2022-2023学年天津市高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市河东区高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市河东区高一上学期期末数学试题一、单选题1．cos120︒的值是（ ）A ．12-B ．12C D ．【答案】A【分析】由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果． 【详解】()1cos120cos 18060cos602︒=-︒=-︒=-， 故选：A ．2．已知扇形的面积为9，半径为3，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为（ ） A ．1 B ．π3C ．2D ．2π3【答案】C【分析】利用扇形面积公式即可求解.【详解】设扇形的圆心角的弧度数为()0αα>，由题意得21392α⋅=，得2α=.故选：C.3．若角α终边经过点()2,1-，则cos α=A ．B ．CD 【答案】B【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出.详解：角α终边经过点()2,1-，则r ==由余弦函数的定义可得cos x r α== 故选B.点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题. 4．函数241xy x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误； 当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误. 故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．设0.40.580.5,log 0.3,log 0.4a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c<a<bD ．b<c<a【答案】C【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a ,b ,c 的范围即可比较其大小关系.【详解】由题意可知：()0.40.580.5log 0.31,log 0.01,40,a b c ==>=<∈，则：c<a<b .故选C .【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数sin2y x ＝的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度【答案】A【分析】先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 【详解】∵函数ππsin(2)sin[2()]36y x x =-=-，∴为了得到函数πsin(2)3y x =-的图象，可以将函数y =sin2x 的图象向右平移π6个单位长度．故选A ．7．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录法的数据V ，满足5lg L V =+.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）()1.259A ．0.8B ．1C ．1.3D ．1.5【答案】A【分析】将 4.9L =代入5lg L V =+中直接求解即可 【详解】由题意得 4.9L =， 所以4.95lg V =+，lg 0.1V =-，所以0.110.110111100.810 1.25910V -===≈≈， 故选：A8．函数()()1sin f x x x π=--在区间3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上的所有零点之和为（ ）A ．0B ．2πC ．4πD ．6π【答案】C【分析】把方程()0f x =变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数1y x π=-图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得．【详解】解：因为()()1sin f x x x π=--，令()0f x =，即()1sin x x π=-，当x π=时显然不成立， 当x π≠时1sin x x π=-，作出sin y x =和1y x π=-的图象，如图，它们关于点(,0)π对称，由图象可知它们在3722ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上有4个交点，且关于点(,0)π对称，每对称的两个点的横坐标和为2π，所以4个点的横坐标之和为4π．故选：C ．二、填空题 9．计算：22log sin log cos1212ππ+=______．【答案】2-【分析】根据给定条件利用对数运算法则，二倍角的正弦公式、特殊角的三角函数值计算作答. 【详解】222222log sin log coslog sincos)log sin )log 12121211222((26πππππ-+====-. 故答案为：2-10．cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3##132【分析】利用余弦的和差公式、诱导公式及特殊角的三角函数值可解.【详解】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒=故答案为：3. 11．函数()y f x =是定义在R 上周期为2的奇函数，若()0.51f -=-，则()2.5f =______． 【答案】1【分析】根据给定条件利用周期性、奇偶性计算作答.【详解】因函数()y f x =是R 上周期为2的奇函数，()0.51f -=-， 所以()2.5(0.5)(0.5)1f f f ==--=.故答案为：1【点睛】易错点睛：函数f (x )是周期为T 的周期函数，T 是与x 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期.12．已知()tan 2πα+=，α是第三象限角，则()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭=⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭____________.（请用数字作答）【答案】34##0.75【分析】利用诱导公式即可化简求解. 【详解】()tan 2πα+=，∴()tan tan 2παα+==.由()()sin sin 23cos 2cos 2παπαπαπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭cos sin sin 2cos αααα+=+cos sin cos cos sin 2cos cos cos αααααααα+=+1tan tan 2αα+=+1222+=+ 34=. 故答案为：34.13．已知函数()1232e ,2log 1,2x x f x x x -⎧<=⎨-≥⎩，则()()1f f =____________. 【答案】34log 3【分析】首先计算()12f =，再计算()()()12f f f =即可.【详解】()012e 2f ==，()()()33412log 41log 3f f f ==-=. 故答案为：34log 3三、双空题14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图1描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图2，将筒车抽象为一个几何图形（圆），以筒车转轮的中心O 为原点，过点O 的水平直线为x 轴建立如图直角坐标系xOy . 已知一个半径为1.6m 的筒车按逆时针方向每30s 匀速旋转一周，O 到水面的距离为0.8m.规定：盛水筒M 对应的点P 从水中浮现（0P 时的位置）时开始计算时间，且设盛水筒M 从点0P 运动到点P 时所经过的时间为t （单位：s ），且此时点P 距离水面的高度为d （单位：m ）（在水面下则d 为负数），则d 关于t 的函数关系式为___________，在水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为___________s.【答案】 151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥ 10【分析】根据给定信息，求出以Ox 为始边，OP 为终边的角，求出点P 的纵坐标即可列出函数关系，再解不等式作答.【详解】依题意，点0P 到x 轴距离为0.8m ，而0|| 1.6m OP =，则06xOP π∠=，从点0P 经t s 运动到点P 所转过的角为23015t t ππ=，因此，以Ox 为始边，OP 为终边的角为156t ππ-，点P 的纵坐标为1.6sin()156t ππ-，于是得点P 距离水面的高度151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥，由 1.6d ≥得：1sin()1562t ππ-≥，而0t ≥，即522,N 61566k t k k ππππππ+≤-≤+∈，解得3053015,N k t k k +≤≤+∈，对于k 的每个取值，3015(305)10k k +-+=，所以d 关于t 的函数关系式为151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥，水轮转动的任意一圈内，点P 距水面的高度不低于1.6m 的时长为10s.故答案为：151.6sin()0.8(0)6d t t ππ=-+≥；10【点睛】关键点睛：涉及三角函数实际应用问题，探求动点坐标，找出该点所在射线为终边对应的角是关键，特别注意，始边是x 轴非负半轴.四、解答题 15．求值()1233031sin13864-⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)7log 2log lg125lg87++. 【答案】(1)16 (2)6.5【分析】（1）根据指数幂的运算性质，求解即可； （2）根据对数的运算性质和运算律，求解即可.【详解】（1）原式112233223353153111224224--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦531161622=--+= （2）原式3233log 3lg(1258)2lg100022=+⨯+=++ 3322=++ 6.5= 16．已知4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． (1)求cos α，tan α的值；(2)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】(1)35；43-.(2).【分析】（1）利用给定条件结合同角公式计算作答.（2）由（1）结合二倍角公式求出sin 2,cos 2αα，再利用和角的正弦公式计算作答.【详解】（1）因4sin 5α，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则5c os 3α==-=，sin tan s 43co ααα==-， 所以cos α，tan α的值分别是35和43-.（2）由（1）知，24sin 22sin cos 25ααα==-，27cos 212sin 25αα=-=-，所以247sin(2)sin 2cos cos 2sin 4442525πππααα+=+=-=17．已知函数()()lg 4f x x =-. (1)求()3f 的值； (2)求()f x 的定义域.【答案】(2)[)0,4【分析】（1）将3代入函数解析式即可求答案.（2）根据根式的意义以及对数真数大于0，列出不等式组，可求答案.【详解】（1）()()lg 433f =-（2）由31040x x ⎧-≥⎨->⎩，解得()f x 的定义域为[)0,4.18．已知函数()sin(2)sin(2)cos 2166f x x x x ππ=++-+-(1)求()f x 的最小正周期；(2)当[0,]4x π∈时，求()f x 的单调区间；(3)在（2）的件下，求()f x 的最小值，以及取得最小值时相应自变量x 的取值. 【答案】(1)T π=(2)()f x 的单调递增区间为[0,]6π，单调递减区间为[,]64ππ(3)当0x =时，()f x 的最小值为0【分析】（1）根据周期公式计算即可.（2）求出()f x 单调区间，然后与所给的范围取交集即可.（3）根据（2）的结论，对()0f 与4f π⎛⎫⎪⎝⎭进行比较即可.【详解】（1）()sin 2coscos 2sinsin 2coscos 2sincos 216666f x x x x x x ππππ=++-+-2cos212sin 216x x x π⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，222T πππω===，故()f x 的最小正周期为π.（2）先求出增区间，即： 令()222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈解得(),36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈所以在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上，当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，当,64x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；所以()f x 的单调递增区间为[0,]6π，单调递减区间为[,]64ππ（3）由（2）所得到的单调性可得()02sin 106f π=-=，2sin 11426f πππ⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 在0x =时取得最小值0.19．已知函数()22e 1f x x x m =-++-，()2e g x x x=+()0x >．(1)若()g x m =有零点，求m 的取值范围；(2)试确定m 的取值范围，使得()()0g x f x -=有两个相异实根． 【答案】(1){}|2e m m ≥； (2)2e 2e 1m >-++.【分析】（1）利用函数单调性的定义判断函数()2e g x x x=+在()0,∞+上的单调性，作出函数()g x 的图象，数形结合即可求解；（2）由（1）知()g x 的最小值，根据二次函数的性质可求出()f x 的最大值，由题意可知()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点，结合图象可知()()max min f x g x >解不等式即可求解.【详解】（1）任取()120,x x <∈+∞，则()()()()222121212121212e e e x x x x g x g x x x x x x x ---=+--=，当12e x x <<时，120x x -<，212e x x <，可得()()120g x g x ->即()()12g x g x >，当21e x x >>时，120x x -<，212>e x x ，可得()()120g x g x -<即()()12g x g x <，所以()2e g x x x =+在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，()()min e 2e g x g ==，作出函数()2e g x x x=+图象如图：若()g x m =有零点，则有函数()y g x =与y m =图象有交点， 由图知：2e m ≥，故实数m 的取值范围为{}|2e m m ≥．（2）若()()0g x f x -=有两个相异实根，即()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点． 因为()()2222e 1e 1e f x x x m x m =-++-=--+-+，对称轴为e x =，开口向下，最大值为21e m -+，由（1）知：()()min e 2e g x g ==，在同一平面直角坐标系中，作出()2e g x x x=+()0x >和()f x 的图象，如图．由图知当21e 2e m -+>即2e 2e+1m >-+时，()g x 与()f x 的图象有两个不同的交点，即()()0g x f x -=有两个相异实根，所以实数m的取值范围是2e2e+1m>-+.第 11 页共 11 页。
