人教版九年级数学上册圆的有关证明和计算专项练习

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九年级上册圆的证明题及答案

DOBC A EPEECOB P D AOBACDBACDO1．如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA 于D ．（1）求证：CD 是⊙O 的切线；（2）若AD ：DC =1：3，AB =8，求⊙O 的半径．（1）证明：连结OC ．∵ OC =OA ，∴ ∠OAC = ∠OCA∵ AC 平分∠PAE ，∴ ∠DAC = ∠OAC ，∴ ∠DAC = ∠OCA ， ∴ AD ∥OC ．∵ CD ⊥PA ，∴ ∠ADC = ∠OCD =90°，即 CD ⊥OC ，点C 在⊙O 上，∴ CD 是⊙O 的切线．（2）解：过O 作OE ⊥AB 于E ．∴ ∠OEA =90°∵ AB =8， ∴ AE =4．在Rt △AEO 中，∠AEO =90°，∴ AO 2=42+OE 2． ∵ ∠EDC = ∠OEA =∠DCO =90°，∴ 四边形DEOC 是矩形， ∴ OC =DE ，OE =CD ．∵ AD:DC =1:3，∴ 设AD =x ，则DC =OE =3x ，OA =OC =DE =DA +AE =x +4， ∴ (x +4)2=42+(3x )2，解得 x 1=0(不合题意，舍去)，x 2=1．则 OA =5．∴ ⊙O 的半径是5． 2.如图1和图2，MN 是⊙O 的直径，弦AB 、CD•相交于MN•上的一点P ，•∠APM=∠CPM ．（1）由以上条件，你认为AB 和CD 大小关系是什么，请说明理由．（2）若交点P 在⊙O 的外部，上述结论是否成立若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．BA CE DP ONM FB A CE DPNM F解：（1）AB=CD 理由：过O 作OE 、OF 分别垂直于AB 、CD ，垂足分别为E 、F∵∠APM=∠CPM ∴∠1=∠2 OE=OF 连结OD 、OB 且OB=OD ∴Rt △OFD ≌Rt △OEB ∴DF=BE 根据垂径定理可得：AB=CD（2）作OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足为E 、F ∵∠APM=∠CPN 且OP=OP ，∠PEO=∠PFO=90° ∴Rt △OPE ≌Rt △OPF ∴OE=OF 连接OA 、OB 、OC 、OD易证Rt △OBE ≌Rt △ODF ，Rt △OAE ≌Rt △OCF ∴∠1+∠2=∠3+∠4 ∴AB=CD3．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长BD 到C ，使AC=AB ，BD 与CD 的大小有什么关系为什么解：BD=CD 理由是：如图，连接AD ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°即AD ⊥BC 又∵AC=AB ∴BD=CD4. 如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠BAC=80°，则∠BOC=（） A ．130° B ．100° C ．50° D ．65° 答案A5．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=•∠A ．（1）CD 与⊙O 相切吗如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．（2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．解：（1）CD 与⊙O 相切 ∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠D=30° ∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10 答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．6．如图，已知正六边形ABCDEF ，其外接圆的半径是a ，•求正六边形的周长和面积．解：如图所示，由于ABCDEF 是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，•△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的周长为6a 在Rt △OAM 中，OA=a ，AM=12AB=12a 利用勾股定理，可得边心距OM=221()2a a -=123a∴所求正六边形的面积=6×12×AB×OM=6×12×a×32a=323a 27．已知扇形的圆心角为120°，面积为300πcm 2．（1）求扇形的弧长；（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少解：（1）如图所示： ∵300π=2120360R π ∴R=30∴弧长L=12030180π⨯⨯=20π（cm ）（2）如图所示： ∵20π=20πr ∴r=10，R=30 AD=900100-=202 ∴S 轴截面=12×BC×AD =12×2×10×202=2002（cm 2）因此，扇形的弧长是20πcm 卷成圆锥的轴截面是2002cm 2． 8.如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是弦，OD ⊥BC 于E ，交⋂BC 于D ． (1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)若BC =8，ED ＝2，求⊙O 的半径．解：(1)不同类型的正确结论有：①BE =CE ;②弧BD=弧CD ③∠BED =90°④∠BOD =∠A ;⑤AC ∥OD ，⑥AC ⊥BC ; ⑦OE 2+BE 2=OB 2;⑧S △ABC ＝BC ·OE ;⑨△BOD 是等腰三角形，⑩△BOE ∽△BAC ; (2)∵OD ⊥BC ， ∴BE ＝CE =12BC =4．设⊙O 的半径为R ，则OE =OD －DE=R －2．在Rt △OEB 中，由勾股定理得 OE 2＋BE 2=OB 2，即(R －2)2＋42=R 2．解得R ＝5． ∴ ⊙ O 的半径为59.已知：如图等边ABC △内接于⊙O ，点P 是劣弧PC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD AP =，连FDECBAOM结CD ．（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断PDC △是什么三角形并说明理由．（2）若AP 不过圆心O ，如图②，PDC △又是什么三角形为什么解：（1）PDC △为等边三角形．理由：ABC ∵△为等边三角形AC BC =∴，又∵在⊙O 中PAC DBC ∠=∠又AP BD =∵ APC BDC ∴△≌△． PC DC =∴ 又AP ∵过圆心O ，AB AC =，60BAC ∠=°1302BAP PAC BAC ∠=∠=∠=∴° 30BAP BCP ∠=∠=∴°，30PBC PAC ∠=∠=°303060CPD PBC BCP ∠=∠+∠=+=∴°°° PDC ∴△为等边三角形．（2）PDC △仍为等边三角形理由：先证APC BDC △≌△（过程同上） PC DC =∴ 60BAP PAC ∠+∠=∵° 又BAP BCP ∠=∠∵，PAC PBC ∠=∠60CPD BCP PBC BAP PAC ∠=∠+∠=∠+∠=∴° 又PC DC =∵ PDC ∴△为等边三角形．10.(1)如图OA 、OB 是⊙O 的两条半径，且OA ⊥OB ，点C 是OB 延长线上任意一点：过点C 作CD 切⊙O 于点D ，连结AD 交DC 于点E ．求证：CD=CE(2)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动交OA 于F ，交⊙O 于B ，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗为什么(3)若将图中的半径OB 所在直线向上平行移动到⊙O 外的CF ，点E 是DA 的延长线与CF 的交点，其他条件不变，那么上述结论CD=CE 还成立吗为什么解：(1)证明：连结OD 则OD ⊥CD ，∴∠CDE+∠ODA=90° 在Rt △AOE 中，∠AEO+∠A=90°在⊙O 中，OA=OD ∴∠A=∠ODA ， ∴∠CDE=∠AEO 又∵∠AEO=∠CED ，∠CDE=∠CED ∴CD=CE (2)CE=CD 仍然成立． ∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动∴CF ⊥AO 于F ，在Rt △AFE 中，∠A+∠AEF=90°．连结OD ，有∠ODA+∠CDE=90°，且OA=OD ．∠A=∠ODA ∴∠AEF=∠CDE 又∠AEF=∠CED ∴∠CED=∠CDE ∴CD=CE(3)CE=CD 仍然成立．∵原来的半径OB 所在直线向上平行移动．AO ⊥CF 延长OA 交CF 于G ，在Rt △AEG 中，∠AEG+∠GAE=90° 连结OD ，有∠CDA+∠ODA=90°，且OA=OD ∴∠ADO=∠OAD=∠GAE ∴∠CDE=∠CED ∴CD=CEAOCPB图①AOCPB图②11.AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于A ，OP 交⊙O 于C ，连BC ．若30P ∠=o，求B ∠的度数．解： PA Q 切⊙O 于A AB ，是⊙O 的直径， ∴90PAO ∠=o．30P ∠=o Q ，∴60AOP ∠=o ．∴1302B AOP ∠=∠=o12.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，BD 是⊙O 的直径，AE CD ⊥，垂足为E ，DA 平分BDE ∠．（1）求证：AE 是⊙O 的切线；（2）若301cm DBC DE ∠==o，，求BD 的长．（1）证明：连接OA ，DA Q 平分BDE ∠，BDA EDA ∴∠=∠．OA OD ODA OAD =∴∠=∠Q ，．OAD EDA ∴∠=∠．OA CE ∴∥． AE DE ⊥Q ，9090AED OAE DEA ∴∠=∠=∠=o o ，．AE OA ∴⊥．AE ∴是⊙O 的切线．（2）BD Q 是直径，90BCD BAD ∴∠=∠=o．3060DBC BDC ∠=∠=o o Q ，，120BDE ∴∠=o ．DA Q 平分BDE ∠，60BDA EDA ∴∠=∠=o ．30ABD EAD ∴∠=∠=o ．在Rt AED △中，90302AED EAD AD DE ∠=∠=∴=oo，，．在Rt ABD △中，903024BAD ABD BD AD DE ∠=∠=∴==oo，，． DE Q 的长是1cm ，BD ∴的长是4cm ．13.如图，已知在⊙O 中，AB=34，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径. 解：连结AD ．∵AC ⊥BD ，AC 是直径，∴AC 垂直平分BD 。

2023 年九年级数学中考专题训练——圆的计算和证明(附答案)

