）（2） （3）点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2,点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得 132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）． 例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( )A ．a 3B ．a )21(+C ．3aD ．a 5 解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a 5a )a 2(AB 222==+=故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示10的点．解析：根据在数轴上表示无理数的方法，需先把10视为直角三角形斜边的长，再确定出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：以10为斜边的直角三角形的两直角边可以是3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，再用圆规在数轴上作出长为10的线段即可．下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用∙ ∙AB C图3⑵∙ ∙AB图3⑴例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．OA 1 OA 2OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①.由题意，得 (b-a)2=1 ②.由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用 （一）求边长例1： 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB＝90º，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD⊥AB 于D ，求CD 的长. .（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A 中含有__________个小方格， 即A 的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a ，b ，c （如图）；②，.③成立.（三）作线段 例3 作长为、、的线段．解析： 作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB （如图）； 2．以斜边AB 为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB 1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB 2B 3，这时斜边AB 、AB 1、AB 2、AB 3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB 中， ∵AB>0， ∴AB=．其他同理可证．点评 由勾股定理，直角边长为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边长为、1的直角三角形的斜边长就是．类似地也可作出……；将上图无限地向两个方向画下去就可得到“勾股树”，请你试试看． （四）证明平方关系例4： 已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠=∠90C E ，AD 是BC 边上的中线，AB DE ⊥于E ，求证：222BE AE AC -=.解析： 根据勾股定理，在ACD Rt ∆中，222CD AD AC -=， 在ADE Rt ∆中，222DE AE AD +=，在BDE Rt ∆中，222BE BD DE -=，∴22222222CD BE BD AE CD DE AE AC --+=-+=.又∵CD BD =，∴222BE AE AC -=.AB DCE点评 证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件. （五）实际应用例5： 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220千米B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ， 则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离 在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110. 由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响． 故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时， 该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时. （3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”． 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．分析 由斜边长是2，周长是2+6，易知两直角边的和是6，又由勾股定理可知两直角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握．解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：2222,226a b a b ⎧+=⎪⎨++=+⎪⎩即224,6.a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2，∴12ab=12． ∴S=12．因此，这个三角形的面积为12．练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．BA C D2-12．已知：长方形ABCD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=2，AD ≠DC ，长方形ABCD 的面积为S ，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长．3．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ） A ．1：2：4 B ．1：3：5 C ．3：4：7 D ．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析 图形沿EF 折叠后A 、C 重合，可知四边形AFED ′与四边形CFED 全等，则对应边、角相等，∴AF=FC ，且FC=AE ，则△ABF ≌△AD ′E ，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．①②解：∵图形沿EF 折叠后A 、C 重合， ∴四边形AFED ′与CFED 关于EF 对称， 则四边形AFED ′≌四边形CFED ． ∴∠AFE=∠CFE ．∴AF=FC ，∠D ′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD ′． ∵AD ∥BC ，∴∠AEF=∠EFC ． ∴∠AEF=∠AFE ． 则AE=AF ．∴Rt △ABF ≌Rt △AD ′E ． 在Rt △ABF 中，∵∠B=90°，∴AB 2+BF 2=AF 2．设BF=x ，b 2+x 2=（a-x ）2，∴x=222a b a-．∴S=2S △ABF =2×12bx=2×12·b ·222a b a -=22()2b a b a-．练习21．如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m ，当梯子的顶部A 向下滑0.4m 到A ′时，梯子的底部向外移动多少米？2-43．