计算不定积分应该注意的几个问题资料
不定积分基础总结
不定积分基础总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它与定积分相对应。
在学习不定积分之前，首先需要了解导数的概念，因为不定积分与导数是密切相关的。
导数描述了函数在其中一点上的变化率，而不定积分则是描述了一个函数在整个定义域内的积分结果。
不定积分也可以看作是导数的逆运算。
一、不定积分的定义不定积分的定义是通过求解约定的不定积分运算符号（∫f(x)dx）表示的。
其中，f(x)为被积函数，dx为变量，∫表示积分的意思。
二、基本不定积分公式1.常数函数的积分∫kdx = kx + C （其中，C为积分常数）这个公式意味着，如果被积函数是一个常数，不定积分的结果是该常数乘以变量x，再加上一个积分常数C。
2.幂函数的积分∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C这个公式适用于n不等于-1的情况。
其中，C为积分常数。
3.指数函数的积分∫e^x dx = e^x + C这个公式意味着，e的x次方函数的不定积分是它自己再加上一个积分常数C。
4.三角函数的积分∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫se c^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C这些公式意味着不同的三角函数与它们的导数的关系。
5.对数函数的积分∫1/x dx = ln，x， + C这个公式意味着，对数函数的不定积分是自然对数函数再加上一个积分常数C。
三、基本的积分法则1.常数倍法则如果f(x)是可积函数，k是常数，则∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx这个法则意味着，如果被积函数乘以一个常数，那么不定积分的结果也会乘以这个常数。
2.和差法则如果f(x)和g(x)都是可积函数，则∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx这个法则意味着，如果被积函数是两个可积函数的和或差，那么不定积分的结果也是这两个可积函数的不定积分的和或差。
不定积分求解运算法则
不定积分求解运算法则不定积分求解是微积分中的重要内容之一，它可以用来求解函数的原函数，为我们提供了求解定积分和解微分方程等问题的基础。
在求解不定积分时，我们需要掌握一些运算法则，这些法则可以帮助我们更加高效地求解不定积分。
一、基本积分法则基本积分法则主要包括线性性、积化和差化和常数乘积的法则。
1.线性性：若f(x)和g(x)是连续函数，k为常数，则有：∫(kf(x) + g(x))dx = k∫f(x)dx + ∫g(x)dx2.积化和差化：对于连续函数f(x)和g(x)，有：∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx3.常数乘积法则：对于连续函数f(x)和常数k，有：∫k f(x)dx = k∫f(x)dx二、换元积分法则换元积分法则也称为u-置换法，它是利用复合函数的求导和求逆的关系进行积分的一种方法。
1.一元换元法则：设u=g(x)是x的可导函数，f(u)是u的原函数，则有：∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du2.多元换元法则：对于多元函数，设u=g(x,y)和v=h(x,y)是x,y的可导函数，f(u,v)是u,v的原函数，则有：∬f(g(x, y), h(x, y))(∂(g, h)/∂(x, y))dxdy = ∬f(u, v)dudv 三、分部积分法则分部积分法是利用求导的乘积法则进行积分的方法，可以将一个积分转化为两个因子相乘的形式，从而简化计算。
1.一元分部积分法则：设u=f(x)和v=g(x)是可导函数，f'(x)和g'(x)是它们的导数，则有：∫u v' dx = uv - ∫u'v dx2.多元分部积分法则：对于多元函数，设u=f(x,y)和v=g(x,y)是可导函数，f'(x,y)和g'(x,y)是它们的导数，则有：∫∫u ∂v/∂x dA = ∮uv dy - ∫∫∂u/∂y v dA四、有理函数分解积分法则有理函数分解积分法用于求解有理函数的不定积分，即把一个有理函数表示为几个基本函数的和的形式。
不定积分计算方法总结及举例
不定积分计算方法总结及举例对不定积分计算方法的思考为大家献上对不定积分计算方法的思考，欢迎各位数学毕业的同学阅导数在不等式证明中的应用!摘要：本文通过分析不定积分计算教与学中的困难，提出老师和学生要注意的问题，并对几种常用方法作了分析。
关键词：不定积分计算困难分析常用方法不定积分是大学数学关于计算问题的一个重要内容，是定积分、重积分、线面积分计算、微分方程求解的基础。
因此，熟练掌握不定积分的计算方法与技巧，对于学好高等数学是十分必要的，然而它的计算却存在着一定的难度。
一、不定积分计算的困难及分析不定积分计算的困难首先是由其概念本身带来的，因为从求导的逆运算引进，造成了它的计算是非构造性的一类运算，它与求导相比有着显著的不同，求导有一定的公式可套，但求不定积分并非如此。
不定积分计算的困难还在于错误的思考方法，对于学生来说，解题往往通过“猜”的方式，猜原函数，这显然相当的困难;在老师方面，不定积分的教学也是一个难点，老师的任务是理出方法，教会学生如何理解方法，而不是凭感觉。
现实存在的.问题有两个：一是当在指定让学生用哪种方法解决时，学生可以做到，但如果把方法混在一起，学生往往不知道用哪种方法;二是在当时学生会解决的题目，时间久了，学生就忘记了。
原因都在于学生没有真正理解透各种方法的本质特点，面对问题时，不知道怎么根据其特征选择适当的方法。
二、不定积分计算的方法思考在介绍积分方法时，老师首先应提醒学生注意被积函数的多样性，而不同类型的被积函数就需要不同的积分方法来解决，对于一个给定的f(x)，要求f(x)dx，这是一个未知的问题，从宏观上说我们要将未知的问题转化为已学知识来讨论。
那么就存在两个问题：已知的是什么?怎么转化过去?课本根据求导与不定积分的关系由基本求导公式给出了积分基本公式，它们可以作为已知的知识，那么不能直接由积分公式解决的问题，就要通过几种转化方法转化到现有的公式上，转化的依据要根据被积函数的结构和转化方法的特点。
不定积分求解方法及技巧
不定积分求解方法及技巧不定积分是微积分中的重要概念之一，它与定积分相互对应，是求导的逆运算。
在实际中，我们经常需要对函数进行不定积分来求函数的原函数，或者求解一些与变量相关的问题。
下面，我将介绍一些常见的不定积分求解方法及技巧。
一、基本不定积分法基本不定积分法是指利用函数的基本积分公式来求解不定积分的方法。
经过多年的研究，数学家总结出了许多函数的基本积分公式，我们可以根据这些公式来求解不定积分。
一些常见的基本积分公式包括：1. ∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C；其中n为非负整数，C为常数。
2. ∫e^x dx = e^x + C；3. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C；4. ∫cos(x) dx = sin(x) + C；5. ∫1/x dx = ln|x| + C；6. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C；等等。
利用这些基本积分公式，我们可以将一个函数进行分解，然后求解出每一部分的不定积分，再进行合并。
