北师大八年级数学下册十字相乘法分解因式的精品讲解+练习
(完整版)十字相乘法分解因式的讲解与练习
十字相乘法分解因式一、学习目标 1、能记住十字相乘法2、会运用十字相乘法分解因式（重点） 二、知识复习1．二次三项式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 的二次三项式，其中 称为二次项， 为一次项， 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于- 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式． 2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1的二次三项式))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． (2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 三、典型例题[例1] 把下列各式因式分解。
（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+解：（1）)12)(3(3722--=+-x x x x1231--7)1(1)3(2-=-⨯+-⨯（2）)53)(12(5762-+=--x x x x5312-713)5(2-=⨯+-⨯（3）)45)(2(86522y x y x y xy x -+=-+yy4521-y y y 6)2(5)4(1=⨯+-⨯ 四、当堂检测1、把下列各式分解因式：（1）22157x x ++ （2） 2384a a -+- （3） 2576x x +- （4）261110y y -- （5）1032+--x x （6）652--m m二、分解因式1. 2252310a b ab +- 2. 222231710a b abxy x y -+ 3. 22712x xy y -+ 4.42718x x +- 5.22483m mn n ++。
北师大版数学八年级下册《因式分解》十字相乘法
14.3因式分解（2）一、因式分解的常用方法：1、提公因式法2、公式法3、十字相乘法（适应于二次三项式）多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 是关于x 的二次三项式．在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式．4、分组分解法：多项式含有4项及以上，并且无法用提公因式法分解因式，可以考虑将多项式中的项，两两分为一组，分别运用提公因式法或公式法分解因式；或三项分为一组，分别运用提公因式法或公式法分解因式。
例一、分解因式：（1）、1522--x x （2）、x 2-8x +12练习一、因式分解：（1）、x 2 + 3x + 2 （2）、x 2-5x+6 （3）、y 2 + y - 12例二、 把下列各式分解因式：（1）、3522--x x （2）、3832-+x x （3）、x 2-4xy-5y 2练习二：因式分解（1）、2x 2+11x+5 （2）、2x 2-7x+6（3）、3x 2+7x-6 （4）、2265y xy x +-例三、因式分解（1）、bn bm an am +++（2）、bx by ay ax -+-5102（3）、9x 2－y 2－4y －4（4）、a 2－1＋b 2－2ab练习三、因式分解（1）bc ac ab a -+-2（2）、1+--y x xy（3）、ay ax y x ++-22 （4）、22414y xy x +--例四、（能力提升）已知0258622=+--+b a b a ，求代数式ba ab -的值.练习四、已知：0106222=+++-y y x x ，求x ，y 的值.因式分解小结：1. 因式分解的对象是多项式；2. 因式分解的结果一定是整式乘积的形式；3. 分解因式，必须进行到每一个因式都不能再分解为止；4. 公式中的字母可以表示单项式，也可以表示多项式；5. 结果如有相同因式，应写成幂的形式；6. 因式分解的一般步骤是：一“提”、二“公”、三“分”。
北师大版八年级数学下册专题复习思维特训(十二) 因式分解——十字相乘法
思维特训(十二)因式分解——十字相乘法方法点津·十字相乘法(1)对于二次三项式ax2＋bx＋c，将a和c分别分解成两个因数的乘积，a＝a1·a2 , c＝c1·c2,且满足b＝a1c2＋a2c1ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋c2)．(2)二次三项式x2＋px＋q的分解：p＝a＋b，q＝ab x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．(3)理解：把x2＋px＋q分解因式时，如果常数项q是正数，那么把它分解成两个同号的因数，它们的符号与一次项系数p的符号相同；如果常数项q是负数，那么把它分解成两个异号的因数，其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同，对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项系数p.典题精练·1．分解因式：x2＋3x＋2.分析：(＋1)×(＋2)＝＋2常数项(＋1)＋(＋2)＝＋3一次项系数解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．按以上方法分解因式：x2＋14x＋48.2．在对多项式进行因式分解时，有一种方法叫“十字相乘法”．如分解二次三项式：2x2＋5x－7，具体步骤：①首先把二次项的系数2分解为两个因数的积，即2＝2×1，把常数项－7也分解为两个因数的积，即－7＝－1×7；②按图12－TX－1所示的方式书写，采用交叉相乘再相加的方法，使之结果恰好等于一次项的系数5，即2×(－1)＋1×7＝5.图12－TX－1③这样，就可以按图12－TX－1中虚线所指，对2x2＋5x－7进行因式分解了，即2x2＋5x－7＝(2x＋7)(x－1)．请你仔细体会上述方法，并利用此法对下列二次三项式进行因式分解：(1)x2＋4x＋3；(2)2x2＋3x－20.3．阅读下面的材料并完成填空：因为(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，所以，对于二次项系数为1的二次三项式x2＋px ＋q的因式分解，就是把常数项q分解成两个数的积且使这两数的和等于p，即如果有a，b 两数满足ab＝q，a＋b＝p，则有x2＋px＋q＝(x＋a)(x＋b)．如分解因式：x2＋5x＋6.解：因为2×3＝6，2＋3＝5，所以x2＋5x＋6＝(x＋2)(x＋3)．再如分解因式：x2－5x－6.解：因为－6×1＝－6，－6＋1＝－5，所以x2－5x－6＝(x－6)(x＋1)．阅读完上述文字后，你能完成下面的题目吗？试试看！因式分解：(1)x2＋7x＋12；(2)x2－7x＋12；(3)x2＋4x－12；(4)x2－x－12.4．“十字相乘法”能把二次三项式分解因式，对于形如ax2＋bxy＋cy2的关于x，y的二次三项式，关键是把x2项的系数a分解成两个因数a1，a2的积，即a＝a1·a2，把y2项的系数c分解成两个因数c1，c2的积，即c＝c1·c2，并使a1·c2＋a2·c1正好等于xy项的系数b，那么可以直接写出结果：ax2＋bxy＋cy2＝(a1x＋c1y)(a2x＋c2y)．例：分解因式：x2－2xy－8y2.解：如图12－TX－2①，其中1＝1×1，－8＝(－4)×2，而－2＝1×2＋1×(－4)，∴x2－2xy－8y2＝(x－4y)(x＋2y)．而对于形如ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f的关于x，y的二元二次式也可以用十字相乘法来分解，如图12－TX－2②，将a分解成m，n的乘积作为一列，c分解成p，q的乘积作为第二列，f分解成j，k的乘积作为第三列．若mq＋np＝b，p k＋q j＝e，m k＋n j＝d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式＝(mx＋py＋j)(nx＋qy＋k)．图12－TX－2例：分解因式：x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2.解：如图12－TX－2③，其中1＝1×1，－3＝(－1)×3，2＝1×2，而2＝1×3＋1×(－1)，1＝(－1)×2＋3×1，3＝1×2＋1×1，∴x2＋2xy－3y2＋3x＋y＋2＝(x－y＋1)(x＋3y＋2)．请同学们通过阅读上述材料，完成下列问题：(1)分解因式：①6x2－17xy＋12y2＝__________；②2x2－xy－6y2＋2x＋17y－12＝__________；③x2－xy－6y2＋2x－6y＝__________．(2)若关于x，y的二元二次式x2＋7xy－18y2－5x＋my－24可以分解成两个一次因式的积，求m的值．5．分解因式：(1)5x2－17x＋6；(2)20x2－43xy＋14y2；(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2；(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72.