2022-2023学年天津市宁河区芦台高一年级上册学期11月月考数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市宁河区芦台第一中学高一上学期11月月考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）2{|40}M x x x =-<{|3}N x x =<M N ⋂=A ．B ．C ．D ．(1,3)(0,3)(0,4)∅【答案】B【分析】解一元二次不等式及绝对值不等式，对两个集合进行化简，进而可求出交集.【详解】解：解得，；解得，，240x x -<04x <<3x <33x -<<所以，，∴.{|04}M x x =<<{|33}N x x =-<<(0,3)M N = 故选：B.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了集合的交集求解.本题的关键是正确求出不等式的解.2．命题“”的否定（ ）22,26x x ∀>+>A ．B ．22,26x x ∃≥+>22,26x x ∃≤+≤C ．D ．22,26x x ∃≤+>22,26x x ∃>+≤【答案】D【分析】全称命题的否定为特称命题，具体的否定方法：改量词，否结论.【详解】因为原命题“”，所以其否定为“”，22,26x x ∀>+>22,26x x ∃>+≤故选：D.3．设，对“”是“”的（ ）x ∈R 12x ≤≤12x x -≤-A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解分式不等式得，根据集合 即可解决.12x ≤<B A 【详解】由题得，，记,12x ≤≤{}12A x x =≤≤因为，12x x -≤-所以，解得，记，()()20120x x x -≠⎧⎨--≤⎩12x ≤<{}12B x x =≤<因为 ，B A 所以“”是“”的必要不充分条件.12x ≤≤12x ≤<故选：B4．对于任意实数，，，，下列命题正确的是（ ）a b c d A ．若，则B ．若，则a b >22ac bc>a b >11a b<C ．若，则D ．若，，则22ac bc >a b>0a b >>c d >ac bd>【答案】C【分析】A 、B 、D 选项通过举反例即可判断，C 选项证明即可.【详解】A ：若，则，故A 错误；0c =220ac bc ==B ：若，则，则，故B 错误；1,1a b ==-,1111a b ==-11a b >C ：因为，则，两边同除以，得，故C 正确；22ac bc >20c >2c a b >D ：若，则，故D 错误.2,1,1,2a b c d ===-=-2,2ac bd =-=-故选：C.5．函数y 的递增区间是（ ）A ．(－∞，－2)B ．[－5，－2]C ．[－2,1]D ．[－5,1]【答案】B【分析】先求出函数的定义域，再根据幂函数和二次函数的单调性可得结果.()f x 【详解】由5－4x －x 2≥0，得函数的定义域为{x |－5≤x ≤1}.令，，则在上递增，245t x x =--+[5,1]x ∈-12y t ==[0,)+∞∵t ＝5－4x －x 2＝－(x 2＋4x ＋4)＋9＝－(x ＋2)2＋9，对称轴方程为x ＝－2，抛物线开口向下，所以函数在[－5，－2]上单调递增，245t x x =--+∴函数y [－5，－2].故选：B.【点睛】本题考查了求复合函数的单调区间，易错点：忽视函数的定义域.属于基础题.6．已知偶函数的定义域为R ，当时，单调递增，则，，()f x [)0,x ∈+∞()f x ()2f -()f π的大小关系是（ ）()3f -A ．B ．()()()23f f f π>->-()()()32f f f π>->-C ．D ．()()()23f f f π<-<-()()()32f f f π<-<-【答案】B【分析】根据偶函数的性质，结合单调性即可选出答案.【详解】因为为偶函数，所以，．又当时，单调递()f x ()()22f f -=()()33f f -=[)0,x ∈+∞()f x 增，且，所以，即．32π>>()()()32f f f π>>()()()32f f f π>->-故选：B ．7．函数的图像为（ ）()21x f x x-=A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】分析函数的定义域、奇偶性、单调性及其在上的函数值符号，结合排除法可()f x (),0∞-得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，()21x f x x-={}0x x ≠且，()()()2211x x f x f x xx----==-=--函数为奇函数，A 选项错误；()f x 又当时，，C 选项错误；0x <()210x f x x-=≤当时，函数单调递增，故B 选项错误；1x >()22111x x f x x xx x --===-故选：D.8．若是上奇函数，满足在内单调递减，又，则的解集是（ ）()f x R ()0,∞+()10f =()0xf x >A ．或B ．或{1x x <-}1x >{1x x <-}01x <<C ．或D ．或{10x x -<<}1x >{10x x -<<}01x <<【答案】D【分析】根据已知条件画出的大致图象，结合图象求得的解集.()f x ()0xf x >【详解】是上奇函数，，，()f x R ()00f =()()110f f -=-=因为在内单调递减，故在上单调递减，()f x ()0,∞+()f x (),0∞-由此画出的图象如下图所示，()f x 由可得或，解得或，()0xf x >()00x f x <⎧⎨<⎩()00x f x >⎧⎨>⎩10x -<<01x <<故的解集为或.()0xf x >{10x x -<<}01x <<故选：D9．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）234y x x =--[]0,m 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦mA ．B ．C ．D ．(]0,43,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】画出二次函数图象，结合对称轴和值域可判断取值范围.m 【详解】的对称轴为，当时，，时，234y x x =--32x =32x =254y =-0x =4y =-故当时，设另一根为，解得，要使定义域为时，值域为，故4y =-2x 23x =[]0,m 25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.3,32m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B二、填空题10．已知函数，则________.2,1()(2),1x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩(4)f =【答案】1【分析】根据分段函数的解析式逐步计算即可.【详解】.0(4)(2)(0)21f f f ====故答案为：1【点睛】本题考查分段函数的函数值，属于基础题.11．已知函数是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上递减，则实数()2223(1)--=--mm f x m m x m ＝________．【答案】2【分析】由幂函数的定义可得m 2－m －1＝1，得出m ＝2或m ＝－1，代入验证即可.【详解】是幂函数，()2223(1)--=--mm f x m m x 根据幂函数的定义和性质，得m 2－m －1＝1．解得m ＝2或m ＝－1，当m ＝2时，f （x ）＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，符合题意；当m ＝－1时，f （x ）＝x 0＝1在(0，＋∞)上不是减函数，所以m ＝2．故答案为：2【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查了理解辨析能力和计算能力，属于基础题目.12．函数，则实数的取值范围为______.()f x =R a 【答案】10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】利用函数的定义域为,转化为恒成立,然后通过分类讨论和两种R 2420ax ax -+>0a ≠0a =情况分别求得a 的取值范围，可得答案.【详解】是使在实数集上恒成立.()f x =R 2420ax ax -+>R 若时，恒成立，所以满足题意，0a =20>0a =若时,要使恒成立,则有 0a ≠2420ax ax -+>201680a a a >⎧⎨∆=-<⎩解得.102a <<综上,即实数a 的取值范围是.1[0,)2故答案为: .1[0,)213．若函数对R 上的任意实数，（），恒有2(2),0()(21)1,0x a x x f x a x a x ⎧-+-≤=⎨-+->⎩1x 2x 12x x ≠成立，则a 的取值范围为________.1212()[()()]0x x f x f x -->【答案】.[1,2]【分析】首先根据题中条件，可以确定函数在R 上单调递增，结合分段函数单调增的条件，列()f x 出不等式组，求得结果.【详解】∵对R 上的任意实数，恒有成立，1212,()x x x x ≠1212()[()()]0x x f x f x -->∴在R 上单调递增，()f x ∴，解得，22022100(2)0(21)01a a a a a -⎧≥⎪⎪->⎨⎪-+-⨯≤-⨯+-⎪⎩12a ≤≤∴a 的取值范围为.[1,2]故答案为：.[1,2]【点睛】该题考查的是有关分段函数的问题，涉及到的知识点有根据分段函数在定义域上单调增求参数的取值范围，在解题的过程中，注意要求每一段上单调增且接口处不减，属于中档题目.14．若对任意满足的正数，都有成立，则实数的取值范围是8a b +=a b 14111x a b x ++≥+-x __________【答案】(](),01,-∞+∞ 【分析】根据题意可知，利用基本不等式求得的最小值，再解分式不11411min x x a b +⎛⎫≤+ ⎪-+⎝⎭141a b ++等式即可得出答案.【详解】若对任意满足的正数，都有成立，8a b +=a b 14111x a b x ++≥+-则，11411min x x a b +⎛⎫≤+ ⎪-+⎝⎭()()411411411519191a ba b a b a b a b +⎡⎤⎛⎫+=+++=++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎣⎦，1519⎡≥+=⎢⎢⎣当且仅当，即时等号成立，()411a ba b +=+2,6a b ==所以，1411min a b ⎛⎫+=⎪+⎝⎭所以，即，即，解得或，111x x +≤-()1101x x x +--≤-()21010x x x -≤⎧⎪⎨-≠⎪⎩1x >0x ≤所以实数x 的取值范围是.(](),01,-∞+∞故答案为：.(](),01,-∞+∞ 三、解答题15．已知集合，.{|131}A x m x m =+≤≤-2{|11100}B x x x =-+≤（1）若，求和；3m =A B ⋃()R A B⋂ （2）若，求实数的取值范围.A B A = m 【答案】（1）；{|110}A B x x =≤≤ (){}{|14}810RA B x x x x ⋂=≤<⋃<≤ （2）11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】（1）将代入可得集合，解一元二次不等式可得集合，再根据交集、并集和补集3m =A B 的运算即可得解.（2）根据交集运算意义，可知为的子集，分类讨论与两种情况，即可求得的A B A =∅A ≠∅m 取值范围.【详解】（1）时，集合，3m ={|131}{|48}A x m x m x x =+≤≤-=≤≤.2{|11100}{|110}B x x x x x =-+≤=≤≤∴，{|110}A B x x =≤≤ 因为或，{|4R A x x =< 8}x >所以.(){}{|14}810RA B x x x x ⋂=≤<⋃<≤ （2）∵集合，.{|131}A x m x m =+≤≤-{|110}B x x =≤≤，∴，A B A = A B ⊆当时，，解得.A =∅131m m +>-1m <当时，，解得，A ≠∅131113110m m m m +≤-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩1113m ≤≤∴实数的取值范围是.m 11,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了集合交集、并集、补集的简单运算，一元二次不等式解法，根据集合的关系求参数的取值范围，注意讨论是否为空集的情况，属于基础题.16．已知二次函数．()223f x x x=-（1）若对于恒成立，求t 的取值范围；()0f x t +≥x ∀∈R （2）若，当时，若的最大值为2，求m 的值．()()g x f x mx=+[]1,2x ∈()g x 【答案】（1）；（2）0.98≥t 【分析】（1）构造，只需，即可得到t 的取值范围；()()223h x f x t x x t=+=-+()min 0h x ≥（2）构造，由在的单调性，分类讨论，求出m 的值．()()()223g x f x mx x m x=+=--()g x []1,2【详解】（1）设，其在上最小值大于等于0，为二次函数，开()()223h x f x t x x t=+=-+x ∈R ()h x 口向上，对称轴为，则，得出；34x =()2min 333230444h x h t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭98≥t （2），开口向上，对称轴为，①当时，即，()()()223g x f x mx x m x=+=--3-4mx =3-342m ≤3m ≥-，解得；②当时，即，()()()2max222232g x g m ==⨯-⨯-==0m 3-342m >3m <-，解得（舍），综上：.()()()2max 121132g x g m ==⨯-⨯-==3m =0m 17．已知不等式的解集为．2320mx x +->{}2x n x <<（1）求，的值，并求不等式的解集；m n 220nx mx ++>（2）解关于的不等式（）．x ()20ax n a x m -+->a R ∈【答案】（1），不等式的解集为；（2）答案见解析．1,1m n =-=220nx mx ++>R 【分析】（1）根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根的关系求出，然后再解不等式；,m n （2）根据的取值分类讨论．a 【详解】解：（1）因为不等式的解集为．2320mx x +->{}2x n x <<所以，，原不等式为，即，解为，所以4620m +-=1m =-2320x x -+->2320x x -+<12x <<，1n =不等式为，由于恒成立，220nx mx ++>220x x -+>22172()024x x x -+=-+>所以解集为．R （2）由（1）知不等式为，()20ax n a x m -+->2(1)10ax a x -++>，(1)(1)0ax x -->时，不等式为，，解集为，0a =10x -<1x <(,1)-∞时，的解为和，0a ≠(1)(1)0ax x --=1x =1x a =时，不等式化为，，解集为，a<01(1)0x x a --<11x a <<1(,1)a 时，，不等式解为或，解集为，01a <<11a >1x a >1x <1(,1)(,)a -∞⋃+∞时，不等式解集为．1a ≥1(,)(1,)a -∞⋃+∞18．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场x ()C x ()210100,040100005014500,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.()L x x (2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)；()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩(2)年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可；（2）根据配方法、基本不等式进行求解即可.【详解】（1）当时，040x <<；()22500101002500104002500L x x x x x x =---=-+-当时，，40x ≥()1000010000500501450025002000L x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭所以；()2104002500,040100002000,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当时，，040x <<()()210201500L x x =--+所以；()()max 201500L x L ==当时，，40x ≥()100002000200020002001800L x x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭当且仅当，即时等号成立.10000x x =100x =故，()()max 10018001500L x L ==>所以当2023年的年产量为100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元.19．已知函数和都是定义在上的奇函数，，当时，()f x ()g x R ()24x af x x -+=+0x >()21g x x x =++(1)求和的解析式；()f x ()g x (2)判断在区间上的单调性并证明；()f x ()2,2-(3)，都有，求的取值范围.[]1,2x ∀∈()()2310g x g mx -++>m 【答案】(1)，()24x f x x -=+()22,0,0x x x g x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩(2)单调递减，证明见解析(3)1m >【分析】（1）由，求得，可得，再利用为奇函数，即可求得的解析式()00f =a ()f x ()g x ()g x （2）利用函数的单调性定义证明即可；（3）利用函数的奇偶性可知，再利用函数的单调性可将函数()g x ()()213g mx g x +>-+转化为，有恒成立，求解即可.[]1,2x ∀∈2m x x >-+【详解】（1）因为为上的奇函数，所以，即，()f x R ()004a f ==0a =所以()24x f x x -=+因为当时，，0x >()2g x x x =+设，即时，则有0x <0x ->()2g x x x -=-又是定义在上的奇函数，所以，即，()g x R ()()g x g x =--()2g x x x =-+又因为，则()00g =()22,0,0x x x g x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩（2）任取，且()12,2,2∈-x x 12x x <()()()()22121212121222221212444444x x x x x x x x f x f x x x x x ----++-=-=++++()()()()()()()()121221121222221212444444-+---==++++x x x x x x x x x x x x x x 由，，，，，1222x x -<<<120x x ∴-<1240x x -<2140x +>2140x +>，()()()()121222124044--∴>++x x x x x x ()()12f x f x ∴>函数在上单调递减.∴()2,2-（3），都有，[]1,2x ∀∈()()2310g x g mx -++>因为是奇函数，即，即，()g x ()()213g mx g x +>--()()213g mx g x +>-+利用分段函数及二次函数的性质知为上的增函数，()g x R 所以，有恒成立[]1,2x ∀∈213mx x +>-+即，有恒成立，即，[]1,2x ∀∈2m x x >-+max 2m x x ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭令，显然在上单调递减，()2h x x x =-+()h x []1,2所以，所以.()()max 11h x h ==1m >【点睛】方法点睛：本题考查函数的单调性、奇偶性及含参不等式的解法，要设法把隐性转化为显性，方法是：（1）把不等式转化为的模型；[][]()()f g x f h x >（2）判断的单调性，再根据函数的单调性将“”脱掉，得到具体的不等式组来求解，但注意()f x f 奇偶函数的区别.。
