专题十一 几何证明之三角形中作辅助线造全等 2020年中考数学冲刺难点突破 几何证明问题(原卷版)
2020年九年级中考数学专题复习：全等三角形 常见辅助线题型 总结(含解析)
【例 3】 如图， BC BA ， BD 平分 ABC ，且 AD CD ，求证： A C 180 .
【解析】过 D 作 DM ∥ AC 交 AB 于点 M ，易证△AME ≌ DEM ，AM ED 。显然△BDM ≌△FDG ，BM GF ， 结论成立。
【答案】如图
7
【例 14】 如图，在△ABC 内存在一点 P ，求证： AB AC BP CP
所以结论成立。
【例 7】 如图在△ABC 中， C 90，AC BC，AD DB，AE CF 。求证： DE DF .
【答案】连接 CD ， A DCF 45 ，所以△AED ≌△CFD ，所以 DE DF
4
【例 8】 如图， AB AC ，∠A 90，AE CF，BD DC .求证： FD ED
【解析】略 【答案】过 C 作 AD 的垂线交 AD 延长线于 F ，△BCE ≌△DCF BE DF
△EAC ≌△FAC AE AF，所以AE AD DF AD BE
二、倍长中线（线段）造全等 【例 5】 已知，如图△ABC 中， AB 5 ， AC 3 ，则中线 AD 的取值范围是_________.
【解析】延长 AD 至 E 使 AD DE ，连接 BE .利用三角形三边关系 【答案】 2 AD 8
3
【例 6】 如图，△ABC 中， E、F 分别在 AB、AC 上， DE DF ， D 是中点，试比较 BE CF 与 EF 的大小. 【解析】略 【答案】延长 FD 至 G 使 DG DF ，所以有△GED ≌△FED 和△BDG ≌△CDF ，所以 CF BG ，GE EF 。
2024八年级上《全等三角形》常见辅助线作法总结
全等三角形是初中数学中的重要概念，掌握全等三角形的判断和性质是解决三角形问题的关键。
常用的辅助线作法可以帮助我们更好地理解和应用全等三角形的知识。
下面将对2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法进行总结。
一、三角形内部的辅助线作法：1.外切圆：对于一个三角形，可以在它的外面作出三个外接圆，然后通过外接圆的协调定理来判断和证明两个三角形全等。
2.角平分线：对于一个角，可以作出它的角平分线，然后利用角平分线的性质来判断和证明两个三角形全等。
3.中位线：对于一个三角形，可以连接它的两个顶点和中点，得到两条中位线。
根据中位线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
4.高线：对于一个三角形，可以分别作出它的三条高线，然后根据高线的性质来判断和证明两个三角形全等。
5.角高线和中线：对于一个锐角三角形，可以连接其中一个角的顶点和对边的中点，得到一条角高线和一条中线。
根据角高线和中线的性质，可以判断和证明两个三角形全等。
二、三角形外部的辅助线作法：1.外接圆和割线：对于一个三角形，可以通过外接圆和割线的性质来判断和证明两个三角形全等。
2.正弦定理和余弦定理：对于一个三角形，可以通过正弦定理和余弦定理来判断和证明两个三角形全等。
3.对称性和重叠法：对于一个三角形，可以利用对称性和重叠法来判断和证明两个三角形全等。
4.平移法和旋转法：可以通过平移法和旋转法来判断和证明两个三角形全等。
以上仅是2024八年级上《全等三角形》常见的辅助线作法的总结，实际问题中可能还会有其他的辅助线作法。
在解决三角形问题时，选择合适的辅助线作法可以简化问题，提高解题效率。
同时，还需要对全等三角形的基本知识进行深入理解和掌握，不仅要掌握判断全等三角形的条件，还要熟练运用全等三角形的性质和定理。
初中三角形中做辅助线的技巧及典型例题
三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
与角有关的辅助线 （一）、截取构全等如图1-2，AB3 C 知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
3.已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过FH 21知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，作FC图2-6ECD图2-7DBAD 为∠ABC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。
分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。
例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长交AE 于M 。
求证：AM=ME 。
分析：由A D 、A E 是∠B A2121图4-1AB已知，如图，∠C=2∠A ，AC=2BC 2．已知：如图，AB=2AC ，∠1=∠2，DA=DB ，求证：DC ⊥AC3．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD4．已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+ADC A BABCD AE BDA BDC 1 2 图3-2BC二、 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。
2020年北京市中考数学考点之三角形辅助线
2020年北京市中考数学考点之三角形辅助线三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，平行于x轴的直线与函数y1＝ax（a＞0，x＞0），y2＝bx（b＞0．x＞0）的图象分别相交于A、B两点，且点A在点B的右侧，在X轴上取一点C，使得△ABC的面积为3，则a﹣b的值为（）A．6 B．﹣6 C．3 D．﹣32．下列运算正确的是（）A．﹣（a3）2＝a5B．a2+a2＝a4C．212-⎛⎫⎪⎝⎭=4 D．|3﹣2|＝3﹣23．如图是由5个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是（）A．B．C．D．4．如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠DCB=90°，E、F分别是BD、AC的中点，AC=6，BD=10，则EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．75．从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )m．A．2 B．4 C．6 D．86．小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a元，白色珠子每个b元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费（）A.(3a+4b)元B.(4a+3b)元C.4(a+b)元D.3(a+b)元7．转动A 、B 两个盘当指针分别指向红色和蓝色时称为配紫色成功。
辅导资料：全等三角形问题中常见的辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种:1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” •2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”•3）遇到角平分线，能够自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明. 这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.特殊方法：在求相关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答.一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中，AB=5 AC=3则中线AD的取值范围是 _______ .例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.例3、如图，△ ABC中，BD=DC=A,E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.应用:1、( 09崇文二模)以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt ACE，BAD CAE 90 ,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE 的位置关系及数量关系.(1)如图① 当ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是____________________ ,线段AM与DE的数量关系是 ____________ ;(2)将图①中的等腰Rt ABD绕点A 沿逆时针方向旋转(0< <90)后，如图②所示，(1) 问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.二、截长补短1 如图，ABC 中，AB=2AC AD平分BAC，且AD=BD 求证：CDL AC2、如图, AC// BD, EA,EB 分别平分/ CAB,/ DBABAC 60，CD过点E,求证;AB =AC+BDC 400，P，Q分别在BC, CA上，并且AP, 求证：A C 1800C3、如图，已知在§ABC内,4、QAB C5、如图在△ ABC 中，AB> AC, / 1 = Z 2, P 为 AD 上任意一点，求证；AB-AC > PB-PC应用:如虱在四边Jg AltCD 申点丘毘皿上一个动点.若乙疗朋二血・R肚"叭判斷J/J > MC *-j 恥的关系幷征期你的结i:、平移变换 例1 ADABC 的角平分线，直线 MN L AD 于A.E 为MN 上一点，△ ABC 周长记为P A,△ EBC 周长记为P B .求证P B > P A .例2如图，在△ ABC 的边上取两点 D E ,且BD=CE 求证：AB+AOAD+AE.四、借助角平分线造全等1如图，已知在厶 ABC 中，/ B=60°,A ABC 的角平分线 AD,CE 相交于点 0,求证：0E=0D(1)说明BE=CF 的理由；(2)如果AB=a , AC=b ，求AE 、BE 的长.2、如图，△ ABC 中，AD 平分/ BACDGL BC 且平分 BC, DE I AB 于 E , DF 丄 AC 于 F.BDFN应用：1如图①，0P 是/ MON 的平分线，请你利用该图形画一对以0P 所在直线为对称轴的全等三角形。
全等三角形证明题中常见的辅助线的作法
全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连. 要证线段倍与半，延长缩短可试验.三角形中两中点，连接则成中位线. 三角形中有中线，延长中线等中线.1。
等腰三角形“三线合一"法:遇到等腰三角形,可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3。
角平分线在三种添辅助线4。
垂直平分线联结线段两端5。
