四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：折叠问题(含答案)

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2020年四川省渠县崇德实验学校中考九年级数学基础复习综合考试测试卷六

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学基础复习综合测试卷六一、选择题(本大题满分24分，共6小题，每小题4分)1.的一个有理化因式为(B)B.1-C.12. 1纳米=0.000000001米，那么10.5纳米用科学记数法可表示为(B) A.71.0510-⨯mB.91.0510-⨯mC.81.0510-⨯mD.101.0510-⨯m3. 若12,x x 是一元二次方程22410x x +-=的两根，则代数式1212()x x x x ⋅⋅+的值等于(D) A.-4B.4C.-1D.14. 下列命题中，假命题的是(A) A.平分弦的直径一定垂直于这条弦B.垂直于弦的直径一定平分这条弦C.垂直平分一条弦的直线一定经过这个圆的圆心D.平分劣弧和优弧的直线一定经过这个圆的圆心 5. 一次函数23y x =-+的图像不经过(C) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 初三年级某班十名男同学“俯卧撑”的测试成绩(单位：次数)分别是9,14,10,15,7,9,16，10,11,9这组数据的众数、中位数、平均数依次是(A) A.9,10,11B.10,11,9C.9,11,10D.10,9,11二、填空题(本大题满分48分，共12小题，每小题4分)7. 计算：2(3)a +=269a a ++8. 在实数范围内分解因式：224x x +-=(11x x +++ 9. 已知代数式32x +的值不小于1，那么x 的取值范围是1x ≥- 10. 在一个长方体中，与某一条棱平行或垂直的面有4个11. 把一次函数21y x =-+的图像进行平移，使它与y 轴相交于点P(0,-4)，那么平移后的图像所表示的函数解析式是24y x =--第16题图丙乙甲12. 顺次联结等腰梯形各边中点所得的四边形的对角线的长分别是5和8，则等腰梯形的面积是4013. 已知⊙O 1与⊙O 2只有一个公共点，O 1O 2=15, ⊙O 1的半径为10，那么⊙O 2的半径为5或2514. 某市在旧城改造过程中需要整修一段全长2400m 的道路，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务，求原计划每小时修路的长度。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学基础复习综合测试卷五(教师版,含答案)

C'EA DCB四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学基础复习综合测试卷五一、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)1. 下列语句正确的是(A)A.32是94的平方根 B.94是32的平方根 C.无限小数是无理数D.有理数是有限小数2. 下列方程中无实数解的是(B)x =- B.222xx x =-- C.2550x x ++=D.20(0)ax bx a b a +=≠、是已知数，且3. 已知两圆的直径分别是6和14，圆心距是8，那么这两圆的位置关系是(C) A.相离B.内切C.相交D.外切4. 某班50名的学生中有女学生30名，随意抽取一名学生，是男生的概率是(A)A.25B.35C.23D.325. 已知四边形ABCD 中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件是(D) A.∠D=90°B.AB=CDC.AD=BCD.BA=BC6. 如图，将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠，使点C 落在C’处，BC’交AD 于E ，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有(B) A.6个B.5个C.4个D.3个二、填空题(本大题共12小题，每小题4分，满分48分)7.+=8. 分解因式：222x -=2(x +1)(x -1) 9. 如果函数12()f x x =，那么(4)f =210. 如果方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是m<1 11. 用换元法解方程2234x x+=时，如果设2y x =，那么原方程可化为关于y 的整式方程第16题图B CEDA图1图2是2430y y -+= 12. 将抛物线212y x =向右平移3个单位后再向下平移2个单位，则两次平移后的抛物线的表达式为21(3)22y x =--(215322y x x =-+) 13. 等腰梯形的两底长分别为4厘米和10厘米，腰长为5厘米，那么较小的一个底角的正切值为4314. 半径分别为1、2、3的三个圆两两外切，则以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形。

四川省渠县崇德实验学校2021年中考九年级数学专题复习：折叠问题(含答案)

1、如下图，AB=4, AD=3，点E在CD上〔不含端点C, D〕的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，求CE的长？【解答】解：I AB=4, AD=3, ••• BD=5,•••把△ EBC沿BC折叠得到厶BC ,•C E=CEBC =BC=AD=3•••当点C落在矩形ABCD的对角线上,•D, C', B三点共线，•C D=2 / DC E=90；•/ DE=4 - CE••• DE2=DC'2+C'先即〔4 - CE 2=22+C巴2、如图，等边△ ABC的边长为10,点M是边AB上一动点，将等边厶ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N,使点A落在直线BC上的点D处，且BD: DC=1: 4, 折痕为MN，贝U AN的长？【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时,•••△ACB是等边三角形，•••/ A=Z B=Z C=Z MDN=6° ,•••/ MDC=Z B+Z BMD,Z B=Z MDN,•••/ BMD=Z NDC,• △BMD s^ CDN.BD DM BMCN = DN = CD•/ DN=AN,• 得BD DN ••得一BM, CD•/ BD: DC=1: 4, BC=10, • DB=2, CD=8,设AN=x,贝U CN=10- x,2 DM _ BM10— x x 8•/ BM+DM=10,10x 400+ — 3( x — 10) 9( x —10)••• DM= 2x BM=10-x10- x•/ BM+DM=10, 2x 16+ =10,10— x 10- x解得x=7,• AN=7; ②当A 在CB 的延长线上时，如图 2,与①同理可得△ BMD CDN. .得 BD DM••得 = : BM - CD•/ BD : DC=1: 4, BC=10,DB=® , CD =40设 AN=x ,贝U CN=x — 10 ,10DM _ BMx —10= x = 40 3• DM= 10x3( x —10) BM= 400 9( x —10)65x=-,解得:365••• AN=—.33、如图，在直角坐标系中，点A (4, 0)，点B ( 0, 2)，过点A的直线I丄线段AB, P是直线I上一动点，过点P作PC丄x轴，垂足为。

2020中考数学压轴专题：图形折叠(包含答案)