1．如图，在ABC中，AB AC=，以AB为直径作O，交BC于点D，交AC于点E，过点B作O 的切线交OD的延长线于点F．(1)求证：A BOF∠=∠；(2)若4AB=，1DF=，求AE的长．2．如图，AB是O的直径，点C在O上，ABC∠的平分线与AC相交于点D，与O过点A的切线相交于点E．(1)猜想EAD的形状，并证明你的猜想；(2)若8AB=，6AD=，求BD的长．3．如图所示，Rt△ABC中∠ACB＝90°，斜边AB与⊙O相切于D，直线AC过点O并于⊙O相交于E、F两点，BC与DF交于点G，DH⊥AC于H．(1)求证：∠B＝2∠F；(2)若HE＝4，cos B＝35，求DF的长．4．如图，O的直径23AB=点C为O上一点，CF为O的切线，OE AB⊥于点O，分别交AC，CF于D，E两点．(1)求证：ED EC=；(2)若30∠=︒，求图中两处（点C左侧与点C右侧）阴影部分的面积之和．A5．已知PA，PB分别与O相切于点A，B，C为O上一点，连接AC，BC．∠的大小；(1)如图①，若70∠=︒，求ACBAPB∠的大小．(2)如图②，AE为O的直径交BC于点D，若四边形PACB是平行四边形，求EAC6．如图，AB是O的直径，点C在AB的延长线上，BDC A⊥，交AD的延长线于∠=∠，CE AD点E．(1)求证：CD与O相切：(2)若4CE=，2DE=，求AD的长，7．如图，四边形ABCD为平行四边形，边AD是O的直径，O交AB于F点，DE为O的切线交BC于E，且BE BF=，BD和O交于G点．(1)求证：四边形ABCD为菱形．(2)若O半径52r=，5BG=BF长．8．如图，O为ABC的外接圆，AB为直径，ABC∠的角平分线BD交O于点D，过点D作O 的切线DE，交BC的延长线于点E．(1)求证：DE BC⊥；(2)若1CE=，3DE=O的半径．9．如图，AB是O的直径，CA与O相切于点A，且AB AC=．连接OC，过点A作AD OC⊥于点E，交O于点D，连接DB．(1)求证：ACE BAD△△≌；(2)连接BC交O于点F．若6AD=，求BF的长．10．在Rt ABC中，90C∠=︒，以AC为直径的O与AB相交点D、E是BC的中点．(1)判断ED与O的位置关系，并说明理由；(2)若O的半径为3，DEC A∠=∠，求DC的长．11．如图，在ABC中，以ABC的边AB为直径作O，交AC于点D，DE是O的切线，且DE BC⊥，垂足为点E．(1)求证AB BC=；(2)若3DE=，610AC=O的半径．12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，O在AC上，过点C作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，过点O作OE BC，交⊙O于点E，连接CE交AB于点F．(1)求证：CE平分∠ACB；(2)连接OD，若CF=CD=6，求OD的长．13．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径⊙O的交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE，交BA 延长线于点E，延长CA交⊙O于点F，交DE于点G，连接DF．(1)求证：点E为线段CF垂直平分线上一点；，BE=8，求AF的长．(2)若sin∠E=3514．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是AC的中点，连接OD，交AC于点E ，作BF ∥CD ，交DO 的延长线于点F ．(1)求证：四边形BCDF 是平行四边形．(2)若AC =8，连接BD ，tan∠DBF =34，求直径AB 的长及四边形ABCD 的周长．15．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交AC 于点F ，交BC 于点D ，过点D 作⊙O 的切线DE ，交AC 于点E ．(1)求证：DE ⊥AC ；(2)若⊙O 的直径为5，25sin B =EF 的长． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．(1)求证：△CBE ∽△CPB ；(2)当43AB =34CF CP =时，求扇形COB 的面积． 17．如图，AB 为O 的直径，ACB ∠的角平分线交O 于点D ，交AB 于点E ，CAB ∠的角平分线交CD 于点F ．(1)求证：ADB 为等腰直角三角形；(2)求证：2DF DE DC =⋅．18．如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆上的点（在AB 同侧），过点D 的圆的切线交直线AB 于点E ．(1)若2AB =，1BC =，求AC 的长；(2)若四边形ACDE 是平行四边形，证明：BD 平分ABC ∠．19．如图，AB 与O 相切于点B ，BC 为O 的弦，OC OA ⊥，OA 与BC 相交于点P ．(1)求证：AP AB =； (2)若4OB =，3AB =，求线段BP 的长．20．如图，ABC ∆为O 的内接三角形，AD BC ⊥，垂足为D ，直径AE 平分BAD ∠，交BC 于点F ，连接BE ．(1)求证：AEB AFD ∠=∠；(2)若10AB =，5BF =，求DF 的长；(3)若点G 为AB 的中点，连接DG ，若点O 在DG 上，求:BF FC 的值．参考答案：1．(1)见解析 (2)83AE =【分析】(1)首先根据等边对等角可证得C ODB ∠=∠，再根据平行线的判定与性质，即可证得结论；(2)首先根据圆周角定理及切线的性质，可证得AEB OBF ∠=∠，即可证得ABE OFB △∽△，再根据相似三角形的性质即可求得．（1）证明：AB AC =C ABC ∴∠=∠ OB OD =ODB OBD ∴∠=∠C ODB ∴∠=∠AC OD ∴∥A BOF ∴∠=∠（2）解：如图：连接BEAB 是O 的直径，AB =490AEB ∴∠=︒，122OB OD AB === BF 是O 的切线90OBF ∴∠=︒AEB OBF ∴∠=∠又A BOF ∠=∠ABE OFB ∴△∽△AE AB OB OF∴=又213OF OD DF =+=+=423AE ∴=，解得83AE = 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线，证得ABE OFB △∽△是解决本题的关键．2．(1)等腰三角形，证明见解析； (2)145.【分析】（1）利用角平分线和∠C =∠BAE =90°，得出∠E =∠4，从而得到AD =AE 可得三角形的形状；（2）先证明△BCD ∽△BAE ，利用相似比得到得出即34AE DC AB BC ==，若设CD =3x ，则BC =4x ，BD =5x ，再利用勾股定理得到（4x ）2+（6+3x ）2=82，然后解方程求出x 后计算5x 即可．(1)猜想：△EAD 是等腰三角形,证明：∵BE 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，∵AB 为直径，∴∠C =90°，∴∠2+∠3=90°，∵AE 为切线,∴AE ⊥AB ，∴∠E +∠1=90°，∴∠E =∠3，而∠4=∠3，∴∠E =∠4，∴AE =AD ，∴△EAD 是等腰三角形；(2)∵∠2=∠1，∴Rt △BCD ∽Rt △BAE ，∴CD ：AE =BC ：AB ，即34AE DC AB BC ==，设CD =3x ，BC =4x ，则BD =5x ，在Rt △ABC 中，AC =AD +CD =3x +6，∵（4x ）2+（6+3x ）2=82，解得x 1=1425，x 2=-1（舍去）， ∴BD =5x =145．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了利用勾股定理和相似比进行几何计算．3．(1)见解析； (2)85【分析】（1）连接OD ，由题意可得：90ODA =∠°，再根据∠ACB ＝90°，可得B AOD ∠=∠，由圆周角定理可得2AOD F ∠=∠，即可求解；（2）由（1）可得B AOD ∠=∠，则3cos 5OH AOD OD ∠==，设OD OE r ==，求得半径r ，由勾股定理求得DH ，再由勾股定理即可求得DF ．（1）解：连接OD ，如下图：∵AB 与⊙O 相切于D ，∴OD AB ⊥，即90ODA =∠°，∴90A AOD ∠+∠=︒，又∵∠ACB ＝90°，∴A B ∠∠=︒+90，∴B AOD ∠=∠，由圆周角定理可得：2AOD F ∠=∠，∴2B F ∠=∠；（2）解：∵DH ⊥AC∴90DHO ∠=︒，由（1）得B AOD ∠=∠， ∴3cos cos 5OH B AOD OD =∠==，设OD OE OF r ===，则4OH r =-，则435r r -=，解得10r =，则6OH =，16HF OH OF =+= 由勾股定理可得：228DH OD OH -=，由勾股定理可得：2285DF DH HF +=【点评】此题考查了圆的综合应用，涉及了切线的性质定理，圆周角定理，三角形内角和的性质，解直角三角形，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．4．(1)见解析 3π-【分析】（1）连接OC ，则OC CF ⊥，故90ACE ACO ∠+∠=︒，又90ADO A ∠+∠=︒，且A ACO ∠=∠，可得ACE ADO EDC ∠=∠=∠，故ED EC =；（2）过点C 作CG AB ⊥于G ，结合三角函数的知识求得CG 与CE 的长，从而利用COE BOC COB COH S S S S S =+--△△阴影扇形扇形求得阴影部分的面积之和．（1）证明：连接OC ，CF 是O 的切线，∴OC CF ⊥，∴90ACO ACE ∠+∠=︒，OE AB ⊥，∴90ADO A ∠+∠=︒，OA OC =，∴A ACO ∠=∠，∴ACE ADO ∠=∠，又ADO CDE ∠=∠，∴ACE CDE ∠=∠，∴ED EC =．（2）解：过点C 作CG AB ⊥于G ，30A ACO ∠=∠=︒，∴260BOC A ∠=∠=︒， ∴33sin 6032CG OC =︒==， 9030COE BOC ∠=︒-∠=︒，90OCE ∠=︒，∴3tan 3031CE OC =︒==． 1133122COE S OC CE =⨯⨯==△， 260(3)3602COB S ππ=⨯⨯=扇形， 230(3)3604COH S ππ=⨯⨯=扇形， 113333222BOC S OB CG =⨯⨯==△ ∴333324COE BOC COB COH S S S S S πππ-=+--=-=△△阴影扇形扇形【点评】本题属于圆的综合题，涉及到了圆的切线的性质，扇形面积的计算方法，以及三角函数相关知识，解题的关键是学会常用辅助线的作法．5．(1)55°(2)30°【分析】（1）连接OA 、OB ，根据切线的性质可得∠OAP =∠OBP =90°，再根据四边形内角和等于360度求出AOB ∠，再由圆周角定理即可求出结果；（2）连接AB ，EC ，由切线长定理以及平行四边形的性质可证明四边形PACB 是菱形，进而证明△ABC 是等边三角形，进一步可得结论．（1）如图①，连接OA 、OB ，∵P A ，PB 是⊙O 的切线，∴∠OAP =∠OBP =90°，∵∠APB =70°，∴∠AOB =360°-90°-90°-70°=110°∴∠ACB =12∠AOB =11102⨯︒=55°；（2）如图②，连接AB ，EC ，∴,BAE BCE ∠=∠∵PA ，PB 分别与O 相切于点A ，B ，∴,PA PB =∵四边形PACB 是平行四边形，∴四边形PACB 是菱形，∴,AC BC =∵PA 是O 的切线，且AE 是O 的直径，∴,AE PA ⊥∵四边形APBC 是平行四边形，∴PA //BC∴,AE BC ⊥即∠90,ADB ︒=∴∠90,BAD ABD ︒+∠=∵AE 是O 的直径，∴∠90,ACE ︒=即∠90,ACD BCE ︒+∠=∵∠,BAD BCE =∠∴∠,ABD ACB =∠∴,AB AC =∴,AB AC BC ==即△ABC 是等边三角形，∴∠60,ABC BAC ACB ︒=∠=∠=∵,AE BC ⊥ ∴116030.22EAC BAC ︒︒∠=∠=⨯= 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质等知识，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．6．(1)见解析(2)6【分析】(1) 连接OD ，然后根据圆的性质和已知可以得到90ODC ∠=︒，即可证得CD 与O 相切；（2）由已知可以得到AEC CED ∽，再根据三角形相似的性质和已知条件即可求出AD 的值．（1）证明：连接OD ，∵AB 为O 的直径，∴90ADB ∠=︒，即90ODB ADO ∠+∠=︒，∵OA OD =，∴ADO A ∠=∠，又∵BDC A ∠=∠；∴90ODB BDC ∠+∠=︒，即90ODC ∠=︒∴CD 是O 切线.（2）∵CE AE ⊥，∴90∠=∠=︒E ADB ，∴DB //EC ，∴DCE BDC ∠=∠，∵BDC A ∠=∠，∴A DCE ∠=∠，∵E E ∠=∠，∴AEC CED ∽， ∴CE AE DE CE=， ∴2CE DE AE =⋅，∴162(2)AD =+，∴6AD =．【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆切线的判定方法、三角形相似的判定和性质是解题关键．7．(1)证明过程见解析(2)2【分析】（1）连接DF ，通过证明Rt △DFB ≌Rt △DEB （HL ）得到DF =DE ，证明△ADF ≌△CDE （ASA ）得到AF =CE ，即可证明四边形ABCD 是菱形；（2）连接AG，根据等腰三角形三线合一的性质得到DG=GB，设BF=x，则AF=5-x，利用勾股定理可得2222-=-，列出方程求解即可得到BF的长．AD AF DB BF（1）证明：连接DF，如图所示∵DE是切线，AD是直径∴∠ADE=90°，∠DF A=90°∵四边形ABCD是平行四边形∴∠DEB=90°，∠CDF=90°∴∠DFB=∠DEB=90°又∵BF=BE，DB=DB∴Rt△DFB≌Rt△DEB（HL）∴DF=DE∵四边形ABCD是平行四边形∴∠A=∠C又∵∠AFD=∠DEC∴△ADF≌△CDE（AAS）∴AF=CE∴AB=CB∴四边形ABCD是菱形（2）解：连接AG，如图所示∵AD是直径∴∠AGD=90°，即AG⊥BD∵四边形ABCD是菱形∴AB=AD∴DG=GB5∴DB5设BF=x，则AF=5-x∵2222AD AF DB BF -=-∴()(2222555x x --=-，解得x =2∴BF 的长为2【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、直径所对圆周角是直角、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线，掌握这些知识点是解答本题的关键．8．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据切线性质得90ODE ∠=︒，再根据圆及角平分线的性质，证得//OD BC ，最后根据平行线的性质，证得结论．（2）连接OD 交AC 于点F ，证明四边形CEDF 是矩形，再设O 的半径r ，在Rt AOF 中运用勾股定理，建立关于r 的方程，求解即可．(1)证明：如图，连接OD ，DE 与O 相切于点D ，DE OD ∴⊥，90ODE ∴∠=︒，OD OB =，ODB OBD ∴∠=∠， BD 平分ABC ∠，OBD DBC ， ODB DBC ，//OD BC ∴，18090E ODE ∴∠=︒-∠=︒，DE BC ∴⊥．(2)解：如图，连接OD 交AC 于点F ，AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，18090ECF ACB ∴∠=︒-∠=︒，90ECF E EDF ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形CEDF 是矩形．90AFO CFD ∴∠=∠=︒，1DF CE ==，FO AC ∴⊥，3AF CF DE ∴===设O 的半径为r ，则OA OD r ==，222OA OF AF =+，1OF r =-，()22213r r ∴=-+，解得2r =，O ∴的半径为2．【点评】本题考查了与圆有关的综合问题，灵活运用切线性质，勾股定理进行推理求值是解题的关键．9．(1)证明见解析 310【分析】（1）根据切线的性质可得90BAD CAE ∠+∠=︒，根据圆周角定理的推论可得90BAD ABD ∠+∠=︒，即得出CAE ABD ∠=∠．结合题意即可利用“AAS ”证明ACE BAD △△≌；（2）连接AF ．由垂径定理可得132AE ED AD ===．再根据全等三角形的性质可得6CE AD ==，3AE ED BD ===，利用勾股定理可求出35AC AB ==．再根据圆周角定理的推论结合等腰三角形“三线合一”的性质即可求出13102BF BC ==．(1)证明：∵CA 与O 相切于点A ，∴90BAC ∠=︒，∴90BAD CAE ∠+∠=︒．∵AB 为直径，∴90BDA ∠=︒，∴90BAD ABD ∠+∠=︒，∴CAE ABD ∠=∠．∵AD OC ⊥，∴90AEC ADB ∠=∠=︒．又∵AB AC =，∴()ACE BAD AAS ≌△△；(2)如图，连接AF ．∵AD OC ⊥， ∴132AE ED AD ===． ∵ACE BAD △△≌，∴6CE AD ==，3AE ED BD ===∴在Rt AEC 中，22223635AC AE CE AB ++=， ∴2310BC ==∵AB 为直径，∴90AFB ∠=︒．∵AB =AC ， ∴13102BF BC ==．【点评】本题为圆的综合题．考查切线的性质，圆周角定理，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理．掌握与圆相关的知识点是解题关键．10．(1)相切；理由见解析(2)2π【分析】（1）连接OD，CD，再根据直径所对的圆周角是直角及直角三角形斜边上的中线性质证明OD⊥DE即可；（2）根据DEC A∠=∠证明三角形DEC是等边三角形，即可得到DC的圆心角是120°，再根据弧长公式计算即可．(1)ED与⊙O相切．理由：连接OD，CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°，在Rt△BDC中，E为BC的中点，∴DE=EC，∴∠3=∠2，又∵OD=OC，∴∠1=∠4，∵∠1+∠2=90°，∴∠ODE=∠3+∠4=90°，∴ED与⊙O相切；(2)∵∠A+∠1=90°，∠1+∠2=90°，∴∠A=∠2，∵∠DEC=∠A，∴∠2=∠3=∠DEC=60°，∴∠A=60°，∴∠DOC=2∠A=120°，∴弧DC的长=12032 180ππ⨯=．【点评】本题考查圆的性质及弧长公式，熟记直径所对的圆周角是直角、切线的证明、弧长公式是解题的关键．11．(1)见解析；(2)5【分析】（1）连接OD、BD，根据切线的性质得到OD⊥DE，推出OD∥BC，证得∠ODB=∠CBD，由此推出∠OBD=∠CBD，根据AB为O的直径，得到∠ADB=∠CDB=90°，证得△ABD≌△CBD（ASA），即可得到AB=BC；（2）根据AB=BC，BD⊥AC，求出AD=CD=13102AC=CE=9，证得△CDE∽△CBD，求出CB，即可得到O的半径．(1)证明：连接OD、BD，∵DE是O的切线，∴OD⊥DE，∵DE BC⊥，∴OD∥BC，∴∠ODB=∠CBD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵AB为O的直径，∴∠ADB=∠CDB=90°，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD（ASA），∴AB=BC；(2)∵AB=BC，BD⊥AC，∴AD=CD=1310 2AC=∵DE=3，∴()222293103 CE CD DE=--，∵∠C=∠C，∠CED=∠CDB=90°，∴△CDE∽△CBD，∴2CD CE CB=⋅，∴(22109310CDCBCE===，∴AB=CB=10，∴O的半径为5．【点评】此题考查了切线的性质定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各知识点并综合应用是解题的关键．12．(1)见解析(2)37【分析】（1）根据OC=OE，可得∠OCE=∠E，再由OE BC，可得∠E=∠BCE，从而得到∠OCE=∠BCE，即可求证；（2）根据CD=CF，可得∠BCD=∠BCE=∠OCE，再由CD是⊙O的切线，可得∠BCD=30°，再证得∠A=∠BCD=30°，根据直角三角形的性质，即可求解．【解析】（1）证明：∵OC=OE，∴∠OCE=∠E，∵OE BC，∴∠E=∠BCE，∴∠OCE=∠BCE，∴CE平分∠ACB；（2）解：如图，∵CD=CF，∴∠BCD=∠BCE，∵CE平分∠ACB，∴∠BCD=∠BCE=∠OCE，∵CD是⊙O的切线，∴∠ACD=90°，即∠BCD+∠ACB=90°，∴∠BCD=30°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠ACB=90°，∴∠A=∠BCD=30°，∵CD=6，∴AD=2CD=12，∴2263AC AD CD-=∴33OC=∴2237OD OC CD=+=【点评】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理是解题的关键．13．(1)见解析(2)AF=185．【分析】（1）根据圆周角定理可得AD⊥BC，再由等腰三角形的性质可得BD=CD，进而得出OD是三角形的中位线，由切线的性质可得OD∥FC，证出三角形DFC是等腰三角形即可；（2）在Rt△ODE中，根据锐角三角函数可求出半径OD，进而得出直径AB，在Rt△ABF 中，由锐角三角函数可求出AF．(1)证明：如图，连接OC，AD，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠ABC=∠F，∴∠F=∠ACB，∴DF=DC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=CD，又∵OA=OB，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∴FC⊥DE，∵DF=DC，∴DE是FC的垂直平分线，即点E为线段CF垂直平分线上一点；(2)解：连接BF，在Rt△ODE中，设OD=x，则OE=BE-OB=8-x，∵sin∠E=35=ODOE，∴8xx=35，解得x=3，经检验x=3是原方程的根，∴AB=2OD=6，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴DG∥BF，∴∠E=∠ABF，在Rt△ABF中，AB=6，sin∠ABF=sin∠E=35，∴AF =AB •sin ∠ABF =6×35=185．【点评】本题考查切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系，掌握切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判断和性质，直角三角形的边角关系是正确解答的前提．14．(1)见解析(2)AB =10，周长16+45【分析】（1）根据AB 是⊙O 的直径，得∠C =90°，根据点D 是AC 的中点，得CA ⊥DF ，即有∠AEO =90°，则有BC DF ∥，即可得证；（2）先利用平行及圆周角定理证得∠DBF =∠BAC ，则根据正切值和勾股定理即可求出CB 、AB ，在Rt △AEO 中，利用勾股定理得OE =3，在Rt △AED 中，利用勾股定理，得AD 5则四边形的周长可得．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠C =90°，∵点D 是AC 的中点，∴DO 垂直平分AC ，且AD =DC ，∴CA ⊥DF ，AE =EC ，∴∠AEO =90°，∴BC DF ∥，∵BF CD ∥，∴四边形BCDE 是平行四边形；（2）∵BC DF ∥，∴∠DBF =∠CDB ，又∵根据圆周角定理有∠CDB =∠BAC ，∴∠DBF =∠BAC ，即tan ∠BAC =34， ∵AC =8，∴CB =6，则在Rt △ACB 中，利用勾股定理可得AB =10，即AO =5=OD ，∵AE =EC =12AC ，∴AE=EC=4，在Rt△AEO中，利用勾股定理得OE=3，∴DE=OD-OE=5-3=2，在Rt△AED中，利用勾股定理，得AD5CD5∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD5545【点评】本题考查了平行四边的判定与性质、同弧所对的圆周角相等、同弧所对的弦相等、勾股定理以及解直角三角形的知识，利用正切值以及同弧所对的圆周角相等是解答本题的关键．15．(1)见解析(2)1【分析】（1）连接OD，由AB=AC，OB=OD，则∠B=∠ODB=∠C，则OD∥AC，由DE为切线，即可得到结论成立；（2）如图所示，连接BF，AD，先解直角三角形ACD求出AD的长，从而求出CD的长，然后分别解直角三角形BCF，直角三角形DCE，求出BF，DE，进而求出CF，CE，即可得到EF．（1）解：连接OD，如图：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵OB=OD，∴∠B=∠ODB，∴∠B=∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∴AC⊥DE；（2）解：如图所示，连接BF，AD，∵AB是圆O的直径，∴∠AFB=∠ADB=90°，∴∠BFC=90°，∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°∵AB=AC，∴BC=2CD，∠ABD=∠C，∴25 sin sinADABD CAC∠===∴2525 AD AC==∴225CD AC AD-∴5BC=∴sin2DE CD C=⋅=，sin=4BF BC C=⋅，∴221CE CD DE=-=，222CF BC BF=-=，∴EF=CF-CE=1．【点评】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质与判定，解直角三角形、勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的性质定理，正确的求出边的长度．．16．(1)见解析(2)2π【分析】（1）先证明∠CEB=∠CBP＝90°，再由∠D+∠P=90°，∠CAB＋∠CBE＝90°，∠CAB=∠D，推出∠CBE=∠P，即可证明结论；（2）设CF=3k，CP=4k，先证明∠F AC=∠CAB，得到CE=CF=3k，再由相似三角形的性质得到BC2＝CE•CP；从而求出sin∠CBE323k∠CBE=60°，即可证明△OBC是等边三角形，得到∠COB=60°，据此求解即可．（1）解：∵CE⊥OB，CD为圆O的直径，∴∠CEB=∠DBC＝90°，∴∠CEB=∠CBP＝90°，∵PF是切线，∴∠DCP=90°，∴∠D+∠P=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°∴∠CAB＋∠CBE＝90°，∵∠CAB=∠D，∴∠CBE=∠P，∴△CBE∽△CPB；（2）解：∵34 CFCP=，∴设CF=3k，CP=4k，∵PF是切线，∴OC⊥PF，∵AF⊥PF，∴AF∥OC．∴∠F AC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∴∠F AC=∠CAB，∴CE=CF=3k，∵△CBE∽△CPB，∴CB CE CP CB=，∴BC2＝CE•CP；∴BC =23k∴sin ∠CBE 323k= ∴∠CBE =60°，∵OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠COB =60°， ∵43AB =∴扇形COB 的面积260232360ππ⨯=（）【点评】本题主要考查了圆切线的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，角平分线的性质，解直角三角形，扇形面积，等边三角形的性质与判定等等，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）根据AB 为O 的直径，可得90ADB ACB ∠=∠=︒，由ACB ∠的角平分线交O 于点D ，可得45ACD BCD ∠=∠=︒，AD BD =，AD BD =，进而结论得证；（2）由CAB ∠的角平分线交CD 于点F ，得到CAF BAF ∠=∠，结合（1）可得ACD BAD ∠=∠，再由∠=∠+∠DFA CAF ACD ，∠=∠+∠DAF BAF BAD ，得到DFA DAF ∠=∠，从而说明DA DF =，最后再证明ADE CDA △∽△，利用相似三角形的性质即可得证．(1)证明：∵AB 为O 的直径，∴90ADB ACB ∠=∠=︒，∵ACB ∠的角平分线交O 于点D ，∴45ACD BCD ∠=∠=︒，∴AD BD =，∴AD BD =，∴ADB 为等腰直角三角形；(2)证明：∵CAB ∠的角平分线交CD 于点F ，∴CAF BAF ∠=∠，由（1）可知：45ACD ∠=︒，AD BD =，90ADB ∠=︒∴45BAD ABD ∠=∠=︒，∴ACD BAD ∠=∠，∵∠=∠+∠DFA CAF ACD ，∠=∠+∠DAF BAF BAD ，∴DFA DAF ∠=∠，∴DA DF =，在ADE 和CDA 中DAE DCA ADE CDA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩， ∴ADE CDA △∽△， ∴AD DE CD AD=， ∴2AD DE DC =⋅，∴2DF DE DC =⋅．【点评】本题考查的是圆和三角形的综合题，考查了直径所对的圆周角为90°，角平分线，圆周角，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键．18．(1)3AC =(2)见解析【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得90ACB ∠=︒，再根据勾股定理进行计算即可；（2）连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．根据切线的性质及平行四边形的性质可证明四边形OBCD 是菱形，即可得到结论．(1)∵AB 是圆O 的直径，∴90ACB ∠=︒∴2223AC AB BC =-=，∴3AC =．(2)连结BD ，连结OD 与AC 交于F 点．∵ED 与圆O 相切于D 点，∴OD ED ⊥，∵四边形ACDE 是平行四边形，∴ED AC ∥， CD EA ∥，∴OD AC ⊥，90OFA ACB ∠=︒=∠，∴OD BC ∥，∵CD EB ∥，OD OB =，∴四边形OBCD 是菱形，∴BD 平分ABC ∠．【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理、平行四边形的性质及菱形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的根据．19．(1)见解析 65【分析】（1）根据等角的余角相等，ABP CPO ∠=∠，进而证得APB ABP ∠=∠，最后结论得证；（2）作OH BC ⊥于H ，在Rt POC △中，求出OP ，PC ，OH ，CH 即可解决问题．（1）证明：∵OC OB =，∴OCB OBC ∠=∠，∵AB 是O 的切线，∴OB AB ⊥，∴90OBA ∠=︒，∴90ABP OBC ∠+∠=︒，∵OC AO ⊥，∴=90AOC ∠︒，∴90OCB CPO ∠+∠=︒，∴ABP CPO ∠=∠，∵APB CPO ∠=∠，∴APB ABP ∠=∠，∴AP AB =．（2）解：作OH BC ⊥于H ,在Rt OAB 中，∵4OB =，3AB =， ∴22345OA +，∵3AP AB ==，∴2PO =．在Rt POC △中，∵4OC OB == ∴2225PC OC OP =+=1122POC S PC OH OC OP ==△， ∴455OC OP OH PC == ∴2285CH OC OH =- ∵OH BC ⊥，∴CH BH =，∴1652BC CH = ∴165655PB BC PC =-=-=．【点评】本题考查切线的性质、解直角三角形、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、垂径定理等知识，学会添加适当的辅助线，构造直角三角形解决问题是解本题的关键．20．(1)见解析(2)3DF =22【分析】（1）由题意得BAE DAE ∠=∠，且90ABE ︒∠=，即90BAE AEB ︒∠+∠=，根据AD BC ⊥得90DAE AFD ︒∠+∠=，即可得；（2）根据AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠得BEF BFE ∠=∠，即BE BF =，根据BAE DAF ∠=∠，90ABE ADF ︒∠=∠=得ΔΔABE ADF ∽，根据10AB =，5BF =得12BE AB =，设DF x =，则2AD x =，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，即()()2221052x x =++，即可得；（3）根据点G 为AB 中点，点O 在DG 上得OG 是ABE ∆的中位线，即OG BE ∥，12OG BE =，根据90ABE ︒∠=得OD DF =，AEB ∠和ACB ∠是AB 所对的圆周角得AEB ACB ∠=∠，即ACB AFC ∠=∠，即有AC AF =，设BF a =，DF b =，有11222BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++，即可得． (1)解：∵直径AE 平分BAD ∠，∴BAE DAE ∠=∠，且90ABE ︒∠=，∴90BAE AEB ︒∠+∠=，∵AD BC ⊥，∴90DAE AFD ︒∠+∠=，∴AEB AFD ∠=∠．(2)解：∵AEB AFD ∠=∠，AFD BFE ∠=∠，∴BEF BFE ∠=∠，∴BE BF =，∵BAE DAF ∠=∠，90ABE ADF ︒∠=∠=，∴ΔΔABE ADF ∽，∵10AB =，5BF =， ∴51102BE BF DF AB AB AD ====，设DF x =，则2AD x =，在Rt ABD ∆中，根据勾股定理，222AB BD AD =+，即()()2221052x x =++，解得：13x =，25x =-，舍去负值，得到3DF =．(3)解：如图所示，∵点G 为AB 中点，点O 在DG 上，∴OG 是ABE ∆的中位线，∴OG BE ∥，12OG BE =， ∵90ABE ︒∠=，∴DG AB ⊥，ABD ∆是等腰直角三角形，AOG AEB AFD ∠=∠=∠，∴OD DF =，∵AEB ∠和ACB ∠是AB 所对的圆周角，∴AEB ACB ∠=∠，∴ACB AFC ∠=∠，即有AC AF =，∵AD CF ⊥，∴DF CD =．设BF a =，DF b =，有11222BE OD a b DG BD BF DF a b ++===++，解得2a b =， ∴::222BF FC a b ==．【点评】本题考查了圆与三角形，解题的关键是掌握垂径定理，相似三角形的判断与性质，中位线，勾股定理．。