如图2-5，长方形ABCD 中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C 点与A 点重合，•则折叠后痕迹EF 的长为（ ）A ．3.74B ．3.75C ．3.76D ．3.772-2-22-3例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．2-7练习41．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 2-b 2，试判断△ABC 的形状． 先阅读下列解题过程：解：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4， ①∴c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）． ②∴c 2=a 2+b 2． ③ ∴△ABC 为直角三角形． ④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________； （2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC 的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD的长．3．如图2-9，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．例5 如图2-10，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长． 分析 若作AE ⊥BC 于E ，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD 是Rt•△ADC 的直角边． ∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程． 解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ， ∴BE=EC=12BC=12×32=16． 在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12．设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2，在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202．∴144+x 2=（16+x ）2-202解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．练习51．如图2-12，△ABC 中，∠C=90°，M 是BC 的中点，MD ⊥AB 于D ．求证：AD 2=AC 2+BD 2．2-122-102-112．如图2-13，AB ⊥AD ，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm ，底面是正方形，边长为2cm ，现有绳子从A 出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14 勾股定理及应用答案:练习11．24（提示：利用勾股定理即可求出）2．长方形的对称轴有2条，要分别讨论：（1）以A 、B 为对称点（如图）∵S=AB ×BC ，AB=2，∴BC=AD=2S．根据对称性得DF=12AB=1．由于∠D=90°，据勾股定理得： AF=22214S AD DF +=+=1224S +（2）以A 、D 为对称点（如图）∴BF=12BC=4S ．由∠B=90°，据勾股定理得： AF=222416S AB BF +=+=21644S +． 3．D练习21．214（提示：利用Rt △ABE 的勾股定理即可求出） 2．0.8m 3．B练习31．B 2．AF ⊥EF （提示：连结AE ，设正方形的边长为a ，则DF=FC=2a ，EC=4a ，在Rt △ADF 中，由勾股定理得： AF 2=AD 2+DF 2=a 2+（2a ）2=54a 2． 同理：在Rt△ECF 中，EF 2=（2a ）2+（4a ）2=516a 2， 在Rt△ABE 中，BE=34a ，则AE 2=a 2+916a 2=2516a 2． ∵54a 2+516a 2=2516a 2，∴AF 2+EF 2=AE 2．∴∠AFE=90°． ∴AF ⊥EF ． 3．A （点拨：利用勾股定理的逆定理来判定）练习41．（1）③、④（2）△ABC 为直角三角形或等腰三角形．2．∵AC 2+BC 2=52+122=132=AB 2，∴∠C=90°．将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，C 的对称点为E （如图） ∴CD=DE ， AC=AE=5．则△ACD ≌△AED ． 又BE=AB-AE=8．设CD 为x ，则x 2+82=（12-x ）2．解之得x=103． ∴AD 2=52+（103）2． ∴AD=5133． 3．过点C 作CE ⊥CP ，并截CE=CP=2，连结PE ，BE ．（如图） ∵∠ACB=∠PCE=90°，∴∠ACB-∠PCB=∠PCE-∠PCB ．即∠ACP=∠BCE ． ∴△PCA ≌△ECB （SAS ）．∴BE=AP=3．在Rt △PCE 中， PE 2=PC 2+CE 2=8．又∵BP 2=1，BE 2=9，∴BE 2=BP 2+PE 2．∴△PBE 是直角三角形，其中∠BPE=90°在Rt △PCE 中，PC=CE ，∴∠CPE=∠CEP=45°．∴∠BPC=∠CPE+∠BPE=45°+90°=135°．练习51．连结AM ．∵M 为CB 的中点， ∴CM=MB ．又∵AC 2=AM 2-CM 2，BD 2=BM 2-MD 2，∴AC 2+BD 2=AM 2-MD 2．又∵AD 2=AM 2-DM 2，∴AD 2=AC 2+BD 2．2．36（提示：连结BD ，利用勾股定理及逆定理即可求出）．3．5cm （提示：将该长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面， 连结AC （如图），此时线段AC 的长度即为最短距离．∴AC=223(22)++=5（cm ）．。
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第十七章勾股定理
17.1勾股定理
第1课时勾股定理
二驹学旦匣
【知识与技能】
了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程
【过程与方法】
在探索勾股定理的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合思想，学会与人合作并能与他
人交流思维的过程和探究结果，体验数学思维的严谨性
【情感态度】
1. 通过对勾股定理历史的了解，感受数学的文化，激发学习热情
2. 在探究活动中，体验解决问题的多样性，培养学生合作交流意识和探索精神
【教学重点】
探索和证明勾股定理•
【教学难点】
用拼图的方法证明勾股定理•
'教学里程
一、情境导入，初步认识
2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，
被誉为数学界的“奥运会”•这就是本届大会会徽的图案（教师出示图片或照片）
（1）你见过这个图案吗？
（2）你听说过“勾股定理”吗？
【教学说明】学生欣赏图片时，教师应对图片中的图案进行补充说明：这个图案是我国汉代
数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被誉为“赵爽弦图”•通过对图片的观察，为学生积
极主动投入到探索活动中创设情境，为探索勾股定理提供背景材料
二、思考探究，获取新知
毕达哥拉斯是古希腊著名数学家•相传在2500年前，他在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺
成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系•请你也观察一下类似的图案（教材P22
图形），你有什么发现？
【教学说明】教师与学生一道分析教材P22图17.1-2，右边的三个正方形及直角三角形是从左边的等腰三角形的图案中截取出来的，将大正方形沿对角线分成四个小直角三角形，再把
两个小正方形沿竖直对角线分成两个小直角三角形，从而可发现其中特征.