用“截长法"或“补短法"：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6。
图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度,可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60—90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30—60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变ED F CB A换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转" 法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1)可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．(2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
三角形全等证明常见做辅助线方法
三角形全等证明常见做辅助线方法一、遇到三角形中线时常见的辅助线若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形。
（倍长中线法或“旋转”全等）1、如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。
（三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半）2、已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。
3、如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE.C二、遇到角平分线时常见的辅助线1.角平分线上点向角两边作垂线构造全等 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等的性质来证明问题。
（作垂线）2.截取构造全等（截长法、补短法）如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
ADBC图1-1B3.延长垂线段（延长法）遇到垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，构成等腰三角形。
4.作平行线①、以角平分线上一点作角的另一边的平行线，构造等腰三角形，图4-1。
②、通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线相交，从而也构造等腰三角形，图4-2。
图4-2图4-1ABCBIG4、已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC上的点，∠FAE=∠DAE 。
求证：AF=AD+CF 。
5、已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD6、已知：如图在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 是∠ABC 的平分线，求证：BC=AB+AD三、截长补短法（适合于证明线段的和、差、倍、分等类题目）截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相 等（截取----全等----等量代换）图2-6ECDABCD AEBDC补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换）①、对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。
2020年中考数学几何辅助线大全及常考题型
2020年中考数学几何辅助线作法及常考题型解析初中数学辅助线本资料涵盖内容1、初中数学作辅助线方法2、初中数学作辅助线注意事项3、初中数学作辅助线例题大全4、对应练习题一、辅助线在中考中的地位在中考题目中，辅助线的考察主要以解答题形式出现，分值高，决定着你数学成绩的高低。
对于几何题来说，这是一个难点，考查的是你对知识点一个全面的理解，当然也是有技巧的，下面就是针对作辅助线的方法进行详细介绍，只要你能把我文章中的方法掌握，完成相应的训练题，几何题绝不会失分，你的数学成绩就会比别人高。
二．添辅助线有二种情况：1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
完整版)全等三角形常用辅助线做法
完整版)全等三角形常用辅助线做法证明三角形全等时，有时需要添加辅助线，对于初学几何证明的学生来说，这往往是一个难点。
下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们研究时参考。
一、截长补短当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法。
具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
例如，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB。
要证明AC=AE+CD，因为AE、CD不在同一直线上，所以在AC上截取AF=AE，只要证明CF=CD即可。
具体证明过程为：在AC上截取AF=AE，连接OF。
由于AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°，因此∠1+∠2=60°，∠4=∠6=∠1+∠2=60°。
显然，△AEO≌△AFO，因此∠5=∠4=60°，∠7=180°－（∠4+∠5）=60°。
在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC，因此△DOC≌△FOC，CF=CD，所以XXX。
另一个例子是在图甲中，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。
要证明CD=AD+BC。
因为结论是CD=AD+BC，可以考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证明DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。
具体证明过程为：在CD上截取CF=BC，如图乙，因此△XXX≌△BCE（SAS），∴∠2=∠1.又因为AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∴∠DCE+∠XXX°，∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°，∴∠3=∠4.在△FDE与△ADE中，∴△XXX≌△ADE（ASA），∴DF=DA，因此CD=DF+CF，∴XXX。
三角形证全等辅助线技巧
CABA证全等辅助线技巧一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1、如图，ABC ∆中，AB =2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD =BD ，求证：CD ⊥AC例2、如图，AD ∥BC ， AE , BE 分别平分∠DAB ,∠CBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD +BC例3、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。
求证：BQ +AQ =AB +BPBBAD OECBA例4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A例5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB －AC ＞PB －PC例6、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．例7、如图，点M 为正三角形ABD 的边AB 所在直线上的任意一点(点B 除外)，作60DMN ∠=︒，射线MN 与DBA ∠外角的平分线交于点N ，DM 与MN 有怎样的数量关系?NDF EDCBA变式练习：如图，点M 为正方形ABCD 的边AB 上任意一点，MN DM 且与ABC ∠外角的平分线交于点N ，MD 与MN 有怎样的数量关系？例8、如图所示．已知正方形ABCD 中，M 为CD 的中点，E 为MC 上一点，且∠BAE =2∠DAM ．求证：AE =BC +CE ．例9、已知：如图，ABCD 是正方形，∠F AD =∠F AE .求证：BE +DF =AE .M E D CB ANCDEBMACEDB ADNMCBANM DCBA例10、如图所示，ABC ∆是边长为2的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN∆的周长． 变式练习如图所示，ABC ∆是边长为4的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．例11、五边形ABCDE 中，AB =AE ，BC +DE =CD ，∠ABC +∠AED =180°，求证：DA 平分∠CDE例12、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E是AB上一个动点，若∠B=600，AB=BC，且∠DEC=60O,判断AD+AE与BC的关系并证明你的结论。
2020年北京市中考数学考点之三角形辅助线