人教版九年级数学上册作业课件第二十四章圆专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明

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第二十四章圆
专题训练(十三) 与圆的切线有关的计算与证明
类型1 已知圆的切线，求角的度数或线段长 1．(山西中考)如图，四边形OABC是平行四边形，以点O为圆心，OC 为半径的⊙O与AB相切于点B，与AO相交于点D，AO的延长线交⊙O于点E，连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数．
解：连接 OB，∵⊙O 与 AB 相切于点 B，∴OB⊥AB，∵四边形 ABCO 为平行四边形，∴AB∥OC，OA∥BC，∴OB⊥OC，∴∠BOC＝90°， ∵OB＝OC，∴△OCB 为等腰直角三角形，∴∠C＝∠OBC＝45°，∵
则点 D 为⊙M 与 x 轴的切点，即 PM＝MD，设 P(x，－34 x2＋94 x＋3)， M(x，－34 x＋3)，则 PD＝－34 x2＋49 x＋3，MD＝－34 x＋3，∴(－43 x2 ＋49 x＋3)－(－34 x＋3)＝－34 x＋3，解得 x1＝1，x2＝4(不合题意舍去)， ∴⊙M 的半径为 MD＝－43 ＋3＝94 ；当⊙M 与 y 轴相切时，如图②所示，延长 PM 交 AB 于点 D，过点 M 作 ME⊥y 轴于点 E，则点 E 为⊙M 与 y 轴的切点，即 PM＝ME，PD－MD＝EM＝x，
6．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D. 过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.
(1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD＝CD， ∴PA＝PC，∵OP＝OP，∴△OAP≌△OCP(SSS)，∴∠OCP＝∠OAP， ∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线

人教版九年级上册数学圆相关的证明题训练

人教版九年级上册数学圆相关的证明题训练1．如图，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是BC的中点，过点D作DE⊙AC，交AC的延长线于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)求AE的长．2．如图，AB是⊙O的直径，点F，C是⊙O上两点，且AF FC CB==，连接AC，AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D，垂足为D．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若CD＝⊙O的半径．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊙AB于点E，点M在⊙O上，MD经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的半径；（2）若⊙M＝⊙D，求⊙D的度数．4．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，⊙O经过点A、C、D，分别交边AB、BC于点E、F，连接DE、DF，且DE＝DF．（1）求证：AB//CD；（2）连接AF，求证：AB＝AF．5．已知：AB为⊙O的直径，⊙A=⊙B=90°，DE与⊙O相切于E，⊙OAD=2．（1）求BC的长；（2）延长AE交BC的延长线于G点，求EG的长．6．如图，AC是⊙O的直径，OD与⊙O相交于点B，⊙DAB＝⊙ACB．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若⊙ADB＝30°，DB＝2，求直径AC的长度．7．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AE 的延长线与过点C 的切线互相垂直，垂足为D ，35CAD ∠=︒，连接BC ．（1）求B 的度数；（2）若2AB =，求EC 的长．8．如图，在菱形ABCD 中，E 是CD 上一点，且CAE B ∠=∠， O 经过点A 、C 、E ．（1）求证AC AE =；（2）求证AB 与O 相切．9．如图，AB 为O 的直径，C 是O 上的一点，连接AC ，BC ．D 是BC 的中点，过D 作DE AB ⊥于点E ，交BC 于点F ．（1）求证：2BC DE =；（2）若6AC =，10AB =，求DF 的长．10．如图，在ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，延长CA交⊙O 于点E．连接ED交AB于点F．（1）求证：CDE是等腰三角形．（2）当CD：AC＝2AEAC的值．11．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊙CD于点E．连接AC、OC、BC （1）求证：⊙ACO＝⊙BCD．（2）若AE＝18，CD＝24，求⊙O的直径．12．如图，AB=AC，CD⊙AB于点D，点O是⊙BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N．（1）求证：⊙AOC=135°；（2）若NC=3，BC=DM的长．13．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊙CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC，AC．（1）求证：AC平分⊙DAO；（2）若⊙DAO＝105°，⊙E＝30°，⊙求⊙OCE的度数；⊙若⊙O的半径为，求线段EF的长．14．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CO⊙AB于点E．（1）求证：⊙BCO＝⊙D．（2）若CD＝，AE＝2，求⊙O的半径．=，以AB为直径的O分别交BC，AC于点15．已知：如图，在ABC中，AB ACD，E，连结EB，交OD于点F．⊥．（1）求证：OD BEAB=，求AE的长．（2）若16．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．(1)若△BAC=70°，求△CBD的度数；(2)求证：DE=DB．17．如图，D是△ABC外接圆上的点，且B，D位于AC的两侧，DE⊙AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊙AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．（1）求证：⊙BAD=⊙PCB；（2）求证：BG⊙CD；，⊙COD=23°，求⊙P的度数．（3）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB18．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊙AB于点E，点P在圆O上且⊙1＝⊙C．（1）求证：CB⊙PD；（2）若BC＝3，BE＝2，求CD的长．19．如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OD⊙BC，交AC于点D．（1）求⊙ADO的度数；（2）延长DO交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交CB延长线于点F，连接DF交OB 于点G．⊙试判断四边形CDEF的形状，并说明理由；⊙若BG＝2，AD＝3，求四边形CDEF的面积．20．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE（1）求证：△AED⊙⊙CEB；（2）求证：FG⊙AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d l是否是圆O的切线，并说明理由．。

人教版数学九年级上学期课时练习- 圆及有关概念(人教版)

专题24.2 圆及有关概念（专项练习）一、单选题1．如图所示，在⊙O 中，点A ，O ，D 以及点B ，O ，C 分别在一条直线上，则图中的弦有( )A ．2条B ．3条C ．4条D ．5条2．⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离OA ＝3cm ，则点A 与⊙O 的位置关系为( ) A ．点A 在⊙O 上 B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．无法确定3．如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（）A ．27倍B ．14倍C ．9倍D ．3倍4．把地球看成一个表面光滑的球体，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ，那么钢丝大约需要加长A ．102cmB ．104cmC ．106cmD ．108cm5．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （4，3），以原点O 为圆心，5为半径作⊙O ，则（）A ．点A 在⊙O 上B ．点A 在⊙O 内C ．点A 在⊙O 外D ．点A 与⊙O 的位置关系无法确定6．已知,3,4ABC AC CB ==，以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内，那么半径r 的取值范围是（）A ．3r >B ．34r <<C ．34r <≤D ．34r ≤≤7．下列4个说法中：⊙直径是弦；⊙弦是直径；⊙任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；⊙弧是半圆；正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．一个圆的周长是10π，它的面积是（） A ．25πB ．5πC ．100πD ．10π9．矩形ABCD 中，AB ＝8，BC =P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是（）．A ．点B 、C 均在圆P 外；B ．点B 在圆P 外、点C 在圆P 内； C ．点B 在圆P 内、点C 在圆P 外；D ．点B 、C 均在圆P 内．10．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定11．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，4BC =．点P 是线段BC 上一动点，点M 为线段AP 上一点．ADM BAP ∠=∠，则BM 的最小值为（）A ．52B ．125C 32D 212．已知：等腰直角三角形ABC 的腰长为4，点M 在斜边AB 上，点P 为该平面内一动点，且满足PC ＝2，则PM 的最小值为（）A．2 B ．﹣2C ．D ．二、填空题13．已知O 的面积为25π．PO=，则点P在________；（1）若 5.5PO=，则点P在________；（2）若4（3）若PO=_________，则点P在O上．14．如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为（5，12），点P是⊙M上的任意一点，P A⊙PB，且P A、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最小值为_______．15．连接圆上任意两点的线段（如图中的______）叫做弦，经过圆心的弦（如图中的_____）叫做直径．【注意】凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦____是直径．16．圆上任意两点间的部分叫做________，简称___．以A、B为端点的弧，记作__________，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做_______．17．如图，以△ABC的顶点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点D，连接AD．若⊙B＝40°，⊙C＝36°，则⊙DAC的大小为_____度．18．点P 是非圆上一点，若点P 到O 上的点的最小距离是4cm ，最大距离是9cm ，则O 的半径是______．19．如图，OA 、OB 是O 的半径，点C 在O 上，30AOB ∠=︒，40OBC ∠=︒，则OAC ∠=______︒．20．我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点(2,1)A 到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为_____．21．如图，用等分圆的方法，在半径为OA 的圆中，画出了如图所示的四叶幸运草，若OA ＝2，则四叶幸运草的周长是________．22．如图，在Rt ABC 中，⊙ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于D ，P是CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_____．23．如图,在△ABC中,⊙ACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折,得到△B′CP,连接B′A,则B′A长度的最小值是________．24．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．三、解答题25．如图所示，AC BC⊥，试证明：A、B、C、D在同一圆上．⊥，AD BD26．在平面直角坐标系中，作以原点O 为圆心，半径为4的O ，试确定点()2,3(4,2),,(A B C ----与O 的位置关系．27．如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到⊙AOB 两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）28．如图，点C 是以AB 为直径的半圆O 内任意一点，连接AC ，BC ，点D 在AC 上，且AD ＝CD ，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．(1)在图（1）中，画出ABC 的中线AE ； (2)在图（2）中，画出ABC 的角平分线AF ．29．已知A 为O 上的一点，O 的半径为1，O 所在的平面上另有一点P ．（1）如果PA P 与O 有怎样的位置关系？（2）如果PA =P 与O 有怎样的位置关系？30．如图，菱形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，四条边,,,AB BC CD DA 的中点分别为,,,E F G H ．这四个点共圆吗？圆心在哪里？参考答案1．B 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．解：图中的弦有AB ，BC ，CE 共三条，故选B ．【点拨】本题主要考查了弦的定义，熟知定义是解题的关键：连接圆上任意两点的线段叫弦．2．B解：将点到圆心的距离记为d ，圆的半径记为r ,⊙d =OA =3,⊙d <r ， ⊙点A 在圆内，故选：B ． 3．B 【分析】设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．解：由圆和正方形的对称性，可知：OA =OD ，OB =OC ，⊙圆的直径与正方形的对角线之比为3：1， ⊙设OB =x ，则OA =3x ，BC =2x ， ⊙圆的面积=π(3x )2=9πx 2，正方形的面积=()2122x =2x 2， ⊙9πx 2÷2x 2=9142π≈，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，故选B ．【点拨】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．4．A解：设地球半径为：rcm ，则地球的周长为：2πrcm ，假设沿地球赤道绕紧一圈钢丝，然后把钢丝加长，使钢丝圈沿赤道处处高出球面16cm ，故此时钢丝围成的圆形的周长变为：2π（r+16）cm ，⊙钢丝大约需要加长：2π（r+16）﹣2πr≈100（cm ）=102（cm ）．故选：A ． 5．A 【分析】先求出点A 到圆心O 的距离，再根据点与圆的位置依据判断可得．解：⊙点A （4，3）到圆心O 的距离5OA ，⊙OA ＝r ＝5， ⊙点A 在⊙O 上，故选：A ．【点拨】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当dr 时，点在圆外；当d r =时，点在圆上，当d r <时，点在圆内，也考查了勾股定理的应用．6．C 【分析】由于3AC =，4CB =，当以点C 为圆心r 为半径作圆，如果点A 、点B 只有一个点在圆内时，那么点A 在圆内，而点B 不在圆内．当点A 在圆内时点A 到点C 的距离小于圆的半径，点B 在圆上或圆外时点B 到圆心的距离应该不小于圆的半径，据此可以得到半径的取值范围．解：当点A 在圆内时点A 到点C 的距离小于圆的半径，即：3r >；点B 在圆上或圆外时点B 到圆心的距离应该不小于圆的半径，即：4r ；即34r <．故选：C ．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是明确半径的大小与位置关系的关系．7．B【分析】根据弧的分类、圆的性质逐一判断即可．解：⊙直径是最长的弦，故正确；⊙最长的弦才是直径，故错误；⊙过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；⊙半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，正确的有两个，故选B．【点拨】本题考查了对圆的认识，熟知弦的定义、弧的分类是本题的关键．8．A【分析】根据圆的周长公式，由已知的周长求出圆的半径，利用圆的面积公式即可求出所求圆的面积．解：设圆的半径为r，⊙圆的周长为10π，⊙2πr=10π，即r=5，则圆的面积S=πr2=25π．故选：A．【点拨】此题考查了圆的周长公式，以及圆的面积公式，根据周长求出圆的半径是解本题的关键．同时要求学生熟练掌握圆中的有关计算公式．9．C解：⊙AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP⊙AP=2，⊙根据勾股定理得出，，，⊙PB=6＜r，PC=9＞r⊙点B在圆P内、点C在圆P外,故选C．【点拨】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断10．C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．解：⊙⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，⊙d＜r，⊙点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．11．D【分析】证明=90AMD︒∠，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的园上，从而计算出答案．解：设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆⊙四边形ABCD为矩形⊙+=90BAP MAD︒∠∠⊙ADM BAP∠=∠⊙+=90MAD ADM︒∠∠⊙=90AMD︒∠⊙点M在O点为圆心，以AO为半径的园上连接OB交圆O与点N⊙点B为圆O外一点⊙当直线BM过圆心O时，BM最短⊙222 BO AB AO=+，1==22AO AD⊙29413 BO=+=⊙BO=⊙2BN BO AO=-=故选：D．【点拨】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．12．B【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边AB＝，由已知条件得到点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，于是得到结论．解：⊙等腰直角三角形ABC的腰长为4，⊙斜边AB＝⊙点P为该平面内一动点，且满足PC＝2，⊙点P在以C为圆心，PC为半径的圆上，当点P在斜边AB的中线上时，PM的值最小，⊙⊙ABC是等腰直角三角形，⊙CM＝1AB＝，2⊙PC＝2，⊙PM＝CM﹣CP＝﹣2，故选：B．【点拨】本题考查线段最小值问题，涉及等腰三角形的性质和点到圆的距离，解题的关键是能够画出图形找到取最小值的状态然后求解．13．圆外圆内5【分析】（1）先求出O的半径，再根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得；（2）根据PO的长度和圆的半径进行比较即可得；（3）根据点在圆上得点到圆心的距离等于半径，即可得．解：设O的半径为r，225=，rππr，=5（1）⊙PO=5.5>5，⊙点P在圆外；（2）⊙PO=4<5，⊙点P在圆内；（3）若要点P在O上，则PO=r=5；故答案为：（1）圆外；（2）圆内；（3）5．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是判断点与圆的位置关系的方法．14．18【分析】△中AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO 连接OP，因为P A⊙PB，所以在Rt APB需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解即可得．解：如图所示，连接OP，⊙P A⊙PB，⊙⊙APB＝90°，⊙AO＝BO，⊙AB＝2PO，若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊙x轴于点Q，则OQ ＝5，MQ ＝12，在Rt MQB 中，根据勾股定理，得13OM =，又⊙MP ′＝4，⊙OP ′＝9，⊙AB ＝2OP ′＝18，故答案为：18．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，关于圆点对称的点的坐标和勾股定理，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB 取得最小值时点P 的位置．15． AC AB 不一定略16．圆弧弧 AB 半圆略17．34【分析】先根据同圆的半径相等可得AB BD =，再根据等腰三角形的性质可得70BAD BDA ∠=∠=︒，然后根据三角形的外角性质即可得．解：由同圆的半径相等得：AB BD =，11(180)(18040)7022BAD BDA B ∴∠=∠=︒-∠=⨯︒-︒=︒， 36C ∠=︒，34DAC BDA C ∴∠=∠-∠=︒，故答案为：34．【点拨】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握同圆的半径相等是解题关键．18．6.5cm 或2.5cm【分析】分点P 在O 外和O 内两种情况分析；设O 的半径为xcm ，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案．解：设O 的半径为xcm当点P 在O 外时，根据题意得：429x +=⊙ 2.5x cm =当点P 在O 内时，根据题意得：294x =+⊙ 6.5x cm =故答案为：6.5cm 或2.5cm ．【点拨】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解．19．25【分析】连接OC ，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到⊙BOC =100°，求出⊙AOC ，根据等腰三角形的性质计算．解：连接OC ，⊙OC =OB ，⊙⊙OCB =⊙OBC =40°，⊙⊙BOC =180°-40°×2=100°，⊙⊙AOC =100°+30°=130°，⊙OC =OA ，⊙⊙OAC =⊙OCA =25°，故答案为：25．【点拨】本题考查的是圆的基本性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．201【分析】连接OA ，与圆O 交于点B ，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB ，再求出OA ，结合圆O 半径可得结果.解：根据题意可得：点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，连接OA，与圆O交于点B，可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，⊙A（2，1），⊙圆O的半径为1，⊙AB=OA-1，⊙点(2,1)A到以原点为圆心，以11，1.【点拨】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.21．．【分析】由题意得出：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的周长，求出圆的半径，由圆的周长公式即可得出结果．解：由题意得：四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长＝2个圆的周长，⊙四叶幸运草的周长＝π×2＝；故答案为．【点拨】本题考查了正多边形和圆、正方形的性质以及圆周长公式；由题意得出四叶幸运草的周长=2个圆的周长是解题的关键．221.【分析】找到BC 的中点E ，连接AE ，交半圆于P 2，在半圆上取P 1，连接AP 1，EP 1，可见，AP 1+EP 1＞AE ，即AP 2是AP 的最小值，再根据勾股定理求出AE 的长，然后减掉半径即可．解：找到BC 的中点E ，连接AE ，交半圆于P 2，在半圆上取P 1，连接AP 1，EP 1，可见，AP 1+EP 1＞AE ，即AP 2是AP 的最小值，⊙AEP 2E =1，⊙AP 21.1.23．1试题分析：在Rt⊙ABC 中，由勾股定理可知：，由轴对称的性质可知：BC=CB′=3，⊙CB′长度固定不变，⊙当AB′+CB′有最小值时，AB′的长度有最小值．根据两点之间线段最短可知：A 、B′、C 三点在一条直线上时，AB′有最小值，⊙AB′=AC ﹣B′C=4﹣3=1．故答案为1．【点拨】1．翻折变换（折叠问题）；2．动点型；3．最值问题；4．综合题．24．35r <<.试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆内,点A 与点D 的距离最近，点A 应该在圆内，所以r>3，三个顶点A 、B 、C 中至少有一个点在圆外，点B 与点D 的距离最远，点B 应该在圆外，所以r<5，所以r 的取值范围是35r <<.【点拨】勾股定理；点和圆的位置关系.25．见分析【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出AE BE CE DE ===进而得出答案．解：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，DE ，⊙AC BC ⊥，AD BD ⊥，⊙ABC 和ABD △为直角三角形， ⊙12CE AB AE BE ===，12DE AB =， ⊙AE BE CE DE ===，⊙A ，B ，C ，D 四点都在以点E 为圆心，AE 长为半径的圆上．【点拨】本题主要考查了四点共圆和直角三角形的性质，得出AE BE CE DE ===是解题的关键．26．点A 在O 内；点B 在O 外；点C 在O 上．【分析】连接OA 、OB 、OC ，根据点的坐标，分别求出OA 、OB 、OC 的长，和⊙O 的半径4比较即可得出答案．解：连接OA 、OB 、OC ，⊙()2,3A --，由勾股定理得 OA =4，⊙点A 与O 的位置关系是点A 在O 内；⊙(4,2)B -，由勾股定理得OB=4，⊙点B与O的位置关系是点B在O外；⊙(2)C-，由勾股定理得OC4=4，⊙点C与O的位置关系是点C在O上．【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．点与圆的位置关系有三种：⊙当d=r 时，点在圆上；⊙当d>r时，点在圆外；⊙当d<r时，点在圆内．27．见分析．试题分析：先做出⊙AOB的角平分线，再求出线段MN的垂直平分线就得到点P．试题解析：【点拨】尺规作图角平分线和线段的垂直平分线、圆的性质．28．(1)见分析(2)见分析【分析】（1）连接CO、BD，CO交BD于点G，连接AG并延长交BC于E，线段AE即为所求作；（2）利用（1）的中点E，过点E作半径OH，连接AH交BC于点F，则线段AF即为所求作．(1)解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；；根据三角形三条中线交于一点即可证明；(2)解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；证明：⊙OA=OH，⊙⊙HAO=⊙H，⊙点O是AB的中点，点E是BC的中点，⊙OE是⊙ABC的中位线，⊙OE⊙AC，⊙⊙CAH=⊙H，⊙⊙CAF=⊙BAF，⊙AF为⊙ABC的角平分线．【点拨】本题考查了作图-复杂作图，三角形中位线定理，三角形三条中线交于一点，圆的半径相等，等边对等角，平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．29．（1）点P在O外；（2）点P可能在O外，也可能在O内，还可能在O上，实际上，点P位于以A【分析】（1）点P和圆的位置关系有：⊙在圆外，⊙在圆上，⊙在圆内，再逐个判断即可；（2）点P和圆的位置关系有⊙在圆外，⊙在圆上，⊙在圆内，再逐个判断即可．解：（1）5PA=O的直径为2∴点P的位置只有一种情况在圆外，即点P与O的位置关系是点在圆外．（2）3PA=O的直径为2∴点P的位置有三种情况：⊙在圆外，⊙在圆上，⊙在圆内．即点P可能在O外，也可能在O内，还可能在O上，实际上，点P位于以A为圆【点拨】本题考查了圆的认识的应用，解题的关键是做注意多种情况的考虑，注意：点和圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内．30．共圆，圆心在点O处【分析】根据三角形中位线的性质，证出四边形EFGH是平行四边形，根据菱形性质证出四边形EFGH是矩形，根据矩形性质可得E，F，G，H到矩形中心的距离相等，从而得出结论．解：点E，F，G，H四点共圆，圆心在点O处．理由如下：连接HE，EF，FG，GH，OH，OE，OF，OG．⊙E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，⊙EF平行且等于12AC, HG平行且等于12AC，⊙EF平行且等于GH⊙四边形EFGH是平行四边形，////,HE GF BD∴又⊙四边形ABCD是菱形⊙AC BD⊥⊙⊙AOB＝90°∴⊙HEF＝90°，⊙四边形EFGH是矩形，⊙E，F，G，H到矩形中心的距离相等⊙这个矩形的四个顶点在同一个圆上，圆心即为点O．【点拨】考核知识点：点和圆的位置关系．理解矩形、菱形的判定和性质和点和圆的位置关系是解题关键．。