详解详析1．解：x2＋14x＋48＝(x＋6)(x＋8)．2．解：(1)x2＋4x＋3＝(x＋3)(x＋1)．(2)2x2＋3x－20＝(x＋4)(2x－5)．3．解：(1)x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)．(2)x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)．(3)x2＋4x－12＝(x＋6)(x－2)．(4)x2－x－12＝(x－4)(x＋3)．4．解：(1)①(3x－4y)(2x－3y)②(x－2y＋3)(2x＋3y－4)③(x－3y)(x＋2y＋2)(2)如图：m＝3×9＋(－8)×(－2)＝43，或m＝9×(－8)＋3×(－2)＝－78.5．解：(1)5x2－17x＋6＝(5x－2)(x－3)．(2)20x2－43xy＋14y2＝(4x－7y)(5x－2y)．(3)(m2－2m－3)x2－(m＋5)x－2＝(m－3)(m＋1)x2－(m＋5)x－2＝[(m－3)x－2][(m＋1)x＋1]．(4)(x2－5x＋4)(x2－x－2)－72＝(x－4)(x－1)(x－2)(x＋1)－72＝[(x－4)(x＋1)][(x－1)(x－2)]－72＝(x2－3x－4)(x2－3x＋2)－72.设x2－3x＝t，则(t－4)(t＋2)－72＝t2－2t－80＝(t－10)(t＋8)＝(x2－3x－10)(x2－3x＋8)＝(x－5)(x＋2)(x2－3x＋8)．。
十字相乘法分解因式知识点与练习
十字相乘法分解因式知识点与练习1.二次三项式（1）多项式c bx ax ++2,称为字母 的二次三项式,其中 称为二次项, 为一次项, 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中,如果把 看作常数,就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数,就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中,把 看作一个整体,即 ,就是关于 的二次三项式．同样,多项式12)(7)(2++++y x y x ,把 看作一个整体,就是关于 的二次三项式．2．十字相乘法的依据和具体内容(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项,凑一次项”当常数项为正数时,把它分解为两个同号因数的积,因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时,把它分解为两个异号因数的积,其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头,凑中间”当二次项系数为负数时,先提出负号,使二次项系数为正数,然后再看常数项；常数项为正数时,应分解为两同号因数,它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时,应将它分解为两异号因数,使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式,还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．2.典型例题例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ； (2)2265y xy x +-．例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ； (2)3832-+x x ．例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ； (2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．例5 分解因式653856234++-+x x x x ．例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．例7 分解因式：ca (c －a )＋bc (b －c )＋ab (a －b )．例8、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ,求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++ (2) 2384a a -+ (3) 2576x x +-(4) 261110y y -- (5) 2252310a b ab +- (6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+ (8) 42718x x +- (9) 22483m mn n ++一、选择题1．如果))((2b x a x q px x ++=+-,那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a ＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ,则b 为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b ),则a ,b 的值分别为 ( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是 ( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后,有相同因式x －1的多项式有 ( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x __________．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝__________,b ＝__________．9．=--3522x x (x －3)(__________)．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时,多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6,3617=xy ,则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ； (2)36524--x x ； (3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --； (5)234456a a a --； (6)422469374b a b a a +-．。
北师大版初中数学八年级下册知识讲解,巩固练习(教学资料 )：第18讲 十字相乘法及分组分解法(基础)
十字相乘法及分组分解法（基础）【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在 ，则要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.pq x q p x +++)(22x bx c ++pq c p q b=⎧⎨+=⎩()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q 、0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.【典型例题】类型一、十字相乘法1、将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3） 【答案与解析】 解：（1）因为所以：原式＝（2）因为所以：原式＝（3） 【总结升华】常数项为正，分解的两个数同号；常数项为负，分解的两个数异号. 二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要21016x x -+2310x x --78x x x -=-()()78x x +-2810x x x --=-()()28x x --()()()2210331052x x x x x x --=-+-=-+-忘记把提出的负号添上.举一反三：【变式1】分解因式：（1）； （2）； （3）【答案】解：（1） （2） （3） 【变式2】（2019秋·闵行区期末）因式分解：()()222812x xx x +-++. 【答案】解：()()222812x x x x +-++=()()2226x x x x +-+-=()()()()1223x x x x -+-+.2、将下列各式分解因式：（1）； （2） （3）； （4）. 【思路点拨】（3）题可看成常数项，.（4）题可将看成一个整体来分解因式.