2020中考数学压轴专题：图形折叠（含答案）1．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，将△ABC 沿AD 翻折，点B 恰好与点C 重合，点E 在AC 边上，连接BE .(1)如图①，若点F 是BE 的中点，连接DF ，且AF ＝5，AE ＝6，求DF 的长； (2)如图②，若AF ⊥BE 于点F ，并延长AF 交BC 于点G ，当点E 是AC 的中点时，连接EG ，求证：AG ＋EG ＝BE ； (3)在(2)的条件下，连接DF ，请直接．．写出∠DFG 的度数．第1题图解：(1)由折叠的性质得：AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ABE 中，∵点F 是BE 的中点， ∴AF 是Rt △ABE 斜边上的中线，∴AF ＝12BE ， ∵AF ＝5，∴BE ＝10，在Rt △ABE 中，AE ＝6，BE ＝10，∴AB ＝8，又∵AB ＝AC ，∴AC ＝8，∴CE ＝AC －AE ＝2，∴DF ＝12CE ＝1；(2)证明：如解图①，过点C 作CM ⊥AC ，交AG 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，第1题解图①又∵∠BAC ＝90°，∴∠BAC ＝∠ACM ， ∵AF 是△ABE 的高，∴∠AFB ＝90°，∴∠1＋∠BAF ＝90°， ∵∠BAC ＝90°，∴∠2＋∠BAF ＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABE 和△CAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠ACM AB ＝CA∠1＝∠2， ∴△ABE ≌△CAM (ASA)， ∴AE ＝CM ，BE ＝AM ，又∵点E 是AC 边的中点， ∴CE ＝AE ＝CM ， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，又∵∠ACM ＝90°， ∴∠MCG ＝∠ACB ＝45°，在△CEG 和△CMG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CM ∠ECG ＝∠MCG CG ＝CG， ∴△CEG ≌△CMG (SAS)，∴EG ＝GM ，又∵BE ＝AM ，∴AG ＋EG ＝AG ＋GM ＝AM ＝BE ； (3)∠DFG ＝45°.【解法提示】如解图②，过点D 作DN ⊥DF ，交AG 的延长线于点N ，则∠NDF ＝90°，第1题解图②∵AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°＝∠NDF ，∴∠ADB ＋∠ADF ＝∠NDF ＋∠ADF ，即∠BDF ＝∠ADN ，∵∠ADB ＝∠AFB ＝90°，∠5＝∠6， ∴∠3＝∠4，在Rt △ABC 中，BD ＝DC ， ∴AD ＝12BC ＝BD ，在△BDF 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDF ＝∠ADN BD ＝AD ∠3＝∠4，∴△BDF ≌△ADN (ASA)， ∴DF ＝DN ，又∵∠NDF ＝90°，∴∠DFN ＝∠DNF ＝45°，即∠DFG ＝45°.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝9，AD ＝13，tan A ＝125，P 是射线AD 上一点，连接PB ，沿PB 将△APB 折叠，得到△A ′PB .第2题图(1)当∠DP A′＝10°时，∠APB＝________；(2)当P A′⊥BC时，求线段P A的长度；(3)当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段P A的长度．解：(1)85°或5°或95°；【解法提示】当点P在线段AD上，且∠APB<90°时，点A′在平行四边形ABCD 的内部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12∠AP A′＝85°；如解图①，当点P在线段AD上，且∠APB>90°时，点A′在平行四边形ABCD 的外部，∵∠DP A′＝10°，∴∠AP A′＝180°－∠DP A′＝170°，∴∠APB＝12(360°－∠AP A′)＝95°；如解图②，当点P在AD的延长线上，则∠APB＝12∠DP A′＝5°；第2题解图(2)∵四边形ABCD是平形四边形，∴AD∥BC，若P A′⊥BC，则P A′⊥AD，∴∠APB＝∠A′PB＝45°，如解图③，作BH ⊥AD 于点H ，第2题解图③∵tan A ＝125，∴设AH ＝5x ，BH ＝12x ，在Rt △ABH 中，由勾股定理得AB ＝AH 2＋BH 2＝13x ＝ 9，解得x ＝913， ∴AH ＝4513，BH ＝10813，∵在Rt △BHP 中，∠BPH ＝45°， ∴BH ＝PH ＝10813， ∴AP ＝AH ＋PH ＝15313；(3)①如解图④，当点A ′在AD 上时，第2题解图④∵AB ＝A ′B ， ∴∠1＝∠2，∴BP ⊥AD ，且A ′P ＝AP ，∵tan A ＝125， ∴AP ＝513·AB ＝4513；②如解图⑤，当点A ′在BC 上时，第2题解图⑤由折叠可知，A ′B ＝AB ，AP ＝A ′P ，∠3＝∠4，又∵AD ∥BC ， ∴∠5＝∠4， ∴∠3＝∠5， ∴AB ＝P A ，∴四边形ABA ′P 为菱形， ∴AP ＝9；③如解图⑥，当点A ′在AB 的延长线上时，∠ABP ＝ 12∠ABA ′＝90°， ∴AP ＝135×AB ＝1175.第2题解图⑥综上，线段P A 的长度为4513或9或1175.3．如图，已知一个直角三角形纸片ACB ，其中∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E 、F 分别是AC 、AB 边上的点，连接EF .(1)如图①，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，且使S 四边形ECBF ＝3S △EDF ，求AE 的长；(2)如图②，若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在BC 边上的点M 处，且使MF ∥CA .①试判断四边形AEMF 的形状，并证明你的结论； ②求EF 的长；(3)如图③，若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ，CN ＝1，CE ＝47，求AF BF 的值．第3题图解：(1)如解图①，第3题解图①∵折叠后点A 落在AB 边上的点D 处， ∴EF ⊥AB ，△AEF ≌△DEF . ∴S △AEF ＝S △DEF .∵S 四边形ECBF ＝3S △EDF ， ∴S 四边形ECBF ＝3S △AEF . ∵S △ACB ＝S △AEF ＋S 四边形ECBF ， ∴S △ACB ＝S △AEF ＋3S △AEF ＝4S △AEF . ∴ACBAEFS S △△＝14. ∵∠EAF ＝∠BAC ，∠AFE ＝∠ACB ＝90°， ∴△AEF ∽△ABC . ∴ABC AEF S S △△＝(AE AB )2. ∴(AE AB )2＝14.在Rt △ACB 中，∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝3， ∴AB 2＝AC 2＋BC 2.即AB ＝42＋32＝5. ∴(AE 5)2＝14，∴AE ＝52； (2)①四边形AEMF 是菱形．证明：∵折叠后点A 落在BC 边上的点M 处， ∴∠CAB ＝∠EMF ，AE ＝ME ，又∵MF ∥CA ， ∴∠CEM ＝∠EMF . ∴∠CAB ＝∠CEM . ∴EM ∥AF .∴四边形AEMF 是平形四边形．又∵AE ＝ME ，∴四边形AEMF 是菱形．②连接AM 、AM 与EF 交于点O ，如解图②，第3题解图②设AE ＝x ，则AE ＝ME ＝x ，EC ＝4－x . ∵∠CEM ＝∠CAB ，∠ECM ＝∠ACB ＝90°， ∴Rt △ECM ∽Rt △ACB . ∴EC AC ＝EM AB ， ∵AB ＝5，∴4－x 4＝x 5，解得x ＝209. ∴AE ＝ME ＝209，EC ＝169. 在Rt △ECM 中， ∵∠ECM ＝90°， ∴CM 2＝EM 2－EC 2. 即CM ＝EM 2－EC 2＝（209）2－（169）2＝43.∵四边形AEMF 是菱形， ∴OE ＝OF ，OA ＝OM ，AM ⊥EF . ∴S 菱形AEMF ＝4S AOE ＝2OE ·AO . 在Rt △AOE 和Rt △ACM 中， ∵tan ∠EAO ＝tan ∠CAM ， ∴OE AO ＝CM AC . ∵CM ＝43，AC ＝4，∴AO ＝3OE ， ∴S 菱形AEMF ＝6OE 2. 又∵S 菱形AEMF ＝AE ·CM ， ∴6OE 2＝209×43.∴OE ＝2109. ∴EF ＝4109.(3)如解图③，过点F 作FH ⊥CB 于点H ，第3题解图③在Rt △NCE 和Rt △NHF 中， ∵tan ∠ENC ＝tan ∠FNH ， ∴EC NC ＝FH NH ， ∵NC ＝1，EC ＝47，∴FH NH ＝47，设FH ＝x ，则NH ＝74x ， ∴CH ＝74x －1. ∵BC ＝3，∴BH ＝BC －CH ＝3－(74x －1)＝4－74x . 在Rt △BHF 和Rt △BCA 中，∵tan∠FBH＝tan∠ABC，∴HFBH＝ACBC，解得x＝85.∴HF＝85.∵∠B＝∠B，∠BHF＝∠BCA＝90°，∴△BHF∽△BCA.∴HFCA＝BFBA，即HF·BA＝CA·BF.∴85×5＝4BF.∴BF＝2.∵AF＝3.∴AFBF＝32.4．如图，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自D点出发沿DC方向运动至C点后停止．△ADP以直线AP为轴翻折，点D落到点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过点BC的中点E?(3)求出y与x的函数表达式．第4题图解：(1)由题意得，△ADP≌△AD1P，∴AD1＝AD＝2，PD＝PD1＝x，∠PD1A＝∠PDA＝90°，∵直线AD1过点C，∴PD1⊥AC，在Rt △ABC 中，∵AB ＝3，BC ＝2， ∴AC ＝22＋32＝13， CD 1＝13－2，在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 21＋CD 21，即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2，解得x ＝213－43， ∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C ； (2)如解图①，连接PE ，第4题解图①∵E 为BC 中点， ∴BE ＝CE ＝1，在Rt △ABE 中， AE ＝AB 2＋BE 2＝10，又∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ， ∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x ，在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中，有x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12，解得x ＝210－23， ∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E ； (3)如解图②，当0＜x ≤2时，点D 1在矩形内部，y ＝x ；图② 图③ 第4题解图如解图③，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形外部，PD 1与AB 交于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FP ＝F A ，作PG ⊥AB ，垂足为点G ，设FP ＝F A ＝a ，由题意得，AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a ，在Rt △PFG 中，由勾股定理，得 (x －a )2＋22＝a 2，解得a ＝4＋x 22x ，∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x ，综上所述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x .5．阅读下列材料：如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 为边AC 上一点，DA ＝DB ，E 为BD 延长线上一点，∠AEB ＝120°.(1)猜想AC 、BE 、AE 的数量关系，并证明．小明的思路是：根据等腰△ADB 的轴对称性，将整个图形沿着AB 边的垂直平分线翻折，得到点C 的对称点F ，如图②，过点A 作AF ⊥BE ，交BE 的延长线于F ，请补充完成此问题；(2)参考小明思考问题的方法，解答下列问题：如图③，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 、F 在直线BC 上，DE ＝BF ，连接AD ，过点E 作EG ∥AC 交FH 的延长线于点G ，∠DFG ＋∠D ＝∠BAC .①探究∠BAD 与∠CHG 的数量关系；②请在图中找出一条和线段AD 相等的线段，并证明．第5题图解：猜想：AC ＝BE ＋12AE . 理由如下：如题图②， ∵DA ＝DB ， ∴∠DAB ＝∠DBA ， ∵AF ⊥BF ， ∴∠F ＝∠C ＝90°，在△ABF 和△BAC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠C ＝90°∠ABF ＝∠BAC AB ＝BA， ∴△ABF ≌△BAC (AAS)， ∴AC ＝BF ，∵∠AEB ＝120°＝∠F ＋∠F AE ， ∴∠F AE ＝30°， ∴EF ＝12AE ，∴AC ＝BF ＝BE ＋EF ＝BE ＋12AE ，∴AC ＝BE＋12AE ；问题：(1)如题图③中，∵∠ACF ＝∠D ＋∠CAD ，∠D ＋∠DFG ＝∠BAC ，∴∠CHG ＝∠CFH ＋∠FCH ＝∠CFH ＋∠D ＋∠CAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝∠BAD ，∴∠CHG ＝∠BAD ； (2)结论：AD ＝FG . 理由如下：如解图③中，反向延长BD 到R ，使得BR ＝CD ，连接AR ，作AJ ∥CD 交EG 的延长线于点J ，连接FJ ，第5题解图③∵AJ ∥CE ，AC ∥JE ，∴四边形ACEJ 是平行四边形， ∴AJ ＝CE ，AC ＝JE ， ∵AB ＝AC ，∴JE ＝AB ，∠ABC ＝∠ACB ， ∴∠ABR ＝∠ACD ，在△ABR 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABR ＝∠ACD BR ＝CD， ∴△ABR ≌△ACD (SAS)， ∴AR ＝AD ，∵BR ＝CD ，BF ＝DE ， ∴FR ＝CE ＝AJ ，EF ＝BD ，又∵AJ ∥RF ，∴四边形ARFJ 是平行四边形， ∴JF ＝AR ＝AD ，在△ABD 和△JEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝JE AD ＝JF BD ＝EF ，∴△ABD ≌△JEF (SSS)， ∴∠EJF ＝∠BAD ，又∵∠JGH ＝∠GHC ， ∵∠BAD ＝∠CHG ＝∠FGJ ， ∴∠EJF ＝∠FGJ ， ∴FG ＝FJ ， ∴AD ＝FG .6．如图，长方形纸片ABCD 中，AB ＝8，将纸片折叠，使顶点B 落在边AD 上的E 点处，折痕的一端G 点在边BC 上．(1)如图①，当折痕的另一端F 在AB 边上且AE ＝4时，求AF 的长； (2)如图②，当折痕的另一端F 在AD 边上且BG ＝10时， ①求证：EF ＝EG ； ②求AF 的长；(3)如图③，当折痕的另一端F 在AD 边上，B 点的对应点E 在长方形内部，E 到AD 的距离为2，且BG ＝10时，求AF 的长．第6题图(1)解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴BF ＝EF ，∵AB ＝8，∴EF ＝8－AF ，在Rt △AEF 中，AE 2＋AF 2＝EF 2，即42＋AF 2＝(8－AF )2，解得AF ＝3；(2)①证明：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处，∴∠BGF ＝∠EGF ， ∵长方形纸片ABCD 的边AD ∥BC ，∴∠BGF ＝∠EFG ，∴∠EGF ＝∠EFG ，∴EF ＝EG ； ②解：∵纸片折叠后顶点B 落在边AD 上的E 点处， ∴EG ＝BG ＝10，HE ＝AB ＝8，FH ＝AF ， ∴EF ＝EG ＝10，在Rt △EFH 中，由勾股定理得FH ＝EF 2－HE 2＝102－82＝6，∴AF ＝FH ＝6；(3)解：如解图，设EH 与AD 相交于点K ，过点E 作MN ∥CD 分别交AD 、BC 于点M 、N ，第6题解图∵E 到AD 的距离为2， ∴EM ＝2，EN ＝8－2＝6，在Rt △ENG 中，GN ＝EG 2－EN 2＝102－62＝8， ∵∠GEN ＋∠KEM ＝180°－∠GEH ＝180°－90°＝90°， ∠GEN ＋∠NGE ＝180°－90°＝90°， ∴∠KEM ＝∠NGE ，又∵∠ENG ＝∠KME ＝90°，∴△GEN ∽△EKM ， ∴EK GE ＝KM EN ＝EM GN ，即EK 10＝KM 6＝28，解得EK ＝52，KM ＝32， ∴KH ＝EH －EK ＝8－52＝112，∵∠FKH＝∠EKM，∠H＝∠EMK＝90°，∴△FKH∽△EKM，∴FHEM＝KHKM，即FH2＝11232，解得FH＝223，∴AF＝FH＝223.7．在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，连接AD.(1)如图①，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD＝2时，求AE′的值；(2)如图②，在AC上取一点E，使得CE＝13AC，连接DE，将△CDE沿CD 翻折到△CDE′，且AE′交BC于点F，求证：DF＝CF.第7题图(1)解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D是斜边BC的中点，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝45°，在Rt△ADC中，AC＝ADsin 45°＝2，∵E是AC的中点，∴CE＝12AC＝1，∵将△CDE沿CD翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝1，∠ACE ′＝90°，由勾股定理得：AE ′＝CE ′＋AC 2＝5；(2)证明：如解图，过B 作AE ′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H ，第7题解图∵∠ABH ＋∠BAF ＝90°，∠CAF ＋∠BAF ＝90°， ∴∠ABH ＝∠CAF ，又∵AB ＝AC ，∠BAH ＝∠ACE ′＝90°， ∴△ABH ≌△CAE ′， ∴AH ＝CE ′＝CE ， ∵CE ＝13AC ， ∴AH ＝HE ＝CE ， ∵D 是BC 中点， ∴DE ∥BH ， ∴G 是AD 中点，在△ABG 和△CAF 中 ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠ACD ＝45°AB ＝AC∠ABH ＝∠CAF， ∴△ABG ≌△CAF (ASA)，∴AG ＝CF ， ∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12CD ，∴DF ＝CF . 8．【问题情境】在数学综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠为主题开展活动”，如图①，四边形ABCD是正方形，AB＝5，点E是CD边上的一动点，连接AE.【操作发现】(1)将△ADE沿AE折叠得△AD′E，如图②，当点D′到BC的距离等于1时，求点E到BC的距离．【继续探究】(2)在(1)的条件下，创新小组在图②中，连接BE，如图③，发现∠AEB＝2∠EBC，请你证明这个结论．【深入探究】(3)创新小组将图②沿MN向下折叠，使点A与点E，连接DD′并延长交BC 于点F，如图④，求四边形MNFD的面积．第8题图解：(1)如解图①，过点D′作XY∥BC，与AB、CD分别交于点X、Y，∵四边形ABCD是正方形，第8题解图①∴∠B＝∠C＝90°，AB∥CD，∴四边形BCYX 是矩形， ∵点D ′到BC 的距离为1， ∴BX ＝CY ＝1，∴AX ＝AB －BX ＝5－1＝4，由折叠知：AD ′＝AD ＝5，在Rt △AXD ′中，由勾股定理得XD ′＝52－42＝3， ∴D ′Y ＝XY －XD ′＝5－3＝2，由题易证△AXD ′∽△D ′YE ， ∴AXD ′Y＝XD ′YE ， ∴42＝3YE ， ∴YE ＝32，∴CE ＝YE ＋YC ＝32＋1＝52， ∴点E 到BC 的距离等于52； (2)证明：由(1)知，CE ＝52， ∴DE ＝DC －CE ＝5－52＝52， ∴DE ＝CE ，又∵AD ＝BC ，∠C ＝∠ADE ， ∴△ADE ≌△BCE ， ∴AE ＝BE ，如解图②，过点E 作EZ ⊥AB 于点Z ，第8题解图②∴EZ 平分∠AEB ， ∴∠AEB ＝2∠BEZ ， ∵EZ ⊥AB ，BC ⊥AB ， ∴EZ ∥BC . ∴∠BEZ ＝∠EBC ， ∴∠AEB ＝2∠EBC ；(3)∵点A 、点E 关于MN 对称， ∴MN 垂直平分AE ，同理：AE 垂直平分DD ′， ∴MN ∥DF ，又∵MD ∥NF ，∴四边形MNFD 是平行四边形，如解图③，设AE 与MN ，DD ′分别相交于点G 、H ，第8题解图③在Rt △ADE 中，由勾股定理得 AE ＝AD 2＋DE 2 ＝52＋（52）2＝552，∴GE ＝12AE ＝12×552＝554. 在Rt △ADE 中，DH ·AE ＝AD ·DE ，∴DH ＝AD ·DEAE ＝5×52552＝5，在Rt △DEH 中，由勾股定理得 EH ＝DE 2－DH 2＝（52）2－（5）2＝52，∴GH ＝GE －EH ＝554－52＝354，∵△ADE ≌△DCF ，∴AE ＝DF ，∴DF ＝552， ∴S 四边形MNFD ＝DF ·GH ＝552×354＝758. 9．【问题情境】(1)数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ，求证：∠B ＝30°，请你完成证明过程；【继续探究】(2)如图②，四边形ABCD 是一张边长为2的正方形纸片，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处，折痕交AE 于点G ，请运用(1)中的结论求∠ADG 的度数和AG 的长；【拓展应用】(3)若矩形纸片ABCD 按如图③所示的方式折叠，B 、D 两点恰好重合于一点O (如图④)，当AB ＝6时，求EF 的长．第9题图(1)证明：Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12AB ， ∵sin B ＝AC AB ＝12， ∴∠B ＝30°；(2)解：∵正方形边长为2，E 、F 分别为AB 、CD 的中点， ∴EA ＝FD ＝12×CD ＝1，∵沿过点D 的折痕将纸片翻折，使点A 落在EF 上的点A ′处， ∴A ′D ＝AD ＝2， ∴FD A ′D ＝12， ∴∠F A ′D ＝30°，可得∠FDA ′＝90°－30°＝60°，由折叠性质可得∠ADG ＝∠A ′DG ，AG ＝A ′G ， ∴∠ADG ＝∠ADA ′2＝90°－60°2＝15°， ∵A ′D ＝2，FD ＝1，∴A′F＝A′D2－FD2＝3，∴EA′＝EF－A′F＝2－3，∵∠EA′G＋∠DA′F＝180°－∠GA′D＝90°，∴∠EA′G＝90°－∠DA′F＝90°－30°＝60°，∴∠EGA′＝90°－∠EA′G＝90°－60°＝30°，则AG＝AG′＝2EA′＝2(2－3)；(3)解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO＝AD＝CB＝CO，∴DA＝AC 2，∵∠D＝90°，∴∠DCA＝30°，∵AB＝CD＝6，在Rt△ACD中，ADDC＝tan30°，则AD＝DC·tan30°＝6×33＝23，∵∠DAF＝∠F AO＝12∠DAO＝90°－∠DCA2＝30°，∴DFAD＝tan30°＝33，∴DF＝33AD＝2，∴DF＝FO＝2，同理EO＝2，∴EF＝EO＋FO＝4.10．如图，在矩形ABCD纸片中，AB＝10 cm，BC＝12 cm.点P在BC边上，将△P AB沿AP折叠得△P AE，连接CE，DE.(1)当点E落在AD边上时，CE＝________；(2)当△CDE分别满足下列条件时，求PB的长．①DE＝CD；②DE＝CE.第10题图解：(1)226 cm ；【解法提示】如解图①，∵将△P AB 沿AP 折叠，得△P AE ，E 落在AD 边上， ∴四边形ABPE 是正方形， ∴PB ＝PE ＝AB ＝10 cm ， ∴PC ＝2 cm ，∴CE ＝PE 2＋PC 2＝226 cm.第10题解图①(2)①如解图②，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，则MN ⊥BC ，第10题解图②∵DE ＝CD ，AE ＝AB ＝CD ＝DE ， ∴AE ＝10 cm ，∴AM ＝12AD ＝BN ＝6 cm ，∴ME ＝AE 2－AM 2＝8 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝2 cm ，易知△AME ∽△ENP ， ∴AM AE ＝EN PE ， ∴610＝2PE ， ∴PE ＝103 cm ， ∴PB ＝PE ＝103 cm ；②如解图③，过E 作MN ⊥AD 于M ，交BC 于N ，过E 作EQ ⊥CD 于Q ，第10题解图③∵DE ＝CE ，∴DQ ＝12CD ＝5 cm ，∴ME ＝5 cm ， ∴EN ＝MN －ME ＝5 cm ， ∴AM ＝AE 2－ME 2＝5 3 cm ， ∴BN ＝5 3 cm ，同理得AM AE ＝EN PE ， ∴5310＝5PE ， ∴PE ＝1033 cm ，103∴PB＝PE＝3cm.。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：四边形综合专题复习题(包含答案,教师版)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：四边形综合专题复习题1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：BE=CD；（2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积．2、如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE=DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．（1）求证：CP=AQ；（2）若BP=1，PQ=2，∠AEF=45°，求矩形ABCD的面积．3、如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF．求证：（1）DE=BF；（2）四边形DEBF是平行四边形．4、如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△ADE≌△FCE．（2）若∠BAF=90°，BC=5，EF=3，求CD的长．5、如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB=，∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）6、如图，▱ABCD中，AB=2，AD=1，∠ADC=60°，将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D 落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E．（1）求证：四边形BCED′是菱形；（2）若点P时直线l上的一个动点，请计算PD′+PB的最小值．7、如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∠ABC：∠BAD=1：2，BE∥AC，CE∥BD．（1）求tan∠DBC的值；（2）求证：四边形OBEC是矩形．8、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．若两个点同时运动的时间为x秒（0＜x≤3），解答下列问题：（1）设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；（2）是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．9、如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD 的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．10、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠C，点P在边AB上．（1）判断四边形ABCD的形状并加以证明；（2）若AB=AD，以过点P的直线为轴，将四边形ABCD折叠，使点B、C分别落在点B′、C′上，且B′C′经过点D，折痕与四边形的另一交点为Q．①在图2中作出四边形PB′C′Q（保留作图痕迹，不必说明作法和理由）；②如果∠C=60°，那么为何值时，B′P⊥AB．11、某同学要证明命题“平行四边形的对边相等．”是正确的，他画出了图形，并写出了如下已知和不完整的求证．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，BC=DA（1）补全求证部分；（2）请你写出证明过程．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA．．12、在矩形ABCD中，E为CD的中点，H为BE上的一点，，连接CH并延长交AB于点G，连接GE并延长交AD的延长线于点F．（1）求证：；（2）若∠CGF=90°，求的值．13、如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．（1）求证：四边形EFDG是菱形；（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；（3）若AG=6，EG=2，求BE的长．14、如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD 关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．15、已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA、EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）若点P在线段AB上．①如图2，连接AC，当P为AB的中点时，判断△ACE的形状，并说明理由；②如图3，设AB=a，BP=b，当EP平分∠AEC时，求a：b及∠AEC的度数．16、如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．猜想结论：（要求用文字语言叙述）___________________________写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．17、如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH；（3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．18、如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中，AB=3，∠BAD=45°，按下列步骤进行裁剪和拼图．第一步：如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到△ABD和△BCD纸片，再将△ABD纸片沿AE剪开（E为BD上任意一点），得到△ABE和△ADE纸片；第二步：如图②，将△ABE纸片平移至△DCF处，将△ADE纸片平移至△BCG处；第三步：如图③，将△DCF纸片翻转过来使其背面朝上置于△PQM处（边PQ与DC重合，△PQM和△DCF在DC同侧），将△BCG纸片翻转过来使其背面朝上置于△PRN处，（边PR与BC 重合，△PRN和△BCG在BC同侧）．则由纸片拼成的五边形PMQRN中，对角线MN长度的最小值为．19、如图，在矩形ABCD中，点O为坐标原点，点B的坐标为（4，3），点A、C在坐标轴上，点P在BC边上，直线l1：y=2x+3，直线l2：y=2x﹣3．（1）分别求直线l1与x轴，直线l2与AB的交点坐标；（2）已知点M在第一象限，且是直线l2上的点，若△APM是等腰直角三角形，求点M的坐标；（3）我们把直线l1和直线l2上的点所组成的图形为图形F．已知矩形ANPQ的顶点N在图形F上，Q是坐标平面内的点，且N点的横坐标为x，请直接写出x的取值范围（不用说明理由）．20、如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH⊥EF，垂足为H．（1）如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．（2）如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．参考答案：1、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD，∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE，∴BE=CD；（2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°，[来源:学#科#网] ∴△ABE是等边三角形，∴AE=AB=4，∵BF⊥AE，∴AF=EF=2，∴BF===2，∵AD∥BC，∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴△ADF的面积=△ECF的面积，∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4．2、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠ABC=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，AB∥CD，AD∥BC，∴∠E=∠F，∵BE=DF，∴AE=CF，在△CFP和△AEQ中，，∴△CFP≌△AEQ（ASA），∴CP=AQ；（2）解：∵AD∥BC，[来源:学#科#网Z#X#X#K]∴∠PBE=∠A=90°，∵∠AEF=45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE=BP=1，AQ=AE，∴PE=BP=，∴EQ=PE+PQ=+2=3，∴AQ=AE=3，∴AB=AE﹣BE=2，∵CP=AQ，AD=BC，∴DQ=BP=1，∴AD=AQ+DQ=3+1=4，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×4=8．3、【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥CB，AD=CB，∴∠DAE=∠BCF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF．（2）由（1），可得∴△ADE≌△CBF，∴∠ADE=∠CBF，∵∠DEF=∠DAE+∠ADE，∠BFE=∠BCF+∠CBF，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，又∵DE=BF，∴四边形DEBF是平行四边形．4、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，∵E是▱ABCD的边CD的中点，∴DE=CE，在△ADE和△FCE中，，∴△ADE≌△FCE（AAS）；（2）解：∵ADE≌△FCE，∴AE=EF=3，∵AB∥CD，∴∠AED=∠BAF=90°，在▱ABCD中，AD=BC=5，∴DE===4，∴CD=2DE=8．5、【解答】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，∴AF=CF，AE=CE，OA=OC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFO=∠CEO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF=CE，∴AF=CF=CE=AE，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴CD=AB=，在Rt△CDF中，cos∠DCF=，∠DCF=30°，∴CF==2，∵四边形AECF是菱形，∴CE=CF=2，∴四边形AECF是的面积为：EC•AB=2．6、【解答】证明：（1）∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴∠DAE=∠D′AE，∠DEA=∠D′EA，∠D=∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA=∠EAD′，∴∠DAE=∠EAD′=∠DEA=∠D′EA，∴∠DAD′=∠DED′，∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE=AD′，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC，AB∥DC，∴CE=D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；∵AD=AD′，∴▱DAD′E是菱形，（2）∵四边形DAD′E是菱形，∴D与D′关于AE对称，连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′+PB的最小值，过D作DG⊥BA于G，∵CD∥AB，∴∠DAG=∠CDA=60°，∵AD=1，∴AG=，DG=，∴BG=，∴BD==，∴PD′+PB的最小值为．7、【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠DBC=∠ABC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∵∠ABC：∠BAD=1：2，∴∠ABC=60°，∴∠BDC=∠ABC=30°，则tan∠DBC=tan30°=；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC=90°，∵BE∥AC，CE∥BD，∴BE∥OC，CE∥OB，∴四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形．8、【解答】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴BC=AD=4，CD=AB=3，当运动x秒时，则AQ=x，BP=x，∴BQ=AB﹣AQ=3﹣x，CP=BC﹣BP=4﹣x，∴S△ADQ=AD•AQ=×4x=2x，S△BPQ=BQ•BP=（3﹣x）x=x﹣x2，S△PCD=PC•CD=•（4﹣x）•3=6﹣x，又S矩形ABCD=AB•BC=3×4=12，∴S=S矩形ABCD﹣S△ADQ﹣S△BPQ﹣S△PCD=12﹣2x﹣（x﹣x2）﹣（6﹣x）=x2﹣2x+6=（x﹣2）2+4，即S=（x﹣2）2+4，∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为x=2，∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，又当x=0时，S=5，当S=3时，S=，但x的范围内取不到x=0，∴S不存在最大值，当x=2时，S有最小值，最小值为4；（2）存在，理由如下：由（1）可知BQ=3﹣x，BP=x，CP=4﹣x，当QP⊥DP时，则∠BPQ+∠DPC=∠DPC+∠PDC，∴∠BPQ=∠PDC，且∠B=∠C，∴△BPQ∽△PCD，∴=，即=，解得x=（舍去）或x=，∴当x=时QP⊥DP．9、【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，∴∠CPF=∠PCH．∵PH∥AD，∴PH∥BC，∴∠PCF=∠CPH．在△PHC和△CFP中，，∴△PHC≌△CFP（ASA）．（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠B=90°．又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，∴∠CPF=∠CAB．在Rt△AGP中，∠AGP=90°，PG=AG•tan∠CAB．在Rt△CFP中，∠CFP=90°，CF=PF•tan∠CPF．S矩形DEPH=DE•EP=CF•EP=PF•EP•tan∠CPF；S矩形PGBF=PG•PF=AG•PF•tan∠CAB=EP•PF•tan∠CAB．∵tan∠CPF=tan∠CAB，∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．10、【解答】解：（1）四边形ABCD是平行四边形证明：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=∠C，∴∠C+∠B=180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形；（2）①作图如下：②当AB=AD时，平行四边形ABCD是菱形，由折叠可得，BP=B′P，CQ=C′Q，BC=B′C′，∠C=∠C′=60°=∠A，当B′P⊥AB时，由B′P∥C′Q，可得C′Q⊥CD，∴∠PEA=30°=∠DEB′，∠QDC′=30°=∠B′DE，∴B′D=B′E，设AP=a，BP=b，则直角三角形APE中，PE=a，且B′P=b，BC=B′C′=CD=a+b，∴B′E=b﹣a=B′D，∴C′D=a+b﹣（b﹣a）=a+a，∴直角三角形C′QD中，C′Q=a=CQ，DQ=C′Q=a，∵CD=DQ+CQ=a+b，∴a+a=a+b，整理得（+1）a=b，∴==，即=．11、【解答】（1）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求证：AB=CD，BC=DA；故答案为：BC=DA；（2）证明：连接AC，如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA；故答案为：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC，在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（ASA），∴AB=CD，BC=DA．12、【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴CD∥AB，AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴△CEH∽△GBH，∴．（2）解：作EM⊥AB于M，如图所示：则EM=BC=AD，AM=DE，∵E为CD的中点，∴DE=CE，设DE=CE=3a，则AB=CD=6a，由（1）得： =3，∴BG=CE=a，∴AG=5a，∵∠EDF=90°=∠CGF，∠DEF=∠GEC，∴△DEF∽△GEC，∴，∴EG•EF=DE•EC，∵CD∥AB，∴=，∴，∴EF=EG，∴EG•EG=3a•3a，解得：EG=a，在Rt△EMG中，GM=2a，∴EM==a，∴BC=a，∴==3．13、【解答】解：（1）证明：∵GE∥DF，∴∠EGF=∠DFG．∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，∴∠DGF=∠DFG．∴GD=DF．∴DG=GE=DF=EF．∴四边形EFDG为菱形．（2）EG2=GF•AF．理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．∵四边形EFDG为菱形，∴GF⊥DE，OG=OF=GF．∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，∴△DOF∽△ADF．∴，即DF2=FO•AF．∵FO=GF，DF=EG，∴EG2=GF•AF．（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．∵DF=GE=2，AF=10，∴AD==4．∵GH⊥DC，AD⊥DC，∴GH∥AD．∴△FGH∽△FAD．∴，即=．∴GH=．∴BE=AD﹣GH=4﹣=．14、【解答】解：（1）如图1，∵▱ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称，∴四边形AB1C1D是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形，∴S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA．∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，∴AB=m﹣n=3﹣n，OD=2n，∴S▱BCDA=AB•OD=（3﹣n）•2n=﹣2（n2﹣3n）=﹣2（n﹣）2+，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA=﹣4（n﹣）2+9．∵﹣4＜0，∴当n=时，S▱BCC1B1最大值为9；（2）当点B1恰好落在y轴上，如图2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF+∠DB1F=90°，∠B1BO+∠OB1B=90°，∴∠B1DF=∠OBB1．∵∠DOA=∠BOB1=90°，∴△AOD∽△B1OB，∴=，∴=，∴OB1=．由轴对称的性质可得AB1=AB=m﹣n．在Rt△AOB1中，n2+（）2=（m﹣n）2，整理得3m2﹣8mn=0．∵m＞0，∴3m﹣8n=0，∴=．15、【解答】解：（1）∵四边形ABCD和四边形BPEF是正方形，∴AB=BC，BP=BF，∴AP=CF，在△APE和△CFE中，，∴△APE≌△CFE，∴EA=EC；（2）①∵P为AB的中点，∴PA=PB，又PB=PE，∴PA=PE，∴∠PAE=45°，又∠DAC=45°，∴∠CAE=90°，即△ACE是直角三角形；②∵EP平分∠AEC，EP⊥AG，∴AP=PG=a﹣b，BG=a﹣（2a﹣2b）=2b﹣a∵PE∥CF，∴=，即=，解得，a=b；作G H⊥AC于H，∵∠CAB=45°，∴HG=AG=×（2b﹣2b）=（2﹣）b，又BG=2b﹣a=（2﹣）b，∴GH=GB，GH⊥AC，GB⊥BC，∴∠HCG=∠BCG，∵PE∥CF，∴∠PEG=∠BCG，∴∠AEC=∠ACB=45°．∴a：b=：1；∴∠AEC=45°．16、【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AB=AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上，∵CB=CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，求证：AD2+BC2=AB2+CD2证明：∵AC⊥BD，∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，∴AD2+BC2=AB2+CD2；（3）连接CG、BE，∵∠CAG=∠BAE=90°，∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE，∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，∴四边形CGEB是垂美四边形，由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，∵AC=4，AB=5，∴BC=3，CG=4，BE=5，∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，∴GE=．17、【解答】（1）证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，∴CH是△ABD的中位线，∴CH∥BD，CH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴CH∥FG，CH=FG，∴四边形CFGH是平行四边形；（2）如图3所示，（3）解：如图3，∵BD=，∴FG=BD=，∴正方形CFGH的边长是．18、【解答】解：∵△ABE≌△CDF≌△PMQ，∴AE=DF=PM，∠EAB=∠FDC=∠MPQ，∵△ADE≌△BCG≌△PNR，∴AE=BG=PN，∠DAE=∠CBG=∠RPN，∴PM=PN，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB=∠DCB=45°，∴∠MPN=90°，∴△MPN是等腰直角三角形，当PM最小时，对角线MN最小，即AE取最小值，∴当AE⊥BD时，AE取最小值，过D作DF⊥AB于F，∵平行四边形ABCD的面积为6，AB=3，∴DF=2，∵∠DAB=45°，∴AF=DF=2，∴BF=1，∴BD==，∴AE===，∴MN=AE=，故答案为：．19、【解答】解：（1）直线l1：当y=0时，2x+3=0，x=﹣则直线l1与x轴坐标为（﹣，0）直线l2：当y=3时，2x﹣3=3，x=3则直线l2与AB的交点坐标为（3，3）；（2）①若点A为直角顶点时，点M在第一象限，连结AC，如图1，∠APB＞∠ACB＞45°，∴△APM不可能是等腰直角三角形，∴点M不存在；②若点P为直角顶点时，点M在第一象限，如图2，过点M作MN⊥CB，交CB的延长线于点N，则Rt△ABP≌Rt△PNM，∴AB=PN=4，MN=BP，设M（x，2x﹣3），则MN=x﹣4，∴2x﹣3=4+3﹣（x﹣4），x=，∴M（，）；③若点M为直角顶点时，点M在第一象限，如图3，设M1（x，2x﹣3），过点M1作M1G1⊥OA，交BC于点H1，则Rt△AM1G1≌Rt△PM1H1，∴AG1=M1H1=3﹣（2x﹣3），∴x+3﹣（2x﹣3）=4，x=2∴M1（2，1）；设M2（x，2x﹣3），同理可得x+2x﹣3﹣3=4，∴x=，∴M2（，）；综上所述，点M的坐标为（，），（2，1），（，）；（3）x的取值范围为﹣≤x＜0或0＜x≤或≤x≤或≤x≤2．20、【解答】解：（1）①由旋转的性质可知：AF=AG，∠DAF=∠BAG．[来源:学。