2022-2023学年天津市和平区高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市和平区高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2,3},{2,3,4,5}A B ==，则()UA B =（ ）A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,1,2,3}D ．{0,1,2,3,4,5}【答案】C 【分析】先求UB ，再求并集即可.【详解】由题可知：{0,1}U B =， 而{0,1,2,3}A =， 所以(){0,1,2,3}UAB =.故选：C2．命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是（ ） A ．30,31x x x ∃><+ B ．30,31x x x ∀<≥+ C ．30,31x x x ∀><+ D ．30,31x x x ∃<<+【答案】C【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得答案. 【详解】命题“30,31x x x ∃>≥+”的否定是30,31x x x ∀><+． 故选：C.3．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得图形，已知0.2m OA =，0.3m AD =，120AOB ∠=︒，则该扇环形砖雕的面积为（ ）A ．2m 5π B ．2m 10πC ．2m 100πD ．27m 100π 【答案】D【分析】根据扇形的面积公式公式即可求解． 【详解】由2π120=3︒以及扇形的面积公式可得：()222212π12π12π7π0.20.30.2232323100ABCD COD AOB S S S OD OA ⎡⎤=-=⨯-⨯=⨯+-=⎣⎦扇环扇扇 故选：D4．设a ，b 为实数，则“a b <”是“22a b <”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】利用特殊值，从充分性和必要性进行判断即可.【详解】取2,1a b =-=，满足a b <，但2241a b =>=，故充分性不满足； 取2,1b a =-=，满足22b a >，但不满足a b <，故必要性不满足； 故“a b <”是“22a b <”的既不充分也不必要条件. 故选：D .5．()cos 300-︒=（ ）A ．12B ．12-C D ．【答案】A【分析】根据三角函数诱导公式以及特殊角的三角函数值，可得答案. 【详解】()()1cos 300cos 36060cos602-︒=-︒+︒=︒=, 故选:A6．若0.213a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，31log 2b =，0.26=c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】B【分析】利用0,1分段法确定正确答案.【详解】()0.210,13a ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，331log log 102b =<=， 0.20661c =>=，所以c a b >>. 故选：B7．函数3()ln f x x x=-的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,e)C ．1(,1)eD ．(e,3)【答案】D【分析】首先判断函数的单调性，再利用零点存在定理判断即可. 【详解】解：因为ln y x =与3y x=-在()0,∞+上单调递增，所以3()ln f x x x=-在()0,∞+上单调递增， 又()3e 10ef =-<，()3ln310f =->，由()()e 30f f <，所以()f x 在(e,3)上存在唯一零点. 故选：D8．设()f x 是定义在[]22-,上的偶函数，当0x ≥时，单调递增，若()()10f m f m --<，则实数m 的取值范围（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】利用偶函数的对称性和单调性列不等式组求解即可.【详解】因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数，且当0x ≥时单调递增， 则由()()1f m f m -<可得1122m m m m ⎧-<⎪-≤⎨⎪≤⎩，由()221m m -<即21m >解得12m >，所以由不等式组可解得1,22m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故选：D9．已知函数()()πcos 202f x x ϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象的一个对称中心为π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法不正确的是（ ）A ．直线5π12x =是函数()f x 的图象的一条对称轴 B ．函数()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减C ．函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度可得到cos 2y x =的图象D ．函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1-【答案】C【分析】先求得ϕ的值，然后根据三角函数的对称性、单调性、图象变换、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意ππcos 063f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于πππ5π0,2336ϕϕ<<<+<，所以πππ,326ϕϕ+==，所以()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，5π5ππcos cos π11266f ⎛⎫⎛⎫=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以A 选项说法正确. ππππ0,26662x x ≤≤≤+≤，所以函数()πcos 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，B 选项说法正确.函数()f x 的图象向右平移π6个单位长度得到πππ6cos 2cos 266y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 选项说法错误.πππ7π0,22666x x ≤≤≤+≤，所以当π5π2π,612x x +==时， ()f x 取得最小值为1-，D 选项说法正确.故选：C二、填空题10．函数()f x =____________． 【答案】()[),01,-∞⋃+∞【分析】根据被开方数是非负数，求解分式不等式即可求得结果. 【详解】要使得函数有意义，则110x -≥，即10x x-≥，()10x x -≥且0x ≠， 解得()[),01,x ∈-∞⋃+∞，故()f x 的定义域为()[),01,-∞⋃+∞. 故答案为：()[),01,-∞⋃+∞.11．不等式2144x x -≥的解集为______. 【答案】72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.【详解】2144x x -≥，()()24142470x x x x +-=+-≤，解得724x -≤≤， 所以不等式2144x x -≥的解集为72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：72,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12．若tan 2α=，则cos sin 3cos sin αααα+=-______.【答案】3【分析】根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案. 【详解】cos sin 1tan 1233cos sin 3tan 32αααααα+++===---.故答案为：313．已知0x >，0y >，且2x y +=，则14x y +的最小值_________.【答案】92【分析】()141142x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，后利用基本不等式可得答案.【详解】()1411414522y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0x >，0y >.则44y x x y +≥=，当且仅当4y x x y =，即2433x y ==，时取等号.故14x y +的最小值为92. 故答案为:9214．已知π1cos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】0【分析】根据诱导公式求得正确答案. 【详解】π2πsin cos 63αα⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πππsin cos π233αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππcos cos 033αα⎛⎫⎛⎫=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：015．已知函数22,1,()(21),1x x ax f x xa x a x ⎧-+-<-⎪=⎨⎪-+≥-⎩满足12,R x x ∀∈，当12x x ≠时，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则实数a 的取值范围为_________．【答案】1[1,)2-【分析】根据给定条件，可得函数()f x 在R 上递减，再结合分段函数分段求解作答.【详解】因12,R x x ∀∈，当12x x ≠时，不等式1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则f (x )在R 上单调递减， 由1,()(21)x f x a x a ≥-=-+知，210a -<，则12a <， 当1x <-时，()2af x x x =--+，当0a ≤时，()f x 在(,1)-∞-上单调递减，此时31a a +≥-，解得1a ≥-，则10a -≤≤，当0a >时，因函数(0)ay x x x =--<在(,-∞上单调递减，在(上单调递增，而函数()2a f x x x =--+在(,1)-∞-上单调递减，必有311a a+≥-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，解得01a ≤≤，则102a <<，所以实数a 的取值范围为1[1,)2-.故答案为：1[1,)2-三、解答题 16．已知1sin 3α=，α为第二象限角. (1)求cos α的值； (2)求πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【答案】(1)【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式求得cos α. （2）利用两角和的余弦公式求得πcos 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】（1）由于1sin 3α=，α为第二象限角，所以cos α=（2）πππcos cos cos sin sin 444ααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭13⎛=-= ⎝⎭17．计算：(1)211511336622263a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（式中字母均为正数）； (2)()()48392log 3log 3log 2log 2++. 【答案】(1)4a (2)2【分析】（1）根据指数运算求得正确答案. （2）根据对数运算求得正确答案. 【详解】（1）原式()()211115032623626344abab a +-+-=⨯-÷-⨯==⎡⎤⎣⎦.（2）()()48392log 3log 3log 2log 2++2233231143log 3log 3log 2log 2log 3log 23232⎛⎫⎛⎫=++=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2343log 3log 2232=⨯⨯⨯=. 18．已知函数()1423x x f x +=-+.（1）当()11f x =时，求x 的值；（2）当[]2,1x ∈-时，求()f x 的最大值和最小值． 【答案】（1）2；（2）()max 3f x =，()min 2f x =【分析】（1）由()11f x =化简可得()()24220x x -+=，结合220x +>，可得24x =，进而可得结果；（2）令2x t =，将原函数化简为关于t 它的二次函数，根据二次函数的图象与性质，从而可找出函数的最大值和最小值．【详解】（1）当()11f x =，即142311x x +-+=时，()222280x x -⋅-=，∴()()24220x x-+=∵220x +>，∴240x -=，24x =，故2x =.（2令12,24xt t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，∴原函数即可化为()222312y t t t =-+=-+， 当1t =，即0x =时，函数的最小值()2min f x =， 当2t =，即1x =时，函数的最大值()3max f x =， 即函数的最大值和最小值分别为3和2.【点睛】本题考查了指数型复合函数的性质和应用，属于基础题．抓住题中的基本量与单位元，灵活地运用二次函数的图象与性质解题，是本题的关键19．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()22f x x x =-+(1)求函数()f x 在R 上的解析式:(2)若()f x 在[2,)b -上有最大值，求实数b 的取值范围；(3)若函数()()[]()2112g x f x ax x =-+∈，，记函数()g x 的最大值()h a ，求 ()h a 的解析式. 【答案】(1)2220()20x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，，；(2)()(20]1-⋃+∞，，； (3)()2220221041,1a a h a a a a a a -+≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，，.【分析】（1）根据函数的奇偶性求解析式即可得解； （2）根据解析式作出大致图象，由数形结合求解；（3）根据二次函数的对称轴与所给区间分类讨论求解即可得解. 【详解】（1）()f x 是定义在R 上的奇函数， 则()00f =， 若0x <， 则0x ->， 则()()()2222f x x x x x -=--+-=--，又由()f x 为奇函数， 则()()22f x f x x x =--=+，综合可得， ()222020x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，，. （2）由（1）的结论，()222020x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩，，， 作图如下:若()f x 在[2)b -，上有最大值， 即函数图象在区间[2)b -，上有最高点， 必有20b -<≤或1b >，故b 的取值范围为: ()(20]1-⋃+∞，，. （3）当[]12x ∈， 时，()()()221221g x f x ax x a x =-+=-+-+， 则函数()g x 开口向下，且对称轴的方程为1x a =-，当11a -≤即 0a ≥ 时， 函数()g x 在区间[]12，单调递减， 故当1x =时， 函数()g x 取得最大值， 最大值是()()122h a g a ==-+，当112a <-< 即10a -<<时， 函数()g x 在 []11a -， 单调递增， 在 []11a --， 单调递减， 故当1x a =-时， 函数()g x 取最大值， 最大值是()()2122h a g a a a =-=-+，当12a -≥，即 1a ≤- 时， 函数()g x 在区间[]12，单调递增， 故当2x =时， 函数()g x 取得最大值， 最大值是()()214h a g a ==-， 故函数()g x 的最大值 ()22202210.4 1.1a a h a a a a a a -+≥⎧⎪=-+-<<⎨⎪-+≤-⎩，，20．已知函数()π36cos sin 62f x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期和对称中心； (2)求()f x 的单调递增区间；(3)若函数()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1)最小正周期为π，对称中心为ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z(2)πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z(3)[]0,3【分析】（1）化简()f x 的解析式，由此求得()f x 的最小正周期和对称中心. （2）利用整体代入法求得()f x 的单调递增区间.（3）由()0f x a -=，转化为求三角函数的值域来求得a 的取值范围. 【详解】（1）()π3ππ36cos sin 6cos sin cos cos sin 62662f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2332cos sin 2cos 12cos 222x x x x x =-⨯-=-1π32cos 23sin 226x x x ⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2=， 令π2π6x k -=，k ∈Z ，解得，ππ122k x =+，k ∈Z ，所以函数()f x 的对称中心为ππ,0122k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .（2）令πππ2π22π262k x k -+≤-≤+，k ∈Z ，解得ππππ63k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为πππ,π63k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（3）因为函数()y f x a =-在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦存在零点，即方程πsin 263a x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭在π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，当π5π,1212x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π20,63x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故[]πsin 20,16x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以013a≤≤，即03a ≤≤，故实数a 的取值范围为[]0,3.。
天津市七校2022-2023学年数学高一上期末教学质量检测试题含解析
f
x
2 x 1 1 2x
1 3
，则函数
y
[
f
(x)]的值域是
A.0,1
B.1,1
C. 1, 0
D. 1, 0,1
10．四面体 S ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形，E, F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直线 EF 与 SA 所
成的角等于（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
所以 2 A， 4 A ，3 A，0,3 A，
故选：C 6、A
【解析】
f
2
1 2
2
4，
f
4
log2
4
2.
7、B
【解析】原式
故选
8、C
【解析】由对数函数的性质以及根式的性质列不等式组，即可求解.