需要注意的是，基本不定积分法只能求解一些特定的函数，如果遇到复杂的函数，就需要使用其他的方法。
二、换元积分法换元积分法是指通过变量代换来简化不定积分的方法。
它的基本思想是，通过选择一个新的中间变量，使得原函数可以转变为一个更简单的形式，进而求解出不定积分。
换元积分法的关键是选择一个合适的变量代换。
常用的变量代换有以下几种：1. u = g(x)：将函数中的部分表达式用一个新的变量u 表示，使得原函数简化；2. x = g(u)：将自变量用一个新的变量u表示，使得原函数简化。
换元积分法的步骤为：1. 选取合适的变量代换，使得原函数简化；2. 将原函数和新变量u的微元表达式相应地表示出来；3. 将原函数用新变量u表示，然后对u进行求积分；4. 将u的积分结果转换回原来的自变量x。
需要注意的是，换元积分法在选择变量代换时需要灵活运用，有时需要试几次才能找到一个合适的代换，特别是当函数较为复杂时。
不定积分解题方法计划及技巧总结计划材料
合用标准文案不定积分解题方法总结大纲：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。
但是在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循〞。
本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的概括和总结。
要点词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变化无常，但其实不是毫无解题规律可言。
本文所总结的是一般规律，其实不是所有相似题型都合用，详尽状况仍需要详尽解析。
1.利用根本公式。
〔这就不多说了 ~ 〕2.第一类换元法。
〔凑微分〕设 f( μ)拥有原函数 F(μ) 。
那么f [(x)] '( x)dx f [(x)] d ( x) F [( x)]C此中 ( x) 可微。
用凑微分法求解不定积分时，第一要认真观察被积函数，搜寻导数项内容，同时为下一步积分做准备。
当实在看不清楚被积函数特点时，不如从被积函数中拿出局部算式求导、试一试，或许从中能够获取某种启迪。
如例1、例 2：例1： ln( x1)ln x dxx( x1)【解】 (ln( x1)ln x)'1111x x( x 1)xln( x 1)ln x dx(ln( x1) ln x)d (ln( x1)ln x)1(ln( x 1) ln x) 2Cx( x1)2例 2 ： 1 ln x 2 dx( x ln x)【解】 ( x ln x)'1 ln x1 ln x dxdx ln x 1 Cx(x 1) 2 ( xln x) 2x ln x3.第二类换元法：设 x(t ) 是单调、可导的函数，并且 ' (t) 0.又设 f [ (t)] ' (t) 拥有原函数，那么有换元公式f (x) dx f [ (t)] '(t)dt第二类换元法主若是针对多种形式的无理根式。
常有的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：(1) a 2 x 2： x a sin t ； x a cost(2) x 2 a 2 ： xa tan t ； x a cot t ； x asht(3) x 2 a 2： x a sect ； x a csct ； x acht(4) nax nb tb ： ax (5) n ax b n ax btcx ：cx dd(6)当被积函数含有 xmax2bx c ，有时倒代换 x1也奏效。
不定积分计算中二个应该注意的问题
正 确 的 结果 应 为 ：
一
例１ ： 求Ｉ －ｌ ｌ ｘ Ｉ ｄ 】 【
ｔ １
ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ
ＺＸ
＋ ｃ ， 当ｘ ＞ １
ｆ
ｄ ｘ
ｘ 、 ／ 瓦
ａ ｒ ｃ ｓ ｉ ｎ— １ ＋Ｘ
（ 错解） 当ｘ ≥ ｏ ： Ｉ ＝ ｝ｘ ２ ＋ ｃ ； 当ｘ ＜ ０ ： Ｉ ＝ － ｘ ２ ＋ ｃ
娌科 希
教 育 教 学１
定 积分计 算 中 个应该 注意 的问题
自祥 福
（ 成 都 大 学 信 息 科学 与技 术学 院 四川 成 都 摘
作 者 通 过 对 问题例 子 的 分析 和 解 答 ， 提 出 了认 真 、 准 确 理 解 不定 积 分 定 义 的 重要 性 。
６ １ ０ １ ０ ６ ）
‘
ｇ Ｓ ｘ ～ ＋ ｃ ＇ 当 ｘ ＜ 一 ｝ ｊ
其错在于： 答非所问。事实上 ， 被积函数为 ） ： ｌ Ｘ ｌ ， 按定
义， 此 题 要求 出， （ ｘ ） 在（ 一 ， ＋ ＊） 的 原 函数 的全 体 ， 而 不 是 在
（ 正确 解答 见后 三 １
例３ ： 求Ｉ ＝ｌ
要： 在 一 些教 材 或教 学 参 考 书 中 出现 的 一 个 关 于 不 定 积 分 计 算 的 问题 ， 在 教 学 中老 师 和 同 学都 经 常 忽略 ， 从 而 产 生错 解 。
关键词 ： 不 定积 分 ； 计算； 注意 ； 问题
【 中图分类号】Ｇ６ ４ ２ ． ４ １ １ 问题举例
第一 。 对 不 定 积 分定 义 的理 解 不 准 确 。一 般 地 ， 不 定 积 分 定
义如下 ： 函数 的 所 有 原 函数 的 全 体 叫 函 数 的不 定 积 分 ；
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的重要内容，是求函数的原函数或者反函数的一种方法。
在不定积分的计算中，我们常常使用的有基本积分公式、换元法、分部积分法等方法。
下面是对不定积分计算的总结以及一些常用的技巧和注意事项。
1.基本积分公式在不定积分的计算中，经常用到一些基本积分公式，如常数积分公式、幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本积分公式对于不定积分的计算是非常有帮助的。
2.换元法换元法是不定积分计算中最常用的一种方法。
当不定积分中的被积函数是合成函数时，我们可以通过换元法将其转化为一个简单的积分。
常见的换元法包括代数换元法和三角换元法。
代数换元法指的是将一个复杂的函数使用一个变量替换，使得原函数化为一个简单函数的不定积分。
例如，当我们遇到形如∫f(ax+b)dx时，我们可以令u=ax+b，然后通过求导得到dx=du/a，从而将原函数化为∫f(u)du/a。
三角换元法指的是将一个复杂的函数使用三角函数替换，通过使用三角函数的性质来简化计算。
例如，当我们遇到形如∫f(x)√(a^2-x^2)dx 时，我们可以令x=a*sin(u)，然后通过三角函数的关系式sin^2(u)+cos^2(u)=1得到√(a^2-x^2)=a*cos(u)，从而将原函数化为∫f(a*sin(u))*a*cos(u)du。
3.分部积分法分部积分法是不定积分中的另一种常用方法。
当不定积分中的被积函数是一个积的形式时，我们可以通过分部积分法将其转化为一个简单的积分。
分部积分法的公式为∫u*dv = u*v - ∫v*du，其中u和v分别是原函数中的两个因子。
通过不断应用这个公式，我们可以将原函数逐步化简。
4.求解特殊函数在不定积分的计算中，我们常常会遇到一些特殊的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数的混合函数等。
对于这些特殊函数，我们需要掌握它们的一些特殊性质和积分公式。
例如，指数函数e^x、对数函数ln(x)以及三角函数sin(x)和cos(x)的不定积分公式。
专升本高数不定积分的求解技巧
专升本高数不定积分的求解技巧高等数学中的不定积分是一个非常重要的概念，它是求解函数的原函数的方法之一。
