第二章作业题解答

第二章静电场习题解答2-1.已知半径为F = Cl的导体球面上分布着面电荷密度为A = p s0 cos的电荷，式中的炖0为常数，试计算球面上的总电荷量。

解取球坐标系，球心位于原点中心，如图所示。

由球面积分，得到2用打Q =护= J j p50cos OrsmOd Od(p(S) 0 0In x=j j psQSefsinGded00 0In n=PsF j J cos ageded(p0 0丸=sin20d0 = 0o2-2.两个无限人平面相距为d,分别均匀分布着等面电荷密度的异性电荷，求两平面外及两平面间的电场强度。

解对于单一均匀带电无限人平面，根据对称性分析，计算可得上半空间和卞半空间的电场为常矢量，且大小相等方向相反。

由高斯定理，可得电场大小为E = ^-2e0对于两个相距为的d无限大均匀带电平面，同样可以得到E] = E“耳=E3题2-2图因此，有2-3.两点电荷q、= 8C和q2 = -4C ,分别位于z = 4和),=4处，求点P(4,0,0)处的电场强度。

解根据点电荷电场强度叠加原理，P点的电场强度矢量为点Si和Si处点电荷在P处产生的电场强度的矢量和，即E r = Qi 弘 | ① R?4T V£0/?/ 4TT£0R] = r — r L = 4e v — 4e., R 、= J 4-0 " + 0-4 ~ = 4>/2 R 2 =r —r 2 =4e v -4e v , R 2 = J 4-0 ' + 0-4 ' = 4>/22-7. 一个点电荷+q 位于（-a, 0,0）处，另一点电荷-2q 位于（a,0,0）处，求电位等于零的 面；空间有电场强度等于零的点吗？解根据点电荷电位叠加原理，有々)=丄]鱼+鱼4矶丄忌」式中Rj =r-r L = x-\-a e v + ye v +e. R i = yl x + a 2 + r+^2 R 2 =r-r 2 = x ~a e v + )，e y+e r R? — yj x — ci + )r +代入得到式中代入得到心孟 _______ 1^x + a)2+ y 2+ z 22JaS+b+z 2（3x+d ）（x+3a ） + 3），+3z ，=0根据电位与电场强度的关系，有电位为零，即令简化可得零电位面方程为要是电场强度为零，必有E x = 0, E y = 0, E : = 0一 (x+ d)[(x + d)2 + y 2 + ^2p + 2(—d)[(—d)2+ y 2 + 疋 -)^(x+n)2 + y 2 + z 2 2 +2y^(x-a)2 + y 2+ z 2丄-z[(x + d)2 + + 疋 2+2z[(x-d)2 +)*此方程组无解，因此，空间没有电场强度为零的点。

2-9.电场中有一半径为d 的圆柱体，已知圆柱内、外 的电位为u = 0, p<a（ 2、4 a、u = A p ------ cos （p 、 p>aI p ）求：（l ）圆柱体内、外的电场强度；（2）这个圆柱是 由什么材料构成的，表面有电荷吗？解 （1）根据电位与电场强度的关系式 「 l oil 1 du duE = -vu =- ——e“ + --------- e^ +——e.dp p d (p ~得到=-V H = 0, p<a( ? \/ ? \=-A 1 /A 1 + ^- cos 理Q + A1 2 sm 叫 p>ciE(r) = -Vw(r)= 一 些轧 + 譽e + 字e ：\dx 勿 oz2p + 2(x-f/)[(x-f/)2 + r + z33 \r (x + fl)2 + y 2+ r j[(x-a)2 + y 2 + z 2e_ ■3J= o3 J = o32P =+(x + a)[( x ++ y 2 + V _y [(工+a 『 + y2 + z\2 •> ox-ci) +)厂e /+题2-9图（2）由于圆柱体是等位体，且圆柱内电场为零，判断材料是导体。

有根据电位边界条件所以du 、 ps = —— = —2£° A cos (p©p2-11.两无限人平行板电极，距离为d,电位分别为 0和S ，两板间充满电荷密度为“x/d 的介质，如 图所示。

求两极板间的电位分布和极板上的电荷密 度。

解由于两无限人平板间存在电荷密度分布，电 位函数满足泊松方程。

又平板沿Y 和Z 方向无穷犬， 电位分布与x 和z 无关，因此，有d 2u _ p v _ p 0 v且满足边界条件求解二阶常微分方程，得到1 pn 3U = ----- A +C[X + C° 6咖应用边界条件，有du8=0, p<a尸Qduep =24 cos 0 尸Qp>ciU =.Z="o ，q=——6qdPod ---------- 1 ---------6勺题2-11图v=0 =0> C 2 =°所以根据电位满足的边界条件可得在卜极板上表面的电荷密度分布为下极板导体中的电位为零，有些=0 dx代入，得到对于上极板，导体中的电位为常数"1 =dx上极板卜•表面电荷密度为Pod32J5・空间某区域中的电荷密度在柱坐标系中为Pv=20pL (C/m 3),应用高斯定理求电通密度D 。

