考研量子力学真题
量子力学考研真题
一. （类似1999年第一题）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中()⎩⎨⎧><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0,0 中运动，若0=t 时，粒子处于()()()()x x x x 3212131210,ϕϕϕψ+-=状态上，其中，()x n ϕ为粒子的第n 个本征态。
（1） 求0=t时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为()xa n a x n n maE n n πϕπsin 2,3,2,1 ,22222===（1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由12131212222=⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c可知，归一化常数为1312=c于是，归一化后的波函数为()()()()x x x x 3211331341360,ϕϕϕψ++-=能量的取值几率为()()()133;134 ;136321===E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t时的波函数为()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ϕϕϕψ（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
三. 设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符()n m n m U ϕϕ=,ˆ（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ；（2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3）计算迹(){}n m U ,ˆT r ；（4） 若算符Aˆ的矩阵元为n m mnA A ϕϕˆ=，证明()n m UA A nm m n ,ˆˆ,∑=(){}q p U A A pq ,ˆˆTr +=解：（1）对于任意一个态矢ψ，有()[]()()()()()()ψψψψϕϕψϕϕψψψn m U E E n m U E n m U E H H H n m U n m U Hn m U Hn m n m n m n m ,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ-=-=-=-=故()[]()()n m U E E n m U Hn m,ˆ,ˆ,ˆ-=（2）()()()p m Uq p U n m U nq p q n m,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ==+（3）算符的迹为(){}()mnm n k n k m kkkk n m U n m U δϕϕϕϕϕϕϕϕ====∑∑,ˆ,ˆT r（4）算符()n m UA A A A nm mnnn m nm m m mm ,ˆˆˆˆ,,∑∑∑===ϕϕϕϕϕϕ而()(){}q p U Aq p U A A A A A k kk kkp q k qk kk p q p pq ,ˆˆT r ,ˆˆˆˆˆ++=====∑∑∑ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ五. （见2001年第五题）两个质量皆为μ的非全同粒子处于线谐振子位中，若其角频率都是ω，加上微扰项21 ˆx x W λ-=（21,x x 分别为第一个粒子与第二个粒子的坐标）后，试用微扰论求体系基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 量子力学中，波函数的平方代表粒子的什么物理量？A. 动量B. 能量C. 位置D. 概率密度答案：D2. 以下哪项是海森堡不确定性原理的表述？A. 粒子的位置和动量可以同时精确测量B. 粒子的位置和动量不能同时精确测量C. 粒子的能量和时间可以同时精确测量D. 粒子的能量和时间不能同时精确测量答案：B3. 薛定谔方程描述的是：A. 经典力学B. 电磁学C. 量子力学D. 热力学答案：C4. 泡利不相容原理适用于：A. 光子B. 电子C. 质子D. 中子答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 根据量子力学，一个粒子的波函数可以表示为 \(\psi(x, t)\)，其中 \(x\) 代表粒子的________，\(t\) 代表时间。
答案：位置2. 量子力学中的波粒二象性表明，粒子既表现出________的性质，也表现出粒子的性质。
答案：波动3. 量子力学中，一个粒子的能量可以表示为 \(E =\frac{p^2}{2m}\)，其中 \(p\) 代表粒子的________。