2020中考数学压轴专题：图形折叠(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：统计初步练习试题(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020 年中考九年级数学专题复习：统计初步练习题一、选择题1.以下采纳的检查方式中，适合的是 (A)A.为认识东江湖的水质状况，采纳抽样检查的方式B.我市某公司为认识所生产的产品的合格率，采纳全面检查的方式C.某小型公司给任职职工做工作服行进行尺寸大小的检查，采纳抽样检查的方式D.某市教育部门为认识该市中小学生的视力状况，采纳全面检查的方式2. 为了认识我市 6 000 名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩状况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，以下说法：①这 6 000 名学生的数学会考成绩的全体是整体；②每个考生是个体；③ 200名考生是整体的一个样本；④样本容量是200，此中说法正确的有 (C)A.4 个B.3个C.2个D.1个3.在九年级一次数学单元测试中，某班一个学习小组6 人的成绩 ( 单位：分 ) 分别为 85，87，98，70，84，87，则这组数据的中位数和众数分别是(C)A.86 和 89B.85和86C.86和87D.87和874. 在庆贺新中国建立70 周年的校园歌唱竞赛中， 11 名参赛同学的成绩各不同样，依据成绩取前 5 名进入决赛 . 假如小明知道了自己的竞赛成绩，要判断可否进入决赛，小明需要知道这11 名同学成绩的(B)A. 均匀数B.中位数C.众数D.方差5.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员近来几次选拔赛成绩的均匀数与方差：甲乙丙丁均匀数 /cm 180185 185180方差 3.6 3.67.48.1依据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳固的运动员参加竞赛，应当选择(B)A. 甲B.乙C.丙D.丁6.以下图，是巴中某校正学生到校方式的状况统计图 . 若该校骑自行车到校的学生有 200 人，则步行到校的学生有 (B)A.120 人B.160人C.125人D.180人7.如图，某班体育委员统计了全班 45 名同学一周的体育锻炼时间 ( 单位：时 ) ，并绘制了以下图的折线统计图，以下说法中错误的选项是 (D)A. 众数是 9B.中位数是9C.均匀数是9D.锻炼时间不低于9 小时的有 14 人8.依据《居民家庭亲子阅读花费检查报表》中的有关数据制成扇形统计图，由图可知，以下说法错误的选项是 (C)A.扇形统计图能反应各部分在整体中所占的百分比B.每日阅读 30 分钟以上的居民家庭孩子超出 50%C.每日阅读 1 小时以上的居民家庭孩子占 20%D. 每日阅读 30 分钟至 1 小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°9. 某班在阳光体育活动中，测试了五位学生的“一分钟跳绳”成绩，获得五个各不同样的数据. 在统计时，出现一处错误，将最低成绩写得更低了，则计算结果不受影响的是(B)A. 均匀数B.中位数C.方差D.众数(D)10. 比较A 组、 B 组中两组数据的均匀数及方差，以下说法正确的选项是A.A， B 均匀数及方差分相等B.A ， B 均匀数相等， B 方差大C.A 比 B 的均匀数、方差都大D.A，B均匀数相等，A方差大11.假如一数据 6， 7，x，9，5 的均匀数是 2x，那么数据的中位数 (B)A.5B.6C.7D.912.已知一数据 6， 8，10，x 的中位数与均匀数相等，的 x 有(C)A.1 个B.2个C.3个D.4个以上(含4个)13.2019 年 5 月 26 日第 5 届中国国大数据博会召开. 某市在五届数博会上的金的折如. 以下法正确的选(C)项是A. 金逐年增添B. 与上年对比， 2019 年的金的增量最多C. 金的年增速度最快的是2016 年D.2018 年的金比2017 年降低了 22.98%二、填空14.下表是某养殖的 500 只销售量的数据 .量 /kg 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0数 / 只56162 1121204010500 只量的中位数 1.4__kg.15.一数据 0，1，2，3，4，数据的方差是 2.16.已知一数据 x1，x2，x3，⋯， x n的方差 2，另一数据 3x1，3x2，3x3，⋯， 3x n的方差 18.17.某学校科学趣小了认识自己育种的苗的生状况，随机抽取 10 株苗量其高度，果以下表：高度 /cm 40506070株数2431由此估批苗的均匀高度53cm.三、解答题18.在念书月活动中，学校准备购置一批课外读物，为使课外读物知足同学们的需求，学校就“我最喜欢的课外读物”从文学、艺术、科普和其余四个类型进行了抽样检查 ( 每位同学只选一类 ) ，如图是依据检查结果绘制的两幅不完好的统计图 . 请你依据统计图供给的信息，解答以下问题：(1)本次检查中，一共检查了 200 名同学；(2)条形统计图中， m＝ 40，n＝60；(3) 扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是72 度；(4)学校计划购置课外读物 5 000 册，请依据样本数据，预计学校购置其余类读物多少册比较合理？30解： (4) 由题意，得 5 000 ×200＝ 750( 册 ).答：学校购置其余类读物750 册比较合理 .18.高尔基说：“书本是人类进步的阶梯 . ”阅读拥有丰富知识、拓展视线、充分生活等诸多好处 . 为认识学生的课外阅读状况，某校随机抽查了部分学生阅读课外书册数的状况，并绘制出以下统计图，此中条形统计图由于损坏丢掉了阅读 5 册书数的数据 .(1)求条形图中丢掉的数据，并写出阅念书册数的众数和中位数；(2)依据随机抽查的这个结果，请预计该校 1 200 名学生中课外阅读 5 册书的学生人数；(3) 若学校又补查了部分同学的课外阅读状况，得悉这部分同学中课外阅读最少的是 6 册，将补查的状况与以前的数据归并后发现中位数并无改变，试求最多补查了多少人？解： (1) 设阅读 5 册书的人数为 x，由统计图可知：12x＋6＋8＋12＝30%，∴ x＝ 14.∴阅念书册数的众数是 5，中位数是 5.(2)该检阅读 5 册书的学生人数约为 1 200 ×14＝ 420( 人). 12÷30%(3)设补查人数为 y，依题意，得12＋6＋y<8＋14，解得 y<4.答：最多补查了 3 人.20.某校为认识九年级学生的体重状况，随机抽取了九年级部分学生进行检查，将抽取学生的体重状况绘制以下不完好的统计图表，如图表所示，请依据图表信息回答以下问题：（ 1）填空：① m＝52（直接写出结果）；②在扇形统计图中， C组所在扇形的圆心角的度数等于144 度；（ 2）假如该校九年级有 1 000 名学生，请估量九年级体重低于60 千克的学生大概有多少人？12＋52＋80解：九年级体重低于60 千克的学生大概有× 1 000＝720（人）.200。

