数值计算方法与Matlab样卷答案

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《数值计算方法与Matlab 》 样卷答案

一．填空题：（每空3分,共42分）

1． 8，6105.0-⨯ 。

2．)(3)1(2)1(1)(3)1(2)1(1)(3)1(3)(3)(2)1(1)(3)(2)1(1)(2)1(2)(3)(2)(1)(3)(2)(1)(1)1(1)1(22)22()1()1(222)1()222(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ωωωωωωωωωω

ωωωω-+--=---⋅+=+--+-=---⋅+=++--=+--⋅+=+++++++++，

)2,1(∈ω。

3．],[1b a C S m -∈。4. 1e 2e ---x ，⎩⎨⎧==-=⋅--⎰

,3,2,1,0;0,e 1d )(e 110k k x x g k x ，正交投影。 5. 2阶，6阶。 6．10.6658，10.9521，10.9501。 7. 4002.2)00.1(=ε，4030.2)01.1(=ε。

二．解下列各题：（每题9分，共36分）

1．解：令)1(2

3+=t x ， （2分） 则⎰⎰-+++=+1123

02

dt )1(25.21)1(49d 1t t x x x ⎭⎬⎫++++⎩⎨⎧++-+-≈22)6.01(25.21)6.01(9525.219

8)6.01(25.21)6.01(9549 （8分）

210631.10≈ （9分） 2．解：记系数矩阵为A, 对增广矩阵[]b A |作初等行运算,

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--401533933112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==5.55.115

.35.405.75.401125.1,5.11,31,2l l ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=45.114005.75.4011212,3l , 所以13-=x ,2)5.75.1(5.4112=-=x x ,1)1(2

1321=-+-=x x x ,即方程组的解为 [1,2,-1]T . （4分）

故系数矩阵A 的LU 分解为⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=4005.75.40112115.1015.1001A 。 （6分）

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由于∞

∞∞-∞∞∞∞∞∞∆⋅=∆≤∆||||||||||||||||||||||||)(cond ||||||||1b b A A b b A x x ， 而⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=-41410125367313192311A ，所以24||854||181715||||||||εε=⋅⋅≤∆∞∞x x 。 （9分） 3．解：设x x f ln )(=，区间[1, 2]应分成n 等份才能满足给定的要求，则步长n

h 1=。于是4)4(6)(x

x f -=且]2,1[,6|)(|)4(∈∀≤x x f 。由于12ln d ln 1ln 021<<<=⎰x x ，故要求计算结果具有四位有效数字，则需要复化Simpson 公式的余项

4102

1|)(|-⨯≤

f R 。 （2分） 根据复化Simpson 公式的余项，得 4444)4(4)4(218062180|)(|)2(180)(|)(|n

n f h f f R ⨯≤⨯=-=ηη， （6分） 这里]2,1[∈η。令444102

121806-⨯≤⨯n ，得到54.2≥n 。所以取n = 3 就能满足要求，即需要取2n+1 = 7 个节点处的函数值。 （9分） 4. 解：4阶Runge-Kutta 公式为

)22(1543211k k k k y y n n ++++=+π，n

y k cos 2.0111-=， )

2.0cos(2.011

12hk y k n ⋅+-=π，)2.0cos(2.01123hk y k n ⋅+-=π， )4.0cos(2.011

34hk y k n ⋅+-=π。 （6分） 由00=y 经计算可得y 1 = 1.45524225，y 2 = 2.61384126， （8分） 所以61384.2)8.0(≈πy 。 （9分）

三. 应用题：（每题11分，共22分）

1. 解：令i i Y y ln =，b a a a ==10,ln ，则t a a bt a Y y 10ln ln +=+==， （2分） 于是问题转化为用线性最小二乘法求10,a a 。转化后新的数据表如下：

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取},1{},{21t ==Φφφ，用1100ϕϕa a y +=通过最小二乘法拟合上述数据，所以10,a a 满足法方程组 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢

⎣⎡),(),(),(),(),(),(101011011000ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕy y a a 其中51),(4000==

∑=k ϕϕ，10),(),(400110===∑=k k t ϕϕϕϕ，30),(4

0211==∑=k k t ϕϕ， 4230.18),(400==∑=k k y y ϕ,37.0244

),(40

1==∑=k k k t y y ϕ. 于是得法方程组 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡37.0244423.183********a a （8分） 解之，得，

0.01784100

305423.18100244.3751=-⨯⨯-⨯=a 3.64892

01784.026846.35)10423.18(10=⨯-=÷-=a a （10分） 0178.0,4331.38e e 13.648920≈=≈==a b a a ，

故所求的最小二乘拟合函数为：)1978(0178..0e 4331.38-=t Y （11分）

2. 解：令x 0 = 0, x 1 = 3, x 2 = 5, x 3 = 8, x 4 =13, 所以n = 4 . 由 1560

)13)(8)(5)(3()130)(80)(50)(30()13)(8)(5)(3()(0----=--------=x x x x x x x x x l ， 300

)13)(8)(5()133)(83)(53)(03()13)(8)(5)(0()(1----=--------=x x x x x x x x x l ， 240

)13)(8)(3()135)(85)(35)(05()13)(8)(3)(0()(2---=--------=x x x x x x x x x l ， 600

)13)(5)(3()138)(58)(38)(08()13)(5)(3)(0()(3----=--------=x x x x x x x x x l ， 5200)8)(5)(3()813)(513)(313)(013()8)(5)(3)(0()(4---=--------=

x x x x x x x x x l ，