人教版九年级数学中考圆的综合专项练习及参考答案

人教版九年级数学中考圆的综合专项练习类型一与全等结合1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)． (1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形； (3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ， ∴△ACO 为等边三角形， ∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°， ∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ， ∴OC ⊥DC ， ∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°， ∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°， ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形， ∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ， ∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CP AC ＝AC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO 的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM . (1)求证：AC ＝DC ； (2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ， ∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC，∴Rt△OAC≌Rt△ODC(HL)，∴AC＝DC；(2)证明：由(1)知，△OAC≌△ODC，∴∠AOC＝∠DOC，∴∠AOD＝2∠AOC，∵∠AOD＝2∠OBD，∴∠AOC＝∠OBD，∴BD∥CM；(3)解：∵BD∥CM，∴∠BDM＝∠M，∠DOC＝∠ODB，∠AOC＝∠B，∵OD＝OB＝OM，∴∠ODM＝∠OMD，∠ODB＝∠B＝∠DOC，∵∠DOC＝2∠DMO，∴∠DOC＝2∠BDM，∴∠B＝2∠BDM，如解图，作OE平分∠AOC，交AC于点E，作EF⊥OC于点F，第2题解图∴EF ＝AE ，在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OE AE ＝EF ， ∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)， ∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，∴点F 在⊙O 上，又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ， ∴∠AOE ＝∠BDM ，设AE ＝EF ＝y ， ∵sin B ＝45，∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45，∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2， ∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ， ∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，解得y ＝32x ，∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ，∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x＝255.3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E . (1)求证：∠1＝∠BCE ； (2)求证：BE 是⊙O 的切线； (3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵AB ︵＝BD ︵， ∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB， ∴△ABF ≌△DBE (AAS)， ∴BF ＝BE ， ∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ， ∴∠1＝∠BCE ； (2)证明：如解图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°， ∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ， ∴∠BAC ＝∠EBC ， ∵OA ＝OB ， ∴∠BAC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°， ∴∠EBO ＝90°，又∵OB 为⊙O 的半径， ∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)， ∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4， ∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35.类型二与相似结合4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F .(1)求∠DAF 的度数； (2)求证：AE 2＝EF ·ED ； (3)求证：AD 是⊙O 的切线．第4题图(1)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°，∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°， ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠DBC ＝36°， ∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝36°，∴∠DAF ＝∠AFB －∠D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF ＝∠FBC ＝∠D ，∠AEF ＝∠AED ，∴△EAF ∽△EDA ，∴AE DE ＝EF EA， ∴AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足，∵AB ＝AC ， ∴AG 垂直平分BC ， ∴AG 过圆心O ， ∵AD ∥BC ， ∴AD ⊥AG ， ∴AD 是⊙O 的切线．第4题解图5. 如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F .(1)求证：∠CED ＝45°；(2)求证：AE ＝BD ；(3)求AO OF的值．第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°，又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°，而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ，∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ，∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x＝1＋ 2. 6. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ，连接AD ，作BE ⊥AB ，OE //AD 交BE 于E 点，连接AE 、DE ，AE 交CD 于点F .(1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，sin ∠ADP ＝13，求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE，∴△BOE ≌△DOE (SAS)，∴∠ODE ＝∠OBE ，∵BE ⊥AB ，∴∠OBE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵AB ⊥CD ，∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13， ∵⊙O 的半径为3，∴AB =6，∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ，证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE ，∴△APF ∽△ABE ，∴PF BE ＝AP AB ，∴PF ＝AP ·BE AB ，在△APD 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE∠PAD ＝∠BOE ，∴△APD ∽△OBE ，∴PD BE ＝AP OB ，∴PD ＝AP ·BE OB ，∵AB ＝2OB ，∴PF ＝12PD ， ∴PF ＝FD .7. 如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC ，OD 交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠COD .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FG FC的值．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD .∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠ACO，又∵∠COD＝∠CBD，∴∠CBD＝∠BAC，∴∠ABC＋∠CBD＝90°，∴∠ABD＝90°，即OB⊥BD，又∵OB是⊙O的半径，∴BD是⊙O的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGBD＝AFAB，即FG＝BD·AFAB，∴FC FG ＝AB OB＝2， ∴FG FC ＝12. 8. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为线段OB 上一点(不与O 、B 重合)，作EC ⊥OB 交⊙O 于点C ，作直径CD 过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，作AF ⊥PC 于点F ，连接CB .(1)求证：AC 平分∠FAB ；(2)求证：BC 2＝CE ·CP ；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度．第8题图(1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径，∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠CAF＝∠OAC，∴AC平分∠FAB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE ∽△CPB ，∴BC PC ＝CE CB， ∴BC 2＝CE ·CP ；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34，设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3.类型三与全等相似结合9. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．第9题图(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA(AAS)，∴AB＝CD；(2)证明：∵AE为⊙O的切线且O为圆心，∴OA⊥AE，即CA⊥AE，∴∠EAB＋∠BAC＝90°，而∠BAC＋∠BCA＝90°，∴∠EAB＝∠BCA，而∠EBA＝∠ABC，∴△EBA∽△ABC，∴EBAB＝BABC，∴AB2＝BE·BC，由(1)知AB＝CD，∴CD2＝BE·BC；(3)解：由(2)知CD2＝BE·BC，即CD 2＝92BC ①， ∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②，将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0，即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③，将③代入①得，CD ＝332. 10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图 (1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC ，∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷

新人教版初三九年级上册数学第二十四章圆知识点及练习题(附答案)试卷并且可以用于解决一些圆的问题。

在圆O中，圆心角∠XXX和∠AEB相等，则弦AB和DE相等，弦BC和BD相等，弦AC和AD相等，且弦心距相等。

七、切线与切点1、切线定义：过圆上一点的直线称为圆的切线；2、切点定义：圆上与切线相切的点称为切点；3、定理：切线垂直于半径，切点在切线上，且切点到圆心的距离等于半径长。

在圆O中，点A在圆上，线段AB是圆O上的一条切线，点B是切点，且AB垂直于半径OA，AB上的点与圆心O的距离等于半径OA的长度。

参考答案：一、圆的概念集合形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

圆的外部是到定点的距离大于定长的点的集合，圆的内部是到定点的距离小于定长的点的集合。

轨迹形式的概念：圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹，以定点为圆心，定长为半径的圆。

垂直平分线是到线段两端距离相等的点的轨迹，角的平分线是到角两边距离相等的点的轨迹，到直线的距离相等的点的轨迹是平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线，到两条平行线距离相等的点的轨迹是平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

二、点与圆的位置关系点在圆内的距离小于半径，点在圆上的距离等于半径，点在圆外的距离大于半径。

三、直线与圆的位置关系直线与圆相离的距离大于半径，直线与圆相切的距离等于半径，直线与圆相交的距离小于半径。

四、圆与圆的位置关系圆与圆外离的距离大于两圆半径之和，圆与圆外切的距离等于两圆半径之和，圆与圆相交的距离在两圆半径之差和之和之间，圆与圆内切的距离等于两圆半径之差，圆与圆内含的距离小于两圆半径之差。

五、垂径定理垂径定理是指垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1包括平分弦（不是直径）的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧，弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的两条弧，平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。

六、圆心角定理圆心角定理是指同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

人教版九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案

人教版年九年级数学上册《圆》期末证明题练习-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，在ABC中90C∠=︒，点D是AB边上一点，以BD为直径的O与边AC相切于点E，与边BC交于点F，过点E作EH AB⊥于点H，连接BE(1)求证：EH EC=；(2)若4AB=，2A=求AD的长．sin32．如图，以AB为直径的O经过ABC的顶点C，AE，BE分别平分BAC∠，AE的延∠和ABC长线交O于点D，连接BD．(1)判断BDE△的形状，并证明你的结论；(2)若10AB=，210BE=求BC的长．3．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，D是AC的中点，过点D作直线l AC∥，AF⊥直线l，垂足为F，BC的延长线交直线l于点E．(1)求证：直线l是O的切线．(2)若O的半径为1，求AF BE+的值．4．如图，将含30︒角的直角三角板ABC放入半圆O中90∠=︒，A，B，C三点恰好在半圆OACB上，延长AB到点E，作直线CE，使得30∠=∠=︒·BCE BAC(1)求证：EC是半圆O的切线.(2)若8AB=，求阴影部分的面积.5．如图，以ABC的边AB为直径作O，交边AC于点D，BC为O的切线，弦DE AB⊥于点F，连接BE．(1)求证：ABE C∠∠=．(2)若点F为OB中点，且1OF=，求线段ED的长．6．如图，ABC内接于O，CD与AB的延长线相交于点D，且BCD BAC∠=∠．求证：CD是O 的切线．7．如图，在ABC中AB BC=，以AB为直径的O与AC交于点D，过D作O的切线交AB的延长线于E，交BC于F．(1)求证：DF BC⊥；(2)已知6BE=求O的半径．DE=，38．如图，O是ABC的外接圆，BD是O的直径AB AC=，AE//BC，E为BD的延长线与AE 的交点．(1)求证：AE是O的切线；(2)若75∠=︒，BC=2，求CD和AE长．ABC9．如图，在ABC中90∠=︒，AD是ABC的角平分线，以AD为弦，圆心O在边AB上作OC交AC于E．(1)判断BC 与O 的位置关系并说明理由；(2)若30B ∠=︒，AE=2，求DE 的长．10．如图1，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，连接AC ，半径OD ∥弦AC(1)求证：弧BD =弧CD 的长．(2)在如图1上，连接BC 、AD 相交于点F ，BC 与OD 相交于点E ，连接CD ，若O 的半径为5，6AC =求CD 的长．(3)如图2，在OD 的延长线上取一点P ，使12CAP BAP ∠=∠，AP 交弧BC 于点.G 若10AB =，61CP =求AG 的长．11．如图，O 的直径AB 垂直弦CD 于点F ，点P 在AB 的延长线上，CP 与O 相切于点C ．(1)求证：PCB PAD ∠=∠；(2)若O 的直径为4，弦DC 平分半径，求图中阴影部分的面积．12．如图，在ABC中，O为AC上一点，以点O为圆心，OC为半径作圆，与BC相切于点C，延长BO交O于点D，连接CD，AB CD且CAB CBD∠=∠．(1)求证：AB是O的切线；(2)若6BC=，求图中阴影部分的面积．13．如图，已知四边形ABCD是O的内接四边形，连接AB，CD，且DA平分EDC∠．求证：(1)ABC是等腰三角形．(2)若45∠=︒，O的半径为6cm，求点O到BC的距离．BDC14．如图O是ABC的外接圆=45∥，AB交OC于∠︒，延长BC于D，连接AD，使得AD OCABCE．(1)求证：AD 与O 相切；(2)若25AE =，CE=2．①求O 的半径；②求AB 的长度．15．如图，在O 中，AB 是直径，点C 是圆上一点，在AB 的延长线上取一点D ，连接CD ，使BCD A ∠=∠．求：(1)求证：直线CD 是O 的切线；(2)若120,9ACD AD ∠=︒=，求扇形OAC 的面积16．如图，AB 为O 的直径，点C 、D 都在O 上，且BD 平分ABC ∠，过点D 作DE BC ⊥，交BC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是O 的切线．(2)延长ED 交BA 的延长线于点F ．若30F ∠=︒，AB=8，则BE 的长为______．答案： 1．解、（1）如图，连接OEAC 与O 相切∴OE AC ⊥，且BC AC ⊥∴OE BC ∥∴CBE OEB ∠=∠EO OB =∴EBO OEB ∠=∠∴CBE EBO ∠=∠，且CE BC ⊥ EH AB ⊥ ∴CE EH =；（2）2sin3OE A OA== ∴设2OE a = ()30AO a a =≠∴2OB OE a ==324AB AO OB a a =+=+=∴45a =44AD AB BD a =-=-∴45AD =． 2．（1）解：BDE 为等腰直角三角形，证明如下：证明：∵AE 平分BAC ∠ BE 平分ABC ∠ ∴BAE CAD CBD ∠=∠=∠ ABE EBC ∠=∠．∵BED BAE ABE ∠=∠+∠ DBE DBC CBE ∠=∠+∠ ∴BED DBE ∠=∠．∴BD ED =．∵AB 为直径∴90ADB ∠=︒．∴BDE 是等腰直角三角形．（2）解：如图：连接OC CD OD OD 交BC 于点F ．∵DBC CAD BAD BCD ∠=∠=∠=∠ ∴BD DC =．∵OB OC =∴OD 垂直平分BC ．∵BDE 是等腰直角三角形 210BE = ∴25BD =．∵10AB =∴5OB OD ==．设OF t = 则5DF t =-．在Rt BOF △和Rt BDF △中 22225(25)(5)t t -=--．解得 3t =． ∴4BF =．∴8BC=．3．解、（1）证明：如图所示连接OD CD OC，，．∵D是AC的中点∴AD CD=∴AD CD=又∵OA OC=∴点O和点D都在线段AC的垂直平分线上即OD垂直平分线AC ∴OD AC⊥．又∵直线l AC∥∴直线l OD⊥∵OD是O的半径∴直线l是O的切线．（2）解：如图过点D作DM AB⊥垂足为M由（1）得90ODF∠=︒∵AB为半圆O的直径∴90∠=∠=︒ADB ACB∴90∠=∠=︒FDO ADB∴FDO ADO ADB ADO∠=∠∠∠即FDA ODB∠-=∠-∵OD OB=∴FDA ODB OBD ∠=∠=∠．又∵DM AB ⊥∴90OBD BDM ∠+∠=︒． ∵90ADM BDM ∠+∠=︒ ∴ADM OBD ∠=∠∴ADF ADM ∠=∠又∵AF EF ⊥∴AF AM =．同理可得BDE BDM ∠=∠ ∵D 是AC 的中点∴AD CD =∴DBM DBE ∠=∠又∵BD BD =∴()ASA BDM BDE ≌ ∴MB BE =∴AF BE AM MB AB +=+= 即2AF BE +=．4．解、（1）证明：如图连接OC∵90ACB ∠=︒∴AB 是O 的直径即O 在AB 上 ∵,OA OC =30BAC ∠=︒,∴30,OCA OAC ∠∠==︒∴903060OCB ∠=︒-︒=︒∵30BCE ∠=︒,∴306090,OCE ∠=︒+︒=︒∴OC CE ⊥∴EC 是半圆O 的切线；（2）解：∵30,90,BAC ACB ∠∠=︒=︒ ∴903060,ABC ∠=︒-︒=︒∵OB OC =∴BOC 是等边三角形∵8AB =∴4OB =∴2260483603603OAC n r S πππ⨯===扇形 13444322BOC S =⨯⨯⨯= ∴8433BOC OBC S S S π=-=-阴影扇形． 5解、（1）证明：∵BC 为O 的切线 ∴BC AB ⊥∵DE AB⊥∴BC DE∥∴C ADE∠=∠∵ABE ADE∠=∠∴ABE C∠=∠；（2）解：连接OE∵点F为OB中点且1OF=∴22==OB OF∴2==OE OB根据勾股定理可得：223=-=EF OE OF∵DE AB⊥∴223==．DE EF6．解、证明：如图过点C作O的直径CE连接BE 则90∠=︒CBE∴∠+∠=︒BEC BCE90∠=∠∠=∠,BEC BAC BAC BCDBCD BEC∴∠=∠BCD BCE∴∠+∠=︒90∴⊥CD CEOC是O的半径∴CD是O的切线．7．解、（1）证明：如图连接OD∵DE是O的切线⊥∴90∠=︒即OD DEODE∵AB BC=∴A C∠=∠∵OA OD=∴A ADO∠=∠∴C ADO∠=∠∴∥OD BC∴DF BC⊥；（2）设O的半径为r则OB OD r==∵3BE=∴3=+OE r在Rt DOE△中222DE=+=6OD DE OE∴()22263r r +=+ 解得： 4.5r =即O 的半径为4.5．8．（1）证明：连接并延长AO 交BC 于点F 连接OC 则OA OB OC ==∴1802AOB OAB OBA -∠∠=∠=1802AOC OAC OCA -∠∠=∠= ∵AB AC =∴ACB ABC ∵2AOB ACB ∠=∠ 2AOC ABC =∠∠ ∴AOB AOC ∠=∠∴18018022AOB AOC -∠-∠= ∴OAB OAC ∠=∠∴AF BC ⊥∵AE BC ∥∴90OAE AFB ∠=∠=︒∴OA 是O 的半径且AE OA ⊥ ∴AE 是O 的切线；（2）∵75ACB ABC ∠=∠=︒ ∴18030BAC ACB ABC ∠=︒-∠-∠=︒∴223060BOC BAC ∠=∠=⨯︒=︒ ∴BOC 是等边三角形 180120COD BOC ∠=︒-∠=︒ ∴2OC OA BC ===∴CD 的长为120π24π1803⨯= ∵AE 是O 的切线∴90OAE ∠=︒在Rt OAE △中 1302AOE BOF BOC ∠==∠=∠= ∴2OE AE =由勾股定理得：233AE =． 9．（1）解（1）BC 与O 相切理由如下：连接OD∵OA OD =∴OAD ODA ∠∠= 又∵AD 是ABC 的角平分线 ∴OAD CAD ∠∠=∴ODA CAD ∠∠=∴OD AC∴90ODB C ∠∠==︒∴OD BC ⊥∵OD 是O 的半径∴BC 与O 相切；（2）连接OE∵90ODB C ∠∠==︒ 30B ∠=︒ ∴60BOD BAC ∠∠==︒ ∵OA OE =∴OAE 是等边三角形 2AE = ∴2OA OE == 60AOE ∠=︒ ∴60EOD ∠=︒∴DE 的长为：6022=1803ππ⨯10．（1）解：连接BC ．OD ∥AC 90ACB ∠=︒ OD BC ∴⊥∴弧BD =弧CD 的长．（2）90ACB ∠=︒2222(25)68BC AB AC ∴=-=⨯-=．由（1）可知 OD BC ⊥ 118422CE BE BC ∴===⨯=．又OA BO =∴点E 和O 分别是BC 和AB 的中点 116322OE AC ∴==⨯=532DE OD OE ∴=-=-=． 90CED ∠=︒22224225CD CE DE ∴=+=+=．（3）连接OG 、BG 、BP ．设CAP α∠= 则2BAP α∠=． OA OG =2AGO BAP α∴∠=∠=． OD //ACAPO CAP α∴∠=∠=2GOP AGO APO ααα∴∠=∠-∠=-= 1110522GP GO AB ∴===⨯=．OP 垂直平分BC61BP CP ∴==．90BGP ∠=︒222612536BG BP GP ∴=-=-=22100368AG AB BG ∴=-=-=．11．解、（1）连接OC∵CP 与O 相切∴OC PC ⊥∴90PCB OCB ∠+∠=︒ ∵AB DC ⊥∴90∠+∠=︒PAD ADF ∵OB OC =∴OBC OCB ∠=∠由圆周角定理得：ADF OBC ∠=∠ ∴PCB PAD ∠=∠；（2）连接OD DB ，∵,,OB CD OF BF ⊥=∴,DO DB =∵OB OD =∴,OB OD DB ==∴ODB △是等边三角形 ∴60DOB ∠=︒∵AB DC ⊥∴DF FC =∵BF OF AB DC =⊥， ∴CFB DFO S S =△△∴260223603BOD S S ππ⨯===阴影部分扇形．12．（1）解：过点O 作OF AB ⊥∵BC 与O 相切∴OC BC ⊥∴90OCB OFB ∠=∠=︒ ∵AB CD∴CAB ACD ∠=∠ CDB ABD ∠=∠ ∵OC OD =∴OCD ODC ∠=∠∴CAB ABD ∠=∠∵CAB CBD ∠=∠∴CBD ABD ∠=∠∵OB OB =∴OCB OFB ≌∴OF OC =为O 的半径AB是O 的切线；）由（1）知：ABD +∠+∠30=︒OCB S S -解、（1）解：四边形是O 的内接四边形ACB +∠又ADB ∠+∠ADE ∴∠=∠DA 平分∠ADC ∴∠=∠ADC ∠=∠ADE ∴∠=即ABC ∠ABC ∴是等腰三角形；（2）解：连接6cm OB OC ∴==45BDC ∠=︒90BOC ∴∠=︒在Rt BOC 中由勾股定理得： 22226662cm BC BO CO =+=+= 设点O 到BC 的距离为h 1122BOC S BO CO BC h =⨯⨯=⨯⨯ 即11666222h ⨯⨯=⨯⨯解得：32h =∴点O 到BC 的距离为32cm ． 14．（1）证明：连接OA ∵=45ABC ∠︒∴290AOC ABC ∠=∠=︒ ∵AD OC ∥∴180AOC OAD ∠+∠=︒ ∴90OAD ∠=︒ 即OA AD ⊥ ∴AD 与O 相切；（2）解：①设O 的半径为r 则OA OC r == ∵2CE =∴2OE r =-∵=90AOC ︒∠∴222OE OA AE +=即()()222225r r -+= 解得：4r =或2r =-（舍去） ∴O 的半径4；②过点O 作OF AB ⊥于点F∵=90AOC ︒∠ OF AB ⊥ ∴1122AOE S OE OA AE OF =⋅=⋅ 则2425OF ⨯=解得：455OF = 根据勾股定理可得：22855=-=AF OA OF ∵OF AB ⊥∴16525AB AF ==． 15．（1）证明：连接OC 则：OB OC =∴OBC OCB∠=∠∵AB是直径∴90∠=︒ACB∴90∠+∠=︒A ABC∠=∠∵BCD A∴90DCB OCB∠+∠=︒即：90∠=︒OCD∴OC CD⊥∵OC是O的半径∴直线CD是O的切线；（2）∵120∠=︒90ACD∠=︒OCD∴30∠=︒OCA∵OA OC=∴30∠=∠=︒A OCA∴60∠=︒DOC∴30D∠=︒∴22==OD OC OA∵9=+=AD OA OD∴3OA=∵60∠=︒DOC∴120COA ∠=︒∴扇形OAC 的面积为212033360ππ⨯=．16．（1）证明：连结OD 如图BD 平分ABC ∠OBD EBD ∴∠=∠OB OD =ODB OBD ∴∠=∠ODB EBD ∴∠=∠OD BE ∴∥DE BE ⊥DE OD ∴⊥DE ∴是O 的切线；（2）解：8AB =4OA OB OD ∴===OD EF ⊥90ODF ∴∠=︒在Rt ODF △中30F ∠=︒28OF OD ∴==8412BF OF OB ∴=+=+= BE EF ⊥90E ∴∠=︒在Rt EFB △中 30F ∠=︒ 162BE BF ∴==．故答案为：6．。