四川省渠县崇德实验学校2020年暑假九年级数学复习练习题(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020年暑假九年级数学复习练习题一、选择题1、若定义一种新运算：a⊗b＝262a b a ba b a b-⎧⎨+-<⎩(≥)()，例如：3⊗1＝3﹣1＝2；5⊗4＝5＋4﹣6＝3．则函数y＝（x＋2）⊗（x﹣1）的图象大致是（）A．B．C．D．2、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（）A．B．C．D．3、已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（）A．B．C．D．4、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点A(－3，0)，点B(0，2)，那么该图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限5、鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（）A．第一班车离入口处的距离y(米)与时间x(分)的解析式为y＝200x－4 000(20≤x≤38)B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）6、如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝12．将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上．连接BG，交CD于点K，FG交CD于点H．给出以下结论：①EF⊥BG；②GE＝GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF＝75°，其中正确的结论共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题7、如图，直线y＝52x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点B逆时针旋转90°后得到△A1O1B，则点A1的坐标是．8、将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图象对应的函数表达式是．9、A，B两地相距240km，甲货车从A地以40km/h的速度匀速前往B地，到达B地后停止．在甲出发的同时，乙货车从B地沿同一公路匀速前往A地，到达A地后停止．两车之间的路程y(km)与甲货车出发时间x(h)之间的函数关系如图中的折线CD﹣DE﹣EF所示．其中点C的坐标是(0，240)，点D的坐标是(2.4，0)，则点E的坐标是．10、我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县种植甲、乙两种火龙果共100亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为0.9万元、1.1万元，每亩的销售额分别为2万元、2.5万元，如果要求种植成本不少于98万元，但不超过100万元，且所有火龙果能全部售出，则该县在此项目中获得的最大利润是_____________万元．（利润＝销售额－种植成本）三、解答题11、已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y＝34 x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．（1）如图1，求直线AB的解析式；（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG，求点P的坐标．12、如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO′E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO′E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO′，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．13、如图，在△ABC中，AB＝B＝45°，∠C＝60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．14、在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合(如图1)，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3 cm，AC＝DF＝4 cm，并进行如下研究活动．活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD(如图2)，当点F与点C重合时停止平移．【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形(如图3)．求AF的长．活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度(0≤α≤90)，连结OB，OE(如图4)．【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．15、已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF＝90°，∠DFE＝30°，连接CE并延长CE到P，使EP＝CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．（1）如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB＝EP；②∠EFP＝30°；（2）如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD＋∠EFP＝30°．16、将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（2，0），点B在第一象限，∠OAB＝90°，∠B＝30°，点P在边OB上（点P不与点O，B重合）．（Ⅰ）如图①，当OP＝1时，求点P的坐标；（Ⅱ）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且OQ＝OP，点O的对应点为O'，设OP＝t．①如图②，若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分为四边形，O'P，O'Q分别与边AB相交于点C，D，试用含有t的式子表示O'D的长，并直接写出t的取值范围；②若折叠后△O'PQ与△OAB重叠部分的面积为S，当1≤1≤3时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．17、（1）【操作发现】如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．①请按要求画图：将△ABC绕点A顺时针方向旋转90°，点B的对应点为点B′，点C的对应点为点C′．连接BB′；②在①中所画图形中，∠AB′B＝_____________°．（2）【问题解决】如图2，在Rt△ABC中，BC＝1，∠C＝90°，延长CA到D，使CD＝1，将斜边AB绕点A顺时针旋转90°到AE，连接DE，求∠ADE的度数．（3）【拓展延伸】如图3，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k为常数），求BD的长（用含k的式子表示）．18、如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点．（1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是，位置关系是；（2）问题探究：如图②，△AO′E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论；（3）拓展延伸：如图③，△AO′E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO′，点P，Q分别为CE，BO′的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积．19、以Rt△ABC的两边AB、AC为边，向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，过点A作AM⊥BC于M，延长MA交EG于点N．（1）如图①，若∠BAC＝90°，AB＝AC，易证：EN＝GN；（2）如图②，∠BAC＝90°；如图③，∠BAC≠90°，（1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．20、如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？21、如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．（1）AP的长为cm（用含x的代数式表示）．（2）当点D落在边BC上时，求x的值．（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．22、如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是AF＝AE；（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．23、如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC1，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝1，连接DE．现将△ADE绕点A顺时针方向旋转，旋转角为α（0°＜α＜360°），如图2，连接CE，BD，CD．（1）当0°＜α＜180°时，求证：CE＝BD；（2）如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；（3）在旋转过程中，求△BCD的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数．24、如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．25、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是x2－3x－18＝0的根，连接BD，∠DBC＝30°，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从B点以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到D点为止；点M沿线段DA D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）线段CN＝；（2）连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；（3）在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．26、综合与实践问题情境：如图①，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°，得到△CBE′(点A的对应点为点C)．延长AE交CE′于点F，连接DE．猜想证明：（1）试判断四边形BE'FE的形状，并说明理由；（2）如图②，若DA＝DE，请猜想线段CF与FE'的数量关系并加以证明；解决问题：（3）如图①，若AB＝15，CF＝3，请直接写出DE的长．参考答案1、【答案】解：∵当x ＋2≥2（x ﹣1）时，x ≤4，∴当x ≤4时，（x ＋2）⊗（x ﹣1）＝（x ＋2）﹣（x ﹣1）＝x ＋2﹣x ＋1＝3，即：y ＝3，当x ＞4时，（x ＋2）⊗（x ﹣1）＝（x ＋2）＋（x ﹣1）﹣6＝x ＋2＋x ﹣1﹣6＝2x ﹣5，即：y ＝2x ﹣5，∴k ＝2＞0，∴当x ＞4时，y ＝2x ﹣5，函数图象向上，y 随x 的增大而增大，综上所述，A 选项符合题意．故选A ．2、【答案】解：①当点P 在AB 上运动时，y ＝12AH ×PH ＝12×AP·sin A ×AP·cos A ＝12×x 2x 2，图象为二次函数； ②当点P 在BC 上运动时，如下图，由①知，BH ′＝AB sin A ＝4×12＝2，同理AH ′＝则y ＝12×AH ×PH ＝12（x ﹣4）×2＝4＋x ，为一次函数； ③当点P 在CD 上运动时，同理可得：y ＝12×（6）×（4＋6＋2﹣x ）＝（3（12﹣x ），为一次函数；故选D ．3、【答案】解：把点（2，3）代入y ＝kx （k ≠0）得2k ＝3，解得k =32， ∴正比例函数解析式为y =32x ，设正比例函数平移后函数解析式为y=32x+b，把点（1，﹣1）代入y=32x+b得32+b=－1，∴b=52 -，∴平移后函数解析式为y=32x52-，故函数图象大致为：．故选D．4、【答案】解：（方法一）将A(－3，0)，B(0，2)代入y＝kx＋b，得302k bb⎧⎨⎩－＋＝，＝，解得232kb⎧⎪⎨⎪⎩＝，＝，∴一次函数解析式为y＝23x＋2．∵k＝23＞0，b＝2＞0，∴一次函数y＝23x＋2的图象经过第一、二、三象限．即该图象不经过第四象限．故选D．（方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示．观察函数图象，可知：一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不经过第四象限．故选D．5、【答案】解：由题意得，可设第一班车离入口处的距离y(米)与时间x(分)的解析式为：y＝kx＋b(k≠0)，把(20，0)，(38，3 600)代入y＝kx＋b，得020360038k bk b⎧⎨⎩＝＋，＝＋，解得2004000kb⎧⎨⎩＝，＝－．，∴第一班车离入口处的路程y(米)与时间x(分)的函数表达为y＝200x－4 000（20≤x≤38）；故选项A不合题意；把y＝2 000代入y＝200x－4 000，解得x＝30，30－20＝10(分)，∴第一班车从入口处到达塔林所需时间10分钟；故选项B不合题意；设小聪坐上了第n班车，则30－25＋10(n－1)≥40，解得n≥4.5，∴小聪坐上了第5班车，故选项C符合题意；等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1 600÷200＝8(分)，步行所需时间：1 600÷(2 000÷25)＝20(分)，20－(8＋5)＝7(分)，∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．故选项D不合题意．故选C．6、【答案】解：如图，连接BE，设EF与BG交于点O，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，∵AD∥BC，∴∠EGO＝∠FBO，又∵∠EOG＝∠BOF，∴△BOF≌△GOE（ASA），∴BF＝EG，∴BF＝EG＝GF，故②正确，∵BE＝EG＝BF＝FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF＝∠GEF，当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，∵sin∠AEB＝ABBE＝612＝12，∴∠AEB＝30°，∴∠DEF＝75°，故④正确，由题意无法证明△GDK和△GKH的面积相等，故③错误；故选C．二、填空题7、【答案】解：在y=52x+4中，令x＝0得，y＝4，令y＝0，得0=52x+4，解得x＝85-，∴A（85-，0），B（0，4），由旋转可得△AOB≌△A1O1B，∠ABA1＝90°，∴∠ABO＝∠A1BO1，∠BO1A1＝∠AOB＝90°，OA＝O1A1＝85，OB＝O1B＝4，∴∠OBO1＝90°，∴O1B∥x轴，∴点A1的纵坐标为OB﹣OA的长，即为485＝125；横坐标为O1B＝OB＝4，故点A1的坐标是（4，125），故填（4，125）．8、【答案】解：在一次函数y＝﹣2x+4中，令x＝0，则y＝4，∴直线y＝﹣2x+4经过点（0，4），将一次函数y＝﹣2x+4的图象绕原点O逆时针旋转90°，则点（0，4）的对应点为（﹣4，0），旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y＝12x+b，将点（﹣4，0）代入得，12×（-4）+b＝0，解得b＝2，∴旋转后对应的函数解析式为：y＝12x+2，故填y＝12x+2．9、【答案】解：根据题意可得，乙货车的速度为：240÷2.4﹣40＝60(40km/h)，∴乙货车从B地到A地所用时间为：240÷60＝4(小时)，当乙货车到底A地时，甲货车行驶的路程为：40×4＝160(千米)，∴点E的坐标是(4，160)．故填(4，160)．10、【答案】解：设甲种火龙果种植x亩，乙钟火龙果种植(100－x)亩，此项目获得利润w，甲、乙两种火龙果每亩利润为1.1万元，1.4万元，由题意，得0.9 1.1100980.9 1.1100100x xx x⎧⎨⎩＋(－)≥，＋(－)≤，解得50≤x≤60．此项目获得利润w＝1.1x＋1.4(100－x)＝140－0.3x，当x＝50时，w的最大值为140－15＝125万元．三、解答题11、【答案】解：（1）∵CM⊥y轴，OM＝9，∴y＝9时，9＝34x，解得x＝12，∴C（12，9），∵AC⊥x轴，∴A（12，0），∵OA＝OB，∴B（0，﹣12），设直线AB的解析式为y＝kx+b，则有12120bk b=-⎧⎨+=⎩，解得112kb=⎧⎨=-⎩，∴直线AB的解析式为y＝x﹣12．（2）如图2中，∵∠CMO＝∠MOA＝∠OAC＝90°，∴四边形OACM是矩形，∴AO＝CM＝12，∵NC＝OM＝9，∴MN＝CM﹣NC＝12﹣9＝3，∴N（3，9），∴直线ON的解析式为y＝3x，设点E的横坐标为4a，则D（4a，0），∴OD＝4a，把x＝4a，代入y＝34x中，得到y＝3a，∴E（4a，3a），∴DE＝3a，把x＝4a代入，y＝3x中，得到y＝12a，∴P（4a，12a），∴PD＝12a，∴PE＝PD﹣DE＝12a﹣3a＝9a，∴PEOD＝94．（3）如图3中，设直线FG交CA的延长线于R，交y轴于S，过点F作FT⊥OA于T．∵GF∥x轴，∴∠OSR＝∠MOA＝90°，∠CAO＝∠R＝90°，∠BOA＝∠BSG＝90°，∠OAB＝∠AFR，∴∠OFR＝∠R＝∠AOS＝∠BSG＝90°，∴四边形OSRA是矩形，∴OS＝AR，AR＝OA＝12，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∴∠F AR＝90°﹣45°＝45°，∴∠F AR＝∠AFR，∴FR＝AR＝OS，∵OF⊥FQ，∴∠OSR＝∠R＝∠OFQ＝90°，∴∠OFS+∠QFR＝90°，∵∠QFR+∠FQR＝90°，∴∠OFS＝∠FQR，∴△OFS≌△FQR（AAS），∴SF＝QR，∵∠SFB＝∠AFR＝45°，∴∠SBF＝∠SFB＝45°，∴SF＝SB＝QR，∵∠SGB＝∠QGR，∠BSG＝∠R，∴△BSG≌△QRG（AAS），∴SG＝GR＝6，设FR＝m，则AR＝m，AF m，QR＝SF＝12﹣m，∵GQ﹣FG，∴GQ+6﹣m＝m+6，∵GQ2＝GR2+QR2，∴（m+6）2＝62+（12﹣m）2，解得m＝4，∴FS＝8，AR＝4，∵∠OAB＝∠F AR，FT⊥OA，FR⊥AR，∴FT＝FR＝AR＝4，∠OTF＝90°，∴四边形OSFT是矩形，∴OT＝SF＝8，∵∠DHE＝∠DPH，∴tan∠DHE＝tan∠DPH，∴DEDH＝DHPD，由（2）可知DE＝3a，PD＝12a，∴3aDH＝12DHa，∴DH＝6a，∴tan∠PHD＝PDHD＝126aa＝2，∵∠PHD＝∠FHT，∴tan∠FHT＝TFHT＝2，∴HT＝2，∵OT＝OD+DH+HT，∴4a+6a+2＝8，∴a＝35，∴OD＝125，PD＝12×35＝365，∴P（125，365）．12、【答案】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQ＝12 OC，∴PQ⊥BO，PQ＝12 BO；故填PQ＝12BO，PQ⊥BO．（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O′P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO′E，∴△AO′E是等腰直角三角形，O′E∥BC，O′E＝O′A，∴∠O′EP＝∠FCP，∠PO′E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，∴△O′PE≌△FPC（AAS），∴O′E＝FC＝O′A，O′P＝FP，∴AB－O′A＝CB－FC，∴BO′＝BF，∴△O′BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O′F，O′P＝BP，∴△BPO′也为等腰直角三角形．又∵点Q 为O ′B 的中点，∴PQ ⊥O ′B ，且PQ ＝BQ ，∴△PQB 的形状是等腰直角三角形；（3）延长O ′E 交BC 边于点G ，连接PG ，O ′P ．∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴∠ECG ＝45°，由旋转得，四边形O ′ABG 是矩形，∴O ′G ＝AB ＝BC ，∠EGC ＝90°，∴△EGC 为等腰直角三角形．∵点P 是CE 的中点，∴PC ＝PG ＝PE ，∠CPG ＝90°，∠EGP ＝45°，∴△O ′GP ≌△BCP （SAS ），∴∠O ′PG ＝∠BPC ，O ′P ＝BP ，∴∠O ′PG －∠GPB ＝∠BPC －∠GPB ＝90°，∴∠O ′PB ＝90°，∴△O ′PB 为等腰直角三角形，∵点Q 是O ′B 的中点，∴PQ ＝12O ′B ＝BQ ，PQ ⊥O ′B ， ∵AB ＝1，∴O ′A ＝22， ∴O ′B ＝22AB A O +'＝221)22(+＝26，∴BQ ＝46． ∴S △PQB ＝12BQ •PQ ＝12×46×46＝163． 13、【答案】解：（1）如图1中，过点A 作AD ⊥BC 于D ．在Rt △ABD 中，AD ＝AB •sin45°＝＝4．（2）①如图2中，∵△AEF ≌△PEF ，∴AE ＝EP ，∵AE ＝EB ，∴BE ＝EP ，∴∠EPB ＝∠B ＝45°，∴∠PEB ＝90°，∴∠AEP ＝180°﹣90°＝90°．②如图3中，由（1）可知：AC ＝sin60AD ，∵PF ⊥AC ，∴∠PF A ＝90°，∵△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE ＝∠PFE ＝45°，∴∠AFE ＝∠B ，∵∠EAF ＝∠CAB ，∴△AEF ∽△ACB ， ∴AF AB ＝AE AC∴AF ＝在Rt △AFP ，AF ＝FP ，∴AP＝14、【答案】解：【思考】四边形ABDE 是平行四边形．证明：如图，∵△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，∠BAC ＝∠EDF ，∴AB ∥DE ，∴四边形ABDE 是平行四边形；【发现】如图1，连接BE 交AD 于点O ，∵四边形ABDE 为矩形，∴OA ＝OD ＝OB ＝OE ，设AF ＝x (cm)，则OA ＝OE ＝(x ＋4)， ∴OF ＝OA －AF ＝2－x ，在Rt △OFE 中，∵OF 2＋EF 2＝OE 2，∴＋32＝(x ＋4)2，解得：x ＝， ∴AF ＝cm ．【探究】BD ＝2OF ，证明：如图2，延长OF 交AE 于点H ，∵四边形ABDE 为矩形，∴∠OAB ＝∠OBA ＝∠ODE ＝∠OED ，OA ＝OB ＝OE ＝OD ，∴∠OBD ＝∠ODB ，∠OAE ＝∠OEA ，∴∠ABD ＋∠BDE ＋∠DEA ＋∠EAB ＝360°，∴∠ABD ＋∠BAE ＝180°，∴AE ∥BD ，∴∠OHE ＝∠ODB ，∵EF 平分∠OEH ，∴∠OEF ＝∠HEF ，∵∠EFO ＝∠EFH ＝90°，EF ＝EF ，∴△EFO ≌△EFH (ASA)，∴EO ＝EH ，FO ＝FH ，∴∠EHO ＝∠EOH ＝∠OBD ＝∠ODB ，∴△EOH ≌△OBD (AAS)，∴BD ＝OH ＝2OF ．15、【答案】证明（1）①∵∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，∴∠A ＝90°－30°＝60°，同理∠EDF ＝60°，∴∠A ＝∠EDF ＝60°，∴AC ∥DE ，∴∠DMB ＝∠ACB ＝90°，∵D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，AC ∥DM ，∴＝＝，即M 是BC 的中点，12122122x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－149494BM BC BD BC12∵EP ＝CE ，即E 是PC 的中点，∴ED ∥BP ，∴∠CBP ＝∠DMB ＝90°，∴△CBP 是直角三角形，∴BE ＝PC ＝EP ； ②∵∠ABC ＝∠DFE ＝30°，∴BC ∥EF ，由①知：∠CBP ＝90°，∴BP ⊥EF ，∵EB ＝EP ，∴EF 是线段BP 的垂直平分线，∴PF ＝BF ，∴∠PFE ＝∠BFE ＝30°；（2）如图2，延长DE 到Q ，使EQ ＝DE ，连接CD ，PQ ，FQ ，∵EC ＝EP ，∠DEC ＝∠QEP ，∴△QEP ≌△DEC (SAS)，则PQ ＝DC ＝DB ，∵QE ＝DE ，∠DEF ＝90°∴EF 是DQ 的垂直平分线，∴QF ＝DF ，∵CD ＝AD ，∴∠CDA ＝∠A ＝60°，∴∠CDB ＝120°，∴∠FDB ＝120°－∠FDC ＝120°－(60°＋∠EDC )＝60°－∠EDC ＝60°－∠EQP ＝∠FQP ， ∴△FQP ≌△FDB (SAS)，∴∠QFP ＝∠BFD ，∵EF 是DQ 的垂直平分线，∴∠QFE ＝∠EFD ＝30°，∴∠QFP ＋∠EFP ＝30°，∴∠BFD ＋∠EFP ＝30°．16、【答案】解：（Ⅰ）如图①中，过点P 作PH ⊥OA 于H ．∵∠OAB ＝90°，∠B ＝30°，12∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°，∴∠OPH＝90°﹣60°＝30°，∵OP＝1，∴OH＝12OP＝12，PH＝OP•cos30°＝3，∴P（12，3）．（Ⅱ）①如图②中，由折叠可知，△O′PQ≌△OPQ，∴OP＝O′P，OQ＝O′Q，∵OP＝OQ＝t，∴OP＝OQ＝O′P＝O′Q，∴四边形OPO′Q是菱形，∴QO′∥OB，∴∠ADQ＝∠B＝30°，∵A（2，0），∴OA＝2，QA＝2﹣t，在Rt△AQD中，DQ＝2QA＝4﹣2t，∵O′D＝O′Q﹣QD＝3t﹣4，∴43＜t＜2．②①当点O ′落在AB 上时，重叠部分是△PQO ′，此时t ＝23，S ×（23）2，当23＜t ≤2时，重叠部分是四边形PQDC ，S t 2（3t ﹣4）22﹣当x 127时，S当t ＝1时，S ，当t ＝3时，S ＝12×12，≤S 17、【答案】解：（1）①如图，△AB ′C ′即为所求．②由作图可知，△ABB ′是等腰直角三角形，∴∠AB ′B ＝45°，故填45．（2）如图2中，过点E 作EH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ．∵∠C ＝∠BAE ＝∠H ＝90°，∴∠B ＋∠CAB ＝90°，∠CAB ＋∠EAH ＝90°．∴∠B ＝∠EAH ． ∵AB ＝AE ，∴△ABC≌△EAH(AAS) ．∴BC＝AH，EH＝AC．∵BC＝CD，∴CD＝AH．∴DH＝AC＝EH．∴∠EDH＝45°．∴∠ADE＝135°．（3）如图③中，∵AE⊥BC，BE＝EC，∴AB＝AC，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACG，连接DG．则BD＝CG，∵∠BAD＝∠CAG，∴∠BAC＝∠DAG．∵AB＝AC，AD＝AG，∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD．∴△ABC∽△ADG．∵AD＝kAB，∴DG＝kBC＝2k．∵∠BAE＋∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，∴∠ADG＋∠ADC＝90°．∴∠GDC＝90°．∴CG∴BD＝CG18、【答案】解：（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQ＝12 OC，∴PQ⊥BO，PQ＝12 BO；故填PQ＝12BO，PQ⊥BO．（2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O′P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO′E，∴△AO′E是等腰直角三角形，O′E∥BC，O′E＝O′A，∴∠O′EP＝∠FCP，∠PO′E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，∴△O′PE≌△FPC（AAS），∴O′E＝FC＝O′A，O′P＝FP，∴AB－O′A＝CB－FC，∴BO′＝BF，∴△O′BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O′F，O′P＝BP，∴△BPO′也为等腰直角三角形．又∵点Q为O′B的中点，∴PQ⊥O′B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形；（3）延长O′E交BC边于点G，连接PG，O′P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O′ABG是矩形，∴O′G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，∴△O′GP≌△BCP（SAS），∴∠O′PG＝∠BPC，O′P＝BP，∴∠O′PG－∠GPB＝∠BPC－∠GPB＝90°，∴∠O′PB＝90°，∴△O′PB为等腰直角三角形，∵点Q是O′B的中点，∴PQ＝12O′B＝BQ，PQ⊥O′B，∵AB＝1，∴O ′A ＝22， ∴O ′B ＝22AB A O +'＝221)22(+＝26， ∴BQ ＝46． ∴S △PQB ＝12BQ •PQ ＝12×46×46＝163． 19、【答案】解：（1）证明：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝45°，∵AM ⊥BC ，∴∠MAC ＝45°，∴∠EAN ＝∠MAC ＝45°，同理∠NAG ＝45°，∴∠EAN ＝∠NAG ，∵四边形ABDE 和四边形ACFG 为正方形，∴AE ＝AB ＝AC ＝AG ，∴EN ＝GN ．（2）如图1，∠BAC ＝90°时，（1）中结论成立．理由：过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠EAP ＋∠BAM ＝180°－90°＝90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM ＋∠BAM ＝90°，∴∠ABM ＝∠EAP ，在△ABM 和△EAP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠,,90,AE AB P AMB EAP ABM∴△ABM ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AM ，同理可得：GQ ＝AM ，∴EP ＝GQ ，在△EPN 和△GQN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,GQ EP GNQ ENP NQG P∴△EPN ≌△GQN （AAS ），∴EN ＝NG ．如图2，∠BAC ≠90°时，（1）中结论成立．理由：过点E 作EP ⊥AN 交AN 的延长线于P ，过点G 作GQ ⊥AM 于Q ，∵四边形ABDE 是正方形，∴AB ＝AE ，∠BAE ＝90°，∴∠EAP ＋∠BAM ＝180°－90°＝90°，∵AM ⊥BC ，∴∠ABM ＋∠BAM ＝90°，∴∠ABM ＝∠EAP ，在△ABM 和△EAP 中，⎪⎩⎪⎨⎧=︒=∠=∠∠=∠,,90,AE AB P AMB EAP ABM∴△ABM ≌△EAP （AAS ），∴EP ＝AM ，同理可得：GQ ＝AM ，∴EP ＝GQ ，在△EPN 和△GQN 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,GQ EP GNQ ENP NQG P∴△EPN ≌△GQN （AAS ），∴EN ＝NG ．20、【答案】解：（1）连接CF ，∵FG 垂直平分CE ，∴CF ＝EF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴A 和C 关于对角线BD 对称，∴CF ＝AF ，∴AF ＝EF ；（2）连接AC ，∵M 和N 分别是AE 和EF 的中点，点G 为CE 中点，∴MN ＝12AF ，NG ＝12CF ，即MN +NG ＝12（AF +CF ），当点F 与菱形ABCD 对角线交点O 重合时，AF+CF最小，即此时MN+NG最小，∵菱形ABCD边长为1，∠ABC＝60°，∴△ABC为等边三角形，AC＝AB＝1，即MN+NG的最小值为12；（3）不变，理由是：延长EF，交DC于H，∵∠CFH＝∠FCE+∠FEC，∠AFH＝∠F AE+∠FEA，∴∠AFC＝∠FCE+∠FEC+∠F AE+∠FEA，∵点F在菱形ABCD对角线BD上，根据菱形的对称性可得：∠AFD＝∠CFD＝12∠AFC，∵AF＝CF＝EF，∴∠AEF＝∠EAF，∠FEC＝∠FCE，∴∠AFD＝∠F AE+∠ABF＝∠F AE+∠CEF，∴∠ABF＝∠CEF，∵∠ABC＝60°，∴∠ABF＝∠CEF＝30°，为定值．21、【答案】解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，∴AP的长为2x cm；故填2x；（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，∵PQ⊥AB，∴∠QP A＝90°，∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，∴∠BPD＝30°，∴∠PDB＝90°，∴PD⊥BC，∴△APQ≌△BDP（AAS），∴BD＝AP＝2x，∵BP＝2BD，∴4﹣2x＝4x，解得x＝23；（3）①如图2，当0＜x≤23时，∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，∴PQ＝AP•tan60°＝，∵△PQD 等边三角形，∴S △PQD ＝12•3x ＝2cm 2，所以y ＝2；②如图3，当点Q 运动到与点C 重合时，此时CP ⊥AB ，所以AP ＝12AB ，即2x ═2，解得x ＝1，所以当23＜x ≤1时，如图4，设PD 、QD 与BC 分别相交于点G 、H ，∵AP ＝2x ，∴BP ＝4﹣2x ，AQ ＝2AP ＝4x ，∴BG ＝12BP ＝2﹣x∴PG 2﹣x ），∴S △PBG ＝12×BG •PG （2﹣x ）2， ∵AQ ＝2AP ＝4x ，∴CQ ＝AC ﹣AQ ＝4﹣4x ，∴QH 4﹣4x ），∴S △QCH ＝12×CQ •QH （4﹣4x ）2，∵S △ABC ＝12 ∴S 四边形PGHQ ＝S △ABC ﹣S △PBG ﹣S △QCH＝（2﹣x ）2（4﹣4x ）2x 2﹣所以y x 2﹣ ③如图5，当1＜x ＜2时，点Q 运动到BC 边上，设PD 与BC 相交于点G ，此时PG ＝BP •sin60°＝（4﹣2x ）2﹣x ）， ∵PB ＝4﹣2x ，∴BQ ＝2BP ＝2（4﹣2x ）＝4（2﹣x ）， ∴BG ＝12BP ＝2﹣x ， ∴QG ＝BQ ﹣BG ＝3（2﹣x ），∴重叠部分的面积为：S △PQG ＝12×PG •QG ＝122﹣x ）•3（2﹣x （2﹣x ）2．所以y （2﹣x ）2．综上所述：y 关于x 的函数解析式为：当0＜x ≤23时，y ＝2；当23＜x ≤1时，y 2﹣当1＜x ＜2时，y （2﹣x ）2． 22、【答案】解：（1）AE ＝AF ．∵AD ＝AB ，四边形ABCD 矩形， ∴四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，∵AF ⊥AE ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAB ＝∠F AD ，∴△EAB ≌△F AD （AAS ），∴AF ＝AE ；故填AF ＝AE ．（2）AF ＝kAE ．证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD ＝∠ABC ＝∠ADF ＝90°， ∴∠F AD ＋∠F AB ＝90°，∵AF ⊥AE ，∴∠EAF ＝90°，∴∠EAB ＋∠F AB ＝90°，∴∠EAB ＝∠F AD ，∵∠ABE ＋∠ABC ＝180°，∴∠ABE ＝180°﹣∠ABC ＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE ＝∠ADF ．∴△ABE ∽△ADF ，∴ABAD＝AEAF，∵AD＝kAB，∴ABAD＝1k，∴AEAF＝1k，∴AF＝kAE．（3）解：①如图1，当点F在DA上时，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AD＝2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF∵DF∥AB，∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，∴△GDF∽△GBA，∴GFGA＝DFBA＝12，∵AF＝GF＋AG，∴AG ＝23AF ∵△ABE ∽△ADF ， ∴AE AF ＝AB AD ＝24＝12，∴AE ＝12AF ＝12．在Rt △EAG 中，∠EAG ＝90°，∴EG ②如图2，当点F 在DC 的延长线上时，DF ＝CD ＋CF ＝2＋1＝3，在Rt △ADF 中，∠ADF ＝90°，∴AF ＝5．∵DF ∥AB ，∵∠GAB ＝∠GFD ，∠GBA ＝∠GDF ，∴△AGB ∽△FGD ， ∴AG FG ＝AB FD ＝23， ∵GF ＋AG ＝AF ＝5，∴AG ＝2，∵△ABE ∽△ADF ， ∴AE AF ＝AB AD ＝24＝12， ∴AE ＝12AF ＝12×5＝52，在Rt △EAG 中，∠EAG ＝90°，∴EG综上所述，EG． 23、【答案】（1）证明：如图2中，根据题意：AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD ＝90°， ∵∠CAE ＋∠BAE ＝∠BAD ＋∠BAE ＝90°，∴∠CAE ＝∠BAD ，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴CE ＝BD ；（2）证明：如图3中，根据题意：AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABD （SAS ），∴∠ACE ＝∠ABD ，∵∠ACE ＋∠AEC ＝90°，且∠AEC ＝∠FEB ，∴∠ABD ＋∠FEB ＝90°，∴∠EFB ＝90°，∴CF ⊥BD ，∵AB ＝AC＋1，AD ＝AE ＝1，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，∴BCAB2，CD ＝AC ＋AD＋2，∴BC ＝CD ，∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线；（3）解：△BCD 中，边BC 的长是定值，则BC 边上的高取最大值时△BCD 的面积有最大值， ∴当点D 在线段BC 的垂直平分线上时，△BCD 的面积取得最大值，如图4中：∵AB ＝AC ＋1，AD ＝AE ＝1，∠CAB ＝∠EAD ＝90°，DG ⊥BC 于G ，∴AG ＝12BC ，∠GAB ＝45°，∴DG ＝AG ＋AD ＋1，∠DAB ＝180°﹣45°＝135°，∴△BCD 的面积的最大值为：12BC·DG ＝12) 旋转角α＝135°．24、【答案】解：（1）证明：如图1，∵△ABC 是等边三角形∴∠ABQ ＝∠CAP ＝60°，AB ＝CA ，又∵点P 、Q 运动速度相同，∴AP ＝BQ ，在△ABQ 与△CAP 中，∵AB ＝CA ，∠ABQ ＝∠CAP ，AP ＝BQ ，∴△ABQ ≌△CAP （SAS ）；（2）点P 、Q 在AB 、BC 边上运动的过程中，∠QMC 不变．理由：∵△ABQ ≌△CAP ，∴∠BAQ ＝∠ACP ，∵∠QMC 是△ACM 的外角，∴∠QMC ＝∠ACP ＋∠MAC ＝∠BAQ ＋∠MAC ＝∠BAC ．∵∠BAC ＝60°，∴∠QMC ＝60°；（3）如图2，点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动时，∠QMC 不变．理由：同理可得，△ABQ ≌△CAP ，∴∠BAQ ＝∠ACP ，∵∠QMC 是△APM 的外角，∴∠QMC ＝∠BAQ ＋∠APM ，∴∠QMC ＝∠ACP ＋∠APM ＝180°－∠P AC ＝180°－60°＝120°，即若点P 、Q 在运动到终点后继续在射线AB 、BC 上运动，∠QMC 的度数为120°．25、【答案】解：（1）∵AB 长是x 2－3x －18＝0的根，∴AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ＝6，∠BCD ＝90°，∵∠DBC ＝30°，∴BD ＝2CD ＝12，BC ＝∵∠DBC ＝30°，CN ⊥BD ，∴CN ＝12BC ＝故填（2）如图，过点M 作MH ⊥BD 于H ，∵AD ∥BC ，∴∠ADB ＝∠DBC ＝30°，∴MH ＝12MD ＝23t ， ∵∠DBC ＝30°，CN ⊥BD ，∴BN ＝9，当0＜t ＜29时，△PMN 的面积s ＝12＋(9－2t )＋23t ＝－23t 2＋439t ；当t ＝29时，点P 与点N 重合，s ＝0，当29＜t ≤6时，△PMN 的面积s ＝12＋(2t －9)＋23t ＝23t 2－439t ；（3）如图，过点P 作PE ⊥BC 于E ，当PN ＝PM ＝9－2t 时，∵PM 2＝MH 2＋PH 2，∴(9－2t )2＝(23t )2＋(12－2t －23t )2， ∴t ＝3或t ＝37， ∴BP ＝6或314，当BP ＝6时，∵∠DBC ＝30°，PE ⊥BC ，∴PE ＝12BP ＝3，BE ＝3PE ＝33，∴点P （33，3），当BP ＝314时，同理可求点P （337，37），当PN ＝NM ＝9－2t 时，∵NM 2＝MH 2＋NH 2，∴(9－2t )2＝(23t )2＋(23t －3)2，∴t ＝3或24（不合题意舍去），∴BP ＝6，∴点P （33，3），综上所述：点P 坐标为（33，3）或（337，37）．26、【答案】解：（1）四边形BE'FE 是正方形，理由如下：∵将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°，∴∠AEB ＝∠CE'B ＝90°，BE ＝BE'，∠EBE'＝90°．又∵∠BEF ＝90°，∴四边形BE'FE 是矩形．又∵BE ＝BE'，∴四边形BE'FE 是正方形．（2）CF ＝E'F ；理由如下：如图②，过点D 作DH ⊥AE 于点H ， ∵DA ＝DE ，DH ⊥AE ，∴AH ＝12AE ，DH ⊥AE ．∴∠ADH ＋∠DAH ＝90°．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°．∴∠DAH ＋∠EAB ＝90°．∴∠ADH ＝∠EAB ．又∵AD ＝AB ，∠AHD ＝∠AEB ＝90°， ∴△ADH ≌△BAE (AAS)．∴AH ＝BE ＝12AE ．∵将Rt △ABE 绕点B 按顺时针方向旋转90°， ∴AE ＝CE'．∵四边形BE'FE 是正方形，∴BE ＝E'F ．∴E'F ＝12CE'．∴CF ＝E'F ．（3）如图①，过点D 作DH ⊥AE 于点H ， ∵四边形BE'FE 是正方形，∴BE'＝E'F ＝BE ．∵AB ＝BC ＝15，CF ＝3，BC 2＝E'B 2＋E'C 2， ∴225＝E'B 2＋(E'B ＋3)2．∴E'B ＝9＝BE ．∴CE'＝CF ＋E'F ＝12．由（2）可知：BE ＝AH ＝9，DH ＝AE ＝CE'＝12， ∴HE ＝3．∴DE ＝22DH HE ＋＝221449＋＝317．。

