2014年高考文科数学重庆卷及答案解析

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2014学年高考文科数学年重庆卷

重庆市2014年初中毕业暨高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，可知17-的相反数是17，故选A ．【考点】相反数的定义 2.【答案】B【解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减得64642222x x x x -÷==，故选B ．【考点】同底数幂的除法运算 3.【答案】A【解析】因为二次根式中被开方数是非负数，即0a ≥，故选A 【考点】二次根式中被开方数的取值范围 4.【答案】C【解析】n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒，将5n =代人即得五边形的内角和是540，故选C ．【考点】多边形的内角和 5.【答案】D【解析】气温最低即数值最小，8-在这四个数中处在数轴的最左边，故8-最小，故选D 【考点】有理数的大小比较 6.【答案】B【解析】将方程的两边向时乘最简公分母1x -得整式方程21x =-，解得3x =.经检验，3x =是原分式方程的解，故选B ．【考点】分式方程的解法 7.【答案】D【解析】根据方差越小越稳定，而0.020.03 0.050.11<<<，故丁的成绩最稳定，故选D 【考点】方差的意义 8.【答案】B【解析】因为//AB CD ，根据“两直线平行，同位角相等”得142EFD ∠=∠=︒，又因为FG FE ⊥，所以2180904248∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【考点】平行线的性质及垂直的定义，OA OB =43AB OC =242=3π.所以22ax a ，由①得a 只能等于【考点】一次函数图象与坐标轴的交点、解不等式组、三角形的面积计算等，DC BC =62210BC CE BE ⨯=CF BE ⊥︒,OCF ∴∠+∠又OBM ∠+BM CF =等腰R MF【解析】解：AD BC ⊥tan 4BAD ∠=,12AD =9BD ∴=CD BC ∴=2(1)(x 1)x x -+-1111x +-+补图如下：(2)用1A ,2A 表示餐饮企业，1B ,2B 表示非餐饮企业，画树状图如下：10%)150(19-24．【答案】证明：如图) BAC ∠=12∴∠=∠,AB AC =,∴∠B FCA ∠=∠ABF ∴△BE CF ∴=(2)①过E 45B ∠=AD BC ⊥2BM ED =⊥②AD BC∠=∠15=MC MC78∴∠=∠,∠=BAC∴∠=ACB∴∠=∠57∠=ADE【解析】【考点】全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角乎分线的性质等1AM ME=⨯12x=-，(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，2)5AB =,2BD AB =+1122ABD AB AD S BD AE ==△ 解得4AE =2222543BE AB AE ∴=-=-=若点Q 在线段BD 的延长线上时，如图1，34∠=∠'A Q A ∴=在Rt BF ∆若点Q 在线段BD 上，如图2：1=3∠∠，3=5+∠∠35∴∠=∠4A ∴∠=∠'5F Q ∴='1A ∠=∠设QB QA =在Rt BF ∆③当PD PQ =时，如图4，有1=2=3∠∠∠1A ∠=∠253DQ ∴=11 / 11。

2014年重庆市高考数学试卷(文科)与答案解析

2014年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．3．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则解：分层抽样的抽取比例为，×5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）6．（5分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）V=×﹣×8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，22B===+2+2＞2∴a+b=a+=a+=a+3++7+7a=4+210．（5分）（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）（﹣，﹣]（﹣]（﹣]（﹣]，x=﹣＜，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B= {3，5，13}．12．（5分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=10．解：∵=∴∴13．（5分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．ωω（，﹣）图象上每一点的横坐标缩短为个单位长度得到函数﹣ω﹣（x+（（）=sin=故答案为：14．（5分）（2014•重庆）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6．=15．（5分）（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．，联立得，联立得×，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．∴17．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．P=18．（13分）（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．求出sinC，且，cosC==；22=2sinCabsinC=sinC19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．y=+﹣﹣，x﹣a=+﹣﹣﹣=20．（12分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．BAD=，BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得BAD=，（BM=OBM=（，，=，=，，即PO==•OM=S PO=21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．|=，于是可求得椭圆的标准方程；与椭圆﹣=2，得==，得，，因此，所求椭圆的标准方程为与椭圆，所以+﹣，即3﹣﹣得+1|=，==。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(重庆卷, 解析版)

2014年重庆高考数学试题〔文〕一.选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的〔〕.A 第一象限.B 第二象限 .C 第三象限.D 第四象限【答案】B 【解析】..1,2-(B 选）复数对应点2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，如此7a =〔〕.5A .8B .10C .14D【答案】B 【解析】..861,35.102,217144531B d a a d d a a a a a a 选即=+=∴=+==∴==+=3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，从高中生中抽取70人，如此n 为〔〕.100A .150B .200C .250C【答案】A 【解析】..100,:70)15003500(3500A n n 选解得：按相同比例进行抽样==+∴4.如下函数为偶函数的是〔〕.()1A f x x =-3.()B f x x x =+.()22x x C f x -=-.()22x x D f x -=+【答案】D 【解析】..,D D C B A 选为偶函数为奇函数，是非奇非偶函数，5.执行如题〔5〕图所示的程序框图，如此输出，的值为.10A .17B .19C .36C【答案】C【解析】+++=S选+=0C∴.9192356.命题x≥；:p对任意x R∈，总有||0q x=是方程"20":"1"x+=的根如此如下命题为真命题的是〔〕∧⌝.B p q.A p q⌝∧.D p q∧⌝∧.C p q【答案】A【解析】为真命题，∴为假命题，正确.Ap选A.q7.某几何体的三视图如下列图，如此该几何体的体积为〔〕A.12B.18C.24D.30【答案】C【解析】CS S V 选几何体表的体积的上部三棱锥后余下的；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形三棱锥三棱柱∴24324331-5243-354*3=•••••==8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+如此该双曲线的离心率为〔〕A.2B.15C.4D.17 【答案】D 【解析】.,17,174,1∴,4,3-a 4∴3-)-(222222221D acc b a b a c b a ab b ab b PF PF 选则令且解得====+====9.假设b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是〔〕A.326+B.327+C.346+D.347+ 【答案】D 【解析】..3474327437)43)((,14343log 43log 4log )43(log )43(log 22224D a b b a a b b a a b b a b a a b abb a ab b a b a b a 所以，选即+=•+≥++=++=+=+=+∴=+=+=+10.函数]1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311)(---=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零点，如此实数m 的取值范围是〔〕A.]21,0(]2,49(⋃--B.]21,0(]2,411(⋃--C.]32,0(]2,49(⋃--D.]32,0(]2,411(⋃--【答案】A 【解析】..2]21,0(∪]2-,49-(∈.49-]1,0(∈,)0,1-(2-)0,1-(),2-0(21)0,1-(),1,1(.).1()(∴--)()(Amxxyxmxfmmxxfxg所以，选个交点时，有显然相切的斜率为与，过的斜率为，，点的斜率为点图像如图所示= +===二、填空题11.集合=⋂==BABA则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______.【答案】{3, 5, 13} 【解析】A∩B={3, 5, 13}12.向量=⋅=--=bababa则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.【答案】10 【解析】10.103πcos10364cosθ||||∴3πθ,10||),6-2-(=•=••+=•=•===b abababa所以，，13. 将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，如此=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______.【答案】22【解析】22)6π(224πsin )6π(∴2πφ≤2π-,6πφ,21ω∴)6π21sin()φωsin()(2)6πsin(6πsin .===<==+=+=+==f f x x x f x y x y 所以，倍，则得到，再把横坐标扩大为，得到左移把反向解题 0=+-a y x 14. 直线与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，如此实数a 的值为_________.【答案】60,或【解析】60,∴60,232|2--1|.20-)2,1-(∴3),2,1-(Δ或，或解得又的距离到直线圆心半径心为等腰直角三角形，圆===+===+=a a a d r d a y x r ABC15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，如此小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ 〔用数字作答〕【答案】329【解析】3295329202021515.20≤,20≤,0≥,0≥,≤520-020-0.分钟的概率为至少早到所以，小王比小张到校之比，即是所求概率可行区域面积与总面积分，则据题有轴表示小张到校时间分，轴表示小王到校时间设几何概型=••=+p y x y x x y y x三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 〔本小题总分为13分.〔I 〕小问6分，〔II 〕小问5分〕{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.〔I 〕求n a 与n S ；〔II 〕设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式与其前n 项和n T .【答案】〔I 〕+∈==N n n S n a n n ,.1-22〔II 〕+•=•=N n T b n n n n ∈,32-42,421-【解析】〔I 〕+∈===+==+=∴==N n n S n a n n a a S n d n a a d a n n nn n ,.1-22.1-2)1-(2,1,22111所以，由题知〔II 〕+•=•=•===•=====++=++N n T b q q b T b q b b b q q q S q a q n n n n n n n n n n n n ∈,32-42,4232-424-1)4-1(2-1)-1(,42∴,24,016)17(-∴0)1(-1-11-1-112442所以，解得17. 〔本小题总分为13分.〔I 〕小问4分，〔II 〕小问4分，〔III 〕小问5分〕20名学生某次数学考试成绩〔单位：分〕的频数分布直方图如下：〔I 〕求频数直方图中a 的值；〔II 〕分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；〔III 〕从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率. 【答案】〔I 〕0.005 〔II 〕2,3〔III 〕 103【解析】〔I 〕005.0005.01.0d122a 3a 6a 7a ∴10,====•+++=a a d 所以，，解得组距由题知〔II 〕人和的学生人数分别为与所以，成绩在的学生人数成绩在的学生人数成绩在32)70,60[)60,50[32010005.03203)70,60[,22010005.02202)60,50[=•••=••==•••=••=d a n d a m 〔III 〕103)70,60[2103)70,60[2.3233)70,60[.10252中的概率为人的成绩均在所以，所取中的概率人的成绩均在所取种人，共有人中任选人，从这共有成绩在种取法人，共有人中任选）知，从由（=∴p18.〔本小题总分为12分〕在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a〔1〕假设25,2==b a ，求C cos 的值;〔2〕假设CAB B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值.【答案】〔I 〕51-〔II 〕a=b=3【解析】〔I 〕51-cos .51-2-cos ,.278,25,2222==+==∴=++==C ab c b a C c c b a b a 所以，由余弦定理知〔II 〕33∴69∴sin 29sin 26,2,84∴83⇒sin 3sin sin ⇒sin 4sin sin sin sin cos sin sin cos sin )1(cos sin )1(cos sin ⇒sin 4)11-2cos 2(sin )11-2cos 2(sin ∴sin 22cos sin 2cos sin ΔABC 2222=====+====+===++=+=+=++=+++=+++=+++=+b a b a b a ab C C ab S b a c c c b a cb a C B A C C B A B A B A B A A B B A C AB B AC A B B A 所以，19.〔本小题总分为12分〕函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=〔1〕求a 的值；〔2〕求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014年高考文科数学重庆卷解析版