2020年人教版九年级数学上册专题小练习二十《圆-证明题专练》(含答案)

2020年人教版九年级数学上册专题小练习《圆-证明题专练》1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD、BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π）2.如图，在⊙O中，点C是直径AB延长线上一点，过点C作⊙O的切线，切点为D，连结BD．（1）求证：∠A=∠BDC；（2）若CM平分∠ACD，且分别交AD、BD于点M、N，当DM=1时，求MN的长．3.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．（1）求证：BE=CE；（2）求∠CBF的度数；（3）若AB=6，求的长．4.已知P是⊙O外的一点,OP=4,OP交⊙O于点A,且A是OP的中点,Q是⊙O上任意一点．（1）如图1,若PQ是⊙O的切线,求∠QOP的大小；（2）如图2,若∠QOP=90°,求PQ被⊙O截得的弦QB的长．5.已知△ABC中∠ACB=90°,E在AB上,以AE为直径的⊙O与BC相切于D,与AC相交于F,连接AD．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）连接OC,如果∠B=30°,CF=1,求OC的长．6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.0为BC边上一点，以0为圆心，OB为半径作半圆与BC边和AB边分别交于点D、点E，连接DE．（1）当BD=3时，求线段DE的长；（2）过点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F．求证：△FAE是等腰三角形．7.如图，⊙O的直径为AB，点C在圆周上（异于A，B），AD⊥CD．（1）若BC=3，AB=5，求AC的值；（2）若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD是⊙O的切线．8.如图,AB是⊙O的直径,AF是⊙O切线,CD是垂直于AB的弦,垂足为E,过点C作DA的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．9.如图，四边形ABCD表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8．E是BC上一点，将△ABE沿折痕AE向上翻折，点B恰好落在CD边上的点F处，⊙O内切于四边形ABEF．求：（1）折痕AE的长；（2）⊙O的半径．10.已知平行四边形ABCD，AB=8，BC=6，O点在边AB上，以OA为半径作⊙O，交AD于E点.(1)如图1，若AB为O直径，恰好AE=4DE，求sinA的值；(2)如图2，若⊙O与CB延长线相切，切点为F点，求⊙O的半径长.11.在⊙O中,AB为直径,C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①,过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=320,求∠P的大小；（Ⅱ）如图②,D为优弧ADC上一点,且DO的延长线经过AC的中点E,连接DC与AB相交于点P,若∠CAB=160,求∠DPA的大小.12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE（1）证明OE∥AD；（2）①当∠BAC= °时，四边形ODEB是正方形．②当∠BAC= °时，AD=3DE．参考答案1.解：（1）直线BC与⊙O相切；连结OD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵∠BAC的角平分线AD交BC边于D，∴∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB=∠C=90°，即OD⊥BC．又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切．（2）设OA=OD=r，在Rt△BDO中，∠B=30°，∴OB=2r，在Rt△ACB中，∠B=30°，∴AB=2AC=6，∴3r=6，解得r=2．（3）在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°．∴．∵∠B=30°，OD⊥BC，∴OB=2OD，∴AB=3OD，∵AB=2AC=6，∴OD=2，BD=2S△BOD=×OD•BD=3，∴所求图形面积为．2.解：（1）如图，连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠A+∠ABD=90°，又∵CD与⊙O相切于点D，∴∠CDB+∠ODB=90°，∵OD=OB，∴∠ABD=∠ODB，∴∠A=∠BDC；（2）∵CM平分∠ACD，∴∠DCM=∠ACM，∴∠A+∠ACM=∠BDC+∠DCM，即∠DMN=∠DNM，∵∠ADB=90°，DM=1，∴DN=DM=1，∴MN=．3.【解答】（1）证明：连接AE，∵AB是⊙O直径，∴∠AEB=90°，即AE⊥BC，∵AB=AC，∴BE=CE．（2）解：∵∠BAC=54°，AB=AC，∴∠ABC=63°，∵BF是⊙O切线，∴∠ABF=90°，∴∠CBF=∠ABF﹣∠ABC=27°．（3）解：连接OD，∵OA=OD，∠BAC=54°，∴∠AOD=72°，∵AB=6，∴OA=3，∴弧AD的长是=．4.解：（1）如图1，∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ，∵A是OP的中点，∴OP=2OA，在Rt△OPQ中，cos∠QOP==，∴∠QOP=60°；（2）作OD⊥BQ于D，如图2，则QD=BD，∵∠QOP=90°，OP=4，OQ=2，∴PQ=2，∵∠OQD=∠PQO，∴Rt△QOD∽Rt△QPO，∴QD：OQ=OQ：QP，即QD：2=2：2，∴QD=，∴QB=2QD=．5.（1）证明：连接OD，∴OD=OA，∴∠1=∠2，∴∠ODB=90°，∵∠C=90°，∴∠ODB=∠C，∴OD∥AC，∴∠3=∠2，∴∠1=∠3，∴AD是∠BAC的平分线；（2）解：连接DF，∵∠B=30°，∴∠BAC=60°，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠3=30°，∵BC是⊙O的切线，∴∠FDC=∠3=30°，∴CD=CF=，∴AC=CD=3，∴AF=2，过O作OG⊥AF于G，∴GF=AF=1，四边形ODCG是矩形，∴CG=2，OG=CD=，∴OC==．6.（1）解：∵∠C=90°，AC=3，BC=4，∴AB=5，∵DB为直径，∴∠DEB=∠C=90°，又∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，∴，即，∴DE=；（2）连接OE，∵EF为半圆O的切线，∴∠DEO+∠DEF=90°，∵△DBE∽△ABC，∴∠A=∠EDB，又∵∠EDO=∠DEO，∴∠AEF=∠A，∴△FAE是等腰三角形；7.（1）解：∵AB是⊙O直径，C在⊙O上，∴∠ACB=90°，又∵BC=3，AB=5，∴由勾股定理得AC=4；（2）证明：∵AC是∠DAB的角平分线，∴∠DAC=∠BAC，又∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB，∴∠DCA=∠CBA，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠OAC+∠OBC=90°，∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，∴DC是⊙O的切线．8.【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE=DE=CD=×4=2，设OC=x，∵BE=2，∴OE=x﹣2，在Rt△OCE中，OC2=OE2+CE2，∴x2=（x﹣2）2+（2）2，解得：x=4，∴OA=OC=4，OE=2，∴AE=6，在Rt△AED中，AD==4，∴AD=CD，∵AF是⊙O切线，∴AF⊥AB，∵CD⊥AB，∴AF∥CD，∵CF∥AD，∴四边形FADC是平行四边形，∵AD=CD，∴平行四边形FADC是菱形；（2）连接OF，AC，∵四边形FADC是菱形，∴FA=FC，∴∠FAC=∠FCA，∵AO=CO，∴∠OAC=∠OCA，∴∠FAC+∠OAC=∠FCA+∠OCA，即∠OCF=∠OAF=90°，即OC⊥FC，∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．9.10.解：（1）连接BE，sinA=0.8；（2）r=32/9.11.12.。

第24章圆人教版九年级数学上册压轴题专题练习(含答案)

