导学设计2 正弦定理的应用
《正弦定理》教学设计方案
《正弦定理》教学设计方案教学目标：1.理解并掌握正弦定理的概念和原理。
2.能够独立地应用正弦定理解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
4.培养学生的团队合作和沟通表达能力。
教学重点：1.正弦定理的概念和原理2.正弦定理的应用教学难点：1.正弦定理解决实际问题的能力培养2.学生团队合作和沟通表达能力的培养教学准备：1.教师准备正弦定理的相关知识和实例。
2.准备教学案例和习题。
教学过程：Step 1：导入新知识（15分钟）1.教师引导学生回顾三角函数的基本概念，并简要介绍正弦函数。
2.教师出示一个三角形ABC，问学生能否推导出三角形的边长与角度之间的关系。
3.引导学生思考和讨论，最终得出正弦定理的原理。
Step 2：正弦定理的概念和原理（30分钟）1.教师给出正弦定理的定义和公式，并解释每个符号的含义。
2.教师通过几个具体的例子，演示如何应用正弦定理求解三角形的边长和角度。
3.学生跟随教师的指导，完成一些练习题，巩固概念和原理。
Step 3：正弦定理的应用（30分钟）1.教师提供更加复杂的实际问题，并引导学生用正弦定理解决问题。
2.学生分成小组，自主解决问题并进行讨论。
3.学生代表小组报告解题思路和结果，让其他同学参与讨论。
Step 4：归纳总结（15分钟）1.教师和学生一起归纳总结正弦定理的重要概念和应用。
Step 5：延伸拓展（15分钟）1.提供一些更加复杂的问题，让学生挑战运用正弦定理解决。
2.鼓励学生提出自己的问题，并尝试用正弦定理解决。
Step 6：作业布置（5分钟）1.布置一些选择题和应用题，让学生巩固和运用所学的知识。
2.强调作业的重要性，并提醒学生按时完成并及时讨论解答中遇到的问题。
教学反思：通过本节课的教学设计，学生可以在实际问题中运用正弦定理解决问题，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力，同时也培养了学生的团队合作和沟通表达能力。
教师可以根据学生的反馈情况和实际教学情况进行适当的调整和改进，以提高教学效果。
正弦定理在物理解题中的应用
正弦定理在物理解题中有着广泛的应用。
以下是一些具体的例子：
1. 在力学问题中，正弦定理可以用于解决与力、速度和加速度相关的问题。
例如，在单摆问题中，正弦定理可以用于计算摆球的加速度和速度；在弹簧振子问题中，正弦定理可以用于计算振子的位移和速度。
2. 在电学问题中，正弦定理可以用于解决与交流电有关的问题。
例如，在计算交流电的电流、电压和电阻时，可以使用正弦定理来简化计算过程。
3. 在光学问题中，正弦定理可以用于计算光的折射率和反射率。
例如，在计算光通过透镜后的焦点位置时，可以使用正弦定理来计算。
4. 在热力学问题中，正弦定理可以用于计算热量的传递和热力学系统的热容。
例如，在计算热传导系数和热扩散系数时，可以使用正弦定理来简化计算过程。
总的来说，正弦定理作为一种通用的数学工具，在物理解题中有着广泛的应用，可以用于解决各种与波形、振动、波动、光学、热力学等领域相关的问题。
《正弦定理》教案(含答案)
《正弦定理》教案（含答案）章节一：正弦定理的引入教学目标：1. 让学生理解正弦定理的概念和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的数学表达式。
3. 让学生了解正弦定理的应用场景。
教学内容：1. 引入正弦定理的背景和意义。
2. 介绍正弦定理的数学表达式：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 解释正弦定理的证明过程。
教学活动：1. 通过实际例子引入正弦定理的概念。
2. 引导学生推导正弦定理的数学表达式。
3. 让学生进行小组讨论，探索正弦定理的应用场景。
练习题：1. 解释正弦定理的概念。
2. 给出一个三角形，让学生计算其各边的比例。
章节二：正弦定理的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在三角形中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在三角形中的应用方法。
2. 让学生进行小组讨论，探讨正弦定理在实际问题中的应用。
练习题：1. 使用正弦定理计算一个三角形的面积。
2. 给出一个实际问题，让学生应用正弦定理解决问题。
章节三：正弦定理的证明教学目标：1. 让学生理解正弦定理的证明过程。
2. 让学生掌握正弦定理的证明方法。
教学内容：1. 介绍正弦定理的证明过程。
2. 解释正弦定理的证明方法。
教学活动：1. 通过几何图形的分析，引导学生推导正弦定理的证明过程。
2. 让学生进行小组讨论，理解正弦定理的证明方法。
练习题：1. 解释正弦定理的证明过程。
2. 给出一个三角形，让学生使用正弦定理进行证明。
章节四：正弦定理在实际问题中的应用教学目标：1. 让学生掌握正弦定理在实际问题中的应用。
2. 让学生能够解决实际问题中涉及的三角形问题。
教学内容：1. 介绍正弦定理在实际问题中的应用方法。
2. 讲解正弦定理在实际问题中的应用示例。
教学活动：1. 通过示例讲解正弦定理在实际问题中的应用方法。
正弦定理及应用教案
正弦定理及应用教案教案标题：正弦定理及应用教案教案目标：1. 理解正弦定理的概念和公式；2. 掌握正弦定理在解决三角形问题中的应用方法；3. 培养学生的数学思维和解决问题的能力。
教学准备：1. 教师准备：教案、黑板、白板、彩色粉笔、投影仪；2. 学生准备：教材、笔记本。
教学过程：步骤一：导入（5分钟）1. 教师出示一张三角形的图片，引导学生回顾三角形的基本概念和性质。
2. 引导学生思考：在解决三角形问题时，我们有哪些方法可以使用？步骤二：概念讲解（15分钟）1. 教师引导学生回顾三角形中的边和角的概念，并提出正弦定理的概念。
2. 教师讲解正弦定理的公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC，并解释公式中各变量的含义。
3. 教师通过例题演示正弦定理的应用方法，解决已知两边和一个夹角的情况。
步骤三：应用练习（20分钟）1. 教师出示一些应用正弦定理解决的问题，并引导学生分组讨论解题思路。
2. 学生在小组内互相讨论，尝试解决问题，并记录解题过程和答案。
3. 学生展示解题过程和答案，教师进行点评和讲解。
步骤四：拓展应用（15分钟）1. 教师出示一些较为复杂的三角形问题，引导学生运用正弦定理解决。
2. 学生在小组内合作解决问题，并记录解题过程和答案。
3. 学生展示解题过程和答案，教师进行点评和讲解。
步骤五：归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结正弦定理的应用方法和注意事项。
2. 学生将重点内容记录在笔记本上，作为复习和巩固。
步骤六：作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的练习题作为课后作业。
2. 学生完成作业并在下节课前交给教师。
教学反思：本节课通过导入、概念讲解、应用练习、拓展应用和归纳总结等环节，引导学生理解正弦定理的概念和公式，并掌握其在解决三角形问题中的应用方法。
通过小组合作和展示，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
同时，布置相关作业，巩固学生的学习成果。
正弦定理应用
正弦定理应用正弦定理是解决三角形中角度和边长关系的一个重要定理。
它给出了一种计算三角形中任意一边与角度之间的关系的方法。
在三角形abc中，假设a、b、c分别表示三个角的度数，而A、B、C分别表示相对应角的对边的边长。
根据正弦定理可以得出以下关系：sinA/a = sinB/b = sinC/c这个定理可以用来解决各种与三角形中边长和角度之间的关系有关的问题。
下面将介绍几个典型的正弦定理应用。
1. 求解未知边长：当已知一个三角形的两个角以及它们对应的两边时，可以利用正弦定理求解未知边长。
假设我们已知角A和B以及它们对应的边a和b，要求解边c，可以使用以下公式：c = a * (sinC / sinA)2. 求解未知角度：当已知一个三角形的三边时，可以利用正弦定理求解未知角度。
假设我们已知边a、b和c，要求解角A，可以使用以下公式：sinA = (a / c) * sinC通过求解sinA的值，可以利用反正弦函数计算出角A的度数。
3. 判断三角形的形状：利用正弦定理，可以判断一个三角形是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形。
当三角形的边长满足正弦定理的关系时，可以通过比较角度的大小来确定三角形的形状。
4. 应用于空间几何问题：正弦定理不仅适用于平面三角形，也可以应用于空间几何问题。
在空间中的三角形中，可以利用正弦定理计算各种角度和边长的关系。
总之，正弦定理是解决三角形中角度和边长关系的重要工具。
它可以帮助我们求解未知边长、未知角度以及判断三角形的形状。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的公式和计算方法来使用正弦定理，从而解决各种与三角形相关的计算问题。
高中数学教案正弦定理
高中数学教案正弦定理
主题：正弦定理
一、教学目标：
1. 理解正弦定理的概念和原理；
2. 熟练运用正弦定理解决相关问题；
3. 发展学生的逻辑思维和数学推理能力。
二、教学重点：
1. 正弦定理的概念和公式；
2. 正弦定理在实际问题中的应用。
三、教学内容：
1. 正弦定理的概念和公式：
