现代控制理论试习题(详细答案

现代控制理论试题B 卷及答案

一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。

2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。…..

23

3118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分)

解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，

时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完

全能控的，简称能控。…..….…….（3分）

2.

[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分）

0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-818

1881C U ……..…………..…….…….（1分） 1118

8P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦

⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）

1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦

..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦

………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分）

1分） 解（3分） 3分）

2分）

（81分）

11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩

………...…………....…….…….（1分）

1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

...…………....…….…….（1分） 11121112

2275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）

八、给定系统的状态空间表达式为1010x --⎡⎢=-⎢⎢⎣2322213332223321

(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分 又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分

列方程

32123264126333

E E E E E E +++=++=+= ----- 2分

1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分

观测器为

10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦

------- 1分 方法 2

λ⋅分 分

分

分

10ˆ0110x -⎡⎢=-⎢⎢⎣九 分） 1200A t

At A t e e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭

1A t t e e =…………………………..……….（1分） 11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭

………..……….（1分）

(){}2112220t A t t t t e e L sI A e e

e --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()11220

0000t At t

t t

t e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭……….……….（2分） 2220

01000001t t t

t t t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭

……………..……….（2分）

一、（（ × （ × （ √ （ √

二、（的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。

解： 能控标准形为

能观测标准形为

对角标准形为

三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的

作用。对系统

求其状态转移矩阵。

解：解法1。

容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统

) 因此， ⎥⎦

⎢⎣+-+-=+==Φ----t t t t At e e e e A t a I t a e t 2210222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的，请画出观

测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。

解 观测器设计的框图：

观测器方程：

其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。

观测器设计方法：

由于 )](det[])(det[)](det[T T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ

因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T T T L C A -具有给定的观测器极点。

具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。

五、（P 。

I PA -=

⎥⎦⎤⎣

⎦⎣12/12212p p 根据塞尔维斯特方法，可得 045det 023

21>=

=∆>=∆P 故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。

六、（10分）已知被控系统的传递函数是

试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j 。