弹性力学简明教程_习题解答

【2-9】【解答】图2-17：上（y =0）左(x =0) 右（x =b ）l0 -1 1 m-1() x f s()1g y h ρ+()1g y h ρ-+() yfs1gh ρ代入公式（2-15）得①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0;===-+=x xy x x g y h σρτ②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()(),0y xy y y gh σρτ===-=③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()220,0====y hy h u v这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：10,,0s N F F gh b M ρ==-=由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：()()()222100000b y y h by y h bxy y h dx gh bxdx dx σρστ===⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰ ⑵图2-18①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）lmx f (s)y f (s)2h y =-0 -1 0 q2h y =1-1q-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力与面力符号相反，有/20/2/20/2/20/2()()()h xy x Sh h x x N h h x x h dx Fdx F ydx M τσσ=-=-=-⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩⎰⎰⎰③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：110,xN NN N F F F q l F q l F ''=+=⇒=-∑ 0,0yS S S S FF F ql F ql F ''=++=⇒=--∑2211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=⇒=---∑由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故/21/22/21/2/2/2()()22()h x x l N Nh h x x l S h h xy x l S Sh dy F q l Fq lh ql ydy M M F l dy F ql Fσστ=-=-=-⎧'==-⎪⎪⎪'==---⎨⎪⎪'==--⎪⎩⎰⎰⎰ 【2-10】【解答】由于h l ?，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的应力边界条件：(a)上端面OA 面上面力q bxf f y x ==,0 由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有()()()0000200000022120bb b y y y b b b y y y byx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===⎧=-=-=-⎪⎪⎪⎛⎫=-=-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰(对OA 中点取矩)(ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，则()()()00200002120by N y by y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===⎧=-=-⎪⎪⎪=-=⎨⎪⎪=⎪⎩⎰⎰⎰综上所述，在小边界OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0==x y f f0∂∂+=∂∂yx x x y τσ 0∂∂+=∂∂y xy y xστ显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有等式左=()2222x y x y σσ⎛⎫∂∂++ ⎪∂∂⎝⎭=220≠qb =右应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。

【解答】（1）推导公式在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h 的矩形，其对中性轴（Z 轴）的惯性矩312=h I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程()23(),62=-=-q qx M x x F x l l。

所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：()332==-x M x x y y q I lhσ ()()2222233431.424⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭s xy F x y q x h y bh h lh τ。

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

0∂∂+=∂∂yxyy x στ得： 333.22=-+y q xy xy q A lh lhσ 根据边界条件()/20==yy h σ得 q .2=-x A l故333.2.22=--y q xy xy q xq lh lh l σ将应力分量代入平衡微分方程（2-2） 第一式：22336.60x y x yq q lh lh=-+==左右 满足第二式 自然满足 将应力分量代入相容方程（2-23）()22223312.12.0⎛⎫∂∂=++=--≠= ⎪∂∂⎝⎭左右x y xy xyq q x y lh lh σσ应力分量不满足相容方程。

故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴的惯性矩为3/12z I h =，根据材料力学公式弯应力3()12x z M x Fy xy I hσ==-；该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为 ()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ⎛⎫--⎛⎫⎡⎤==⋅-⋅⋅+=-- ⎪ ⎪⎢⎥⨯⎝⎭⎣⎦⎝⎭取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：2312120F Fy y h h =-+==左右 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程2()0x y σσ=∇+==左右 满足相容方程（4）考察边界条件①在主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件(2-15)lmx fyf2h y =-上0 -1 0 0 2h y =上1代入公式（2-15），得()()()()-/2/2/2/20,0;0,0yxy y yx y h y h y h y h στστ==-======②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩/20/2/20/22/2/2203/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--⎧⎪==⎪⎪==⎨⎪⎡⎤⎪=--=-=⎢⎥⎪⎣⎦⎩⎰⎰⎰⎰向面力主矢面力主矩向面力主矢满足应力边界条件③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,N S F F F M Fl ==-=-其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：/2/23/2/212()0h h x x l Nh h Fdy lydy F h σ=--=-==⎰⎰/2/223/2/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M h σ=--=-=-=⎰⎰2/2/223/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--⎛⎫=--=-=⎪⎝⎭⎰⎰满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。

【3-4】【解答】⑴相容条件:不论系数a 取何值，应力函数3ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得6,0,0x y xy yx ay σσττ====⑶考察边界条件上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()0y xy x f τ===右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ===应力分布如图所示，当l h ?时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩主矢的中心在矩下边界位置。