设三角形ABC中，a为边BC的长度，b为边CA的长度，c为边AB的长度，A、B、C分别为角A、角B、角C的对边，则正弦定理可以表示为：
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
2. 正弦定理的应用：
通过正弦定理可以解决一些不易直接求解的三角形问题，例如求解未知边长或角度大小等。
四、教学方法：
1. 引导学生通过实例理解正弦定理的概念和原理；
2. 结合实际问题，让学生应用正弦定理解决相关问题；
3. 多种形式的练习，巩固学生的理解和运用能力。
五、教学过程：
1. 导入：通过一个实际问题引入正弦定理的概念；
2. 讲解：介绍正弦定理的公式及推导过程；
3. 练习：让学生通过练习题来熟练运用正弦定理；
4. 总结：总结正弦定理的应用方法及注意事项。
六、课后作业：
1. 完成相关练习题；
2. 思考如何在实际生活中应用正弦定理解决问题。
七、教学评估：
1. 练习题成绩；
2. 学生对正弦定理的理解和应用能力。
八、教学反思：
1. 教师应该根据学生的实际水平合理设计教学内容；
2. 加强与实际问题的联系，提高学生的学习兴趣和动力。
正弦定理教案设计-
“正弦定理教案设计-”一、教学目标：1. 让学生理解正弦定理的定义和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的证明过程。
3. 让学生能够运用正弦定理解决实际问题。
二、教学内容：1. 正弦定理的定义及公式。
2. 正弦定理的证明过程。
3. 正弦定理在实际问题中的应用。
三、教学重点：1. 正弦定理的定义和公式。
2. 正弦定理的证明过程。
四、教学难点：1. 正弦定理的证明过程。
2. 正弦定理在实际问题中的应用。
五、教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理的定义、公式和证明过程。
2. 采用案例分析法，分析正弦定理在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论正弦定理的证明过程和实际应用。
教学目标：1. 让学生理解正弦定理的定义和意义。
2. 让学生掌握正弦定理的证明过程。
3. 让学生能够运用正弦定理解决实际问题。
教学内容：1. 正弦定理的定义及公式。
2. 正弦定理的证明过程。
3. 正弦定理在实际问题中的应用。
教学重点：1. 正弦定理的定义和公式。
2. 正弦定理的证明过程。
教学难点：1. 正弦定理的证明过程。
2. 正弦定理在实际问题中的应用。
教学方法：1. 采用讲授法，讲解正弦定理的定义、公式和证明过程。
2. 采用案例分析法，分析正弦定理在实际问题中的应用。
3. 采用小组讨论法，让学生分组讨论正弦定理的证明过程和实际应用。
六、教学步骤：1. 引入：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生思考如何将这些知识应用于解决更复杂的问题。
2. 讲解：讲解正弦定理的定义和公式，通过示例解释其意义。
3. 证明：引导学生思考正弦定理的证明过程，分组讨论并展示各自的证明方法。
4. 应用：通过实际问题，让学生运用正弦定理进行求解，分组讨论并分享解题过程。
七、教学评估：1. 课堂提问：检查学生对正弦定理定义和公式的理解程度。
2. 小组讨论：评估学生在讨论正弦定理证明过程中的思维能力和团队协作能力。
3. 课后作业：布置有关正弦定理应用的题目，让学生巩固所学知识。
正弦定理教学设计（精选5篇）
正弦定理教学设计正弦定理教学设计（精选5篇）作为一名专为他人授业解惑的人民教师，常常要根据教学需要编写教学设计，教学设计是实现教学目标的计划性和决策性活动。
教学设计应该怎么写才好呢？下面是小编精心整理的正弦定理教学设计（精选5篇），仅供参考，希望能够帮助到大家。
正弦定理教学设计1一、教学内容分析本节课是高一数学第五章《三角比》第三单元中正弦定理的第一课时，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是坐标法等知识在三角形中的具体运用，是生产、生活实际问题的重要工具，正弦定理揭示了任意三角形的边角之间的一种等量关系，它与后面的余弦定理都是解三角形的重要工具。
本节课其主要任务是引入证明正弦定理及正弦定理的基本应用，在课型上属于“定理教学课”。
因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，学生通过对定理证明的探究和讨论，体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性学习的能力。
二、学情分析对高一的学生来说，一方面已经学习了平面几何，解直角三角形，任意角的三角比等知识，具有一定观察分析、解决问题的能力；但另一方面对新旧知识间的联系、理解、应用往往会出现思维障碍，思维灵活性、深刻性受到制约。
根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，注意前后知识间的联系，引导学生直接参与分析问题、解决问题。
三、设计思想：培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要方面，也是高中新课程改革的主要任务。
如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为：“知识不是被动吸收的，而是由认知主体主动建构的。
”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不仅是通过教师传授得到的，更重要的是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下)协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。
导学案024 正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理、余弦定理的应用考纲要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.考情分析：1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低档题.教学过程基础知识实际问题中的有关概念及常用术语(1)基线：在测量上，根据测量需要适当确定的 _______ 叫做基线．(2)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(3)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向．②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.③其他方向角类似．(5)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h与水平宽度之比即i＝h b＝tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图)．(6)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．双基自测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A在点B ( )A ．北偏东15°B ．北偏西15°C ．北偏东10°D ．北偏西10°3．(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°， ∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m典例分析考点一：测量距离问题[例1] (2010·陕西高考)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？变式1．(2012·衢州质检)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B 望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________．．求距离问题要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.考点二：测量高度问题[例2] (2012·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、B两地相距100米，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比B地晚217秒．在A地测得该仪器至最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)变式2．(2012·台州模拟)如图，测量河对岸的旗杆高AB时，选与旗杆底B在同一水平面内的两个测点C与D.测得∠BCD＝75°，∠BDC＝60°，CD＝a，并在点C测得旗杆顶A的仰角为60°，则旗杆高AB为________．求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.考点三：测量角度问题[例3] (2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．利用正、余弦定理解实际问题的答题模板[考题范例](12分)(2010·福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设小艇与轮船在B 处相遇，相遇时小艇航行的距离为S 海里，如图所示．