2014年普通高等学校招生考试〔重庆卷〕数学文科试题答案及解析一、选择题：本大题共10小题，每题每题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。

2.在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=,则7______a =【答案】B【解析】将条件全部化成1a d 和:112410a d a d +++=,解得1d =,于是7168a a d =+=.考察关于等差数列的基本运算，属于简单题.3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本。

已知从高中生中抽取70人，则n 为〔〕【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500701005000n n=⇒=。

考察分层抽样的简单计算. 4.以下函数为偶函数的是〔〕A.()1f x x =-B.()2f x x x =+ C.()22xxf x -=- D.()22xxf x -=+【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则：()()()()()()f x f x f x f x f x f x -=-⇒-=⇒为奇函数为偶函数。

即可得到答案为D 。

考察最简单的奇偶性判断.5.执行如下图的程序框图，则输出s 的值为〔〕【答案】C【解析】按照程序框图问题的计算方法，按照程序所给步骤进行计算：0,22,35,510,919,17s k s k s k s k s k ==→==→==→==→==→结束【点评】：此题考查了对程序框图循环结构的理解。

何时开始运算，运算几次能够到达条件是求出s 的关键。

属于容易题。

6.已知命题:p 对任意的x R ∈，总有0x ≥；:q 1x =是方程20x +=的根.则以下命题为真命题的是〔〕A.p q ∧⌝B.p q ⌝∧C.p q ⌝∧⌝D.p q ∧【答案】A.【解析】易知命题P 是真命题，q 是假命题。

2014重庆高考文科数学卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）文科数学一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（）第一象限第二象限第三象限第四象限2.在等差数列中,，则（）3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（）4.下列函数为偶函数的是（）5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为6.已知命题对任意，总有；是方程的根则下列命题为真命题的是（）7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.308.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）A. B. C.4 D.9.若的最小值是（）A. B. C. D.10.已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题11.已知集合______.12.已知向量_________.13.将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移的单位长度得到的图像，则______.14.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.15.某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ （用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问5分）已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.（I）求及；（II）设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.17.（本小题满分13分.（I）小问4分，（II）小问4分，（III）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I）求频数直方图中的值；（II）分别球出成绩落在与中的学生人数；（III）从成绩在的学生中人选2人，求次2人的成绩都在中的概率.18.（本小题满分12分）在中，内角所对的边分别为，且（1）若，求的值;（2）若，且的面积，求和的值.19.（本小题满分12分）已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于（1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值。

重庆高考文科数学试题含答案(Word版)

2014年重庆高考数学试题（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（） .5A .8B .10C .14D3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（） .100A .150B .200C .250C4.下列函数为偶函数的是（）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=-.()22xxD f x -=+5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为.10A .17B .19C .36C6.已知命题:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:"1"q x =是方程"20"x +=的根则下列命题为真命题的是（）.A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.308.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，学科网双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（）A.2B.15C.4D.179.若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（）A.326+B.327+C.346+D.347+10.已知函数]1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311)(---=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A.]21,0(]2,49(⋃-- B.]21,0(]2,411(⋃-- C.]32,0(]2,49(⋃-- D.]32,0(]2,411(⋃-- 二、填空题11.已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______. 12.已知向量=⋅=--=b a b a b a则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.13. 将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______.14. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，学科网则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ （用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17. （本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率.18.（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（1）若25,2==b a ，求C cos 的值;（2）若CA B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值. 19.（本小题满分12分）已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—重庆卷

2014年重庆高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（）.5A .8B .10C .14D3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（） .100A .150B .200C .250C 4．下列函数为偶函数的是（）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x xD f x -=+s 为（）.19C D ．366．已知命题 :p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根则下列命题为真命题的是（） .A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧A ．8．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（）A.2 B ．15 C ．4 D ．17 9．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（）A.326+ B ．327+ C ．346+ D ．347+10．已知函数13,(1,0](),1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃--C ．]32,0(]2,49(⋃--D ．]32,0(]2,411(⋃--二．填空题11．已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______．12．已知向量a 与b 的夹角为60，且(2,6),||10a b =--=，则a b ⋅=_________． 13．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 14．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．15．某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分．（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和．（I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．17．（本小题满分13分．（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a （1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C AB B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值． 19．（本小题满分12分）已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014年重庆市高考文科数学试卷

2014年重庆市高考文科数学试卷年重庆市高考文科数学试卷2014年重庆高考数学试题（文）年重庆高考数学试题（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）的复数所对应的点位于复平面的（）第一象限第二象限第一象限第二象限第三象限第四象限第三象限第四象限2.在等差数列中,，则（），则（）3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为的样本，已知从高中生中抽取70人，则为（）人，则为（）4.下列函数为偶函数的是（）下列函数为偶函数的是（）5.题目看不清题目看不清6.已知命题已知命题对任意，总有；对任意，总有；是方程的根是方程的根则下列命题为真命题的是（）则下列命题为真命题的是（）7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.12B.18C.24D.308.设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为（）离心率为（）A.B.C.4D.9.若的最小值是（）若的最小值是（）A.B.C.D.10.已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题二、填空题11.已知集合______.12.已知向量_________.13.将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的将函数图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移的单位长度得到的图像，则______. 14.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且已知直线与圆心为的圆相交于两点，且，则实数的值为_________.15.某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:307:30——7:50之间到校，且每人在之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）分）已知是首相为1，公差为2的等差数列，表示的前项和.（I ）求及；）求及；（II ）设是首相为2的等比数列，公比满足，求的通的等比数列，公比满足，求的通项公式及其前项和.17.（本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）分） 20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中的值；）求频数直方图中的值；（II ）分别球出成绩落在与中的学生人数；）分别球出成绩落在与中的学生人数；（III ）从成绩在的学生中人选2人，求次2人的成绩都在中的概率. 18.（本小题满分12分）分）在中，内角所对的边分别为，且在中，内角所对的边分别为，且（1）若，求的值;（2）若，且的面积，求）若，且的面积，求和的值.19.（本小题满分12分）分）已知函数，其中，且曲线在点处的切已知函数，其中，且曲线在点处的切线垂直于线垂直于（1）求的值；）求的值；（2）求函数的单调区间和极值。