四川省渠县崇德实验学校2020中考九年级数学专题复习：解直角三角形测试试题(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020中考九年级数学专题复习：解直角三角形测试题（时间：100分钟，满分100分）一、选择题（每小题3分，共30分） 1.计算：2cos60°＝(A)A.1B. 3C. 2D.122.已知∠α为锐角，且sinα＝12，则∠α＝(A)A.30°B.45°C.60°D.90° 3.如图，小车沿着长41 m 的斜面AB 开上9 m 高的平台，则斜面的坡度是(C)A.941B.419C.940D.4094.如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠BAC 的值是(C)A.12B.2C.23D.325.如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC ＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA 等于(C)A.100sin35°米B.100sin55°米C.100tan35°米D.100tan55°米6.(如图，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边点F 处.已知AB ＝8，BC ＝10，则tan∠EFC 的值为(A)A.34B.43C.35D.457.小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度.如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等.小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为(A)A.11－sinα B.11＋sinαC.11－cosα D.11＋cosα8.在方格图中，称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”.如图，在5×5的正方形方格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC 是格点三角形，sin∠ACB 的值为(C)A.22 B.25 C.55 D.1059.如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 逆时针转动15°到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长度是(B)A.3 mB.3 3 mC.2 3 mD.4 m10.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，那么(sinθ－cosθ)2＝(A)A.15B.55C.355D.95 二、填空题（每小题3分，共24分）11.如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝5，若cos∠A＝513，则BC 的长为12.12.如图，在高出海平面100 m 的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，测得它的俯角为30°，则船与观测者之间的水平距离约为173__m(精确到1 m).13.如图，在△ABC 中，sinB ＝13，tanC ＝22，AB ＝3，则AC14.拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB 的坡比是1∶3，坝高BC ＝10 m ，则坡面AB 的长度是20m.15.如图，点D(0，3)，O(0，0)，C(4，0)在⊙A 上，BD 是⊙A 的一条弦，则sin∠OBD＝35.16.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，sinB ＝35，D 是BC 上一点，DE⊥AB 于点E ，CD ＝DE ，AC ＋CD ＝9，则BC ＝8.17.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠C＝72°，D 是AB 中点，点E 在AC 上，DE⊥AB，则cosA 418.如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α，∠β如图所示，则cos(α7三、解答题（共46分）19.汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固.如图，加固前大坝背水坡坡面从A 至B 共有30级阶梯，平均每级阶梯高30厘米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF 的坡度i ＝1∶5，问工程完工后，共需土石多少立方米？(计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号)解：过A 作AH⊥BC 于点H ，过E 作EG⊥BC 于点G ，则四边形EGHA 是矩形，∴EG＝AH ，GH ＝AE ＝2.∵AH＝30×30＝900(厘米)＝9(米)，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1， ∴AH＝BH ＝9.∴BG＝BH －HG ＝9－2＝7. ∵斜坡EF 的坡度i ＝1∶5，∴FG＝9 5. ∴BF＝FG －BG ＝95－7.∴S 梯形ABFE ＝12(2＋95－7)×9＝815－452.∴共需土石为815－452×200＝(8 1005－4 500)立方米.20.如图，为了测得某建筑物的高度AB ，在C 处用高为1米的测角仪CF ，测得该建筑物顶端A 的仰角为45°，再向建筑物方向前进40米，又测得该建筑物顶端A 的仰角为60°.求该建筑物的高度AB.(结果保留根号)解：设AM ＝x 米，在Rt△AFM 中，∠AFM＝45°， ∴FM＝AM ＝x.在Rt△AEM 中，tan∠AEM＝AMEM ，则EM ＝AM tan∠AEM ＝33x.由题意，得FM －EM ＝EF ，即x －33x ＝40. 解得x ＝60＋20 3. ∴AB＝AM ＋MB ＝61＋20 3.答：该建筑物的高度AB 为(61＋203)米.21.如图是云梯升降车示意图，其点A 位置固定，AC 可伸缩且可绕点A 转动，已知点A 距离地面BD 的高度AH 为3.4 m.当AC 长度为9 m ，张角∠HAC 为119°时，求云梯升降车最高点C 距离地面的高度.(结果保留一位小数.参考数据：sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55)解：过点C 作CE⊥BD 于点E ，过点A 作AF⊥CE 于点F ，易得四边形AHEF 为矩形，∴EF＝AH ＝3.4 m ，∠HAF＝90°.∴∠CAF＝∠CAH－∠HAF＝119°－90°＝29°. 在Rt△ACF 中，∵sin∠CAF＝CFAC .∴CF＝9×sin29°≈9×0.48＝4.32. ∴CE＝CF ＋EF ＝4.32＋3.4≈7.7(m).答：云梯升降车最高点C 距离地面的高度约为7.7 m.22.如图，某海监船以60海里/时的速度从A 处出发沿正西方向巡逻，一可疑船只在A 的西北方向的C 处，海监船航行1.5小时到达B 处时接到报警，需巡査此可疑船只，此时可疑船只仍在B 的北偏西30°方向的C 处，然后，可疑船只以一定速度向正西方向逃离，海监船立刻加速以90海里/时的速度追击，在D 处海监船追到可疑船只，D 在B 的北偏西60°方向.(以下结果保留根号)(1)求B ，C 两处之间的距离； (2)求海监船追到可疑船只所用的时间. 解：(1)作CE⊥AB 于点E ，则∠CEA＝90°. 由题意，得AB ＝60×1.5＝90，∠CAB＝45°，∠CBN＝30°，∠DBN＝60°， ∴△ACE 是等腰直角三角形，∠CBE＝60°. ∴CE＝AE ，∠BCE＝30°. ∴CE＝3BE ，BC ＝2BE.设BE ＝x ，则CE ＝3x ，AE ＝BE ＋AB ＝x ＋90， ∴3x ＝x ＋90，解得x ＝453＋45.∴BC＝2x ＝903＋90.答：B ，C 两处之间的距离为(903＋90)海里. (2)作D F⊥AB 于点F ，则DF ＝CE ＝3x ＝135＋453，∠DBF＝90°－60°＝30°. ∴BD＝2DF ＝270＋90 3.∴海监船追到可疑船只所用的时间为270＋90390＝(3＋3)小时.答：海监船追到可疑船只所用的时间为(3＋3)小时.。