在△AOB 中A ＝90°－30°＝60°∴S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 60° ＝900t 2－600t ＋400＝ 900⎝⎛⎭⎪⎫t －132＋300.(4分)∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23，又t ＝23时，v ＝30(海里/小时)．故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23. 此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下： 航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． (12分)一个步骤解三角形应用题的一般步骤： (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．两种情形解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．本节检测1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )A.16B.17C.18D.19 2．地上画了一个角∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点N，则N与D之间的距离为( )A．14米 B．15米 C．16米 D．17米3．(2012·大连联考)如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是( )A．10米 B．102米 C．103米 D．106米4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A．50 m B．100 m C．120 m D．150 m5．(2012·北师大附中模拟)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是( )A．102海里 B．103海里 C．202海里 D．203海里6．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.7．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.自我反思。
正弦定理及其应用教案
5.13 正弦定理及其应用一、教材分析正弦定理是高中新教材人教B版必修内容，是使学生在已有知识的基础上，通过对三角形边角关系的研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。
在教学过程中，要引导学生自主探究三角形的边角关系，先由特殊情况发现结论，再对一般三角形进行推导证明，并引导学生分析正弦定理可以解决两类关于解三角形的问题：（1）已知两角和一边，解三角形；（2）已知两边和其中一边的对角，解三角形。
二、学情分析本节授课对象是高一学生，是在学生学习了必修④基本初等函数Ⅱ和三角恒等变换的基础上，由实际问题出发探索研究三角形边角关系，得出正弦定理。
高一学生对生产生活问题比较感兴趣，由实际问题出发可以激起学生的学习兴趣，使学生产生探索研究的愿望。
三、教学目标1.知识与技能：(1)引导学生发现正弦定理的内容，探索证明正弦定理的方法；(2)简单运用正弦定理解三角形、初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题2.过程与方法：(1)通过对定理的探究，培养学生发现数学规律的思维方法与能力；(2)通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力和体会分类讨论和数形结合的思想方法。
3.情感、态度与价值观：(1)通过对三角形边角关系的探究学习，经历数学探究活动的过程，体会由特殊到一般再由一般到特殊的认识事物规律，培养探索精神和创新意识；(2)通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界，进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养。
四、教学重点、难点教学重点：1.正弦定理的推导 2.正弦定理的运用教学难点： 1.正弦定理的推导 2.正弦定理的运用。
五、学法与教法学法：开展“动脑想、严格证、多交流、勤设问”的研讨式学习方法，逐渐培养学生“会观察”、“会类比”、“会分析”、“会论证”的能力。
教法：运用“发现问题—自主探究—尝试指导—合作交流”的教学模式整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则，突出：①动——师生互动、共同探索；②导——教师指导、循序渐进。
《余弦定理、正弦定理应用举例》教案、导学案、课后作业
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教案第3课时余弦定理、正弦定理应用举例【教材分析】三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、面积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦定理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用有关三角函数公式.【教学目标与核心素养】课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1.数学抽象：方位角、方向角等概念；2.逻辑推理：分清已知条件与所求，逐步求解问题的答案；3.数学运算：解三角形；4.数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．【教学重点和难点】重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.【教学过程】一、情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。
于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。
那么运用正弦定理、余弦定理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的高度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1 济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．李明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，测得泉标顶部仰角为80°.你能帮李明同学求出泉标的高度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.【解析】如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°.在△ABD 中，根据正弦定理，BD sin 60°＝AB sin ∠ADB . ∴BD ＝AB ·sin 60°sin 20°＝15.2·sin 60°sin 20°≈38.5(m)． 在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°＝38.5·sin 80°≈38(m)，即泉城广场上泉标的高约为38 m.解题技巧（测量高度技巧）(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用．跟踪训练一1、乙两楼相距200 m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是多少？【答案】甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033m. 【解析】如图所示，AD 为乙楼高，BC 为甲楼高．在△ABC 中，BC ＝200×tan 60°＝2003，AC ＝200÷sin 30°＝400，由题意可知∠ACD ＝∠DAC ＝30°，∴△ACD 为等腰三角形．由余弦定理得AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos 120°，4002＝AD 2＋AD 2－2AD 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3AD 2，AD 2＝40023，AD ＝40033.故甲楼高为200 3 m ，乙楼高为40033 m. 题型二 测量角度问题例2 如图所示，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3) n mile 的两个观测点．现位于A 点北偏东45°方向、B 点北偏西60°方向的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距20 3 n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，则该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 救援船到达D 点需要的时间为1 h. 