2014年重庆市高考数学试卷(文科)教师版

2014 年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2014?重庆）实部为﹣ 2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【剖析】依据复数的几何意义，即可获得结论．【解答】解：实部为﹣ 2，虚部为 1 的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，应选： B．2．（5 分）（2014?重庆）在等差数列A．5B．8{ a n } 中， a1=2， a3+a5=10，则 a7=（C．10D．14）【剖析】由题意可得a4=5，从而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列 { a n } 中 a1=2， a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得 a4=5，∴公差 d=，=1∴ a7=a1+6d=2+6=8应选： B．3．（5 分）（2014?重庆）某中学有高中生3500 人，初中生 1500 人，为认识学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则 n 为（）A．100B．150C．200D．250【剖析】计算分层抽样的抽取比率和整体个数，利用样本容量=整体个数×抽取比率计算 n 值．【解答】解：分层抽样的抽取比率为=，整体个数为 3500+1500=5000，∴样本容量 n=5000×=100．应选： A．4．（5 分）（2014?重庆）以下函数为偶函数的是（）A．f（ x） =x﹣1B．f （x）=x2+xx﹣2﹣ x．（）x+2﹣ xC．f（ x） =2 D f x=2【剖析】依据偶函数的定义，挨次剖析选项，先剖析函数的定义域，再剖析 f （﹣x）=f（x）能否建立，即可得答案．【解答】解：依据题意，挨次剖析选项：A、f（x）=x﹣1，其定义域为 R，f（﹣ x）=﹣x﹣1，f（﹣ x）≠f （x），不是偶函数，不切合题意；B、f（x）=x2+x，其定义域为 R，f（﹣ x）=x2﹣x，f（﹣ x）≠ f（x），不是偶函数，不切合题意；C、f （x）=2x﹣2﹣x，其定义域为R，f（﹣ x）=2﹣x﹣ 2x，f（﹣ x） =﹣ f（ x），是奇函数不是偶函数，不切合题意；D、f（x）=2x+2﹣x，其定义域为 R，f（﹣ x）=2﹣x+2x，f（﹣ x）=f（ x），是偶函数，切合题意；应选： D．5．（5 分）（2014?重庆）履行如下图的程序框图，则输出s 的值为（）ArrayA．10B．17C．19D．36【剖析】依据框图的流程模拟运转程序，直到不知足条件k＜ 10，跳出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2× 2﹣ 1=3；第二次循环 S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；第三次循环 S=5+5=10， k=2×5﹣1=9；第四次循环 S=10+9=19，k=2× 9﹣ 1=17，不知足条件 k＜10，跳出循环体，输出S=19．应选： C．6．（5 分）（2014?重庆）已知命题： p：对随意 x∈R，总有 | x| ≥0，q：x=1 是方程 x+2=0 的根；则以下命题为真命题的是（）A．p∧￢ q B．￢ p∧q C．￢ p∧￢ q D．p∧q【剖析】判断命题 p，q 的真假，利用复合命题的真假关系即可获得结论．【解答】解：依据绝对值的性质可知，对随意x∈ R，总有 | x| ≥ 0 建立，即 p 为真命题，当 x=1 时， x+2=3≠0，即 x=1 不是方程 x+2=0 的根，即 q 为假命题，则 p∧￢ q，为真命题，应选： A．7．（5 分）（2014?重庆）某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【剖析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，依据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及有关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和4 的直角三角形，∴几何体的体积V= ×3×4×5﹣× ×3×4×3=30﹣6=24．应选： C ．8．（ 5 分）（2014?重庆）设 1，F 2 分别为双曲线﹣（＞，＞）的左、 F=1 a0 b 0右焦点，双曲线上存在一点 P 使得（ | PF 1| ﹣| PF 2| ）2=b 2﹣ 3ab ，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．4D ．【剖析】依据（| PF | ﹣| PF | ）22﹣ 3ab ，由双曲线的定义可得（ 2a ）2 2﹣3ab ， 12=b=b 求得 a= ，c== b ，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（ | PF 1| ﹣| PF 2| ）2=b 2 ﹣3ab ，∴由双曲线的定义可得（ 2a ）2 =b 2﹣3ab ，∴ 4a 2+3ab ﹣b 2=0，∴ a= ，∴ c==，b∴ e= = ．应选： D ．．（分）（ 2014? 重庆）若log 4（3a+4b ）=log 2 ，则a+b 的最小值是（）9 5A ．6+2B ．7+2C ．6+4D ．7+4【剖析】利用对数的运算法例可得＞0，a ＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵ 3a+4b ＞0，ab ＞ 0，∴ a ＞ 0．b ＞ 0∵ log 4（3a+4b ） =log 2 ，∴log4（3a+4b） =log4（ ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞ 0，∴a＞ 4，则 a+b=a+=a+=a+3+= （ a ﹣ 4） ++7+7=4 +7，当且仅当 a=4+2取等．应选： D．分）（重庆）已知函数（），，10．（ 5f，且 g（ x）2014?x =，，=f（x）﹣ mx﹣m 在（﹣ 1， 1] 内有且仅有两个不一样的零点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，﹣2] ∪（0， ]B．（﹣，﹣2] ∪（0， ]C．（﹣，﹣2] ∪（0， ]D．（﹣，﹣ 2] ∪（0， ]【剖析】由 g（x）=f（x）﹣ mx﹣m=0，即 f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形联合即可获得结论．【解答】解：由 g（ x） =f（x）﹣ mx﹣m=0，即 f （x）=m（x+1），分别作出函数 f （x）和 y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知 f （1）=1， h（x）表示过定点 A（﹣ 1， 0）的直线，当 h（x）过（ 1， 1）时， m= 此时两个函数有两个交点，此时知足条件的m 的取值范围是0＜m≤，当 h（x）过（ 0，﹣ 2）时， h（ 0）=﹣2，解得 m=﹣ 2，此时两个函数有两个交点，当 h（x）与 f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即 m（x+1）2+3（ x+1）﹣ 1=0，当 m=0 时， x=，只有1解，当 m≠0，由△ =9+4m=0 得 m=﹣，此时直线和 f（ x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣ 2 或 0＜m≤，应选： A．二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，把答案填写在答题卡相应的地点上．11．（5 分）（ 2014?重庆）已知会合 A={ 3，4，5，12，13} ，B={ 2，3，5，8，13} ，则 A∩B= { 3，5，13}．【剖析】依据题意，剖析会合A、 B 的公共元素，由交集的意义即可得答案．【解答】解：依据题意，会合 A={ 3， 4， 5， 12，13} ， B={ 2， 3，5，8，13} ，A、B 公共元素为 3、5、13，则 A∩B={ 3，5，13} ，故答案为： { 3， 5，13} ．．（分）（重庆）已知向量与的夹角为 60°，且（﹣，﹣）， |=，12 52014?= 2 6|则?= 10 ．【剖析】利用向量的模、夹角形式的数目积公式，求出即可【解答】解：∵=（﹣ 2，﹣ 6），∴，∴＜，＞=2=10．故答案为： 10．13．（ 5 分）（ 2014?重庆）将函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为本来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度获得 y=sinx 的图象，则 f（）=．【剖析】由条件依据函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 sin（ 2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得 2ω =1，且φ﹣ω =2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得 f（x）的分析式，从而求得 f （）的值．【解答】解：函数 f（x） =sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为本来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度获得函数y=sin[ 2ω（x﹣）+φ）]=sin（ 2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω =2kπ， k∈ Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴ f（ x）=sin（ x+ ），∴f（）=sin（ + ）=sin = ．故答案为：．14．（5 分）（ 2014?重庆）已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x﹣4y﹣ 4=0订交于 A、B 两点，且 AC⊥ BC，则实数 a 的值为0 或 6．【剖析】依据圆的标准方程，求出圆心和半径，依据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心 C（﹣ 1，2），半径 r=3，∵AC⊥BC，∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d=，即 d==，即 | a﹣3| =3，解得 a=0 或 a=6，故答案为： 0 或 6．15．（ 5 分）（2014?重庆）某校清晨8：00 开始上课，假定该校学生小张与小王在清晨 7：30～7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时辰到校是等可能的，则小张比小王起码早 5 分钟到校的概率为（用数字作答）．【剖析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（ x，y）能够当作平面中的点试验的所有结果所组成的地区为Ω={（ x，y| 30≤x≤50，30≤y≤50} 是一个矩形地区，则小张比小王起码早 5 分钟到校事件 A={ （x， y） | y﹣x≥5} 作出切合题意的图象，由图依据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）能够当作平面中的点试验的所有结果所组成的地区为Ω={（x，y| 30≤x≤ 50，30≤ y≤ 50}是一个矩形地区，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王起码早 5 分钟到校事件 A={ x| y﹣x≥ 5} 作出切合题意的图象，则符合题意的地区为△ ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则 S△ABC= ×15×15，由几何概率模型可知小张比小王起码早 5 分钟到校的概率为=，故答案为：．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 13 分）（ 2014?重庆）已知 { a n} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， S n表示{ a n} 的前 n 项和．（Ⅰ）求 a n及S n；（Ⅱ）设{ b n} 是首项为 2 的等比数列，公比为 q 知足 q2﹣（ a4+1）q+S4=0．求{ b n}的通项公式及其前n 项和 T n．【剖析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出 a4和 S4，代入 q2﹣（ a4+1）q+S4=0 求出等比数列的公比，而后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵ { a n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a4=7，S4=16．∵q2﹣（ a4+1）q+S4=0，即 q2﹣8q+16=0，∴（ q﹣4）2=0，即 q=4．又∵ { b n} 是首项为 2 的等比数列，∴．．17．（13 分）（2014?重庆） 20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频次散布直方图如图：（Ⅰ）求频次散布直方图中 a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[ 50，60）与 [ 60， 70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在 [ 50，70）的学生任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 [ 60，70）中的概率．【剖析】（Ⅰ）依据频次散布直方图求出 a 的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在 [ 50，60）和 [ 60，70）的频次分别为0.1 和 0.15，用样本容量 20 乘以对应的频次，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出知足 [ 50，70）的基本领件，再找到在 [ 60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）依据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在 [ 50， 60）中的学生人数为 2×0.005×10×20=2，成绩落在 [ 60，70）中的学生人数为 3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在 [ 50，60）中的 2 人为 A， B，成绩落在 [ 60，70）中的 3 人为C，D，E，则成绩在 [ 50， 70）的学生任选 2 人的基本领件有 AB，AC， AD，AE， BC，BD，BE，CD， CE，DE共 10 个，此中 2 人的成绩都在 [ 60，70）中的基本领件有CD，CE，DE共 3 个，故所求概率为 P=．18．（13 分）（2014?重庆）在△ ABC中，内角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，且 a+b+c=8．（Ⅰ）若 a=2，b= ，求 cosC的值；22，且△的面积，求和的值．（Ⅱ）若 sinAcos+sinBcosa b=2sinC ABC S= sinC【剖析】（Ⅰ）由 a+b+c=8，依据 a=2，b= 求出 c 的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左侧利用二倍角的余弦函数公式化简，正弦函数公式及引诱公式变形，再利用正弦定理获得整理后利用两角和与差的a+b=3c，与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S= sinC 求出 ab 的值，联立刻可求出 a 与 b 的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ a=2，b= ，且 a+b+c=8，∴ c=8﹣（ a+b）= ，∴由余弦定理得： cosC==﹣；=22可得：+sinB?，（Ⅱ）由 sinAcos+sinBcossinA?=2sinC=2sinC整理得： sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴ sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得： a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S= absinC= sinC，∴ab=9②，联立①②解得： a=b=3．19．（ 12 分）（ 2014?重庆）已知函数f（ x）= + ﹣ lnx﹣，此中 a∈ R，且曲线y=f（x）在点（ 1， f（1））处的切线垂直于直线y= x．（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求函数 f （x）的单一区间与极值．【剖析】（Ⅰ）由曲线 y=f（x）在点（ 1， f（1））处的切线垂直于直线y= x 可得f（′1）=﹣2，可求出 a 的值；（Ⅱ）依据（ I）可得函数的分析式和导函数的分析式，剖析导函数的符，从而可得函数 f（x）的单一区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵ f（x）= + ﹣ lnx﹣，∴ f ′（ x）= ﹣﹣，∵曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（1））处的切线垂直于直线y= x．∴f （′ 1） = ﹣a﹣1=﹣2，解得： a= ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知： f（ x） = +﹣lnx﹣，f ′（x）= ﹣﹣=（x＞0），令 f ′（x） =0，解得 x=5，或 x=﹣ 1（舍），∵当 x∈（ 0，5）时， f ′（x）＜ 0，当 x∈（ 5，+∞）时， f ′（x）＞ 0，故函数 f（x）的单一递加区间为（ 5，+∞）；单一递减区间为（ 0， 5）；当 x=5 时，函数取极小值﹣ ln5．20．（ 12 分）（ 2014?重庆）如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面是以O 为中心的菱形， PO⊥底面 ABCD， AB=2，∠ BAD= ，M 为 BC上一点，且 BM= ．（Ⅰ）证明： BC⊥平面 POM；（Ⅱ）若 MP⊥AP，求四棱锥 P﹣ABMO 的体积．【剖析】（Ⅰ）连结 OB，依据底面是以 O 为中心的菱形， PO⊥底面 ABCD，AB=2，∠BAD= ，M 为 BC上一点，且 BM= ，联合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得 OM⊥BC及 PO⊥BC，从而由线面垂直的判断定理获得 BC⊥平面 POM；（Ⅱ）设 PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出 PO 的值，及四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O 为中心的菱形， PO⊥底面 ABCD，故 O 为底面 ABCD的中心，连结 OB，则 AO⊥OB，∵ AB=2，∠ BAD= ，∴ OB=AB?sin∠ BAO=2sin（）=1，又∵ BM= ，∠ OBM= ，∴在△ OBM 中， OM2=OB2+BM2﹣2OB?BM?cos∠ OBM= ，即OB2=OM2+BM2，即OM⊥BM，∴OM⊥BC，又∵ PO⊥底面 ABCD，BC? 底面 ABCD，∴ PO⊥BC，又∵ OM∩PO=O， OM，PO? 平面 POM，∴ BC⊥平面 POM；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： OA=AB?cos∠BAO=2cos（）=，设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形，故 PA2=PO2+OA2=a2+3，由△ POM 也为直角三角形得：PM2=PO2+OM2=a2+ ，连结 AM，在△ ABM 中，AM2=AB2+BM2﹣2AB?BM?cos∠ABM==，由 MP⊥AP 可知：△ APM 为直角三角形，22222则 AM =PA+PM ，即 a +3+a + = ，解得 a=，即 PO=，此时四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S=S△AOB+S△BOM，= ?AO?OB+ ?BM?OM=∴四棱锥 P﹣ABMO 的体积 V= S?PO=21．（12 分）（2014?重庆）如图，设椭圆+（＞＞）的左右焦点分别为=1 a b01，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1 2，丨丨，△ 1 2的面积为．丨 =2F F丨DF F（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）能否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不一样的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明原因．【剖析】（Ⅰ）设 F（1﹣ c，0），F（2c，0），依题意，可求得 c=1，易求得 | DF1| ==，| DF2| =，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆+y2=1 订交， P1（x1，y1），P2（ x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知 x2=﹣x1，y1 =y2，|P1P2| =2| x1| ，由 F1P1⊥F2P2，得 x1=﹣或 x1=0，分类议论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设 F1（﹣ c， 0），F2（ c，0），此中 c2=a2﹣b2，丨丨| =，由丨 =2，得 | DF1=丨c从而=| DF1|| F1F2| =c2=，故 c=1．从而 | DF1| =，由 DF1⊥F1F2，得=+= ，所以 | DF2| =，所以 2a=| DF1|+| DF2| =2，故 a=，b2=a2﹣c2=1，所以，所求椭圆的标准方程为+y2；=1（Ⅱ）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆+y2=1 订交， P1（x1，y1），P2（ x2，y2）是两个交点，y1＞ 0， y2＞0，F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且F1P1⊥ F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知 x2=﹣x1，y1=y2，| P1P2| =2| x1| ，由（Ⅰ）知 F1（﹣ 1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣ x1﹣ 1，），再由 F1 1⊥F2 2，得﹣+，y1PP=0由椭圆方程得 1﹣=，即 3+4x1，解得 1 ﹣或x1 ．=0x ==0当 x1时， 1，P2 重合，此时题设要求的圆不存在；=0P当 x1﹣时，过 P1，P2，分别与 F1 1， F2 2 垂直的直线的交点即为圆心C，设 C =P P（0，y0）由F ，F是圆 C的切线，知 CP ⊥F，得﹣，而| =| x +1| = ，1P1 2P211P1?= 1 | y11故 y0= ，故圆 C的半径 | CP| ==．1综上，存在知足题设条件的圆，其方程为x2+= ．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(重庆卷)文