【详解】由题意可得
解得
，
所以原函数的定义域为 ，
故选：C 9、D
【解析】化简函数
f
x
2 x 1 1 2x
∴ 31 cosA 1 ，∴ cosA 1 ，
3
9
∵ AD
AB
AC
且 D 在 BC 上，
AB AC
∴线段
AD
为
ABC
的角平分线，∴
AB AC
BD CD
3，
CB
4CD
以
A
为原点，如图建立平面直角坐标系，则
B
3,
0，C
1 9
，4
5 9
，D
2 3
，5 3
∴ AD
2 3
2
e
1 2
2
5 2
故选 D
2022-2023学年天津大学附属中学数学高三第一学期期末达标检测模拟试题含解析
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．13±B．C ．±1 D． ±2．已知函数13log ,0()1,03x x x f x a x >⎧⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若关于x 的方程[()]0f f x =有且只有一个实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0)(0,1)-∞ B ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ C ．(,0)-∞D ．(0,1)(1,)⋃+∞3．已知[]2240a b a b +=⋅∈-，，，则a 的取值范围是（ ） A ．[0，1]B ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[1，2]D ．[0，2]4．已知直三棱柱中111ABC A B C -，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的正弦值为（）． AB．5C．5D 5．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭6．复数z 满足()113z i i -=-，则复数z 等于（） A ．1i -B ．1i +C ．2D ．-27．设集合{}2A x x a =-<<，{}0,2,4B =，若集合A B 中有且仅有2个元素，则实数a 的取值范围为A ．()0,2B ．(]2,4C ．[)4,+∞D ．(),0-∞8．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A ．丙被录用了B ．乙被录用了C ．甲被录用了D ．无法确定谁被录用了9．已知,m n 为两条不重合直线，,αβ为两个不重合平面，下列条件中，αβ⊥的充分条件是（ ） A ．m ∥n m n ,,αβ⊂⊂ B ．m ∥n m n ,,αβ⊥⊥ C ．m n m ,⊥∥,n α∥βD ．m n m ,⊥n ,αβ⊥⊥10．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ） A ．29B ．2932-C ．1923-D ．511．函数()[]()cos 2,2f x x x ππ=∈-的图象与函数()sin g x x =的图象的交点横坐标的和为（ ） A ．53π B ．2πC ．76π D ．π12．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年天津市高二年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年天津市第一中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．已知直线：，：，若，则实数（ ）1l2y x =-2l y kx =12//l l k =A ．－2B ．－1C ．0D ．1【答案】D【分析】两直线平行，则斜率相等求解.【详解】已知直线：，：，1l2y x =-2l y kx =因为，12//l l 所以1k =故选：D【点睛】本题主要考查两直线的位置关系，属于基础题.2．若圆截直线所得弦长为，则实数的值为（ ）22240+-++=x y x y m 30x y +-=2m A ．B ．C ．D ．1-2-4-31-【答案】C【分析】先将圆的方程转化为标准方程形式,可得圆心为,半径为,再求出圆()1,2-)5r m =<心到直线距离,根据弦长为,即可求得.2=m 【详解】由题,由圆的一般方程可得圆的标准方程为,22240+-++=x y x y m ()()22125x y m -++=-则圆心为,半径为,()1,2-)5r m <所以圆心到直线距离为,d 则弦长为,即,所以,2581m --=4m =-故选:C【点睛】本题考查利用弦长求参数,考查点到直线距离公式的应用,考查圆的一般方程与标准方程的转化.3．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列满足，{}n a 10a =，则（ ）11,,nn n a n n a a n n +++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数45a a +=A ．12B ．20C ．28D ．30【答案】B【分析】根据递推关系求得，进而可得答案.2345,,,a a a a 【详解】由已知得，21112a a =++=，2324a a =+=，43318a a =++=，54412a a =+=4581220a a ∴+=+=故选：B.4．与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的标准方程为（ ）229436x y +=2A ．B ．C ．D ．22143x y +=2216y x +=2216x y +=22185x y +=【答案】B【分析】求出所求椭圆的焦点坐标，可得出的值，由已知条件可得出的值，由此可得出的值，c b a 进而可得出所求椭圆的标准方程.【详解】椭圆可化为标准方程，229436x y +=22149x y +=可知椭圆的焦点在轴上，焦点坐标为，22149x y +=y (0,故可设所求椭圆方程为，则.()222210y x a b a b +=>>c =又，即，所以，故所求椭圆的标准方程为.22b =1b =2226a b c =+=2216y x +=故选：B.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，要注意分析椭圆焦点的位置，考查计算能力，属于基础题.5．已知、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，1F 2F 2222:1x y E a b -=M E，则双曲线的渐近线方程为（ ）1221::2:3:4F F F M F M =E A ．B ．C ．D ．2y x =±12y x=±y =y =【答案】C 【解析】由，可得，，，根据双曲线的1221:||:2:3:4F FF M F M =122FF c =23F M c=14F M c=定义求得，进而得到，即可求得双曲线的渐近线方程.2c a =b =【详解】由题意，、分别为双曲线的左、右焦点，点在上，1F 2F 2222:1x y E a b -=M E 且满足，可得，，，1221:||:2:3:4F F F M F M =122FF c =23F M c=14F M c=由双曲线的定义可知，即，21243a F MF M c c c=-=-=2c a =又由，所以双曲线的渐近线方程为.b ==y =故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出 ，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转,a c ce a =,,a b c 化为的齐次式，然后转化为关于的方程，即可得的值(范围)．,a c e e 6．已知等差数列，是其前项和，若，则（ ）{}n a n S n 101010S a ==A ．B ．C ．D ．52a =52a =-518S =520S =-【答案】D 【分析】设数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式列关于和的方程，解{}n a d n 1a d 方程求出和，再计算和即可得正确选项.1a d 5a 5S 【详解】设数列的公差为，{}n a d 由题意可得 ，解得，1110910102910a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩182a d =-⎧⎨=⎩所以，5148420a a d =+=-+⨯=，()5154558102202S a d ⨯=+=⨯-+⨯=-故选项D 正确，故选：D.7．设是等比数列的前项和，若，，则（ ）n S {}n a n 34S =4566a a a ++=96S S =A ．B ．C ．D ．32191053196【答案】B【分析】设等比数列的公比为，求得的值，再利用等比数列的求和公式可求得结果.{}n a q 3q 【详解】设等比数列的公比为，若，则，矛盾.{}n a q 1q =456133a a a a S ++==所以，，故，则，1q ≠()()33341345631111a q a q q a a a q Sqq--++===--332q =所以，，()()()63113631151112a q a q S q S qq --==+⋅=--，()()()9311369311191114a q a q S q q S qq --==++=--因此，.9363192194510S S S S =⋅=故选：B.8．已知等差数列的前n 项和为，，，则当S 取得最小值时，n 的值为（ ）{}n a n S 130S <140S >A ．4B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】利用等差数列的前n 项和公式可知，，即，从而可确定当S 取最小70a <780a a +>80a >值时n 的值.【详解】因为，故.()11371371313213022a a a S a +⨯===<70a <同理，故，()()()11478714814140722a a a a a a S ++===+>780a a +>所以，即当时，取得最小值.870,0a a ><7n =n S 故选：C .【点睛】本题考查等差数列性质和等差数列前n 项和的应用，属于基础题.9．已知抛物线的焦点为，为原点，点是抛物线的准线上的一动点，点在抛物2:8C x y =F P C A线上，且，则的最小值为（ ）C ||4AF =||||PA PO +A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】求出点坐标，作关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为A O M ||AM 的最小值．||||PA PO +【详解】解：抛物线的准线方程为，=2y -∵，∴到准线的距离为4，故点纵坐标为2，||4AF =A A 把代入抛物线方程可得．2y =4x =±不妨设在第一象限，则，A (4,2)A 点关于准线的对称点为，连接，O =2y -4(0,)M -AM 则，于是||||PO PM =||||||||||PA PO PA PM AM +=+≥故的最小值为||||PA PO +||AM ==故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．10．已知F 是双曲线C ：的右焦点，过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近()222210,0x y a b a b -=>>线垂直，垂足为A ，且直线l 与双曲线C 的左支交于点B ，若，则双曲线C 的离心率为3FA AB=（ ）A ．2B ．C ．D ．535443【答案】B【分析】设的左焦点为，连接，过作于，根据已知及双曲线性质有为线C 1F 1F B 1F 1FD FB ⊥D 1F D 段的中垂线，结合双曲线定义及关系得到关系，即可得离心率.FB ,,a b c ,a c【详解】设的左焦点为，连接，过作于，C 1F 1F B 1F 1FD FB ⊥D 易知，所以为的中位线，1//F D OA OA OAF △又图中双曲线的渐近线方程为0bx ay -=，，b=323,b BD b AB FA ===∴则为线段的中点，所以为等腰三角形，即D FB 1BF F △112BF F F c==又，1||4,||422FBb F B b ac ==-=即，2c a b +=c a ∴+=得.53c a =故选：B.二、填空题11．圆的圆心为，且圆与直线相切，则圆的方程为_________________.C (21),-C 3450x y --=C 【答案】22(2)(1)1x y -++=【分析】先求圆心到直线的距离，再求出半径，即可由圆的标准方程求得圆的方:3450l x y --=程．【详解】圆的圆心为，与直线相切，C (2,1)-:3450l x y --=圆心到直线的距离等于半径，即，1r d =圆的方程为．∴C 22(2)(1)1x y -++=故答案为：．22(2)(1)1x y -++=【点睛】本题考查圆的标准方程，直线与圆相切关系的应用，是基础题．12．若抛物线的准线与直线间的距离为3，则抛物线的方程为______.2y mx =1x =【答案】或216y x =-28y x=【分析】先求出抛物线的准线，再根据距离列方程求解即可.【详解】抛物线的准线为，2y mx =4mx =-则，解得或，134m--=16m =-8m =故抛物线的方程为或.216y x =-28y x =故答案为：或.216y x =-28y x =13．等比数列中，，是方程的两根，则的值为___________.{}n a 5a 21a 21150x x ++=71913a a a 【答案】【分析】由韦达定理可得，易知，再由等比数列的性质有5215215,11a a a a =+=-521,0a a <，结合等比数列通项公式判断的符号，进而求目标式的值.271913521a a a a a ==13a 【详解】由题设知：，又为等比数列，5215215,11a a a a =+=-{}n a ∴，且，而，521,0a a <2719135215a a a aa ===81350a a q =<∴13a =71913a a a =故答案为：14．已知椭圆与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 的中点为，则直线l 的斜率为_________；AB (2,1)M -【答案】12【分析】由椭圆离心率和关系可得关系，再由点差法和中点坐标公式、两点的斜率公式可,,a b c ,a b 得所求值.【详解】由题意可得，c e a===2a b =设，()()1122,,,A x y B x y 则，2222112222221,1x y x y a b a b +=+=两式相减可得，()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=的中点为，，AB (2,1)M -12124,2x x y y ++∴=-=则直线斜率.212122121211(2)42y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+故答案为：.1215．已知各项为正数的数列的前项和为，且，，则{}n a n n S 11a=2n S =()2,n n N ≥∈数列的通项公式为_________.{}n a 【答案】21n a n =-【分析】先由题干求出是以为首项，公差为的等差数列，并且求得，进而写出数列112nSn =的通项公式.{}n a 【详解】解：，，0n a >∴0n S >当时，由，2n≥2n S =+.1=是以为首项，公差为的等差数列.∴11.∴()111n n =+-⨯=.∴2n S n =当时，.∴2n ≥()221121n n n a S S n n n -=-=--=-当时，上式成立.1n =故数列的通项公式为.{}n a 21n a n =-故答案为：.21n a n =-【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，考查等差数列的性质，考查转化思想，分析问题能力，属于中档题.16．已知等差数列中，，，记数列的前n 项和为，若对任{}n a 39a =517a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n S 2110n n m S S +-≤意的都成立，则实数m 的取值范围为______.*N n ∈【答案】28,9∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】先利用等差数列的通项公式列方程求出数列的通项公式，令，通过计算{}n a 21n n n b S S +=-的正负确定的单调性，进而求出的最大项，则可求出实数m 的取值范围.1n nb b +-{}n b {}n b 【详解】设等差数列的公差为，{}n a d 则，解得，315129417a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩114a d =⎧⎨=⎩则等差数列的通项公式为，{}n a 43n a n =-则数列的通项公式为，1n a⎧⎫⎨⎬⎩⎭1143n a n =-令，21n n n b S S +=-则()()11231212322111n n n n n n n n n a a a b b S S S S +++++++-=+----=()()()11140310898541898541n n n n n n n =--+-=<++++++即，即为递减数列，1n n b b +<{}n b 的最大项为，{}n b 131321111149545b S S a a =++-===，141045m ∴≥289m ∴≥故答案为：28,9⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭三、解答题17．若数列的前n 项和为，且，等差数列满足，.{}n a n S ()*231N n nS a n =-∈{}n b 113b a =324b a =+(1)求数列，的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前n 项和.3nn n b c a ={}n c n T【答案】(1)；13n n a -=21nb n =+(2)223n nn T +=-【分析】（1）利用得到数列是等比数列，利用等比数列的通项公式可得数列，1n n n a S S -=-{}n a {}n a 再代入数列满足的等式可得的通项公式；{}n b {}n b （2）利用错位相减法可求和.【详解】（1），()*231N n n S a n =-∈又，()112312n n S a n --=-≥两式相减得，1233n n n a a a -=-即，故数列是以3为公比的等比数列，13nn a a -={}n a 又当时，，得，1n =1112231S a a ==-11a =，13n n a -∴=，，1133b a ==∴324347b a =+=+=等差数列的公差为，∴{}n b 3142312b b -==-21n b n ∴=+（2）由（1）可得，213+=n n n c ，231357212133333n n n n n T --+∴=+++++ 234113572121333333n n n n n T +-+∴=+++++ 上两式相减得，2311111123222211214243321333333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++++-=+⨯-=-- 223n nn T +∴=-18．已知数列，，满足，，且.{}n a {}n b 111a b ==1131n n b b n +⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭()*1N nn n b a a n n +-=∈(1)求数列，的通项公式；{}n a {}n b(2)记，求证：．()()()*1211N n n n n b c n n a a ++=∈--12313n c c c c ++++< 【答案】(1)，；1312n n a -+=13n n b n -=⋅(2)证明见解析.