【解析】由题意，知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝AB sin ∠ADB， 即BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB＝＝＝10 3 n mile.又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝60°，BC ＝20 3 n mile ， 3)sin 45sin1055(33)sin 4545cos 60cos 45sin 60++∴在△DBC 中，由余弦定理，得CD ＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC cos ∠DBC ＝ 300＋1 200－2×103×203×12＝30 n mile ， 则救援船到达D 点需要的时间为3030＝1 h. 解题技巧： (测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解．跟踪训练二1、在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距离A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile 的C 处的缉私船奉命以10 3 n mile 的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.【解析】 设缉私船用t h 在D 处追上走私船，画出示意图，则有CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，∵AB ＝3－1，AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120°＝6，∴BC ＝6，且sin ∠ABC ＝ACBC ·sin∠BAC ＝26·32＝22， ∴∠ABC ＝45°，∴BC 与正北方向成90°角．∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BCD ＝BD ·sin∠CBD CD ＝10t sin 120°103t＝12，∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.题型三 测量距离问题例3 如图所示，要测量一水塘两侧A ，B 两点间的距离，其方法先选定适当的位置C ，用经纬仪测出角α，再分别测出AC ，BC 的长b ，a 则可求出A ，B 两点间的距离．若测得CA＝400 m ，CB ＝600 m ，∠ACB ＝60°，试计算AB 的长．【答案】A ，B 两点间的距离为2007 m.【解析】在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos ∠ACB ，∴AB 2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.∴AB ＝2007 (m)．即A ，B 两点间的距离为2007 m.例4 如图所示，A ，B 两点在一条河的两岸，测量者在A 的同侧，且B 点不可到达，要测出A ，B 的距离，其方法在A 所在的岸边选定一点C ，可以测出A ，C 的距离m ，再借助仪器，测出∠ACB ＝α，∠CAB ＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出AB .若测出AC ＝60m ，∠BAC ＝75°，∠BCA ＝45°，则A ，B 两点间的距离为________ m.【答案】20 6 .【解析】∠ABC ＝180°－75°－45°＝60°，所以由正弦定理得，AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝60×sin 45°sin 60°＝206(m)． 即A ，B 两点间的距离为20 6 m.解题技巧（测量距离技巧）当A，B两点之间的距离不能直接测量时，求AB的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图①)：可取某点C，使得A，B与C之间的距离可直接测量，测出AC＝b，BC＝a以及∠ACB＝γ，利用余弦定理得：AB＝a2＋b2－2ab cos γ.(2)两点间可视但不可到达(如图②)：可选取与B同侧的点C，测出BC＝a以及∠ABC 和∠ACB，先使用内角和定理求出∠BAC，再利用正弦定理求出AB.(3)两点都不可到达(如图③)：在河边测量对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C，D，测出CD＝m，∠ACB，∠BCD，∠ADC，∠ADB，再在△BCD中求出BC，在△ADC 中求出AC，最后在△ABC中，由余弦定理求出AB.跟踪训练三1.如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.若测得CD＝32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．【答案】A，B两点间的距离为64km.【解析】∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝32.在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得BC ＝DC sin ∠DBC ·sin∠BDC ＝32sin 45°·sin 30°＝64. 在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45°＝34＋38－2×32×64×22＝38. ∴AB ＝64(km)．∴A ，B 两点间的距离为64km. 五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本51页练习，52页习题6.4中剩余题.【教学反思】对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决.构造三角形时，要注意使构造三角形含有尽量多个已知量，这样可以简化运算.学生在这里的数量关系比较模糊，需要强化，三角形相关知识点需要简单回顾。
《余弦定理、正弦定理的应用》教学设计、导学案、同步练习
《6.4.3 余弦定理、正弦定理》教学设计第3课时余弦定理、正弦定理的应用【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要学习利用正弦定理、余弦定理来求不能到达的两点之间的距离、底部不能到达的建筑物的高、角度问题。
正弦定理、余弦定理是学生学习了平面向量之后要掌握的两个重要定理，运用这两个定理可以初步解决几何及工业测量等实际问题，是解决有关三角形问题的有力工具。
这是一节关于正、余弦定理应用举例课.利用应用举例培养学生的数学建模能力。
把应用正余弦定理解决有关距离、高度、角度等问题融合起来，让学生经历情景的过程中解决数学问题。
【教学目标与核心素养】A.进一步熟悉余弦定理、正弦定理；B.了解常用的测量相关术语；C.能运用余弦定理、正弦定理等知识和方法解决有关距离、高度、角度的实际问题。
【教学重点】：实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解；【教学难点】：根据题意建立数学模型，画出示意图。
3.余弦定理：变形：4.三角形中的结论：5.情境引入：（1）现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物的高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？ （2）在实际的航海生活中,人们也会遇到如下的问题：在浩瀚的海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？二、探索新知 类型一 距离问题例1 如图， A ，B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A ，B两点间的距离的方法.并求出A ，B 间的距离。
解：测量者可以在河岸边选定两点C ，D ，测得RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===c b a C B A ::sin :sin :sin =Cab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=abc b a C ca b a c B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 222222222-+=-+=-+=;π=++C B A C B A C B A cos )cos(,sin )sin(-=+=+2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A =+=+CD=a，并且在C，D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=γ，∠BDA=δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得于是，在△ABC中，应用余弦定理可得A，B两点间的距离思考：在上述测量方案下，还有其他计算A，B两点间距离的方法吗？【分析】先求AD，BD的长度，进而在三角形ABD中，求A，B间的距离。