2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014重庆,文1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选B.2.(2014重庆,文2)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=().A.5B.8C.10D.14答案:B解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.3.(2014重庆,文3)某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为().A.100B.150C.200D.250答案:A解析:由题意知,抽样比为703500=150,所以n3500+1500=150,即n=100.故选A.4.(2014重庆,文4)下列函数为偶函数的是().A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x答案:D解析:由题意知,所给四个函数其定义域均为R,关于原点对称.由偶函数的定义知,选项A,B,C中函数均不满足f(-x)=f(x).而D选项中,f(-x)=2-x+2x=f(x),显然为偶函数,故选D.5.(2014重庆,文5)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为().A.10B.17C.19D.36答案:C解析:执行过程如下:k=2,s=0;经判断执行“是”,此时s=0+2=2,k=3;经判断执行“是”,此时s=2+3=5,k=5;经判断执行“是”,此时s=5+5=10,k=9;经判断执行“是”,此时s=10+9=19,k=17;经判断执行“否”,此时输出s=19.故选C.6.(2014重庆,文6)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是().A.p∧ qB. p∧qC. p∧ qD.p∧q答案:A解析:由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以 p为假, q为真.所以p∧ q为真, p∧q为假, p∧ q为假,p∧q为假.故选A.7.(2014重庆,文7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.12B.18C.24D.30答案:C解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,为直三棱柱ABC-A1B1C1截掉了三棱锥D-A1B1C1,所以其体积V=V ABC-A1B1C1−V D-A1B1C1=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24.8.(2014重庆,文8)设F1,F2分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为().A.√2B.√15C.4D.√17答案:D解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b 2a2-3·ba=4,解得ba=4(-1舍去).因为双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2,所以e=√17.故选D.9.(2014重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是().A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3答案:D解析:由log4(3a+4b)=log2√ab,得12log2(3a+4b)=12log2(ab),所以3a+4b=ab,即3b+4a=1.所以a+b=(a+b)(3b +4a)=3ab+4ba+7≥4√3+7,当且仅当3ab=4ba,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D.10.(2014重庆,文10)已知函数f(x)={1x+1-3,x∈(-1,0],x,x∈(0,1],且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是().A.(-94,-2]∪(0,12]B.(-114,-2]∪(0,12]C.(-94,-2]∪(0,23]D.(-114,-2]∪(0,23]答案:A解析:由题意画出f(x)的图象,如图所示.令g(x)=f(x)-mx-m=0,得f(x)=m(x+1),所以g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,可转化为y=f(x)与y=m(x+1)的图象在(-1,1]上有且仅有两个不同的交点.y=m(x+1)是过定点(-1,0)的一条直线,m是其斜率.由数形结合知,符合题意的直线位于l1(x轴)与l2之间和l3与l4(切线)之间.因为l4与y=f(x)相切,所以1x+1-3=m(x+1)有两个相等的实根,即m(x+1)2+3(x+1)-1=0有两个相等的实根,即Δ=9+4m=0,解得m=-94.设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,易求k1=0,k2=12,k3=-2,所以m∈(-94,-2]∪(0,12].二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2014重庆,文11)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=.答案:{3,5,13}解析:由已知条件,结合交集运算,可得A∩B={3,5,13}.12.(2014重庆,文12)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a·b=. 答案:10解析:由题意得|a|=2√10,所以ab=|a||b|cos<a,b>=2√10×√10×12=10.13.(2014重庆,文13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=.答案:√22解析:本题可逆推,由y=sin x的图象推f(x)=sin(ωx+φ)的图象.将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(12x+π6)的图象.所以f(π6)=sin(π12+π6)=sinπ4=√22.14.(2014重庆,文14)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a 的值为.答案:0或6解析:由题意,得圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=3.因为AC ⊥BC ,所以圆心C 到直线x-y+a=0的距离d=√2=√22r=3√22,即|-3+a|=3,所以a=0或a=6.15.(2014重庆,文15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .(用数字作答) 答案:932解析:用x 轴表示小张到校时刻,用y 轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为x ,小王到校的时刻为y ,则x-y ≥5.由题意,知0≤x ≤20,0≤y ≤20,可得可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校.由{x -y =5,x =20得A (20,15).易知B (20,20),C (5,0),D (20,0). 由几何概型概率公式,得所求概率P=S △ACDS 正方形ODBE=12×15×1520×20=932. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分)(2014重庆,文16)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和. (1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .分析:通过已知条件,借助等差数列的通项公式以及前n 项和公式,即可求出a n 和S n ;在第(2)问充分利用第(1)问的结论,求出a 4,S 4并代入方程,求出q ,然后利用等比数列通项公式及前n 项和公式可求出结果. 解:(1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)=n (a 1+a n )2=n (1+2n -1)2=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16. 因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0, 即q 2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4.又因b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列, 所以b n =b 1q n-1=2·4n-1=22n-1. 从而{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q=23(4n -1).17.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问4分,(3)小问5分)(2014重庆,文17)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.分析:由频率分布直方图各小矩形面积和为1,可列出关于a 的方程,然后解方程求出a 的值;在第(2)问中,利用第(1)问的结果,分别计算得出[50,60)与[60,70)的频率,然后根据频率公式求出频数;在第(3)问中,利用第(2)问的结果得出成绩在[50,70)的人数,然后分别用字母来表示来自[50,60),[60,70)的人,并列出所有基本事件,再利用古典概型的概率公式求出概率.解:(1)据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a )×10=1,解得a=1200=0.005. (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1,A 2,成绩落在[60,70)中的3人为B 1,B 2,B 3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3).其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个:(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),故所求概率为p=310.18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,文18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a+b+c=8,(1)若a=2,b=52,求cos C 的值;(2)若sin A cos 2B 2+sin B cos 2A 2=2sin C ,且△ABC 的面积S=92sin C ,求a 和b 的值.分析:先通过已知条件,求出c ,然后借助余弦定理求出cos C 的值;在第(2)问中,利用已知条件中的关系式,根据二倍角公式,得到sin A ,sin B ,sin C 之间的关系,然后借助正弦定理转化为边的关系,再结合已知条件列出关于a ,b 的方程组,求出a ,b 的值. 解:(1)由题意可知:c=8-(a+b )=72.由余弦定理得,cos C=a 2+b 2-c 22ab=22+(52)2-(72)22×2×52=-15.(2)由sin A cos 2B2+sin B cos 2A 2=2sin C 可得: sin A ·1+cosB 2+sin B ·1+cosA2=2sin C , 化简得sin A+sin A cos B+sin B+sin B cos A=4sin C. 因为sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B )=sin C , 所以sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知:a+b=3c. 又因a+b+c=8,故a+b=6.由于S=12ab sin C=92sin C ,所以ab=9, 从而a 2-6a+9=0,解得a=3,b=3.19.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文19)已知函数f (x )=x 4+a x-ln x-32,其中a ∈R ,且曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=12x. (1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值.分析:利用已知条件得切线的斜率为-2,然后求出f (x )在x=1处的导数,列出关于a 的方程,求出a 的值;在第(2)问中,充分利用导数判断函数单调性与极值的方法,求导后转化为求方程f'(x )=0,然后判断f'(x )在每个区间的符号,在求解过程中要注意函数的定义域. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=14−a x 2−1x ,由f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=12x ,知f'(1)=-34-a=-2,解得a=54.(2)由(1)知f (x )=x 4+54x -ln x-32, 则f'(x )=x 2-4x -54x 2, 令f'(x )=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f (x )的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x ∈(0,5)时,f'(x )<0,故f (x )在(0,5)内为减函数; 当x ∈(5,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数f (x )在x=5时取得极小值f (5)=-ln 5.20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2014重庆,文20)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB=2,∠BAD=π3,M 为BC 上一点,且BM=12.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.分析:先利用平面几何的方法,求出OB,然后在△OBM中,借助余弦定理求出OM的值,运用勾股定理的逆定理,得出线线垂直,再结合已知条件,利用线面垂直的判定定理,得出BC⊥平面POM;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到OA的长度,然后分别在△POM,△ABM,△POA中借助余弦定理得到关于PO的方程,求出PO的长度,再分别计算△AOB与△OMB的面积得出四边形ABMO的面积,最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥P-ABMO 的体积.(1)证明:如图,因ABCD为菱形,O为菱形中心,连结OB,则AO⊥OB.因∠BAD=π3,故OB=AB·sin∠OAB=2sinπ6=1,又因BM=12,且∠OBM=π3,在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+(12)2-2·1·12·cosπ3=34.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)解:由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cosπ6=√3.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.由△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2= a2+34.连结AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+(12)2-2·2·12·cos2π3=214.由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形, 则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+34=214,得a=√32,a=-√32(舍去),即PO=√32.此时S ABMO=S△AOB+S△OMB=12·AO ·OB+12·BM ·OM =12×√3×1+12×12×√32=5√38. 所以四棱锥P-ABMO 的体积V P-ABMO =13·S ABMO ·PO=13×5√38×√32=516. 21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文21)如图,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=2√2,△DF 1F 2的面积为√22.(1)求该椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.分析:先通过已知条件,借助a ,b ,c 之间的关系,转化为关于a ,b ,c 的方程,然后利用a ,b ,c 的几何意义,求出a ,b ,c 的值,从而得到椭圆的标准方程;在第(2)问中,充分利用数形结合的思想方法,首先设出交点P 1,P 2的坐标,然后写出向量F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,再由F 1P 1⊥F 2P 2列出关于x 1的方程求出x 1,得到圆心坐标,最后利用两点间的距离公式求出半径得到圆的方程.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2.由|F 1F 2||DF 1|=2√2得|DF 1|=122√2=√22c.从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=√22c 2=√22,故c=1.从而|DF 1|=√22,由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3√22. 所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2√2,故a=√2,b 2=a 2-c 2=1. 因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2.由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 12=0.由椭圆方程得1-x 122=(x 1+1)2,即3x 12+4x 1=0.解得x 1=-43或x 1=0.当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C. 设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y1x 1+1=-1. 而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53.圆C 的半径|CP 1|=√(-43)2+(13-53)2=4√23. 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x 2+(y -53)2=329.。

