求方程组的解典型例题

1 ri ( 1) r2 0 i 3, 4 0 0
所以，当 a 1 ，则 b 2a 2 时，方程组有解.
(2) 由(Biblioteka Baidu)知，将 a 1, b 2 代入 B 中，再作初等行变换
x1 x3 2 x4 3 x5 3 x 2 x 3 x 4 x 2 2 3 4 5 x1 x3 2 x4 3 x5 3 ，即 x3 x3 0 x4 0 x5 0 ，则 x2 2 x3 3 x4 4 x5 2 x 0 x x 0 x 0 3 4 5 4 x5 0 x3 0 x4 x5 0
西
1 1 1 1 1 1 r1 ( 1) r2 1 0 1 2 3 3 B 0 1 2 3 4 2 0 1 2 有同解方程组 3 4 2
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1 1 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0
（ x3 , x4 , x5 为任意常数）
例 8. 非 齐 次 线 性 方 程 组 AX β ， 对 增 广 矩 阵 施 以 初 等 行 变 换 得
1 2 3 4 0 1 2 0 ，则其通解为 0 0 0 1
.
解
应填无解. 因为 r ( A, β ) 3 r ( A) 2 ，故 AX β 无解.
(1) a, b 为何值时，该方程组有解？ (2) 求其通解.
解
(1) 对增广矩阵作初等行变换 1 3 1 5 1 4 2 6 1 5 3 7 1 6 4 8
a 1 0 r2 ( 2 ) r1 0 b r4 ( 4 ) r1 0 0 2
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线性代数与解析几何
典型例题
例 1. 设向量 β 可由向量组 α1 , α2 , , αm 线性表示，但不能由向量组 I ：
1 2 1 3 3 5 1 1 1 3 3 5 1 2 1 3 3 3 | A | 1, 2 3 3 1, 2 2 3 0, 2 3 2 0 唯一解 x1 1, x2 0, x3 0 .
方法三（消元法） ：
1 2 1 1 r ( 2) r 1 2 1 1 r ( 3) r 1 2 1 1 2 1 2 3 ( A, β ) 2 3 3 2 0 1 1 0 0 1 1 0 r ( 3) r1 3 3 5 3 3 0 3 2 0 0 0 1 0
x1 x3 2 x4 3 x5 4 x 2 x 3 x 4 x 5 2 3 4 5 x1 x3 2 x4 3 x5 4 方程组 ，于是有 x3 x3 0 x4 0 x5 0 ，即 x2 2 x3 3 x4 4 x5 5 x 0 x x 0 x 0 3 4 5 4 x x x x 0 0 3 4 5 0 5
x1 2 x2 x3 1 2 x1 3 x2 3 x3 2 3 x 3 x 5 x 3 2 3 1
例 9. 试用三种方法求下列线性方程组的解：
解
因系数矩阵为方阵，且其行列式易算得 | A | 1 0 ，故有：
方法一（逆矩阵法）
1 2 1 1 0 0 r ( 2 ) r 1 2 1 1 0 0 1 2 ( A, E ) 2 3 3 0 1 0 0 1 1 2 1 0 r ( 3) r1 3 3 5 0 0 1 3 0 3 2 3 0 1
西
r3 ( 3) r2
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线性代数与解析几何
典型例题
1 0 0 1 则 r ( A, β ) r ( A) 3 ， 有唯一解 x3 0, x2 0, x1 1 . 0 1 0 0 ， r1 2 r1 ( 1) r3 ,( 1)r2 0 0 1 0
n n
.
4 2 . 2 例 5. 下列齐次线性方程组有非零解需满足
解 应填-2. 由 Cramer 法则即知 x2
x1 x2 x3 ax4 0 x 2x x x 0 1 2 3 4 x1 x2 3 x3 x4 0 x1 x2 ax3 bx4 0
解
应 填
（ k1 , k2 , k3 为任意常数）.