数学正弦定理优秀教案及教学设计
数学正弦定理优秀教案及教学设计人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计导语：什么是正弦定理？关于正弦定理的教案设计要怎么写？以下是品才网小编整理的人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计，欢迎阅读参考！人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计【教学目的】1理解并掌握正弦定理，能运用正弦定理解斜三角形，解决实际问题，正弦定理在高考中的应用，熟悉高考题型。
2. 引导学习探索知识，学以致用，培养观察、归纳、猜想、探究的思维方法与能力。
通过对实际问题的探索，培养学生对数学的观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，增强学生的协作能力和数学交流能力，提升数形结合与转化思想。
【教学重点】理解掌握正弦定理，运用正弦定理解三角形，解决实际应用问题【教学难点】正弦定理的熟练运用，提升正弦定理的综合运用能力，解决实际生活中的有关问题。
【教学方法】启发引导、观察发现、精讲多练，双主体互动，多媒体辅助教学【教学过程】一. 引入：1.三角形中有几个要素?2.三角形可分为直角三角形和斜三角形;3.三角形中的边角关系：A+B+C=π; A>B则a>b; a+b>c;4.直角三角形中A+B=90°;勾股定理 ;5.斜三角形ABC中的边角关系如何表示? 三角形中的大边对大角，正弦定理表示了边角关系的准确量化提问:正弦定理的内容?公式默写。
二.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[理解定理](1)正弦定理适合于任何三角形;(2)正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦比值相等;即边与其对角的正弦成正比;(3) 等价于，，每个等式可视为一个方程：知三求一正弦定理的基本作用为：正弦定理可以解决三角形中两类问题：①已知三角形的两角和任意一边，求另一角和其他边;，如 ;②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角，如一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。
导学案023 正弦定理和余弦定理的应用
正弦定理、余弦定理的应用教学目标：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 教学重点：1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考 查是高考考查的重点．2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低 档题. 教学过程： 基础知识实际问题中的有关概念及常用术语(1)基线 ：在测量上，根据测量需要适当确定的 _______ 叫做基线． (2)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．(3)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点 的方位角为α(如图②)． (4)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东α：指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°. ③其他方向角类似．(5)坡角与坡比坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 与水平宽度之比即i ＝hb ＝tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图)．(6)视角观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视角(如图)．基础自测1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是 ( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180° 2．若点A 在点C 的北偏东30°，点B 在点C 的南偏东60°，且AC ＝BC ，则点A 在点B ( ) A ．北偏东15° B ．北偏西15° C ．北偏东10° D ．北偏西10°3．(教材习题改编)如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°， ∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为 ( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m 4．(2011·上海高考)在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A 、C 两点之间的距离为________千米． 5．(2012·泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上．继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°，另一灯塔在船的南偏东75°，则这艘船每小时航行________海里． 关键点点拨：解三角形应用题常有以下几种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两或两个以上的三角形，这里需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．(3)实际问题经抽象概括后，涉及到的三角形只有一个，所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理． 考点一：测量距离问题 [例1] (2010·陕西高考)如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·衢州质检)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B 望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则这条河的宽度为________．2．(2012·舟山联考)如图，为了计算渭河岸边两景点B 与C 的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D 两个测量点．现测得AD ⊥CD ，AD ＝100 m ，AB ＝140 m ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 之间的距离(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2＝1.414，3＝1.732，5＝2.236)．[冲关锦囊]求距离问题要注意(1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理. 考点二：测量高度问题 [例2] (2012·郑州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A 、B 、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A 、B 两地相距100米，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217秒．在A 地测得该仪器至最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音的传播速度为340米/秒)[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)3．(2012·台州模拟)如图，测量河对岸的旗杆高AB 时，选与旗杆底B 在同一水平面内的两个测点C 与D.测得∠BCD ＝75°，∠BDC ＝60°，CD ＝a ，并在 点C 测得旗杆顶A 的仰角为60°，则旗杆高AB 为________．4．(2012·丽水模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，求电视塔的高度．[冲关锦囊]求解高度问题首先应分清(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角；(2)准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图；(3)运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.考点三：测量角度问题[例3](2012·苏北四市联考)如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C 三点进行测量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝80 m，于B处测得水深BE ＝200 m，于C处测得水深CF＝110 求∠DEF的余弦值[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·无锡模拟)如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．