重庆文科高考数学试题详解#(精选.)

2014年重庆高考数学试题详解（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、实部为2-，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限解：由已知复数对应的坐标为(2,1)-，位于第二象限，选择B 2、在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（）.5A .8B .10C .14D解：由已知11711226261826101a a a a d a d d ==⎧⎧⇒⇒=+=+⨯=⎨⎨+==⎩⎩，选择B3、某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，学科网用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（） .100A .150B .200C .250C 解：分层抽样保持比例不变，故70100350035001500nn =⇒=+，选择A 4、下列函数为偶函数的是（）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22xxC f x -=- .()22xxD f x -=+解：逐一验证知：A 为非奇非偶函数；,B C 为奇函数；D 为偶函数，选择D 5、执行右图所示的程序框图，则输出的s 为（） .10A .17B .19C .36C 解：由已知：0235919s =++++=，选择C6、已知命题:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；命题:"1"q x =是方程"20"x +=的根则下列命题为真命题的是（）.A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧解：因为p 真，q 假，q ⌝为真，故p q ∧⌝为真，选择A 7、某几何体的三视图如下图，则几何体的体积为（）俯视图左视图正视图3245A.12B.18C.24D.30解：在长方体中构造几何体'''ABC A B C -,如右图所示，4,'5,'2,3AB A A B B AC ====，经检验该几何体的三视图满足题设条件。

2014年全国高考重庆市数学(文)试卷及答案【精校版】

2014年重庆市高考数学试卷(文科)(含解析版)