答案：动量4. 量子力学中的隧道效应是指粒子可以穿过________的势垒。
答案：经典物理认为不可能三、简答题（每题10分，共30分）1. 简述德布罗意波的概念及其在量子力学中的意义。
答案：德布罗意波是指物质粒子（如电子）具有波动性，其波长与粒子的动量成反比。
在量子力学中，这一概念是波函数理论的基础，它表明粒子的行为不能完全用经典力学来描述，而是需要用波动方程来描述。
2. 描述一下量子力学中的量子态叠加原理。
答案：量子态叠加原理是指一个量子系统可以同时处于多个可能状态的叠加，直到进行测量时，系统才会坍缩到其中一个特定的状态。
这一原理是量子力学的核心特征之一，它导致了量子力学的非经典行为和概率解释。
3. 解释什么是量子纠缠，并给出一个实际应用的例子。
答案：量子纠缠是指两个或多个量子粒子之间存在的一种非经典的强关联，即使它们相隔很远，一个粒子的状态改变会即时影响到另一个粒子的状态。
浙江大学量子力学98-08考研真题
浙江大学1998年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目 量子力学第一题：（10分）（1） 写出玻尔-索末菲量子化条件的形式。
（2） 求出均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
（利用玻尔-索末菲量子化条件求，设外磁场强度为B）第二题：（20分）（1） 若一质量为μ的粒子在一维势场0,0(),,0x aV x x a x ≤≤⎧=⎨∞><⎩中运动，求粒子的可能能级。
（2） 若某一时刻加上了形如sinxe aω，（1e ）的势场，求其基态能级至二级修正（ω为一已知常数）。
（3） 若势能()V x 变成221,0()2,0x x V x x μω⎧>⎪=⎨⎪∞<⎩，求粒子（质量为μ）的可能的能级。
第三题：（20分）氢原子处于基态，其波函数形如raceψ-=，a 为玻尔半径，c 为归一化系数。
（1） 利用归一化条件，求出c 的形式。
（2） 设几率密度为()P r ，试求出()P r 的形式，并求出最可几半径r 。
（3） 求出势能及动能在基态时的平均值。
（4） 用何种定理可把ˆV<>及ˆT <>联系起来？第四题：（15分）一转子，其哈密顿量222ˆˆˆˆ222y x z x y zL L L HI I I =++，转子的轨道角动量量子数是1， （1） 试在角动量表象中求出角动量分量ˆx L ，ˆy L ，ˆzL 的形式； （2） 求出ˆH的本征值。
第五题：（20分）若基态氢原子处于平行板电场中，电场是按下列形式变化00,0,0t t E e t τε-≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ ，τ为大于零的常数，求经过长时间后，氢原子处于2P 态的几率。
（设ˆH'为微扰哈密顿，()805100,210ˆ3ta e He τε-'=⋅；（当0t >）()100,211ˆ0H ±'=）。
第六题：（15分）（1） 用玻恩近似法，求粒子处于势场0()r aV x V e-=-，（0a >）中散射的微分散射截面。
量子力学考研上海交大《电磁学和量子力学》考研真题
量子力学考研上海交大《电磁学和量子力学》考研真
题
1、上海交通大学量子力学考研真题
当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。
假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。
（1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数；
（2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。
（注意：参数在不同范围内，情况会不同）
[浙江大学2014研] 【解题思路】
①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。
②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。
③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。
中科院考研量子力学真题
中科院考研量子力学真题量子力学是现代物理学的重要分支，掌握其基本原理和应用是物理学研究的基础。
为了更好地理解和掌握量子力学的知识，我将对中科院考研量子力学真题进行分析和解答。
一、选择题1. 在电子在角动量z分量上的本征值问题中，其量子数m取值范围是：A. m = 0B. m = -1, 0, 1C. m = -1/2, 0, 1/2D. m = -l, -l+1, ..., l-1, l解析：根据角动量量子数的定义，对于给定的角量子数l，m的取值范围是从-l到l的整数。
因此，选项D是正确答案。
2. 下列哪个量不是量子力学的基本物理量？A. 动量B. 势能C. 能量D. 时间解析：量子力学的基本物理量包括动量、位置、角动量、能量和时间。
在这些选项中，只有时间是与经典物理学中的概念相对应的。
因此，选项D是正确答案。