2020年北京市中考数学考点之三角形辅助线三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．一元二次方程x 2﹣x+2=0的根的情况是（ ）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根2．下列命题，是真命题的是( )A ．菱形的对角线相等B ．若|a|＝|b|，那么a ＝bC ．同位角一定相等D ．函数y ＝11x +的自变量的取值范围是x≠﹣1 3．安居物业管理公司对某小区一天的垃圾进行了分类统计，如图是分类情况的扇形统表，若一天产生的垃圾的为300kg ，估计该小区一个月（按30天计）产生的可回收垃圾重量约是（ ）A.900kgB.105kgC.3150kgD.5850kg4．北京气象部门测得冬季某周内七天的气温如下：3，5，5，4，6，5，7（单位：℃），则这组数据的平均数和众数分别是（ ）A ．6，5B ．5.5，5C ．5，5D ．5，45．若关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2﹣2x+1＝0有实数根，则整数a 的最大值为（ ）A ．0B ．﹣1C ．1D ．26．已知函数：①y=2x ；②()2y=-x<0x ；③y=3-2x ；④()2y=2x +x x 0≥，其中，y 随x 增大而增大的函数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 7．若方程4x 2+（a 2﹣3a ﹣10）x+4a ＝0的两根互为相反数，则a 的值是（ ）A ．5或﹣2B ．5C ．﹣2D ．非以上答案8．下列各式变形中，正确的是（ ）A ．()2x =xB ．2(1)(1)1x x x ---=- C ．x x x y x y =--++ D ．22131=x+-24x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 9．已知a ，b ，c 满足a+c=b ，4a+c=-2b ，抛物线y=ax²+bx+c（a ＞0）过点A （-12，y 1），B （3，y 2,）C （3，y 3），则y 1，y 2，y 3的大小关系为（ ）A.y2＜y1＜y3B.y3＜y1＜y2C.y2＜y3＜y1D.y1＜y2＜y310．定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把点A叫做“整点”．如：B（3，0）、C（﹣1，3）都是“整点”．抛物线y＝ax2﹣2ax+a+2（a＜0）与x轴交于点M，N两点，若该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，则a的取值范围是（）A．﹣1≤a＜0 B．﹣2≤a＜﹣1 C．﹣1≤a＜12-D．﹣2≤a＜011．如图是某市一天内的气温变化情况，则下列说法中错误的是( )A．这一天的最高气温是24CB．从2时至14时，气温在逐渐升高C．从14时至24时，气温在逐渐降低D．这一天的最高气温与最低气温的差为14C12．若一个多边形的内角和等于1620°，则这个多边形的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题13．如图，抛物线y＝ax2﹣1（a＞0）与直线y＝kx+3交于MN两点，在y轴负半轴上存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称，则点P的坐标是_____14．根据下表中的二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数的对应值y，可判断二次函数的对称轴是直线_____．x …﹣1 0 1 2 …y …﹣174-﹣274-…15．一个多边形的内角和与外角和之差为720︒，则这个多边形的边数为______.16．已知代数式x2﹣4x﹣2的值为3，则代数式2x2﹣8x﹣5的值为_____．17．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为_____．18．分解因式：3x2﹣6x﹣9＝_____．三、解答题19．随着信息技术的快速发展，人们购物的付款方式更加多样、便捷．某校数学兴趣小组为了解人们最喜欢的付款方式设计了一份调查问卷，要求被调查者选且只选其中一种你最喜欢的付款方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题：（1）这次活动共调查了人；在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角的度数为；（2）补全条形统计图；（3）在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种付款方式中选一种方式进行付款，请用树状图或列表法求出两人恰好选择同一种付款方式的概率．20．直觉的误差：有一张8cm×8cm的正方形纸片，面积是64cm2．把这些纸片按图1所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是梯形．把剪出的4个小块按图2所示重新拼合，这样就得到了一个13cm×5cm 的长方形，面积是65cm2，面积多了1cm2，这是为什么？小明给出如下证明：如图2，可知，tan∠CEF＝83，tan∠EAB＝52，∵tan∠CEF＞tan∠EAB，∴∠CEF＞∠EAB，∵EF∥AB，∴∠EAB+∠AEF＝180°，∴CEF+∠AEF＞180°，因此A、E、C三点不共线．同理A、G、C三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了1cm2（1）小红给出的证明思路为：以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线．请你帮小红完成她的证明；（2）将13cmx13cm的正方形按上述方法剪开拼合，是否可以拼合成一个长方形，但面积少了1cm2？如果能，求出剪开的三角形的短边长；如果不能，说明理由．21．如图，已知点D 在反比例函数m y x=的图象上，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点B （0，2），过点A(32-,0)的直线y ＝kx+b 与y 轴于点C ，且BD ＝2OC ，tan ∠OAC ＝23． （1）求反比例函数m y x =的解析式； （2）连接CD ，试判断线段AC 与线段CD 的关系，并说明理由；（3）点E 为x 轴上点A 左侧的一点，且AE ＝BD ，连接BE 交直线CA 于点M ，求tan ∠BMC 的值．22．如图，一架无人机在点A 处悬停，从地面B 处观察无人机的仰角是α，从楼顶C 处观察无人机的仰角是β．已知B 、AE 、CD 在同一平面内，BD ＝115 m ，楼高CD ＝50 m ，求无人机的高度AE ．（参考数据：2tan 2,sin 0.89,tan ,sin 0.553ααββ=≈=≈．）23．计算：()02(32)48sin 45︒+-+24．已知锐角△ABC ，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，交AD 于F ．（1）求证：△BDF ≌△ADC ；（2）若BD ＝4，DC ＝3，求线段BE 的长度．25．如图，某校准备给长12米，宽8米的矩形ABCD 室内场地进行地面装饰，现将其划分为区域Ⅰ（菱形PQFG ），区域Ⅱ（4个全等的直角三角形），剩余空白部分记为区域Ⅲ；点O 为矩形和菱形的对称中心，OP AB ，2OQ OP =，12AE PM =，为了美观，要求区域Ⅱ的面积不超过矩形ABCD 面积的18，若设OP x =米.甲乙丙单价（元/米2）2m5n2m（1）当83x=时，求区域Ⅱ的面积.（2）计划在区域Ⅰ，Ⅱ分别铺设甲，乙两款不同的深色瓷砖，区域Ⅲ铺设丙款白色瓷砖，①在相同光照条件下，当场地内白色区域的面积越大，室内光线亮度越好.当x为多少时，室内光线亮度最好，并求此时白色区域的面积.②三种瓷砖的单价列表如下，,m n均为正整数，若当2x=米时，购买三款瓷砖的总费用最少，且最少费用为7200元，此时m=__________，n=__________.【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C D C C D C C A D B D C二、填空题13．(0,-5)14．x=1．15．816．517．1或1118．3（x﹣3）（x+1）．三、解答题19．(1) 200；72°；(2)见解析；（3）1 3【解析】【分析】（1）用选用“微信”、“支付宝”、“银行卡”的人数总和除以它们所占的百分比得到调查的总人数；用选用支付宝的人数的百分比乘以360度得到在扇形统计图中，表示“支付宝”付款的扇形圆心角的度数；（2）分别计算出选用微信、银行卡的人数，然后补全条形统计图；（3）画树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一种付款方式的结果数，然后利用概率公式求解．【详解】解：（1）（50+45+15）÷（1﹣15%﹣30%）＝200，所以这次活动共调查了200人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数＝360°×40200＝72°；故答案为200；90°；（2）如图，使用微信支付的人数：200×30%＝60（人）使用银行卡支付的人数：200×15%＝30（人），（3）画树状图如下：共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一种付款方式的结果数为3，所以两人恰好选择同一种付款方式的概率＝39＝13．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．20．(1) 见解析；(2) 5cm【解析】【分析】(1)以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在Rt△EFC中，求出EC的长，在直角梯形ABFE中，求出AE长，若A、E、C三点共线，则在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC长，比较AC与AE+EC的大小即可得出结论；(2)设剪开的长方形短边长为xcm，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案.【详解】(1)以B为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，在Rt△EFC中，EC＝223873+=，在直角梯形ABFE中，过点E作EM⊥AB，则四边形BFEM是矩形，∴BM=EF=3，∴AM=5-3=2，∴AE ＝225229+=，若A 、E 、C 三点共线，则在Rt △ABC 中，AC ＝()22558194++=， ∵1947329≠+，∴A 、E 、C 三点共线不共线，∴所以拼合的长方形内部有空隙；(2)设剪开的长方形短边长为xcm ，根据题意可得：(13﹣x)(13+13﹣x)＝13×13﹣1，∴x 2﹣39x+170＝0，∴x ＝5或x ＝34(舍)，∴可以拼成成一个长方形，但面积少了1cm 2，剪开的三角形的短边长是5cm.【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质，正方形性质，一元二次方程的应用等，综合性较强，熟练掌握相关知识是解题的关键. 21．（1）y ＝4x ；（2）AC ⊥CD ．理由见解析；（3）tan ∠BMC ＝2． 【解析】【分析】(1)由A 点坐标可求得OA 的长，再利用三角函数的定义可求得0C 的长，可求得C 、D 点坐标，再利用待定系数法可求得直线AC 的解析式；(2)由条件可证明△AOC ∽△COK ，再由角的和差可求得∠OCA+∠OCK ＝90°，可证得AC ⊥CD ；(3) 作BH ⊥CM 于H ．把A 点,E 点代入解析式可得M （﹣6313268，），求出CM ＝211326 ，BM ＝96526再利用S △BCM 求出BH 即可解答 【详解】（1）∵A （﹣32 ，0），B （0，2）， ∴OA ＝32，OB ＝2， ∵tan ∠OAC ＝23OC OA =，∴OC＝1，BC＝3，∵BD＝2OC，∴BD＝2，∵BD⊥BC，∴B（2，2），把B（2，2）代入y＝mx中，得到m＝4，∴反比例函数的解析式为y＝4x．（2）如图，设CD交x轴于K．∵OK∥BD，∴OC OK CB BD=，∴132OK =，∴OK＝23，∵OC＝1，OA＝32，∴OC2＝OA•OK，∴OC OKOA OC=，∵∠AOC＝∠COK，∴△AOC∽△COK，∴∠OAC＝∠OCK，∵∠OAC+∠OCA＝90°，∴∠OCA+∠OCK＝90°，∴∠ACK＝90°，∴AC⊥CD．（3）如图，作BH⊥CM于H．