结构振动与稳定总复习

m l/2 l/2
m l/2
一般结论： 约束越强，柔度越小，刚度越大，固有频率越大。
m l/2 l/2
钢梁
m l/2 l/2
橡胶梁
l3 d1 = 48EI
10l 3 d2 = 48 EI
w1 =
1 = md 1
48 EI 3 ml
w2 =
1 48 EI = 10 ml 3 md 2
一般结论： 材料刚度越大，固有频率越大。
中性平衡：可以停留在任意位置的平衡（总势 能取恒定值） 可能变形：满足位移边界条件的变形形式。
系统总势能：应变能与荷载势能之和。
动荷载：荷载随时间变化，且引起的惯性力与 其它荷载在同一量级上。 自由度：用于描述系统空间位置的独立几何参 数 振幅a：振动时最大位移值 自振周期T：振动一个循环所需时间 自振频率f：单位时间内循环数 圆频率w： w = 2p f 动力系数b ：动荷载作用下的位移放大系数 振型 ：与固有频率对应的变形形式
其中：
FN l 2 = u2 4 EI
FNcr =
p 2 EI
l
2
4)比较两类失稳的异同 说明：结构完善程度、干扰、失稳前的载荷-挠 度关系、临界点、两者的过度。
5)比较静力法和能量法的异同 说明：静力法是通过列平衡方程的方法进行求 解的，在微分条件下满足的严格的精确的方法； 能量法是对总势能取驻值的方法进行求解的， 它是在积分条件下近似满足的方法。能量的方 法更有应用前景。 静力法：严格解析，分析困难，结果精确 能量法：近似，实用，结果偏大
解： ji 应满足给定的位移边界条件，临界载荷 大于精确解，因为增加了约束，项数越多，约 束越少，越接近精确解，随着项数增加到无限， 临界载荷值从上面趋近精确解。
3)比较二阶分析与一阶分析的结果，谁大谁小？ 讨论两种临界状态，FN等于0和FNcr 解：二阶分析结果 跨中最大挠度：
( y ) max = ( y ) x =1/ 2
x
FN O
y a FP EI b l
FP al al FP l 3 tan u u = 3 tan = 2 FN a 2 2 48 EI u / 3
跨中最大弯矩：
M max d2y FPa al FP l tan u = EI 2 = EI tan = dx 2 FN 2 4 u x =l / 2
6、多自由度体系自由振动，重点掌握两个自由 度体系自振频率的计算，主振型的概念与求法， 主振型正交性原理； 7、会用能量法计算频率，并掌握集中质量法； 8、会计算两个自由度体系在简谐荷载下强迫振 动的振幅； 9、 多自由度体系在一般动荷载下的强迫振动(振 型叠加法)，无限自由度体系自由振动与强迫振 动； 10 、会用矩阵位移法计算频率。
1 2p T= = f w
无限自由度振动 控制方程：
4 y 4 y EI 4 m 2 = 0 x t

解的形式： y ( x, t ) = anYn ( x) sin wnt a n
n =1
会根据边界条件和初始条件确定方程的系数。
简单分析 1)结合简单的例题解释临界状态、临界载荷和 平衡路径。
FP
EIy" = M
x
q1 v1
y FP 1 F1 y
q2
FP
e b
2 F2
M1
M2 x
公式(记忆) 虎克定律： F=kD D=dF 梁弯曲公式： EIy" = M
1 应变能公式： U = EI y"2 2 0
1 2 d = y ' dx 由屈曲引起的杆微段轴向位移公式： 2 FP 轴向力势能： U F = y'2 dx 2
单自由度振动 控制方程：
my cy ky = FP t
解的形式： 动力系数
y = ae
yp
xwt
sin wr t a
2 1/2
2 q 2 2 q b= = 1 2 4x 2 yst w w
频率与周期
k 1 g w= = = m md Wd
多自由度振动 My Ky = FP sin q t 控制方程： 会根据研究对象列此方程 解的形式： K q 2 M Y = FP 关心量：刚度系数kij ，柔度系数dij ，振型Y，基 频w1 。 重要结论： 1、振型和固有频率对应，与外荷载无关； 2、主振型之间具有正交性； 3、任一位移向量可以按主振型展开。
FP B k FR
B
FP B'
l
q l
A
A
初始状态
临界状态
若采用小挠度理论q <<1，临界载荷为
FPcr=kl
B A FPcr=kl O I(稳定） FP
I(不稳定）
C
II(随遇平衡）
q
平衡路径
2)采用能量法求解无限自由度体系的稳定问题时， n y = aij i 采用了级数： ，其中函数ji 应满足什么 i =1 条件？得到的临界载荷是大于、小于还是等于 精确结果，为什么？级数的项数取的越多，临 界载荷越大还是越小，为什么？
重要结论： 4、n个自由度的体系有n发生共振的可能性； 5、对于多自由度，频率越低，对应的变形越容 易实现，频率越高，对应的变形越困难实现。
简单分析题 例：设图示竖杆顶端在振动开始时的位移为0， 初速度为v0=5m/s，试求顶端B的位移振幅、最大 速度和加速度。
B v0=5m/s W=20kN l=3m