二、填空题1. 一束光照射到金属表面上，当光的频率大于(小于)某个临界频率时，光电效应才会发生。
解析：根据光电效应的规律，只有光的频率大于某个临界频率时，光电子才能从金属表面被释放出来。
因此，答案中应填写“大于”。
2. 根据ABC关系，一个粒子以速度v飞过Y轴上的电磁场，其在Z轴上的磁感应强度为B，则在X轴上的电场强度为E = (v/c)B。
解析：根据ABC关系，当一个粒子以速度v通过电磁场时，其在垂直于速度方向的电场强度为E = (v/c)B。
因此，答案为E = (v/c)B。
三、简答题1. 请简述光电效应的基本原理。
解析：光电效应是指当光照射到金属表面时，如果光的频率大于某个临界频率，光的能量将被金属表面的电子吸收，电子从原子中解离出来形成自由电子。
其基本原理包括两个方面：首先，光的能量以量子的形式存在，被吸收的电子获得能量的大小与光的频率有关，而与光的强度无关；其次，金属中的电子形成了带电粒子，受到光电场的作用，从而在电场中运动。
2. 什么是波粒二象性？请举一例进行说明。
解析：波粒二象性是指微观粒子既表现出波动性，又表现出粒子性的性质。
山西大学物理学考研633量子力学真题
07年量子力学一、基本概念与原理1.采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径A me a （）==22，氢原子基态电子能量为eV E （）=1（取无穷远处为势能零点）。
2.质量为m 、频率为ω的一维谐振子的基态能量本征函数为（），其第n 个激发态的能量本征值（）=n E 。
3.量子力学最基本的对易关系是坐标x 、动量p 的对易关系（），这说明坐标和动量满足海森堡测不准关系（）。
4.守恒定律与对称性紧密相关，体系的空间平移不变性导致（）守恒，空间旋转不变性导致（）守恒，这些守恒的物理量一定与体系的哈密顿量对易。
5.写出不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数（），其中三个量子数的物理意义分别是：（）决定氢原子的能级，（）决定氢原子角动量的大小，（）决定角动量的方向。
6.薛定谔绘景中波函数随时间变化，写出其动力学演化方程（）。
海森堡绘景中（）随时间变化，写出其动力学演化方程（）。
二、判断题1.两个自旋21的粒子总自旋可以为21。
（×）2.自旋轨道耦合对哈密顿量的修正部分与轨道角动量对易。
（×）3.若A 与B 为反厄米算符，则[]B A ,为厄米算符。
（×）4.系统具有旋转不变性，则其能量本征态也是角动量算符平方的本征态。
（√）5.角动量算符的z 方向分量∧z L 与)(22∧∧+y x L L 对易。
（√）6.波函数的导数仍然是一个波函数。
（√）7.反常塞曼效应的原因是自旋轨道耦合。
（√）8.一维谐振子和无限什方势阱中能级都是等距分布的。
（×）9.Born 近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射。
（√）10.可观测量的动力学变量在量子力学中用幺正算符表示。
（×）三、磁场中电子自旋：一个自旋21的粒子处于常磁场中，其哈密顿算符为→→→→⋅-=⋅-=B B H B B B σμμ，1）证明系统的能量本征值与磁场矢量)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθB B =→的方向），（ϕθ无关。
量子力学考研试题及答案
量子力学考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 量子力学中，粒子的波函数ψ(x,t)描述了粒子的哪种物理量？A. 粒子的位置B. 粒子的动量C. 粒子在空间的分布概率D. 粒子的能量答案：C2. 海森堡不确定性原理表明了哪两个物理量的不确定性之间存在关系？A. 位置和能量B. 动量和时间C. 动量和位置D. 时间和能量答案：C3. 在量子力学中，一个粒子的波函数在某个位置的概率密度是该波函数在该位置的什么？A. 绝对值的平方B. 对数C. 导数D. 积分答案：A4. 根据泡利不相容原理，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的一组量子数，这些量子数包括哪些？A. 主量子数和磁量子数B. 主量子数、磁量子数和自旋量子数C. 所有四个量子数D. 主量子数和自旋量子数答案：B5. 薛定谔方程是一个描述什么的波动方程？A. 粒子的波动性质B. 粒子的运动轨迹C. 粒子的能量分布D. 粒子的动量分布答案：A6. 在量子力学中，一个系统的状态可以用哪种数学对象来描述？A. 矩阵B. 向量C. 张量D. 标量答案：B7. 量子力学中的隧穿效应是指什么？A. 粒子通过一个高于其能量的势垒B. 粒子在两个势垒之间振荡C. 粒子在势垒内部反射D. 粒子在势垒外部反射答案：A8. 在量子力学中，一个二能级系统在两个能级间跃迁时，必须吸收或发射一个具有特定能量的光子，这个能量差是由什么决定的？A. 两个能级的差B. 光子的频率C. 系统的总能量D. 系统的动量答案：A9. 量子纠缠是指两个或多个粒子之间的一种什么关系？A. 经典力学关系B. 量子力学关系C. 热力学关系D. 电磁相互作用答案：B10. 下列哪个原理说明了在量子力学中测量一个物理量会改变系统的状态？A. 海森堡不确定性原理B. 哥本哈根解释C. 德布罗意假说D. 薛定谔猫佯谬答案：B二、简答题（每题10分，共40分）11. 简述德布罗意假说的内容及其对量子力学发展的意义。