由于不定积分的求解过程相对于定积分更加灵活，所以在专升本高数考试中，不定积分的求解技巧也是非常重要的。
下面我将为你介绍一些常用的不定积分求解技巧。
技巧一：常数项的处理在求解不定积分的时候，往往会出现一个常数项。
此时，我们可以将常数项视为一个新的常数，直接对函数进行积分即可。
例如对于f(x) = x^2 + 2x + 1来说，我们可以将其不定积分表示为F(x) = x^3/3 + x^2 + x + C，其中C是常数项。
技巧二：换元法换元法是不定积分中最常用的一种求解方法。
所谓换元法，就是通过变量的代换，将原函数转化为一个新的函数，使得新的函数更容易求解。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行换元法求解积分：1.将被积函数中的某个变量用一个新的变量来代替，使得被积函数中的求导和化简更加容易。
2.求出新变量关于原变量的导数，并将原变量用新变量表达式表示出来。
3.将被积函数中的原变量全部用新变量表示出来，并求出新变量对应的极限。
4.将积分上下限转化为新变量的上下限，并对新变量进行积分。
技巧三：分部积分法分部积分法又称为“乘法法则的逆运算”，它可以将一个复杂的不定积分转化为两个简单的不定积分。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行分部积分法求解积分：1.根据乘法法则将被积函数中的两个函数进行拆分，并选择其中一个函数进行求导。
2.将求导后的函数与未求导的函数相乘，得到新的积分表达式。
3.将新的积分表达式进行化简，并对其进行求解。
4.根据分部积分法的公式，将原来的积分表达式拆分，并分别进行求解。
技巧四：有理函数的部分分式分解有理函数的部分分式分解是将一个有理函数分解为一系列分式的和的过程，从而可以更方便地对原函数进行求解。
具体而言，我们可以通过以下步骤进行有理函数的部分分式分解：1.将有理函数进行因式分解。
2.对于每个不可约的因子，确定其分解式的形式。
不定积分技巧总结
不定积分技巧总结
不定积分是微积分中的重要内容，下面总结一些常用的不定积分技巧：
1. 分部积分法：对于两个函数的乘积，可以利用分部积分法将其转化为一个函数的导数与另一个函数的积的形式，从而简化计算。
2. 代换法：对于复杂的函数，可以通过代换变量来简化计算。
常见的代换变量包括三角函数、指数函数、对数函数等。
3. 部分分式分解法：对于有理函数，可以通过部分分式分解将其拆分为多个简单的分式，从而更容易进行积分计算。
4. 凑微分法：对于一些特殊形式的函数，可以通过凑微分的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
5. 倒代换法：对于一些特殊的函数形式，可以通过倒代换的方式将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
6. 利用对称性：对于一些具有对称性的函数，可以利用对称性简化计算，如奇偶函数的积分等。
7. 利用积分表：对于常见的函数，可以利用积分表中的已知结果来进行计算，减少计算量。
8. 利用特殊函数性质：对于一些特殊函数，可以利用其性质来简化
计算，如指数函数、对数函数等。
9. 利用积分性质：对于积分的性质，如线性性质、积分区间可加性等，可以利用这些性质简化计算。
10. 利用对数微分法：对于一些特殊的函数形式，可以利用对数微分法将其转化为已知的积分形式，从而简化计算。
需要注意的是，不定积分的计算有时需要多种技巧的结合运用，而且不同的函数形式可能需要不同的方法来求解，因此在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法。
考研高数复习重点：不定积分的注意事项
凯程考研集训营，为学生引路，为学员服务！
第 1 页 共 1 页 考研高数复习重点：不定积分的注意事
项
考研数学在考研中一直占有重要的地位，影响着考生的初试成绩。
为帮助各位考研同学尽快尽早地对数学试卷的分值、题型、内容等有一个整体的把握。
避免在复习过程中存在偏差。
在此，针对考研高数复习重点之不定积分，对考生的复习提出如下注意事项： 不定积分是定积分的基础，也是考研数学考查的重点内容之一，特别是不定积分的基本公式、换元积分法及分部积分法的掌握显得尤其重要。
1. 连续函数一定存在原函数，反之不对。
2. 有第一类间断点的函数不存在原函数，但有第二类间断点的函数可能存在原函数。
例如：
4. 若一个函数有原函数，则一定有无数个原函数，且任意两个原函数之间相差常数，在求一个函数的所以原函数时，只要找出一个原函数，然后再加上任意常数就得到一个函数的所有原函数，即不定积分，所以不定积分本质上是一个集合。
综上所述，被积函数的问题大部分都是与原函数相关，同学们在复习时一定要理解透被积函数和其原函数的关系。
最后，祝大家在考研中金榜题名!
小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。
2017考研开始准备复习啦，早起的鸟儿有虫吃，一分耕耘一分收获。
加油！。
不定积分的几种形式及求解技巧
不定积分的几种形式及求解技巧不定积分是微积分中的重要概念，通常用来求解函数的原函数。
在求解不定积分时，我们有几种不同的形式和求解技巧。
1. 一般形式不定积分：一般形式的不定积分表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
求解一般形式的不定积分的方法主要有以下几种：- 直接积分法：根据不同函数的性质，应用相关的积分求法，例如多项式函数、三角函数、指数函数等。
例如，对于多项式函数f(x)=x^n，不定积分为∫x^n dx=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中C是常数。
- 分部积分法：分部积分法可以将一个复杂的函数积分转化为两个简单函数的乘积积分。
公式表达为：∫u dv = uv - ∫v du。
通过选取适当的u和dv，进行分部积分求解不定积分。
例如，对于函数f(x)=x*sin(x)，可以令u=x，dv=sin(x)dx，然后进行分部积分求解。
- 代换法：代换法是通过选择一个新的变量来简化不定积分的求解过程。
通过选择适当的代换变量可以将复杂的函数转化为一个简单的函数。
例如，对于函数f(x)=e^x，我们可以令u=e^x，然后进行代换求解。
- 部分分式分解法：当不定积分的被积函数可以使用部分分式分解时，就可以将其转化为一组简单的分式的和的形式，然后依次求解。
例如，对于函数f(x)=1/(x^2+1)，可以将其分解为1/((x+1)(x-1))的形式，然后再分别进行不定积分求解。
2. 特殊形式不定积分：特殊形式的不定积分是指一些常见的函数在积分过程中的特殊形式。
这些特殊形式的不定积分可以通过特定的方法进行求解。
常见的特殊形式不定积分有以下几种：- 三角函数不定积分：对于一些常见的三角函数，例如sin(x)、cos(x)、tan(x)等，其不定积分可以通过特定的恒等变换和公式进行求解。
例如，∫sin(x)dx=-cos(x)+C，∫cos(x)dx=sin(x)+C，∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C。
计算不定积分应该注意的几个问题