2014年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=10，则a 7=（）A ．5B ．8C ．10D ．143．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（）A ．100B ．150C ．200D ．2504．（5分）下列函数为偶函数的是（）A ．f （x ）=x ﹣1B ．f （x ）=x 2+xC ．f （x ）=2x ﹣2﹣xD ．f （x ）=2x +2﹣x5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A ．10B ．17C ．19D ．366．（5分）已知命题：p ：对任意x ∈R ，总有|x |≥0，q ：x=1是方程x +2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A ．p ∧￢qB ．￢p ∧qC ．￢p ∧￢qD ．p ∧q7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．12B ．18﹣C ．24D ．308．（5分）设F 1，F 2分别为双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．4D ．9．（5分）若log 4（3a +4b ）=log 2A ．6+2，则a +b 的最小值是（）C ．6+4B ．7+2D ．7+410．（5分）已知函数f （x ）=，且g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m 在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（）A ．（﹣，﹣2]∪（0，]C ．（﹣，﹣2]∪（0，]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A ∩B=．12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=•=．13．（5分）将函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点，则B ．（﹣D ．（﹣，﹣2]∪（0，]，﹣2]∪（0，]的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移y=sinx 的图象，则f （）=．个单位长度得到14．（5分）已知直线x ﹣y +a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4=0相交于A 、B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为．15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．（Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2﹣（a 4+1）q +S 4=0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．19．（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；=2，△DF 1F 2的面积为．（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2014年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【专题】5N ：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B ．【点评】本题主要考查复数的几何意义，比较基础．2．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=10，则a 7=（）A ．5B ．8C ．10D ．14【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a 4=5，进而可得公差d=1，可得a 7=a 1+6d ，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n }中a 1=2，a 3+a 5=10，∴2a 4=a 3+a 5=10，解得a 4=5，∴公差d==1，∴a 7=a 1+6d=2+6=8故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（）A ．100B ．150C ．200D ．250【考点】B3：分层抽样方法．【专题】5I ：概率与统计．【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值．【解答】解：分层抽样的抽取比例为总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×故选：A ．【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．4．（5分）下列函数为偶函数的是（）A ．f （x ）=x ﹣1=，=100．B ．f （x ）=x 2+xC ．f （x ）=2x ﹣2﹣xD ．f （x ）=2x +2﹣x【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断．【专题】11：计算题．【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f （﹣x ）=f （x ）是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：A 、f （x ）=x ﹣1，其定义域为R ，f （﹣x ）=﹣x ﹣1，f （﹣x ）≠f （x ），不是偶函数，不符合题意；B 、f （x ）=x 2+x ，其定义域为R ，f （﹣x ）=x 2﹣x ，f （﹣x ）≠f （x ），不是偶函数，不符合题意；C、f（x）=2x﹣2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x﹣2x，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；D、f（x）=2x+2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10B．17C．19D．36【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜10，跳出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2﹣1=3；第二次循环S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；第三次循环S=5+5=10，k=2×5﹣1=9；第四次循环S=10+9=19，k=2×9﹣1=17，不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．6．（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【考点】2E：复合命题及其真假．【专题】5L：简易逻辑．【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则p∧￢q，为真命题，故选：A．【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C ．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）设F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，则该双曲线的离心率为（）A ．B ．C ．4D ．【考点】KC ：双曲线的性质．【专题】11：计算题；5D ：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，由双曲线的定义可得（2a ）2=b 2﹣3ab ，求得a=，c==b ，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，∴由双曲线的定义可得（2a ）2=b 2﹣3ab ，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c=∴e==故选：D．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）若log4（3a+4b）=log2A．6+2=．b，，则a+b的最小值是（）C．6+4B．7+2D．7+4【考点】4H：对数的运算性质；7F：基本不等式及其应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】利用对数的运算法则可得出【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则+a+b=a++7=a++7=4=a+3++7，当且仅当a=4+2=（a﹣4）取等号．故选：D．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．10．（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，] C．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣D．（﹣，﹣2]∪（0，]，﹣2]∪（0，]【考点】5B：分段函数的应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A ∩B={3，5，13}．【考点】1E ：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】根据题意，分析集合A 、B 的公共元素，由交集的意义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，A 、B 公共元素为3、5、13，则A ∩B={3，5，13}，故答案为：{3，5，13}．【点评】本题考查集合交集的运算，注意写出集合的形式．12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=10．，则=【考点】9O ：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A ：平面向量及应用．【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可【解答】解：∵=（﹣2，﹣6），∴∴故答案为：10．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．13．（5分）将函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点个单位长度得到，=2=10．的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移y=sinx 的图象，则f （）=．【考点】HJ ：函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由条件根据函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，可得sin （2ωx +φ﹣=sinx ，可得2ω=1，且φ﹣的解析式，从而求得f （ω）ω=2kπ，k ∈z ，由此求得ω、φ的值，可得f （x ））的值．≤φ＜）图象上每一点的【解答】解：函数f （x ）=sin （ωx +φ）（ω＞0，﹣横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin （2ωx +φ）的图象．再把所得图象再向右平移=sin （2ωx +φ﹣∴2ω=1，且φ﹣∴ω=，φ=∴f （个单位长度得到函数y=sin [2ω（x ﹣）+φ）]ω）=sinx 的图象，ω=2kπ，k ∈Z ，），+2kπ，∴f （x ）=sin （x ++）=sin=．）=sin （故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin （ωx +φ）的图象变换规律，属于中档题．14．（5分）已知直线x ﹣y +a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x ﹣4y ﹣4=0相交于A 、B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为0或6．【考点】JE ：直线和圆的方程的应用．【专题】5B ：直线与圆．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x +1）2+（y ﹣2）2=9，圆心C （﹣1，2），半径r=3，∵AC ⊥BC ，∴圆心C 到直线AB 的距离d=即d=即|a ﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为，=，（用数字作答）．【考点】CF ：几何概型．【专题】5I ：概率与统计．【分析】设小张到校的时间为x ，小王到校的时间为y ．（x ，y ）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x ，y |30≤x ≤50，30≤y ≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x ，y ）|y ﹣x ≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x ，小王到校的时间为y ．（x ，y ）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x ，y |30≤x ≤50，30≤y ≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x |y ﹣x ≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC ，联立得C （45，50），联立得B （30，35），则S△ABC =×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为故答案为：．=，【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．（Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2﹣（a 4+1）q +S 4=0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．【考点】83：等差数列的性质；8E ：数列的求和．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出a 4和S 4，代入q 2﹣（a 4+1）q +S 4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a 4=7，S 4=16．∵q 2﹣（a 4+1）q +S 4=0，即q 2﹣8q +16=0，∴（q ﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n }是首项为2的等比数列，∴．．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab 的值，联立即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；+sinB•=2sinC，（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）已知函数f （x ）=+﹣lnx ﹣，其中a ∈R ，且曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=x ．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调区间与极值．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6D ：利用导数研究函数的极值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=x 可得f′（1）=﹣2，可求出a 的值；（Ⅱ）根据（I ）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f （x ）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=+﹣lnx ﹣，∴f′（x ）=﹣﹣，∵曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=x ．∴f′（1）=﹣a ﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f （x ）=+f′（x ）=﹣令f′（x ）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），﹣=﹣lnx ﹣，（x ＞0），∵当x ∈（0，5）时，f′（x ）＜0，当x ∈（5，+∞）时，f′（x ）＞0，故函数f （x ）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，∵AB=2，∠BAD=，∴OB=AB•sin ∠BAO=2sin （）=1，又∵BM=，∠OBM=，∴在△OBM 中，OM 2=OB 2+BM 2﹣2OB•BM•cos ∠OBM=，即OB 2=OM 2+BM 2，即OM ⊥BM ，∴OM ⊥BC ，又∵PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴PO ⊥BC ，又∵OM ∩PO=O ，OM ，PO ⊂平面POM ，∴BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos ∠BAO=2cos （）=，设PO=a ，由PO ⊥底面ABCD 可得：△POA 为直角三角形，故PA 2=PO 2+OA 2=a 2+3，由△POM 也为直角三角形得：PM 2=PO 2+OM 2=a 2+，连接AM ，在△ABM 中，AM 2=AB 2+BM 2﹣2AB•BM•cos ABM==，由MP ⊥AP 可知：△APM 为直角三角形，则AM 2=PA 2+PM 2，即a 2+3+a 2+=，解得a=，即PO=，∠此时四棱锥P ﹣ABMO 的底面积S=S △AOB +S △BOM =•AO•OB +•BM•OM=∴四棱锥P ﹣ABMO 的体积V=S•PO=，【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；=2，△DF 1F 2的面积为．（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【考点】KH ：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E ：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF 1|=准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）=，|DF 2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x 2=﹣x 1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|x 1|，由F 1P 1⊥F 2P 2，得x 1=﹣或x 1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中c 2=a 2﹣b 2，由从而从而|DF 1|=因此|DF 2|==2，得|DF 1|=c 2==c ，=|DF 1||F 1F 2|=，故c=1．=+=，，由DF 1⊥F 1F 2，得，，故a=所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2，b 2=a 2﹣c 2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y 2=1；+y 2=1相交，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，由圆和椭圆的对称性，易知x 2=﹣x 1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|x 1|，由（Ⅰ）知F 1（﹣1，0），F 2（1，0），所以y 1），再由F 1P 1⊥F 2P 2，得﹣由椭圆方程得1﹣=，即3+=（x 1+1，y 1），=0，=（﹣x 1﹣1，+4x 1=0，解得x 1=﹣或x 1=0．当x 1=0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在；当x 1=﹣时，过P 1，P 2，分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C ，设C （0，y 0）由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，知CP 1⊥F 1P 1，得故y 0=，故圆C 的半径|CP 1|==．=．=﹣1，而|y 1|=|x 1+1|=，综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x 2+【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．。

2014年高考文科数学重庆卷解析版

2014年高考文科数学重庆卷解析版2014年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学文科试题答案及解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。

2.在等差数列{}na 中，1352,10aa a =+=,则7______a=A.5B.8C.10D.14 【答案】B【解析】将条件全部化成1a d 和:112410a d a d +++=,解得1d =,于是7168aa d =+=.考察关于等差数列的基本运算，属于简单题.3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本。

已知从高中生中抽取70人，则n 为（）A.100B.150C.200D.250【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500701005000n n=⇒=。

考察分层抽样的简单计算.4.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =-B.()2f x x x=+ C.()22xxf x -=-D.()22xxf x -=+【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则：()()()()()()f x f x f x f x f x f x -=-⇒-=⇒为奇函数为偶函数。