【分析】（1）分别利用累乘法和累加法求通项即可；（2）利用裂项相消得到，即可证明12312113231n n c c c c +⎛⎫++++=- ⎪-⎝⎭ 12313n c c c c ++++< 【详解】（1）根据可得，1131n n b b n +⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭113n n b n b n ++=⋅所以121121n n n n n b b b b b b b b ---=⨯⨯⨯⨯ 11231121n n n n n --=⨯⨯⨯⨯⨯-- ，13n n -=⋅当时，，成立，所以，1n =01131b =⨯=13n n b n -=⋅，113n n n a a -+-=所以()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ 2103331n n --=++++ 131131n --=+-，1312n -+=当时，，成立，所以.1n =013112a +==1312n n a -+=（2）由（1）可得，()()1111134321133131313131311122n n n n n n n n n n c n --+++⋅⋅⎛⎫===⋅- ⎪--⎛⎫⎛⎫++--⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以1231223121111113313131313131n n n c c c c +⎛⎫++++=-+-++- ⎪------⎝⎭ ，12113231n +⎛⎫=- ⎪-⎝⎭因为，所以.11112312n +-<-123211323n c c c c ++++<⨯=19．已知椭圆C ：的左、右焦点分别为，，离心率为，点A 在椭圆C()222210x y a b a b +=>>1F 2F 12上，，，过与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段12AF =1260F AF ∠=︒2F PQ 的中点.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点，且，求直线l 的方程.10,8M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN PQ ⊥【答案】(1)22143x y +=(2) 或3230x y --=210x y --=【分析】(1)根据椭圆的几何性质和条件列方程求出a ，b ，c ；(2)设直线l 的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理求出中点N 的坐标，再利用 ，求出MN PQ ⊥直线l 的斜率.【详解】（1），在 中，122122,22,2AF AF a AF a F F c +=∴=-=12AF F △ ，222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-∠ 即 ， ，()()22242222222cos 60c a a ︒=+--⨯⨯-12c e a ==解得： ，，2440,2a a a -+=∴=1,c b ==椭圆C 的方程为： ；22143x y +=（2）由题意设l 的方程为： ， ，()1y k x =-()0k ≠()()1122,,,P x y Q x y 联立方程 ，得 ，()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩222212104333k k k x x ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，()221212122222863,21343443k k k x x y y k x x k k k k -∴+==+=+-=+++ ， ，22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭22222134243834432034MN k k k k k k k k ++++==--+ ， ，即 ，MN PQ ⊥ 1MN k k ∴=-224243132k k k k ++-=-化简得： ， ，()()23210k k k --=12310,,22k k k ≠∴== 直线l 的方程为 或者 ；3230x y --=210x y --=综上，椭圆C 的方程为：，直线l 的方程为 或者 .22143x y +=3230x y --=210x y --=20．已知数列中，，，，数列的前n 项和为.{}n a 11a =22a =()*24N n n a a n +-=∈{}n a n S (1)求数列的通项公式；{}n a (2)若，求数列的前n 项和；215n n b S n =+{}n b n T (3)在（2）的条件下，设，求证：.124n n n n n b c b b ++=1482n n k n +=+<-【答案】(1)21,22,n n n a n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数(2)()41nn +(3)证明见解析【分析】（1）根据条件可得数列的奇数项和偶数项均为等差数列，分奇偶求数列的通项公{}n a {}n a 式；（2）先分组求和求得，再利用裂项相消法求得；2n S n T （3）先求出以及错位相减法求得的前项和，再通过n c 232n n +<232n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 比较大小可证明结论.【详解】（1）由得数列的奇数项为公差为4的等差数列，偶数项也为公差()*24N n n a a n +-=∈{}n a 为4的等差数列，当为奇数时，n 1114212n n a n +⎛⎫=+-⨯=- ⎪⎝⎭当为偶数时，n 214222n n a n ⎛⎫=+-⨯=- ⎪⎝⎭21,22,n n n a n n -⎧∴=⎨-⎩为奇数为偶数（2）由（1）得()()21321242n n n S a a a a a a -=+++++++ ()()211424422n n n n n n n n--=+⨯++⨯=-()211111414144n b n n n n n n ⎛⎫∴===- ⎪+++⎝⎭()11141111114223n n T n n n ⎛⎫∴-=-+-++= ⎪+⎝⎭+ （3）由（2）()124344n n n nn n n n b c b b +++==，3223222n n n n n +++<==⨯令，231579212322222n n n n M -++=+++++ 则，234115792123222222n n n n M +++=+++++ 两式相减得：2341111111522222332372722212222222222212n n n n n n n n M +++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=+++++-=+⨯-=-- 2772n n M +∴=-，2772n n k n =+∴<-又，114273108710222n n n n n n +++++⎛⎫---=+> ⎪⎝⎭，14278722n n n n +++->-。
2022-2023学年天津市滨海新区塘沽第一校高三年级上册学期期末考试数学试题【含答案】
塘沽第一高级中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．考试结束后，上交答题卡．第Ⅰ卷（选择题，共45分）一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设集合，，则（ ）{}24A x x =-<≤{}2,3,4,5B =A B ⋂=A ．B ．C ．D ．{}2{}2,3{}3,4{}2,3,42．设则“（）为偶函数”是“”的（ ）ϕ∈R ()()cos f x x ϕ=+x ∈R 0ϕ=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件3．函数在上的大致图象为（ ）()41x xe ef x x --=+[]3,3-A ．B ．C ．D ．4．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位：）频率分布直方图，如图：h其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中，正确的是（ ）（1）寿命超过的频率为0.3；400h （2）用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：1500.12500.153500.454500.155500.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（3）寿命在400-500的矩形的面积可能是0.2A ．①B ．②C ．③D ．以上均不正确5．已知双曲线（，）的两条渐近线均和圆：相切，且双曲线22221x y a b-=0a >0b >C 22660x y x +-+=的右焦点为圆的圆心，则该双曲线的方程为（）C A ．B ．C ．D ．22145x y -=22154x y -=22163x y -=22136x y -=6．已知，，，，则下列等式一定成立的是（ ）0b >5log b a =lg b c =510d =A ．B ．C ．D ．d ac=d a c=+c ad=a cd=7．已知奇函数，且在上是增函数．若，，()f x ()()g x xf x =[)0,∞+()2log 5.1a g =-()0.82b g =，则，，的大小关系为（ ）()4log 3c g =a b c A ．B ．C ．D ．a b c<<c b a<<b a c<<b c a<<8．已知函数（），若在上有且仅有三个极值点，则不正确的有（()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭0ω>()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭）A ．在区间上的最小值可以等于()f x π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦12-B ．若的图象关于点对称，则在区间上单调递增()f x π,03⎛⎫⎪⎝⎭()f x π0,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．的最小正周期可能为()f x π3D ．若，将的图象向右平移个单位可得到的图象()π002f f ⎛⎫+=⎪⎝⎭()sin2g x x =π123x y f ⎛⎫= ⎪⎝⎭9．已知函数，函数，其中，若函数()()222,2,2x x f x x x ⎧+<-⎪=⎨-≥-⎪⎩()()2g x b f x =--b ∈R 恰有4个零点，则的取值范围是（ ）()()y f x g x =-b A ．B ．C ．D ．7,24⎛⎫- ⎪⎝⎭7,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭9,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭第Ⅱ卷（非选择题，共105分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）10．若复数满足（为虚数单位），则______．z ()1i 43i z -=+i z =11．的展开式中含项的系数为______．（用数字作答）81x ⎛ ⎝x 12．已知圆：与圆：外切，此时直线：被圆所截1C 224x y +=2C 22860x y x y m +-++=l 0x y +=2C 的弦长为______；若点为圆上一点，则的最小值为______．()00,P x y 2C 2200x y +13．从装有大小完全相同的个白球，个红球和3个黑球共6个球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取m n 3次，记摸取的白球个数为，若，则______，______．X ()1E X =n =()1P x ≤=14．如图，一个圆柱内接于一个圆锥，且圆锥的轴截面为面积是的正三角形．设圆柱底面半径为，2r 高为，则的最小值为，圆柱的最大体积为______．h 1r +3cm 15．在梯形中，，，，，，分别为线段和ABCD AB CD ∥2AB BC ==1CD =120BCD ︒∠=P Q BC 线段上的动点，且，，则的取值范围为______．CD BP BC λ= 34DQ DC λ= DP AQ ⋅三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知．ABC △A B C a b c πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+⎪⎝⎭（1）求角的大小；B（2）设，，求和的值．2a =c =b ()sin 2C B -17．（本小题满分15分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，，P ABCD -ABCD AD BC ∥AD BA ⊥3AD =，平面，且，点在棱上（不包括端点），点为中点．2AB BC ==PA ⊥ABCD 3PA =M PD N BC（1）若，求证：直线平面；2DM MP =MN ∥PAB （2）求平面与平面的夹角的余弦值；CPD PAB（3）是否存在点，使与平面的值；若不存在，说M NM PCD PMPD明理由．18．（本小题满分15分）设为等差数列的前项和，且，．n S {}n a n 35a =654229S S S +=+（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和；2n an n b a =⋅{}n b n n T（3）若满足不等式的正整数恰有3个，求正实数的取值范围．()110nn n S λ-⋅+-<n λ19．（本小题满分15分）已知椭圆（）的左顶点为，右焦点为，过作垂直于轴的直线交该椭圆于，22221x y a b +=0a b >>1A 2F 2F x M 两点，直线的斜率为．N 1A M 12（1）求椭圆的离心率；（2）椭圆右顶点为，为粗圆上除左右顶点外的任意一点，求证：为定值，并求出这个定值；2A P 12PA PA k k ⋅（3）若的外接圆在处的切线与粗圆交另一点于，且的面积为，求粗圆的方程．1A MN △M D 2F MD △6720．（本小题满分16分）已知函数和，()xf x e =()lng x ax x =-a ∈R（1）求在处的切线方程；()y f x =0x =（2）若当时，恒成立，求的取值范围；()1,x ∈+∞()ln g x x x a <+a （3）若与有相同的最小值．()()h x f x ax =-()y g x =（ⅰ）求并求出；a （ⅱ）证明：存在实数，使得和共有三个不同的根，，（），且，b ()h x b =()g x b =1x 2x 3x 123x x x <<1x ，依次成等差数列．2x 3x 塘沽第一高级中学校2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题（理科）答案一、选择题（本题共9个小题，每小题5分，共45分）1-5 DBCCC 6-9 DBAC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．10．11．28 12 4 13．1；14．； 15．17i 22-20274313,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦（注：两个空的答对一个空给3分）三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16．（本小题满分14分）（1）在中，由正弦定理，可得，ABC △sin sin a bA B=sin sin b A a B =又由，得，πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+⎪⎝⎭πsin cos 6a B a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即，可得πsin cos 6B B ⎛⎫=+⎪⎝⎭tan B =又因为，可得．()0,πB ∈π6B =（2）在中，由余弦定理及，，，ABC △2a =c =π6B =有，故2222cos b a c ac B =+-b =由，可得，故．2222cos c a b ab C =+-cos C =()0,πC ∈sin C =因此，sin22sin cos C C C ==21cos22cos 126C C -=-=所以，()1111sin 2sin2cos cos2sin 6626213ππC B C C --=-=⨯=17．（本小题满分15分）解：（1）取的一个靠近点的三等分点，连接，，PA P Q MQ QB 因为，所以且，2DM MP = MQ AD ∥113QM AD ==又因为，且，点为中点，AD BC ∥2BC =N BC 所以且，则四边形为平行四边形，BN MQ ∥BN MQ =MQBN 所以，平面，平面，所以直线平面．MN BQ ∥MN ⊄PAB QB ⊂PAB MN ∥PAB （2）如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为A AB x AD y AP 轴建立空间直角坐标系，z则，，，，又为的中点，则，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,3,0D ()0,0,3P N BC ()2,1,0N 所以，，，，()0,3,3PD =- ()2,1,0CD =- ()2,1,3PN =- ()2,2,3PC =-设平面的法向量为，则，令，则，CPD ()1,,n x y z = 1133020PD n y z CD n x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1x =()11,2,2n = 设平面的法向量为，PAB ()20,1,0n =，所以，12sin ,n n == 12 cos ,3n 所以平面与平面的夹角的余弦值为．CPD PAB 23（3）存在，．23PM PD =假设存在点（不包括端点），设，即，，M PMPDλ=PM PD λ= ()0,1λ∈由（2）得，，，且平面的法向量，()0,3,0D ()0,0,3P ()2,1,0N CPD ()11,2,2n =，，则，()0,3,3PD =- ()0,3,3PM λλ=-()0,3,33M λλ-所以，因为与平面()2,13,33MN λλ=--NMPCD 则111sin cos ,MM MN n n n MM θ====⋅⋅ 整理得：，解得：，291240λλ-+=23λ=故存在点，使与平面．M NM PCD 23PM PD =18．（本小题满分15分）解：（1）设等差数列的公差为，则，{}n a d 36545229a S S S =⎧⎨+=+⎩解得，，因此，；11a =2d =()11221n a n n =+-⨯=-（2）()212121242n nn n b n --=-⋅=⋅231352144442222nn n T -=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅则，234113521444442222n n n T +-=⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅两式作差可得，1116421324142n n n n T ++---=+-⋅-110653436n n n T +--=--⋅因此，．110654918n n n T +-=+⋅（3），()122n n n a a S n ⋅+==满足不等式的正整数恰有3个，得，()110nn nS λ-⋅+-<nλ<由于，若为奇数，则不等式不可能成立．