[冲关锦囊]1.测量角度，首先应明确方位角，方向角的含义．2.在解应用题时，分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理综合使用的特点．利用正、余弦定理解实际问题的答题模板[考题范例](12分)(2010·福建高考)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．解：(1)设小艇与轮船在B处相遇，相遇时小艇航行的距离为S 海里，如图所示． 在△AOB 中A ＝90°－30°＝60° ∴S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos 60° ＝900t 2－600t ＋400＝900⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋300.(4分)∵0＜v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23，又t ＝23时，v ＝30(海里/小时)．故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇． (12分)[模板建构]解斜三角形应用题的一般步骤为：第一步：分析.理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模.根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形AOB 中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步:求解.利用余弦定理，把S 用t 表示出来．第四步：检验.检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．一、选择题1．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为( )A.16B.17C.18D.192．地上画了一个角∠BDA ＝60°，某人从角的顶点D 出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一边的方向行走14米正好到达∠BDA 的另一边BD 上的一点，我们将该点记为点N ，则N 与D 之间的距离为( )A ．14米B ．15米C ．16米D ．17米3．(2012·大连联考)如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10米B ．102米C ．103米D ．106米4．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m5．(2012·北师大附中模拟)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B 、C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．202海里D ．203海里 二、填空题6．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________.7．一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.三、解答题8．(2012·兰州模拟)某单位在抗雪救灾中，需要在A ，B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6 km 的C ，D 两地测得∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝30°(如图，其中A ，B ，C ，D 在同一平面上)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是A ，B 之间距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？9．(2012·泉州模拟)如图，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里的C 处的乙船． (1)求处于C 处的乙船和遇险渔船间的距离；(2)设乙船沿直线CB 方向前往B 处救援，其方向与CA 成θ角，求f (x )＝sin 2θsin x ＋34cos 2θcos x (x ∈R)的值域．10．如图，扇形AOB ，圆心角AOB 等于60°，半径为2，在弧AB 上有一动点P ，过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ，设∠AOP ＝θ，求△POC 面积的最大值及此时θ的值．解：因为CP ∥OB ，所以∠CPO ＝∠POB ＝60°－θ， ∴∠OCP ＝120°.在△POC 中，由正弦定理得OP sin ∠PCO ＝CP sin θ，∴2sin 120°＝CP sin θ，所以CP ＝43sin θ. 又OC sin (60°－θ)＝2sin 120°，∴OC ＝43sin(60°－θ)．因此△POC 的面积为 S (θ)＝12CP ·OC sin 120°＝12·43sin θ·43sin(60°－θ)×32 ＝43sin θsin(60°－θ) ＝43sin θ⎝⎛⎭⎫32cos θ－12sin θ ＝23⎣⎡⎦⎤cos (2θ－60°)－12，θ∈(0°，60°)． 所以当θ＝30°时，S (θ)取得最大值为33.。
正弦定理和余弦定理及应用(导学案) (2)
课题：正弦定理和余弦定理及应用（导学案）学习目标：1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2、探究三角形的面积公式3、能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。
课前预习已知在A B C ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边。
则：1.正弦定理：____________________===_______（ ）2.正弦定理的几个变形(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3、余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C === 4.在解三角形时，常用的结论（1）在A B C ∆中，A>B ⇔______（大边对大角，大角对大边） ( 2 ) A+B+C= ；sin sin()C A B =+； cos cos()C A B =-+（3）三角形的面积公式：______________________________________ABC S ===______________________________________ABC S ===基础练习：1、在ABC ∆中， 45=A ， 60=B ，4=b ，求a .2、已知 30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin .3、已知8=b ，3=c ， 60=A ，则=a .4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B .5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ， 30=B ，则ABC ∆的面积等于 .归纳：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角，常用 定理；（2）已知两边和一边的对角，求第三边和其他两角，常用 定理或余弦定理（方程思想）；（3）已知三边求三角，常用 定理；（4）已知两边和它的夹角，求第三边和其他两个角，常用 定理.要数形结合，画图分析边角关系，合理使用公式.课堂探究题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 45=B ，求角A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 30=A ，求角B .2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ， 150=A ，求角B .题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.变式：在ABC ∆中， 120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.变式：1、在ABC ∆中，已知C cB bA acos cos cos ==，判断ABC ∆的形状.2、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，试证明：ABC ∆为正三角形.高考真题体验：（2008年高考）在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且 45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课后巩固1、 在A B C ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________ 2、在A B C ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC BCb c∆= 3、A B C ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么A B C ∆一定是_______4、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____5、已知三角形一个内角为 60，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