即可得到答案为D 。

考察最简单的奇偶性判断.5.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A.10B.17C.19D.36 【答案】C【解析】按照程序框图问题的计算方法，按照程序所给步骤进行计算：0,22,35,510,919,17s k s k s k s k s k ==→==→==→==→==→结束【点评】：本题考查了对程序框图循环结构的理解。

2014年重庆高考数学试题(文)修正版-附详解

2014年重庆高考数学试题（文）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限【答案】B【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。

2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（）.5A .8B .10C .14D【答案】B【解析】将条件全部化成1a d 和:112410a d a d +++=,解得1d =,于是7168a a d =+=.3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（） .100A .150B .200C .250C 【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500701005000n n=⇒=。

考察分层抽样的简单计算. 4.下列函数为偶函数的是（） .()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x xD f x -=+【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则：()()()f x f x f x -=-⇒为奇函数；()()()f x f x f x -=⇒为偶函数即可得到答案为D.5. 执行如题（5）图所示的程序框图，则输出s 为（） .10A .17B .19C .36C 【答案】：C 【解析】：2,0022,332,5k s s k s k ==⇒=+==⇒=+=5510,910919,17s k s k ⇒=+==⇒=+==结束循环此时输出条件19s = 所以选C6.已知命题 :p 对任意x R ∈，总有||0x ≥； :1q x =是方程20x +=的根则下列命题为真命题的是（） .A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧ 【答案】：A【解析】：根据复合命题的判断关系可知，命题p 为真，命题q 为假，所以只有p q ∧⌝为真。

