2022年高考数学真题分类汇编：不等式

2022年高考数学真题分类汇编专题05：不等式一、单选题(共10题；共50分)
1．（5分）（2022·浙江）若实数x，y满足约束条件{x−2≥0，
2x+y−7≤0，
x−y−2≤0，
则z=3x+4y的最大值是（）
A．20B．18C．13D．6
【答案】B
【解析】【解答】根据约束条件{x−2≥0，
2x+y−7≤0，
x−y−2≤0，
画出可行域，
可知过点（2，3）时取到最大值18.
故答案为：B
【分析】先作出不等式组表示的平面区域，然后结合图象求解即可．
2．（5分）（2022·全国乙卷）若x，y满足约束条件{x+y⩾2，
x+2y⩽4，
y⩾0，
则z=2x−y的最大值是（）A．−2B．4C．8D．12
【答案】C
【解析】【解答】由题意作出可行域（阴影部分所示），目标函数z=2x−y转化为y=2x−z，
上下平移直线 y =2x −z ，可知当直线过点 (4，0) 时，直线截距最小，z 最大， 所以 z max =2×4−0=8 . 故选：C
【分析】作出可行域，数形结合即可得解.
3．（5分）（2022·全国甲卷）设全集 U ={−2，−1，0，1，2，3} ，集合 A ={−1，2}，B ={x ∣
x 2−4x +3=0} ，则 ∁U (A ∪B)= （ ） A ．{1，3}
B ．{0，3}
C ．{−2，1}
D ．{−2，0}
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得， B ={x ∣x 2−4x +3=0}={1，3} ，所以A∪B={-1，1，2，
3} ，
所以∁U (A ∪B)={−2，0} . 故选：D
【分析】先求解方程求出集合B ，再由集合的并集、补集运算即可得解.
4．（5分）（2022·全国甲卷）已知 9m =10，a =10m −11，b =8m −9 ，则（ ）
A ．a >0>b
B ．a >b >0
C ．b >a >0
D ．b >0>a
【答案】A
【解析】【解答】解：由9m=10可得m =log 910=lg10lg9>1，
而lg9lg11<(lg9+lg112)2=(lg992
)2
<1=(lg10)2，
所以lg10lg9>lg11
lg10 ，
即m>lg11，
所以a=10m-11>10lg11-11=0．
又lg8lg10<(lg8+lg102)2=(lg802
)2
<(lg9)2，
所以lg9lg8>lg10
lg9 ，
即log 89>m ，
所以b =8m −9<8log 89−9=0 ． 综上，a>0>b ． 故选：A
【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=log 910>1 ，再利用基本不等式，换底公式可得 m>lg11，log 89>m ，然后由指数函数的单调性即可解出．
5．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）设 a =0.1e 0.1，b =
1
9
，c =−ln0.9， 则（ ） A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．a <c <b
【答案】C
【解析】【解答】解：令a=xe x ，b =x
1−x ，c=-ln(1-x)，
则lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]=x+ln(1-x)， 令y=x+ln(1-x)，x∪(0，0.1]， 则y′=1−11−x =−x 1−x <0，
所以y≤0， 所以lna≤lnb ， 所以b>a ，
a-c=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]， 令y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]， y′=xe x +e x −
1
1−x =
(1+x )(1−x )e x −11−x
， 令k(x)=(1+x )(1−x )e x −1， 所以k'(x)=(1-2x-x 2)e x >0， 所以k(x)>k(0)>0， 所以y'>0， 所以a-c>0，
所以a>c ， 综上可得，c<a<b ， 故选：C
【分析】分别构造函数y=x+ln(1-x)，x∪(0，0.1]，y=xe x +ln(1-x)，x∪(0，0.1]，根据导数判断函数的单调性，再运用作差法比较大小即可得解.
6．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）若集合 M ={x ∣√x <4}，N ={x ∣3x ⩾1}， 则 M ∩N =（ ）
A ．{x ∣0≤x <2}
B ．{x ∣13≤x <2}
C ．{x ∣3≤x <16}
D ．{x ∣13
≤x <16}
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意得， M ={x|0≤x <16}，N ={x|x ≥13} ，则 M ∩N = {x ∣1
3
≤x <
16} ， 故选：D
【分析】先由不等式的解法求得集合M ，N ，再根据交集的运算求得答案.