正弦定理的应用
正弦定理的应用一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握正弦定理的基本原理，灵活应用于解决实际问题；2. 学生能够运用正弦定理解决三角形中的角度和边长问题；3. 学生了解正弦定理在现实生活中的应用，如测量距离、高度等。
技能目标：1. 学生通过实际操作和练习，提高运用正弦定理解决问题的能力；2. 学生能够运用数学软件或计算器辅助解决正弦定理相关的问题；3. 学生学会合作、讨论，提高团队解决问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 学生培养对数学学科的兴趣和热情，增强自信心；2. 学生在学习过程中，培养严谨、细心的学习态度；3. 学生通过解决实际问题的过程，体会数学知识在实际生活中的价值，提高社会责任感。
分析课程性质、学生特点和教学要求：1. 本课程为八年级数学课程，属于几何与三角学的范畴，是初中数学教学的重点和难点；2. 学生已具备基本的几何知识和三角函数知识，具有一定的逻辑思维能力和问题解决能力；3. 教学要求注重培养学生的实际应用能力，强调知识与实践相结合，提高学生的创新意识和实践能力。
二、教学内容1. 教学大纲：（1）回顾正弦定理的基本原理；（2）正弦定理在实际问题中的应用；（3）运用正弦定理解决三角形问题；（4）结合数学软件或计算器辅助教学；（5）讨论与交流正弦定理在实际生活中的应用。
2. 教学内容安排与进度：（1）第一课时：复习正弦定理的基本原理，进行基础练习；（2）第二课时：介绍正弦定理在实际问题中的应用，举例讲解；（3）第三课时：运用正弦定理解决三角形问题，进行课堂练习；（4）第四课时：结合数学软件或计算器，解决复杂问题；（5）第五课时：讨论与交流正弦定理在实际生活中的应用，进行总结。
3. 教材章节与内容：（1）教材第八章第三节：正弦定理；（2）教材第八章练习题：正弦定理相关习题；（3）教材附录：数学软件或计算器的使用方法。
4. 教学内容列举：（1）正弦定理的基本原理；（2）正弦定理在解决三角形问题中的应用；（3）正弦定理在实际问题中的应用案例分析；（4）数学软件或计算器在解决正弦定理问题中的应用；（5）正弦定理在实际生活中的应用实例。
《正弦定理》的设计说明
《正弦定理的应用》设计说明长沙市麓山滨江实验学校曾令伶点明课题本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第二章《解三角形》中的2.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、探索、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第二课时的一个小片断：正弦定理的简单应用。
下面我从四个方面来说说对这个片断的分析和设计：一、在教材中的地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第二章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。
对比同学们在初中学习过的解直角三角形，解三角形虽是少了一个字，明显我们面临解决的问题范围却扩大了。
因此，本章内容是对初中解直角三角形内容的直接延伸，在解直角三角形时主要借助三角形内角和定理、三角函数和方程的思想来实现，这种方法当然是局限于直角三角形，面对一般的三角形同学将束手无策。
正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解三角形中存在边与角的定量关系的一个开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。
作为三角形中的一个定理，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的应用，掌握的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成善于思考的品质和勇于求真的精神，感受、了解数学在实际中的应用。
二、教学目标分析根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定如下教学目标：认知目标：在创设的问题情境中，使学生简单运用正弦定理能力目标：通过对正弦定理的应用，培养学生的思维能力，体会将几何问题转化为代数问题。
情感目标：面向全体学生，创造平等的教学氛围，通过学生之间、师生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生成功的体验，激发学生学习的兴趣；培养学生探索数学规律的数学思想，体验由特殊到一般的数学方法，培养学生在方程思想指导下解三角形运算能力。
教学设计2：9.1.1 正弦定理 第2课时 正弦定理的应用
9.1.1 正弦定理 第2课时 正弦定理的应用教学目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角恒等变换解决较为复杂的三角形问题． 教学知识梳理知识点一 对三角形解的个数的判断已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现两解的情况，三角形不能被唯一确定，现以已知a ，b 和A 解三角形为例，从两个角度予以说明： (1)代数角度：由正弦定理得sin B ＝b sin Aa，①若b sin A a >1，则满足条件的三角形个数为0，即无解．②若b sin A a ＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解．③若b sin A a <1，则满足条件的三角形个数为1或2.(2)几何角度：图形关系式 解的个数A 为锐角①a ＝b sin A ； ②a ≥b 一解b sin A <a <b两解a <b sin A无解A 为钝角 或直角a >b一解a≤b无解知识点二1.asin A＝bsin B＝csin C＝2R(R为△ABC外接圆半径)．2．a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C.3．sin A＝a2R，sin B＝b2R，sin C＝c 2R.教学案例案例一三角形解的个数的判断例1.下列条件判断三角形解的情况，正确的是．(填序号)①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．【答案】④【解析】①中a＝b sin A，有一解；②中c sin B<b<c，有两解；③中A＝90°且a>b，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．反思感悟判断三角形解的情况先判断角，若有一个为钝角，则有一解或无解；若无钝角，则有一解、两解或无解，然后再由大边对大角来具体判断解的情况．跟踪训练1.根据下列条件，判断三角形是否有解，若有解，有几个解：(1)a＝7，b＝5，A＝80°；(2)a＝14，b＝16，A＝45°.解：方法一(1)∵a＝7，b＝5，A＝80°，∴a>b，有一解，即这样的三角形是唯一的．(2)∵b sin A＝16×22＝82，a＝14，∴b sin A<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个．方法二(1)由asin A＝bsin B，得sin B＝b·sin Aa＝5sin 80°7<1.又∵b<a，∴B<80°，∴有一解，即这样的三角形是唯一的．(2)由14sin 45°＝16sin B，得sin B＝427<1.又b>a，∴B>A，∴B有一锐角值和一钝角值，即有两解，即符合条件的三角形有两个． 案例二 正弦定理的证明及应用例2.在△ABC 中，求证：a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ＝2ab sin C. 证明:由正弦定理得a 2sin 2B ＋b 2sin 2A ab ＝a b sin 2B ＋ba sin 2A＝sin A ·sin 2B sin B ＋sin B ·sin 2Asin A＝2(sin A ·cos B ＋sin B ·cos A ) ＝2sin(A ＋B )＝2sin C ，故原式成立．反思感悟 引入三角形的外接圆半径，可以加深理解正弦定理的几何意义，使三角形中的边角互化更加方便．跟踪训练2.△ABC 的外接圆O 的半径为R ，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R . 证明：①若A 为直角(如图1所示)，在Rt △BAC 中，可直接得a ＝2R sin A ；②在锐角△ABC 中(如图2所示)，连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角A ′＝A .