∵A（﹣32，0），C（0，﹣1），∴直线AC的解析式为y＝﹣23x﹣1，∵AE＝BD＝2，∴OA＝2+32＝72，∴E（﹣72，0），∵B（0，2），∴直线BE的解析式为y＝47x+2，由463272628-1313y x xy x y⎧⎧=+=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩解得，∴M（﹣6313 268，），∴CM ＝211326，BM ＝96526，∵S△BCM＝12×3×6326＝12×211326×BH，∴BH ＝91313，∴MH ＝22913 26BM BH-=，∴tan∠BMC ＝9131391326BHMH=＝2．【点睛】此题为反比例函数综合题，利用好勾股定理和三角形相似是解题关键22．m【解析】【分析】过点C作CF⊥AE，垂足为F，首先在Rt△ACF中求出AF和FC的关系，进而设FC=3x，则AF=2x，BE=115-3x，在Rt△ABE中，求出AE和BE的关系，进而求出x的值，即可求出AE的长度．【详解】解：如图，过点C作CF⊥AE，垂足为F，根据题意可得FC＝ED，EF＝CD＝50．在Rt△ACF中，∠AFC＝90°，∠ACF＝β，∵tanAFFC β=，∴ AF＝FC·tanβ＝23 FC．设FC＝3x，则AF＝2x，BE＝115－3x．在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，∠ABE＝α，∵tanAEBE α=，∴ AE＝BE·tanα＝2BE．∴ 50＋2x＝2(115－3x)．解得 x＝22.5．∴ AE＝50＋45＝95．答：无人机的高度AE为95 m．【点睛】本题考查仰角俯角的定义，要求学生能借助仰角俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度一般．23．8【解析】【分析】根据二次根式的运算法则和特殊锐角三角函数值进行计算.【详解】原式3434431=++-+=8【点睛】考核知识点：含有特殊锐角三角函数值的运算.24．（1）见解析；（2）BE＝285.【解析】【分析】（1）由题意可得AD=BD，由余角的性质可得∠CBE=∠DAC，由“ASA”可证△BDF≌△ADC；（2）由全等三角形的性质可得AD=BD=4，CD=DF=3，BF=AC，由三角形的面积公式可求BE的长度.【详解】解：（1）∵AD⊥BC，∠ABC＝45°∴∠ABC＝∠BAD＝45°，∴AD＝BD，∵DA⊥BC，BE⊥AC∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°∴△BDF≌△ADC（ASA）（2）∵△BDF≌△ADC∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC∴BF＝22BD DF+＝5∴AC＝5，∵S △ABC ＝12×BC×AD＝12×AC×BE ∴7×4＝5×BE∴BE ＝285. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，利用三角形面积公式可求BE 的长度.25．（1）8m 2;（2）68m 2;(3) 40，8【解析】【分析】（1）根据中心对称图形性质和,OP AB ,12OM AB =,12AE PM =可得42x AE -=,即可解当83x =时，4个全等直角三角形的面积；（2）白色区域面积即是矩形面积减去一二部分的面积，分别用含x 的代数式表示出菱形和四个全等直角三角形的面积，列出含有x 的解析式表示白色区域面积，并化成顶点式，根据04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯，求出自变量的取值范围，再根据二次函数的增减性即可解答； （3）计算出x=2时各部分面积以及用含m 、n 的代数式表示出费用，因为m,n 均为正整数，解得m=40，n=8.【详解】（1） ∵O 为长方形和菱形的对称中心，OP AB ，∴142OM AB == ∵12AE PM =，OP PM OM +=，∴42x AE -= ∴当83x =时，41223AE -==，21124468223II S AM AE m =⨯⋅=⨯⨯⨯= （2）∵()2211442422I S OP OQ x x x m =⨯⋅=⨯⋅=，()214(246)2II S AM AE x m =⨯⋅=- ∴I III I I S AB BC S S =⋅--=-()22234672474.254x x x m ⎛⎫++=--+ ⎪⎝⎭， ∵04OP <<，06OQ <≤，1968II S ≤⨯ ∴040261246968x x x ⎧⎪<<⎪<≤⎨⎪⎪-≤⨯⎩解不等式组得23x ≤≤，∵40a =-<，结合图像，当34x ≥时，III S 随x 的增大而减小. ∴当2x =时， III S 取得最大值为()2242627268m -⨯+⨯+= （3）∵当2x =时，S Ⅰ=4x 2=16 m 2，246II S x =-=12 m 2，III S =68m 2，总费用:16×2m+12×5n+68×2m=7200,化简得：5n+14m=600,因为m,n均为正整数，解得m=40，n=8.【点睛】本题考查中心对称图形性质，菱形、直角三角形的面积计算，二次函数的最值问题，解题关键是用含x的二次函数解析式表示出白色区面积.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A.∠C=∠DB.∠CAB=∠DBAC.AC=BDD.BC=AD2．如图，过△ABC内任一点P，作DE∥BC，GF∥AC，KH∥AB，则DE GF KHBC AC AB++=（）A.1B.43C.2D.833．若关于x的不等式组27412x xx k++⎧⎨-⎩＜＜的解集为x＜3，则k的取值范围为（）A.k＞1B.k＜1C.k≥1D.k≤14．如图，将△ABC绕C顺时针旋转，使点B落在AB边上的点B′处，此时，点A的对应点A′恰好落在BC边的延长线上，则下列结论中错误的是（）A.∠BCB′＝∠ACA′B.∠ACB＝2∠BC.B′C平分∠BB′A′D.∠B′CA＝∠B′AC5．小明的生日礼盒如图所示，它的主视图是（）A．B．C ．D ．6．如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村.若要保持公路CE与从A村到B村的方向一致，则应顺时针转动的度数为（）A．50°B．75°C．100°D．105°7．估计372-的值应在( )A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和9之间8．如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是OA的中点，连接BE并延长交AD于点F，已知S△AEF＝3，则下列结论：①1=2AFFD；②S△BCE＝30；③S△ABE＝9；④△AEF∽△ACD，其中一定正确的是（）A．①②③④B．①③C．②③④D．①②③9．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A.20°B.35°C.40°D.70°10．某城市轨道交通线网规划2020年由4条线路组成，其中1号线一期工程全长30千米，预计运行后的平均速度是原来乘公交车的1.5倍，行驶时间则缩短半小时．设原来公交车的平均速度为x千米/时，则下列方程正确的是（）A．30301.50.5x x+=B．30301.50.5x x-=C．30300.51.5x x+=D．30300.51.5x x-=11．如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E、F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE＝8，BF＝6，AD＝10，则EF 的长为（）A ．4B ．72C ．3D ．5212．若抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴两个交点间的距离为6，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线开口向上，对称轴为直线x ＝2，且通过（1，y 1），（3，y 2），（﹣1，y 3），（﹣3，y 4）四点，则y 1，y 2，y 3，y 4中为正数的是（ ）A ．y 1B ．y 2C ．y 3D ．y 4二、填空题13．如图，在菱形ABCD 中，AB ＝BD ，点E 、F 分别是线段AB 、AD 上的动点（不与端点重合），且AE ＝DF ，BF 与DE 相交于点G ．给出如下几个结论：①△AED ≌△DFB ；②∠BGE 大小会发生变化；③CG 平分∠BGD ；④若AF ＝2DF ，则BG ＝6GF ；23BCDG S CG =四边形⑤．其中正确的结论有_____（填序号）．14．在每个小正方形的边长为1的网格中，有等腰三角形ABC ，点,,A B C 都在格点上，点D 为线段BC 上的动点.(Ⅰ)AC 的长度等于_____；(Ⅱ)当35AD DC +最短时，请用无刻度．．．的直尺，画出点D ，并简要说明点D 的位置是如何找到的(不要求证明)___________.15．甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1500米，当甲超出乙200米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y （米）与乙出发的时间x （秒）之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙跑了_____ 米．16．如果将抛物线y ＝2x 2向左平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式为____．17．已知关于x 的不等式2x ﹣m+3＞0的最小整数解为1，则实数m 的取值范围是_____．18．如图，在平面直角坐标系中，点B 在y 上，OA AB =,反比例函数()0k y x x=>的图像经过点A ，若ABO ∆的面积是4，则k 的值为___.三、解答题19．为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某县政府部门决定，招标一工程队负责完成一座水库的土方施工任务．该工程队有A ，B 两种型号的挖掘机，已知1台A 型和2台B 型挖掘机同时施工1小时共挖土80立方米，2台A 型和3台B 型挖掘机同时施工1小时共挖土140立方米．每台A 型挖掘机一个小时的施工费用是350元，每台B 型挖掘机一个小时的施工费用是200元．（1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时各挖土多少立方米？（2）若A 型和B 型挖掘机共10台同时施工4小时，至少完成1360立方米的挖土量，且总费用不超过14000元．问施工时有哪几种调配方案？且指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用多少元？20．核电站第3号反应堆发生了爆炸．为了抑制核辐射进一步扩散，东电公司决定向6号反应堆注水冷却，铀棒被放在底面积为100m 2、高为20m 的长方体水槽中的一个圆柱体桶内，如图1所示，向桶内注入流量一定的水，注满后，继续注水，直至注满水槽为止(假设圆柱体桶在水槽中的位置始终不改变)． 水槽中水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系如图2所示(铀棒的体积忽略不计)．