arccos求导目录摘要 1关键词 1Abstract 1Keywords 1引言 11 基本概念、定理及公式 22 直接积分法易犯错误举例剖析3 2.1 运算中漏掉“”、“” 32.2 自创运算法则致误 32.3 对公式的错误运用 42.4 对公式的错误运用 43 第一换元积分法应注意问题 53.1 牢记凑微分公式 53.2 注意解的不同表示方法 64 第二换元积分法中易犯错误剖析 65 分部积分法应注意事项 86 计算某类特殊积分注意事项 96.1 有理函数的不定积分 96.2 分段函数的不定积分 10参考文献 12致谢 13计算不定积分应该注意的几个问题关键词不定积分直接积分法换元积分法分部积分法特殊积分法Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several IssuesAbstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method.Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitution引言不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识.定义1 设函数与在区间上有定义.若则称为在区间上的一个原函数.定义2 函数在区间上的全体原函数称为在上的不定积分,记作其中称为积分号,为被积函数,为被积表达式,为积分变量.注意函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视.定理2 设是在区间上的一个原函数，则也是在上的原函数，其中为任意常量函数；在上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.定理3 若函数与在区间上都存在原函数，、为两个任意常数，则上也存在原函数，且常用基本积分公式:. .. .. ..直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分基本运算法则或通过简单代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法，这是一种最基本最简单最直接积分方法，这也是我们初学不定积分应该掌握的最基本的计算方法，下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下.2.1 运算中漏掉“”、“”例1 求.错解 .例2 求.错解 .剖析发生这类错误，有三种可能的情形：1）不定积分概念不清楚以及对“”意义不清楚；2）对“”出现的意义不明确，这应该指的是函数的所有原函数才对并不单独指某一个原函数；3）粗心大意.为减少这类错误的发生，我们再学习这部分内容时，应该注意强调函数的不定积分指的是该函数的所有原函数以及利用一切可能的机会强调符号“”的意义及有关的运算法则，通过一定量的训练让我们能够正确的进行一些基础运算，为后边的内容打下一个坚实的基础.例3 求.错解 .例4 求.剖析发生这类错误主要是我们根据思维定势自创运算法则造成，我们受之前的极限四则运算法则及导数四则运算法则的影响，在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四则运算法则，且很容易自创如下错误法则（1）；（2）.我们在解题过程中错误的运用这两个运算法则导致很多不该犯的错误就是没有搞清楚实际上不定积分有加减运算法则但没有乘法运算法则也没有除法运算法则，因此我们在计算不定积分时首先应熟记运算法则，不要无中生有以致不该出现的误解.例5 求.错解 .例6 求.错解 .剖析这种错误主要是源于对公式的特征识别有误，要想真正掌握基本积分公式，我们再听积分基本公式的推导时要辨别各种公式的模式特点，在做例题时，仔细分析题目，有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式，对不符合公式模式的寻找其他的解题途径，从理论上和心理上为正确运用公式奠定基础.例7 求.错解 .例8 求..剖析这类错误主要是对幂函数积分公式的模式识别有误，从题目形式上来看，第一个例题不能直接用幂函数积分公式，只有当被积表达式化为形式时才能用，但第二个例题正好符合公式，错误主要是没有真正掌握换元思想，下面我们将会介绍换元和公式的结合.总结以上主要列举了用直接积分法计算不定积分时我们经常出现错误的地方，其实类似这类错误还有很多，如：像这类系数问题、符号问题也是不定积分中常见的错误，问题出在函数的微分运算上，在这里就不再一一列举，以上所列举的几种类型主要是提醒我们在初学计算不定积分时，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形式，因此在初学计算不定积分时要细心认真，掌握最基本的为下面计算更加复杂的积分奠定一个良好的基础.，则函数存在原函数，即第一换元积分法即如何凑成微分形式，然后利用基本积分公式，它是不定积分的基本方法.但是有些凑微分法需要一定的方法技巧，而且往往要多次尝试，我们初学者只有多看多做扩宽视野多积累经验才能熟能生巧，下面将对根据自己所掌握的对利用第一换元积分法计算不定积分需要注意的问题归纳整理，希望对学习不定积分有一定的帮助.在用第一换元积分法求不定积分时，要牢记常用的凑微分公式，只有这样才能对熟练运用第一类换元积分法起到事半功倍的效果.例9 求.解原式=.分析由凑微分公式可以看出中间变量可以确定为，即可求解.例10 求.解 .分析因为，可知中间变量为，其解可根据上述公式求出.从以上可以看出，熟练掌握凑微分公式，对灵活运用第一类换元积分法有较大的作用，但是我们在计算过程中一定要注意保证凑微分过程的准确性，否则将会带来很大的麻烦，易导致最后的结果错误.我们在用第一类换元积分法求解时，常常遇到方法正确而解有所不同的地方，这时不要怀疑方法的正确性，这主要是因为由于中间变量选定的差异，可能造成解的形式有差异，但是这些解经过一定的变形后可化成相同形式.例11 求.解法一原式=.解法二原式==解法三原式====.从以上可知三种解法，三个中间变量，得到三种不同形式的解，但最终都可化为一种形式的解，所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对，要仔细的检查自己选的中间变量是否正确.总结以上主要列举了用第一换元积分法计算不定积分时最需要注意的两个问题，还有一些细节方面的问题就不再举例了，参考直接积分法就可以了，此类积分法主要就是确定中间变量，一个积分有可能有很多不同的中间变量，我们一定要注意观察，用适合自己的方法解决此类问题.第二换元积分法设函数，且，函数在，则函数在存在原函数，且第二类换元积分法一般是先做变量代换，然后再求积分，一共分为四个步骤来完成，即换元、整理、积分、回代，其中第一步是关键步骤，下面讲述的一类错误主要就是有关换元过程中忽略一些条件所引起的.例12 求.错解令，则原式可化为原式=剖析从题目中我们可以看出原来被积函数的定义域是，经过变量代换后，对应定义域为，因此，但是上述解法却直接把绝对值去了，这就相当于仅考虑了被积函数在的定义域，从而导致只计算了一半把另一半忽略了.例13 求.错解= (令).剖析根据在化简过程可以确定被积函数的定义域，因此在去绝对值过程中，只考虑了被积函数在第一象限而忽略了在第二象限，导致题目漏解.总结通过以上两个例题的分析，指出了用第二换元积分法计算不定积分时最容易出现错误的地方，即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情况，这应该引起我们的重视，因此在遇到类似情况时首先就算一下被积函数的定义域，然后在进行下面过程，这样就很容易避免类似错误发生.分部积分法若与可导，不定积分存在，则也存在，并有分部积分法是积分学的一个宝贵方法，他可以解决某些用换元积分法不能计算的积分，该方法主要是根据两个函数乘积的微分法则建立起来的，但是有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果，在计算过程中一定得仔细认真.例14 求.错解原式=等式两边消去，得 1=0.剖析此题错误主要是错在最后一步，不定积分是原函数加上一个任意常数,因此不定积分不是一个确定的函数，不可在等式两边消去不定积分，若是按上面做法是求不出结果的，而且消去不定积分得“0=1”更是错误的.。