【答案与解析】解：（1）； （2）. （3）；1072++x x 822--x x 2718x x --+()()271025x x x x ++=++()()22842x x x x --=-+()()22718(718)29x x x x x x --+=-+-=--+22355x x +-25166x x ++22616x xy y --216y -21682,826y y y y y y -=-⨯-+=-()2x +22355x x +-=()315x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭251116623x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2261682x xy y x y x y --=-+（4）因为所以：原式【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.注意观察式子结构，能够看作整体的看作整体.举一反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）； （2）； （3）； （4）.【答案】解： （1）； （2）； （3）；（4）.3、将下列各式分解因式：（1）；（2）【答案与解析】解：（1）因为所以：原式＝()()()25242292x x x -+-+=-+()()225522x x =+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2158x x =-+21136x x -+251124a a --10722+-xy y x ()()342++-+b a b a 22111121366332x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+=+-=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2513112443a a a a ⎛⎫⎛⎫--=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()2271025x y xy xy xy -+=--()()()()24313a b a b a b a b +-++=+-+-91019y y y +=()()2335y y ++（2）因为所以：原式＝【总结升华】十字相乘法的方法简单点来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数.举一反三：【变式】分解因式：（1）；（2）；（3）；【答案】解：（1）； （2）； （3）. 类型二、分组分解法4、（2019春•重庆校级期中）先阅读下列材料，然后回答后面问题：将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．能分组分解的多项式通常有四项或六项，一般的分组分解有四种形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by=（ax+ay ）+（bx+by ）=a （x+y ）+b （x+y ）=（x+y ）（a+b ）如“3+1”分法：2xy+y 2﹣1+x 2=x 2+2xy+y 2﹣1=（x+y ）2﹣1=（x+y+1）（x+y ﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：x 2﹣y 2﹣x ﹣y ；（2）分解因式：45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2；（3）分解因式：4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1．【思路点拨】（1）首先利用平方差公式因式分解因式，进而提取公因式得出即可；（2）将后三项运用完全平方公式分解因式进而利用平方差公式分解因式即可；（3）重新分组利用完全平方公式分解因式得出即可．【答案与解析】解：（1）x 2﹣y 2﹣x ﹣y 21183x x x -=()()2379x x +-2314x x +-2344x x --+2631105x x +-()()22314341311x x x x x x +-=-+=--()()223444432123x x x x x x --+=--=+-()()263110521537x x x x +-=+-=（x+y ）（x ﹣y ）﹣（x+y ）=（x+y ）（x ﹣y ﹣1）；（2）45am 2﹣20ax 2+20axy ﹣5ay 2=45am 2﹣5a （4x 2﹣4xy+y 2）=5a[9m 2﹣（2x ﹣y ）2]=5a （3m ﹣2x+y ）（3m+2x ﹣y ）；（3）4a 2+4a ﹣4a 2b ﹣b ﹣4ab+1=（4a 2+4a+1）﹣b （4a 2+4a+1）=（2a+1）2（1﹣b ）．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式以及分组分解法分解因式，正确分组是解题关键．举一反三：【变式】分解因式： 【答案】解：原式. 【巩固练习】一.选择题1. 将因式分解，结果是( )A. B. C. D.2.（2019秋•西城区校级期中）下列因式分解结果正确的是（ ）A ．()3221510532a a a a a +=+B ． ()()2943434x x x -=+-C ． ()2210255a a a --=-D ． ()()231025a a a a --=+- 3. 如果，那么等于( )A. B.C. D. 4. 若，则的值为( )A.－9B.15C.－15D.95. 如果，则为 ( )A ．5B ．－6C ．－5D ．66．把进行分组，其结果正确的是（ ）A. B.C. D.二.填空题7. 若，则＝ . 22244a b ab c +--()()()22222(44)222a ab b c a b c a b c a b c =-+-=--=-+--21016a a ++()()28a a -+()()28a a +-()()28a a ++()()28a a --()()2x px q x a x b -+=++p ab a b +ab -a b --()()236123x kx x x +-=-+k b 2222a b c bc --+222()(2)a c b bc ---222()2a b c bc --+222()(2)a b c bc ---222(2)a b bc c --+()()21336m m m a m b -+=++a b -8. 因式分解___________．9．（2019·潍坊三模）分解因式：3231215x x x --= ．10. 因式分解：＝_______________；11. 因式分解＝ .12.分解因式：＝________.三.解答题13.若多项式可以分解成两个一次因式的积，其中、均为整数，请你至少写出2个的值．14.（宣武区校级期末）因式分解：2x 2+x ﹣3．15.分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）； （5）.【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；2. 【答案】D ；【解析】A 、()3221510532a a a a +=+，故此选项错误；B 、()()2943232x x x -=+-，故此选项错误；C 、21025a a --无法因式分解，故此选项错误；D 、()()231025a a a a --=+-，正确. 3. 【答案】D ；【解析】，所以. 4. 【答案】A ；【解析】.5. 【答案】B ；【解析】由题意.6. 【答案】D ； 【解析】原式＝. 二.填空题7. 【答案】±5；【解析】，所以或者. 8. 【答案】；22a b ac bc -++ax bx cx ay by cy +++++()2064x x -+321a a a +--236x px ++()()x a x b ++a b p 268x x -+21024x x +-215238a a -+22568x xy y -++225533a b a b --+()()()2x a x b x a b x ab ++=+++a b p +=-()()2123936x x x x -+=--5306b b =-=-，()()222(2)a b bc c a b c a b c --+=+--+()()2133649m m m m -+=--9,4a b =-=-4,9a b =-=-()()a b a b c +-+【解析】.9. 【答案】()()315x x x +-；【解析】()32231215345x x x x x x --=-+=()()315x x x +-．10.【答案】；【解析】原式 .11.【答案】；【解析】. 12.【答案】； 【解析】.三.解答题13.【解析】 解： 由题意得，则，由、均为整数，可写出满足要求的、，进而求得，36＝1×36＝(－1)×(－36)＝2×18＝(－2)×(－18)＝3×12＝(－3)×(－12) ＝4×9＝(－4)×(－9)＝6×6＝(－6)×(－6)，所以可以取±37，±20，±15，±13，±12．取上述的两个值即可．14.【解析】解：原式=（2x+3）（x ﹣1）．15.【解析】解：（1）； （2）； （3）（4）（5）原式.22a b ac bc -++()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+()()a b c x y +++()()ax bx cx ay by cy =+++++()()x a b c y a b c =+++++()()a b c x y =+++()()164x x --()()()220642064164x x x x x x -+=-+=--()()211a a +-321a a a +--()()()()221111a a a a a =+-+=+-236()()x px x a x b ++=++2236()x px x a b x ab ++=+++36a b p ab +==，a b a b p p p ()()26824x x x x -+=--()()21024122x x x x +-=+-()()2152381581a a a a -+=--()()()2222568568542x xy y x xy y x y x y -++=---=-+-()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-。