7．（5分）（2022·浙江学考）不等式 x 2−4x <0 的解集是（）
A ．(0，4)
B ．(−4，0)
C ．(−∞，4)
D ．(−∞，0)∪(4，+∞)
【答案】A
【解析】【解答】 x 2−4x <0⇒x(x −4)<0 ，解得 0<x <4 ，所以解集为 (0，4) 。

故答案为：A
【分析】利用 一元二次不等式求解集的方法，进而得出不等式 x 2−4x <0 的解集。

8．（5分）（2022·浙江学考）不等式组 {
x −2y +5≥0
x +y +2<0
表示的平面区域是（） A ． B ．
C．D．
【答案】B
【解析】【解答】画出直线x−2y+5=0，经过一、二、三象限，对应图中的实线，代入(0，0)可得5≥0成立，所以x−2y+5≥0表示的区域为直线x−2y+5=0及直线右下方；画出直线x+y+2=0，经过二、三、四象限，对应图中的虚线，代入(0，0)可得2<0不成立，所以x+y+2<0表示的区域为直线x+y+2=0及直线左下方，所以对应的平面区域为B.
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合二元一次不等式组画出可行域，从而找出不等式组表示的平面区域。

9．（5分）（2022·浙江学考）若log2(2x−1)−x<log2(λ⋅2x+3λ)对任意x∈(0，+∞)恒成立，则λ的取值范围是（）
A．(1
9，+∞)B．(0，1
9)C．(
1
5，+∞)D．(0，
1
5)
【答案】A
【解析】【解答】由log2(2x−1)−x<log2(λ⋅2x+3λ)，可得log2(2x−1)−log22x<log2(λ⋅
2x+3λ)，所以log
22x−1
2x
<log
2
(λ⋅2x+3λ)，因为函数y=log2x在(0，+∞)上单调递增，
所以2x−1
2x
<(2x+3)λ⇒2
x−1
2x⋅(2x+3)
<λ在(0，+∞)上恒成立，令t=2x(t>1)，则t−1
t(t+3)<
λ在(1，+∞)上恒成立，令y=
t−1
t(t+3)=
1
(t−1)+4t−1+5，则
y=1
(t−1)+4t−1+5
≤
√(t−1)⋅4t−1+5=19，当且仅当t=3，即x=log
2
3时，取等号，所以λ>1
9。

故答案为：A
【分析】由log2(2x−1)−x<log2(λ⋅2x+3λ)，可得log
22x−1
2x
<log
2
(λ⋅2x+3λ)，再利用函
数y=log2x在(0，+∞)上单调递增，所以2x−1
2x
<(2x+3)λ⇒2
x−1
2x⋅(2x+3)
<λ在(0，+∞)
上恒成立，令 t =2x (t >1) ，则 t−1
t(t+3)<λ 在 (1，+∞) 上恒成立，令 y =t−1t(t+3)=1(t−1)+4t−1+5 ，再利用均值不等式求最值的方法得出y =1
(t−1)+4
t−1+5
的最大值，再结合不等式恒成立问题求解方法，进而得出实数λ的取值范围。

10．（5分）（2022·上海）已知 a >b >c >d ，下列选项中正确的是（ ）
A ．a +d >b +c
B ．a +c >b +d
C ．ad >bc
D ．ac >bd
【答案】B
【解析】【解答】解：对于A ，令a=2，b=1，c=0，d=-3，则a+d=-1，b+c=1，此时a+d<b+c ，故A
错误；
对于B ，因为 a >b >c >d ，即a>b ，c>d ，则根据不等式的性质得 a +c >b +d ，故B 正确； 对于C ， 令a=2，b=1，c=0，d=-3，则ad=-3，bc=0，此时ad<bc ，故C 错误； 对于D ，令a=-1，b=-2，c=-3，d=-4，则ac=3，bd=8，此时ac<bd ，故D 错误. 故答案为：B
【分析】运用特殊值法，结合不等式的性质逐项判断即可求解.
二、多选题(共1题；共5分)
11．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）对任意x ，y ， x 2+y 2−xy =1 ，则（ ）
A ．x +y ≤1
B ．x +y ≥−2
C ．x 2+y 2≤2
D ．x 2+y 2≥1
【答案】B,C
【解析】【解答】根据 ab ≤(a+b 2)2≤a 2+b 2
2
（ a ，b ∈ R ）， x 2+y 2−xy =1 可变形为，
(x +y)2
−1=3xy ≤3(x+y 2)
2 ，解得 −2≤x +y ≤2 ，当且仅当 x =y =−1 时， x +y =
−2 ，当且仅当 x =y =1 时， x +y =2 ，所以A 不符合题意，B 符合题意；
x 2+y 2−xy =1 可变形为 (x 2+y 2)−1=xy ≤x 2+y 2
2
，解得 x 2+y 2≤2 ，当且仅当 x =y =
±1 时取等号，所以C 符合题意；
因为 x 2+y 2−xy =1 变形可得 (x −y 2)2+34y 2=1 ，设 x −y 2=cosθ，√
32
y =sinθ ，所以 x =
cosθ+
1√3，y =2√3
，因此 x 2+y 2=cos 2θ+53sin 2θ√3=1√3−
13cos2θ+13
=43+23sin(2θ−π6)∈[23，2] ，所以当 x =√33，y =−√
33
时满足等式，但是 x 2+y 2≥1 不成
立，所以D 不符合题意． 故答案为：BC
【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项．
三、填空题(共3题；共15分)
12．（5分）（2022·全国甲卷）已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=
2BD．当AC
AB取得最小值时，BD=．
【答案】√3−1或−1+√3
【解析】【解答】解：设CD=2BD=2m>0，
则在∪ABD中，AB2=BD2+AD2-2BD·ADcos∪ADB=m2+4+2m ，
在∪ACD中，AC2=CD2+AD2-2CD·ADcos∪ADC=4m2+4-4m ，
所以AC2
AB2=4m
2+4−4m
m2+4+2m
=
4(m2+4+2m)−12(1+m)
m2+4+2m
=4−12
(m+1)+3m+1
≥4−12
2√(m+1)×3m+1
=4−
2√3，
当且仅当m+1=3
m+1即m=√3−1时，等号成立，
所以当AC
AB取最小值时，m=√3−1，即BD= √3−1
.故答案为：√3−1.