不定积分的求解技巧考研
不定积分的求解技巧考研不定积分是微积分中的重要内容，也是考研数学中的一道必考题。
在考研中，对不定积分的求解技巧的掌握可以帮助我们更好地解决问题，提高解题效率。
下面我将介绍一些不定积分的常用求解技巧。
一、基本积分法基本积分法是指将函数的不定积分表达式转化为一些已知函数的有限个和差、乘积、多项式的和差、有理函数的有限次幂和差、指数函数和对数函数的和差等形式，从而求得一个原函数的方法。
常见的基本积分公式有：1. 幂函数的不定积分若常数n≠-1，则有∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
2. 三角函数的不定积分∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫sec^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C3. 指数函数和对数函数的不定积分∫e^x dx = e^x + C∫a^x dx = (a^x)/(ln(a)) + C，其中a大于0且不等于1∫ln(x) dx = xln(x) - x + C二、特殊函数的积分法特殊函数的积分法是指将一些特殊形式的函数的不定积分表达式转化为已知特殊函数的形式，从而求得原函数的方法。
1. 有理函数的积分有理函数是指多项式函数除以多项式函数得到的函数，如f(x) = (3x^2 + 2)/(x^3 + x^2 - 2)。
有理函数的积分可以通过将其进行因式分解或者化简得到已知的函数的形式。
2. 分部积分法分部积分法是指利用求导和积分的相互关系，将一个复杂的不定积分分解为两个函数的乘积的积分的技巧。
分部积分法的公式为∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，其中u(x)和v(x)分别为两个函数。
3. 用换元法解积分换元法是指利用变量代换，将原函数的自变量进行替换，从而将原函数转化为易于求解的形式。
不定积分计算中常见错误与分析
在计算不定积分时，常见的错误有：
1. 积分范围错误：不定积分的积分范围是变量，在计算时应注意把握积分范围。
2. 积分函数错误：不定积分是在求导之后得到的，因此应注意求导后得到的函数是否
正确。
3. 常数错误：在计算不定积分时，常数C 应被看作一个未知数，而不是一个已知的常
数。
4. 积分符号错误：在计算不定积分时，应使用∫ 表示积分，而不是用∑。
如果在计算不定积分时发现错误，应从错误的原因入手，进行分析和调整。
例如，如果发现积分函数错误，应重新检查求导过程，确保求导后得到的函数是正确的。
如果发现积分范围错误，应重新检查题目中给出的积分范围，确保积分范围的正确性。
如果发现常数错误，应注意在计算过程中不要把C 当成已知的常数处理。
如果发现积分符号错误，应注意使用∫ 而不是∑ 进行积分。
不定积分的解题方法与技巧
一． 直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二． 第一类换元法 1.当遇到形如⎰++cbx ax dx2的不定积分，可分为以下三种情况： （1）当0>∆时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax++2的两个解，则原不定积分为：()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡------=--⎰⎰⎰221112211x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---=2112ln 1（2）当0=∆时，可利用完全平方公式，化成()()⎰--2k xk x d 。
然后根据基本积分公式即可解决。
（3）当0<∆时，可先给分母配方，多利用C x x dx+=+⎰arctan 12解决。
2.当被积函数是三角函数的乘积时，拆开奇次项去凑微分。
当被积函数为三角函数的偶次幂时，常用半角公式降幂；若为奇次，则拆一项去凑微分，剩余的偶次用半角公式降幂。
三．第二类换元法 1.三角代换当被积函数含有22x a -时，令x=asint 或x=acost ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22x a +时，令x=tant ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππt 。
当被积函数含有22a x -时，令x=±asect ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πt2.倒代换当分母中因子次数较高时，可考虑倒代换。
三． 分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。
意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。
分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。
四．有理函数的积分 1.形如()ka -x 1的有理函数，它所对应的部分分式是()()()kk221a -x A a -x A a -x A +⋯⋯++ 2.形如()kqpx ++2x1的有理函数，它所对应的的部分分式是()()()k2kk 2222211xx x qpx C x B qpx C x B q px C x B ++++⋯⋯++++++++3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）： 部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。
积分运算中应注意的几个问题
! 0,! " 上却 没有 原函 数.
事实 上, 我们 知道 函数 的导 数至 多存 在第 二类 间 断点 , 所 以 , 如 果 函 数 xsgn (cosx) 存 在 原 函 数
理 可得 F(xi )- F(xi- 1)=f(# i)△ xi, $ ∈[xi-1,x]. 由 此 可 得
n
,f
i = 1
上 存在 原 函数 F (x), 在每 - S < " , 又 f (x) 在 ! a, b " 一个 小区 间 [xi-1,xi ](i=1,2,! ,n) 上 应用 微 积分 中 值定
n
1. 定积 分存 在并 不能 保证 原函 数存 在 例 1 函 数 xsgn (cosx) 在 ! 0, ! " 上可积 , 但在
可以 证明 , 函 数 f(x)与 g(x)在 [ 0, 1 ] 上 都可 积 , 但 是复 合函 数 f [g (x)]= 上却 不可 积. 但是 , 若 将条 件加 强, 则 有 下面 结论: 定理 1 若 y=g (x) 在 [ a , b] 上 可 积, 且 m≤
n ξ →0 , 理 由也 不充分 。 事实 上, 若 ξ = n n n+1
第 26 卷 增刊 2008 年 6 月
太 原大 学 教育 学院 学 报 J OURNAL OF E DUCATIO N INSTITUTE OF T AIYUAN UNIVE RSITY
Vol.26 Supplement Jun.2008
积分运算中应注意的几个问题
董海瑞
(太原大学教育学院 , 山西 太原 030001)
界量 , 因 此, lim
n→∞
x cos xdx=0. !