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《量子力学》考研真题详解1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】，；8.9×10－41m2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。
计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。
[北京大学2005研]【答案】2.9×10－10m二、判断题1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。
[北京大学2006研]【答案】对查看答案【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。
2设体系处于定态，则不含时力学量的测量值的概率分布不随时间改变。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足：若（即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。
力学量F∧为守恒量的条件为：∂F/∂t＝0且[F，H]＝0。
不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。
因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。
3一维粒子的本征态是不简并的。
[北京大学2006研]【答案】错查看答案【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。
比如，一维无限深方势阱，若势能满足：在阱内（），体系所满足的定态薛定谔方程为：在阱外（），定态薛定谔方程为：体系的能量本征值为：本征函数为：所以，显而易见，一维无限深方势阱的本征态是简并的。
复习笔记在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。
华南理工大学考研真题—硕士量子力学
一、对于一维自由粒子,
（1） 设波函数为 , 用哈密顿算符对其运算, 证实动量本征态 也是能量本征态,并写出其能量本征值；
（2） 设 时刻 , 求 ；
（3）波函数 是否该自由粒子的能量本征态?为什么？
二、设粒子限制在立方形匣子中运动，即
求能量本征值和本征函数。倘若 ，研究能级的简并度.ห้องสมุดไป่ตู้
三、（1）利用轨道角动量分量 的对易关系证实：在 的本征态下 的期待值为零，即 ；
(2)利用升算符和降算符 ，求 和 在角动量算符 和 的共同本征态 状态下的期待值.
四、氢原子的哈密顿量具有球对称性，它在球坐标系统中写作
（1）决定它的归一化基态波函数；
（2）当原子处于基态时，求核外电子的坐标和动量分量的不决定度 ，并由此验证它们的测不准关系.
五、以 , 和 表记闻名的泡利矩阵，它们在 表象中可以明确地写作
.
（1）求 在 表象中的本征态矢量；
（2）求 表象到 表象的变换矩阵 ；
（3）论证：在 表象中 .
量子力学考试试题(附答案)
量子力学考试试题（附答案）1.束缚于某一维势阱中的粒子，其波函数由下列诸式所描述：()()()023cos 222ikx L x x x L L x Ae x L L x x ψπψψ=<-=-<<=>（a ）、求归一化常数A,（b ）、在x=0及x=L/4之间找到粒子的概率为何？ 解：（a ）由波函数的归一化条件()222222222331coscos 33cos cos 3cos 6cos 126sin 262ikx ikx ikx ikx LLx x x dx Ae Ae dx L Lx x A e e dxL L x A dx L A x dx L A L x x L A L ππψππππππ∞∞-∞-∞∞--∞∞-∞∞-∞-====⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=⎰⎰⎰⎰⎰于是：A =(b)()224406sin 0.196926LL A L x x dx x L πψπ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭⎰2、证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证：对于定态，可令)]()()()([2 ])()()()([2 )(2 )( )()()(******r r r r mi e r e r e r e r m i mi J e r t f r t r Et i Et i Et iEt i Etiψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=ψ∇ψ-ψ∇ψ===ψ-----）（）（， 可见t J 与无关。