【分析】设CD=2BD=2m>0，利用余弦定理表示出AC 2
AB2
后，结合基本不等式即可得解.
13．（5分）（2022·新高考Ⅰ卷）若曲线y=(x+a)e x有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是.
【答案】a＞0或a＜-4
【解析】【解答】解：易得曲线不过原点，设切点为(x0，(x0+a)e x0)，则切线斜率为
f(x0)=(x0+a+1)e x0，
可得切线方程为y-(x0+a)e x0=(x0+a+1)e x0(x-x0)，又切线过原点，
可得-(x0+a)e x0=-x0(x0+a+1)e x0，化简得x02+ax0−a=0(∪)，
又切线有两条，即方程∪有两不等实根，由判别式∪=a2+4a>0，得a<-4或a>0.
故答案为：a<-4或a>0.
【分析】由导数的几何意义，求得切线方程，再结合切线过原点，易得方程x 02+ax 0−a =0有两不等实根，由∪>0求解即可.
14．（5分）（2022·上海）不等式 x−1x <0 的解集为
【答案】(0，1)
【解析】【解答】解：由题意得
x−1
x <0
等价于x(x-1)<0，解得0<x<1，故所求解集为 (0，1) .
故答案为： (0，1) .
【分析】根据分式不等式的解法直接求解即可.
四、解答题(共4题；共45分)
15．（10分）（2022·全国乙卷）已知a ，b ，c 都是正数，且 a 3
2+b 3
2+c 3
2=1 ，证明： （1）（5分）abc ≤19 ；
（2）（5分）a b+c +b a+c +c
a+b ≤
1
2√abc
． 【答案】（1）证明：因为 a >0 ， b >0 ， c >0 ，则 a 3
2>0 ， b 3
2>0 ， c 3
2>0 ，
所以 a 32+b 32+c 3
23≥√a 32⋅b 32⋅c 323
，
即 (abc)12≤13
，所以 abc ≤1
9 ，当且仅当 a 32=b 32=c 32 ，即 a =b =c =√193 时取等号．
（2）证明：因为 a >0 ， b >0 ， c >0 ，
所以 b +c ≥2√bc ， a +c ≥2√ac ， a +b ≥2√ab ，
所以 a b+c ≤a 2√bc =
a 3
2
2√abc ， b a+c ≤b 2√ac =b 32
2√abc ， c a+b ≤c 2√ab =c 32
2√abc
a b +c +b a +c +c a +b ≤a 322√abc b 322√abc c 322√abc =a 32b 32c 322√abc =
2√abc
当且仅当 a =b =c 时取等号．
【解析】【分析】（1）利用三元均值不等式即可证明；
（2）利用基本不等式及不等式的性质证明即可．
16．（10分）（2022·新高考Ⅰ卷）记 △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
cosA
1+sinA =sin2B 1+cos2B .
（1）（5分）若 C =2π
3
， 求B ；
（2）（5分）求 a 2
+b 2
c 2 的最小值.
【答案】（1）因为 cosA 1+sinA =sin2B 1+cos2B =
2sinBcosB 2cos 2B
=sinB
cosB ， 所以 cosAcosB =sinB +sinAsinB ， 所以 cos(A +B)=sinB ，
又因为 cos(A +B)=sinB ⇒sinB =cos(π−C)=cos π3=1
2 ，
C =2π3>π
2 ，所以 B <π2 ，故 B =π6 . （2）因为 sinB =cos(π−C)=sin(C −π
2) 所以 B =C −π
2
所以 sinA =sin(B +C)=sin(2C −π
2)=−cos2C
由余弦定理 c 2=a 2+b 2−2abcosC ⇒a 2+b 2=c 2+2abcosC
所以 a 2+b 2
c 2=c 2
+2abcosC c 2=1+2abcosC c 2
=1+
2sinAsinBcosC
sin 2C
=1+
2sinAsinBcosC
sin 2C
=1+
2cos2Ccos 2C
sin 2C =1+
2(1−2sin 2C)(1−sin 2C)sin 2C
=1+2(2sin 2C +
1
sin 2C
−3) ≥1+2(2√2−3)=4√2−5
当且仅当 2sin 2C =
1sin 2C
，即 sin 2
C =√22 时取得等号， 综上， a 2
+b 2
c 2
的最小值为 4√2−5 .