北师大八年级下《因式分解——十字相乘法》精品学案
=++))((b x a x 年级：八年级 科目：数学 课题：4.+
十字相乘法*（因式分解）
课型：新授课 主编人： 上课时间：2016.4
班级： 姓名: 评价： 一、学习目标：
1、理解“十字相乘法”的含义，能够掌握“十字相乘法”的特点；
2、会用“十字相乘法”进行因式分解；
3、进一步体会因式分解与整式乘法的互逆关系及因式分解方法的多样性。
二、教学过程：
1、计算：
（1）（x-2）（x+3）=
（2）（x+5）（x+4）=
（3）（x-7）（x-6）=
观察讨论以上三个等式，你能发现什么规律？用代数式表示你所发现的规律。
思考：将上式等号两边互换位置得 ，
此式子能用于干什么？（答： ）
2、探索新知：
十字相乘法：运用乘法公式 将二次三项式进行因式分解的方法。
特点：
试一试：将 进行因式分解
小结：
1582+-x x
随堂练习1：把下列各式分解因式
1. x2+9x+14
2. x2-9x+14
3. x2-4x-12
4. x2+4x-12
5. y2-11y+24
6. y2-10y+24
小结： 1、当常数项是正数时，分解的两个数必为；
2、当常数项是负数时，分解的两个数必为；
3、具体如何分解看。
例2、将下列式子因式分解
（1） x4-7x2-18 （2）x2-9xy+14y2
随堂练习2：用十字相乘法分解下列式子
1、x4-13x2+36
2、x2+3xy-4y2
拓展提升：
1、x2y2+16xy+48
2、(2+a)2+5(2+a)-36
3、x4-2x3-48x2。
北师大版八年级(下)数学第16讲：分解因式-十字相乘法(教师版)——王琪
分解因式-十字相乘法一. 十字相乘法1.对于二次三项式 ,将a和c分别分解成两个因数的乘积。
2. 规律内涵:(1)把二次三项式分解因式时,如果常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同.(2)如果常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,对于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p.3. 易错点点评:(1)十字相乘法在对系数分解时易出错;(2)分解的结果与原式不等,这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.二．分组分解法1. 分组分解法:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.2. 概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过分组后是否有公因式可提,并且可继续分解,分组后是否可利用公式法继续分解因式.3. 注意: 分组时要注意符号的变化.1．若2x3﹣ax2﹣5x+2=（2x2+ax﹣1）（x﹣b），则a+b=（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4解：∵（2x2+ax﹣1）（x﹣b）=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴2x3﹣ax2﹣5x+2=2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b，∴﹣a=a﹣2b，﹣5=﹣（ab+1），b=2，解得：a=2，b=2，∴a+b=4，故选D2．计算结果为x2+7x﹣18的是（）A．（x+2）（x﹣9）B．（x﹣2）（x+9）C．（x+3）（x+9） D．（x﹣3）（x+6）解：x2+7x﹣18=（x﹣2）（x+9）．故选：B．3．多项式77x2﹣13x﹣30可因式分解成（7x+a）（bx+c），其中a、b、c均为整数，求a+b+c之值为何？（）A．0 B．10 C．12 D．22解：利用十字交乘法将77x2﹣13x﹣30因式分解，可得：77x2﹣13x﹣30=（7x﹣5）（11x+6）．∴a=﹣5，b=11，c=6，则a+b+c=（﹣5）+11+6=12．故选C．4．多项式2x2﹣xy﹣15y2的一个因式为（）A．2x﹣5y B．x﹣3y C．x+3y D．x﹣5y解：2x2﹣xy﹣15y2=（2x+5y）（x﹣3y）．故选：B．5．如果多项式x2﹣mx+6分解因式的结果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分别是（）A．m=﹣2，n=5 B．m=2，n=5 C．m=5，n=﹣2 D．m=﹣5，n=2解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．故选C6．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+4）解：A、x2﹣4=（x+2）（x﹣2）；故本选项错误；B、x2﹣2x﹣15=（x+3）（x﹣5）；故本选项正确；C、3mx﹣6my=3m（x﹣2y）；故本选项错误；D、2x+4=2（x+2）；故本选项错误．故选B．7．把多项式x2+y2﹣2xy﹣1因式分解的结果是（）A．（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x﹣y+1） D．（x﹣y+1）（y﹣x+1）解：原式=（x﹣y）2﹣1=（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）故选A8．多项式ab﹣bc+a2﹣c2分解因式的结果是（）A．（a﹣c）（a+b+c）B．（a﹣c）（a+b﹣c）C．（a+c）（a+b﹣c）D．（a+c）（a﹣b+c）解：原式=（ab﹣bc）+a2﹣c2=b（a﹣c）+（a+c）（a﹣c）=（a﹣c）（a+b+c）故选A9．下列因式分解正确的是（）A．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）B．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y﹣1）C．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x+y+1）D．4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x+y）2﹣1=（2x+y+1）（2x+y﹣1）解：4x2﹣4xy+y2﹣1=（2x﹣y）2﹣1=（2x﹣y+1）（2x﹣y﹣1）．故选；A．10．下列分解因式正确的是（）A．（x+y）（﹣y）=x﹣y2 B．x2﹣3=（x+1）（x﹣1）﹣2C．a2+b2﹣2ab+1=（a﹣b）2+1 D．x2﹣4xy+4y2=（x﹣2y）2解：（A）等式右边还是多项式，故A错误；（B）等式右边不是整式乘积的形式，故B错误；（C）等式右边不是整式乘积的形式，故C错误；（D）等式左边是一个多项式，右边是乘积形式，故选D11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：∵x2+ax+b=（x+1）（x﹣3），∴a=1﹣3=﹣2，b=﹣3×1=﹣3，故选：B．12．下列多项式变形不正确．．．的是（）A．a2﹣4a+3=（a﹣2）2﹣1 B．a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3）C．a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3） D．a2﹣4a+3=（a﹣）2﹣a解：A、a2﹣4a+3=a2﹣4a+4﹣1=（a﹣2）2﹣1，故本选项不符合题意；B、a2﹣4a+3=（a﹣1）（a﹣3），故本选项不符合题意；C、a2﹣4a+3=（a2﹣a）﹣（3a﹣3），故本选项不符合题意；D、a2﹣4a+3=a2﹣4a+（）2+2a﹣2a=（a﹣）2﹣（4+2）a，故本选项符合题意；故选：D．13．将多项式x2﹣3x﹣4分解因式后正确的是（）A．（x+2）（x﹣2）﹣3x B．x（x﹣3）﹣4 C．（x﹣1）（x+4）D．（x+1）（x﹣4）解：x2﹣3x﹣4=（x+1）（x﹣4）．故选D．14．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解：下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），故选C15．