2022年湖北省高考数学调研试卷及答案解析

2022年湖北省高考数学调研试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合P ＝{x |x ≥1，且x ∈N }，Q ＝{x |2x ≤8}，则P ∩Q ＝（ ）

A ．{x |1≤x ＜4}

B ．{x |1≤x ＜3}

C ．{1，2}

D ．{1，2，3}

2．（5分）欧拉公式e i θ＝cos θ+i sin θ（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）由瑞士数学家

Euler （欧拉）首先发现．它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则e i π＝（ ）

A ．﹣1

B ．1

C ．﹣i

D ．i

3．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （3，y ）到焦点F 的距离|MF |＝4，则抛物线的

方程为（ ）

A ．y 2＝8x

B ．y 2＝4x

C ．y 2＝2x

D ．y 2＝x

4．（5分）某学校高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为1600，1100，800，现用分

层抽样的方法从高一年级、高二年级、高三年级抽取一个学生样本测量学生的身高．如果在这个样本中，有高一年级学生32人，且测得高一年级、高二年级、高三年级学生的平均身高分别为160cm ，165cm ，170cm ．则下列说法正确的是（ ）

A ．高三年级抽取的学生数为32人

B ．高二年级每个学生被抽取到的概率为1100

C ．所有年级中，高一年级每个学生被抽取到的概率最大

D ．所有学生的平均身高估计要小于165cm

5．（5分）函数f(x)=sinx −√3cosx ，先把函数f （x ）的图像向左平移π3个单位，再把图像上各点的横坐标缩短到原来的12得到函数g （x ）的图像，则下列说法错误的是（ ） A ．函数g （x ）是奇函数，最大值是2

B ．函数g （x ）在区间(−π6，π3)上单调递增

C ．函数g （x ）的图像关于直线x =π4+kπ(k ∈Z)对称

D ．π是函数g （x ）的周期

6．（5分）已知|AB →|＝3，|BC →|＝2，|AB →−3BC →|＝6，则|AB →+CB →

|＝（ ）

A．4B．√10C．10D．16

7．（5分）已知a＝e﹣0.02，b＝0.01，c＝ln1.01，则（）

A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．b＞c＞a

8．（5分）若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积．则如图所示的涂色部分的面积表示（）

A．事件A发生的概率

B．事件B发生的概率

C．事件B不发生条件下事件A发生的概率

D．事件A、B同时发生的概率

二、多项选择：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

（多选）9．（5分）已知函数f（x）＝|x|+|x|1

2−cos x，则下列说法正确的是（）

A．f（x）是偶函数

B．f（x）在（0，+∞）上单调递减

C．f（x）是周期函数

D．f（x）≥﹣1恒成立

（多选）10．（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M，则下列说法正确的是（）

A．地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级约为七级

B．八级地震释放的能量约为七级地震释放的能量的6.3倍

C．八级地震释放的能量约为六级地震释放的能量的1000倍

D．记地震里氏震级为n（n＝1，2，…，9，10），地震释放的能量为a n，则数列{a n}是等比数列

（多选）11．（5分）已知直线l：kx﹣y﹣k+1＝0，圆C的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝16，

则下列选项正确的是（ ）

A ．直线l 与圆一定相交

B ．当k ＝0时，直线l 与圆

C 交于两点M ，N ，点E 是圆C 上的动点，则△MNE 面积的最大值为3√7

C ．当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小值为2√6

D ．若圆C 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四个点，则四边形ABCD 的面积为48

（多选）12．（5分）已知三棱锥S ﹣ABC 的底面是边长为a 的正三角形，SA ⊥平面ABC ，P

为平面ABC 内部一动点（包括边界）．若SA =a 2，SP 与侧面SAB ，侧面SAC ，侧面SBC 所成的角分别为α1，α2，α3，点P 到AB ，AC ，BC 的距离分别为d 1，d 2，d 3，那么（ ）

A ．√d 1+√d 2+√d 3为定值

B ．d 1+d 2+d 3为定值

C ．若sin α1，sin α3，sin α2成等差数列，则d 1+d 2为定值

D ．若sin α1，sin α3，sin α2成等比数列，则√d 1+√d 2为定值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若sin （π4−θ）=13，则cos2θsinθ+cosθ= ．

14．（5分）已知双曲线C ：x 2

a 2−y 2

b 2=1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F 关于它的一条渐近线的

对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为 ．

15．（5分）已知函数f （x ）＝x +1x （x ＞0），若f(x)

(f(x))2+a 的最大值为25，则正实数a ＝ ． 16．（5分）若函数f （x ）的定义域为R ，对任意的x 1，x 2，当x 1﹣x 2∈D 时，都有f （x 1）﹣

f （x 2）∈D ，则称函数f （x ）是关于D 关联的．已知函数f （x ）是关于{4}关联的，且当x ∈[﹣4，0）时，f （x ）＝x 2+6x ．则：

①当x ∈[0，4）时，函数f （x ）的值域为 ；

②不等式0＜f （x ）＜3的解集为 ．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =3S n −2(n ∈N ∗)．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）求证：对任意的m ∈N *，S m ，S m +2，S m +1成等差数列．

18．（12分）在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a cos C ﹣b −c 2=0．