人教版九年级数学上册第二十四章圆压轴题专题练习1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．参考答案1．如图，在△ABC中，AB＝CB，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，且弧AD＝弧BD，直线l经过点C、D，连接AD，交BC于点E，若∠CAD＝∠CBA．（1）求证：直线l是⊙O的切线；（2）求的值．【解答】解：（1）如图1，连接BD，连接OD，过点C作CF⊥AB于点F，∵，∴∠DAB＝∠ABD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB＝∠DBA＝45°，设∠ABC＝α，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝，∵∠CAD＝∠CBA＝α，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝45°+α，∴，∴α＝30°，∴CF＝，∵，∴OD＝CF，∵，∴AD＝BD，∵OA＝OB，∴OD⊥AB，∵DP⊥AB，∴CF∥OD∴四边形ODCF是矩形，∴∠ODC＝90°，∴直线l是⊙O的切线；（2）如图2，过点E作EG⊥AB于点G，由（1）知，∠CAD＝∠ABE＝30°，CD∥AB，∴∠ADC＝∠EAB＝45°，则△ACD∽△BEA，∴，∴AE＝CD，∵∠DAB＝45°、∠ABC＝30°，∴BE＝2EG＝2×AE＝AE＝CD＝2CD，∴．2．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA＝∠CBD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠CBD＝30°，BC＝3，求⊙O半径．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD，∵OD＝OB＝OA，∴∠OBD＝∠ODB，∠ODA＝∠OAD，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠CDA＝∠ODB．∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ODB+∠ODA＝90°，∴∠CDA+∠ODA＝∠ODC＝90°．∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠CBD＝30°，∠OBD＝∠ODB，∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝60°，∴∠C＝30°．∵∠ODC＝90°．∴OD＝OB＝OC，∴OB＝BC，∵BC＝3，∴OB＝1，∴⊙O半径为1．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝．（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．4．如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于E．（1）求证：EA是⊙O的切线；（2）判断BD与CF的数量关系？说明理由．【解答】解：（1）证明：如图，连接AO，∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，∴AO平分∠BAC，∴，∵AE∥BC，∴∠CAE＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC+∠CAE＝90°，∴OA⊥AE，∴EA为⊙O的切线；（2）BD＝CF，理由如下：∵△ABC为正三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°；∵A、B、C、D四边共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°，∵DF＝DA，∴△ADF为正三角形，∴∠DAF＝60°＝∠BAC，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAF+∠CAD，即∠BAD＝∠CAF，在△BAD与△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴BD＝CF．所以BD与CF的数量关系为相等．5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，P是CD延长线上一点，DE⊥AP，垂足为E，∠EAD＝∠HAD．（1）求证：AE为⊙O的切线；（2）已知P A＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．【解答】解：（1）证明：连接AO并延长交⊙O于点M，连接MD，如图，∵AB⊥CD，∴＝，∴∠M＝∠BAD，∵∠EAD＝∠HAD．∴∠M＝∠EAD，∵AM为直径，∴∠ADM＝90°，∴∠M+∠MAD＝90°，∴∠EAD+∠MAD＝90°，即∠MAE＝90°，∴AM⊥AE，∴AE为⊙O的切线；（2）∵∠EAD＝∠HAD，DH⊥AH，DE⊥AE，AD＝AD，∴△AHD≌△AED（AAS）∴DE＝DH，AH＝AE，设DE＝x，AH＝y，则DH＝x，AE＝y，∵∠EPD＝∠HP A，∠PED＝∠PHA＝90°，∴Rt△PED∽Rt△PHA，∴＝＝，即＝＝，∴解得x＝，y＝，即DE的长为，AH＝，设圆的半径为r，则OH＝r﹣，在Rt△OAH中，（r﹣）2+（）2＝r2，解得r＝，即⊙O的半径为．答：⊙O的半轻和DE的长分别为：，．6．如图，在平行四边形ABCD中，AC是对角线，∠CAB＝90°，以点A为圆心，以AB的长为半径作⊙A，交BC边于点E，交AC于点F，连接DE．（1）求证：DE与⊙A相切；（2）若∠ABC＝60°，AB＝4，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接AE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB，∵AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABC，∴∠DAE＝∠ABC，∴△AED≌△BAC（SAS），∴∠DEA＝∠CAB，∵∠CAB＝90°，∴∠DEA＝90°，∴DE⊥AE，∵AE是⊙A的半径，∴DE与⊙A相切；（2）解：∵∠ABC＝60°，AB＝AE＝4，∴△ABE是等边三角形，∴AE＝BE，∠EAB＝60°，∵∠CAB＝90°，∴∠CAE＝90°﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∠ACB＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，∴∠CAE＝∠ACB，∴AE＝CE，∴CE＝BE，∴S△ABC＝AB•AC＝＝8，∴S△ACE＝S△ABC＝＝4，∵∠CAE＝30°，AE＝4，∴S扇形AEF＝＝＝，∴S阴影＝S△ACE﹣S扇形AEF＝4﹣．7．如图，在Rt△ABC中，AC＜AB，∠BAC＝90°，以AB为直径作⊙O交BC于点D，E 是AC的中点，连接ED．点F在上，连接BF并延长交AC的延长线于点G．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）连接AF，求的最大值．【解答】（1）证明：连接OD，AD．∵AB为⊙O直径，点D在⊙O上，∴∠ADB＝90°，∴∠ADC＝90°，∵E是AC的中点，∴DE＝AE，∴∠EAD＝∠EDA，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠OAD+∠EAD＝∠BAC＝90°，∴∠ODA+∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵D是半径OD的外端点，∴DE是⊙O的切线；（2）解：过点F作FH⊥AB于点H，连接OF，∴∠AHF＝90°．∵AB为⊙O直径，点F在⊙O上，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°．∵∠BAC＝90°，∴∠G+∠ABF＝90°，∴∠G＝∠BAF，又∠AHF＝∠GAB＝90°，∴△AFH∽△GBA，∴，由垂线段最短可得FH≤OF，当且仅当点H，O重合时等号成立．∵AC＜AB，∴上存在点F使得FO⊥AB，此时点H，O重合，∴≤，即的最大值为．8．如图，点D是以AB为直径的⊙O上一点，过点B作⊙O的切线，交AD的延长线于点C，E是BC的中点，连接DE并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若OB＝BF，EF＝4，求阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图，连接OD，BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，∵BE＝EC，∴DE＝EC＝BE，∴∠1＝∠3，∵BC是⊙O的切线，∴∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠4＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠1+∠2＝90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵OB＝BF，∴OF＝2OD，∴∠F＝30°，∵∠FBE＝90°，∴BE＝EF＝2，∴DE＝BE＝2，∴DF＝6，∵∠F＝30°，∠ODF＝90°，∴∠FOD＝60°，∵OD＝OA，∴∠A＝∠ADO＝∠BOD＝30°，∴∠A＝∠F，∴AD＝DF＝6，OD＝BD＝DF＝2，∴阴影部分的面积＝AD•BD+＝+2π＝3+2π．9．如图，正方形ABCD顶点B、C在⊙O上，边AD经过⊙O上一定点E，边AB，CD分别与⊙O相交于点G、F，且EF平分∠BFD．（1）求证：AD是⊙O的切线．（2）若DF＝，求DE的长．【解答】（1）证明：连接OE，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∵FE平分∠BFD，∴∠DFE＝∠OFE，∴∠DFE＝∠OEF，∴OE∥CD，∴∠OED+∠D＝180°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝90°，∴∠OED＝90°，即OE⊥AD，∵OE过O，∴AD是⊙O的切线；（2）解：连接BE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°，AB∥CD，AD＝AB，∵OE⊥AD，∴AB∥CD∥OE，∵O B＝OF，∴AE＝DE，设DE＝AE＝x，则AD＝AB＝2x，∵BF为⊙O直径，∴∠BEF＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝180°﹣90°＝90°，∠DEF+∠AEB＝180°﹣∠BEF＝90°，∴∠DEF＝∠ABE，∴△ABE∽△DEF，∴＝，∴＝，即得：x＝2，即DE＝2．10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD⊥CD于点D，AC平分∠DAB．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）设AD交⊙O于E，＝，△ACD的面积为6，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC＝∠DAC，∴OC∥AD，∴∠OCE＝∠ADC＝90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵＝，∴设AC＝5x，CD＝3x，∴AD＝4x，∵△ACD的面积为6，∴AD•CD＝＝6，∴x＝1（负值舍去），∴AD＝4，CD＝3，AC＝5，连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠ADC，∵∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB，∴＝，∴＝，∴AB＝，∴＝，连接BE交OC于F，∴OC⊥BE，BF＝EF，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝∠DEB＝90°，∴四边形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝3，∴BE＝6，∴AE＝＝，∴DE＝4﹣＝，∴BD＝＝．11．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由．（2）若⊙O半径r＝3，DE＝4，求AD的长．【解答】解：（1）连接OD、BD，如图所示．∵点O为AB的中点，点E为BC的中点，∴OE∥AC，且AC＝2OE，∴∠A＝∠BOE．又∵∠BOD＝2∠A，∴∠DOE＝∠A＝∠BOE．在△BOE和△DOE中，，∴△BOE≌△DOE（SAS），∴∠ODE＝∠OBE＝90°，∴DE与⊙O相切；（2）∵AB为⊙O的直径，∴BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠ADB＝∠ABC，∴∠A+∠ABD＝∠A+∠C＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴△ABD∽△ACB，∴＝，∵AB＝6，BC＝2DE＝8，∴AC＝10，∴AB2＝AD•AC，∴62＝AD×10，∴AD＝．12．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的直径＝3．13．以等边△ABC的一边AB为直径作半圆，设圆心为点O，半圆O与边AC交于点D，与边BC交于点E，取线段CD的中点F，连结EF、OE．（1）求证：EF是⊙的切线；（2）若⊙O的半径是2，求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接BD，OE，AE，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDF＝∠AEB＝90°，∴BD⊥CD，AE⊥BC，∵点D，A，B，E在⊙O上，∴∠ADE+∠ABE＝180°，∵∠ADE+∠CDE＝180°，∴∠ABE＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABE＝∠CDE，∴DE＝CE，∵点F是CD中点，∴EF⊥CD，∵BD⊥CD，∴EF∥BD，∵AB＝AC，AE⊥BC，∴CE＝BE，∵AO＝BO，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴四边形FDGE是矩形，∴OE⊥EF，又OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：由（1）知∠OEF＝90°，BD∥EF，∴∠OGE＝90°，即OE⊥BD，∴DE＝BE，＝，∴弓形BE的面积＝弓形DE的面积，∴阴影部分面积＝S△DEF，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠BOE＝60°，∴∠CAE＝30°，∵DE＝OA＝2，∴DF＝DE＝1，EF＝，∴图中阴影部分的面积＝＝．14．如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过△ABC的内切圆圆心I，且点E在半圆弧上．（1）若设△ABC的三边为a，b，c（其中∠A对边为a，∠B对边为b，∠C对边为c），试用含a，b，c的代数式表示AD，BD的长（2）证明：正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．【解答】解：（1）如图，设圆I与AC切于点M，与BC切于点N，由切线长定理可知：AD＝AM，CM＝CN，BN＝BD，∴AD+AM＝AB+BC+CA﹣CM﹣CN﹣BN﹣BD＝a+b+c﹣2a＝b+c﹣a，∴AD＝，∴BD＝．（2）连接AE、BE．∵AB是直径，∴∠AEB＝∠ACB＝90°，∴c2＝a2+b2，∴四边形DEFG是正方形，∴ED⊥AB，由射影定理可知：DE2＝AD•BD＝×＝ab．∴正方形DEFG的面积和△ABC的面积相等．15．如图，已知点D是△ABC外接圆⊙O上的一点，AC⊥BD于G，连接AD，过点B作直线BF∥AD交AC于E，交⊙O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD （1）求证：∠DBF＝∠ACB；（2）若AG＝GE，试探究∠GOD与∠ADC之间的数量关系，并证明．【解答】（1）证明：∵BF∥AD，∴∠ADB＝∠DBF，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠DBF＝∠ACB；（2）∠GOD与∠ADC之间的数量关系为：2∠GOD+∠ADC＝240°．理由如下：作OM⊥DC于点M，连接OC．∵AD∥BF，∴AB＝DF，∵F为CD中点，∴CF＝DF＝AB，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF，∵AC⊥BD于G，∴∠BGC＝∠AGD＝90°，∴∠DBF+∠CBF+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠DBC＝60°，∴∠ADB＝∠ACB＝30°，∠DOC＝2∠DBC＝120°，∵OD＝OC，∴∠ODM＝30°，设GE＝x，则AG＝x，∴DG＝x，BG＝√x，GC＝3x，DC＝x，DM＝x，OD＝x，∴DG＝OD，∴2∠GOD+∠ODG＝180°，∵∠ADB+∠ODC＝60°，∴2∠GOD+∠ODG+∠ADB+∠ODC＝240°，即2∠GOD+∠ADC＝240°．16．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m 的值．【解答】解：（Ⅰ）连接BH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，过H作HE⊥AO于E，则HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．17．如图所示，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，以CD为弦作一与AB相切的圆，分别交CA，CB于点M，N．（1）求证：MN∥AB；（2）若AC＝12，AB＝10，BC＝8，求MN的长度．【解答】（1）证明：连接DN，∵AB是⊙O的切线，∴∠BCD＝∠BDN，∵CD为∠ACB的平分线，∴∠ACD＝∠BCD，∵∠ACD＝∠MND，∴∠MND＝∠BDN，∴MN∥AB；（2）解：∵MN∥AB，∴△CMN∽△CAB，∴，∵CD为∠ACB的平分线，∴＝，∴＝，∴AD＝6，∵AD2＝AC•AM，∴62＝12AM，∴AM＝3，∴CM＝9，∴＝，∴MN＝．。

九年级数学上册数学圆的有关性质同步练习及答案人教版

圆的性质一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如图，在⊙O 中，∠AOB ＝100°，则弧AB 的度数为（）A ．50°B ．80°C ．100°D ．200°第1题图第2题图第3题图第4题图2．如图，AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠AOC ＝（）A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°3．如图，AB 为⊙O 直径，点D 是AB 上方圆上异于A 、B 的一点，若∠BOC ＝130°，则∠D 的度数（）A ．50°B ．25°C ．70°D ．35°4．如图，AB 为⊙O 直径，点C ，D 在⊙O 上，AĈ=BC ̂，AD 与CO 交于点E ，∠DAB ＝30°，若AO =√3，则CE 的长为（）A ．1B ．√32C ．√3−1D ．2√3−25．如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 均在⊙O 上，若∠ABC ＝28°，则∠OAC 的大小是（）A ．42°B ．52°C ．62°D ．72°第5题图第6题图第7题图第8题图6．如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，∠OBA ＝26°，D 为⊙O 上一点，则∠ADC 的度数是（）A．52°B．64°C．37°D．32°7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝28°，则∠D 的度数是（）A．56°B．58°C．60°D．62°8．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（）A．80°B．100°C．140°D．160°9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径，连接BD．若∠BCD＝2∠BAD，则∠BDE的度数是（）A．25°B．30°C．32.5°D．35°第9题图第10题图第11题图10．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOC＝90°，AB=√2，BC＝1，则⊙O的半径为（）A．√3B．√52C．√102D．√2+12二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AĈ的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD＝DC，∠DAC＝25°，则∠ABC＝°．第12题图第14题图第16题图是17题图13．若一条弦把圆周分成2：3的两段弧，则劣弧所对圆心角的度数是．14．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝26°，则∠BOC＝．15．在半径为4cm的⊙O中，弦CD平行于弦AB，AB=4√3cm，∠COD＝90°，则AB与CD之间的距离是cm．16．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝15°，则∠BCD的度数为．17．如图，四边形BCDE内接于⊙O，AB是⊙O的直径，满足AB⊥CD于点F，连接AE，BD．若∠ABC＝∠DBE，CF＝2AF＝4，则点E到线段AB的距离为．三．解答题一（共3小题，每小题6分，共18分）18．有一圆柱形木材，埋在墙壁中，其横截面如图所示，测得木材的半径为15cm，露在墙体外侧的弦长AB＝18cm，其中半径OC垂直平分AB，则埋在墙体内的弓形高CD等于多少cm？̂=AD̂，AC交BD于点G．若∠COD 19．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AB＝126°，求∠AGB的度数．20．如图，AB是⊙O的直径，点C，E都在⊙O上，OC⊥AB，CÊ=2AÊ，DE∥AB交OC 于点D，延长OC至点F，使FC＝OC，连接EF．（1）求证：CD＝OD．（2）若⊙O的直径是4，求EF的长．四．解答题二（共3小题，每小题8分，共24分）21．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC、AD．若∠BAC＝35°，（1）求∠D的度数；（2）若∠ACD＝65°，求∠CEB的度数．22．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD、CD．（1）判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若AB＝13，BC＝12，求BD的长．23．如图，AB，CD为⊙O直径，弦DE，BF分别交半径AO，CO于点G，H，且∠FBA＝∠EDC．（1）求证：DE＝BF．̂=EF̂=FĈ，且∠DOB＝∠EGO，求AĈ的度数．（2）若AE五．解答题二（共3小题，每小题10分，共20分）24．如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F．若∠E＝∠F时，求证：∠ADC＝∠ABC．（1）若∠E＝∠F＝42°时，求∠A的度数；（2）若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β，请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小．25．如图，四边形APBC内接于圆，∠APC＝60°，AB＝AC，AP，CB的延长线相交于点D．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）若AP＝3，BP＝2，求PC的长；（3）若∠P AC＝90°，AB＝2√3，求PD的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．【解答】解：∵圆心角∠AOB＝100°，∴弧AB的度数为100°，故选：C．2．【解答】解：∵∠D＝40°，∴∠BOC＝2∠D＝80°，∴∠AOC＝100°．故选：B．3．【解答】解：∵∠BOC＝130°，∴∠AOC＝50°，∴∠D=12∠AOC=12×50°＝25°．故选：B．4．【解答】解：∵AĈ=BĈ，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∵∠DAB＝30°，AO=√3，∴OE＝OA•tan30°=√3×√33=1，∵OA＝OC=√3，∴CE＝OC﹣OE=√3−1．故选：C．5．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝28°，∴∠AOC＝56°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA=12×（180°﹣56°）＝62°．故选：C．6．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AĈ=BĈ，∠BOC+∠OBA＝90°，∴∠ADC=12∠BOC，∵∠OBA＝26°，∴∠BOC＝90°﹣26°＝64°，∴∠ADC=12×64°＝32°，故选：D．7．【解答】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝28°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝62°，∴∠B＝∠D＝62°，故选：D．8．【解答】解：∵∠AOC＝160°，∴∠ADC=12∠AOC＝80°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，故选：B．9．【解答】解：连接BE，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BAD＝60°，由圆周角定理得：∠BED＝∠BAD＝60°，∵DE是⊙O的直径，∴∠EBD＝90°，∴∠BDE＝90°﹣60°＝30°，故选：B．10．【解答】解：过点A作AE⊥CB交CB的延长线于点E连接AC．∵∠AOC＝90°，∴∠ABC=12（360°﹣90°）＝135°，∴∠ABE＝45°，∵∠E＝90°，AB=√2，∴AE＝EB＝1，∵BC＝1，∴EC＝2，∴AC=√AE2+CE2=√22+12=√5，∴OA＝OC=√22AC=√102．故选：C．二．填空题（共7小题，每小题4分，共28分）11．【解答】解：如图，连接OD ，交AC 于F ，∵D 是AC ̂的中点，∴OD ⊥AC ，AF ＝CF ，∴∠DFE ＝90°，∵OA ＝OB ，AF ＝CF ，∴OF =12BC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°，在△EFD 和△ECB 中，{∠DBE =∠BCE =90°∠DEF =∠BEC DE =BE，∴△EFD ≌△ECB （AAS ），∴DF ＝BC ，∴OF =12DF ，∵OD ＝3，∴OF ＝1，∴BC ＝2，∴AC =√AB 2−BC 2=√62−22=4√2．故答案为：4√2．12．【解答】解：∵AD ＝AC ，∴∠DAC ＝∠DCA ＝25°，∴∠D＝180°﹣∠DAC﹣∠DCA＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠ABC＝180°﹣∠D＝180°﹣130°＝50°，故答案为：50．【点评】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解圆内接四边形的对角互补，难度不大．13．【解答】解：∵一条弦把圆周分成2：3的两段弧，∴劣弧所对圆心角的度数为360°×25=144°．故答案为：144°．14．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，∴BĈ=BD̂，∴∠BAC＝∠BAD＝26°，∴∠BOC＝2∠BAC＝52°，故答案为：52°．15．【解答】解：如图1，过点O作OE⊥AB于E，交CD于F，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵OE过圆心，OE⊥AB，∴EB=12AB＝2√3cm，∵OA＝4cm，在Rt△AOE中，EO=√AO2−AE2=√16−12=2（cm），∵∠COD＝90°，∴∠COF＝45°，∵OF⊥CD，∴CF＝OF＝OC•sin45°＝4×√22=2√2（cm），如图1，若AB、CD位于圆心同侧，则AB与CD之间的距离为（2√2−2）cm，如图2，若AB、CD位于圆心异侧，则AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm．综上所述，AB与CD之间的距离为（2√2+2）cm或（2√2−2）cm．故答案为：2√2−2或2√2+2．16．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝15°，∴∠ACD＝15°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝105°，故答案为：105°．17．【解答】解：如图，连接OC，过点E作ER⊥AB于点R．设OA＝OC＝r．∵AB⊥CD，AB是直径，∴CF＝DF＝4，AĈ=AD̂，在Rt△OCF中，r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，∴AB＝10，∵∠ABC＝∠DBE，∴AĈ=DÊ=AD̂，∴CD̂=AE ̂， ∴CD ＝AE ＝8，∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，∴BE =√AB 2−AE 2=√102−82=6，∵ER ⊥AB ，∴S △ABE =12•AB •ER =12•AE •BE ，∴ER =245，∴点E 到线段AB 的距离为245．故答案为：245．三．解答题一（共3小题，每题6分，共18分）18．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝9cm ，∵OD 2＝AO 2﹣AD 2，∴OD 2＝152﹣92，∴OD ＝12cm ，∵CD ＝OC ﹣OD ，∴CD ＝15﹣12＝3（cm ），∴埋在墙体内的弓形高CD 等于3cm ．19．【解答】解：∵BD 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＝90°，∵AB̂=AD ̂， ∴∠B ＝∠D ＝45°，∵∠DAC =12∠COD =12×126°＝63°， ∴∠AGB ＝∠DAC +∠D ＝63°+45°＝108°．所以∠AGB 的度数为108°．20．【解答】（1）证明：连接OE 、CE ，如图，∵OC ⊥AB ，∴∠AOC ＝90°，∵CÊ=2AE ̂， ∴∠COE ＝2∠AOE ，∴∠COE ＝60°，而OE＝OC，∴△OCE为等边三角形，∵DE∥AB，OC⊥AB，∴DE⊥OC，∴CD＝OD；（2）解：∵⊙O的直径是4，∴OE＝OC＝CF＝2，CD＝OD＝1，在Rt△ODE中，DE=√22−12=√3，在Rt△EFD中，EF=√DE2+DF2=√(√3)2+32=2√3．四．解答题二（共3小题，每题8分，共24分）21．【解答】解：（1）连接CB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝55°，∴∠ABC＝∠D＝55°，∴∠D的度数为55°；（2）∵∠CEB是△ACE的一个外角，∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝100°，∴∠CEB的度数为100°．22．【解答】解：（1）△BDE是等腰直角三角形，理由：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABE＝∠EBC，∵∠CBD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BAD，∵∠DBE＝∠CBD+∠EBC，∠BED＝∠BAD+∠ABE，∴∠DBE＝∠BED，∴BD＝DE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△BDE是等腰直角三角形；（2）连接OC，连接OD交BC于点F，∵∠CBD＝∠CAD，∠BCD＝∠BAD，∠BAD＝∠CAD，∴∠CBD＝∠BCD，∴BD＝DC，∵OB＝OC，∴OD是BC的垂直平分线，∴OF⊥BC，BF=12BC＝6，在Rt△OBF中，OB=12AB＝6.5，∴OF=√OB2−BF2=√6．52−62=2.5，∴DF＝OD﹣OF＝4，∴BD=√BF2+DF2=√62+42=2√13，∴BD的长为2√13．23．【解答】（1）证明：如图，连接AD，BD，∵∠AOD＝∠BOC，∴AD̂=BĈ，∵∠FBA＝∠EDC，∴AF̂=CÊ，∴AF̂−EF̂=CÊ−EF̂，即AÊ=CF̂，∴AD̂+AÊ=BĈ+CF̂，即DÊ=BF̂，∴DE＝BF；（2）解：如图，∵OB＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠DOB＝180°﹣2∠1，∵∠EGO＝∠EDB+∠ABD＝∠3+∠1+∠2＝∠3+2∠1，∠DOB＝∠EGO，∴180°﹣2∠1＝∠3+2∠1，∴∠3＝180°﹣4∠1，∵AÊ=EF̂=FĈ，∴∠3＝2∠ADE，∴∠ADE=12∠3，∵CD为⊙O直径，∴AD̂+AÊ+CÊ=180°，∴∠2+∠ADE+∠3＝90°，∴∠1+12×（180°﹣4∠1）+（180°﹣4∠1）＝90°，∴5∠1＝180°，∴∠1＝36°，∴∠DOB＝180°﹣36°×2＝108°，∴∠AOC＝108°，∴AĈ的度数为108°．五．解答题三（共2小题，每题10分，共20分）24．【解答】证明：∵∠E＝∠F，∠DCE＝∠BCF，∠ADC＝∠E+∠DCE，∠ABC＝∠BCF+∠F，∴∠ADC＝∠ABC，（1）解：∵∠ADC＝∠ABC，∵∠EDC＝∠ABC，∴∠EDC＝∠ADC，∴∠ADC＝90°，∴∠A＝90°﹣42°＝48°；（2）解：连接EF，如图，∵四边形ABCD为圆的内接四边形，∴∠ECD＝∠A，∵∠ECD＝∠1+∠2，∴∠A＝∠1+∠2，∵∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD＝180°，∴2∠A+∠AEB+∠AFD＝180°，即∠A＝90°−12（α+β）．25．【解答】（1）证明：∵∠APC＝60°，∴∠ABC＝∠APC＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形；（2）解：如图1中，在PC上截取PT，使得PT＝P A．∵∠APT＝60°，∴△APT是等边三角形，∴AP＝AT，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠P AT＝∠BAC＝60°，∴∠P AB＝∠TAC，∴△P AB≌△TAC（SAS），∴PB＝TC＝2，∵PT＝P A＝3，∴PC＝PT+CT＝3+2＝5；（3）解：在Rt△P AC中，∠APC＝60°，∠P AC＝90°，AC＝AB＝2√3，∴∠PCA＝30°，∴PC＝2P A．∵PC2＝P A2+AC2，∴P A＝2，PC＝4．同理，可求出CD＝4√3，AD＝6，∴PD＝AD﹣P A＝4．。