(1)若圆柱体的体积为Vm 3，则将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量是多少？(用含V 的式子表示)；(2)求圆柱体的底面积；(3)若圆柱体的高为9m ，求注水的速度及注满水槽所用的时间．21．如图，在⊙O 中，点D 是⊙O 上的一点，点C 是直径AB 延长线上一点，连接BD ，CD ，且∠A ＝∠BDC ．（1）求证：直线CD 是⊙O 的切线；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD，BD于点M，N，当DM＝2时，求MN的长．22．已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC．（1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD；（2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝°时，AB∥CD；（3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD；（4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD．23．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式．（2）已知点（m，k）和点（n，k）在此抛物线上，其中m≠n，请判断关于t的方程t2+mt+n＝0是否有实数根，并说明理由．24．在一次数学课上，李老师对大家说：“你任意想一个非零数，然后按下列步骤操作，我会直接说出你运算的最后结果．”操作步骤如下：第一步：计算这个数与1的和的平方，减去这个数与1的差的平方；第二步：把第一步得到的数乘以25；第三步：把第二步得到的数除以你想的这个数．（1）若小明同学心里想的是数8，请帮他计算出最后结果：[（8+1）2﹣（8﹣1）2]×25÷8（2）老师说：“同学们，无论你们心里想的是什么非零数，按照以上步骤进行操作，得到的最后结果都相等”小明同学想验证这个结论，于是，设心里想的数是a（a≠0），请你帮小明完成这个验证过程．25．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，（1）作出△APC的PC边上的高；（2）若∠2＝51°，求∠3；（3）若直尺上点P处刻度为2，点C处为8，点M处为3，点N处为7，求S△BMN：S△BPC的值．【参考答案】***一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C C D A C A B B D A D二、填空题13．①③④．14．5取格点,E F，连接EF交BC于点D.15．145016．y＝2（x+3）2．17．3≤m＜518．三、解答题19．(1) 每台A型挖掘机一小时挖土40立方米，每台B型挖掘机一小时挖土20立方米;(2) 当m＝7时，即选择方案: 调配7台A型、3台B型挖掘机施工时，w取得最大值，最大值为12200元【解析】【分析】（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，根据“1台A型和2台B型挖掘机同时施工1小时共挖土80立方米，2台A型和3台B型挖掘机同时施工1小时共挖土140立方米”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设有m台A型挖掘机参与施工，施工总费用为w元，则有（10﹣m）台B型挖掘机参与施工，由4小时至少完成1360立方米的挖土量且总费用不超过14000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，进而可得出各调配方案，再由施工总费用＝每台挖掘机所需费用×调配台数×工作时间，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米，依题意，得：280 23140 x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：4020 xy=⎧⎨=⎩．答：每台A型挖掘机一小时挖土40立方米，每台B型挖掘机一小时挖土20立方米．（2）设有m台A型挖掘机参与施工，施工总费用为w元，则有（10﹣m）台B型挖掘机参与施工，∵4小时至少完成1360立方米的挖土量，且总费用不超过14000元，∴()()404204101360 350420*********m mm m⎧⨯+⨯-≥⎪⎨⨯+⨯-≤⎪⎩，解得：7≤m≤10．∴共有四种调配方案，①调配7台A型、3台B型挖掘机施工；②调配8台A型、2台B型挖掘机施工；③调配9台A型、1台B型挖掘机施工；④调配10台A型挖掘机施工．依题意，得：w＝350×4m+200×4（10﹣m）＝600m+8000，∵600＞0，∴w的值随m的增大而增大，∴当m＝7时，即选择方案①时，w取得最小值，最小值为12200元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．20．(1)5V；(2)圆柱体的底面积为20m2；(3) 注水速度为10m3/s，注满水的时间为200s．【解析】【分析】（1）由函数图象及已知可计算出将水槽中的水注入至与圆柱体等高时所需水量为90V÷18．（2）当注水18s时，圆柱体刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是hm，这时水的体积为100h，据100h＝90×118Sh，求出S；（3）由已知其速度为Sh18，再由10t＝100×20，求出时间t．【详解】(1)90V÷18＝5V．(2)设圆柱体的底面积为Sm2，高为hm．100h＝90×118Sh，S＝20，即圆柱体的底面积为20m2(3)若h＝9，则注水速度为Sh18＝118×20×9＝10m3/s所以，10t＝100×20，得t＝200(s)即注满水的时间为200s．【点睛】此题考查的是一次函数的应用，关键是由已知和函数图象，列算式求解．21．（1）见解析；（2）MN＝22.【解析】【分析】（1）如图，连接OD．欲证明直线CD是⊙O的切线，只需求得∠ODC＝90°即可；（2）由角平分线及三角形外角性质可得∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，根据勾股定理可求得MN的长．【详解】（1）证明：如图，连接OD．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即∠A+∠ABD＝90°，又∵OD＝OB，∴∠ABD＝∠ODB，∵∠A＝∠BDC；∴∠CDB+∠ODB＝90°，即∠ODC＝90°．∵OD是圆O的半径，∴直线CD是⊙O的切线；（2）解：∵CM平分∠ACD，∴∠DCM＝∠ACM，又∵∠A＝∠BDC，∴∠A+∠ACM＝∠BDC+∠DCM，即∠DMN＝∠DNM，∵∠ADB＝90°，DM＝2，∴DN＝DM＝2，∴MN＝22＝22．DM DN【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、角平分线的性质及勾股定理，熟练掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径是解本题的关键．22．（1）见解析；（2）当∠NCE＝80°时，AB∥CD；（3）当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD；（4）当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD.【解析】【分析】（1）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=75°，即可求结论．（2）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=100°，再根据AB∥CD，可求∠NCE的度数（3）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=180°-∠MAE+2∠FEG，再根据AB∥CD，可求其关系．（4）由题意可得AB∥EF，根据平行线的性质，角平分线的性质可得角的数量关系，可求∠FEC=∠MAE+2∠FEG-180°，再根据AB∥CD，可求其关系．【详解】证明（1）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15°∴∠AEG＝60°∵EG平分∠AEC∴∠AEG＝∠CEG＝60°∴∠CEF＝75°∵∠ECN＝75°∴∠FEC＝∠ECN∴EF∥CD且AB∥EF∴AB∥CD（2）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140°∴∠AEF＝40°∵∠FEG＝30°∴∠AEG＝70°∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG＝70°∴∠FEC＝100°∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠NCE+∠FEC＝180°∴∠NCE＝80°∴当∠NCE＝80°时，AB∥CD（3）∵∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA＝180°∴∠FEA＝180°﹣∠MAE，∴∠AEG＝∠FEA+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG∵EG平分∠AEC∴∠GEC＝∠AEG∴∠FEC＝∠GEC+∠FEG＝180°﹣∠MAE+∠FEG+∠FEG＝180°﹣∠MAE+2∠FEG ∵AB∥CD，AB∥EF∴EF∥CD∴∠FEC+∠NCE＝180°∴180°﹣∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝180°∴2∠FEG+∠NCE＝∠MAE∴当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD（4）∠1＝∠2∴AB∥EF∴∠MAE+∠FEA ＝180°∴∠FEA ＝180°﹣∠MAE ，∴∠AEG ＝∠FEG ﹣∠FEA ＝∠FEG ﹣180°+∠MAE∵EG 平分∠AEC∴∠GEC ＝∠AEG∴∠FEC ＝∠FEA+2∠AEG ＝180°﹣∠MAE+2∠FEG ﹣360°+2∠MAE ＝∠MAE+2∠FEG ﹣180°∵AB ∥CD ，AB ∥EF∴EF ∥CD∴∠FEC+∠NCE ＝180°∴∠MAE+2∠FEG ﹣180°+∠NCE ＝180°∴∠MAE+2∠FEG+∠NCE ＝360°∴当∠MAE+2∠FEG+∠NCE ＝360°时，AB ∥CD【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的性质，关键是由平行线的性质得到角的数量关系．23．（1）y ＝x 2+2x ﹣3；（2）方程有两个不相等的实数根．【解析】【分析】（1）将已知点的坐标代入二次函数列出方程组，解之即可；（2）因为（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点，所以 +2m n ＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2，于是 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0，所以此方程有两个不相等的实数根．