不定积分的验证方法
不定积分的验证方法不定积分是微积分学中的重要概念，主要涉及函数积分和原函数之间的关系。
在解决实际问题中，不定积分的计算和验证具有重要意义。
本文将介绍不定积分的验证方法，主要包含以下五个方面：检查计算方法首先，需要检查计算方法是否正确。
在不定积分的计算过程中，常用的方法包括换元法、分部积分法、部分分式法等。
检查计算方法是否正确时，需要关注以下几点：计算步骤是否齐全：回顾计算过程，确保每一步都符合不定积分的计算规则和步骤要求。
是否有遗漏：检查计算过程中是否有遗漏或错误的地方，特别是细节部分，如积分常数的处理等。
符号和函数是否一致：确保积分符号和被积函数在计算过程中保持一致性，没有出现混淆或误用的情况。
检查原函数选择其次，需要检查原函数的选择是否合理。
原函数的选择直接决定着不定积分的求解结果，因此必须保证选择正确的原函数。
在检查原函数选择时，需要考虑以下几点：原函数的定义域是否合适：分析被积函数的定义域，确保选择的原函数定义域与之匹配。
原函数的单调性、可导性等性质：分析原函数的性质，如单调性、可导性等，确保其满足不定积分的求解要求。
是否满足积分条件：检查选择的原函数是否满足积分条件，如具有连续导数、无奇点等。
确定积分常数在选择原函数后，需要确定合适的积分常数。
积分常数需要根据原函数的性质和积分区间确定，是一个比较重要的参数。
在确定积分常数时，需要充分考虑各种情况，避免积分结果出现错误。
以下是在确定积分常数时需要考虑的几点：常数的取值范围：根据原函数的性质和积分区间的限制，确定积分常数的取值范围。
区间的对称性：如果积分区间具有对称性，需要分析常数的对称性，确保积分结果不受常数的影响。
积分区间的端点：分析积分区间的端点处的取值情况，确保积分常数不影响端点处的积分结果。
检查导数结果最后，需要检查导数结果是否正确。
导数是衡量函数变化率的重要指标，因此必须保证导数结果符合物理意义和几何意义。
在检查导数结果时，需要考虑以下几点：导数公式是否正确：确保在计算过程中使用的导数公式是正确的，没有误差。
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目 录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)引言 (1)1 基本概念、定理及公式 (2)2 直接积分法易犯错误举例剖析 (3)2.1 运算中漏掉“C ”、“⎰” (3)2.2 自创运算法则致误 (3)2.3 对公式1ln dx x C x =+⎰ ()0x ≠的错误运用 (4)2.4 对公式11a a x x dx C a +=++⎰ ()1a ≠-的错误运用 (4)3 第一换元积分法应注意问题 (5)3.1 牢记凑微分公式 (5)3.2 注意解的不同表示方法 (6)4 第二换元积分法中易犯错误剖析 (6)5 分部积分法应注意事项 (8)6 计算某类特殊积分注意事项 (9)6.1 有理函数的不定积分 (9)6.2 分段函数的不定积分 (10)参考文献 (12)致谢 (13)本科生毕业论文1计算不定积分应该注意的几个问题摘要 不定积分是一个非常基本且又十分重要的概念，我们应当灵活地使用各种技巧和被积函数的类型和特点来计算不定积分，由此积分法成为数学教学中富有探索性的一个领域.文章归纳整理了我们在使用各种方法计算不定积分时容易出现的问题，并对这些问题进行了分析和探讨.例如：直接积分法、第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法以及特殊积分法.关键词 不定积分 直接积分法 换元积分法 分部积分法 特殊积分法Indefinite Integral Calculation Should Be Noted That Several Issues Abstract Indefinite integral is a concept which is basic and important,we shoud use various techniques flexibily and the type of product function and features to calculate the indefinite integral, Integration becomes into an area of mathematics teaching which is rich in exploration.This paper collates and analyzes the error-prone issues which we use various methods to calculate the indefinite integral, these issues are analyzed and discussed.such as: direct integration method, integration by first substitution, integration by second substitution,division integral method,and special integral method.Key words Indefinite integral Direct integral method Integration by substitutionDivision integral method Special integral method引言 不定积分是求导的逆运算，对不定积分的理解和掌握不仅涉及到微积分本身的学习，而且影响到学习线积分、面积分及重积分等后继内容学习，我们在初学这些内容时容易出现一些普遍的错误，下面我们将对这些错误进行剖析，以便更好的掌握这部分知识.1 基本概念、定理及公式定义1[1] 设函数f 与F 在区间I 上有定义.若()(),,F x f x x I '=∈则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.定义2[1] 函数f 在区间I 上的全体原函数称为f 在I 上的不定积分,记作 (),f x dx ⎰其中称⎰为积分号,()f x 为被积函数,()f x dx 为被积表达式,x 为积分变量.注意 函数不定积分是一个函数族,求函数的不定积分或原函数时,注意被积函数的定义域是很重要的因素,要引起足够的重视.计算不定积分应该注意的几个问题2定理1 若函数f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数F ，即()(),F x f x x I '=∈.定理2 设F 是f 在区间I 上的一个原函数，则()i F C +也是f 在I 上的原函数，其中C 为任意常量函数；()ii f 在I 上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数. 定理3 若函数f 与g 在区间I 上都存在原函数，1k 、2k 为两个任意常数，则12k f k g I +在上也存在原函数，且1212[()()]()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰ 常用基本积分公式:()10dx C =⎰. ()2ln xxa a dx C a =+⎰ (0,1)a a >≠-. ()31dx dx x C ==+⎰⎰. ()14cos sin axdx ax C a =+⎰ (0)a ≠. (5)11x x dx C ααα+=++⎰ (1,0)x α≠->. ()16sin cos axdx ax C a =-+⎰ (0)a ≠. ()17ln dx x C x =+⎰ (0)x ≠. ()128arcsin arccos 1dx x C x C x=+=-+-⎰. ()9x x e dx e C =+⎰. ()1210arctan cot 1dx x C arc x C x =+=-++⎰2 直接积分法易犯错误举例剖析直接积分法是根据基本积分公式利用不定积分基本运算法则或通过简单代数、三角恒等变形后再利用基本积分公式的一种方法，这是一种最基本最简单最直接积分方法，这也是我们初学不定积分应该掌握的最基本的计算方法，下面我们将对一些经常出现错误的地方具体举例剖析一下.2.1 运算中漏掉“C ”、“⎰”例1 求3x dx ⎰.错解 434x x dx =⎰.例2 求()34x dx +⎰.本科生毕业论文3错解 ()4334444x x dx x dx dx x C +=+=++⎰.