人教版九年级数学上册 24.1 圆的概念和性质专项练习(包含答案)

圆的概念和性质专项练习【例1】判断题：（1）直径是弦 ( ) （2）弦是直径 ( ) （3）半圆是弧 ( ) （4）弧是半圆 ( ) （5）长度相等的两条弧是等弧 ( ) （6）等弧的长度相等 ( ) （7）两个劣弧之和等于半圆 ( ) （8）半径相等的两个圆是等圆 ( ) （9）两个半圆是等弧 ( ) （10）圆的半径是R ，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R ( )【答案】（1）√；（2）×；（3）√；（4）×；（5）×；（6）√；（7）×；（8）√；（9）×；（10）√．【举一反三】如图，在两半径不同的同心圆中，''60AOB A OB ∠=∠=︒，则（）A ．''AB A B = B ．''AB A B >C ．AB 的度数=''A B 的度数D ．AB 的长度=''A B 的长度【解析】因为在圆中，圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而''60AOB A OB ∠=∠=︒，所以AB 的度数＝''A B 的度数．所以答案是C ．【答案】C【例2】如图，点A D G M 、、、在半圆O 上，四边形ABOC DEOF HMNO 、、均为矩形，设BC a =，EF b =，NH c =则下列格式中正确的是( )A ．a b c >>B ．a b c ==C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】连结OM OD OA 、、由矩形对角线相等可知OM NH c OD EF b OA BC a ======，，，又OM OD OA ==，ON MHG FE DC B A∴a b c ==．选B ．【答案】B【举一反三】如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm ，则该半圆的半径为______．【解析】如图，连两条半径由已知小正方形半径为4cm ，设大正方形半径为2x则()222544x x =++，整理得2280x x --=解得1242x x ==-，(舍去) ∴大正方形半径为8cm则半圆的半径为．【答案】【例3】如图①，，，，为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是．【解析】略【答案】（1），，如图①(提示：答案不惟一，过与交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等的两部分)；1O 2O 3O 4O 1O 2O 3O 4O 5O 图1图1图2图21O 3O 31O O 42O O（2），，如图②（提示：答案不惟一，如，，，等均可）．二、圆的性质定理1. 圆周角定理【例4】如图，80AOB ∠=︒，则弧AB 所对圆周角ACB ∠的度数是（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．80︒【解析】略【答案】A ．【举一反三】如图，O ⊙是ABC ∆的外接圆，已知50ABO ∠=︒，则ACB ∠的大小为__________．【解析】略【答案】40︒．【例5】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A B O 、、是小正方形顶点，O ⊙的半径为1，P 是O ⊙上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB ∠等于__________．【解析】略【答案】45︒【例6】如图，量角器外沿上有A B 、两点，它们的度数分别是7040︒︒、，则1∠的度数为_________．5O O 4AO 3DO 2EO 1CO PO BA【解析】()117040152∠=︒-︒=︒【答案】略【举一反三】如图，量角器外缘边上有A P Q，，三点，它们所表示的读数分别是180︒，70︒，30︒，则PAQ∠的大小为（）A．10︒B．20︒C．30︒D．40︒【解析】考察同弧所对圆心角是圆周角的2倍．答案选B．【答案】B【例7】如图，O⊙是ABC∆的外接圆，已知60B∠=︒，则CAO∠的度数是（）A．15︒B．30︒C．45︒D．60︒【解析】略【答案】B【举一反三】如图，AB是O的直径，CD是⊙O的弦，连接AC AD，，若35CAB∠=︒，则ADC∠的度数为．【解析】直径所对圆周角是90︒且同弧所对圆周角相等．所以得55︒．【答案】55︒【例8】如图所示的半圆中，AD是直径，且32AD AC==，，则sin B的值是________．【解析】略．DCAB【举一反三】如图，AB 是O ⊙的直径，CD AB ⊥，设COD α∠=，则2sin 2AB AD α⋅=_____________．【解析】略【答案】1【例9】如图，AB 为O ⊙的直径，CD 是O ⊙的弦，AB CD 、的延长线交于点E ，若218AB DE E =∠=︒，，求AOC ∠的度数．【解析】连结OD∵AB 是直径，2AB DE =，∴12DE AB OD ==∴18DOE E ∠=∠=︒，∴36ODC DOE E ∠=∠+∠=︒∵OC OD =，∴36OCD ODC ∠=∠=︒， ∴54AOC OCD E ∠=∠+∠=︒．【答案】54︒．【举一反三】如图所示CD 是O ⊙的直径，87EOD ∠=︒，AE 交O ⊙于B ，且A B O C =，求A ∠的度数．【解析】连结OB∵AB OC =，OBOC =，∴OB AB = 设A x ∠=，则BOA x ∠=． ∴2OBE BOA A x ∠=∠+∠=． ∵OE OB =，EEDD∴2OEA OBE x ∠=∠=．∴387EOD E A x ∠=∠+∠==︒ ∴29x =︒，即29A ∠=︒．【答案】29︒．【例10】如图，在O ⊙中，AOB ∠的度数为m ，C 是ACB 上一点，D E 、是AB 上不同的两点(不与A B 、两点重合)，则D E ∠+∠的度数为____________．【解析】()136018022mD E m ∠+∠=︒-=︒- 【答案】1802m ︒-【举一反三】如图，AB 是O ⊙的直径，弦PC 交OA 于点D ，弦PE 交OB 于点F ，且OC DC OF EF ==，．若C E ∠=∠，则CPE ∠=___________．【答案】40︒【例11】如图所示，在ABC ∆中，45C ∠=︒，4AB =，则O ⊙的半径为（）B.4C. D.5【解析】如右图所示连接OA 、OB ，因为45C ∠=︒，290AOB C ∠=∠=︒4AB =，所以半径为OA OB ==【答案】【举一反三】如图，ABC △的三个顶点都在O ⊙上，302cm C AB ∠=︒=，，则O ⊙的半径O PFEDCBA BABA为______cm ．【解析】连接OA ，OB∵30C ∠=︒，∴260O C ∠=∠=︒，又∵OA OB =，∴OAB ∆为等边三角形， ∴2OA AB ==，即O 的半径为2．【答案】2【举一反三】如图AB 是半圆O 的直径，点C D 、在弧AB 上，且AD 平分CAB ∠，已知106AB AC ==，，求AD 的长．【解析】延长AC 交BD 的延长线于E ，∵AB 是半圆的直径，AD 平分CAB ∠，则可得10AE AB ==，BD ED =， ∴4CE AE AC =-=，∵90ACB ∠=︒，∴8BC =，在Rt BCE ∆中，BE =，∴BD DE ==，∴AD =．【答案】【例12】如图，ABC △是O 的内接三角形，点C 是优弧AB 上一点(点C 不与A B ，重合)，设OAB α∠=，C β∠=．（1）当35α=︒时，求β的度数；（2）猜想α与β之间的关系，并给予证明．【答案】（1）解：连接OB ，则OA OB =，∴35OBA OAB ∠=∠=︒．∴180110AOB OAB OBA ∠=︒-∠-∠=︒．∴1552C AOB β=∠=∠=︒．（2）答：α与β之间的关系是90αβ+=︒．证一：连接OB ，则OA OB =．OBA OAB α∴∠=∠=． ∴1802AOB α∠=︒-．∴11(1802)9022C AOB βαα=∠=∠=︒-=︒-．∴90αβ+=︒．证二：连接OB ，则OA OB =． ∴22AOB C β∠=∠=．过O 作OD AB ⊥于点D ，则OD 平分AOB ∠．∴12AOD AOB β∠=∠=．在Rt AOD △中，90OAD AOD ∠+∠=︒， ∴90αβ+=︒证三：延长AO 交O 于E ，连接BE ，则E C β∠=∠=．∵AE 是O 的直径，∴90ABE ∠=︒． ∴90BAE E ∠+∠=︒，∴90αβ+=︒．【举一反三】如图，O ⊙与P ⊙相交于B 、C 两点，BC 是P ⊙的直径，且把O ⊙分成度数比为12∶的两条弧，A 是BmC 上的动点(不是B 、C 重合)，连结AB 、AC 分别交P ⊙于D 、E 两点．（1）当ABC ∆是钝角三角形时，判断PDE ∆的形状．（2）当ABC ∆是直角三角形时，判断PDE ∆的形状．（3）当ABC ∆是锐角三角形时，判断PDE ∆的形状．这种情况加以证明．【解析】三种情况下，PDE ∆的形状都是等边三角形．如图，连结CD ，显然30ACD ∠=︒，所以PDE ∆是等边三角形．【答案】PDE ∆是等边三角形【例13】圆1S 及2S 相交于点A 及B ．圆1S 的圆心O 落在2S 的圆周上，圆1S 的弦AC 交2S 于点D （如图），证明：线段OD 与BC 是互相垂直的．【答案】作线段AB 、OB 及OC ．这时有BAD BOD ∠=∠，另一方面有12BAD BOC ∠=∠，ABC D OS 1S 2S 2S 1OD C B A所以12BOD BOC ∠=∠，即BOD DOC ∠=∠，而BO CO =，故OD BC ⊥．【举一反三】两圆相交于A 、B ，P 是大圆O 上一点，过A 、P 和B 、P 分别作直线交小圆于C 、D ，过O 、P 作直径PE ．求证：PE CD ⊥【答案】证法一：设直线CD 交大圆于F ，连接BA 并延长，则CAB CDB PDF ∠=∠=∠，∴12m DPO BE ∠，()12m PDF CAB AP AB ∠=∠=+．∴()119022m m DPO PDF BE AP AB PABE ∠+∠=++==︒，∴CD PE ⊥．证法二：如图，设CD 交圆O 于G 、F ，连接AB 、PG 、BG ，则ACD ABD ∠=∠．APG ABG ∠=∠．∴ACD APG ABD ABGJ GBP ∠+∠=∠+∠=∠．而PGF ACD APG ∠=∠+∠， ∴PGF GBP ∠=∠．∴PF PG =，∴PE CD ⊥．证法三：如图，设CD 交圆O 于G 、F ，连接BA 并延长．∵CDB CAB ∠=∠，又()12m CDB BG PF ∠=+．()()1122m CAB PA AG BG PG BG ∠++=+，∴PF PG =．∴PE CD ⊥．【例14】如图，已知AB 是O ⊙的直径，点C 是O ⊙上一点，连结BC AC 、，过点C 作直线CD AB ⊥于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交O ⊙于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：2BC BG BF =⋅．PG FEDCBAE FCOD G BAPEPABG D OCF【答案】解法一：连结AF∵AB 是直径，∴90ACB AFB ∠=∠=︒，∵CD AB ⊥，∴2BC BD AB =⋅，90BDG ∠=︒∴BDG BFA ∆∆∽，∴BD BGBF BA=， ∴BG BF BD BA ⋅=⋅， ∴2BC BG BF =⋅．解法二：延长AG 交O ⊙于H ，∵AG BD ⊥，且BD 是直径，∴AB BH =， ∴BAG C ∠=∠，∵ABG CBA ∠=∠，∴ABG CBA ∆∆∽， ∴AB BG CB BA=，即2AB BG BC =⋅．【举一反三】如图，已知：在O ⊙中，直径4AB =，点E 是OA 上任意一点，过E 作弦CD AB ⊥，点F 是BC 上一点，连接AF 交CE 于H ，连接AC CF BD OD 、、、． ⑴ 求证：ACH AFC ∆∆∽；⑵ 猜想：AH AF ⋅与AE AB ⋅的数量关系，并说明你的猜想； ⑶ 探究：当点E 位于何处时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=？并加以说明．【解析】⑴ ∵AB 是直径，且AB CD ⊥，∴AC AD =，∴AFC ACD ∠=∠，∵CAH FAC ∠=∠，∴ACH AFC ∆∆∽． ⑵ AH AF AE AB ⋅=⋅解法一：由⑴ACH AFC ∆∆∽可得：2AC AH AF =⋅，连结BC ，∵C 在O ⊙上，∴90ACB ∠=︒，又CD AB ⊥，∴2AC AE AB =⋅， ∴AH AF AE AB ⋅=⋅．解法二：连结FB∵F 在O ⊙上，∴90AFB ∠=︒，又EAH FAB ∠=∠，∴AEH AFB ∆∆∽，∴AE AHAF AB=，即AH AF AE AB ⋅=⋅． ⑶ 12AEC S AE CE ∆=⋅，12BOD S BO DE ∆=⋅，∵:1:4AEC BOD S S ∆∆=，∴112142AEC BOD AE CE S AE S BO BO DE ∆∆⋅===⋅，∵4AB =，∴122OB AB ==， ∴1142AE OB ==，∴当12AE =时，:1:4AEC BOD S S ∆∆=．【答案】见解析【例15】如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB AC AE ==．请你说明以下各式成立的理由：（1）2CAD DBE ∠=∠；（2）22AD AB BD DC -=⋅．【解析】（1）如图，连接BC ，∵AB AC AE ==， ∴52∠=∠，236∠+∠=∠．又45623∠+∠=∠=∠+∠， ∴43∠=∠．而143∠=∠+∠，∴124∠=∠．即2CAD DBE ∠=∠．（2）设BC 与AD 的交点为G ， ∵25∠=∠，BAG DAB ∠=∠，∴BAG DAB ∆∆∽，∴2AB AG AD =⋅． ∴222AD AB AD AG AD -=-⋅ ()AD AD AG =-AD DG =⋅．又∵5ADC ∠=∠，1DBG ∠=∠， ∴BDG ADC ∆∆∽． ∴DB DG AD DC=，AD DG BD DC ⋅=⋅． ∴22AD AB BD DC -=⋅．【举一反三】在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，点O 、H 分别是ABC ∆的外心、垂心．点D 、E分别在边BC 、AB 上，使得BD BH =，BE BO =，已知1BO =．求B D E ∆的面积．【解析】如图，作ABC ∆外接圆的直径AF ，联结CF 、BF 、CH ．因为BH AC ⊥，FC AC ⊥，所以，BH FC ∥．同理，CH FB ∥．E DC BAG654321A BCDE 图 12HOFE DCBA故四边形BHCF 是平行四边形．又因FO CO =，60AFC ABC ∠=∠=︒ 所以，FOC ∆是正三角形．于是，BD BH CF CO BO BE =====．故BDE ∆也是正三角形．由已知1BO =，知BDE S ∆=。

人教版九年级上册数学期末圆的证明题压轴训练(含答案)

∴OH=EF=2，OE=FH，
设，
∴ ，
在中，，
∴ ，
解得，
∴ 的半径的长度为2.5．
12．
解：（1）证明：如图1，连接CD和BE，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝∠CEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠BCD＝∠CBE，
∴ ，
∴BD＝CE．
（2）解：如图2，连接OD、OE，
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AC相切于点E，交AB于点D，连接BE、OE，连接DE并延长交BC的延长线于点H．
（1）求∠ABE的度数；
（2）求证：OA＝BH；
（3）已知⊙O的半径为2，请直接写出阴影部分的面积．
20．如图，⊙O是直角三角形ABC的外接圆，直径AC＝4，过C点作⊙O的切线，与AB延长线交于点D，M为CD的中点，连接BM，OM，且BC与OM相交于点N．
∵E为BC的中点，
∴DE＝ BC＝BE＝CE，
∴∠B＝∠EDB，
∵OD＝OA＝OC，
∴∠A＝∠ODA，
∴∠CED＝∠B+∠EDB＝2∠B，∠COD＝∠A+∠ODA＝2∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，
∴∠CED+∠COD＝2∠B+2∠A＝2（∠B+∠A）＝2×90°＝180°，
∴∠ODE＝360°﹣90°﹣180°＝90°，
∴∠OHA＝90°，
∵OA＝6，
∴OH＝ OA＝3，
∴AH＝＝3 ，
∴AH的长为3 ．
11．
解：（1）与相切，理由如下：

人教版九年级上册数学圆相关的证明题练习

人教版九年级上册数学圆相关的证明题练习1．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且⊙BCD ＝⊙A ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，CD ＝4，求BD 的长．2．如图，AB 为O 的直径，射线AD 交O 于点F ，点C 为劣弧BF 的中点，过点C 作CE AD ⊥，垂足为E ，连接AC ．（1）求证：CE 是O 的切线；（2）若30,4BAC AB ∠=︒=，求阴影部分的面积．3．如图，在ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的⊙O 与BC 相交于点D ，过点D 作⊙O 的切线交AC 于点E ．（1）求证：DE AC ⊥；（2）若⊙O 的半径为5，16BC =，求DE 的长．4．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，以AC 为直径的O 与AB 边交于点D ，过点D 作O 的切线，交BC于点E.=；（1）求证：EB EC（2）若以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形，试判断ABC的形状，并说明理由．5．在Rt⊙ABC中，⊙ACB＝90°，BE平分⊙ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若BF＝6，⊙O的半径为5，求CE的长．6．如图，已知在O中，弦AB垂直平分半径ON，NO的延长线交O于P，连接AP，过点A，B的切线相交于点M．（1）求证：ABM∆是等边三角形；（2）若O的半径为2，求AP的长．7．如图，已知AB是O的直径，点C在O上，CD是O的切线，AD CD⊥于点D，E是AB延长线上一点，CE交O于点F，连接OC，AC．∠；（1）求证：AC平分DAO（2）若105E︒∠=．∠=，30DAO︒∠的度数；⊙求OCE⊙若O的半径为EF的长．8．如图，在⊙ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O ，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD，DE．（1）求证：D是BC的中点（2）若DE=3，AD＝1，求⊙O的半径．∠=∠，连接OE延9．如图，ABD∆是O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是O外一点且DBC A长与圆相交于点F，与BC相交于点C．（1）求证：BC是O的切线；（2）若O的半径为6，8BC=，求弦BD的长．10．如图，O的两条弦//AB CD（AB不是直径），点E为AB中点，连接EC，ED．（1）直线EO与AB垂直吗？请说明理由；．（2）求证：EC ED11．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．（1）求证：DE与⊙O相切；（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．12．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C，使DC=BD，连结AC交⊙O于点F．（1）AB与AC的大小有什么关系？请说明理由；（2）若AB=8，⊙BAC=45°，求：图中阴影部分的面积．13．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．（1）求证：⊙ABC＝2⊙CAF；（2）若AC＝CE：EB＝1：4，求CE的长．14．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊙CD于点E，连接AC、OC、BC（1）求证：⊙ACO＝⊙BCD；（2）若EB＝8cm，CD＝24cm，求⊙O的面积．（结果保留π）15．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF．（1）证明：⊙E＝⊙C；（2）若⊙E＝55°，求⊙BDF的度数．16．如图，BE是⊙O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，连接AE，AD，DE，过点A作射线交BE的∠=∠．延长线于点C，使EAC EDA（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若CE AE===.17．如图所示，已知AD为O的直径，AB，AC是弦，且AB AC（1）求证：直径AD平分BAC；（2）若BC经过半径OA的中点E，F是CD的中点，G是FB的中点，O的半径为1，求GF的长.18．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且⊙ACB＝⊙DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB BC＝2，求⊙O的半径．19．如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为BC的中点，作DE⊙AC，交AB的延长线于点F，连接DA．（1）求证：EF为半圆O的切线；（结果保留根号和π）（2）若DA＝DF＝20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，⊙ABC的平分线交⊙O于点D，DE⊙BC于点E．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为3，BC＝4，求CE的长．。