若x2+mx﹣15=（x+3）（x+n），则mn的值为（）A．5 B．﹣5 C．10 D．﹣10解：由x2+mx﹣15=（x+3）（x+n）=x2+（3+n）x+3n，比较系数，得m=3+n，﹣15=3n，解得m=﹣2，n=﹣5，则mn=（﹣2）×（﹣5）=10．故选：C．16．下列因式分解中正确的是（）A．m2﹣n2=（m﹣n）2 B．3m2﹣6m﹣9=3（m﹣3）（m+1）C．x4﹣2x2y2+y4=（x2﹣y2）2 D．x2﹣3x﹣4=（x+4）（x﹣1）解：A、原式=（m+n）（m﹣n），不符合题意；B、原式=3（m2﹣2m﹣3）=3（m﹣3）（m+1），符合题意；C、原式=（x2﹣y2）2=（x+y）2（x﹣y）2，不符合题意；D、原式=（x﹣4）（x+1），不符合题意，故选B17．下列因式分解错误的是（）A．3x2﹣6xy=3x（x﹣2y） B．x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y）C．4x2+4x+1=（2x+1）2 D．x2﹣y2+2y﹣1=（x+y+1）（x﹣y﹣1）解：A、3x2﹣6xy=3x（x﹣2y），正确，不合题意；B、x2﹣9y2=（x﹣3y）（x+3y），正确，不合题意；C、4x2+4x+1=（2x+1）2，正确，不合题意；D、x2﹣y2+2y﹣1=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故此选项错误，符合题意；故选：D．18．因式分解与整数乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+（2x+2y）分解因式的结果为（）A．（x+y）（x﹣y+2） B．（x+y）（x﹣y﹣2）C．（x﹣y）（x﹣y+2） D．（x﹣y）（x﹣y﹣2）解：x2﹣y2+（2x+2y）=（x+y）（x﹣y）+2（x+y）=（x+y）（x﹣y+2），故选：A．19．能分解成（x+2）（y﹣3）的多项式是（）A．xy﹣2x+3y﹣6 B．xy﹣3y+2x﹣y C．﹣6+2y﹣3x+xy D．﹣6+2x﹣3y+xy解：（x+2）（y﹣3）=xy﹣3x+2y﹣6．故选：C．20．下列各式按如下方法分组后，不能分解的是（）A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx） B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）C．（x2﹣y2）+（ax+ay）D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）解：A．（2ax﹣10ay）+（5by﹣bx）=2a（x﹣5y）+b（5y﹣x）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；B．（2ax﹣bx）+（5by﹣10ay）=x（2a﹣b）+5y（b﹣2a）=（x﹣5y）（2a﹣b），故此选项不合题意；C．（x2﹣y2）+（ax+ay）=（x+y）（x﹣y）+a（x+y）=（x+y）（x﹣y+a），故此选项不合题意；D．（x2+ax）﹣（y2﹣ay）=x（x+a）﹣y（y﹣a），无法分解因式，符合题意．故选：D．基础演练1．若多项式x2+mx+12因式分解的结果是（x﹣2）（x﹣6），则m的值是（）A．8 B．﹣4 C．﹣8 D．4解：由题意可知：x2+mx+12=（x﹣2）（x﹣6），∴x2+mx+12=x2﹣8x+12∴m=﹣8故选C2．下列因式分解结果正确的是（）A．15a3+10a2=5a（3a2+2a） B．9﹣4x2=（3+4x）（3﹣4x）C．a2﹣10a﹣25=（a﹣5）2 D．a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5）解：A、15a3+10a2=5a2（3a+2），故此选项错误；B、9﹣4x2=（3+2x）（3﹣2x），故此选项错误；C、a2﹣10a﹣25无法因式分解，故此选项错误；D、a2﹣3a﹣10=（a+2）（a﹣5），正确．故选：D．3．若把多项式x2+mx﹣6分解因式后含有因式x﹣2，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．3解：设x2+mx﹣6=（x﹣2）（x+a）=x2+（a﹣2）x﹣2a，可得m=a﹣2，2a=6，解得：a=3，m=1，故选B．4．下列各等式中正确的是（）A．=±2 B．2+=2C．a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2） D．（a m）n=a m+n解：A、=2，故此选项错误；B、2+无法计算，故此选项错误；C、a2﹣a﹣2=（a+1）（a﹣2），故此选项正确；D、（a m）n=a mn，故此选项错误；故选：C．5．下列因式分解结果正确的是（）A．10a3+5a2=5a（2a2+a）B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2D．x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）解：A、10a3+5a2=5a2（2a+1），故此选项错误；B、4x2﹣9=（2x+3）（2x﹣3），故此选项错误；C、a2﹣2a﹣1，无法因式分解，故此选项错误；D、x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1），此选项正确．故选：D．6．多项式x2﹣11x+30分解因式的结果为（）A．（x+5）（x﹣6）B．（x﹣5）（x+6）C．（x﹣5）（x﹣6）D．（x+5）（x+6）解：x2﹣11x+30=（x﹣5）（x﹣6）．故选：C．7．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（）A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．故选B．8．若m＞﹣1，则多项式m3﹣m2﹣m+1的值为（）A．正数 B．负数 C．非负数D．非正数解：多项式m3﹣m2﹣m+1，=（m3﹣m2）﹣（m﹣1），=m2（m﹣1）﹣（m﹣1），=（m﹣1）（m2﹣1）=（m﹣1）2（m+1），∵m＞﹣1，∴（m﹣1）2≥0，m+1＞0，∴m3﹣m2﹣m+1=（m﹣1）2（m+1）≥0，故选C．9．多项式x2y2﹣y2﹣x2+1因式分解的结果是（）A．（x2+1）（y2+1） B．（x﹣1）（x+1）（y2+1）C．（x2+1）（y+1）（y﹣1）D．（x+1）（x﹣1）（y+1）（y﹣1）解：x2y2﹣y2﹣x2+1=y2（x2﹣1）﹣（x2﹣1）=（y2﹣1）（x﹣1）（x+1）=（y﹣1）（y+1）（x﹣1）（x+1）．故选：D．10．把多项式1+a+b+ab分解因式的结果是（）A．（a﹣1）（b﹣1）B．（a+1）（b+1） C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：1+a+b+ab=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b）．故选：B．巩固提高11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a=﹣2，b=﹣3 B．a=2，b=3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3解：根据题意得：x2+ax+b=（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3，则a=﹣2，b=﹣3，故选A12．已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘为x2﹣4，乙与丙相乘为x2+15x﹣34，则甲与丙相加的结果与下列哪一个式子相同？（）A．2x+19 B．2x﹣19 C．2x+15 D．2x﹣15解：∵x2﹣4=（x+2）（x﹣2），x2+15x﹣34=（x+17）（x﹣2），∴乙为x﹣2，∴甲为x+2，丙为x+17，∴甲与丙相加的结果x+2+x+17=2x+19．故选：A．13．若多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，则满足条件的整数p共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个解：∵多项式x2+px+12可以因式分解为（x+m）（x+n）的形式，且p、m、n均为整数，∴p=±13，±8，±7，共6个，故选C14．对下列各整式因式分解正确的是（）A．2x2﹣x+1=x（2x﹣1）+1 B．x2﹣2x﹣1=（x2﹣1）2C．2x2﹣xy﹣x=2x（x﹣y﹣1）D．x2﹣x﹣6=（x+2）（x﹣3）解：A、原式不能分解，错误；B、原式=（x﹣1﹣）（x﹣1+），错误；C、原式=x（2x﹣y﹣1），错误；D、原式=（x+2）（x﹣3），正确．故选D．15．下列运算正确的是（）A．×= B．•=1C．﹣2x2﹣3x+5=（1﹣x）（2x+5）D．