剖析 发生这类错误，有三种可能的情形：1）不定积分概念不清楚以及对“⎰” 意义不清楚；2）对“C ”出现的意义不明确，这应该指的是函数的所有原函数才对并不单独指某一个原函数；3）粗心大意.为减少这类错误的发生，我们再学习这部分内容时，应该注意强调函数的不定积分指的是该函数的所有原函数以及利用一切可能的机会强调符号“⎰”的意义及有关的运算法则，通过一定量的训练让我们能够正确的进行一些基础运算，为后边的内容打下一个坚实的基础.2.2 自创运算法则致误例3 求 ()323x x dx -⎰.错解 ()()432323133343x x x dx x dx x dx x x C ⎛⎫-=-=-+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰. 例4 求421x dx x +⎰. 错解 ()544223151113x x dx x dx C x x dx x x ==++++⎰⎰⎰.剖析 发生这类错误主要是我们根据思维定势自创运算法则造成，我们受之前的 极限四则运算法则及导数四则运算法则的影响，在解题过程中常常不自觉地将这一思维定势迁移到不定积分中认为不定积分也具有四则运算法则，且很容易自创如下错误法则 ()()()()f x g x dx f x dx g x dx =⎰⎰⎰ （1）； ()()()()f x dx g x dx f x dx g x =⎰⎰⎰ （2）. 我们在解题过程中错误的运用这两个运算法则导致很多不该犯的错误就是没有搞清楚实际上不定积分有加减运算法则但没有乘法运算法则也没有除法运算法则，因此我们在计算不定积分时首先应熟记运算法则，不要无中生有以致不该出现的误解.2.3 对公式1ln dx x C x =+⎰ ()0x ≠的错误运用[2]例5 求31dx x⎰. 错解 331ln dx x C x=+⎰. 例6 求21cos dx x⎰.计算不定积分应该注意的几个问题4 错解 221ln cos cos dx x C x=+⎰. 剖析 这种错误主要是源于对公式的特征识别有误，要想真正掌握基本积分公式， 我们再听积分基本公式的推导时要辨别各种公式的模式特点，在做例题时，仔细分析题目，有意识的培养自己识别所解问题是否符合公式模式，对不符合公式模式的寻找其他的解题途径，从理论上和心理上为正确运用公式奠定基础.2.4 对公式11a a x x dx C a +=++⎰ ()1a ≠-的错误运用[2] 例7 求 3sin xdx ⎰.错解 341sin sin 4xdx x C =+⎰. 例8 求2sin sin xd x ⎰.错解 由 ()()1cos sin ,,a a x x x ax -''=-= 32cos sin sin 3x xd x C =-+⎰. 剖析 这类错误主要是对幂函数积分公式的模式识别有误，从题目形式上来看， 第一个例题不能直接用幂函数积分公式，只有当被积表达式化为[]()()a x d x ΦΦ形式时 才能用，但第二个例题正好符合公式，错误主要是没有真正掌握换元思想，下面我们将会介绍换元和公式的结合.总结 以上主要列举了用直接积分法计算不定积分时我们经常出现错误的地方，其实类似这类错误还有很多，如：()21112dx d dx d x x x ==-、像这类系数问题、符号问题也是不定积分中常见的错误，问题出在函数的微分运算上，在这里就不再一一列举，以上所列举的几种类型主要是提醒我们在初学计算不定积分时，必须熟悉基本积分公式、基本运算性质、基本积分方法、一定的解题策略，并能对被积函数进行适当的代数或三角的恒等变形，或对被积表达式进行凑微分、变量置换等变形后化成能用公式直接代入的形式，因此在初学计算不定积分时要细心认真，掌握最基本的为下面计算更加复杂的积分奠定一个良好的基础.3 第一换元积分法应注意问题第一换元积分法[3]若函数()[,]u x D a b ϕ=∈，且()x αϕβ≤≤，[,],u αβ∀∈有本科生毕业论文5()()F u f u '=，则函数[()]()f x x ϕϕ'存在原函数[()]F x ϕ，即[][]()()().f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰第一换元积分法即如何凑成微分形式，然后利用基本积分公式，它是不定积分的基本方法.但是有些凑微分法需要一定的方法技巧，而且往往要多次尝试，我们初学者只有多看多做扩宽视野多积累经验才能熟能生巧，下面将对根据自己所掌握的对利用第一换元积分法计算不定积分需要注意的问题归纳整理，希望对学习不定积分有一定的帮助.3.1 牢记凑微分公式在用第一换元积分法求不定积分时，要牢记常用的凑微分公式，只有这样才能对熟练运用第一类换元积分法起到事半功倍的效果.例9[4] 求ln x dx x⎰. 解 原式=21ln ln ln 2xd x x C =+⎰. 分析 由凑微分公式1ln dx d x x=可以看出中间变量可以确定为ln x ，即可求解. 例10 求tan xdx ⎰.解 sin 1=tan cos ln cos cos cos x xdx dx d x C x x ==-=-+⎰⎰⎰原式. 分析 因为sin tan cos x x x=，sin cos xdx d x =-由凑微分公式可知中间变量为cos x ，其解可根据上述公式求出.从以上可以看出，熟练掌握凑微分公式，对灵活运用第一类换元积分法有较大的作用，但是我们在计算过程中一定要注意保证凑微分过程的准确性，否则将会带来很大的麻烦，易导致最后的结果错误.3.2 注意解的不同表示方法我们在用第一类换元积分法求解时，常常遇到方法正确而解有所不同的地方，这 时不要怀疑方法的正确性，这主要是因为由于中间变量选定的差异 ，可能造成解的形式有差异，但是这些解经过一定的变形后可化成相同形式.例11[4] 求sin cos x xdx ⎰.解法一 原式=21sin sin sin 2xd x x C =+⎰.计算不定积分应该注意的几个问题6解法二 原式=211cos cos cos 2xd x x C -=-+⎰=()2111sin 2x C --+ =2111sin 22x C +- = 21sin 2x C +. 解法三 原式=2111sin 2sin 22cos 2244xdx xd x x C ==-+⎰⎰=()22112sin 4x C --+ =2211sin 24x C +- =21sin 2x C +. 从以上可知三种解法，三个中间变量，得到三种不同形式的解，但最终都可化为 一种形式的解，所以再遇到与别人算的解不一样时不要盲目的认为自己的解不对，要仔细的检查自己选的中间变量是否正确.总结 以上主要列举了用第一换元积分法计算不定积分时最需要注意的两个问题，还有一些细节方面的问题就不再举例了，参考直接积分法就可以了，此类积分法主要就是确定中间变量，一个积分有可能有很多不同的中间变量，我们一定要注意观察，用适合自己的方法解决此类问题.4 第二换元积分法中易犯错误剖析第二换元积分法 设函数[](),,()x t D a t b ϕαβϕ=∈≤≤，且()0t ϕ'≠，函数()f x 在 [][],,,a b t αβ∀∈有定义，有[]()()()G t f t t ϕϕ''=，则函数()f x 在[],a b 存在原函数，且1()().f x dx G x C ϕ-⎡⎤=+⎣⎦⎰第二类换元积分法一般是先做变量代换，然后再求积分，一共分为四个步骤来完成，即换元、整理、积分、回代，其中第一步是关键步骤，下面讲述的一类错误主要就是有关换元过程中忽略一些条件所引起的.例12[5] 求22x a dx x-⎰ (0)a >. 错解 令sec x a t =，则原式可化为原式=tan sec tan sec a t a t tdt a t⎰本科生毕业论文7()()2222tan sec 1tan arccos .a tdta t dt a t t Ca x a a C x ==-=-+=--+⎰⎰剖析 从题目中我们可以看出原来被积函数的定义域是x a ≥，经过变量代换sec x a t =后，t 对应定义域为22t ππ-≤≤，因此2222tan tan x a a t a t -==，但是上述解法却直接把绝对值去了，这就相当于仅考虑了被积函数在x a >的定义域，从而导致只计算了一半把另一半忽略了.例13 求35sin sin x xdx -⎰.错解 ()3532sin sin sin 1sin x xdx x x dx -=-⎰⎰ =322sin cos x xdx ⎰(令sin t x =)32t dt =⎰5225t C =+522sin 5x C =+. 剖析 根据在化简过程可以确定被积函数的定义域x [22]k k π,π+π∈ k z ∈，因此在去绝对值过程中，只考虑了被积函数在第一象限而忽略了在第二象限，导致题目漏解.