(完整版)2020年中考数学专题复习学案：折叠类题目中的动点问题(含答案).doc

在BC边上可移动的最大距离为
.
图例1-1
【答案】2.
【解析】此题根据题目要求准确判断出点A'的最左端和最右端位置.当点Q与点D重合时，A'的位置处于最左端，当点
P与点B重合时，点A'的位置处于最右端.根据分析结果，作出图形，利用折叠性质分别求出两种情况下的BA'或CA'的长度，
二者之差即为所求.
①当点Q与点D重合时，Aபைடு நூலகம்的位置处于最左端，如图例1-2所示.
tan30
BC
3
3=
3，AB
2AC=2
3
3
∵∠EAF=90°
∴∠AFC=60°，∠CAF=30°
在Rt△ACF中，有：AF
AC
cos
3
=2，BF 2AF 4
CAF = 3
2
BD
DF
BF
2
由折叠性质可得：∠B=∠DFE=30°，
1
2
②当∠AFE=90°时，如图例3-3所示.
由折叠性质得：∠B=∠DFE=30°，BD
（2）根据DC=2DF，设DF=FC=x，AE=ED=y
由折叠性质及（1）知BF=BG+GF=AB+GF=3x
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
BF2=BC2+CF2
(3x)2=(2y)2+x2
即：y
2x
AD
2 y
∴
2
AB
2 x
（3）设AE=ED=y，DF=x，根据DC=nDF，得CD=nx，FC=(n－1)x；
专题：折叠类题目中的动点问题
折叠问题是中考的热点也是难点问题，通常与动点问题结合起来，这类问题的题设通常是将某个图形按一定的条件折叠，

2020中考数学图形折叠与拼接问题（含答案）

2020中考数学图形折叠与拼接问题（含答案）2020中考数学⼏何培优之图形折叠与拼接问题（含答案）【例1】如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，点D 落在D '处，则重叠部分△AFC 的⾯积为＿＿＿＿＿.例1题图例2题图【例2】如图，直线26y x =-+ 与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点，把△POQ 沿PQ 翻折，点O 落在R 处，则点R 的坐标是（）A .2412(,)55B .（2,1）C .（6,3）D .（7，3.5）【例3】如图，将边长为12cm 的正⽅形ABCD 折叠，使得A 点落在CD 边上点E 处，然后压平折痕FG ，若FG ＝13cm ，求CE 长.【例4】将⼀矩形纸⽚OABC 放在平⾯直⾓坐标系中，(00)O ，，(60)A ，，(03)C ，．动点Q 从点O 出发以每秒1个单位长的速度沿OC 向终点C 运动，运动23秒时，动点P 从点A 出发以相等的速度沿AO 向终点O 运动．当其中⼀点到达终点时，另⼀点也停⽌运动．设点P 的运动时间A（1）⽤含t 的代数式表⽰OP OQ ，；（2）当1t 时，如图1，将OPQ △沿PQ 翻折，点O 恰好落在CB 边上的点D 处，求点D 的坐标；（3）连结AC ，将OPQ △沿PQ 翻折，得到EPQ △，如图2．问：PQ 与AC 能否平⾏？PE 与AC 能否垂直？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．【例5】⽤10个边长分别为3，5，6，11，17，19，22，23，24，25的正⽅形，可以拼接⼀个长⽅形.（1）求这个长⽅形的长和宽；（2）请画出拼接图.【例6】将正⽅形纸⽚ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 交于点G.（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ：DM ：EM ＝3：4：5；（2）如果M 为CD 边上的任意⼀点，设AB ＝2a ，问△CMG 的周长是否有与点M 的位置关系？若有关，请把△CMG 的周长⽤含CM 的长x 的代数式表⽰；若⽆关，请说明理由．图1能⼒训练1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，若将矩形折叠，使B点与D点重合，则折痕EF的长为＿＿＿cm.2、如图，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝10，将此矩形折叠使B点落在AD边上的中点E处，则折痕FG的长为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图是⽤12个全等的等腰梯形镶嵌成的图形，这个等腰梯形的上底与下底长的⽐是_____.4、如图，EF为正⽅形纸ABCD的对折线，将∠A沿DK折叠，使它的顶点A落在EF上的G 点，则∠DKG＝_______度.5、如图，已知等边△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使80，则∠EGC的度数点B落在点B′处，DB′，EB′分别交边AC于点F，G，若∠ADF＝0为________.第4题图第5题图第6题图6、将⼀张长为70cm的长⽅形纸⽚ABCD沿对称轴EF折叠成如图的形状，若折叠后，AB与CD间的距离为60cm，则原纸⽚的宽AB是______cm.7、如图，在矩形纸⽚ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸⽚使AB 边与对⾓线AC 重合，点B 落在F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A .3B .4C .5D .68、如图，在△ABC 中，∠C ＝900，BC ＝6，D ，E 分别在AB ，AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A ′处，若A ′为CE 的中点，则折痕DE 的长为 ( )A .B 、2C 、3D 、4第7题图第8题图第9题图9、如图，有⼀块菱形的草地，要在其上⾯修筑两条笔直的道路，道路把这块草地分成⾯积相等的四部分，如果道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的⽅案. 10、如图，折叠矩形纸⽚ABCD ，先折出折痕(对⾓线)BD ，再折叠使AD 边与对⾓线BD 重合，得折线DG ，若AB ＝2，BC ＝1，求AG.11、如图，折叠矩形ABCD 的⼀边AD ，使点D 落在BC 边上的点F处，已知折痕3.4EC AE FC == ，求矩形ABCD 的周长.EA12、如图1，⼀张矩形纸⽚ABCD，其中AD＝8cm，AB＝6cm，先沿对⾓线BD对折，点C落在点C′处的位置，BC′交AD于点(1) 求证：AG＝G(2) 如图2，再折叠⼀次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长.B级1、如图，⼀张宽为3，长为4的矩形纸⽚ABCD，先沿对⾓线BD对折，点C落在C′的位置，BC′交AD于G，再折叠⼀次使D点与A点重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME 的长为__________.2、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝3cm，BC＝4cm，现将A，C重合，使纸⽚折叠压平，设折痕为EF，则重叠部分△AFE的⾯积为_________.第1题图第2题图第3题图3、如图，矩形ABCD沿直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，若AD＝8，AB＝4，则DE的长为________.4、如图，把矩形纸⽚OABC放⼊平⾯直⾓坐标系中，使OA，OC分别落在x轴上，y轴上，连结AC，将矩形纸⽚OABC沿AC 折叠，使点B落在点D的位置，若B(1，2)，则点D的横坐标是______.5、如图，在平⾯直⾓坐标系中，已知直线334y x=-+与x轴，y轴分别交于A，B两点，第4题图第5题图第6题图6、如图，矩形纸⽚ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有⼀点E，ED＝2cm，AD上有⼀点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD 交BC于F，将纸⽚折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_____cm.7、在三⾓形纸⽚ABC中，已知∠ABC＝900，AB＝6，BC＝8，过点A作直线l平⾏于BC，折叠三⾓形纸⽚ABC，使直⾓顶点B落在直线上的T处，折痕为MN，当点T在直线l上移动时，折痕的端点M，N也随之移动，若限定端点M，N分别在AB，BC边上移动，则线段AT 长度的最⼤值与最⼩值之和为__________(计算结果不取近似值)8、如图，矩形纸⽚ABCD中，AB＝8，将纸⽚折叠，使顶点B落在边AD上的E点处，BG＝10.（1）当折痕的另⼀端F在AB边上时，如图．求△EFG的⾯积；（2）当折痕的另⼀端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF 的长.9、如图，已知三⾓形纸⽚ABC的⾯积为25，BC的长为10，∠B，∠C都为锐⾓，M是AB 边上的⼀动点(M与A，B不重合)，过点M作MN∥BC交AC于点N，设MN＝x.(1）⽤x表⽰△AMN的⾯积；（2）△AMN沿MN折叠，使△AMN紧贴四边形BCNM（边AM、AN落在四边形BCNM 所在的平⾯内），设点A落在平⾯BCNM 内的点A′，△A′MN与四边形BCNM重叠部分的⾯积为y．①⽤含x的代数式表⽰y，并写出x的取值范围．10、如图：⼀正⽅形纸⽚，根据要求进⾏多次分割，把它分割成若⼲个直⾓三⾓形．具体操作过程如下：第⼀次分割：将正⽅形纸⽚分成4个全等的直⾓三⾓形；第⼆次分割：将上次得到的直⾓三⾓形中的⼀个再分成4个全等的直⾓三⾓形；以后按第⼆次分割的⽅法重复进⾏．（1）请你设计出两种符合题意的分割⽅案（分割3次）；（2）设正⽅形的边长为a，请你通过对其中⼀种⽅案的操作和观察，将第⼆、第三次分割后所得的最⼩的直⾓三⾓形的⾯积S 填⼊下表：（3）在条件（2）下，请你猜想：分割所得的最⼩直⾓三⾓形⾯积S 与分割次数n 有什么关系？⽤数学表达式表⽰出来．11、如图1，将边长为4cm 的正⽅形纸⽚ABCD 沿EF 折叠(点E ，F 分别在边AB ，CD 上)，使点B 落在AD 边上的点M 处，点C 落在点N 处，MN 与CD 交于点P ，连结EP .(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①△AEM 的周长＝_________cm ；②求证：EP ＝AE ＋DP ；（2）随着落点M 在AD 边上取遍所有的位置（点M 不与A 、D 重合），△PDM 的周长是否发⽣变化？请说明理由.12、如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝1，点P 在线段AB 上运动，设AP ＝x ，现将纸⽚折叠，使点D 与点P 重合，得折痕EF (点E ，F 为折痕与矩形边的交点)，再将纸⽚还原.（1）当0 x 时，折痕EF 的长为________；（2）写出使四边形EPFD 为菱形的x 的取值范围，并求出当x ＝2时菱形的边长；（3）令2EF ＝y ，当点E 在AD 上、点F 在BC 上时，写出y 与x 的函数关系式（写出x的取值范围），当y 取最⼤值时，判断△EAP 与△PBF 是否相似．若相似，求出x 的值；若不相似，请说明理由.参考答案例1 10例2 A 提⽰：作RE ⊥y 轴于E ，RF ⊥x 轴于F ，则Rt △QRE ∽Rt △PRF ，从⽽PFQERF RE PR QR ==，设R (x ，y )，⼜PR ＝OP ＝3，QR ＝OQ ＝6，于是3636--==x y y x ，得x ＝524，y ＝512．例3 7 提⽰：过F 作FM ⊥BC 于M ，证明△FGM ≌△ADE ，则FG ＝AE ＝13，DE ＝5 例4 （1）OP ＝6－t ，OQ ＝t ＋32（2）D (1，3) （3）①PQ 能与AC 平⾏，若PQ ∥AC ，则OC OA OQ OP =，即326+-t t ＝36．得t ＝914，⽽0≤t ≤37，∴t ＝914．②PE 不能与AC 垂直．若PE ⊥AC ，延长QE 交OA 于F ，则OC OQ AC QF =，即33253+=t QF，QF ＝5(t ＋32)．∴EF ＝QF －QE ＝QF －OQ ＝5(t ＋32)－(t ＋32)＝(5－1)t ＋32(5－1)．⼜Rt △EPF ∽Rt △OCA ，∴OA OC EF PE =，即63)32)(15(6=+--t t ，t ≈3.45，⽽0≤t ≤37，∴t 不存在．例5 （1）10个正⽅形的⾯积和：32＋52＋62＋112＋172＋192＋222＋232＋242＋252＝3055＝5×13×47．因为所拼成的长⽅形⾯积是3055．长⽅形的宽显然≥25，所以它的宽应当是47，长应当是5×13＝65．（2）注意23+24=47,25+22=47,23+17+25=65,24+19+22=65.由此便可得拼图.（图略）例6 提⽰：（1）证明：设正⽅形边长为a ，DE 为x ，则DM =（2）设DE=y，则DM=2a-x，EM=2a-y，可证明△DEM∽△CMG.△周长△周长==△CMG的周长△周长，在△DEM中，由勾股定理得（2）2=2+（2）2，化简得4ay=x（4a-x）即. ∴△CMG的周长=44（y+2a-x+2a-y）=（4a-x）=4a，为定值.A级1. 2.656 3.1:2 4.75° 5.80° 6.10 提⽰：长⽅形纸⽚折叠时，AB与CD间的距离缩短了10cm。