（﹣a）7÷a3=a4解：A、原式=2×=，错误；B、原式=|a﹣b|•=1或﹣1，错误；C、原式=（1﹣x）（2x+5），正确；D、原式=﹣a4，错误．故选C．16．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D17．分解因式x2﹣m2+4mn﹣4n2等于（）A．（x+m+2n）（x﹣m+2n）B．（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）C．（x﹣m﹣2n）（x﹣m+2n）D．（x+m+2n）（x+m﹣2n）解：x2﹣m2+4mn﹣4n2=x2﹣（m2﹣4mn+4n2）=x2﹣（m﹣2n）2=（x+m﹣2n）（x﹣m+2n）．故选：B．18．分解因式与整式乘法一样，都是一种恒等变形，即在变形的过程中，形变值不变，于是将多项式x2﹣y2+3x﹣3y分解因式的结果为（）A．（x+y+3）（x﹣y）B．（x﹣y一3）（x﹣y）C．（x+y﹣3）（x﹣y） D．（x﹣y+3）（一x﹣y）解：x2﹣y2+3x﹣3y=（x+y）（x﹣y）+3（x﹣y）=（x﹣y）（x+y+3）．故选：A．19．多项式x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8分解因式的结果是（）A．（x﹣5y+1）（x﹣5y﹣8） B．（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）C．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y﹣2）D．（x﹣5y﹣4）（x﹣5y+2）解：x2﹣10xy+25y2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y）2+2（x﹣5y）﹣8=（x﹣5y+4）（x﹣5y﹣2）．故选：B．20．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2+y2=（y+x）（y﹣x），正确；C、ax+x+ay+y=（ax+ay）+（x+y）=（a+1）（x+y），正确；D、﹣a2﹣4ax+4x2=﹣a（a+4x）+4x2结果不是积的形式，故本选项错误．故选D．1．若x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3），则mn=（）A．6 B．4 C．12 D．﹣12解：∵x2﹣x﹣n=（x﹣m）（x﹣3）=x2﹣（m+3）x+3m，∴m+3=1，﹣n=3m，解得：m=﹣2，n=6，则mn=﹣12．故选D2．若x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3），则p﹣q的值为（）A．5 B．7 C．﹣7 D．﹣5解：∵x2﹣px+q=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，∴﹣p=1，q=﹣6，解得：p=﹣1，q=﹣6，则p﹣q=﹣1+6=5，故选A．3．下列因式分解正确的是（）A．x2﹣7x+12=x（x﹣7）+12 B．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x+4）C．x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4） D．x2﹣7x+12=（x+3）（x+4）解；∵x2﹣7x+12=（x﹣3）（x﹣4），∴只有选项C正确．故选；C．4．把多项式ab﹣1+a﹣b因式分解的结果是（）A．（a+1）（b+1） B．（a﹣1）（b﹣1）C．（a+1）（b﹣1）D．（a﹣1）（b+1）解：ab﹣1+a﹣b=（ab﹣b）+（a﹣1）=b（a﹣1）+（a﹣1）=（a﹣1）（b+1）；ab﹣1+a﹣b=（ab+a）﹣（b+1）=a（b+1）﹣（b+1）=（a﹣1）（b+1）．故选D．5．把a2﹣b2+2b﹣1因式分解，正确的是（）A．（a+b）（a﹣b）+2b﹣1 B．（a+b+1）（a﹣b﹣1）C．（a+b﹣1）（a+b+1） D．（a+b﹣1）（a﹣b+1）解：a2﹣b2+2b﹣1=a2﹣（b2﹣2b+1）=a2﹣（b﹣1）2=（a﹣b+1）（a+b﹣1）．故选：D．6．下列因式分解结果正确的是（）A．x2+3x+2=x（x+3）+2 B．4x2﹣9=（4x+3）（4x﹣3）C．x2﹣5x+6=（x﹣2）（x﹣3）D．a2﹣2a+1=（a+1）2解：A、原式=（x+1）（x+2），故本选项错误；B、原式=（2x+3）（2x﹣3），故本选项错误；C、原式=（x﹣2）（x﹣3），故本选项正确；D、原式=（a﹣1）2，故本选项错误；故选：C．7．如果多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），那么下列结论正确的是（）A．m=6 B．n=1 C．p=﹣2 D．mnp=3解：∵多项式mx2﹣nx﹣2能因式分解为（3x+2）（x+p），∴（3x+2）（x+p）=3x2+（3p+2）x+2p=mx2﹣nx﹣2，∴p=﹣2，3p+2=﹣n，解得：n=1．故选：B．8．已知多项式x2+bx+c分解因式为（x﹣3）（x+1），则b、c的值为（）A．b=2，c=3 B．b=﹣4，c=3 C．b=﹣2，c=﹣3 D．b=﹣4，c=﹣3解：∵x2+bx+c=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3，∴b=﹣2，c=﹣3．故选：C．9．把x2﹣y2+2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y+1）C．（x+y﹣1）（x+y+1） D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2﹣2y+1）=x2﹣（y﹣1）2=（x+y﹣1）（x﹣y+1），故选B．10．把多项式x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3因式分解之后，正确的结果是（）A．（x+y+3）（x﹣y﹣1） B．（x+y﹣1）（x﹣y+3）C．（x+y﹣3）（x﹣y+1） D．（x+y+1）（x﹣y﹣3）解：x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3=（x2﹣2x+1）﹣（y2+4y+4）=（x﹣1）2﹣（y+2）2=[（x﹣1）+（y+2）][（x﹣1）﹣（y+2）]=（x+y+1）（x﹣y﹣3）．故选D．1．分解因式x2﹣4x﹣5正确的是（）A．（x﹣5）（x+1）B．（x+5）（x﹣1）C．（x﹣5）（x﹣1）D．（x+5）（x+1）解：x2﹣4x﹣5=（x﹣5）（x+1）．故选：A．2．下列分解因式正确的是（）A．x3﹣x=x（x2﹣1） B．m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2）C．（a+4）（a﹣4）=a2﹣16 D．x2+y2=（x+y）（x﹣y）解：A、x3﹣x=x（x2﹣1）=x（x+1）（x﹣1），分解不彻底，故本选项错误；B、运用十字相乘法分解m2+m﹣6=（m+3）（m﹣2），正确；C、是整式的乘法，不是分解因式，故本选项错误；D、没有平方和的公式，x2+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．3．多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含下列哪个因式（）A．2x+1 B．x（x+1）2C．x（x2﹣2x）D．x（x﹣1）解：2x（x﹣2）﹣2+x=2x2﹣3x﹣2=（x﹣2）（2x+1）．所以多项式2x（x﹣2）﹣2+x中，一定含因式（x﹣2）或（2x+1）．故选：A．4．已知（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）可分解因式为（3x+a）（x﹣b），其中a、b均为整数，则3a+b的值为（）A．﹣6 B．3 C．9 D．﹣3解：∵（2x﹣9）（3x﹣2）﹣（3x﹣2）（x﹣6）=（3x﹣2）（2x﹣9﹣x+6）=（3x﹣2）（x﹣3），∴a=﹣2，b=3，∴3a+b=3×（﹣2）+3=﹣3．故选D．5．若多项式ax2+bx+c因式分解的结果为（x﹣2）（x+4），则abc的值为（）A．﹣16 B．16 C．8 D．﹣8解：根据题意得：ax2+bx+c=（x﹣2）（x+4）=x2+2x﹣8，∴a=1，b=2，c=﹣8，则abc=﹣16．故选A6．分解因式a2﹣2a+1﹣b2正确的是（）A．（a﹣1）2﹣b2 B．a（a﹣2）﹣（b+1）（b﹣1）C．（a+b﹣1）（a﹣b﹣1）D．（a+b）（a﹣b）﹣2a+1解：原式=（a﹣1）2﹣b2=（a﹣1+b）（a﹣1﹣b）．故选C．7．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1） B．﹣x2﹣y2=﹣（x2﹣y2）=﹣（x+y）（x﹣y）C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y）D．