【解析】【分析】（1）先由二倍角公式与两角和的余弦公式，化简得 cos(A +B)=sinB ，再由诱导公式，结合三角形的内角和性质，得 sinB =1
2
，可得B ；
（2）由诱导公式求得B=C−π
2，sinA=−cos2C，再结合余弦定理与三角恒等变换，化简得
a2+b2 c2=1+2(2sin2C+1
sin2C
−3)，并利用基本不等式求最值即可.
17．（10分）（2022·上海）如图，矩形ABCD区域内，D处有一棵古树，为保护古树，以D为圆心，DA为半径划定圆D作为保护区域，已知AB=30m，AD=15m，点E为AB上的动点，点F 为CD上的动点，满足EF与圆D相切.
（1）（5分）若∪ADE =20°，求EF的长；
（2）（5分）当点E在AB的什么位置时，梯形FEBC的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到0.1m，面积精确到0.01m²）
【答案】（1）如图，作DH∪EF，
则EF=EH+HF=15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∪ADE=θ，AE=15tanθ，FH=15tan(90°-2θ)，
则S AEFD=15
2(30tanθ+15cot2θ)=225
4(3tanθ+
1
tanθ)≥
225√3
2
当且仅当3tanθ=1
tanθ，即tanθ=√3
3
时，等号成立，
即当AE=15tanθ=5√3时，最大面积为450−225√3
2≈255.14m
2
【解析】【分析】（1）根据正切函数的定义，运用数形结合思想求解即可；
（2）根据面积公式，结合基本不等式求最值求解即可.
18．（15分）（2022·上海）已知函数f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)；乙变化：|f(x+t)−
f(x)|，t>0.
（1）（5分）若t=1，f(x)=2x，f(x)经甲变化得到g(x)，求方程g(x)=2的解；
（2）（5分）若f(x)=x2，f(x)经乙变化得到ℎ(x)，求不等式ℎ(x)≤f(x)的解集；
（3）（5分）若f(x)在(−∞，0)上单调递增，将f(x)先进行甲变化得到u(x)，再将u(x)进行乙变化得到ℎ1(x)；将f(x)先进行乙变化得到v(x)，再将v(x)进行甲变化得到ℎ2(x)，若对任意t>0，总存在ℎ1(x)=ℎ2(x)成立，求证：f(x)在R上单调递增.
【答案】（1）由题意得g(x)=f(x)-f(x-1)=2x-2x-1=2x-1，
则由g(x)=2得2x-1=2，解得x=2；
（2）由题意得h(x)=|2tx+t2|，如图所示
①当x≤−t
2时，h(x)≤f(x)恒成立；
②当x>−t
2时，h(x)=2tx+t2，则由h(x)≤f(x)得2tx+t2≤x2，
解得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t，
综上可得x≤(1−√2)t或x≥(1+√2)t，
故解集为：(−∞，(1−√2)t]∪[(1+√2)t，+∞)
（3）由题意得h1(x)=|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|，h2(x)=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|，∵x∪R时，h1(x)=h2(x)恒成立
∴|[f(x+t)-f(x)]-[f(x)-f(x-t)]|=|[f(x+t)-f(x)]|-|[f(x)-f(x-t)]|……①
∵t>0且 f(x) 在 (−∞，0) 上单调递增
∴x-t<x<0
则根据|a-b|≥|a|-|b|(当且仅当ab≥0且|a|≥|b|时等号成立)
得f(x-t)<f(x)
∴f(x)-f(x-t)>0
则由①得{[f(x +t)−f(x)]·[f(x)−f(x −t)]⩾0
|f(x +t)−f(x)|≥|f(x)−f(x −t)|=f(x)−f(x −t)>0
∴f(x+t)-f(x)>0
即f(x+t)-f(x)>f(x)-f(x-t)>0
∴{f(x +t)−f(x)>f(x)−f(x −t)
f(x +t)>f(x)f(x)>f(x −t)
对t>0都成立，
则f(x)在R 上单调递增.
【解析】【分析】(1)根据函数的新定义，结合对数方程的解法求解即可；
(2)根据函数的新定义，运用数形结合思想，结合不等式的解法求解即可；
(3)根据函数的新定义，结合函数的单调性，以及绝对值不等式的性质求解即可.。