浅谈矩阵对角化及其应用(米亚兄) - 天津商业大学商学院【优秀资料】

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浅谈矩阵对角化及其应用

写在前面：结识高等代数已经快一年了，我们从最初的认识行列式，一直到到现在的欧几里得空间，逐一学习了线性方程组、矩阵、多项式、二次型、线性空间、线性变换，现在就浅谈一下自己对矩阵对角化及其应用的认识。

众所周知：n维向量空间V中的线性变换δ可否对角化的问题是高等代数中十分重要的内容，而δ可对角化的充要条件是δ关于V的矩阵A可对角化。

内容摘要：文章综述了矩阵可以对角化的条件，讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。

关键词：矩阵对角化特征多项式特征值特征向量

导言：文章由矩阵可对角化出发，说明矩阵可对角化的条件、讨论了可对角化矩阵的基本性质和结论，给出了矩阵（特殊矩阵如是对称阵）对角化的基本方法，以及对应特征多项式的性质，最后讨论其在特征值、特征向量方面的应用。

具体内容：

1、矩阵可对角化的条件：

1）设δ是n维线性空间的一个线性变换，δ的矩阵可以在某一组基下维对角矩阵的充分必要条件是δ有n 个线性无关的特征向量。

2）方块矩阵A被称为可对角化的，如果它相似于对角矩阵，就是说，如果存在一个可逆矩阵P使得P−1AP是对角矩阵。

3）设A 是数域F上的n阶矩阵，如果存在F上n阶可逆矩阵T，使得

T1-AT=∧,那么，就说矩阵A 是可以对角化的。

可对角化矩阵的基本性质和结论：

1）数域F上n阶矩阵A可以对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

2）数域F上n阶矩阵A在F内有n个不同的特征根，那么A可以对角

化。

3） 属于不同特阵值的特征特真向量是线性无关的。

4）

如果在n 维空间V 中，线性变换δ的特征多项式在数域P 中有n 个不同的根，即δ有n 个不同的特征值，那么在某组基下的矩阵是对角形

的。

5） 任一n 阶实对称矩阵都可以对角化。

6）

对任一n 阶实对称矩阵A ，必存在n 阶正交矩阵T 使得T 1-AT=diag(1λ,2λ,...,n λ)，其中（1λ,2λ,...,n λ为A 的特征根)。

5）实对称矩阵 的任一个特征值都是实数。

6）实对称矩阵

对应于不同特征值的实特征向量是正交的。

2、矩阵对角化的方法及实例解析：（以实对称矩阵为例）

实对称矩阵是一类很重要的矩阵，它具有一些特殊的性质，特别是，它可以正交相似于一个实对角阵。

设A 是一个n 阶实对称矩阵，α , β 是任意的n 维实向量，那么 (Aα,β)=(α,Aβ)

设A 是一个n 阶实对称矩阵，T=[]n X X X (21)

是一个正交矩阵使得

，则1λ,2λ,…n λ是A 的所有特征值，而X 1,X 2,…X n 是

A 的n 个相互正交的单位特征向量。

例1 设A=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--------2111121111211112，求正交矩阵T ，使得T 1-AT 为对角阵。

解：由A E -λ=

2

111

12111

1211112

---------λλλλ=)5()1(3--λλ

得

的特征值为1λ=2λ=3λ=1（三重特征值）,4λ=5.

当1λ=1时，由(1λE-A)=0，即： ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡--------1111111111111111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000 得基础解系为1α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011， 2α=⎥

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101，3α= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-1001 ，把它正交化，

得1β=1α=⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0011，2β=2α-11112,,ββββα=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-012121，3β=3α-22223,,ββββα-11113,,ββββα=⎥⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1313131 再将其单位化得：1η=⎥⎥

⎥

⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡002222，2η=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-

03

66666，3η= ⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---23636363

当4λ=5时，由(1λE-A)=0即：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡----3111131111311113⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡4321x x x x =⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000， 得基础解系为4α=⎥

⎥⎥⎥

⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--1111,将其单位化得：4η=⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21212121 则1η,2η,3η,4η是A 的一组单位正交的特征向量，令

T=[]43

21ηηηη=⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣

⎡-

-----

212

32

1633

62163662

2

2

13

36

6

220

00