4、波长为1.0*10-12m 的X 射线投射到一个静止电子上，问在与入射光成60o 角的方向上，探测到散射光的波光为多少？解：由公式 22sin 2c θλλλ'-=其中：120 2.43102ch m m cλ-==⨯可得：1212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλλ---''-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯ 01212212601.0102 2.4310sin 1.215102λλ---'-=-⨯=⨯⨯⨯=⨯122.21510m λ-=⨯。
量子力学考试题
量子力学考试题（共五题，每题20分）1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。
（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。
2、设力学量算符（厄米算符）∧F ，∧G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧F ），试证明：（a ）∧K 的本征值是实数。
（b ）对于∧F 的任何本征态ψ，∧K 的平均值为0。
（c ）在任何态中2F +2G ≥K3、自旋 /2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为S H ˆˆω=∧H ＝ω∧z S +ν∧x S （ω，ν>0，ω»ν）（a ）求能级的精确值。
（b ）视ν∧x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。
4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0<x<a ）中运动，处于基态。
写出能级和波函数，并计算平均值x ，x p ，x xp5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。
已知单粒子“轨道”态只有3种：a ψ(→r )，b ψ(→r )，c ψ(→r )，试分别就以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目。
（i ）无自旋全同粒子。
（ii ）自旋 /2的全同粒子（例如电子）。
量子力学考试评分标准1、（a ），（b ）各10分（a ）能量有确定值。
力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。
（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’） 选择定则：l ∆＝1±，m ∆＝0,1±，s m ∆＝0 根据：电矩m 矩阵元-e →r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分 （a ）∧K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。
（b ）∧F ψ＝λψ，ψ∧F ＝λψK ＝ψ∧K ψ＝i ψ∧F ∧G -∧G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧F 2+∧G 2-∧Kψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧F -i ∧G )ψ︱2≥0∴<∧F 2+∧G 2-∧K >≥0，即2F +2G ≥K3、(a)，(b)各10分(a) ∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝2 ω［1001-］+2 ν［0110］＝2［ωννω-］∧H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λωννλω---︱ ＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2 22νω+，E 2＝222νω+当ω»ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22E 1≈-2 ［ω+ων22］，E 2 ＝2［ω+ων22］（b ）∧H ＝ω∧z S +ν∧x S ＝∧H 0+∧H ’，∧H 0＝ω∧z S ，∧H ’＝ν∧x S∧H 0本征值为ω 21±，取E 1（0）＝-ω 21，E 2（0）＝ω 21相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01] 则∧H ’之矩阵元（S z 表象）为'11H =0，'22H =0，'12H ＝'21H ＝ν 21E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12'21E E H-＝-ω 21+0-ων2241＝-ω21-ων241E 