∵A ′B 为直径，长度为2R ， ∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BC A ′B ＝a 2R ， ∴sin A ＝a2R ，a ＝2R sin A ；③若A 为钝角(如图3所示)，作直径BA ′，连接A ′C ，则A ′＝π－A ，在Rt △BCA ′中， BC ＝A ′B sin A ′＝2R sin(π－A )＝2R sin A ，即a ＝2R sin A .由①②③得a ＝2R sin A ，即2R ＝asin A ，同理可证，2R ＝b sin B ，2R ＝csin C.所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝2R .案例三 利用正弦定理判断三角形的形状例3.已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a 3＋b 3－c 3a ＋b －c ＝c 2，且a cos B ＝b cos A ，试判断△ABC 的形状． 解：由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c ＝c 2，得a 3＋b 3－c 3＝c 2(a ＋b )－c 3， 所以a 2＋b 2－ab ＝c 2， 所以cos C ＝12，又因为0°<C <180°，所以C ＝60°.由a cos B ＝b cos A ，得2R sin A cos B ＝2R sin B cos A (R 为△ABC 外接圆的半径)， 所以sin(A －B )＝0， 又因为－120°<A －B <120°，所以A －B ＝0°，所以A ＝B ＝C ＝60°， 所以△ABC 为等边三角形． 反思感悟 判断三角形形状的方法(1)判断三角形形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可转化为角与角的关系．(2)注意在边角互化过程中，正弦定理的变形使用．跟踪训练3.在△ABC 中，若(sin A ＋sin B )(sin A －sin B )＝sin 2C ，则△ABC 是________三角形． 【答案】直角【解析】由已知得sin 2A －sin 2B ＝sin 2C ，根据正弦定理知a 2－b 2＝c 2，故b 2＋c 2＝a 2.所以△ABC 是直角三角形．课堂小结 1．知识清单：(1)三角形解的个数的判断． (2)判断三角形的形状． (3)角平分线结论的应用．2．方法归纳：数形结合思想，函数与方程思想． 3．常见误区： (1)忽略角的隐含范围． (2)考虑不全面造成漏解． 当堂检测1．(多选)下列条件中可以使△ABC 有两个解的是( ) A ．b ＝3，c ＝4，B ＝30° B ．a ＝5，b ＝8，A ＝30° C ．c ＝6，b ＝33，B ＝60° D ．c ＝9，b ＝12，C ＝60° 【答案】AB【解析】∵c sin30°＝2，∴2<b ＝3<4，即c sin30°<b <c ，因此有两解，同理可得B 有两解；C 有一解；D 无解．故选AB.2．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Cc ，则C 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 【答案】B【解析】由正弦定理知sin A a ＝sin C c ，∴sin C c ＝cos Cc ，∴cos C ＝sin C ，∴tan C ＝1，又∵0°<C <180°，∴C ＝45°.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝2π3，b ＝4，a ＝5，则满足条件的三角形有 个． 【答案】1【解析】因为a >b ，所以A >B ，由正弦定理知sin B ＝b sin A a ＝235，则角B 只能是锐角，只能有一个解．4．在△ABC 中，lg(sin A ＋sin C )＝2lgsin B －lg(sin C －sin A )，则此三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形【解析】∵lg(sin A ＋sin C )＝lg sin 2Bsin C －sin A，∴sin 2C －sin 2A ＝sin 2B ， 结合正弦定理得c 2＝a 2＋b 2， ∴△ABC 为直角三角形．5．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知m ＝(2b －3c ，cos C )，n ＝(3a ，cos A )，且m ∥n . (1)求角A 的大小；(2)求2cos 2B ＋sin(A －2B )的最小值．解：(1)由m ∥n ，得(2b －3c )cos A －3a cos C ＝0.由正弦定理得，2sin B cos A －3sin C cos A －3sin A cos C ＝0，即2sin B cos A －3sin(A ＋C )＝0，∴2sin B cos A －3sin B ＝0. ∵A ，B ∈(0，π)，∴sin B ≠0， ∴cos A ＝32，∴A ＝π6. (2)∵A ＝π6，∴2cos 2B ＋sin(A －2B )＝1＋cos 2B ＋sin π6cos 2B －cos π6sin 2B＝3cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＋1. ∵B ∈⎝⎛⎭⎫0，5π6，∴2B ＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，11π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6∈⎣⎡⎭⎫－1，32， ∴2cos 2B ＋sin(A －2B )∈⎣⎡⎭⎫1－3，52， ∴2cos 2B ＋sin(A －2B )的最小值为1－ 3.。
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山西大学附中高中数学（必修5）导学设计 编号2
正弦定理的应用
【学习目标】1. 会运用正弦定理解决简单的解三角形问题.
2. 会运用正弦定理在相关问题中进行边角互化.
【学习重点】正弦定理的应用
【学习难点】合理利用正弦定理解决相关问题
【学习过程】
一．导学：
1.一般地，把 叫做三角形的元素， 叫做解三角形.
2. 正弦定理在解三角形中的应用：
利用正弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：
（1）已知 ，求 .
（2）已知 ，求 .
①若 为锐角，则
②若 为直角或钝角，则
二．导练：
1. 在ABC ∆中，已知 75,3,45=∠==∠C AC A ，则BC 的长为 .
2. 在ABC ∆中，已知5,25,45===b c B ，则a = .
3. （1） 在ABC ∆中，已知 60,3,3==
=A b a ，求B 和c .
（2）在ABC ∆中，已知 30,326,26===A b a ，求B 和c .
4.（1）已知在ABC ∆中，B A C 222sin sin sin +=，则该三角形为（ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．不能确定
（2）在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，c
b A 2212cos 2+=，则ABC ∆的形状为( )
A ．正三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形
5．在ABC ∆中，若,5522cos ,4,2==
=B C a π求ABC ∆的面积S .
6. 在ABC ∆中，求证：0cos cos cos cos cos cos 2
22222=+-++-++-A
C a c C B c b B A b a .
三．目标检测：
1．在ABC ∆中，若B A sin sin >，则A 与B 的大小关系为（ ）
A ．
B A > B ．B A <
C ．A B ≥
D ．A 、B 的大小关系不能确定
2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若 135=A , 30=B ,2=a ,则b 等于( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
3. 在ABC ∆中，3,1=
=b a ， 30=A ，则B 等于（ ） A ． 60 B ． 60或 120 C ． 30或 150 D ．
120 4. ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,,c b a a A b B A a 3cos sin sin 2=+，则=a
b ( ) A. 2 B. 3 C. 22 D. 32 5．在ABC ∆中，A 、B 、C 的对边分别为
c b a ,,，记 45,2,===B b x a ，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是 .
6. 在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则三角形的形状为 .
7．在ABC ∆中，A B b a 2,62,3===．
(1)求A cos 的值； (2)求c 的值．
8．在ABC ∆中，已知内角A π=3
，边BC =．设内角B x =，周长为y ． （1）求函数()y f x =的解析式和定义域； （2）求y 的最大值．。