【详解】（1）抛物线y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为x ＝﹣1，且过点（﹣3，0），（0，3）9a ﹣3b+c ＝0930312a b c c b a⎧⎪-+=⎪=-⎨⎪⎪-=-⎩ 解得a ＝1，b ＝2，c ＝﹣3∴抛物线y ＝x 2+2x ﹣3；（2）∵点（m ，k ），（n ，k ）在此抛物线上，∴（m ，k ），（n ，k ）是关于直线x ＝﹣1的对称点， ∴ +2m n ＝﹣1 即m ＝﹣n ﹣2 b 2﹣4ac ＝m 2﹣4n ＝（﹣n ﹣2）2﹣4n ＝n 2+4＞0∴此方程有两个不相等的实数根．【点睛】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质与二次函数上点的坐标特征是解题的关键．24．(1)100;(2)100.【解析】【分析】（1）原式先计算括号中的乘方运算，再计算减法运算，最后算乘除运算即可求出值；（2）列出代数式，计算即可得到结果．【详解】解：（1）原式＝（81﹣49）×25÷8＝800÷8＝100；（2）根据题意得：[（a+1）2﹣（a﹣1）2]×25÷a＝4a×25÷a＝100．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．25．（1）详见解析；（2）21°；（3）4 9【解析】【分析】（1）根据过直线外一点作该直线的垂线的作图方法，即可作出PC边上的高；（2）由题意得：DG∥EF，推出∠APD=∠2=51°，再由∠1=30°，根据外角的性质，即可推出∠3的度数；（3）由题意推出MN、PC的长度，再根据平行线的性质，推出△BMN与△BPC相似，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可推出S△BMN：S△BPC的值．【详解】（1）作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，设弧与直线PC交于点I、G，②分别以点I、G为圆心大于IG为半径作弧，设两弧交于点R，③连接AR，设AR与直线PC交于点H，④则AH为所求作的PC边上的高，（2）∵将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∴DG∥EF，∴∠APD＝∠2，∵∠2＝51°，∴∠APD＝51°，∵∠1＝30°，∴∠3＝∠APD﹣∠1＝51°﹣30°＝21°，（3）∵EF∥DG，∴△BMN∽△BPC，∵直尺上点P处刻度为2，点C处为8，点M处为3，点N处为7，∴MN＝7﹣3＝4，PC＝8﹣2＝6，∴24()9BMN BPC S MN S PC ∆∆==． 【点睛】本题主要考查过直线外一点作该直线的垂线、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，关键在于能够充分的理解和熟练地运用相关的性质定理，认真的进行计算．。
2020年中考数学必背几何定理及辅助线解题技巧
初中几何在数学试题中所占比例较大，灵活度也强，但是只要掌握了基础知识点，灵活运用，几何题目的解答也就不在话下了。
下面是初中数学几何部分的必背知识点的归纳，希望能够会您的学习有所帮助。
2020年中考数学复习:几何巧画辅助线的技巧基本图形的辅助线的画法1 三角形问题添加辅助线方法(1)有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
(2)含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
(3)结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
(4)结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2 平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：(1)连对角线或平移对角线;(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形;(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线;(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形;(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等。
3 梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。
它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。
辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：(1)在梯形内部平移一腰;(2)梯形外平移一腰;(3)梯形内平移两腰;(4)延长两腰;(5)过梯形上底的两端点向下底作高;(6)平移对角线;(7)连接梯形一顶点及一腰的中点;(8)过一腰的中点作另一腰的平行线;(9)作中位线。
全等三角形几何证明常用辅助线
全等三角形几何证明常用辅助线
辅助线证明三角形全等
一、辅助线定义
辅助线，又称辅助规则，是专门用来证明几何结论的辅助线，它可以
指向几何结论的前提或结果，以更清晰地证明几何结论。
二、辅助线用法
1.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明角的相等性：用一条
辅助线平分角A，然后将辅助线平移到角B上，如果辅助线可以在角B上
的两点重合，则说明角A和角B是相等的。
2.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明边的相等性：用一条
辅助线平分边AB，然后将辅助线平移到边CD上，如果辅助线可以在边CD
上的两点重合，则说明边AB和边CD是相等的。
3.在证明三角形全等的情况下，用辅助线来证明两个三角形的相等性：在三角形ABC中画出一条辅助线，然后将该辅助线平移到三角形CDE中，
如果辅助线可以在三角形CDE中的三个点重合，则说明两个三角形ABC和CDE是相等的。
三、辅助线证明三角形全等的步骤
1.识别出待证明的相关图形，并将其准确地表示在平面上。
2.根据定义，确定三角形全等的前提条件，并假设三角形全等。
3.画出两个三角形之间的辅助线，如果相交点都在两个三角形相交的
边上，证明该辅助线可以同时在两个三角形中存在。
2020数学中考备考-三、初中常用辅助线的作法荟萃
三角形中作辅助线的常用方法
1
在等腰三角形中,常作底边上的高,便于应用“三线合一”
2
若题设中含有中点,可过中点作平行线(或中位线),对直角三角形,可作斜边的中线
3
遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,便于利用角平分线的性质.遇到垂直平分线,可以自垂直平分线上的一点连接线段两端点,以便于利用垂直平分线的性质
4
有和角平分线垂直的线段时,通常把这条线段延长
5
有三角形中线时,常延长加倍线,构造全等三角形
6
截长补短法作辅助线
7
连接已知点构造全等三角形
圆中常用辅助线的作法
见弦作
弦心距
有关弦的问题,常作其弦心距(有时还需作出相应的半径),通过垂径定理,来建立题设与结论间的联系
见直径作
圆周角
在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质来证明问题
见切线
作半径
在题目的条件中含有圆的切线,往往是连接过切点的半径,利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题
全等三角形中做辅助线总结
. -全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。
三角形中两中点，连接那么成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。
①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形〔如作法是在一侧的长边上截取短边〕。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和条件。
与角有关的辅助线〔一〕、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并D连接DE 、DF ，那么有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。
例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。
例2． ：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC例3． ：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。
用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。
试试看可否把短的延长来证明呢？练习 1． 在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC2．：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：AE=2CE图1-4ABC3．：在△ABC中，AB>AC,AD为∠BAC的平分线，M为AD上任一点。
2020年北京市中考数学考点之三角形辅助线
2020年北京市中考数学考点之三角形辅助线三角形问题添加辅助线方法方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。
含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。
方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。
方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。