0λ>nλ<只考虑为偶数的情况，令，nnb ==则2nb +==∴2n n b b +-===当时，，则；2n =420b b ->24b b <当时，，则；4n =640b b ->46b b <当时，，则；6n =860b b -<68b b >因为在时单调递减，244y n n =-++2n ≥所以当时，则．6n ≥20n n b b +-<6810b b b >>>⋅⋅⋅所以，246810b b b b b ⋅<<>>⋅⋅>又，，，，∴．69 2b =484b b ==22b =102528b =>2548λ≤<因此，实数的取值范围是．λ2548λ≤<19．（本小题满分15分）（1）由题意可知：，，设，由题意可知：在第一象限，且，()1,0A a -()2,0F c (),M x y M 22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩∴，∴，∴，∴；2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()22212b a c a c a a c a a c a --===++2a c =12c e a ==（2）设，则，(),P x y 22221x y a b+=所以1222222222222131,4PA PA x b a y y y b k k e x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-=-+=-+---∴为定值12PA PA k k ⋅34-（3）由（1），，所以椭圆方程为：，22222243b a c c c c =-=-=2222143x y c c +=，，设的外接圆的圆心坐标为，由，得3,2M c c ⎛⎫⎪⎝⎭()12,0A c -1A MN △(),0T t 1TA TM =，求得，∴，切线斜率为：，切线直线方程为()()222924t c t c c +=-+8ct =-34238TM ck c c ==+34k =-，即代入椭圆方程中，得，()3324y c x c -=--3490x y c +-=22718110x cx c -+=，，，2222184711160c c c ∆=-⨯⨯=>117D c x =1514D cy =∴，57c MD ===到直线的距离，的面积为，2F MD 39655c c c d -==2F MD △12S MD d =⋅所以有，∴，椭圆方程为：．26156372757c c c =⨯⨯=22c =22186x y +=20．（本小题满分16分）（1）切线方程：1y x =+（2）方法一：当时，等价于．()1,x ∈+∞()1ln 01a x x x -->+所以当时，恒成立．()1,x ∈+∞()1ln 1x x a x +<-令，则()()1ln 1x x H x x +=-()()212ln 1x x xH x x --=-'设，所以，()12ln G x x x x=--()()22211210x G x x x x '-=+-=>所以，所以在单调递增．()0H x '>()()1ln 1x x H x x +=-()1,+∞∵，∴()()111ln 1ln limlim211x x x xx x x x →→+++==-2a ≤方法二：当时，等价于．()1,x ∈+∞()1ln 01a x x x -->+设，则，()()1ln 1a x g x x x -=-+()()()()2222111211x a x ag x x x x x '+-+=-=++()10g =（ⅰ）当，时，，故，在上单2a ≤()1,x ∈+∞()22211210x a x x x +-+≥-+>()0g x '>()g x ()1,+∞调递增，因此；()0g x >（ⅱ）当时，令得，．2a >()0g x '=11x a =-21x a =-由和得，故当时，，在单调递减，因此．21x >121x x =11x <()21,x x ∈()0g x '<()g x ()21,x ()0g x <综上，的取值范围是．a (],2-∞（3）的定义域为，而，()e x f x ax =-R ()e xf x a '=-若，则，此时无最小值，故．0a ≤()0f x '>()f x 0a >的定义域为，而．()ln g x ax x =-()0,+∞()11ax g x a x x-=-='当时，，故在上为减函数，ln x a <()0f x '<()f x (),ln a -∞当时，，故在上为增函数，ln x a >()0f x '>()f x ()ln ,a +∞故．()()min ln ln f x f a a a a ==-当时，，故在上为减函数，10x a <<()0g x '<()g x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭当时，，故在上为增函数，1x a >()0g x '>()g x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭故．()min 111ln g x g a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭因为和有相同的最小值，()e xf x ax =-()lng x ax x =-故，整理得到，其中，11ln ln a a a a -=-1ln 1a a a-=+0a >设，，则，()1ln 1a g a a a -=-+0a >()()()222211011a g a a a a a --=-=≤++'故为上的减函数，而，()g a ()0,+∞()10g =故的唯一解为，故的解为．()0g a =1a =1ln 1a a a-=+1a =综上，．1a =（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值为．()e x f x x =-()ln g x x x =-11ln11ln 11-=-=当时，考虑的解的个数、的解的个数．1b >e x x b -=ln x x b -=设，，()e x S x x b =--()e 1xS x '=-当时，，当时，，0x <()0S x '<0x >()0S x '>故在上为减函数，在上为增函数，()S x (),0-∞()0,+∞所以，()()min 010S x S b ==-<而，，()e 0b S b --=>()e 2b S b b =-设，其中，则，()e 2bu b b =-1b >()e 20b u b =->'故在上为增函数，故，()u b ()1,+∞()()1e 20u b u >=->故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2．()0S b >()e xS x x b =--e x x b -=设，，()ln T x x x b =--()1x T x x'-=当时，，当时，，01x <<()0T x '<1x >()0T x '>故在上为减函数，在上为增函数，()T x ()0,1()1,∞+所以，()()min 110T x T b ==-<而，，()e e 0b b T --=>()e e 20b b T b =->有两个不同的零点即的解的个数为2．()ln T x x x b =--ln x x b -=当，由（1）讨论可得、仅有一个解，1b =ln x x b -=e x x b -=当时，由（1）讨论可得、均无根，1b <ln x x b -=e x x b -=故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =则．1b >设，其中，故，()e ln 2x h x x x =+-0x >()1e 2x h x x=+-'设，，则，()e 1x s x x =--0x >()e 10xs x =->'故在上为增函数，故即，()s x ()0,+∞()()00s x s >=e 1x x >+所以，所以在上为增函数，()11210h x x x>+-≥->'()h x ()0,+∞而，，()1e 20h =->31e 333122e 3e 30e e e h ⎛⎫=--<--< ⎪⎝⎭故在上有且只有一个零点，且：()h x ()0,+∞0x 0311e x <<当时，即即，00x x <<()0h x <e ln x x x x -<-()()f x g x <当时，即即，0x x >()0h x >e ln x x x x ->-()()f x g x >因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =故，()()001b f x g x ==>此时有两个不同的根，（），e x x b -=1x 0x 100x x <<此时有两个不同的根，（），ln x x b -=0x 4x 0401x x <<<故，，，11e x x b -=00e x x b -=44ln 0x x b --=00ln 0x x b --=所以即即，44ln x b x -=44e x b x -=()44e 0x b x b b ----=故为方程的解，同理也为方程的解4x b -e x x b -=0x b -e x x b -=又可化为即即，11e x x b -=11e xx b =+()11ln 0x x b -+=()()11ln 0x b x b b +-+-=故为方程的解，同理也为方程的解，1x b +ln x x b -=0x b +ln x x b -=所以，而，{}{}1004,,x x x b x b =--1b >故即．0410x x b x x b =-⎧⎨=-⎩1402x x x +=[方法二]：由（1）知，，，()xf x e x =-()lng x x x =-且在上单调递减，在上单调递增；()f x (),0-∞()0,+∞在上单调递减，在上单调递增，且．()g x ()0,1()1,+∞()()min min 1f x g x ==①时，此时，显然与两条曲线和共有0个交点，1b <()()min min 1f x g x b ==>y b =()y f x =()y g x =不符合题意；②时，此时，1b =()()min min 1f x g x b ===故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；y b =()y f x =()y g x =③时，首先，证明与曲线有2个交点，1b >y b =()y f x =即证明有2个零点，，()()F x f x b =-()()1xF x f x e '==-'所以在上单调递减，在上单调递增，()F x (),0-∞()0,+∞又因为，，，()0b F b e --=>()010F b =-<()20b F b e b =->（令，则，）()2bt b e b =-()20b t b e =->'()()120t b t e >=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，()()F x f x b =-(),0-∞1x 在上存在且只存在1个零点，设为．()0,+∞2x 其次，证明与曲线和有2个交点，y b =()y g x =即证明有2个零点，，()()G x g x b =-()()11G x g x x ='=-'所以上单调递减，在上单调递增，()G x ()0,1()1,+∞又因为，，，()0b b G e e --=>()010G b =-<()2ln20G b b b =->（令，则，）()ln2b b b μ=-()110b bμ=->'()()11ln20b μμ>=->所以在上存在且只存在1个零点，设为，()()G x g x b =-()0,13x 在上存在且只存在1个零点，设为．()1,+∞4x 再次，证明存在，使得：b 23x x =因为，所以，()()230F x G x ==2233ln xb e x x x =-=-若，则，即，23x x =2222ln x e x x x -=-2222ln 0x e x x -+=所以只需证明在上有解即可，2ln 0x e x x -+=()0,1即在上有零点，()2ln xx e x x ϕ=-+()0,1因为，，31331230e e e e ϕ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭()120e ϕ=->所以在上存在零点，取一零点为，令即可，()2ln xx e x x ϕ=-+()0,10x 230x x x ==此时取00x b e x =-则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，y b =()y f x =()y g x =最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，1402x x x +=因为()()()()()()1203040F x F x F x G x G x G x ======所以，()()()100ln F x G x F x ==又因为在上单调递减，，即，所以，()F x (),0-∞10x <001x <<0ln 0x <10ln x x =同理，因为，()()()004x F x G e G x ==又因为在上单调递增，即，，所以，()G x ()1,+∞00x >01x e>11x >04x x e =又因为，所以，0002ln 0x e x x -+=01400ln 2x x x e x x +=+=即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．y b =()y f x =()y g x =【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系．。
天津市七区2022-2023学年高一上学期期末数学试题(解析版)
根据分段函数解析式可得 ，
易知 ；所以
即 .
【小问2详解】
①当 时， ，
解得 ，或 （舍）.
②当 时， ，解得 （舍）.
综上可得 .
即实数a的值为
【小问3详解】
画出函数图象如下所示：
所以，单调递增区间 ，单调递减区间 ，
18.已知指数函数 （a＞0，且 ）的图象过点 ．
（1）求a的值；
∴ ，∴ ；
小问2详解】
，
，
∴ ，
，
.
17.已知函数
（1）求 ， 的值；
（2）若 ，求实数a的值；
（3）直接写出 的单调区间．
【答案】（1） ；
（2）
（3）单调递增区间 ，单调递减区间 ，
【解析】
【分析】（1）根据分段函数定义直接代入计算即可；（2）分类讨论实数a的取值范围，解方程即可得出符合题意的a的值；（3）画出函数图象即可直接写出单调区间．
【详解】 ，
当且仅当 ,即 时，取得最小值.
故答案为： .
15.有下列命题：
①函数 的定义域为 ；
②不等式 的解集为 ，则实数k的取值范围为 ；
③函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ．则当x＜0时， ．
其中正确命题的序号为______（把正确的答案都填上）．
【答案】①③
【解析】
【分析】对①②③逐一判断，①函数的定义域要满足分母不为0，对数函数的真数大于0，②对不等式的二次项系数分类讨论，分别求的满足条件的集合，即可求得实数k的取值范围，③有函数的奇偶性可知 ，又知当当 时函数的解析式，即可求得当 时函数的解析式.
（2）若 ， ，求m＋n的值；
（3）求不等式 的解集．
天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末考数学试题及答案
天津市和平区2022-2023学年高三上学期期末数学试题温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅰ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
祝同学们考试顺利!第Ⅰ卷（选择题共45分）（答案在最后）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上的无效。
3.本卷共9小题，每小题5分，共45分。
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设全集{}2,1,0,1,2,3U =--，集合{}1,2A =-，{}2430B x x x =-+=，则()UA B ⋃=A.{}2,0-B.{}0,3C.{}2,1-D.{}1,32.“n 是3的倍数”是“n 是6的倍数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分又不必要条件3.函数()2ln x f x x=的部分图象大致为A.B.C.D.4. A.92π B.278πC.9πD.27π5.为倡导“节能减排，低碳生活”的理念，某社区对家庭的人均月用电量情况进行了调查，通过抽样，获得了某社区100个家庭的人均月用电量（单位：千瓦时），将数据按[)40,60，[)60,80，[)80,100，[)100,120，[)120,140，[]140,160分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.若该社区有3000个家庭，估计全社区人均月用电量低于80千瓦时的家庭数为 A.300B.450C.480D.6006.设0.6log 2a =，2log 0.6b =，20.6c =，则a ，b ，c 的大小关系为A.b c a <<B.c b a <<C.a b c <<D.b a c <<7.已知抛物线220y x =的焦点F 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且点F 到双曲线的渐近线的距离为4，则双曲线的方程为 A.2214116x y -=B.2214125x y -=C.221916x y -=D.221169x y -= 8.已知函数()1sin 2222f x x x ωω=+，()0ω>，且()f x 的最小正周期为π，给出下列结论：①函数()f x 在区间7,212ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；②函数()f x 关于直线12x π=对称；③把函数sin 2y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象. 其中所有正确结论的序号是 A.①②B.①③C.②③D.①②③9.设函数()()2e e ,024,0x xx x f x x x x -⎧-≥⎪=⎨---<⎪⎩，若函数()()g x f x ax =-恰有两个零点，则实数a的取值范围为 A.(]0,2B.()0,2C.()2,+∞D.{}2第Ⅱ卷（非选择题 共105分）注意事项：1.用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效。
2022-2023学年天津市静海区第一中学高一上学期期末数学试题(解析版)
，所以 为偶函数，
图象关于 轴对称，排除C，D选项；
，排除B选项.
所以A选项正确.
故选：A
4.已知 是第三象限角，若 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得 ，再利用诱导公式化简 即可得到答案.
【详解】 是第三象限角，若 ，由 ，得
故选：C.
5.角 的终边与单位圆上半圆交于 ，则 _______
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 .
故答案为：
13.已知 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式将已知条件进行化简成 ，代入式子即可求解.
【详解】
，所以 ，
则 ，
故答案为： .
14.已知 ， ，其中 ，
（1）求角 ；
（2）求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据 ，然后利用两角差的余弦代入即可.
（3）求关于 的不等式 的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）答案见详解
【解析】
【分析】（1）对①根据三个二次之间的关系分析运算；对②：根据二次函数的最值分析列式；对③：根据二次函数的对称性分析列式；结合题意可得应满足①②，运算求解；（2）根据题意参变分离可得 当 时恒成立，结合基本不等式运算求解；（3）根据一元二次不等式的解法分类讨论两根大小，运算求解.