四川省渠县崇德实验学校2020年九年级数学中考专题复习：投影和视图、尺规作图练习题(含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：投影与视图、尺规作图练习题一、选择题1．正方形的正投影不可能是(D)A．线段 B．矩形 C．正方形 D．梯形2．如图，将下面的平面图形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是(D)3．用一个平面去截正方体(如图)，下列关于截面(截出的面)的形状的结论：①可能是锐角三角形；②可能是直角三角形；③可能是钝角三角形；④可能是平行四边形．其中所有正确结论的序号是(B)A．①② B．①④ C．①②④ D．①②③④4．如图所示的几何体的左视图是(B)5．下列立体图形中，左视图是圆的是(D)6．如图是手提水果篮抽象的几何体，以箭头所指的方向为主视图方向，则它的俯视图为(A)7．如图1是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图2.关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是(C)A．主视图相同 B．左视图相同 C．俯视图相同 D．三种视图都不相同8．如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的小正方体搭成，下列说法正确的是(A)A．主视图的面积为4 B．左视图的面积为4 C．俯视图的面积为3 D．三种视图的面积都是49．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点B和点C为圆心，大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于D，E两点，作直线DE交AB于点F，交BC于点G，连接CF.若AC＝3，CG＝2，则CF的长为(A)A.52B．3 C．2 D.7210．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为(C)A．40° B．45° C．50° D．60°11．如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体的个数最少是(B)A．6 B．5 C．4 D．312．一个圆柱的三视图如图所示，若其俯视图为圆，则这个圆柱的体积为(B)A．24 B．24π C．96 D．96π13．某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是(D)A．青 B．来 C．斗 D．奋14．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是(C)15．如图，在▱ABCD中，∠BDC＝47°42′，依据尺规作图的痕迹，计算∠α的度数是(D)A．67°29′ B．67°9′ C．66°29′ D．66°9′16．如图是一个几何体的平面展开图，这个几何体是(C)17．由若干个大小形状完全相同的小立方块所搭几何体的俯视图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，则这个几何体的主视图是(A)18．如图，分别以线段AB的两个端点为圆心，大于AB的一半的长为半径画弧，两弧分别交于C，D两点，连接AC，BC，AD，BD，则四边形ADBC一定是(D)A．正方形 B．矩形 C．梯形 D．菱形19．图2是图1中长方体的三视图，若用S表示面积，S主＝x2＋2x，S左＝x2＋x，则S俯＝(A)A ．x 2＋3x ＋2B ．x 2＋2C ．x 2＋2x ＋1D ．2x 2＋3x20．如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B 出发，沿表面爬到AC 的中点D处，则最短路线长为(D)A ．3 2 B.332C ．3D ．3 321．已知∠AOB ＝60°，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，交OA ，OB 于点M ，N ，分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内交于点P ，以OP 为边作∠POC ＝15°，则∠BOC的度数为(D)A ．15°B ．45°C ．15°或30°D ．15°或45° 二、填空题22．已知：∠AOB ，求作：∠AOB 的平分线．作法：①以点O 为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点C ；③画射线OC.射线OC 即为所求．上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是SSS ．23．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，按以下步骤作图：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AO ，AB 于点M ，N ；②以点O 为圆心，AM 的长为半径作弧，交OC 于点M ′；③以点M ′为圆心，MN 的长为半径作弧，在∠COB 内部交前面的弧于点N ′；④过点N ′作射线ON ′交BC 于点E.若AB ＝8，则线段OE 的长为4．24．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点B 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交AB ，BC于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线BP 交AC 于点D.若∠A ＝30°，则S △BCDS △ABD＝12．三、解答题及作图题25．已知：∠α，直线l及l上两点A，B.求作：Rt△ABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α.解：如图，△ABC为所作．26．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高．请用尺规作图法，求作△ABC的外接圆．(保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示．27．在△ABC中，AB＝AC，点A在以BC为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)．(1)在图1中作弦EF，使EF∥BC；(2)在图2中以BC为边作一个45°的圆周角．解：(1)如图1，EF为所作．(2)如图2，∠BCD为所作．28．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：①以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点G；分别以点G，B为圆心，大于12GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；②以点B为圆心，适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E.请你观察图形，根据操作结果解答下列问题：(1)线段CD 与CE 的大小关系是CD ＝CE ；(2)过点D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于点F.若AC ＝12，BC ＝5，求tan ∠DBF 的值．解：∵BD 平分∠CBF ，BC ⊥CD ，BF ⊥DF ， ∴BC ＝BF ，∠CBD ＝∠FBD. 在△BCD 和△BFD 中， ⎩⎨⎧∠DCB ＝∠DFB ，∠CBD ＝∠FBD ，BD ＝BD ，∴△BCD ≌△BFD(AAS)． ∴CD ＝DF.设CD ＝DF ＝x ，在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝13，∴sin ∠DAF ＝DF AD ＝BC AB ，即x 12＋x ＝513，解得x ＝152.∵BC ＝BF ＝5，∴tan ∠DBF ＝DF BF ＝152×15＝32.。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学概率专题复习题(含答案,教师版)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学:概率专题复习题1、甲、乙两队进行打乒乓球团体赛，比赛规则规定：两队之间进行3局比赛，3局比赛必须全部打完，只要赢满2局的队为获胜队，假如甲、乙两队之间每局比赛输赢的机会相同，且甲队已经赢得了第1局比赛，那么甲队最终获胜的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）1、解：根据题意画出树状图如下：一共有4种情况，确保两局胜的有4种，所以，P=．2、为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的2、解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=．3、为了解学生的体能情况，随机选取了1000名学生进行调查，并记录了他们对长跑、短跑、跳绳、跳远四个项目的喜欢情况，整理成以下统计表，其中“√”表示喜欢，“×”表示不喜欢．长跑短跑跳绳跳远200 √×√√300 ×√×√150 √√√×200 √×√×150 √×××（1）估计学生同时喜欢短跑和跳绳的概率；（2）估计学生在长跑、短跑、跳绳、跳远中同时喜欢三个项目的概率；（3）如果学生喜欢长跑、则该同学同时喜欢短跑、跳绳、跳远中哪项的可能性大？3、解：（1）同时喜欢短跑和跳绳的概率==；（2）同时喜欢三个项目的概率==；（3）同时喜欢短跑的概率==，同时喜欢跳绳的概率==，同时喜欢跳远的概率==，∵，[来源:学科网ZXXK]∴同时喜欢跳绳的可能性大．4、某超市为庆祝开业举办大酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店购物的顾客，都能获得一次抽奖的机会，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子里装有分别标有数字1、2、3、4的4个小球，它们的形状、大小、质地完全相同，顾客先从盒子里随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，然后把小球放回盒子并搅拌均匀，再从盒子中随机取出一个小球，记下小球上标有的数字，并计算两次记下的数字之和，若两次所得的数字之和为8，则可获得50元代金券一张；若所得的数字之和为6，则可获得30元代金券一张；若所得的数字之和为5，则可获得15元代金券一张；其他情况都不中奖．4、解：（1）列表得：1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8（2）由列表可知，所有可能出现的结果一共有16种，这些结果出现的可能性相同，其中两次所得数字之和为8、6、5的结果有8种，所以抽奖一次中奖的概率为：P==．答：抽奖一次能中奖的概率为．5、小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做游戏，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．转动两个转盘各一次，若两次数字之积大于2，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．5、解：这个游戏对双方是公平的．列表得：∴一共有6种情况，积大于2的有3种，∴P（积大于2）==，∴这个游戏对双方是公平的．6、一袋中装有形状大小都相同的四个小球，每个小球上各标有一个数字，分别是1，4，7，8．现规定从袋中任取一个小球，对应的数字作为一个两位数的个位数；然后将小球放回袋中并搅拌均匀，再任取一个小球，对应的数字作为这个两位数的十位数．（1）写出按上述规定得到所有可能的两位数；（2）从这些两位数中任取一个，求其算术平方根大于4且小于7的概率．6、解：（1）画树状图：共有16种等可能的结果数，它们是：11，41，71，81，14，44，74，84，17，47，77，87，18，48，78，88；（2）算术平方根大于4且小于7的结果数为6，所以算术平方根大于4且小于7的概率==．7、在一个不透明的口袋中装有1个红球，1个绿球和1个白球，这3个球除颜色不同外，其它都相同，从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色．然后放回口袋并摇匀，再从口袋中随机摸出1个球，记录其颜色，请利用画树状图或列表的方法，求两次摸到的球都是红球的概率．7、解：画树状图得：∵共有9种等可能的结果，摸到的两个球都是红球的有1种情况，∴两次摸到的球都是红球的概率=．8、在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字﹣1、0、2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为；（2）小丽先从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标．再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率．8、解：（1）随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率=；故答案为；（2）画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的结果数为6，所以点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）的概率==．9、甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5．将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．（1）甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；（2）若两人抽取的数字和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．9、解：（1）所有可能出现的结果如图：从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为：；（2）不公平．从表格可以看出，两人抽取数字和为2的倍数有5种，两人抽取数字和为5的倍数有3种，所以甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：．∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．10、一个盒子里有标号分别为1，2，3，4，5，6的六个小球，这些小球除标号数字外都相同．（1）从盒中随机摸出一个小球，求摸到标号数字为奇数的小球的概率；（2）甲、乙两人用着六个小球玩摸球游戏，规则是：甲从盒中随机摸出一个小球，记下标号数字后放回盒里，充分摇匀后，乙再从盒中随机摸出一个小球，并记下标号数字．若两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数，则判甲赢；若两次摸到小球的标号数字为一奇一偶，则判乙赢．请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平．10、解：（1）∵1，2，3，4，5，6六个小球，∴摸到标号数字为奇数的小球的概率为： =；（2）画树状图：如图所示，共有36种等可能的情况，两次摸到小球的标号数字同为奇数或同为偶数的有18种，摸到小球的标号数字为一奇一偶的结果有18种，∴P（甲）==，P（乙）==，∴这个游戏对甲、乙两人是公平的．11、某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：①如图，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”（当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”）；③假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；④当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同（与字的顺序无关），便可获得相应奖品一瓶；不相同时，不能获得任何奖品．根据以上规则，回答下列问题：（1）求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；（2）有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．11、解：（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：；（2）画树状图得：∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况，∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：．12、教室里有4排日光灯，每排灯各由一个开关控制，但灯的排数序号与开关序号不一定对应，其中控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮）．（1）将4个开关都闭合时，教室里所有灯都亮起的概率是；（2）在4个开关都闭合的情况下，不知情的雷老师准备做光学实验，由于灯光太强，他需要关掉部分灯，于是随机将4个开关中的2个断开，请用列表或画树状图的方法，求恰好关掉第一排与第三排灯的概率．12、解：（1）因为控制第二排灯的开关已坏（闭合开关时灯也不亮，所以将4个开关都闭合时，所以教室里所有灯都亮起的概率是0；故答案为0；（2）用1、2、3、4分别表示第一排、第二排、第三排和第四排灯，画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好关掉第一排与第三排灯的结果数为2，所以恰好关掉第一排与第三排灯的概率==．13、甲、乙两校分别有一男一女共4名教师报名到农村中学支教．（1）若从甲、乙两校报名的教师中分别随机选1名，则所选的2名教师性别相同的概率是．（2）若从报名的4名教师中随机选2名，用列表或画树状图的方法求出这2名教师来自同一所学校的概率．13、解：（1）根据题意画图如下：共有4种情况，其中所选的2名教师性别相同的有2种，则所选的2名教师性别相同的概率是=；故答案为：；（2）将甲、乙两校报名的教师分别记为甲1、甲2、乙1、乙2（注：1表示男教师，2表示女教师），树状图如图所示：==．所以P（两名教师来自同一所学校）14、在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张（不放回），再从剩下的卡片中随机抽取一张．（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；（2）我们知道，满足a2+b2=c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．14、解：（1）画树状图为：共有12种等可能的结果数；（2）抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6，所以抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率==．15、甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果；（2）求出两个数字之和能被3整除的概率．15、解：（1）树状图如下：（2）∵共6种情况，两个数字之和能被3整除的情况数有2种，∴两个数字之和能被3整除的概率为，即P（两个数字之和能被3整除）=．16、在一次数学文化课题活动中，把一副数学文化创意扑克牌中的4张扑克牌（如图所示）洗匀后正面向下放在桌面上，从中随机抽取2张牌.请你用列表或画树状图的方法，求抽取的2张牌的数字之和为偶数的概率.16、解：……………………4分由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种，它们出现的可能性相等，抽取的2张牌的数字之和为偶数的有4种.P（抽取的2张牌的数字之和为偶数）＝31124.…………………………………………………8分17、A、B两组卡片共5张，A中三张分别写有数字2，4，6，B中两张分别写有3，5，它们除数字外没有任何区别．（1）随机地从A中抽取一张，求抽到数字为2的概率；（2）随机地分别从A、B中各抽取一张，请你用画树状图或列表的方法表示所有等可能的结果．现制定这样一个游戏规则：若所选出的两数之积为3的倍数，则甲获胜；否则乙获胜．请问这样的游戏规则对甲乙双方公平吗？为什么？17、解：（1）P=；（2）由题意画出树状图如下：一共有6种情况，甲获胜的情况有4种，P==，乙获胜的情况有2种，P==，所以，这样的游戏规则对甲乙双方不公平．18、有四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上洗均匀．（1）随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率；（2）随机抽取一张卡片，然后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表或画树状图的方法求出第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率．18、解：（1）∵四张正面分别标有数字1，2，3，4的不透明卡片，∴随机抽取一张卡片，求抽到数字“2”的概率=；（2）列树状图为：由树形图可知：第一次抽到数字“1”且第二次抽到数字“2”的概率=．19、小明、小林是三河中学九年级的同班同学。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：翻折问题练习试题(无答案)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：翻折问题练习题1、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处．（1）求EF的长；（2）求梯形ABCE的面积．2、如图，在直角坐标系中放入一个边长OC为9的矩形纸片ABCO．将纸片翻折后，点B恰好落在x轴上，记为B′，折痕为CE，已知tan∠OB′C=34（1）求B′点的坐标；（2）求折痕CE所在直线的解析式．3、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿AB向下翻折后，再绕点A按顺时针方向旋转α度（α＜∠BAC），得到Rt△ADE，其中斜边AE交BC于点F，直角边DE分别交AB、BC于点G、H．（1）请根据题意用实线补全图形；（2）求证：△AFB≌△AGE．4、已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标洗中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．5、如图（1），在矩形ABCD中，把∠B、∠D分别翻折，使点B、D恰好落在对角线AC上的点E、F处，折痕分别为CM、AN，（1）求证：△ADN≌△CBM；（2）请连接MF、NE，证明四边形MFNE是平行四边形；四边形MFNE是菱形吗？请说明理由；（3）点P、Q是矩形的边CD、AB上的两点，连接PQ、CQ、MN，如图（2）所示，若PQ=CQ，PQ∥MN，且AB=4cm，BC=3cm，求PC的长度．6、如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．7、在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．动点M、N分别在两腰AB、AC上（M不与A、B重合，N不与A、C重合），且MN∥BC．将△AMN沿MN所在的直线折叠，使点A的对应点为P．（1）当MN为何值时，点P恰好落在BC上？（2）当MN=x，△MNP与等腰△ABC重叠部分的面积为y，试写出y与x的函数关系式．当x为何值时，y的值最大，最大值是多少？8、如图，ABCD是一张边AB长为2，边AD长为1的矩形纸片，沿过点B的折痕将A角翻折，使得点A落在边CD上的点A′处，折痕交边AD于点E．（1）求∠DA′E的大小；（2）求△A′BE的面积．9、在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；（2）若BD=1，CD=2，试求四边形AEMF的面积．10、如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=1，点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原．（1）当x=0时，折痕EF的长为 ______；当点E与点A重合时，折痕EF的长为_____ ；（2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；（3）令EF2=y，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式．当y取最大值时，判断△EAP与△PBF是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由．温馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！11、如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．12、如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，BG=10．（1）当折痕的另一端F在AB边上时，如图．求△EFG的面积；（2）当折痕的另一端F在AD边上时，如图．证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．13、将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（6，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长的速度沿OC向终点C运动，运动23秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP，OQ；（2）当t=1时，如图1，将沿△OPQ沿PQ翻折，点O恰好落在CB边上的点D处，求点D的坐标；（3）连接AC，将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，如图2．问：PQ与AC能否平行？PE与AC能否垂直？若能，求出相应的t值；若不能，说明理由．14、正方形ABCD的边长为4，BE∥AC交DC的延长线于E．（1）如图1，连接AE，求△AED的面积．（2）如图2，设P为BE上（异于B、E两点）的一动点，连接AP、CP，请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积有怎样的大小关系？并说明理由．（3）如图3，在点P的运动过程中，过P作PF⊥BC交AC于F，将正方形ABCD 折叠，使点D与点F重合，其折线MN与PF的延长线交于点Q，以正方形的BC、BA为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设点Q的坐标为（x,y）求y与x之间的函数关系式．15、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）．请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论；（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？（3）设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系．设直线BM′为y=kx，当∠M′BC=60°时，求k的值．此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（E、F分别为AB、CD中点），为什么？16、如图，已知矩形ABCD．（1）在图中作出△CDB沿对角线BD所在的直线对折后的△C′DB，C点的对应点为C′（用尺规作图，保留清晰的作图痕迹，简要写明作法）；（2）设C′B与AD的交点为E，若△EBD的面积是整个矩形面积的13，求∠DBC的度数．17、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，点E，F分别在AB，AC上，把∠A沿着EF对折，使点A落在BC上点D处，且使ED⊥BC．（1）猜测AE与BE的数量关系，并说明理由；（2）求证：四边形AEDF是菱形．18、如图（1），矩形纸片ABCD中，AD=28cm，AB=20cm．（1）将矩形ABCD沿折线AE对折，使AB与AD边重合，B点落在F点处（如图（2）所示）；再剪去四边形CEFD，余下的部分如图（3）所示．若将余下的纸片展形，则所得的四边形ABEF的形状是________ ，它的面积为___________ cm2．（2）将图（3）中的纸片沿折线AG对折，使AF与AE边重合，F点落在H点处（如图（4）所示），再沿HG将△HE剪去，余下的部分如图（5）所示．把图（5）的纸片完全展开，请你在图（6）的矩形ABCD中画出展开后图形的示意图，剪去的部分用阴影表示，折痕用虚线表示．（3）求图（5）中的纸片完全展形后图形的面积（结果保留整数）．19、如图，在平面直角坐标系中，已知A（-10，0），B（-8，6），O为坐标原点，△OAB沿AB翻折得到△PAB．将四边形OAPB先向下平移3个单位长度，再向右平移m（m＞0）个单位长度，得到四边形O1A1P1B1．设四边形O1A1P1B1与四边形OAPB重叠部分图形的周长为l．（1）求A1、P1两点的坐标（用含m的式子表示）；（2）求周长l与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．20、在平面直角坐标系中，放置一个如图所示的直角三角形纸片AOB，已知OA=2，∠AOB=30度．D、E两点同时从原点O出发，D点以每秒 3个单位长度的速度沿x轴正方向运动，E点以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设D、E 两点的运动时间为t秒．（1）点A的坐标为 __________，点B的坐标为 _______________；（2）在点D、E的运动过程中，直线DE与直线OA垂直吗？请说明理由；（3）当时间t在什么范围时，直线DE与线段OA有公共点？（4）将直角三角形纸片AOB在直线DE下方的部分沿DE向上折叠，设折叠后重叠部分面积为S，请写出S与t的函数关系式，并求出S的最大值．。

2020中考数学压轴专题三大几何变换之折叠问题(含答案)

2020中考数学压轴专题三大几何变换之折叠问题（含答案）1. 如图，E，F分别是▱ABCD的边AD，BC上的点，EF＝6，∠DEF＝60°，将四边形EFCD沿EF翻折．得到四边形EFC′D′，ED′交BC于点G，则△GEF的周长为()A. 6B. 12C. 18D. 24第1题图C2. 如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为()A. 53 B.52 C. 4 D. 5第2题图C3. 如图，将边长为4的菱形ABCD纸片折叠，使点A恰好落在对角线的交点O处，若折痕EF＝23，则∠A＝()A. 120°B. 100°C. 60°D. 30°第3题图A【解析】如解图，连接AC，则两条对角线交于点O，∵点A沿EF折叠与点O重合，∴EF垂直平分AO，∵AO⊥BD，AO⊥EF，∴EF∥BD，∴EF是△ABD的中位线，∴EF＝12BD，∴BD＝43，∴BO＝DO＝12BD＝23，∵AB＝4，∴cos∠ABO＝BOAB＝234＝32，∴∠ABO＝30°，∴∠BAO＝60°，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠BAD，∴∠A＝120°，故选A.第3题解图4. 如图的实线部分是由Rt △ABC 经过两次折叠得到的，首先将Rt △ABC 沿BD 折叠，使点C 落在斜边上的点C ′处，再沿ED 折叠，使点A 落在DC ′的延长线上的点A ′处，若图中∠C ＝90°，∠A ＝30°，BC ＝5 cm ，则折痕DE 的长为________．第4题图103【解析】∵∠A ＝30°，∠C ＝90°，∴∠ABC ＝180°－∠C －∠A ＝60°，根据折叠的性质可得，∠DBC ′＝∠DBC ＝12∠ABC ＝12×60°＝30°，在Rt △BCD 中，cos ∠DBC ＝BCBD ，∴BD ＝BC cos ∠DBC ＝5cos30°＝1033，∵∠CDB ＝180°－∠C －∠DBC ＝180°－90°－30°＝60°，∴∠BDA ′＝∠CDB ＝60°，∴∠ADA ′＝180°－∠CDB －∠BDA ′＝180°－60°－60°＝60°，∵DE 是折痕，根据折叠的性质可得，∠EDA ′＝12∠ADA ′＝12×60°＝30°，∴∠BDE ＝∠BDA ′＋∠EDA ′＝60°＋30°＝90°，在Rt △BED 中，DE ＝BD ·tan30°＝1033×33＝103.5. 将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF .若AB ＝6，则BC 的长为________．第5题图23 【解析】∵四边形AECF 是菱形，AB ＝6，假设BE ＝x ，则AE ＝6－x ，∴CE ＝6－x ，∵四边形AECF 是菱形，∴∠FCO ＝∠ECO ，∵∠ECO ＝∠ECB ，∴∠ECO ＝∠ECB ＝∠FCO ＝30°，2BE ＝CE ，∴CE ＝2x ，∴2x ＝6－x ，解得：x ＝2，∴CE ＝4，利用勾股定理得出：BC 2＋BE 2＝EC 2，BC ＝EC 2－BE 2＝42－22＝2 3.6. 用剪刀将形状如图①所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分，其中点M 为AD 的中点．用这两部分纸片可以拼成图②所示的Rt △BCE .若Rt △BCE 是等腰直角三角形，设原矩形纸片中的边AB ＝a ，BC ＝b ，且a 、b 满足关系式a ＋b ＝m －1，ab ＝m ＋1，则点D 到CM 的距离为________．第6题图2 【解析】∵Rt △BCE 是等腰直角三角形，M 为AD 的中点，∴b ＝2a .∵a ＋b ＝m －1，∴a ＋2a ＝m －1，∴a ＝m －13，b ＝2（m －1）3，∵ab ＝m ＋1，∴m －13·2（m －1）3＝m ＋1，整理得2m 2－13m －7＝0，解得m ＝－12(舍去)或m ＝7，∴a ＝2，b ＝4，AM ＝MD ＝2，在Rt △MCD 中，CM ＝22＋22＝22，∴点D 到CM 的距离为2×222＝ 2.7. 将一个矩形纸片ABCD 放置到平面直角坐标系中，点A 、B 恰好落在x 轴的正、负半轴上，若将该纸片沿AF 折叠，点B 恰好落在y 轴上的点E 处，设OA ＝1.(1)如图①，若OB ＝1，则点F 的坐标为________； (2)如图②，若OB ＝2，求点F 的坐标； (3)若OB ＝n ，请直接写出点F 的坐标．第7题图解：（1）(1，233)【解法提示】由折叠的性质可知AE ＝AB ＝2, ∠EAF ＝∠BAF ，∵OA ＝1，AE ＝2，∠AOE ＝90°，∴∠AEO ＝30°，∴∠EAO ＝60°，∴∠F AB ＝30°，∴BF ＝AB ·tan ∠F AB ＝233，则点F的坐标为(1，233)．（2）如解图，作FM ⊥y 轴于点M ，∴∠AEF ＝∠ABF ＝90°，FM ⊥y 轴，∴∠AEO ＋∠FEM ＝90°，∠FEM ＋∠EFM ＝90°， ∴∠AEO ＝∠EFM ，∵sin ∠AEO ＝AO AE ＝13，第7题解图∴sin ∠EFM ＝13.设EM ＝x ，则EF ＝3x ，由勾股定理得MF ＝22x ，OE ＝22， ∵OB ＝2， ∴22x ＝2，解得x ＝22， ∴OM ＝OE －EM ＝322，∴点F 的坐标为(2，322)；（3）(n ，n 2＋nn 2＋2n)．【解法提示】如解图，作FM ⊥y 轴于点M ，同理∠AEO ＝∠EFM ，∵sin ∠AEO ＝AO AE ＝1n ＋1，∴sin ∠EFM ＝1n ＋1，设EM ＝x ，则EF ＝(n ＋1)x ，由勾股定理得MF ＝n 2＋2n x ，OE ＝n 2＋2n ， ∵OB ＝n ， ∴n 2＋2n x ＝n .解得x ＝nn 2＋2n ，∴OM ＝OE －EM ＝n 2＋2n －nn 2＋2n ＝n 2＋n n 2＋2n， ∴点F 的坐标为(n ，n 2＋nn 2＋2n)．8. 如图，将一个正方形纸片AOCD 放置在平面直角坐标系中，点A (0，4)，点O (0，0)，点D 在第一象限，点P 为正方形AD 边上的一点(不与点A 、点D 重合)，将正方形纸片折叠，使点O 落在点P 处，点C 落在点G 处，PG 交DC 于点H ，折痕为EF ，连接OP ，OH .设P点的横坐标为m.(1)若∠APO＝60°，求∠OPG的大小；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长l是否发生变化？若变化，用含m的式子表示l；若不变化，求出周长l；(3)设四边形EFGP的面积为S，当S取得最小值时，求点P的坐标(直接写出结果即可)．第8题图解：（1）∵折叠正方形纸片，使点O落在点P处，点C落在点G处，∴∠POC＝∠OPG，∵四边形AOCD是正方形，∴AD∥OC，∴∠APO＝∠POC，∴∠APO＝∠OPG，∵∠APO＝60°，∴∠OPG＝60°；（2）△PDH的周长不发生变化，理由：如解图①，过点O作OQ⊥PG，垂足为点Q，则∠DAO＝∠PQO＝90°.第8题解图①由(3)知∠APO＝∠OPG，又∵OP＝OP，∴△AOP≌△QOP，∴AP＝QP，AO＝QO，∵AO＝OC，∴OC＝OQ，∵∠OCD＝∠OQH＝90°，OH＝OH，∴Rt△OCH≌Rt△OQH，∴CH＝QH，∴△PDH 的周长l ＝PD ＋DH ＋PH ＝PD ＋DH ＋PQ ＋QH ＝PD ＋PQ ＋DH ＋QH ＝PD ＋AP ＋DH ＋CH ＝AD ＋CD ＝8，∴△PDH 的周长l 不发生变化，周长l 为定值8；（3）当S 取得最小值时，点P 的坐标为(2，4)．【解法提示】如解图②，过点F 作FM ⊥OA 于点M ，设EF 与OP 交于点N ，第8题解图②由折叠的性质知△EON 与△EPN 关于直线EF 对称， ∴△EON ≌△EPN ，∴ON ＝PN ，EP ＝EO ，EN ⊥PO ，∵∠OAP ＝∠ENO ，∠AOP ＝∠NOE ， ∴△POA ∽△EON ， ∴PO EO ＝P A EN ＝OAON①，设P A ＝x ， ∵点A (0，4)， ∴OA ＝4，∴OP ＝OA 2＋P A 2＝16＋x 2，∴ON ＝12OP ＝1216＋x 2，将OP ，ON 代入①式得，OE ＝PE ＝ 18(16＋x 2)， ∵∠EFM ＋∠OEN ＝90°， ∠AOP ＋∠OEN ＝90°， ∴∠EFM ＝∠AOP ，在△EFM 和△POA 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EFM ＝∠AOP FM ＝OA ∠OAP ＝∠EMF， ∴△EFM ≌△POA (ASA)， ∴EM ＝P A ＝x ，∴FG ＝CF ＝OM ＝OE －EM ＝ 18(16＋x 2)－x ＝18x 2－x ＋2，∴S＝S梯形EFGP＝S梯形OCFE＝12(FC＋OE)·OC＝12[18x2－x＋2＋18(16＋x2)]×4＝12(x－2)2＋6，∴当x＝2时，S最小，即AP＝2，∴点P的坐标是(2，4)．。