2014年高考文科数学重庆卷-答案

2014 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(文史类)答案解析一、选择题1. 【答案】B【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标. 【提示】根据复数的几何意义，即可得到结论. 【考点】复数的代数表示法及其几何意义2. 【答案】B【解析】将条件全部化成a 1和d ： a 1 + 2d + a 1 + 4d =10 ，解得d = 1 ，于是a 7 = a 1 + 6d = 8【提示】由等差数列{a n } 中， a 1 = 2 ，且有a 3 + a 5 =10 ，利用等差数列的通项公式先求出公差 d ，再求a 7 . 【考点】等差数列的通项公式3. 【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500 = 70⇒ n = 100 5000 n【提示】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n 值. 【考点】分层抽样方法4. 【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则： f (-x ) = - f (x ) ⇒ f (x ) 为奇函数； f (-x ) = f (x ) ⇒ f (x ) 为偶函数即可得到答案为D ．【提示】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析 f (-x ) = - f (x ) 是否成立，即可得答案.【考点】函数奇偶性的判断5. 【答案】C【解析】k = 2，s = 0 ⇒ s = 0 + 2 = 2，k = 3 ⇒ s = 3 + 2，k = 5 ⇒ s = 5 + 5 =10，k = 9 ⇒ s =10 + 9 =19，k =17 结束循环.此时输出条件 s =19 所以选 C.【提示】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k <10 ，跳出循环体，计算输出S 的值. 【考点】程序框图6. 【答案】A【解析】根据复合命题的判断关系可知，命题 p 为真，命题q 为假，所以只有 p ∧ ⌝q 为真.1 + ⎛ b ⎫2 ⎝ a ⎭⎪ 17 3 1 2 1 2 a b 【提示】判定命题 p ， q 的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论. 【考点】复合命题的真假7. 【答案】C【解析】：由三视图可知，该几何体是由下方的直三棱柱与上方的四棱锥组成的组合体，其中直三棱柱底面为一个边长为 3，4，5 的直角三角形，高为 2，上方的四棱锥是底面边长是 3 的正方形，一个侧面与直三棱柱的底面重合.所以V = 1 ⨯ 3⨯ 4 ⨯ 2 + 1⨯ 3⨯ 3⨯ 4 = 24 .2 3【提示】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算. 【考点】由三视图求面积、体积8. 【答案】D【解析】由题意(| PF | -| PF |)2 = (2a )2 = 4a 2 = b 2 - 3ab ⇒ b 2 - 3ab - 4a 2= 0 ，⎛ b ⎫2⎛ b ⎫ b 同除以a 2 得 ⎪ - 3 ⎪ - 4 = 0 ⇒ = 4 或-1（舍去），从而e = = .⎝ a ⎭ ⎝ a ⎭ a【提示】根据(| PF | - | PF |)2 = b 2 - 3ab ，由双曲线的定义可得(2a )2 = b 2 - 3ab ，同除以a 2，即可求出双曲线的离心率.【考点】双曲线的简单性质9. 【答案】D【解析】log 4 (3a + 4b ) = log 2，条件足以说明a > 0，b > 0 .经过化简得：3a + 4b = ab ，即 3 + 4= 1 ，于 b a是(a + b ) = (a + b )⎛ 3 + 4 ⎫= 7 + 3b + 4a ≥ 7 + 4 .⎪ ⎝ ⎭【提示】利用对数的运算法则可得3a + 4b = ab ，即 3 + 4= 1 再利用基本不等式即可得出.b a【考点】基本不等式，对数的运算性质10. 【答案】A【解析】函数 f (x ) 的图像如图所示.aba b6 2 6 6 6 ⎪g (x ) = f (x ) - mx - m 在(-1,1] 内有且仅有两个不同的零点，可看成函数 f (x ) 与直线 y = mx + m 的交点，又知道该直线过定点(-1,0) .要有两个交点，直线的位置必须是如图所示的红色直线之间或是蓝色直线之间.计算出这些直线的斜率，可以得到满足条件的直线的斜率的范围是⎛ - 9 , -2⎤ ⎛ 0, 1 ⎤ . 4 ⎥ 2 ⎥ ⎝ ⎦ ⎝ ⎦【提示】由 g (x ) = f (x ) - mx - m = 0 ，即 f (x ) = m (x +1) ，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论.【考点】分段函数的应用二、填空题 11.【答案】{3,5,13}【解析】根据题意，集合A ={3, 4,5,12,13} ，B ={2,3,5,8,13} ，A 、B 公共元素为3,5,11，则 A B ={3,51, 3}. 【考点】交集及其运算【提示】分析集合 A 、B 的公共元素，由交集的意义即可得答案.【考点】交集及其运算12. 【答案】10【解析】由向量的数量积与向量模长公式得【提示】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可.⨯ 10 ⨯ 1=10 . 2【考点】平面向量数量积的运算13. 【答案】 22【解析】根据函数的伸缩变换规则：函数 f (x ) = sin(ωx + ϕ) 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半变成f (x ) = sin(2ωx + ϕ) 函数的图像，再根据平移变换规则：向右平移个单位长度得到函数f (x ) =sin ⎢2 ，所以 f ⎛ π ⎫ = sin ⎛ 1 ⨯ π + π ⎫= sin π = 2⎪ ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭4 2【提示】根据函数 y = A sin(ω x + ϕ )的图象变换规律，可得sin(2ωx + ϕ - πω) = sin x ，可得 2ω =1 ，且3 ϕ - ω = 2k π，k ∈Z ，由此求得ω、ϕ 的值，可得 f (x ) 的解析式，从而求得 f ⎛ π⎫ 的值.⎝ ⎭【考点】函数的图象变换14. 【答案】a = 0或= 6a b =| a || b | cos 60 = (-2)2+ (-6)2⎡ ⎛ π ⎫ ⎤ sin ⎛ 2ωx + ϕ - ωπ ⎫ 的函数图像，由题意得ω = 1，ϕ = π⎪ ⎣ ω x - 6 ⎪ + ϕ ⎥ =⎝3 ⎭ 2 6 ⎝ ⎭ ⎦⨯ 21【解析】将圆的方程转换成标准方程得，圆C 的圆心为(-1，2) ，半径为 3，因为直线与圆 C 的交点 A ，B 满足，所以△ACB 为等腰直角三角形，则弦 AB 的长度为3 ，且 C 到 AB 的距离为 3 2，而由点到直线的 2| -1 - 2 + a | 距离公式得 C 到 AB 的距离为，所以 | -1 - 2 + a | = 3 2 解得a = 0或= 6 .(-1)2 +12 (-1)2 +122【提示】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论. 【考点】直线和圆的方程的应用15. 【答案】 932【解析】由题意可知有两个变量，因此是与面积有关的几何概型，如图建立平面直角坐标系，分别设小张到达学校的时间是 x ，小王到达学校的时间为 y ，则 x ，y 满足Ω ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20} ，那么小张和小王到达学校的情况可以用如图中的正方形表示，而小张比小王至少早到 5 分钟可以用不等式表示1A ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20, y - x ≥ 5}，所以小张比小王至少早5 分钟到校的概率为P ( A ) = 2 =9 . 202 32 【提示】设小张到达学校的时间是 x ，小王到达学校的时间为 y ，(x ，y ) 可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20} 是一个矩形区域，则小张比小王至少早 5 分钟到校事件A ={(x , y ) 0 ≤ x ≤ 20,0 ≤ y ≤ 20, y - x ≥ 5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可.【考点】几何概型三、解答题16. 【答案】（Ⅰ） {a n }是首项为 1，公差为 2 的等差数列，∴a n = a 1 + (n -1)d =1+ 2(n -1) = 2n -1 ．S = 1+ 3 + + (2n -1) = n (1+ 2n -1) = n 2； n 2（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a 4 = 7，S 4 =16 ．+1)q + S 4 = 0 ，即q 2 - 8q +16 = 0 ， ∴(q - 4)2 = 0 ，即q = 4 ．又 {b n } 是首项为 2 的等比数列，∴ = n -1= n -1 = 2n -1 =b (1- q n ) 2 n b n b 1q 2 4 2 . T n 1 = (4 1- q 3-1) 【提示】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出a 和S ，代入q 2- (a +1)q + S = 0 求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前444 42 q 2 - (a 42 2 52n 项和公式得答案.【考点】数列的求和，等差数列的性质17. 【答案】（Ⅰ）由频率分布直方图可知组距为 10，(2a + 3a + 6a + 7a + 2a ) ⨯10 =1，解得a =1200= 0.005 . （Ⅱ）由图可知落在[50,60) 的频率为 2a ⨯10 = 0.1 ；由频数=总体⨯ 频率，从而得到该范围内的人数为 20⨯ 0.1 = 2 ，落在[60,70) 范围内的频率为3a ⨯10 = 0.15 ；得该范围内的人数为20⨯ 0.15 = 3；（Ⅲ）记[50,60) 范围内 2 人分别为 A 1，A 2 ；[60,70) 范围内 3 人分别 B 1，B 2，B 3 ；从 5 人中选 2 人的情况如下： A 1 A 2，A 1B 1，A 1B 2，A 1B 3，A 2 B 1，A 2 B 2，A 2 B 3，B 1B 2，B 1B 3，B 2 B 3 ；此 2 人成绩都在[60,70) 范围内共有 B B ，B B ，B B 3 种情况，总情况有 10 种；故概率为 31 2 1 3 2 3 10【提示】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出 a 的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50,60) 和[60,70) 的频率分别为0.1 和0.15 ，用样本容量 20 乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求.（Ⅲ）分别列出满足[50,70) 的基本事件，再找到在[60,70) 的事件个数，根据古典概率公式计算即可. 【考点】古典概型及其概率计算公式，频率分布直方图18.【答案】（Ⅰ）由题意可知： c = 8 - (a + b ) = 7，2 ⎛ 5 ⎫2 22 + ⎪ ⎛ 7 ⎫2 - ⎪ 由余弦定理得： a 2 + b 2 - c 2 ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2 ⎭ 1cos C = 2ab = = - 5 （Ⅱ）由sin A cos 2 B + sin B cos 2 A = 2sin C 可得： sin A1+ cos B + sin B 1+ cos A = 2sin C ， 2 2 2 2化简得sin A +sin A cos B +sin B +sin B cos A = 4sin C .因为sin A cos B + sin A cos B = sin(A + B ) = sin C ，所以sin A + sin B = 3sin C .由正弦定理可知： a + b = 3c .又因a + b + c = 8 ，故 a + b = 6 .由于 S = 1 ab sin C = 9sin C ，所以ab = 9 ，从而a 2 - 6b + 9 = 0 ，解得a = 3，b = 3 .2 2【提示】（Ⅰ）由a + b + c = 8 ，根据a = 2，b = 5求出 c 的长，利用余弦定理表示出cos C ，将三边长代入求2出cos C 的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到 a + b = 3c ，与a + b + c = 8 联立求出a + b 的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入 S = 9sin C 求出ab 的值，联立即可求出 a 与 b 的值.2【考点】余弦定理，正弦定理PO OM =O ⎬19.【答案】（Ⅰ）对f (x) 求导得f '(x) =1-a-1，由f (x) 在点(1, f (1))处的切线垂直于直线y =1x 知f '(1) =-3-a =-2 ，解得a =5.4 x2 x 24=x+45--3'=x2 - 4x -5 f '(x) =0x =-==-（Ⅱ）由(Ⅰ)知f (x)4 4xln x，则f2 (x)4x2 ，令，解得1或x 5 .因x 1不在f (x) 定义域(0, +∞) 内，故舍去.当x ∈(0,5) 时，f '(x) < 0 ，故f (x) 在(0,5) 内为减函数；当x ∈(5, +∞)时， f '(x) > 0 ，故f (x) 在(5, +∞) 内为增函数.由此可知f (x) 在x = 5 时取得极小值f (5) =-ln5 .【提示】（Ⅰ）由曲线y =f (x) 在点(1, f (1))处的切线垂直于直线y =1x 可得f '(1) =-3-a =-2 ，可求出a2 4的值；（Ⅱ）根据（Ⅰ）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f (x) 的单调区间与极值.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值20.【答案】（Ⅰ ）因为PO⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，故BC∥PO .因为ABCD 是以O 为中心的菱形，AB = 2，∠BAD =π，所以OB =AB sin∠OAB = 2 ⨯1= 1 .又因为BM =1，∠OBM =π，2 3所以OM =OM 2 +BM 2 =OM 2 ⇒BC⊥OM ⎫3 2 =3，2BC⊥POPO ⊂平面POM OM ⊂平面POM ⎪⎪⎪BC⊥平面POM ⎪⎪⎪⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，|OA| =3 ，OM =3，在△ABM 中，利用余弦定理可以求得AM =221 .2设PO =a ，可得PA2 =AO2 +PO2 = 3 +a2 ，PM 2 =PO2 +OM 2 =a2 +34又因为PA2 +PM 2 =AM 2 ，解得a =3，即PO =3.2 2S =S+S =1OA OB +1BM OM =1⨯ 3 ⨯1+1⨯1⨯ 3 =5 3ABMO△OMB△OAB 2 2 2 2 2 2 8所以四棱锥P -ABMO 的体积为VP-A BMO =1⨯S3 ABMO⨯PO =516【提示】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O 为中心的菱形，PO⊥底面ABCD ，AB = 2，∠BAD =π，M 为3BC 上一点，且BM =1，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC ，进而由线面2OB2 +OM 2 - 2OB OM cos 60︒2 2 19垂直的判定定理得到 BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）设 PO = a ，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出 PO 的值，及四棱锥 P - ABMO 的底面积 S ，代入棱锥体积公式，可得答案.【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定 21.【答案】（Ⅰ）设F (-c ,0)，F (c ,0) ，其中c 2 = a 2 - b 2 ，由| F 1F 2 | = 2 2 ，得 DF = | F 1F 2 | = 2 c ，从而| DF 1 | 2S= 1 | DF || F F |= 2 c 2 =2 ，故c = 1，从而| DF |= 2， △DF 1F 2 2 1 1 2 2 2 1 2由 DF ⊥F F 得|DF |2 =| DF |2+ | F F |2 = 9 ，因此|DF | = 3 2 ，所以 2a =| DF | +|DF | = 2 ，故 a = 2 ， 1 1 2 2 1 1 2 2 2 21 2x 2 2b 2 = a 2 -c 2 =1，因此，所求椭圆方程为： + y 2 = 1 ；y x 2 + 2 =P (x , y ) P (x , y )y > 0 y > 0 （Ⅱ）设圆心在轴上的圆C 与椭圆 y 2 1 相交， 1 1 1 ， 2 2 2 是两个交点， 1 ， 2 ， F 1P 1，F 2 P 是圆C 的切线，且 F 1P 1⊥F 2 P 2 ，，由圆和椭圆的对称性，易知， x 2 = -x 1，y 1 = y 2 ，|P 1P 2 | = 2 | x 1 | ，由（Ⅰ）知 F 1 (-1,0)，F 2 (1,0) ，所以 F 1P 1 = (x 1 +1, y 1 ) ，F 2 P 2 = (-x 1 -1, y 1 ) ， F P F P - + 2 + 2 = - x 2= + 2 2+ = 由 1 1⊥ 2 2 得： (x 11) y 1 0 ，由椭圆方程得1 12(x 1 1) ，即： 3x 1 4x 1 0 ，解得， x =- 4或 x = 0 .131当 x 1 = 0 时， P 1，P 2 重合，此时题设要求的圆不存在；当 x =- 4时，过 P ，P 分别与 F P ，F P 垂直的直线的交点即为圆心 C ，设 C (0, y ) ，由 CP ⊥F P 得1 31 2 1 1 2 2 0 1 1 1y 1 - y 0 y 1= -1， y= |x +1| = 1 ， y = 5x 1x 1 +11 1 3 0 3由 F 1P 1，F 2 P 2 是圆C 的切线，且 F 1P 1⊥F 2 P 2 ，知CP 1⊥CP 2 ，又|CP 1| =|CP 2 | ，故圆C 的半径 |CP | = 2 | PP |= 2 | x |= 4 2. 1 2 1 2 13⎛ 5 ⎫232综上，存在满足题设条件的圆，其方程为 x 2+ y - ⎝ ⎪ = .⎭ 2 3 12【提示】（Ⅰ）设 F (-1,0)，F (1,0) ，依题意，可求得c = 1，易求得| F 1F 2 |= 2 2 ，从而可得 | DF 1 |2a =| DF 1 | +|DF 2 | = 2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆 x 2 + y 2= 相交， P (x , y ) ， P (x , y ) 是两个交点，依题意，利用圆 1 1 1 1 22 2 2和椭圆的对称性，易知 x = -x ，y = y ，| PP |= 2 | x | ，由 FP ⊥F P ，得 x =- 4或 x = 0 ，分类讨论即可2 1 1 2求得圆心及半径，从而可得圆的方程. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题1 2 1 1 1 2 2 131 2 1 2。