应力：帕斯卡（ Pa =N/m2）
应变：无量纲
弹性模量：帕斯卡（ Pa =N/m2）
泊松系数：无量纲
转角：无量纲（弧度制）
曲率： （ 1/m）
弯矩：牛顿· 米
抗弯刚度EI ：牛顿· 2（ N· 2） 米 m 抗拉刚度EA ：牛顿（ N）
永久记忆
m y(t)
k
振动分析
非稳定平衡 中性平衡
稳定分析
稳定平衡
Fra Baidu bibliotek
kij的计算方法
② ②
k2
k2
k2
1 D
①
k11
k1
①
k1+ k2 = k11
k1
k1
同时有： k21= - k2
基本方程
y1 t = m1 1 t d11 m2 2 t d12 y y y2 t = m1 1 t d 21 m2 2 t d 22 y y
dij是体系的柔度系数，表示在节点 j作用单位力
（其余点力保持为零），节点i所产生的位移。
d21 d22
2
2
1 1
d11
1
d12
建立方程时，为 什么不考虑约束
处的反力？
m
2m k
k/5 k/3
k w1 = 0.2936 m
w2 = 0.6673 w3 = 0.9319
k m k m
1.0
一般结论：频率 越低，对应的变 形越容易实现， 反之也成立。
虎克定律： F=kD D=dF
振动特征（动力学特征）：固有频率＋振型 共振：荷载频率=固有频率 约束越强，变形越小，固有频率越大。 频率越低，对应的变形越容易实现。
结构稳定：结构维持原有平衡状态的能力 两类失稳：极值点和分支点失稳 稳定分析前提：加扰动 二阶分析=结构力学分析+稳定分析
结构振动与稳定总复习
m y(t)
k
振动分析
非稳定平衡 中性平衡
稳定分析
稳定平衡
概念(记忆)
结构稳定：结构维持原有平衡状态的能力
失稳：结构丧失原有平衡状态
屈曲：结构丧失原有平衡的变形状态
临界载荷：结构失稳时对应的载荷
临界状态：结构失稳时的变形状态
平衡路径：载荷-位移曲线
稳定平衡：撤除干扰后，能够恢复初始状态的 平衡（总势能取极小值） 不稳定平衡：撤除干扰后，不能够恢复初始状 态的平衡（总势能取极大值）
EI =2×106N· 2 m A
平面刚架向葫芦串转化，注意转角关系
y3(t)
y2(t)
y1(t)
当外荷载不作用在指定节点上的处理方法
1
m
1
m
r1PFP
1
m
r1PFP
FP(t)
FP(t)
图示三根单跨梁，EI=常数，在梁中点有集中质 量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
m l/2 l/2 l/2
1.0
1.0 -3.342
0.569 -1.227
w1
0.163 -0.924
w2
w3
2.76
对刚架进行稳定性和二阶分析
FN FP 2
i1 1 l i2=ni1 FN
FP 3 i1
4 H
1、为什么1、2杆中的轴力直接取FN； 2、为什么3杆中横向位移对方程没有贡献； 3、为什么3杆中没有几何刚度矩阵；
振动特征（动力学特征）：固有频率＋振型 刚度k 、柔度d 、有阻尼自振圆频率wr 、相位角 a 、静位移Dst 、最大动位移Dmax 、阻尼常数 c、 临界阻尼系数cr 、阻尼比x 、基频、共振
规定(记忆)
y
y M M M x x y x
EIy" = M
FP 1
EIy" = M
e a 2 v2
结构振动重要结论： 1、结构的固有频率和振型是结构的固有性质， 与外界干扰无关； 2、激励频率与固有频率相等时，发生共振； 3、动力系数有升有降，可以大于1（甚至到无 穷大）或小于1，依赖于频率比； 4、阻尼的存在可以有效降低共振幅值； 5、阻尼数值增大，振动的周期将增大； 6、如果阻尼数值增大，强迫振动动力系数将 减 小； 7、阻尼体系的位移比荷载滞后一个相位角
l
动能：
1 y T = m dx 2 0 t
l 2
固有频率：
w2 =
EI Y ''
0 l 2 0
l
2
m Y ( x ) dx miYi 2
i
微分方程求解：
y"a 2 y = C0 C1 x C2 x 2
应用能量法求解时，所设的位移函数应满足位 移边界件。
量纲
长度：米（m）
时间：秒（ s ）
力：牛顿（ N ）
质量：千克（ kg ） N= kg· / s 2 m
速度：米/秒（ m / s ）
加速度：米/秒2 （ m / s 2 ）
刚度k：牛顿/米（ N / m ）
柔度d：米/牛顿（ m / N ） 阻尼常数：牛顿· 秒/米（ N· / m ） s
量纲
6)用刚度方程求解刚架的临界荷载
FP FP C B I l
q
I
A
l
7) 用静力法给出求临界荷载的分析思路
FP I2
FP
D
B H I1 A
I1
C l
结构振动部分要求
1、掌握弹性体系振动自由度的概念及其确定方 法； 2、了解单自由度体系自由振动方程的建立及其 求解，振幅、相位角与初始条件的关系； 3、重点掌握结构自振周期(及频率)的公式与计算 方法； 4、单自由度体系强迫振动中，重点搞清动力系 数的概念，掌握简谐荷载作用时动力系数的求法。 5、了解阻尼对自由振动的振幅及强迫振动动力 系数的影响；