第二章作业题解答

第二章静电场习题解答

2-1.已知半径为F = Cl的导体球面上分布着面电荷密度为

A = p s0 cos的电荷，式中的炖0为常数，试计算球面

上的总电荷量。

解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。由球面积分，得到

2用打

Q =护= J j p50cos OrsmOd Od(p

(S) 0 0

In x

=j j psQSefsinGded0

0 0

In n

=PsF j J cos ageded(p

0 0

丸

=sin20d0 = 0

o

2-2.两个无限人平面相距为d,分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，

求两平面外及两平面间的电场强度。

解对于单一均匀带电无限人平面，根据对称性分析，计算可得上半空

间和卞半空间的电场为常矢量，且大小相等方向相反。由高斯定

理，可得电场大小为

E = ^-

2e0

对于两个相距为的d无限大均匀带电平面，同样可以得到

E] = E“耳=E3

题2-2图因此，有

2-3.两点电荷q、= 8C和q2 = -4C ,分别位于z = 4和

),=4处，求点P(4,0,0)处的电场强度。

解根据点电荷电场强度叠加原理，P点的电场强度矢量为点

Si和Si处点电荷在P处产生的电场强度的矢量和，即

E r = Qi 弘 | ① R?

4T V£0/?/ 4TT£0

R] = r — r L = 4e v — 4e., R 、= J 4-0 " + 0-4 ~ = 4>/2 R 2 =r —r 2 =4e v -4e v , R 2 = J 4-0 ' + 0-4 ' = 4>/2

2-7. 一个点电荷+q 位于（-a, 0,0）处，另一点电荷-2q 位于（a,

0,0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点

吗？

解根据点电荷电位叠加原理，有

々)=丄]鱼+鱼

4矶丄忌」

式中

Rj =r-r L = x-\-a e v + ye v +e. R i = yl x + a 2 + r+^2 R 2 =r-r 2 = x ~a e v + )，e y+e r R? — yj x — ci + )r +

代入得到

式中

代入得到

心孟 _______ 1

^

x + a)2

+ y 2

+ z 2

2

JaS+b+z 2

（3x+d ）（x+3a ） + 3），+3z ，=0

根据电位与电场强度的关系，有

电位为零，即令

简化可得零电位面方程为

要是电场强度为零，必有

E x = 0, E y = 0, E : = 0

一 (x+ d)[(x + d)2 + y 2 + ^2p + 2(—d)[(—d)2

+ y 2 + 疋 -)^(x+n)2 + y 2 + z 2 2 +2y^(x-a)2 + y 2

+ z 2

丄

-z[(x + d)2 + + 疋 2+2z[(x-d)2 +)*

此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。

2-9.电场中有一半径为d 的圆柱体，已知圆柱内、外 的电位为

u = 0, p

（ 2、

4 a

、

u = A p ------ cos （p 、 p>a

I p ）

求：（l ）圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是 由什么材料

构成的，表面有电荷吗？

解 （1）根据电位与电场强度的关系式 「 l oil 1 du du

E = -vu =- ——e“ + --------- e^ +——e.

dp p d (p ~

得到

=-V H = 0, p

( ? \

/ ? \

=-A 1 /

A 1 + ^- cos 理Q + A

1 2 sm 叫 p>ci

E(r) = -Vw(r)= 一 些轧 + 譽e + 字e ：

\dx 勿 oz

2p + 2(x-f/)[(x-f/)2 + r + z

3

3 \

r (x + fl)2 + y 2

+ r j[(

x-a)2 + y 2 + z 2

e_ ■

3

J

= o

3 J = o

3

2

P =

+

(x + a)[( x +

+ y 2 + V _y [(工+a 『 + y2 + z

\2 •> o

x-ci) +)厂

e /

+

题2-9图

（2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。有根据电位边界条件

所以

du 、 ps = —— = —2£° A cos (p

©p

2-11.两无限人平行板电极，距离为d,电位分别为 0和S ，两板间充满

电荷密度为“x/d 的介质，如 图所示。求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度。

解由于两无限人平板间存在电荷密度分布，电 位函数满足泊松方程。又平板沿Y 和Z 方向无穷犬， 电位分布与x 和z 无关，因此，有

d 2u _ p v _ p 0 v

且满足边界条件

求解二阶常微分方程，得到

1 pn 3

U = ----- A +C[X + C° 6咖

应用边界条件，有

du

8

=0, p

尸Q

du

ep =24 cos 0 尸Q

p>ci

U =

.Z="o ，q=——

6qd

Pod ---------- 1 ---------

6勺

题2-11图

v=0 =0> C 2 =°