1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b）解：A.15a2+5a=5a（3a+1），故此选项错误；B．﹣x2﹣y2两项符号相同无法运用平方差公式进行分解，故此选项正确；C．k（x+y）+x+y=（k+1）（x+y），故此选项错误；D.1﹣a2﹣b2+2ab=（1+a﹣b）（1﹣a+b），故此选项错误．故选：B．8．下列式子中，因式分解错误的是（）A．a2﹣bc+ac﹣ab=（a﹣b）（a+c） B．ab﹣5a+3b﹣15=（b﹣5）（a+3）C．x2﹣6xy﹣1+9y2=（x+3y+1）（x+3y﹣1） D．x2+3xy﹣2x﹣6y=（x+3y）（x﹣2）解：A、a2﹣bc+ac﹣ab=（a2﹣ab）+（ac﹣bc）=a（a﹣b）+c（a﹣b）=（a﹣b）（a+c），故本选项正确；B、ab﹣5a+3b﹣15=（ab﹣5a）+（3b﹣15）=a（b﹣5）+3（b﹣5）=（b﹣5）（a+3），故本选项正确；C、x2﹣6xy﹣1+9y2=（x2﹣6xy+9y2）﹣1=（x﹣3y）2﹣1=（x﹣3y+1）（x﹣3y﹣1），故本选项错误；D、x2+3xy﹣2x﹣6y=（x2+3xy）﹣（2x+6y）=x（x+3y）﹣2（x+3y）=（x+3y）（x﹣2），故本选项正确．故选C．9．下列分解因式错误的是（）A．15a2+5a=5a（3a+1）B．﹣x2﹣y2=﹣（x+y）（x﹣y）C．ax+x+ay+y=（a+1）（x+y）D．a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c）解：A、15a2+5a=5a（3a+1），正确；B、﹣x2﹣y2=﹣（x2+y2），故本选项错误；C、ax+x+ay+y=（a+1）（x+y），正确；D、a2﹣bc﹣ab+ac=（a﹣b）（a+c），正确．故选B．10．分解因式x2+ax+b，甲看错了a的值，分解的结果为（x+6）（x﹣1），乙看错了b的值，分解结果为（x﹣2）（x+1），那么x2+ax+b分解因式的正确结果为（）A．（x﹣2）（x+3）B．（x+2）（x﹣3）C．（x﹣2）（x﹣3）D．（x+2）（x+3）解：因为（x+6）（x﹣1）=x2+5x﹣6，（x﹣2）（x+1）=x2﹣x﹣2，由于甲看错了a的值没有看错b的值，所以b=6，乙看错了b的值而没有看错a的值，所以a=﹣1，所以多项式x2+ax+b为x2﹣x+6=（x﹣3）（x+2）故选B．11．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x﹣1）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=2，b=3 B．a=2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=﹣2，b=﹣3解：x2+ax+b=（x﹣1）（x+3）=x2+2x﹣3，故a=2，b=﹣3，故选：B．12．若多项式x2+ax+b分解因式的结果（x﹣2）（x+3），则a，b的值分别是（）A．a=1，b=﹣6 B．a=5，b=6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣6解：∵多项式x2+ax+b分解因式的结果为（x﹣2）（x+3），∴x2+ax+b=（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6，故a=1，b=﹣6，故选：A．13．如果多项式x2+ax+b可因式分解为（x﹣1）（x+2），则a、b的值为（）A．a=1，b=2 B．a=1，b=﹣2 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=﹣1，b=2解：根据题意得：x2+ax+b=（x﹣1）（x+2）=x2+x﹣2，则a=1，b=﹣2，故选B14．多项式（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）可以因式分解成（x+m）（2x+n），则m﹣n的值是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．5解：∵（x+2）（2x﹣1）﹣2（x+2）=（x+2）（2x﹣1﹣2）=（x+2）（2x﹣3），∴m=2，n=﹣3．∴m﹣n=2﹣（﹣3）=5．故选D．15．下列四个等式中错误的是（）A．1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）（1﹣b）B．1+a+b+ab=（1+a）（1+b）C．1﹣a+b+ab=（1﹣a）（1+b） D．1+a﹣b﹣ab=（1+a）（1﹣b）解：A、1﹣a﹣b+ab=（1﹣a）+（﹣b+ab）=（1﹣a）﹣b（1﹣a）=（1﹣a）（1﹣b），故本选项不符合题意；B、1+a+b+ab=（1+a）+（b+ab）=（1+a）+b（1+a）=（1+a）（1+b），故本选项不符合题意；C、∵（1﹣a）（1+b）=1﹣a+b﹣ab≠1﹣a+b+ab，∴错误，故本选项符合题意；D、1+a﹣b﹣ab=（1+a）+（﹣b﹣ab）=（1+a）﹣b（1+a）=（1+a）（1﹣b），故本选项不符合题意．故选C．16．把x2﹣y2﹣2y﹣1分解因式结果正确的是（）A．（x+y+1）（x﹣y﹣1）B．（x+y﹣1）（x﹣y﹣1）C．（x+y﹣1）（x+y+1）D．（x﹣y+1）（x+y+1）解：原式=x2﹣（y2+2y+1），=x2﹣（y+1）2，=（x+y+1）（x﹣y﹣1）．故选A．17．分解因式a2﹣b2+4bc﹣4c2的结果是（）A．（a﹣2b+c）（a﹣2b﹣c） B．（a+2b﹣c）（a﹣2b+c）C．（a+b﹣2c）（a﹣b+2c） D．（a+b+2c）（a﹣b+2c）解：a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣b2+4bc﹣4c2，=a2﹣（b2﹣4bc+4c2），=a2﹣（b﹣2c）2，=（a﹣b+2c）（a+b﹣2c）．故选C．18．下列多项式中，不能进行因式分解的是（）A．﹣a2+b2 B．﹣a2﹣b2 C．a3﹣3a2+2a D．a2﹣2ab+b2﹣1解：A、两个平方项异号，可用平方差公式进行因式分解，故A正确；B、两个平方项同号，不能运用平方差公式进行因式分解，故B错误；C、可先运用提公因式法，再运用十字相乘法，原式=a（a2﹣3a+2）=a（a﹣1）（a﹣2），故C正确；D、可先分组，再运用公式法，原式=（a﹣b）2﹣1=（a﹣b+1）（a﹣b﹣1），故D正确．故选：B．。
北师大版初二数学下册十字相乘法分解因式
谢谢大家
将下列各数表示成两个整数 的积的形式
（1）6= 2×3 或 (-2)×(-3)或1×6或(-1) ×(-6)
（2）-6= 1× (-6)或-1×6或2× (-3)或3× (-2)
（3）12= 1× 12或(-1)×(-12)或2× 6或(-2)× (-6) 或3×4 或(-3)× (-4)
（4）-12= 1× (-12)或(-1)×12或2×(- 6)或(-2)× 6或 3×(-4) 或(-3)× 4
赫章县可乐中学 陈文开
1、计算结果
整式乘法中，有
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
(1)(x+3)(x+4)
(2)(x+3)(x-4)
(3) (x-3)(x+4)
(4) (x-3)(x-4)
2、提问：你有什么快速计算类似 以上多项式的方法吗？
整式的乘法
两个一(x次二+项a式相)(乘x的+积b)=x2+(一a个+二b次)三x项+式ab 反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
一个二次三项式
两个一次二项式相乘的积
因式分解
如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数 q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项 系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以进 行如上的因式分解。
试一试：把x2+3x+2分解因式
分析∵ (+1) ×(+2)＝＋2
常数项
(+1)＋(+2)＝+3
初中数学因式分解公式法十字相乘法知识点的讲解和练习
由此可见， 5、中考点拨： 例 1：因式分解： 解：
一定是 8 的倍数。
________。
说明 ： 因式分解时，先看有没有公因式。此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻 底。 例 2：分解因式： 解： 说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。 题型展示： 例 1. 已 知 ： 的值。 解： ， 求 _________。
将它与原式的各项系数进行对比，得：
7
解得： 此时，原式 （2）设原式分解为 ，其中 c、d 为整数，去括号，得：
将它与原式的各项系数进行对比，得：
解得： 此时，原式 2. 在几何学中的应用 例. 已知：长方形的长、宽为 x、y，周长为 16cm，且满足 ，求长方形的面积。 分析：要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。 解：