【答案】（1）1（2）
【详解】令 ，解得 或 ，则 的定义域为 ，
由 在 单调递减，根据复合函数的单调性：同增异减，求出 的
减区间即为 的增区间，再结合 的定义域可知 的单调递增区间为 ，
2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市南开中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}1,2,3,4,5U =，{}1,2,3A =，{}1,4B =，则()UA B =（ ）A ．{}2,3B ．{}1C ．{}3,5D ．{}2,3,5【答案】A【分析】根据交集和补集的概念，直接求解即可. 【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}1,4B =， 所以{}2,3,5UB =，又{}1,2,3A =， 所以(){}2,3U A B ⋂=. 故选：A2．函数()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．2πB ．4π3C ．3πD ．π【答案】C【分析】根据周期公式直接求解即可.【详解】()()2πsin R 33f x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的最小正周期为2π3π23=， 故选：C3．命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是（ ） A ．(,1]x ∀∈-∞，213x x +> B ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +≤ C ．(,1]x ∃∈-∞，213x x + D ．(1,)x ∀∈+∞，213x x +>【答案】D【解析】特称量词的否定是全称量词，据此得到答案. 【详解】特称量词的否定是全称量词：命题“1,()x ∃∈+∞，213x x +”的否定是(1,)x ∀∈+∞，213x x +> 故选：D【点睛】本题考查了特称量词的否定，意在考查学生的推断能力. 4．已知x 、y 都是实数，那么“x y >”的充分必要条件是（ ）． A ．lg lg x y > B ．22x y >C ．11x y> D ．22x y >【答案】B【解析】根据不等式的性质，结合充分条件与必要条件的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】对于A ，lg lg 0x y x y >⇔>>，故“lg lg x y >”是“x y >”的充分不必要条件，不符合题意； 对于B ，22⇔>>x y x y ，即“22x y >”是“x y >”的充要条件，符合题意；对于C ，由11x y >得，0x y <<或0x y >>，0x y <<，不能推出x y >，由x y >也不能推出11x y>，所以“11x y>”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 对于D ，由22x y x y >⇔>，不能推出x y >，由x y >也不能推出22x y >，故“22x y >”是“x y >”的既不充分也不必要条件，不符合题意； 故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查判定命题的充要条件，及不等式的性质，充分条件、必要条件的三种判定方法：（1）定义法：根据p q ⇒，q p ⇒进行判断，适用于定义、定理判断性问题．（2）集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题． 5．已知()1,3P 为角α终边上一点，则2sin cos sin 2cos αααα-=+（ ）A ．-7B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】先根据三角函数的定义求出tan 3α=，再利用齐次化将弦化切进行求解. 【详解】()1,3P 为角α终边上一点，故tan 3α=，故2sin cos 2tan 151sin 2cos tan 25αααααα--===++.故选：B6．设函数()2+5x f x x =-，则函数()f x 的零点所在区间是（ ） A ．(-1,0) B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】C【解析】根据零点存在性定理分析可得结果. 【详解】因为函数()2+5x f x x =-的图象连续不断，且111(1)21502f --=--=-<，(0)10540f =+-=-<, (1)21520f =+-=-<,2(2)22510f =+-=>，3(3)23560f =+-=>，所以函数()f x 的零点所在区间是(1,2). 故选：C7．已知函数()221()1m m f x m m x +-=--是幂函数，且在(0,)+∞上是减函数，则实数m 的值是（ ）．A ．1-或2B ．2C ．1-D ．1【答案】C【解析】由函数是幂函数可得211m m --=，解得1m =-或2，再讨论单调性即可得出. 【详解】()f x 是幂函数，211m m ∴--=，解得1m =-或2，当1m =-时，1()f x x -=在(0,)+∞上是减函数，符合题意， 当2m =时，5()f x x =在(0,)+∞上是增函数，不符合题意，1m ∴=-. 故选：C.8．已知2log 7a =，0.3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜c ＜a B ．a ＜b ＜c C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b【答案】A【分析】分别将,,a b c 与0,1,2比较确定它们的大小关系． 【详解】0.2000.30.31c <=<=； 22log 7log 42a =>=； 0.30.3log 8log 10b =<=．故b<c<a ． 故选：A ．9．若π02α<<，π02β-<<，1cos 3α=，cos β=，则()cos αβ+=（ ）A B ．C ．D 【答案】D【分析】根据题意求得sin α和sin β的值，结合两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由π02α<<，π02β-<<，可得sin α=sin β=， 则()cos cos cos sin sin a αβαββ+=-13==. 故选：D.10．已知命题p ：函数()()2xf x a =-是R 上的减函数，命题q ：23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立.若命题p 和命题q 中有且只有一个真命题，则实数a 的取值范围（ ） A ．（2，3） B ．[)3,4C ．（2，4）D ．（3，4）【答案】B【分析】分别求出命题,p q 成立的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可. 【详解】函数()(2)x f x a =-是R 上的减函数021a ∴<-<，解得：23a <<23202x ax a ++->对x ∀∈R 都成立0∴∆<,则234(2)02a a --<，解得：24a <<，当命题p 成立命题q 不成立时：(2,3)(,2][4,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：a 不存在当命题q 成立命题p 不成立时，(2,4)(,2][3,)a a ∞∞∈⎧⎨∈-⋃+⎩，解得：34a ≤<∴实数a 取值范围为： 34a ≤<故选：B11．已知函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，若函数()()g x f x m =+有两个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．[)1,0-B ．[)1,-+∞C ．(),0∞-D ．(],1-∞【答案】A【分析】()g x 存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，数形结合求解. 【详解】()()0()g x f x m f x m =+=⇔=-()g x ∴存在两个零点，等价于y m =-与()f x 的图象有两个交点，在同一直角坐标系中绘制两个函数的图象：由图可知，保证两函数图象有两个交点，满足01m <-≤，解得：[)1,0m ∈- 故选：A.12．函数()sin ln ||f x x x =⋅的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】先根据函数的奇偶性，可排除A ，C ，根据当01x <<时，()0f x <即可排除B ．得出答案. 【详解】因为()sin ln ||(0)f x x x x =⋅≠，所以()sin()ln ||sin ln ||()f x x x x x f x -=-⋅-=-=-， 所以()f x 为奇函数，故排除A ，C ．当01x <<时，sin 0x >，ln ||0x <，则()0f x <，故排除B ， 故选:D ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.13．已知函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数，且在区间[0,2]a 上单调递增，则不等式(1)()f x f a -<的解集为（ ） A ．[1,3]- B ．(0,2)C ．(0,1)(2,3]⋃D ．[1,0)(1,2)-⋃【答案】B【解析】根据偶函数的定义域关于原点对称可得1a =，根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性可解得结果.【详解】因为函数()f x 是定义在区间[1,2]a a --上的偶函数， 所以120a a --+=，解得1a =，(1)()f x f a -<可化为(1)(1)f x f -<，因为()f x 在区间[0,2]a 上单调递增，所以11x -<，解得02x <<. 故选：B【点睛】关键点点睛：根据(1)(|1|)f x f x -=-以及函数()f x 的单调性解不等式是解题关键.14．已知函数()32,032,0x x x f x x -⎧-+<=⎨+≥⎩，()()620g x kx k k =+->，若对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．(]0,2B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．(]1,2【答案】C【分析】根据函数的单调性求出两函数的最大值，然后由题意可知max max ()()f x g x ≤，再解关于k 的不等式可求得结果.【详解】当10x -≤<时，3()2x f x =-+单调递减，则2()3f x <≤， 当01x ≤≤时，()32x f x -=+单调递减，则7()33f x ≤≤，所以当[1,1]x ∈-时，()[2,3]f x ∈，所以()max 3f x =， 因为()()620g x kx k k =+->在[1,1]x ∈-上单调递增， 所以()max 626g x k k k =+-=-，因为对任意的[]11,1x ∈-，总存在[]21,1x ∈-使得()()12f x g x ≤成立， 所以max max ()()f x g x ≤， 所以36k ≤-，解得03k <≤， 故选：C二、填空题15．已知函数()()log 160,1a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，则点A 的坐标为______.【答案】()2,6【分析】由log 10a =，令真数为1，即2x =代入求值，可得定点坐标．【详解】∵log 10a =，∴当2x =时，log 166a y =+=，∴函数的图象恒过定点()2,6 故答案为：()2,616．已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________.【答案】2π【解析】利用扇形的面积求出扇形的半径r ，再带入弧长计算公式即可得出结果． 【详解】解：由于扇形的圆心角为23απ=，扇形的面积为3π，则扇形的面积221123223S r r παπ==⨯⨯=，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2323l r παπ==⨯=. 故答案为：2π.17．已知0x >，0y >且191x y+=，求x y +的最小值为______.【答案】16【分析】根据()19x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求得最小值.【详解】0x，0y >且191x y+=， ()199101016x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当9x y y x =，即3y x =时取等号）， ()min 16x y ∴+=. 故答案为：16.【点睛】关键点点睛：本题考查利用基本不等式求最值的问题，解题关键是能够灵活利用已知条件中“1”的等式，将所求项配凑成符合基本不等式的形式.18．若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩在区间(),-∞+∞单调递增函数，则实数a 的取值范围是______. 【答案】[4,8)【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.【详解】由题意，函数(),142,12x a x f x a x x ⎧≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩是(),-∞+∞上的单调递增函数， 则满足114024122a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫-⨯+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<，所以实数a 的取值范围[4,8). 故答案为：[4,8)19．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ，π0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是______.①函数()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ②函数()y f x =的图象关于直线5π12x =-对称；③函数()y f x =在2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减； ④()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数；⑤()y f x =可改写为π2cos 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【答案】①②⑤【分析】根据函数的图象，可求出()f x 的解析式，进而对选项逐个分析，可得出答案.【详解】解：由函数图象可得2A =，最小正周期ππ4π312T ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以2π2π2πT ω===，故④错误； 当π12x =时，函数取得最大值，即ππ2sin 221212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ππ22π122k ϕ⨯+=+()k ∈Z ，则π2π3k ϕ=+()k ∈Z ，又π2ϕ<，得π3ϕ=，故函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.对于①，当π6x =-时，πππ2sin 22sin 00663f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 的一个对称中心，故①正确；对于②，当5π12x =-时，5π5πππ2sin 22sin 2121232⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭f ，即直线5π12x =-是函数()f x 的一条对称轴，故②正确； 对于③，令ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+()k ∈Z ，解得π7πππ1212k x k +≤≤+()k ∈Z ， 则函数()f x 的单调递减区间为7ππ,π1212πk k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，故③错误； 对于⑤，()ππππ2sin 22sin 22cos 23626f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故⑤正确.故答案为：①②⑤.三、双空题 20．（1）1ln 223e 27tanlg104π--+-+=______；（2______.【答案】 23- 1【分析】（1）根据指数幂以及对数运算性质，以及特殊角对应三角函数值，直接化简求解即可； （2）根据诱导公式，以及同角三角函数基本关系，直接化简求解即可. 【详解】（1）1ln 2213π2e 27tanlg10231243---+-+=+--=-；（2cos 20sin 201cos 20sin 20︒+︒==︒+︒.故答案为：23-；1.21．已知3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=______；（2）tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.【答案】 2425-17【分析】根据同角三角函数基本关系，求出cos α，tan α，再由二倍角公式以及两角和的正切公式求解即可.【详解】因为3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α==-，则3tan 4α=-，所以3424sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；3tan tan1144tan 3471tan tan 144παπαπα+-+⎛⎫+=== ⎪⎝⎭-+.故答案为：2425-；17.四、解答题22．已知函数()ππsin 2sin 2233f x x x x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和函数()f x 的单调递减区间；(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的自变量x 的值.【答案】(1)=πT ，函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；(2)当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为【分析】（1）利用两角和差正弦公式公式和辅助角公式化简()f x ，根据正弦型函数的周期公式和正弦函数单调性结论求解即可；（2）根据函数()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性确定其最大值、最小值及相应的自变量x 的值..【详解】（1）由已知πππ()=sin 2+sin 22=sin 22=2sin 2+333f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π==π2T ，所以()f x 的最小正周期为π.由ππ3π2π2+2π,Z 232k x k k +≤≤+∈化简可得π7πππ,Z 1212k x k k +≤≤+∈， 所以函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）由(1) 可得函数()f x 的单调递减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，同理可得函数()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，因为π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数在π[0,]12上单调递增，在ππ[,]122上单调递减，且π(0)=2sin 3f =ππ()=2sin 2122f =，π4π()=2sin 23f = 所以，当π=12x 时，()f x 取最大值为2；当π2x =时，()f x取最小值为23．已知函数()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数. (1)求()g x 的解析式；(2)判断并证明()g x 在[]1,1-上的单调性；(3)解不等式()()10g t g t --<.【答案】(1)()221x g x x =+ (2)()g x 在[]1,1-上单调递增 (3)10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，求出,a b ，得到函数解析式，再验证即可；（2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，作差比较()1g x 与()2g x ，进而可根据单调性定义判断出结果；（3）根据函数单调性，结合题中条件列出不等式组求解，即可得出结果.【详解】（1）因为()221x a g x x bx +=++是定义域为[]1,1-上的奇函数， 所以()()()1100g g g ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，即22220a ab b a -+⎧=-⎪-+⎨⎪=⎩，解得00b a =⎧⎨=⎩，所以()221x g x x =+， 又()()221x g x g x x --==-+，所以()221x g x x =+是奇函数，符合题意； （2）任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则()()()()()()()()221212121212121222222212121221222222111111x x x x x x x x x x x x g x g x x x x x x x --+---=-==++++++， 因为1211x x ，所以121x x <，12x x <，因此()()()()()()121212221221011x x x x g x g x x x ---=<++，即()()12g x g x <， 所以()g x 在[]1,1-上单调递增；（3）由()()10g t g t --<得()()1<-g t g t ，因为()g x 在[]1,1-上单调递增；所以111111t t t t -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得102t ≤<. 故原不等式的解集为10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 24．已知函数2()(3)3f x kx k x =+++，其中k 为常数.（1）若不等式()0f x >的解集是{}13x x -<<,求此时()f x 的解析式；（2）在（1）的条件下，设函数()()g x f x mx =-，若()g x 在区间[]22-,上是单调递增函数，求实数m 的取值范围；（3）是否存在实数k 使得函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2()23f x x x =-++（2）2m ≤-（3）存在，1k =-或9k =-【解析】（1）根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用韦达定理，即可求解；（2）根据二次函数图像确定对称轴和区间的关系，即可求解；（3）由二次函数图像，求出函数可能取到的最大值，建立方程，求出参数，回代验证；或由对称轴，分类讨论，确定二次函数图象开口方向，函数在[1,4]-上的单调性，求出最大值且等于4，建立方程，即可求得结论.【详解】解：(1)由题意得：1,3-是2(3)30kx k x +++=的根 ∵313313k k k ⎧-⨯=⎪⎪⎨+⎪-+=-⎪⎩， 解得1k =- ∴2()23f x x x =-++(2)由（1）可得 2()23g x x x mx =-++-2(2)3x m x =-+-+，其对称轴方程为 22m x -= 若()g x 在[2,2]-上为增函数，则222m -≥，解得2m ≤- 综上可知，m 的取值范围为2m ≤-(3)当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件当0k ≠时，假设存在满足条件的k ，则()f x 的最大值只可能在1,4,-对称轴处取得， 其中对称轴032k x k+=- ① 若max ()(1)4f x f =-=，则有334k k --+= ，k 的值不存在，② 若max ()(4)4f x f ==，则1612434k k +++=， 解得1120k =-，此时，对称轴049[1,4]22x =∈-， 则最大值应在0x 处取得，与条件矛盾，舍去③ 若max 0()()4f x f x ==，则：0k <，且243(3)44k k k⨯-+=， 化简得21090k k ++=，解得1k =-或9k =- ，满足0k <综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4.(3)另解：当0k =时，()33f x x =+，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是15，不满足条件所以0k ≠，此时2()(3)3f x kx k x =+++的对称轴为32k x k+=-若0k >，302k x k +=-<，此时2()(3)3f x kx k x =+++ 在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=， 解得1120k =-，与假设矛盾，舍去； 若0k <①当342k k +-≥，即103k -≤<，函数()f x 在[1,4]-为增， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为(4)1612434f k k =+++=，解得1120k =-，矛盾舍去 ②当312k k+-≤-，即3k ≥，矛盾舍… ③当3142k k +-≤-<.即13k <-， 2()(3)3f x kx k x =+++在[1,4]-上最大值为3()42k f k +-=，则 243(3)44k k k⨯-+=，化简得21090k k ++=， 解得1k =-或9k =- ，满足 0k <…综上可知，当1k =-或9k =-时，函数()f x 在[1,4]-上的最大值是4【点睛】本题考查求二次函数的解析式，以及单调性和最值，要熟练掌握二次函数的图像和性质，考查分类讨论数学思想，属于中档题.。