总结 通过以上两个例题的分析，指出了用第二换元积分法计算不定积分时最容易出现错误的地方，即就是在换元过程中不考虑定义域问题而导致漏解情况，这应该引起我们的重视，因此在遇到类似情况时首先就算一下被积函数的定义域，然后在进行下面过程，这样就很容易避免类似错误发生.5 分部积分法应注意事项分部积分法 若()u x 与()v x 可导，不定积分()()u x v x dx '⎰存在，则()()u x v x dx '⎰ 也存在，并有()()()()()()u x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰分部积分法是积分学的一个宝贵方法，他可以解决某些用换元积分法不能计算的积分，该方法主要是根据两个函数乘积的微分法则建立起来的，但是有时需要连续使用几次分部积分才能得到结果，在计算过程中一定得仔细认真.计算不定积分应该注意的几个问题8 例14[6] 求cos sin x dx x⎰. 错解 原式=1sin sin d x x ⎰ 211sin sin sin sin 11sin cos sin cos 1,sin x xd x xx xdx x x dx x =-⎛⎫=-- ⎪⎝⎭=+⎰⎰⎰ 等式两边消去cos sin x dx x⎰，得 1=0. 剖析 此题错误主要是错在最后一步，不定积分是原函数加上一个任意常数C ,因此不定积分不是一个确定的函数，不可在等式两边消去不定积分，若是按上面做法是求不出结果的，而且消去不定积分得“0=1”更是错误的.注意 有时用分部积分法计算不定积分几次分部后，又出现原积分，可移项求解，此时要求：（1）移项后的相同不定积分系数可合并，但不可为零；（2）移项后等式另一边要加上“C ”.例15 求cos x e xdx ⎰.解 =cos cos sin x x x xde e x e xdx =+⎰⎰原式cos sin cos sin cos x x x x x e x xde e x e x e xdx =+=+-⎰⎰则 2cos (cos sin )x x e xdx e x x C =++⎰从而 (sin cos )cos 22x xe x x C e xdx +=+⎰. 6 计算某类特殊积分注意事项计算不定积分除了以上几个比较常用的方法外，我们在计算过程中可能会遇到更复 杂的不定积分如：有理函数的不定积分、分段函数的不定积分等，这时我们会发现再用平常的积分方法根本解决不了问题，但是不管再复杂，我们还是可以按照一定的步骤计算出来，计算这类特殊积分必须熟记它所代表的类型以及所用的解题方法，下面将列举几个例子来分析一下.本科生毕业论文96.1 有理函数的不定积分有理函数 由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为101101...()()()...n n nm m mx x P x R x Q x x x αααβββ--+++==+++， 其中n ,m 为非负整数，0101,,...,,,...,n m αααβββ与都是常数，且000,0αβ≠≠.根据代数知识，有理真分式必定可以表示成若干个部分分式之和，因而问题归结为求那些部分分式的不定积分，因而求此类积分分为以下步骤1）把被积函数作部分分式分解；2）把所求积分化为部分分式不定积分；3）逐一求每一个分式积分，然后合并起来.下面我们将举例具体介绍此类不定积分的解题步骤.例16 求()2261141x x dx x x -+-⎰.解 第一步：设()()2226114111x x A B C x x x x x -+=++--- 有 ()()22611411x x A x Bx Cx x -+=-++-62114A C A B C A +=⎧⎪-+-=-⎨⎪=⎩解得 A =4,B =-1,C =2, 第二步：()()222611442111x x dx dx dx dx x x x x x -+=-+---⎰⎰⎰⎰ 第三步：经过前两步做好后可以直接计算得出结果 ()22611414ln 2ln 111x x dx x x C x x x -+=++-+--⎰. 注意 上述计算不定积分的方法非常通用，但是有时候这种分解会很繁琐的，而且必须是得知道分母根时才能进行这种分解，所以在遇到题目时要灵活，不能死套此做法，要和前面几种方法结合起来才是最好的.例17[7]求421xdx x x ++⎰计算不定积分应该注意的几个问题10解 222=1322x dx x ⎛⎫⎛⎫++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰原式222211221322d x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ =21112arctan 23322x C ++=2321arctan .33x C ++6.2 分段函数的不定积分求分段函数的不定积分时，应先求函数在各段对应区间内的不定积分，然后考查 被积函数在各分段点处的连续性.例18[8]令2,0;()sin ,0.x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩求()f x dx ⎰.错解 3212,0;3()sin cos ,0.x x dx C x f x xdx x C x ⎧=+≤⎪=⎨⎪=-+>⎩⎰⎰⎰剖析 由于分段函数()f x 在分段点0x =处连续()(),f x ⇒-∞+∞在连续()f x ⇒ 的原函数在(),-∞+∞存在，注意到对每一组确定的12C C ，,显然原函数在0x =连续，故121C C =-+,所以311,0;()3cos 1,0.x C x f x dx x C x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩⎰注意 1）若被积函数在分段点上连续，则该分界点相邻两分段不定积分中的12,C C 相关，根据原函数在该点的连续性，确定出12,C C 的关系；2）若被积函数在分段点上为第一类间断点，则在包含该点的某区域内，不定积分不存在.故该分点相邻两分段内求出的不定积分中的12,C C 是无关的.例19 令0,0;()1,01;2, 1.x g x x x x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩求()g x dx ⎰解 由于0x =为()g x 第一类间断点，则在该点附近原函数不存在，但1x =为()g x 连续点，从而()g x 在(),-∞+∞不存在原函数，()g x 不定积分只能在(),0-∞与()0,+∞得到本科生毕业论文1112223,0;1(),01;2,1.C x g x dx x x C x x C x <⎧⎪⎪=++≤≤⎨⎪⎪+>⎩⎰其中1C 与2C 相互独立，2C 与3C 相关，从而231112C C ++=+，化简得2312C C +=，则：12222,0;1(),01;21, 1.2C x g x dx x x C x x C x ⎧⎪<⎪⎪=++≤≤⎨⎪⎪++>⎪⎩⎰以上我们一共介绍了五种方法在计算不定积分过程中需注意的几个问题，需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数的形式把它表示出来.在这个意义下，但并不是任何初等函数的不定积分都能求出来，例如: 2sin ,,ln x dx xe dx dx x x⎰⎰⎰等等.最后顺便指出我们可以利用现成的积分表来计算有些不定积分，但是作为初学者，我们首先应掌握各种基本的积分方法. 参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(上册)[M].3版.北京：高等教育出版社，2001: 176-181. [2] 唐小丹.不定积分计算中几类常见错误分析[J].贵州教育学院学报，2004, 15(2): 4-5. [3] 陈纪修.数学分析（上册）[M].2版.北京：高等教育出版社，2004.5.[4] 刘雷.利用第一换元积分法求不定积分应注意问题[J].成都教育学院学报，2006, 20(11):98-99.[5] 毕迎鑫.不定积分第二类换元积分法错误解析[J].六盘水师范高等专科学校学报，2010, 22(3):52-54.[6] 邓乐斌.数学分析的理论、方法与技巧[M].武汉：华中科技大学出版社，2005.12. [7] 谢惠民.数学分析习题课讲义[M].北京：北京教育出版社，2003.7. [8] 刘后邘.微积分全程导学[M].2版.湖南：湖南科学技术出版社，2004.8.。