或 又
解得：
或
∴长方形的面积为 15cm2 或 3、在代数证明题中的应用
8
例. 证明：若 数。
是 7 的倍数，其中 x，y 都是整数，则
是 49 的倍
分析：要证明原式是 49 的倍数，必将原式分解成 49 与一个整数的乘积的形式。 证明一：
∵ ∴
是 7 的倍数，7y 也是 7 的倍数（y 是整数） 是 7 的倍数 是 7 的倍数，所以 （m 是整数） 是 49 的倍数。
是三角 形三边
且
即
5
4. 解 ，即 5. 分析与解答：（1）由因式分解可知
故需考虑
值的情况，
（2）所求代数式较复杂，考虑恒等变形。 解：（1） 又
而 不全相等
（2） 原式 而 ，即
原式
说明：因式分解与配方法是在代数式的化简与求值中常用的方法。 5、用十字相乘法把二次三项式分解因式 【知识精读】 对于首项系数是 1 的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式 进行因式分解。 掌握这种方法的关键是确定适合条件的
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十字相乘法分解因式
（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax^2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项．
例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．
（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的
二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．
（3）在多项式37222+-ab b a 中，看作一个整体，即 ，
就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．
(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一
次项系数的符号相同；
当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大
的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再
看常数项；
常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的
符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积
绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一
是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是
由十字相乘写出的因式漏写字母．
例1 把下列各式分解因式：
(1)1522--x x ；
=（x+3）（x+5）
(2)2265y xy x +-．
=（x-3y ）（x-2y ）
例2 把下列各式分解因式：
(1)3522--x x ；
=（-x+3）（-2x-1）
例3 把下列各式分解因式：
(1)91024+-x x ；
=（x-1）（x+1）（x-3）（x+3）
(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；
=[7(x+y)^2-5(x+y)-2](x+y)
=(7x+7y-1)(x+y+2)(x+y)
(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．
=(a^2+8a+10)(a^2+8a+12)
=(a^2+8a+10)(a+2)(a+6)
例4 分解因式：
90)242)(32(22+-+-+x x x x ．
=(x^2+2x-18)(x^2+2x-9)
例5 分解因式653856234++-+x x x x ．
=(6x^4+5x^3-39x^2)+(x^2+5x+6)
=x^2(6x^2+5x-39)+(x+2)(x+3)
=x^2(x+3)(6x-13)+(x+2)(x+3)
=(x+3)(6x^3-13x^2+x+2)
=(x+3)(6x^3-13x^2+2x-x+2)
=(x+3)[x(6x^2-13x+2)-(x-2)]
=(x+3)[x(x-2)(6x-1)-(x-2)]
=(x+3)[(x-2)(6x^2-x-1)]
=(x+3)(x-2)(2x-1)(3x+1)
例6 分解因式
655222-+-+-y x y xy x ．
=(x^2-2xy+y^2)-5(x-y)-6
=(x-y)^2-5(x-y)-6
=[(x-y)-6][(x-y)+1]
=(x-y-6)(x-y+1)
例7、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求
a 值和这个多项
式的其他因式．
把下列各式分解因式：
(1)22157x x ++
(2) 2384a a -+
(3) 2576x x +-
(4) 261110y y --
(5) 2252310a b ab +-
(6) 222231710a b abxy x y -+
(7) 22712x xy y -+
(8) 42718x x +-
(9) 22483m mn n ++
(10) 53251520x x y xy --
一、选择题
1．
如))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )
A ．ab
B ．a ＋b
C ．－ab
D ．－(a
＋b )
2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为
( )
A ．5
B ．－6
C ．－5
D ．6
3．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为
( )
A ．10和－2
B ．－10和2
C ．10和2
D ．－10
和－2
4．不能用十字相乘法分解的是
( )
A ．22-+x x
B ．x x x 310322+-
C ．242++x x
D ．22865y xy x --
5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是
( )
A ．20)(13)(22++-+y x y x
B ．20)(13)22(2++-+y x y x
C ．20)(13)(22++++y x y x
D ．20)(9)(22++-+y x y x
6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有
( )
①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；
④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x x
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5
个
二、填空题
7．=-+1032x x (x-2)(x+5)．
8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝，b ＝．
9．=--3522x x (x －3)()．
10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．
11．22____)(____(_____)+=++a m
n a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．
13．若x －y ＝6，36
17=
xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题
14．把下列各式分解因式：
(1)6724+-x x ；
(2)36524--x x ；
(3)422416654y y x x +-；
(4)633687b b a a --；
(5)234456a a a --；
(6)422469374b a b a a +-．
15．把下列各式分解因式：
(1)2224)3(x x --；
(2)9)2(22--x x ；
(3)2222)332()123(++-++x x x x ；
(4)60)(17)(222++-+x x x x ；
(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；
(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．
16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，x^3+y^3=36，求a 的值． x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x+y)^2-3xy]
x+y=2,xy=a+4
x^3+y^3=2*(4-3a-12)=36
a=-26/3。