2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图所示，点A 是双曲线y=1x（x ＞0）上的一动点，过A 作AC ⊥y 轴，垂足为点C ，作AC 的垂直平分线双曲线于点B ，交x 轴于点D ．当点A 在双曲线上从左到右运动时，四边形ABCD 的面积（ ）A ．不变B ．逐渐变小C ．由大变小再由小变大D ．由小变大再由大变小 2．下列计算正确的是( ) A.23＝3 B.23＝±3 C.29＝3 D.29＝±33．在不透明的袋子中装有9个白球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，现从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是白球，则该事件是（ ）A ．必然事件B ．不可能事件C ．随机事件D ．以上都有可能4．若二次函数2(2)4y ax a x a =+++的图像与x 轴有两个交点12(,0),(,0)x x ，且121x x <<,则a 的取值范围是（）A ．2153a -<<-B ．103a -<<C ．203a <<D ．1233a << 5．下列计算正确（ ）A ．222a b a b +=+（）B ．235a a a ⋅=C ．822a a a ÷=D ．325a a a +=6．如图，AB 是O e 的直径，点D 是半径OA 的中点，过点D 作CD ⊥AB ，交O e 于点C ，点E 为弧BC 的中点，连结ED 并延长ED 交O e 于点F ，连结AF 、BF ，则（ ）A ．sin ∠AFE=12B ．cos ∠BFE=12C ．tan ∠EDB=32D ．tan ∠BAF=37．某市的住宅电话号码是由7位数字组成的，某人到电信公司申请安装一部住宅电话，那么该公司配送这部电话的号码末尾数字为6的概率是( )A ．16B ．17C ．19D ．1108．如图是某厂2018年各季度产值统计图(单位：万元)，则下列说法正确的是( )A ．四个季度中，每个季度生产总值有增有减B ．四个季度中，前三个季度生产总值增长较快C ．四个季度中，各季度的生产总值变化一样D ．第四季度生产总值增长最快9．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，顶点在折线M-P-N 上移动，它们的坐标分别为(1,4)M -、(3,4)P 、(3,1)N .若在抛物线移动过程中，点A 横坐标的最小值为-3，则a b c -+的最小值是（ ）A ．-15B ．-12C ．-4D ．-210．袋中装有大小相同的6个黑球和n 个白球，经过若干次试验，发现“从袋中任意摸出一个球，恰是黑球的概率为34”则袋中白球大约有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个11．下列各数中，最小的实数是（ ）A.﹣5B.3C.0D.2 12．已知关于x 的方程x 2+mx+1＝0根的判别式的值为5，则m ＝（ ）A ．±3B ．3C ．1D ．±1二、填空题13．已知如图，矩形OCBD 如图所示，OD=2，OC=3，反比例函数的图象经过点B ，点A 为第一象限双曲线上的动点（点A 的横坐标大于2），过点A 作AF ⊥BD 于点F ，AE ⊥x 轴于点E ，连接OB ，AD ，若△OBD ∽△DAE ，则点A 的坐标是_____．14．若分式22x x +的值为正，则实数x 的取值范围是__________________. 15．如图，□ABCD 中，AE 、CF 分别是∠BAD 和∠BCD 的角平分线根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF 为菱形，则添加的一个条件可以是_______（只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”）16．一元二次方程2360x x -=的解是________．17．若式子3x -有意义，那么x 的取值范围是________.18．如图，在△ABC 中，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P 、Q ，过P 、Q 两点作直线交AB 于点D ，同法得到点E ，连接DE ．若BC ＝10cm ，则DE ＝_____cm ．三、解答题19．先化简，再求值：24()224a a a a a a ÷---- ，其中a ＝2+2． 20．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件，求：（1）若商场每件衬衫降价10元，则商场每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要盈利1250元，每件衬衫应降价多少元？（3）要使商场平均每天盈利1500元，可能吗？请说明理由．21．某学生会倡导的“爱心捐款”活动结束后，学生会干部对捐款情况作了抽样调查，并绘制了统计图，图中从左到右各长方形高度之比为3：4：5：8：2，又知此次调查中捐15元和20元的人数共39人．（1）他们一共抽查了多少人？（2）这组数据的众数、中位数分别是多少？（3）若该校共有2310名学生，请估算有多少人捐款数不少于20元？22．如图，A 、D 、B 、E 四点在同一条直线上，AD ＝BE ，BC ∥EF ，BC ＝EF ．（1）求证：AC ＝DF ；（2）若CD 为∠ACB 的平分线，∠A ＝25°，∠E ＝71°，求∠CDF 的度数．23．解不等式组：()-32421152x x x x ⎧-≥⎪⎨-+<⎪⎩并把其解集在数轴上表示出来.24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2(0)y ax bx ca =++≠与x 轴交于点(2,0)A -，(4,0)B ，与直线3y =x 32-交于点(0,3)C -，直线3y =x 32-与x 轴交于点D ． (1)求该抛物线的解析式．(2)点P 是抛物线上第四象限上的一个动点，连接PC ，PD ，当PCD ∆的面积最大时，求点P 的坐标．(3)将抛物线的对称轴向左平移3个长度单位得到直线l ，点E 是直线l 上一点，连接OE ，BE ，若直线l 上存在使sin BEO ∠最大的点E ，请直接写出满足条件的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知抛物线y ＝ax 2﹣13x+c 经过A(﹣2，0)，B(0，2)两点，动点P ，Q 同时从原点出发均以1个单位/秒的速度运动，动点P 沿x 轴正方向运动，动点Q 沿y 轴正方向运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒(1)求抛物线的解析式；(2)当BQ ＝13AP 时，求t 的值； (3)随着点P ，Q 的运动，抛物线上是否存在点M ，使△MPQ 为等边三角形？若存在，请求出t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A A C B B C D D A AA A 二、填空题13．（5+1，3532-） 14．x ＞015．AC ⊥EF 或AF=CF 等16．0x =或2x =17．x≥318．5三、解答题19．2,1222a a ++- 【解析】【分析】先把括号内通分，再把除法转化为乘法约分化简，然后把a ＝2+2代入计算即可.【详解】解：24()224a a a a a a ÷---- ＝(2)42(2)(2)a a a a a a a +-÷-+- ＝(2)2(2)(2)a a a a a a -÷-+- ＝22a a a a+⋅-＝22a a +-， 当a ＝2+2时，原式222222++==+-＝122+． 【点睛】 本题考查了分式的化简求值，以及二次根式的混合运算，解决这类题目关键是把握好通分与约分，分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分，并熟练掌握二次根式的运算法则.20．（1）商场每天可盈利1200元；（2）每件衬衫应降价15元；（3）不可能，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据降价10元求出每天盈利的钱即可；（2）设每件衬衫降价x 元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（3）设每件衬衫降价y 元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】（1）降价10元，每天可多售出20件，（40﹣10）×（20+20）＝1200，答：商场每天可盈利1200元；（2）设每件衬衫降价x 元，依题意得：（40﹣x ）（20+10×5x ）＝1250， 化简得：x 2﹣30x+225＝0，解得：x 1＝x 2＝15，答：每件衬衫应降价15元；（3）不可能，理由是：假设每件衬衫降价y 元时，商场平均每天盈利1500元，（40﹣y ）（20+10×5x ）＝1500， 化简得：y 2﹣30y+350＝0，∵△＝900﹣1400＝﹣500＜0，∴原方程无实数根，则不可能．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．21．（1）他们一共抽查了66人；（2）这组数据的众数是20，中位数是15；（3）有1050捐款数不少于20元．【解析】【分析】(1),根据捐15元和20元的总人数及其比例,可列一元一次方程,进而可求出调查的总人数;对于(2),根据这组数据可直接算出众数和中位数;对于(3),需先计算出调查的人中捐款不少于20元的人数所占的比例,进而可估算出全校捐款不少于20元的人数【详解】（1）39÷5+83+4+5+8+2＝66（人），即他们一共抽查了66人；（2）由直方图可知，这组数据的众数是20，中位数是15；（3）2310×5+83+4+5+8+2＝1050（人），答：有1050捐款数不少于20元．【点睛】此题考查中位数和条形统计图，解题关键在于看懂图象中的数据22．（1）详见解析；（2）42°.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再结合题意根据SAS判断△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到答案；（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，再根据角平分线的性质进行计算即可得到答案.【详解】证明：（1）∵AD＝BE∴AB＝DE∵BC∥EF∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF∴△ABC≌△DEF（SAS）∴AC＝DF（2）∵△ABC≌△DEF∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°∵CD为∠ACB的平分线∴∠ACD＝42°＝∠BCD∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF∴∠CDF＝42°【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质的综合运用.23．−7<x⩽1，见解析.【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解不等式x −3(x −2)⩾4，得：x ⩽1， 解不等式52112x x -+< ，得：x>−7，则不等式组的解集为−7<x ⩽1，将解集表示在数轴上如下：【点睛】此题考查在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键在于掌握运算法则.24．（1）233384y x x =--；（2）P （3，﹣815）；（3）点E 的坐标为（﹣2，23）或（﹣2，﹣23）.【解析】【分析】（1）用交点式函数表达式得：y=a （x+2）（x-4）=a （x 2-2x-8），即可求解；（2）由S △PCD =S △PDO +S △PCO -S △OCD ，即可求解；（3）如图，经过点O 、B 的圆F 与直线l 相切于点E ，此时，sin ∠BEO 最大，即可求解．