因 r ( A, β ) r ( A) 2 ，而未知量个数 n 5 ，又
1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 1 1 r1 r2 则有等价 （同解） 3 4 5 ， 0 1 2 0 1 2 3 4 5 ( 1) r2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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线性代数与解析几何
典型例题
第4章
n 维向量与线性方程组
第一节 消元法 典型例题 （A）
例 1. 若线性方程组 AX β 中， 方程的个数少于未知量的个数， 则有( (A) AX β 必有无穷多解 (B) AX 0 必有非零解 )
(C) AX 0 仅有零解 (D) AX 0 必无解 解 应选(B). 方程的个数即系数矩阵 A 的行数 m ，未知量的个数即 A 的列数 n ，已知
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.
(4,5,0,0,0)T k1 (1,2,1,0,0)T k 2 (2,3,0,1,0)T k3 (3,4,0,0,1)T
西
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线性代数与解析几何
典型例题
x1 1 2 3 4 x2 2 3 4 5 x x 1 x 0 x 0 0 3 3 4 5 x4 0 1 0 0 0 0 1 0 x5
x1 1 2 3 3 x2 2 3 4 2 x x 1 x 0 x 0 0 ，其中 x , x , x 为任意常数，此即为通解. 3 4 5 3 3 4 5 x4 0 1 0 0 1 0 0 0 x5
x1 1 1 6 7 3 1 A 1 2 1 ，唯一解 x2 A 2 0 . x 3 0 3 3 1 3
1
方法二（Cramer 法则）
则 4b (a 1) 2 . 例 6. 非齐次线性方程组 AX β ，对增广矩阵 A ( A, β ) 施以初等行变换得
1 0 0 0
0 1 0 0
解
0 1 1 0
0 0 1 1
1 2 ，则其解为 3 4
.
应填 (1,3,1,4)T . 因 r ( A, β ) r ( A) 4 （也为未知量个数） ，故方程组有
唯一解： x4 4, x3 3 x4 1, x2 2 x3 3, x1 1 .
例 7. 非齐次线性方程组 AX β ，对增广矩阵 A ( A, β ) 施以初等行变换得
1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 ，则其通解为 0 0 0 0 0 0
m n ，则 r ( A) min{m, n} m n ，故选(B).
注
AX 0 有无穷多解并不意味着 AX β 有无穷多解， AX β 也可能无解. 例 2. 适用于任一线性方程组的解法是( ) (A) 逆矩阵求法 (B) Cramer 法则 (C) 消元法 (D) 以上方法都不对 解 应选(C). 因为方程组的系数矩阵未必是方阵，即使是方阵，也未必可逆. 例 3. 通过消元法得到的阶梯形线性方程组与原方程组是 . 解 应填等价或同解. 消元法实际上就是对 ( A, β ) （或 A ）作初等行变换.
.
解 应填 4b (a 1) 2 . 齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量个数，而
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线性代数与解析几何
典型例题
1 1 1 1
1 a 1 1 1 ri ( 1) r1 0 1 3 1 i 2 , 3, 4 0 0 1 a b 1 2
r2 r3 r1 r3
例 10. 设线性方程组
x1 x2 x3 x4 x5 a 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 0 1 2 3 4 5 x2 2 x3 3 x4 4 x5 b 4 x1 5 x2 6 x3 7 x4 8 x5 2
1 1
1 a r4 a 1 r3 0 4 1 a 0 0 1 a 0 0 a 1 b a 1 0 4
1 1 0
1 0 0
0 4
1 a 1 a 1 [4b (a 1) 2 ] 4 a
r2 r3 1 0 0 6 7 3 1 0 0 r 1 2 1 1 ( 1) r3 0 1 1 2 1 0 0 1 0 1 2 1 ， 则 r ( 2 ) r2 ( 1) r2 1 0 0 1 3 3 1 ( 1) r3 0 0 1 3 3 1
a 1 4 2a 记作 B 0 b 2a 0 2 2a
1 2 ( A, β ) 0 4
1 1 1 1
1 2 2 2
1 3 3 3
a 1 4 2a b 4 4 2 4a
第二节 向量组的线性相关性 典型例题（A）
例 4. 在线性方程组 AX β 中， A (aij ) n n ， Aij 为 aij 的代数余子式，
西
β (b1 , b2 ,, bn )T ，又已知 a2 j A2 j 2, bi Ai 2 4 ，则未知量 x2
j 1 i 1
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