人教版九年级中考数学全册专项复习训练：圆的有关证明与计算

专题六圆的有关证明与计算圆的切线的判定与性质【例1】(2016·临夏州)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD ＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．分析：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD 与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．解：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE 与圆O相切(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF ＝3，根据勾股定理得BF ＝62－32＝33，则DE ＝12BF ＝332圆与相似【例2】 (2016·泸州)如图，△ABC 内接于⊙O ，BD 为⊙O 的直径，BD 与AC 相交于点H ，AC 的延长线与过点B 的直线相交于点E ，且∠A ＝∠EBC.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)已知CG ∥EB ，且CG 与BD ，BA 分别相交于点F ，G ，若BG ·BA ＝48，FG ＝2，DF ＝2BF ，求AH 的值．分析：(1)证∠EBD ＝90°即可；(2)由△ABC ∽△CBG 得BC BG ＝AB BC，可求出BC ，再由△BFC ∽△BCD 得BC 2＝BF ·BD ，可求出BF ，再求出CF ，CG ，GB ，通过计算发现CG ＝AG ，可证CH ＝CB ，即可求出AC.解：(1)连接CD ，∵BD 是直径，∴∠BCD ＝90°，即∠D ＋∠CBD ＝90°，∵∠A ＝∠D ，∠A ＝∠EBC ，∴∠CBD ＋∠EBC ＝90°，∴BE ⊥BD ，∴BE 是⊙O 切线(2)∵CG ∥EB ，∴∠BCG ＝∠EBC ，∴∠A ＝∠BCG ，又∵∠CBG ＝∠ABC ，∴△ABC ∽△CBG ，∴BC BG ＝AB BC，即BC 2＝BG ·BA ＝48，∴BC ＝43，∵CG ∥EB ，∴CF ⊥BD ，∴△BFC ∽△BCD ，∴BC 2＝BF ·BD ，∵DF ＝2BF ，∴BF ＝4，在Rt △BCF 中，CF ＝BC 2－FB 2＝42，∴CG ＝CF ＋FG ＝52，在Rt △BFG 中，BG ＝BF 2＋FG 2＝32，∵BG ·BA ＝48，∴BA ＝82，∴AG ＝52，∴CG ＝AG ，∴∠A ＝∠ACG ＝∠BCG ，∠CFH ＝∠CFB ＝90°，∴∠CHF ＝∠CBF ，∴CH ＝CB ＝43，∵△ABC ∽△CBG ，∴AC CG ＝BC BG ，∴AC ＝CB ·CG BG ＝2033，∴AH ＝AC －CH ＝8331．(2016·长沙)如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．解：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD ＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴DCAD＝DEDC，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝25x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(25x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x －20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝（25x）2－（4x）2＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝ADDC＝4x2x＝22．(2016·安顺)如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝22，BC＝2，求⊙O的半径．解：(1)直线CE与⊙O相切. 理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切(2)∵tan∠ACB＝ABBC＝22，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝2，∴AC＝ 6.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝22，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝CD2＋DE2＝3，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(6－r)2＝r2＋3，解得r＝6 41．(2016·百色)如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O 于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．解：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC 为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO ，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD ，∠C ＝∠C ，∴△CAD ∽△CDE ，∴CD ∶CA ＝CE ∶CD ，∴CD 2＝CA ·CE ，∵AE ＝EC ＝2，∴AC ＝AE ＋EC ＝4，∴CD ＝22，设⊙O的半径为x ，则OA ＝OD ＝x ，在Rt △AOC 中，OA 2＋AC 2＝OC 2，∴x 2＋42＝(22＋x)2，解得x ＝2，∴⊙O 的半径为 22．(导学号 59042296)(2016·常德)如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且BD ＝BC ，延长AD 到E ，且有∠EBD ＝∠CAB.(1)求证：BE 是⊙O 的切线；(2)若BC ＝3，AC ＝5，求圆的直径AD 及切线BE 的长．解：(1)连接OB ，∵BD ＝BC ，∴∠CAB ＝∠BAD ，∵∠EBD ＝∠CAB ，∴∠BAD ＝∠EBD ，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD ＝90°，OA ＝OB ，∴∠BAD ＝∠ABO ，∴∠EBD ＝∠ABO ，∴∠OBE ＝∠EBD ＋∠OBD ＝∠ABO ＋∠OBD ＝∠ABD ＝90°，∵点B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切线(2)设圆的半径为R ，连接CD ，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD ＝90°，∵BC＝BD ，∴OB ⊥CD ，∴OB ∥AC ，∵OA ＝OD ，∴OF ＝12AC ＝52，∵四边形ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB ，∵∠DBE ＝∠CAB ，∴△DBE ∽△CAB ，∴DB CA ＝DE CB，∴35＝DE 3，∴DE ＝35，∵∠OBE ＝∠OFD ＝90°，∴DF ∥BE ，∴OF OB ＝OD OE ，∴52R ＝R R ＋35，∵R ＞0，∴R ＝3，∴AB ＝AD 2－BD 2＝33，∵AC AB ＝BD BE ，∴BE ＝31153．(导学号 59042297)(2016·天门)如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为G ，OG ∶OC ＝3∶5，AB ＝8.(1)求⊙O 的半径；(2)点E 为圆上一点，∠ECD ＝15°，将CE ︵沿弦CE 翻折，交CD 于点F ，求图中阴影部分的面积．解：(1)连接AO ，∵CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD ，AB ＝8，∴AG ＝4，∵OG ∶OC ＝3∶5，∴设⊙O 的半径为5k ，则OG ＝3k ，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)，∴5k ＝5，即⊙O 的半径是5(2)将阴影部分沿CE 翻折，点F 的对应点为M ，∵∠ECD ＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形CBM ，连接OM ，则∠MOD ＝60°，∴∠MOC ＝120°，过点M 作MN ⊥CD 于点N ，∴MN ＝MO ·sin 60°＝5×32＝532，∴S 阴影＝S 扇形OMC －S △OMC ＝120×π×52360－12×5×532＝25π3－2534，即图中阴影部分的面积是25π3－25344．(导学号 59042298)(2016·包头)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，点E 是AB 边上一点(点E 不与点A ，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点G ，DF ⊥DG ，且交BC 于点F.(1)求证：AE ＝BF ；(2)连接GB ，EF ，求证：GB ∥EF ；(3)若AE ＝1，EB ＝2，求DG 的长．解：(1)连接BD，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB为圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝12AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°，∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF(2)连接EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB ∥EF(3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得EF2＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝22＋12＝5，∵△DEF为等腰直角三角形，∠EDF＝90°，∴cos∠DEF＝DEEF＝22，∵EF＝5，∴DE＝5×22＝102，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED，∴△GEB∽△AED，∴GEAE＝EBED，即GE·ED＝AE·EB，∴102·GE＝2，∴GE＝2105，则GD＝GE＋ED＝91010。

九年级数学上册专题卷二圆中的计算与证明习题新版新人教版

先锋图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
书 (2)过点E作EH⊥AB于点H，求证：EF平分∠AEH；
∵∠C＝∠BHE＝90°，∠EBC＝∠EBA， ∴∠BEC＝∠BEH. ∵∠BEF＝90°， ∴∠FEH＋∠BEH＝90°，∠AEF＋∠BEC＝90°， ∴∠FEH＝∠FEA， ∴EF平分∠AEH.
先锋图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
书 (3)求证：CD＝HF.
连接DE. ∵BE是∠ABC的平分线，EC⊥BC，EH⊥AB， ∴EC＝EH. ∵∠CDE＋∠BDE＝180°，∠HFE＋∠BDE＝180°， ∴∠CDE＝∠HFE. ∵∠C＝∠EHF＝90°， ∴△CDE △HFE(AAS)， ∴CD＝HF.
排干？
解：∵OE⊥CD，CD＝24 m，∴ED＝1 CD＝12 m.
在Rt△DOE中，
2
∵sin∠DOE＝ ED ＝ 12 ，∴OD＝13 m.
OD 13 (2)∵OE＝ OD2 ＝ED2 ＝1352(m1)，22
∴将水排干需5÷0.5＝10(小时)．
先锋图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
先锋图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
书 (2)若DE＝BE，求∠C的度数．
解：连接AE.
∵∴D∠ED＝ABEE＝，∠∴EADB＝E＝
， 1B∠E CAB＝34°.
∵∴A∠BC是＝直90径°，－∴∠∠DAAE2EB＝＝9900°°－，3∴4°∠＝A5E6C°＝. 90°，
相切，切点为B.如果∠C＝26°，那么∠A等于( B )
A．26°
B．38° C．48°

人教版九年级数学上册《圆》圆的证明与计算专题训练

人教版九年级数学上册《圆》圆的证明与计算专题训练1、在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆＂带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆"AP ，BP 的连接点P 在O 上，当点P 在⊙O 上转动时，带动点A ，B 分别在射线OM ，ON 上滑动，OM ON.如图2，当AP 与⊙O 相切时，点B 恰好落在⊙O 上，请仅就图2的情形解答下列问题.(1)求证：∠PAO=2∠PBO ； (2)若⊙O 的半径为5，AP=，求BP 的长.A B PO MN图22、如图，PA 、PB 为⊙O 的切线，A 、B 为切点。

连PO 交⊙O 于D 点，AC 为直径，CD 交AP 于E 点，且CE//PB. (1)求∠APB 的大小； (2)若PE=1，连BE ，求BE 的长.3、如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，且AB=AC ，CD ⊥AB 于D ，交⊙O 于E ，连AE ， (1)求证：∠BAC=2∠BAE ；(2)若AE=3，BE=1，求⊙O 的半径.4、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 是一点，过点B 作⊙O 的切线，与AC 延长线交于点D ，连接BC ，OE ∥BC 交⊙O 于点E ，连接BE 交AC 于点H ．（1）求证：BE 平分∠ABC ；（2）连接OD ，若BH ＝BD ＝2，求OD 的长．AB POMN图1A B CD E P O ABCD EO5、如图，AB是⊙O的直径，弦BC、DE的延长线交于点F，AB⊥DE于H，连接BE、CE．（1）求证：∠BEC＝∠F．（2）连OE，若OE∥BC，CE＝13，DE＝24，求⊙O的半径．6、如图，BC为⊙O的直径，点A为⊙O上的一点，点I是△ABC的内心，AI的延长线交⊙O于D，且DI = 5. （1）求⊙O的半径长；（2）连接BI，CI，OI，若OI⊥IC，求BI的长AIOD圆的证明与计算（2）1、已知四边形ABCD是平行四边形，且以AB为直径的⊙O经过点D．（1）如图（1），若∠BAD＝45°，求证：CD与⊙O相切；（2）如图（2），若AD＝6，AB＝10，⊙O交CD边于点F，交CB边延长线于点E，求BE，DF的长．2、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝，求劣弧BC的长．3、如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且＝，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，连接AD．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，AC＝2，求CD的长．4、如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝9，边AB上有一点E，且AE＝1．连接CE，DE．以CE为直径的⊙O与线段CD交于点F，与线段DE交于点G，连接GF．（1）求证：AD 是⊙O 的切线；（2）求GE 的长．A BCD EF GO5、如图，⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，BE ⊥DC ，交DC 的延长线于点E ，CB 平分∠ACE ．（1）求证：BE 是⊙O 的切线．（2）若＝2，CE ＝1，求点B 到AD 的距离．6、已知，如图，点A ，C ，D 在⊙O 上，且满足∠C ＝45°．连接OD ，AD ，过点A 作直线AB ∥OD ，交CD 的延长线于点B ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）如果OD ＝CD ＝2，求AC 边的长．。

人教版数学九年级上册专项突破试卷与圆有关的计算与证明

专项突破试卷(与圆有关的计算与证明)一、选择题1．已知Rt △ABC 的直角边AC=BC=4 cm ，若以C 为圆心，以3 cm 长为半径作圆，则这个圆与斜边AB 所在的直线的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定2．如图，已知经过原点的⊙P 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点C 是劣弧OB 上一点，则∠ACB 等于（）A ．80°B ．90°C ．100°D ．无法确定3．如图所示，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，则下列结论中不正确的是（）A ．AB ⊥CDB ．∠A OB=4∠A CDC ．D ．PO=PD4．P 为⊙O 外一点，PA 为⊙O 的切线，A 是切点，若⊙O 的半径为3，PA=4，则PO 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．65．边长为a 的正六边形的面积等于（）A ．243a B ．a²C ．2233aD．33a²6．已知两圆的半径分别为3和5，圆心距为4，则这两圆的位置关系是（）A．内切B．外切C．相交D．相离7．如图所示，边长为1的菱形ABCD绕点A旋转，当B，C两点恰好落在扇形AEF的弧EF 上时，弧BC的长度等于 ( )πA．6πB．4πC．3πD．28．设⊙O中最长弦的长为m，直线l与⊙O相交，点O到l的距离为d,则d与 m的关系是（）A．d=mB．d＜mmC．d＞2mD．d＜29．已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为5 cm，则圆锥的侧面积是（）A．20 cm²B．15 cm²C．20π c m²D．15π cm²10.如图所示，王大伯家屋后有一块长12 m、宽8m的矩形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊，羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（）A．3mB．5mC．7mD．9m二、填空题1．若AB=8 cm，则经过A，B两点的最小圆的半径是_________.2．如图，在⊙O中，∠A OB=100°，，则∠C AB=_________.3．已知一个直角三角形的面积为12 cm²，周长为122 cm，那么这个直角三角形的外接圆半径是_________.4．如图所示，⊙M与x轴相交于点A(2，0)，B(8，0)，与y轴相切于点C，则圆心M的坐标是_________.5．如图所示，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD在直线l上接顺时针方向不滑动地每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为_________.6．如图，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是_________.7．如图，∠A CB=60°，半径为1 cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是_________cm.8．如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=6，点D为BC中点，将△ABD绕点A按逆时针方向旋转120°得到△A B′D′，则点D在旋转过程中所经过的路径长为_____．(结果保留π)三、解答题1．如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点C，已知∠AOC=70°，求∠B AD 的度数．2．如图，在⊙0中，直径AB与弦CD相交于点P，∠C AB=40°，∠APD=65°.(1)求∠B的大小；(2)已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OE⊥AC于点E，过A作⊙O的切线DA，DA与OE的延长线交于点D，连接DC，BC.(1)填空：OE与BC的位置关系是_______，OE与BC的数量关系是_______，(2)求证：DC是⊙O的切线，4.如图所示，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A是底面圆周上的一点，一只小虫从A点出发，绕侧面爬行一周，再回到点A的最短路线长是多少？5．如图，已知在⊙O中，AB=43，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°.(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．6．如图所示，点P是x轴上一点，以P为圆心的圆分别与x轴、y轴交于A，B，C，D四点，已知A(-3，0)，B(1，0)，过点C作⊙P的切线，交x轴于点E．(1)求直线CE的解析式；(2)若点F是线段CE上一动点，点F的横坐标为m，问：m在什么范围时，直线FB与⊙P相交？(3)若直线FB与⊙P的另一个交点为N，当点N是的中点时，求点F的坐标，【专项三】一、1．A 2．B3．D4．C5．C6．C7．C8．D9．D 10．A二、1.4 cm 2.65° 3．225 4．(5，4) 5. 12π 6．6π 7．3 8.2π 三、1．解：∵∠AOC=70°，∴∠ABC=35°,∵AD ∥BC,∴∠B AD=180°-35°=145°.2．解：(1)∵∠APD=∠C+∠C AB ，∴∠C =65°-40°=25°,∴∠B=∠C=25°．(2)作OE ⊥BD 于E ，则DE=BE.又∵AO=BO ，∴OE=21AD=21×6=3，圆心O 到BD 的距离为3． 3．解：(1) OE ∥BC OE=21BC (2)证明：如图，连接OC ，设OD 与⊙O 交于点F∵DA 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，即∠DA0=90°，∵OE ⊥AC, ∴∴∠AOD=∠COD ．在△DAO 和△DCO 中,⎪⎩⎪⎨⎧===ODOD COD AOD OC OA ,∠∠,∴△DAO ≌DCO(SAS).∴∠DCO=∠DA0=90°．又∵OC 为⊙0的半径，∴DC 是⊙O 的切线．4．解：将圆锥沿母线SA 作侧面展开图，得扇形SA A′，如图所示．设∠A SA ′=n °，由扇形弧长等于底面圆周长，得1803⨯πn =2π·1.∴n=120．∴∠ASA ′=120°．连接AA ′，过S 作SM ⊥A A′于M.∴∠A SM=60°．∴在Rt △ASM 中，∠SAM=30°，SA=3.∴SM=23，由勾股定理，得AM=233， ∴A A′=2AM=33．5．解：(1)连接BC.∵AC 为⊙0的直径，∴∠ABC=90°．又∵AB=43，∠A=30°，∴BC=21AC ．由勾股定理，得AC=8，∴OA=21AC=4．又∵∠A =30°，AC ⊥BD ，∠B OC=60°．∴∠BOD=120°. ∴πππ阴影31643136012022=⋅⨯=⋅=OA S ． (2)设圆锥的底面圆的半径为r ，则周长为2πr ． ∴21×2πr ×4=316π，∴r=34． 6．解：(1)连接PC ．因为A(-3，0)，B(1，O)，所以⊙P 的直径是4，所以半径R=2，OP=1．OC=31-22222==-OP PC .所以C(0，3)．所以∠PCD=30°，又CE 是⊙P 的切线，所以PC ⊥CE.所以∠PEC=30°．所以PE=2PC=4，EO=PE-OP=3．所以E(3，0).设直线CE 的解析式为y=kx+b ，将C ，E 两点坐标代入解析式，得⎩⎨⎧==+.3,03b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.3,33b k 所以直线CE 的解析式为y=-333+x ．① (2)当O ≤m ≤3且m ≠1时，直线FB 与⊙P 相交．(3)因为点N 是的中点，所以N(-1，-2)．设直线NB 的解析式为y=kx+b ，把N 、B 两点坐标代入解析式，得⎩⎨⎧-=+-=+.2,0b k b k 解得⎩⎨⎧-==.1,1b k 所以直线NB 的解析式为y=x-1．② 由①、②式，得⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=,333,1x y x y ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==.13,3y x 所以F （3，13-）。