即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。

偏心距e ：因为在A 点的应力为零。

设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：2()0/6/6x A p pee h bh bh σ=-=⇒= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】【解答】（1）由应力函数2ax y Φ=，得应力分量表达式0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-考察边界条件，由公式（2-15）()()()()x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩①主要边界，上边界2h y =-上，面力为()22=-=x hf y ax ()2y h f y ah =-=②主要边界，下边界2h y =，面力为()2,2x h f y ax ==- ()2y hf y ah ==③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为x 向主矢：/20/2()0h x x x h F dy σ=-=-=⎰，y 向主矢：/20/2()0h y xy x h F dy τ=-=-=⎰主矩：/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰次要边界，右边界x=l 上，面力的主矢，主矩为x 向主矢：/2/2()0h x x x l h F dy σ=-'==⎰y 向主矢：/2/2/2/2()(2)2h h y xy x l h h F dy al dy alh τ=--'==-=-⎰⎰主矩：/2/2()0h x x l h M ydy σ=-==⎰弹性体边界上面力分布及次要边界面上面力的主矢，⑵2bxy Φ=，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式A2x bx σ=，0y σ=，2xy yx by ττ==-考察应力边界条件，主要边界,由公式（2-15）得 在2h y =-主要边界，上边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在2h y =，下边界上，面力为,022x y h h f y bh f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在次要边界上，分布面力可按(2-15)计算，面里的主矢、主矩可通过三个积分边界条件求得：在左边界x=0，面力分布为()()00,02x y f x f x by ==== 面力的主矢、主矩为x向主矢：()202h h x x x F dy σ=-=-=⎰y 向主矢：()()22002220hh h h y xy x x F dy by dy τ==--=-=--=⎰⎰主矩；/20/2()0h x x h M ydy σ=-=-=⎰，在右边界x=l 上，面力分布为()()2,2x y f x l bl f x l by ====-，，，面力的主矢、主矩为 x向主矢：()/2/2/2/222h h x x x l h h F dy bldy blhσ=--'===⎰⎰y 向主矢：()()/2/2/2/2'20h h y xy x lh h F dy by dy τ=--==-=⎰⎰主矩：()/2/2/2/2'20h h x x l h h M ydy blydy σ=--===⎰⎰（3）3cxy Φ=，将应力函数代入公式（2-24），得应力分量表达式26,0,3x y xy yx cxy cy σσττ====-考察应力边界条件，在主要边界上应精确满足式（2-15） ①2hy =-上边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②h y=2下边界上，面力为23,0242x y h h f y ch f y ⎛⎫⎛⎫==-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭次要边界上，分布面力可按（2-15）计算，面力的主矢、主矩可通过三个积分边界求得： ③左边界x=0上，面力分布为()()()()()()2/20/2/2/223/2/2h/20-h/200,03x 0134x y h x x x h h h y xyx h h x x f x f x cy F dy y F dy cy dy ch M ydy στσ=-=--======-==-=--==-=⎰⎰⎰⎰面力的主矢、主矩为向主矢：向主矢：主矩：④右边界x l =上，面力分布为()()26,3x y f x l cly f x l cy ====- 面力的主矢、主矩为x 向主矢()/2/2/2/260h h x x x l h h F dy clydy σ=--'===⎰⎰y 向主矢：()()/2/223/2/2134h h y y x l h h F dy cy dy ch σ=--'==-=-⎰⎰主矩：()/2/223/2/2162h h x x l h h M ydy cly dy clh σ=--'===⎰⎰ 弹性体边界上的面力分布及在次要边界上面力的主矢和主矩，如图所示 【3-6】【解答】（1）将应力函数代入相容方程（2-25）444422420∂Φ∂Φ∂Φ++=∂∂∂∂x x y y，显然满足 （2）将Φ代入式（2-24），得应力分量表达式312,0,x y Fxyh σσ=-=2234(1)2==--xy yx F y h h ττ （3）由边界形状及应力分量反推边界上的面力： ①在主要边界上（上下边界）上，2hy =±，应精确满足应力边界条件式（2-15），应力()()/2/20,0yyx y h y h στ=±=±==因此，在主要边界2h y =±上，无任何面力，即0,022x y h h f y f y ⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭②在x=0，x=l 的次要边界上，面力分别为：22340:0,1-2x y F y x f f h h ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，3221234:,12x y Fly F y x l f f h h h⎛⎫==-=-- ⎪⎝⎭因此，各边界上的面力分布如图所示：③在x=0，x=l 的次要边界上，面力可写成主矢、主矩形式：x=0上 x=l 上1212h/2/2/2/2h/2/2/2/2h/2/212-h/2/2=0, 0=, =0, h N x N x h h h S y S y h h h x x h x F f dy F f dy y F f dy F F f dy F M f ydy M f ydy Fl-----======-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰向主矢：向主矢：主矩：【3-7】【解答】(1)将应力函数Φ代入式（2-25）440x ∂Φ=∂，44324qyy h∂Φ=∂，42233122422qy qy x y h h ∂Φ--=⨯=∂∂ 代入（2-25），可知应力函数Φ满足相容方程。