2＝E 2（0）+'22H +)0(1)0(22'12E E H -＝ω 21+ων2414、E 1＝2222ma π，)(1x ψ＝⎪⎩⎪⎨⎧0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00x ＝dx x a⎰021ψ＝2sin 202a dx a x x a a=⎰π x p ＝-i ⎰=adx dx d 011ψψ-i ⎰=aa x d a 020)sin 21(2πx xp ＝-i ⎰⎰-=aa a xd a x x a i dx dx d x 0011)(sin sin 2ππψψ＝⎰-aa x xd a i 02)(sin 1π ＝0sin [12a a x x a i π --⎰adx a x 02]sin π＝0+⎰=ai dx ih 02122 ψ 四项各5分5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。
《量子力学》22套考研自测题+答案
（2）求自旋角动量的 z 分量 sz 的平均值；
（3）求总磁矩 M = − e L − e s
2μ μ
的 z 分量 M z 的平均值。
12. s 、L 分别为电子的自旋和轨道角动量，J = s + L 为电子的总角动 量。证明：[ J , s ⋅ L ]=0；[ J 2 , Jα ]=0，α = x, y, z。 13.质量为 μ 的粒子受微扰后，在一维势场中运动，
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量子力学自测题（5）
一、 填空题（本题 20 分）
1．Planck 的量子假说揭示了微观粒子
特性，Einstein 的光
量子假说揭示了光的
性。Bohr 的氢原子理论解决了经典
考研自测题精美汇总
电磁场理论和原子的
之间的矛盾，解决了原子的
的起源问题。
2．力学量算符必须是
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量子力学自测题（3）
一、 简答题（每小题 5 分，共 40 分）
1.一粒子的波函数为ψ (r ) = ψ (x, y, z) ，写出粒子位于 x ~ x + dx 间的几
率。
考研自测题精美汇总
2.粒子在一维δ 势阱V (x) = −γ δ (x)， (γ > 0)，中运动，波函数为ψ (x) ，
ψ （1，2，），试证明交换算符 Pˆ12 是一个守恒量。 2．设Uˆ 是一个幺正算符，求证 Hˆ = i dUˆ ⋅Uˆ + 是厄米算符。
dt
3．设σ y 为 Pauli 矩阵， （1）求证： eiθσ y = cosθ + iσ y sinθ （2）试求：Treiθσ y
各高校量子力学考研试题汇总
习题1一、填空题1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_______________________________________________________________________________________________5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为____________________________。
2023年考研量子力学试题
2023年考研量子力学试题
以下是2023年考研量子力学试题：
一、选择题（每题4分，共40分）
1. 以下关于量子力学的基本原理，哪个是错误的？
A. 波函数表示法
B. 测不准原理
C. 叠加态原理
D. 哥本哈根解释
2. 一个粒子在x轴上的波函数为ψ(x)，那么以下哪个函数是其在y轴上的波函数？
A. ψ(y)
B. ψ(x+y)
C. ψ(|x-y|)
D. e^(ikx)
3. 一个线性厄米算符有哪些特性？
A. 算符的本征值是实数
B. 算符的本征值是复数
C. 算符的本征值是纯虚数
D. 以上都对
4. 一个粒子在势能为V(x)的势阱中，以下哪个波函数是束缚态？
A. ψ(x)=sin(kx)
B. ψ(x)=cos(kx)
C. ψ(x)=e^(-V(x)/ħ)
D. ψ(x)=sqrt(2)/(ħ√(2π)) * ∫exp(-V(x')/ħ)dx'
二、填空题（每题4分，共40分）
1. 量子力学中，一个粒子在三维空间中的波函数可以表示为______。
2. 希尔伯特空间中的内积可以表示为______。
3. 一个算符的期望值计算公式为______。
4. 测不准原理可以表示为______。
三、解答题（每题20分，共60分）
1. 解释波函数坍缩现象，并说明它在量子力学中的意义。
2. 利用氢原子模型，推导出氢原子光谱线的公式。
3. 分析一个粒子在无限深势阱中的量子力学问题，说明为什么在这种情况下，波函数在势阱内是常数。
量子力学试题
量子力学试题（一）及答案 一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 中运动，若0=t 时，粒子处于状态上，其中，()x n ϕ为粒子能量的第n 个本征态。