【详解】解：（1）用交点式函数表达式得：y ＝a （x+2）（x ﹣4）＝a （x 2﹣2x ﹣8），即﹣8a ＝﹣3，解得：a ＝38， 则函数的表达式为：233384y x x =--；（2）y ＝32x ﹣3，令y ＝0，则x ＝2，即点D （2，0），连接OP ，设点P （x ，233384x x --），S △PCD ＝S △PDO +S △PCO ﹣S △OCD ＝22133113272(3)323(3)2842288x x x x ⨯-+++⨯⨯-⨯⨯=--+， ∵﹣38＜0，∴S △PCD 有最大值，此时点P （3，﹣815）；（3）如图，经过点O、B的圆F与直线l相切于点E，此时，sin∠BEO最大，过圆心F作HF⊥x轴于点H，则OH＝12OB＝2＝OA，OF＝EF＝4，∴HF＝23，过点E的坐标为（﹣2，﹣23）；同样当点E在x轴的上方时，其坐标为（﹣2，23）；故点E的坐标为（﹣2，23）或（﹣2，﹣23）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识，三角函数等，其中（3），正确确定点E的位置，是本题的难点．25．（1）y＝－23x2－13x＋2；（2）当BQ＝13AP时，t＝1或t＝4；（3）存在．当t ＝13-+时，抛物线上存在点M（1，1），或当t ＝333+时，抛物线上存在点M（﹣3，﹣3），使得△MPQ为等边三角形．【解析】【分析】（1）把A（﹣2，0），B（0，2）代入y＝ax2－13x＋c，求出解析式即可;（2）BQ=13AP，要考虑P在OC上及P在OC的延长线上两种情况，有此易得BQ，AP关于t的表示，代入BQ=13AP可求t值．（3）考虑等边三角形，我们通常只需明确一边的情况，进而即可描述出整个三角形．考虑△MPQ，发现PQ为一有规律的线段，易得OPQ为等腰直角三角形，但仅因此无法确定PQ运动至何种情形时△MPQ为等边三角形．若退一步考虑等腰，发现，MO应为PQ的垂直平分线，即使△MPQ为等边三角形的M点必属于PQ的垂直平分线与抛物线的交点，但要明确这些交点仅仅满足△MPQ为等腰三角形，不一定为等边三角形．确定是否为等边，我们可以直接由等边性质列出关于t的方程，考虑t的存在性．【详解】（1）∵抛物线经过A（﹣2，0），B（0，2）两点，∴240,32.a cc⎧++=⎪⎨⎪=⎩，解得2,32.ac⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴抛物线的解析式为y＝－23x2－13x＋2．（2）由题意可知，OQ＝OP＝t，AP＝2＋t．①当t≤2时，点Q在点B下方，此时BQ＝2－t．∵BQ＝13AP，∴2﹣t＝13（2＋t），∴t＝1．②当t＞2时，点Q在点B上方，此时BQ＝t﹣2．∵BQ＝13AP，∴t﹣2＝13（2+t），∴t＝4．∴当BQ＝13AP时，t＝1或t＝4．（3）存在．作MC⊥x轴于点C，连接OM．设点M的横坐标为m，则点M的纵坐标为－23m2－13m＋2．当△MPQ为等边三角形时，MQ＝MP，又∵OP＝OQ，∴点M点必在PQ的垂直平分线上，∴∠POM＝12∠POQ＝45°，∴△MCO为等腰直角三角形，CM＝CO，∴m＝－23m2－13m＋2，解得m1＝1，m2＝﹣3．∴M点可能为（1，1）或（﹣3，﹣3）．①如图，当M的坐标为（1，1）时，则有PC＝1﹣t，MP2＝1＋（1﹣t）2＝t2﹣2t＋2，PQ2＝2t2，∵△MPQ为等边三角形，∴MP＝PQ，∴t2﹣2t＋2＝2t2，解得t 1＝1+3-，t 2＝13--（负值舍去）．②如图，当M 的坐标为（﹣3，﹣3）时，则有PC ＝3＋t ，MC ＝3，∴MP 2＝32＋（3＋t ）2＝t 2＋6t ＋18，PQ 2＝2t 2，∵△MPQ 为等边三角形，∴MP ＝PQ ，∴t 2＋6t ＋18＝2t 2，解得t 1＝333+，t 2＝333-（负值舍去）．∴当t ＝1+3-时，抛物线上存在点M （1，1），或当t ＝333+时，抛物线上存在点M （﹣3，﹣3），使得△MPQ 为等边三角形．【点睛】本题是二次函数、一次函数及三角形相关知识的综合题目，其中涉及的知识点有待定系数法求抛物线，三角形全等，等腰、等边三角形性质及一次函数等基础知识，在讨论动点问题是一定要注意考虑全面分情形讨论分析．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )A ．直角三角形B ．正五边形C ．正方形D ．平行四边形2．小明骑自行车去上学途中，经过先上坡后下坡的一段路，在这段路上所骑行的路程S (米)与时间t (分钟)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小明上学途中下坡路的长为1800米;②小明上学途中上坡速度为150米/分，下坡速度为200米/分;③如果小明放学后按原路返回，且往返过程中，上、下坡的速度都相同，则小明返回时经过这段路比上学时多用1分钟;④如果小明放学后按原路返回，返回所用时间与上学所用时间相等，且返回时下坡速度是上坡速度的1.5倍，则返回时上坡速度是160米/分其中正确的有（ ）A.①④B.②③C.②③④D.②④3．如图，△ABC 和△DCE 都是边长为8的等边三角形，点B ，C ，E 在同一条直线上接BD ，AE ，则四边形FGCH 的面积为（ ）A ．433B ．833C ．1433D ．16334．已知二次函数y ＝x 2﹣6x+m 的最小值是1，那么m 的值等于（ ）A ．10B ．4C ．5D ．65．如图，ABC ∆内接于⊙O ,25OAC ∠=︒，则ABC ∠的度数为（）A．110°B．115°C．120°D．125°6．有9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学知道自己的成绩后，要判断能否进入决赛，还需知道这9名同学成绩的（）A．众数B．中位数C．平均数D．方差7．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=ax与一次函数y=bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是( )A． B．C．D．8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，点C为圆心，以大于12AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点D，连接CD．若AE＝3，BC＝8，则CD的长为（）A．4 B．5 C．6 D．79．如果方程x2﹣8x+15＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tanA的值为（）A.34B.35C.45D.34或3510．若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴两个交点间的距离为6，称此抛物线为定弦抛物线．已知某定弦抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，且通过（1，y1），（3，y2），（﹣1，y3），（﹣3，y4）四点，则y1，y2，y3，y4中为正数的是（）A．y1B．y2C．y3D．y411．如图，反比例函数myx的图象与一次函数y＝kx﹣b的图象交于点P，Q，已点P的坐标为（4，1），点Q的纵坐标为﹣2，根据图象信息可得关于x的方程mx＝kx﹣b的解为（）A．﹣2，﹣2 B．﹣2，4 C．﹣2，1 D．4，112．如图，点B、C、D在⊙O上，若∠BCD＝140°，则∠BOD的度数是（）A．40°B．50°C．80°D．90°二、填空题13．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，且EF⊥BE，EF=BE，△DEF的外接圆⊙O恰好切BC 于点G，BF交⊙O于点H，连结DH.若AB=8，则DH=_____.14．如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ 是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．15．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”．将半径为5的“等边扇形”围成一个圆锥，则圆维的侧面积为______．16．如图，传送带AB和地面BC所成斜坡的坡度为1:3，如果它把物体从地面送到离地面2米高的地方，那么物体所经过的路程是______米.（结果保留根号）17．分解因式：=______．18．如图，在中，于，点为边中点，交边于点，，若，，则__________.三、解答题19．随着生活水平的提高，人们对饮水品质的需求越来越高，某公司根据市场需求代理A，B两种型号的净水器，每台A型净水器比每台B型净水器进价多200元，用5万元购进A型净水器与用4.5万元购进B 型净水器的数量相等（1）求每台A型、B型净水器的进价各是多少元？（2）该公司计划购进A，B两种型号的净水器共50台进行试销，其中A型净水器为x台，购买资金不超过9.8万元，试销时A型净水器每台售价2500元，B型净水器每台售价2180元，公司决定从销售A型净水器的利润中按每台捐献a元作为公司帮扶贫困村饮水改造资金．若公司售完50台净水器并捐献扶贫资金后获得的最大利润不低于20200元但不超过23000元，求a的取值范围．20．如图，某中学依山而建，校门A处有一斜坡AB，长度为13米。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年中考数学冲刺难点突破几何证明问题
专题十一几何证明之三角形中作辅助线造全等
1、如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．
（Ⅰ）求C点的坐标；
（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；
（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．
2、如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在△ABC内，AM平分∠BAC．点D与点M在AC所在直线的两侧，
AD⊥AB，AD＝BC，点E在AC边上，CE＝AM，连接MD、BE．
（1）补全图形；
（2）请判断MD与BE的数量关系，并进行证明；
（3）点M在何处时，BM+BE会有最小值，画出图形确定点M的位置；如果AB＝5，BC＝6，求出BM+BE 的最小值．
3、如图1，∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝90°，交OA于点D，OB于点E．
（1）求证：CD＝CE；
（2）图1中，若OC＝3，求OD+OE的长；
（3）如图2，∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，以C为顶点作∠DCE＝60°，交OA于点D，OB于点E．若OC＝3，求四边形OECD的面积．
4、在△ABC中，AB＝AC，CD是AB边上的高，若AB＝10，BC＝．
（1）求CD的长．
（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上，从点A出发向点C运动，速度为v个单位/秒（v＞1）．设运动的时间为t（t＞0），当点Q到点C时，两个点都停止运动．
①若当v＝2时，CP＝BQ，求t的值．
②若在运动过程中存在某一时刻，使CP＝BQ成立，求v关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值
范围．。