第7章 静电场

第七章 静电场 问题

7-1 设电荷均匀分布在一空心均匀带电的球面上，若把另一点电荷放在球心上，这个电荷能处于平衡状态吗？如果把它放在偏离球心的位置上，又将如何呢？

解 我们先考虑电荷均匀分布的带电球面在球内的电场强度E 的分布情况，由

0q =E F 来判断某处点电荷是否能处于平衡状态。

对于球心O 处，由于球面电荷分布均匀，球面上各点的电荷在球心处的电场强度在各个方向上都是均衡的，又由于电场强度为矢量，所以其合矢量为零，

偏离球心的任一点P 处的电场强度可以由高斯定律求得，根据球面电荷分布的对称性，我们选取过点P 、与带电球同心的球面为高斯面。利用高斯定理有

0S

d ⋅=⎰

E S ，所以在点P 处的电场强度也为零。

由上分析可知，在均匀带电的球面内任一点（球心或者偏离球心）处放一点电荷，此电荷受到的合力都为零，都能处于平衡状态。

7-2 在电场中某一点的电场强度定义为0

q =

F

E ，若该点没有试验电荷，那么该点的电场强度又如何？为什么？

解 该点电场强度不会改变。因为电场强度反映的是电场本身的性质，它是电场本身的属性，与试验电荷的存在与否无关。

7-3 我们分别介绍了静电场的库仑力的叠加原理和电场强度的叠加原理。这两个叠加原理是彼此独立没有联系的吗？

解 这两个叠加原理并非彼此独立，而是相互联系的。这两个叠加原理都是矢量叠加原理，电场强度的叠加原理是由库仑力的叠加原理推导而来的。

7-4 电场线能相交吗？为什么？

解 不能相交。由电场线性质可知，电场中任一点的电场强度的方向与此处电场线切线方向。若两条电场线相交，则相对于不同的电场线，相交处的电场强度有不同的方向，而电场中一点的电场强度只能有一个确定的方向，所以电场线不能相交。

7-5 如果穿过曲面的电场强度通量e 0Φ=，那么，能否说此曲面上每一点的电场强度E 也必为零呢？

解 不能。由e S

Φd =

⋅⎰

E S 知，穿过曲面的电场强度通量不仅与电场强度的大

小有关，而且还与所取的曲面有关。若组成曲面S 的各个面积元d S 的单位法线矢量n e 与该处的电场强度E 之间的夹角均为90，则e 0Φ=，但曲面上各点的电场强度E 并不为零。

7-6 若穿过一闭合曲面的电场强度通量不为零，是否在此闭和曲面上的电场强度一定是处处不为零？

解 不一定。如右图为两个等量电荷，穿过闭合曲面S 的电场强度通量为0q ε，但是在曲面上点O 处，即两电荷

的中心处，电场强度为零。

7-7 一点电荷放在球形高斯面的球心处。试讨论下列情形下电场强度通量的变化情况：（1）若此球形高斯面被一与它相切的正方形表面所代替；（2）点电荷离开球心，但仍在球内；（3）有另一个电荷放在球面外；（4）有另一个电荷放在球面内。

解 由高斯定理，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以0ε. 对于情况(1)、(2)、(3)，面内的电荷代数和没有变，电场强度通量不变。在第（4）种情况中，电场强度通量随面内电荷数改变而改变。

7-8 下列几个带电体能否用高斯定理来计算电场强度？为什么？作为近似计算，应如何考虑呢？（1）电偶极子；（2）长为l 的均匀带电直线；（3）半径为R 的均匀带电圆盘。

解 以上几个带电体都不能用高斯定理来计算电场强度，因为它们在空间的电场分布没有对称性，所以通常用电场强度的叠加原理直接求解。在近似计算中，对于带电直线，当考虑的场点到直线的距离远小于带电直线的长度时，可以利用高斯定理求解；对于均匀带电圆盘，当场点到圆盘的距离远小于圆盘线度时，也可以利用高斯定理求解。

7-9 电荷q 从电场中的点A 移到点B ，若使点B 的电势比点A 的电势低，而点B 的电势能又比点A 的电势能要大，这可能吗？说明之。

解 可能。电势能是电荷处于电场中所具有的能量，它不仅与两点间电势差有关，还与电荷有关。若电荷q 为负，将它从电场中的点A 移到点B ，电场力做负功，电势能增加，电荷q 在点B 的电势能比点A 的电势能要大。

q

7-10 当我们认为地球的电势为零时，是否意味着地球没有净电荷呢？ 解 不是，电势为零与是否有静电荷并无直接关系。

7-11 在雷雨季节，两带正、负电荷的云团间的电势差可达10

10V ，在它们之间产生闪电通过30C 的电荷。说明在此过程中闪电所消耗的电能相当于10kW 发电机在多长时间里发出的电能。

解 在此过程中闪电所消耗的电能为11

3.010J E qU ==⨯，它相当于10kW 发电机在7

310s ⨯，即大约8333h 内发出的电能。

7-12 已知无限长带电直线的电场强度为()02E r r

λ

1=

πε，我们能否利用

A A V d V ∞∞

=

⋅+⎰

E l

并使无限远处的电势为零（0V ∞=），来计算“无限长”带电直线附近点A 的电势？ 解 对于电荷分布在有限空间的情况，我们通常取无限远处为参考点，但对于“无限长”带电直导线产生的电场，不能取无限远处为零电势参考点，应该在场内选择一适当的参考点。例如可以取与直导线相距为r 处的电势为零。

7-13 在电场中，电场强度为零的点，电势是否一定为零？电势为零的点，电场强度是否一定为零？试举例说明。

解 电场强度为零的点，电势不一定为零。例如，电荷为Q 、半径为R 的均匀带电球壳内电场强度为零，但壳内各处的电势并不为零，而应与球壳表面的电势相等，大小为

04Q

R

επ.

电势为零的点，电场强度不一定为零。例如，电偶极子中垂线上电势为零，但电场强度并不为零。

7-14 电场中，有两点的电势差为零，如在两点间选一路径，在这路径上，电场强度也处处为零吗？试说明。

解 不一定，由B

AB A

U d =

⋅⎰

E l 可知，两点间电势差还与路径选择有关。例如匀

强电场中，对于垂直电场强度方向的平面上的任意两点电势差为零，但连接这两点