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：全等三角形复习测试卷(包含答案)

四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学：全等三角形复习测试卷（测试时间120分钟，满分100分）一、选择题（每小题3分，共24分）1.有下列说法：①形状相同的三角形是全等三角形；②面积相等的三角形是全等三角形；③全等三角形的周长相等；④经过平移、翻折或旋转得到的三角形与原三角形是全等三角形.其中正确的有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个2.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是(C)A.∠A＝∠DB.∠ACB＝∠DBCC.AC＝DBD.AB ＝DC3.如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C 是对应点，AF与DE相交于点M，则∠DCE＝(A)A.∠BB.∠AC.∠EMFD.∠AFB4.在下列各图中，a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是(B)A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙5.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还须添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是(B)A.BC＝EC，∠B＝∠EB.BC＝DC，∠A＝∠DC.BC＝EC，AC＝DCD.∠B＝∠E，∠A＝∠D6.如图，在等边△ABC中，M，N分别在BC，AC上移动，且BM＝CN，AM与BN相交于点Q，则∠BAM＋∠ABN的度数是(A)A.60°B.55°C.45°D.不能确定7.如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A 在△ECD的斜边DE上.若AE＝2，AD＝6，则两个三角形重叠部分的面积为(D)A. 2B.3－ 2C.3－1D.3－ 38.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM.下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC.其中正确的个数为(B)A.4B.3C.2D.1二、填空题（每小题3分，共15分）9.如图，已知AD＝AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是答案不唯一，如：AB＝AC，∠ADC＝∠AEB或∠ABE＝∠ACD.(不添加任何字母和辅助线)10.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE.若BD＝9，则CE的长为9.11.如图，把△ABC沿直线AB翻折至△ABD.(1)△ABC≌△ABD；(2)若CB＝5，则DB＝5；(3)若△ABC的面积为10，则△ABD的面积为10.12.如图，正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH213.如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动(不与点A，B重合)，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝2BE，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为(1＋22)a；③BE2＋DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值18a2.其中正确的结论是①④.(填写所有正确结论的序号)三、解答题（共61分）14.已知：如图，AB＝AE，AB∥DE，∠ECB＝70°，∠D＝110°，求证：△ABC≌△EAD.证明：∵∠ECB＝70°，∴∠ACB＝110°.又∵∠D ＝110°， ∴∠ACB ＝∠D.∵AB ∥DE ，∴∠CAB ＝∠E. 在△ABC 和△EAD 中，⎩⎨⎧∠ACB ＝∠D ，∠CAB ＝∠E ，AB ＝EA ，∴△ABC ≌△EAD(AAS).15.如图，点O 是线段AB 的中点，OD ∥BC ，且OD ＝BC.(1)求证：△AOD ≌△OBC ；(2)若∠ADO ＝35°，求∠DOC 的度数.解：(1)证明：∵点O 是线段AB 的中点，∴AO ＝OB. ∵OD ∥BC ，∴∠AOD ＝∠OBC.在△AOD 和△OBC 中，⎩⎨⎧AO ＝OB ，∠AOD ＝∠OBC ，OD ＝BC ，∴△AOD ≌△OBC(SAS).(2)∵△AOD ≌△OBC ，∴∠ADO ＝∠OCB ＝35°. ∵OD ∥BC ，∴∠DOC ＝∠OCB ＝35°.16.如图，点D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，FC ∥AB.求证：AE ＝CE.证明：∵FC ∥AB ，∴∠DAE ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠CFE. 在△ADE 和△CFE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠FCE ，∠ADE ＝∠CFE ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS). ∴AE ＝CE.17.如图，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，点E 是CD 的中点，AE ＝BE.求证：∠D ＝∠C.证明：∵AE ＝BE ， ∴∠EAB ＝∠EBA. ∵AB ∥DC ，∴∠DEA ＝∠EAB ，∠CEB ＝∠EBA. ∴∠DEA ＝∠CEB. ∵点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△BCE 中，⎩⎨⎧DE ＝CE ，∠DEA ＝∠CEB ，AE ＝BE.∴△ADE ≌△BCE(SAS). ∴∠D ＝∠C.7.如图，DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别是E ，F ，DE ＝CF ，AE ＝BF ，求证：AC ∥BD.证明：∵AE ＝BF ，∴AE ＋EF ＝BF ＋EF ，即AF ＝BE. ∵CF ⊥AB ，DE ⊥AB ， ∴∠AFC ＝∠BED ＝90°.在△AFC 和△BED 中，⎩⎨⎧AF ＝BE ，∠AFC ＝∠BED ，CF ＝DE ，∴△AFC ≌△BED(SAS). ∴∠A ＝∠B.∴AC ∥BD.18.如图，点M ，N 分别是正五边形ABCDE 的边BC ，CD 上的点，且BM ＝CN ，AM 交BN 于点P.(1)求证：△ABM ≌△BCN ； (2)求∠APN 的度数.解：(1)证明：∵五边形ABCDE 为正五边形， ∴AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C. ∴在△ABM 和△BCN 中，⎩⎨⎧AB ＝BC ，∠ABM ＝∠C ，BM ＝CN ，∴△ABM ≌△BCN(SAS). (2)∵△ABM ≌△BCN ， ∴∠BAM ＝∠CBN.∵∠APN ＝∠BAM ＋∠ABP ，∴∠APN ＝∠CBN ＋∠ABP ＝∠ABC ＝（5－2）×180°5＝108°，即∠APN 的度数为108°.19.如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ＝90°，BC ＝CD ，CE ∥AD 与AB 交于点E.求证：AE ＝CE.证明：过点D 作DF ⊥CE 于点F ， ∵CE ∥AD ，∴∠1＝∠A ＝90°.∴四边形AEFD是矩形.∴DF＝AE.∵∠BCD＝90°，∴∠2＋∠3＝90°.∵∠B＋∠2＝90°，∴∠B＝∠3.∵∠1＝∠DFC＝90°，BC＝CD，∴△BCE≌△CDF(AAS).∴CE＝DF.∴AE＝CE.20.如图1，在锐角△ABC中，∠ABC＝45°，高AD，BE相交于点F.(1)判断BF与AC的数量关系，并说明理由；(2)如图2，将△ACD沿线段AD对折，点C落在BD上的点M，AM与BE相交于点N，当DE∥AM时，判断NE与AC的数量关系，并说明理由.解：(1)BF＝AC，理由如下：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠AEB＝90°.∵∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形.∴AD＝BD.∵∠AFE ＝∠BFD ，∴∠DAC ＝∠DBF. 在△ADC 和△BDF 中，⎩⎨⎧∠DAC ＝∠DBF ，AD ＝BD ，∠ADC ＝∠BDF ，∴△ADC ≌△BDF(ASA).∴BF ＝AC. (2)NE ＝12AC.理由如下：由折叠得：MD ＝DC ，∵DE ∥AM ，∴AE ＝EC.∵BE ⊥AC ，∴AB ＝BC. ∴∠ABE ＝∠CBE.由(1)得：△ADC ≌△BDF ， ∵△ADC ≌△ADM ，∴△BDF ≌△ADM. ∴∠DBF ＝∠MAD.∵∠DBA ＝∠BAD ＝45°.∴∠DBA －∠DBF ＝∠BAD －∠MAD ，即∠ABN ＝∠BAN.∵∠ANE ＝∠ABN ＋∠BAN ＝2∠ABE ，∠NAE ＝2∠NAD ＝2∠CBE ， ∴∠ANE ＝∠NAE ＝45°.∴AE ＝NE. ∴NE ＝12AC.。

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四川省渠县崇德实验学校2020年中考九年级数学专题复习：折叠问题1、如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，求CE的长？【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′E2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=32．2、如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长？【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得BDCN=DMDN=BMCD，∵DN=AN，∴得BDCN=DNAN=BMCD，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴210x－=xDM=8BM，∴DM=2x10x－，BM=1610x－，∵BM+DM=10，∴2x10x－+1610x－=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得BDCN=DMDN=BMCD，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=103，CD=403，设AN=x，则CN=x﹣10，∴103x－10=xDM=403BM，∴DM=10x3x10（－），BM=4009x10（－），∵BM+DM=10，∴10x3x10（－）+4009x10（－）=10，解得：x=653，∴AN=653．3、如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，求所有满足此条件的点P的坐标？【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP ，∴△AOB ∽△PCA ， ∴=BO CA AO PC∴BO AO =AC PC =12，设AC=m ，则PC=2m ，∵△PCA ≌△PDA ，∴AC=AD ，PC=PD ， ∴AD PD =AC PC =12，如图1：当△PAD ∽△PBA 时，则AD BA =PD PA则AD PD =BA PA =12，∵∴∴m 2+（2m ）2=（2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P 点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P 点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD ∽△BPA ，则=PA BA AD PD =12，PA=12AB=×12，则m 2+（2m ）2=2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P 点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P 点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．4、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，求旋转角α的度数？，阴影部分的面积？【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=12CB′=12CB=12×2=1，∴，∴S △CDB′=12×CD ×DB′=12×12， S 扇形B′CB =2××260360π=23π，则阴影部分的面积为：23π5、如图，P 为正方形ABCD 内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB 绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B ，连接PP′．若BP 的长为整数，求AP 的长？【解答】解：∵△BP'C 是由△BPA 旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP +∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，当a=2时，AP=CP'=1，6、如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，求AD的长．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，∴，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，∵∠B=45°，∴A′C ⊥AB ，∴BH=2，DH=2A′D=2x ，∴x+2x∴﹣2，∴2；②如图2，当A′D ∥AC ，∵把△ACD 沿直线CD 折叠，点A 落在同一平面内的A′处， ∴AD=A′D ，AC=A′C ，∠ACD=∠A′CD ，∵∠A′DC=∠ACD ，∴∠A′DC=∠A′CD ，∴A′D=A′C ，∴AD=AC=2，综上所述：AD 的长为：2或﹣2．7、如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N的长？【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=1n，∴BN=BC﹣NC=1﹣1n=n1n－，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（n1n－）2=22n1n－，所以，n．8、如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围？【解答】解：如图：①当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=10；在Rt△PFC中，PF=10，FC=6，则PC=8；∴BP=x min=10﹣8=2；②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质即可得到AB=BP=6，即BP的最大值为6．故答案为：2≤x≤6．9、如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标？【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE ，在△BAD 和△ACE 中，AB AC BAD CAEAD AE ∠∠===⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABD ≌△ACE ，∴BD=EC ．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E 在过点C 垂直x 轴的直线上，且EC=DB ，①当DB=DA 时，点D 与O 重合，BD=OB=2，此时E （2，2）．②当AB=AD 时，BD=CE=4，此时E （2，4）．③当时，E （2，）或（2，﹣），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2，﹣）．10、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，点P 在AB 上．若将△DAP 沿DP 折叠，使点A 落在矩形对角线上的A′处，则AP 的长？【解答】解：①点A 落在矩形对角线BD 上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P ，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x ，则BP=4﹣x ，∵BP 2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x ）2=x 2+22，解得：x=32， ∴AP=32； ②点A 落在矩形对角线AC 上，如图2，根据折叠的性质可知DP ⊥AC ，∴△DAP ∽△ABC ， ∴=AD AP AB BC， ∴AP=AD BC AB ．=3×34=94．11、如图，在△ABC 中，BC=6，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，点P 是优弧EF 上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积？【解答】解：连接AD ，∵BC是切线，点D是切点，∴AD⊥BC，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S扇形AEF=21002×360π=109π，S△ABC=12AD•BC=12×2×6=6，∴S阴影部分=S△ABC﹣S扇形AEF=6﹣109π．故答案为：6﹣109π．12、矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′P，∴FP=B′P，∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=5，∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′=53．13、已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH⊥AP交AP与H，，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP的长．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣，或a=﹣4﹣（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵，∴．在Rt△AHD中，AD=4，，∴，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=12 DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=12AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣、或2．14、如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE的长．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，∴∠DCD′=∠ABD′，在△DD′C和△AD′B中，DC AB DCD D CD BD ∠∠AB ='=''='⎧⎪⎨⎪⎩，∴△DD′C ≌△AD′B ，∴DD′=AD′，∴DD′=AD′=AD ，∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=12AE ，设DE=x ，则AE=2x ，（2x ）2﹣x 2=42，解得：x=43即DE=43．②：当CD'=CB 时，如图，连接AC ，由于AD'=4，CD'=4，而4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC 时，如图过D'作AB 的垂线，垂足为F ，延长D'F 交CD 于G ，由于AD'=BD'，D'F=D'F ；易知AF=BF ，从而由勾股定理求得=2，又易证△AD'F ∽△D'EG ，设DE=x ，D'E=x ， ∴''='D D D E A G AF，即4x 242=7－；解得x=327－15、如图，已知菱形ABCD 的边长2，∠A=60°，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，若将△AEF 沿直线EF 折叠，使得点A 恰好落在CD 边的中点G 处，求EF ．【解答】解：延长CD ，过点F 作FM ⊥CD 于点M ，连接GB 、BD ，作FH ⊥AE 交于点H ，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD 是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x ，则DF=2x ，，∵DG=1，∴MG=x +1，∴（x +1）2+）2=（2﹣2x ）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=12AF=0.7，FH=AF•sin ∠A=1.4×2=10， ∵CD=BC ，∠C=60°，∴△DCB 是等边三角形，∵G 是CD 的中点，∴BG ⊥CD ，∵BC=2，GC=1，∴，设BE=y ，则GE=2﹣y ，2+y 2=（2﹣y ）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE ﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴20．16、如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，求AP的长．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=12AC=32，BD=12AB=52，DN=BM=12BC=2，∴BQ=BD=52，QM=52﹣2=12，∴∠3=90°﹣12∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=12∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=12∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：12=2：32，∴PN=23，∴AP=32+23=136；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=52，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：52=52：3，∴CP=25 12，∴AP=3﹣2512=1112；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=52：3，∴AP=256．17、如图1，在矩形纸片ABCD中，，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG的值．【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC ，，∴DE=12 在RT △DEM 中，∵DM 2+DE 2=EM 2，∴（2+x 2=（10﹣x ）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM +∠NEF=90°，∠NEF +∠ENF=90°， ∴∠DEM=∠ENF ，∵∠D=∠EFN=90°， ∴△DME ∽△FEN ， ∴=DE FN EM EN，∴710=.4EN∴EN=376∴AN=EN=376，∴tan ∠AMN=AN AM =56如图3中，∵ME ⊥EN ，HG ⊥EN ， ∴EM ∥GH ，∴∠NME=∠NHG ，∵∠NME=∠AMN ，∠EHG=∠NHG ， ∴∠AMN=∠EHG ，∴tan ∠EHG=tan ∠AMN=56。