【归纳结论】等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和•问题等腰直角三角形三边
的关系特征是否也适用于其它的直角三角形呢？请同学们继续观察P23图17.1-3 ,运用割补法分别计算正方形A、B C和正方形A'、B'、C'的面积，看看它们之间有什么关系？
【教学说明】让学生自主探究或相互交流探寻出正方形C和C'的面积，教师巡视，针对学
生的认知方法引导学生选用不同的方法得出它们各自的面积•一方面，正方形C的面积为：
52-4X Z X 2 X 3=25-12=13;另一方面也有正方形C的面积为：4X ? X 2X 3+1=13,而这两
种方法都可以从图中直接获得，同样可得到正方形C'的面积为34.
通过观察上述问题的探讨，若将直角三角形的两直角边记为a,b，斜边为c,则应有a2+b2=c2, 即直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方•上述结论我们都是通过特例而获得的，
是否对所有的直角三角形都能成立呢？有没有办法来证明呢？
做一做
将一张白纸对折，再对折，然后随意画一个直角三角形，用剪刀沿画线裁出四个全等的直角
三角形，在较大直角边处标记b，较短直角边处标记a，斜边标记c，然后按图示方式拼图.
(1)中间小正方形边长是多少？它的面积呢？
(2)你能由大正方形的面积的两种不同计算方法探讨出三角形三边a、b、c的数量关系吗? 不妨试试看.
【教学说明】通过动手操作，可激发学生学习兴趣，并在解决问题过程中体验探究的乐趣和成功的快乐，在快乐中学习，增长知识
最后师生共同探讨：
1
S大正方形=c2=4X 2 X a X b+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2.
即a2+b2=c2.
有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
教师简要阐述：现有记载的证明勾股定理的方法多达数百种，前面我们利用的面积法证明勾
股定理的方法实际上是我国古人赵爽的证法，所拼成的图案称为“赵爽弦图”
三、运用新知，深化理解
1. 你能利用如图所示的图形来证明勾股定理吗？不妨试试看，并与同伴交流
2•你能用勾股定理解决下面的问题吗？
(1 )在Rt A ABC中，/ ACB=90°, AC=7, BC=24,试求斜边AB 的长；
(2)在Rt A ABC中，/ ACB=90°, AB=10, BC=6,试求直角边AC 的长.
【教学说明】这两道题先由学生自主完成，然后由教师进行评讲
【答案】1.解：S 梯形=(a+b) • (a+b) • 2 =( a2+b2+2ab) • 2 ,
1111
又S 梯形=2 ab+2ab+?c2=2 ( 2ab+c2),
综上a2+b2= c2.
有：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
2. 解：(1)由勾股定理有：在Rt A ABC 中，AB2=AC2+BC2 即AB= 25.
(2)由勾股定理有：在Rt A ABC中，AB2=AC2+BC2
即AC2= AB2-BC2, /• AC= 8.
四、师生互动，课堂小结
这节课你有哪些收获？你还能想到一些证明勾股定理的方法吗？与同伴交流
1. 请查阅资料或上网，收集一些证明勾股定理的方法，并与同伴交流
2. 完成练习册中本课时练习.
新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲的要求不同，新课程标准对勾股定理这部
分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单的问题•勾股定理是中
学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，既是直角三角形性质
的拓展，也是后续学习“解直角三角形”的基础•它紧密联系了数学中两个最基本的量一一
数与形，能够把形的特征(三角形中一个角是直角)转化成数量关系(三边之间满足a2+b2=c2),堪称数形结合的典范，在理论上占有重要地位.另外八年级学生已具备一定的分
析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法•但是学生在用割补方法和用面积计算
方法证明几何命题的意识和能力方面存在障碍，对于如何将图形与数有机的结合起来还很陌
生.基于以上三点的原因，本节课教学应把学生的探索活动放在首位，一方面要求学生在教师引导下自主探索，合作交流；另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，从而教给学生探求知识的方法，教会学生获取知识的本领。