（1） 求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率 解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 （1） 首先，将()0,x ψ归一化。
由可知，归一化常数为于是，归一化后的波函数为 能量的取值几率为能量取其它值的几率皆为零。
（2） 因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。
二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。
解：对于02<-=V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 其中，在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有此即能量满足的超越方程。
当021V E -=时，由于故40ππ-=n a mV， ,3,2,1=n最后，得到势阱的宽度三.（20分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n ，{n 构成正交归一完备系，定义一个算符（1） 计算对易子()[]n m U H,ˆ,ˆ； （2） 证明()()()p m U q p U n m U nq ,ˆ,ˆ,ˆδ=+；（3） 计算迹(){}n m U,ˆTr ； （4） 若算符A ˆ的矩阵元为nm mn A A ϕˆ=，证明 解：（1）对于任意一个态矢ψ，有 故（2）()()()p m U q p U n m U nq q p n m ,ˆ,ˆ,ˆδϕϕϕϕ== （3）算符的迹为（4）算符 而四. （20分）自旋为21、固有磁矩为s γμ=（其中γ为实常数）的粒子，处 于均匀外磁场k 0 B B =中，设0=t 时，粒子处于2=x s 的状态，（1） 求出0>t 时的波函数；（2） 求出0>t 时x sˆ与z s ˆ的可测值及相应的取值几率。
《中科院量子力学考研真题及答案详解(1990—2010共40套真题)》
试题名称：1992 量子力学（理论型）
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中国科学院－中国科技大学 1992 年招收攻读硕士学位研究生入学试卷
试题名称： 量子力学（实验型）
说明：共五道大题，无选择题，计分在题尾标出，满分 100 分。
一、简单回答下列问题： (1) 举出一个实验事实说明微观粒子具有波粒二象性。 (2) 量子力学的波函数与经典的波场有何本质的区别？ (3) 如图所示，一个光子入射到半透半反镜面 M , P 1和P 2 为光电 探测器，试分别按照经典与量子的观点说明 P 1和P 是否能同时 接收到光信号（ l1 l2 ） 。
E
n
n
E0 n x 0
2
常数
ˆ2 ˆ p 这里 En 是哈密顿量 H V ( x) 的本征能量，相应的本征态为 n 。求出该常数。 2m 三、设一质量为 的粒子在球对称势 V (r ) kr (k 0) 中运动。利用测不准关系估算其 基态的能量。 四、电子偶素（ e e 束缚态）类似于氢原子，只是用一个正电子代替质子作为核，在非 相对论极限下，其能量和波函数与氢原子类似。今设在电子偶素的基态里，存在一 ˆ 和M ˆ 8 M ˆ M ˆ 其中 M ˆ 是电子和正电子的自旋磁矩 种接触型自旋交换作用 H e p e p 3 ˆ , q e) 。利用一级微扰论，计算此基态中自旋单态与三重态之间的能 ˆ q S (M mc 量差，决定哪一个能量更低。对普通的氢原子，基态波函数： 1 r a e2 1 2 100 e , a , 3 2 me a c 137
ˆ A , ˆ 与B ˆ 具有共同本征态函数，即 A 二、若厄密算符 A na n na
ˆ B ，而且构成体系状 B na n na
2024年考研高等数学二量子力学中的数学理论历年真题
2024年考研高等数学二量子力学中的数学理论历年真题在2024年的考研高等数学二科目中，量子力学中的数学理论是必考内容之一。
本文将围绕该主题，以历年真题的形式展开，对相关的数学理论进行探讨。
希望通过对历年真题的分析和解答，能够帮助考生更好地理解和应对这一考点。
一、波函数和可观测量1. 2010年真题题目描述：一个粒子，其波函数为Ψ(x) = Ae^(-|x|/a)，其中A和a为实常数，x为位置坐标。
求该粒子在区间[-∞, ∞]上的归一化常数A。
解答：根据波函数的归一化条件，可得到以下结果：∫(Ψ(x))^2 dx = 1∫(Ae^(-|x|/a))^2 dx = 1∫(A^2)e^(-2|x|/a) dx = 1根据波函数的性质，可知|X| = x，当x > 0；|X| = -x，当x < 0。
因此，上式可化简为：∫(A^2)e^(-2x/a) dx + ∫(A^2)e^(2x/a) dx = 12∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1∫(A^2)e^(-2x/a) dx = 1/2对上式进行积分运算，得出：∫(A^2)e^(-2x/a) dx = (-aA^2/2)e^(-2x/a) + C其中C为常数。
