2020年广东省中考数学压轴题：动点问题

2020年广东省中考数学压轴题：动点问题

例1：如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k ≠0）与直线y ＝x ＋2都经过点A (2, m )．

（1）求k 与m 的值；

（2）此双曲线又经过点B (n , 2)，过点B 的直线BC 与直线y ＝x ＋2平行交y 轴于点C ，联结AB 、AC ，求△ABC 的面积；

（3）在（2）的条件下，设直线y ＝x ＋2与y 轴交于点D ，在射线CB 上有一点E ，如果以点A 、C 、E 所组成的三角形与△ACD 相似，且相似比不为1，求点E 的坐标．

图1

满分解答

（1）将点A (2, m )代入y ＝x ＋2，得m ＝4．所以点A 的坐标为(2, 4)．

将点A (2, 4)代入k y x

=

，得k ＝8． （2）将点B (n , 2)，代入8y x =，得n ＝4． 所以点B 的坐标为(4, 2)．

设直线BC 为y ＝x ＋b ，代入点B (4, 2)，得b ＝－2．

所以点C 的坐标为(0,－2)．

由A (2, 4) 、B (4, 2) 、C (0,－2)，可知A 、B 两点间的水平距离和竖直距离都是2，B 、C 两点间的水平距离和竖直距离都是4．

所以AB

＝BC

＝ABC ＝90°．

所以S △ABC ＝12BA BC ⋅

＝12

⨯8． （3）由A (2, 4) 、D (0, 2) 、C (0,－2)，得AD

＝AC

＝

由于∠DAC ＋∠ACD ＝45°，∠ACE ＋∠ACD ＝45°，所以∠DAC ＝∠ACE ． 所以△ACE 与△ACD 相似，分两种情况：

①如图3，当CE AD CA AC

=时，CE ＝AD

＝ 此时△ACD ≌△CAE ，相似比为1．

图2

②如图4，当CE AC

CA AD ==CE ＝C 、E 两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E (10, 8)．

图3

图4