解根据题意知，电荷密度分布与0、Z 无关，因此场分布具有柱对称性，电通密度矢量D 仅有J 分量，由高斯定理^Dt/S = Jjjp v JV(S)(V)取圆柱面为高斯面，有In2兀 pj Dppld (p= J J 2Qpe~p pld (pclp 0 0 02/r p2兀plDp = j 、20pe-Ppldcpdpo o= 40^/(2-[p 2 + 2p + 2]e _p j 20(2一0 + 2° + 2]厂)QP2-17.在真空中放置一无限长线电荷密度为0的细金属棒，证明在径向距离上的两点p\、p?du 2d之间的电位差为din空2 叭\ Px )解首先计算无限长带电金属棒在空间任一点产生的电场。

由于线电荷分布无限长，电通密度矢量仅有径向分量，且在同一圆柱面上电通密度矢量的人小相等，根据高斯定理，有幷)D・ dS = D17rpl = p{l由此得到电通密度矢量D = de,2応p卩而电场强度为根据电位的定义，在径向选择一点卩0为参考点，则有氏氏耳U = Wj — w? = J E • f/l —J E • f/1 = J E • ^/lpi pi pipy=f———e -e Jp = —In—'"2 2 硯p、2-25.如图所示，电荷0距离两无限人接地直角平面XY平面的垂直距离为d,距离XZ平面的垂直距离也是d。

利用镜像法求任一点P(0, y, z)的电位和电场。

解两个半无限人导体平面间的夹角(乂= 90°,"= 氓> =4,则所需镜像电荷数为90°3。

首先，移去沿Z轴放置的导体平板，在y<0^> 0的空间填充的介质，并在与放置+Q对称的位置上放置等量异号电荷-Q，如图所示。

其次，移去Y轴放置的导体板，在z<0题2-25图的下半空间填充q的介质，并在与上半空间放置电荷的对称位置上放置等量异号电荷。

利用点电荷叠加原理，得到四个点电荷在P（0*二）点产生的电位为( 、0「1 1 1u(o.y f z)= --------- ----------- + ------' )4矶出R2 &=0 J L I L 14 矶Jb_d『+(z_d)2 J(y + d『 + (z_d)2' 1 ，厂, ，J(y + d)2+(z + d『J(y_d)’+(z + d)2验证可得4-o=°根据唯一性定理，边值问题的解为_ 1 1J(y_d『 + (z_d)2 Jb + d)2+(z_d『_______ 1 __________________ 1 _______Jb + dr + G + d)，Jb_d『+(7 + d)2 j2・26・设一点电荷q与无限人接地导体平面的距离为小如图所示。

求：（1）上半空间的电位分布和电场强度；（2）导体平面上的感应电荷密度:（3）点电荷所受的力。

Z-q «一一d, ________ X/////////} //////题2-26图解（1）采用镜像法。

移去接地导体板，用切的介质填充，并在与+Q对称的位置S（0,0,- 处放置一镜像电荷p,则上半空间任一点的电位为「1 _ 1、q(11、尽尺2丿 4矶Jx 2 + y 2+(z-d)~7 lx 2 + y 2 + (z + d)2)根据电场强度与电位的关系式，何p 5=n(D 1-D 2) = e r -(^0E)在导体表面上卩0, R F R A 令R=R1=R“得到导体表面的电场强度为E—孟隔弓卜卜厳耳因此，有Ps =j (£()E )= -------- 理y八丿2托便(3)点电荷+q 所受的力就是点电荷+q 与镜像电荷-Q 之间的作用力，也就等于点电荷+q 与无限大导体板上感应电荷之间的作用力，方向向卞，沿一匕方向，即4能0 2d ・・2-27.如图所示，一个沿Z 轴很长且中空的矩形金属管，其中三边保持零电位，第四边电位 7[y 、 为U,求：(1)当U=Uo 时，管内的电位分布；(2)当U = U Q Sill 时，管内的电位分I b 丿布。

解 由于矩形金属管沿Z 轴方向无限长，故金属 管内电位与z 无关，由此得到金属管电位分布的边值 问题为=U.x=a;Q<y<h题2-27图w(^y,z)=X(x)y(>9代入拉普拉斯方程，得到X(Q 和Y(v)满足的本征方程为空+%。

dx 2 dy 2v=0;0<y<i=0 b I n=0u=U Ii L g笔(2)根据电通密度矢量的边界条件，得到感应电荷分布密度为常数人和匕•满足屮=0由边界条件町得本征函数满足的边界条件为X —，X — y U^ = °本征函数x (©在边界上有一个零点，其解应取双曲函数形式X(x) = A cosh 比」x + B siiili 闊 x本征函数Y(v)在边界有两个零点，Y(y)取三角函数形式Y (y) = C cos k y y + D sin k y y根据边界条件，有X (0) = 4 cosh K J 0 + B sinh / J 0 = 4 cosh |^x |0 = 0, 4 = 0 X(a) = Bsinh\k s \a = U而y(o)= c = oY(b) = Dsink b = 0显然，D 不能为零，否则电位函数恒为零，因此sink v b = 0, k =竽，加= 1,2,…b由于得到本征函数XU)的解形式为X(x) = 〃 sinh 殳2b根据线性叠加原理，得到矩形金属管内电位的通解为“(X,刃=X%(X ，)') = X B,” sinh 罕 xsin 耳 y〃el /H=l D沪y(y)dy 2= ~k ；Y(y)L -严 \k|_〃皿因此，电位分布为2・28・两平行的无限人导体平面，其间距离为b,在两板间沿X 方向有一无限长的极薄的导 体片，其坐标由）=d 到尸山如图所示。