将上式代入原式，得到：(-aA^2/2)e^(-2x/a) + C = 1/2(-aA^2/2)e^(-∞/a) + C - (-aA^2/2)e^(∞/a) + C = 1/2 (-aA^2/2) + 2C = 1/2根据边界条件，可得到：C = 1/(4aA^2)将C带入上式，可得：(-aA^2/2) + 2(1/(4aA^2)) = 1/2-aA^2 + 1/(2A^2) = 1/2进一步整理，可得：aA^4 - A^2 + 1/2 = 0解该方程，即可求得A的值。
二、矩阵表达和算符1. 2012年真题题目描述：已知一个算符A，其矩阵表示为A = [3 1 2; 1 2 -3; 2 -3 2]，求其特征值和特征向量。
山西大学物理学考研633量子力学真题
07年量子力学一、基本概念与原理1.采用原子单位描述氢原子的性质，其中长度单位波尔半径A me a （）==22，氢原子基态电子能量为eV E （）=1（取无穷远处为势能零点）。
2.质量为m 、频率为ω的一维谐振子的基态能量本征函数为（），其第n 个激发态的能量本征值（）=n E 。
3.量子力学最基本的对易关系是坐标x 、动量p 的对易关系（），这说明坐标和动量满足海森堡测不准关系（）。
4.守恒定律与对称性紧密相关，体系的空间平移不变性导致（）守恒，空间旋转不变性导致（）守恒，这些守恒的物理量一定与体系的哈密顿量对易。
5.写出不考虑自旋情况下描述氢原子的波函数（），其中三个量子数的物理意义分别是：（）决定氢原子的能级，（）决定氢原子角动量的大小，（）决定角动量的方向。
6.薛定谔绘景中波函数随时间变化，写出其动力学演化方程（）。
海森堡绘景中（）随时间变化，写出其动力学演化方程（）。
二、判断题1.两个自旋21的粒子总自旋可以为21。
（×）2.自旋轨道耦合对哈密顿量的修正部分与轨道角动量对易。
（×）3.若A 与B 为反厄米算符，则[]B A ,为厄米算符。
（×）4.系统具有旋转不变性，则其能量本征态也是角动量算符平方的本征态。
（√）5.角动量算符的z 方向分量∧z L 与)(22∧∧+y x L L 对易。
（√）6.波函数的导数仍然是一个波函数。
（√）7.反常塞曼效应的原因是自旋轨道耦合。
（√）8.一维谐振子和无限什方势阱中能级都是等距分布的。
（×）9.Born 近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射。
（√）10.可观测量的动力学变量在量子力学中用幺正算符表示。
（×）三、磁场中电子自旋：一个自旋21的粒子处于常磁场中，其哈密顿算符为→→→→⋅-=⋅-=B B H B B B σμμ，1）证明系统的能量本征值与磁场矢量)cos ,sin sin ,cos (sin θϕθϕθB B =→的方向），（ϕθ无关。
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考研量子力学真题
考研量子力学真题
考研是许多大学生的梦想和目标，而量子力学作为物理学的重要分支，也是考研物理学专业的必备知识。
在备考过程中，熟悉和掌握量子力学的理论和应用是非常重要的。
因此，通过研究考研量子力学真题，可以更好地了解考试的要求和难度，为备考做好准备。
量子力学是研究微观世界的一门学科，它描述了微观粒子的行为和性质。
在考研物理学专业中，量子力学通常是一个重要的考点，也是考试中的难点之一。
因此，熟悉和掌握量子力学的基本概念和数学工具是非常重要的。
考研量子力学真题通常涵盖了量子力学的基本原理、波函数、算符、测量和态的演化等内容。
在解答这些题目时，需要熟悉量子力学的数学工具，如波函数的归一化条件、薛定谔方程和算符的性质等。
同时，还需要理解量子力学的基本概念，如波粒二象性、量子叠加态和测量理论等。
在解答考研量子力学真题时，需要注意以下几点。
首先，要仔细阅读题目，理解题目中所给的信息和要求。
其次，要运用量子力学的基本原理和数学工具进行分析和计算。
例如，在解答波函数的归一化问题时，可以利用波函数的模方积分为1的性质进行计算。
另外，在解答算符的性质问题时，可以利用算符的本征值和本征态的性质进行推导和计算。
除了基本的理论和计算问题，考研量子力学真题还可能涉及到一些应用和实验问题。
例如，在解答关于量子力学的实验问题时，需要了解一些基本的实验原理和技术。
此外，还需要熟悉一些常见的量子力学应用，如量子力学在原子、分子和固体物理中的应用等。
通过研究考研量子力学真题，可以更好地了解考试的要求和难度，为备考做好
准备。
在备考过程中，可以通过解答真题来检验自己的理解和掌握程度，并及
时发现和弥补知识的不足。
此外，还可以通过参考真题的解析和答案，来学习
和理解解题的方法和思路。
总之，考研量子力学真题是备考过程中的重要资料，通过研究和解答真题，可
以更好地了解考试的要求和难度，为备考做好准备。
在解答真题时，需要熟悉
量子力学的基本概念和数学工具，运用正确的方法进行分析和计算。
通过解答
真题，可以检验自己的理解和掌握程度，并及时发现和弥补知识的不足。
最终，希望每一位考研物理学专业的学生都能够在考试中取得好成绩，实现自己的梦
想和目标。