2022-2023学年天津市南开大学附属中学高一年级上册学期期末模拟数学试题【含答案】
2022~2023南大附中第一学期期末综合测试高一数学一､选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分，每小题的四个选项中､只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（ ）A. B. {–3，–2，2，3）∅C. {–2，0，2} D. {–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.,A B 【详解】因为，{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--或，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>}1,x x Z <-∈所以.{}2,2A B =- 故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.2. 的值是（）sin240A.B.D.1212-【答案】D 【解析】【分析】根据诱导公式即可求得结果.sin(π+)=sin αα-【详解】由题意可知，，sin(18060)sin240=+利用诱导公式可得sin(π+)=sin αα-sin(18060)sin 60+=-= 即sin 240= 故选：D3. 已知，则（ ）3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭2sin 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭A. B. C.D. 354535-45-【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项.【详解】因为，23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题4. 命题“∀x ∈R ，f (x )·g (x )≠0”的否定是（ ）A. ∀x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0B. ∀x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0C. ∃x ∈R ，f (x )＝0且g (x )＝0D. ∃x ∈R ，f (x )＝0或g (x )＝0【答案】D 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定的知识确定正确选项.【详解】原命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，注意到要否定结论，所以ABC 选项不符合，D 选项符合.故选：D5. 函数的大致图像为cos xy e =()x ππ-≤≤A. B. C. D.【答案】C 【解析】【详解】试题分析：由可知，函数为偶函数，图象关于轴对称，排除，又时，cos()cos x x ee -=y ,B D x π=，时，，所以排除，选．cos 11y e e π==<0x =cos01y e e ==>A C 考点：1．函数的奇偶性；2．函数的图象．6. 已知函数f(x)＝e x ＋x ，g(x)＝lnx ＋x ，h(x)＝lnx －1的零点依次为a ，b ，c ，则( )A. a<b<c B. c<b<a C. c<a<b D. b<a<c【答案】A 【解析】【分析】由，，分别为f(x)＝e x ＋x ，g(x)＝lnx ＋x ，h(x)＝lnx －1的零点，所以依次代入得a b c ，，，得，，的关系式，判断取值范围，比较大小()0f a =()0g b =()0h c =a b c 【详解】∵e a ＝－a ，∴a<0，∵lnb＝－b ，且b>0，∴0<b<1，∵lnc＝1，∴c＝e>1，故选A.【点睛】根据题设条件，构建关于参数的关系式，确定参数的取值范围7. 已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（）()()2sin1log 65f x x x =-+(),a +∞a A. B. ()5,+∞()3,+∞C.D.(),3-∞[)5,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据对数函数定义域以及复合函数的单调性即可求得函数的单调递减区间，再根据区间()f x 是单调递减区间的子集，即可得出实数的取值范围.(),a +∞a 【详解】由函数可知，定义域满足，()()2sin1log 65f x x x =-+2650xx -+>解得；()()5,,1x ∈+∞⋃-∞又因为，所以函数在上单调递减，()sin10,1∈sin1log y x =x ∈R 易知，函数在上单调递减，在上单调递增；265y x x =-+(),3x ∞∈-()3,x ∈+∞结合函数定义域并利用复合函数单调性同增异减的性质可知，函数在上单调递减，()()2sin1log 65f x x x =-+()5,x ∈+∞由函数在上是减函数可得，()()2sin1log 65f x x x =-+(),a +∞()(),,5a +∞+∞⊆即；5a ≥所以实数的取值范围为.a [)5,+∞故选：D8. 已知函数是偶函数. 若将曲线向左平移个单()()sin cos 33f x a x x a R ππ⎛⎫⎛⎫=---∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2y f x =12π位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线，若关于的方程在有两个不()y g x =x ()g x m =70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦相等实根，则实数的取值范围是（ ）m A.B.[]0,3[)0,3C.D. [)2,3)1,3【答案】C 【解析】【分析】由是偶函数及可解出a ，则可化简，由变换得()f x ππ33f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ，结合余弦函数的对称性可得在有两个不相等实根时的值域，即()π2112g x f x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦()g x 可得所求范围【详解】函数是偶函数，则，即，()f x ππ33f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2π11sin cos332a ⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得a =∴.()1ππ2cos 2sin 2sin 2cos 323362f x x x x x xπππ⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=--=-=-⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦向左平移个单位长度后，再向上平移1个单位长度得到曲线，则()2y f x =12π()y g x =，()ππ212cos 21126g x f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当，则，70,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,ππ26436πx éùêúêúëû+Î由余弦函数的对称性，在有两个不相等实根，则，此时()g x m =70,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦π2π4π2,ππ,633x éöæù÷ç+Îêú÷çêúëøèû ，()[)2,3g x ∈∴实数的取值范围是.m [)2,3故选：C9. 已知定义域为的函数的图像是一条连续不断的曲线，且满足．若[5,5]-()f x ()()0f x f x -+=当时，总有，则满足的实数(]12,0,5,x x ∀∈12x x <2112()()f x f x x x >(21)(21)(4)(4)m f m m f m --≤++的取值范围为（ ）m A. B. []1,1-[]1,5-C.D.[]2,3-[]2,1-【答案】A 【解析】【分析】令，根据条件可得函数在上递增，再根据，得到()()g x xf x =()g x (]0,5()()0f x f x -+=在上是偶函数，从而将，转化为()g x [5,5]-()()()()212144m f m m f m --≤++求解.()()214g m g m -≤+【详解】令，()()g x xf x =[5,5]x ∈-因为，当时，总有，即，(]12,0,5x x ∀∈12x x <2112()()f x f x x x >()()2211x f x x f x >即，当时，总有，(]12,0,5x x ∀∈12x x <()()21g x g x >所以在上递增，又因为，()g x (]0,5()()0f x f x -+=所以，，()()()()g x xf x xf x g x -=--==[5,5]x ∈-所以在上是偶函数，()g x [5,5]-又因为，()()()()212144m f m m f m --≤++所以，即，()()214g m g m -≤+()()214g m g m -≤+所以，即，5215545214m m m m ⎧-≤-≤⎪-≤+≤⎨⎪-≤+⎩239115m m m -≤≤⎧⎪-≤≤⎨⎪-≤≤⎩解得，11m -≤≤所以实数的取值范围为.m []1,1-故选：A.【点睛】关键点点睛：本题令是关键，利用在上递增，结合在上()()g x xf x =()g x (]0,5()g x []5,5-是偶函数，将问题转化为求解.()()214g m g m -≤+二､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上）10. 已知点是角终边上一点，则___________.(P -θcos2θ=【答案】##12-0.5-【解析】【分析】利用三角函数值的定义可得，然后利用二倍角公式即得.sin ,cos θθ【详解】因为点是角终边上一点，(P -θ所以，sin θ=1cos 2θ=-所以.cos2θ=222211cos sin 22θθ⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭故答案为：.12-11. 已知正数x 、y 满足，则的最小值是___________811x y +=2x y +【答案】18【解析】【详解】试题分析：()811622101018y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭考点：均值不等式求最值12. 已知函数的部分图象如图所示，其中点为函()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭()1,2P 数图象的一个最高点，为函数的图象与轴的一个交点，为坐标原点.求函数()f x ()4,0Q ()f x x O 的解析式___________.()f x【答案】ππ()2sin()63f x x =+【解析】【分析】根据为函数图象的一个最高点，求出.根据周期求出，根据最高点的坐标求出()1,2P ()f x A ω，可得函数解析式.ϕ【详解】因为为函数图象的一个最高点，所以，()1,2P ()f x 2A =根据图象可知，得，414T-=12T =因为，所以，所以.0ω>2π12T ω==π6ω=此时，π()2sin()6f x x ϕ=+又，即，即，(1)2f =π2sin()26ϕ+=πsin()16ϕ+=所以，，即，，ππ2π62k ϕ+=+Z k ∈π2π3k ϕ=+Z k ∈因为，所以.π02ϕ<<π3ϕ=所以.ππ()2sin()63f x x =+故答案为：.ππ()2sin()63f x x =+13.___________.1227(lg5)lg2lg5029-⎛⎫+-=⎪⎝⎭【答案】##250.4【解析】【分析】运用对数的运算性质，结合指数幂公式进行求解即可.【详解】1227(lg5)lg2lg5029-⎛⎫+- ⎪⎝⎭12225(lg5)lg2(lg51)3⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=++- ⎪⎝⎭12225(lg5)lg2lg5lg 23⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭⎛⎫=++- ⎪⎝⎭3lg5(lg5lg2)lg 253lg5lg10lg 253lg5lg 253lg1053152,5=++-=+-=+-=-=-=故答案为：2514. 已知角的终边经过点，求___________.α()1,2M -tan 24a π⎛⎫+=⎪⎝⎭【答案】7-【解析】【分析】由三角函数定义求得，再利用二倍角公式及两角和的正切公式即得．tan α【详解】因为角的终边经过点，α()1,2M -所以，，tan 2α=-22tan 44tan 21tan 143ααα-===--所以．4π1tan 2tanπ34tan 27π441tan 2tan 143ααα++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭--故答案为：．7-15. 已知函数，若，则___________.()3sin tan 2f x x x x x =++++()()2lg log 3f m=()()3lg log 2f =【答案】##4m -4m -+【解析】【分析】令，由函数为奇函数可得，进而得到()3sin tan g x x x x x=+++()g x ()()0g x g x +-=，又，进而求解.()()4f x f x +-=()()23lg log 3lg log 20+=【详解】令，易知：函数为奇函数，()3sin tan g x x x x x=+++()g x 则，即，()()0g x g x +-=()()4f x f x +-=由于，()()()2323lg log 3lg log 2lg log 3log 2lg10+=⋅==所以，()()()()23lg log 3lg log 24f f +=又因为，所以.()()2lg log 3f m=()()3lg log 24f m=-故答案为：.4m -三､解答题（本大题共2小题，共25分.解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知函数，()2sin22cos 1f x x x =+-（1）函数的最小正周期()f x （2）求函数图像的对称中心()f x （3）求函数在单调增区间()f x （4）若，求的值域π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；π（2）；()ππ,0Z 28k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭（3）； ()3πππ,πZ 88⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k （4）.⎡-⎣【解析】【分析】（1）（2）（3）（4）根据三角恒等变换可得，然后根据正弦函数的图像和()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭性质即得.【小问1详解】因为，()2πsin22cos 1sin2cos224f x x x x x x ⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭所以函数的最小正周期为；()f x 2ππ2=【小问2详解】因为，()π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭由，可得，π2π,Z 4x k k +=∈ππ,Z 28k x k =-∈所以函数图像的对称中心；()f x ()ππ,0Z 28k k ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭【小问3详解】由，可得，πππ2π22π,Z242k x k k -≤+≤+∈3ππππ,Z 88-≤≤+∈k x k k 所以函数在单调增区间；()f x ()3πππ,πZ 88⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k 【小问4详解】由，可得，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ5π2,444x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以，，πsin 24x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦()π214f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝∈⎭⎡⎣即的值域为.()f x ⎡-⎣17. 已知函数.()1f x x x =+（1）判断的奇偶性，并说明理由；()f x （2）用定义证明在上单调递增；并求在上的值域.()f x ()1,+∞()f x []2,1--【答案】（1）f （x ）为奇函数，理由见详解；（2）证明见详解，在上的值域为[－，－2].()f x []2,1--52【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义判断；（2）由单调性的定义证明，由奇偶性及单调性得值域．【小问1详解】f （x ）为奇函数；理由如下：因为f （x ）的定义域为，关于原点对称，(,0)(0,)-∞+∞ 且，()()1f x x f x x -=-+=--所以f （x ）为在上的奇函数.()(),00,-∞⋃+∞【小问2详解】证明：设任意，1212,(1,),x x x x ∈+∞<有．()()12121212112211(1)x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由，1212,(1,),x x x x ∈+∞<得，1212121,1,1,0x x x x x x >>>-<，()12121210x x x x x x --<即，()()12f x f x <所以函数f （x ）在（1,＋∞）上单调递增；由函数f （x ）在（1,＋∞）上单调递增，且为奇函数，所以f （x ）在（-∞，1）上单调递增所以f （x ）在[－2,－1]上单调递增，故f （x ）的最大值为，最小值为，()12f -=-()522f -=-所以f （x ）在[－2,－1]的值域为[－，－2]．52。
2022-2023学年天津市宝坻区第一中学高一上学期期末线上练习数学试题(解析版)
2022-2023学年天津市宝坻区第一中学高一上学期期末线上练习数学试题一、单选题1．已知集合{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．(1,2)- B ．(1,2]- C ．[0,1) D ．[0,1]【答案】B【分析】直接利用并集的定义求解.【详解】因为{}11A x x =-<<，{}02B x x =≤≤， 所以A B ⋃=(1,2]-. 故选：B2．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是（ ） A ．2log (0)y x x =->B ．()3y x x x =+∈RC ．()3xy x =∈RD ．cos y x =【答案】B【分析】先判断定义域是否关于原点对称，再把x -代入解析式，看是否与原解析式相反.若函数为奇函数，则进一步判断函数的单调性.【详解】对于A 项，定义域为{}|0x x >不关于原点对称，所以函数不是奇函数，故A 错误；对于B 项，令()3f x x x =+，定义域为R ，且()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，所以函数为奇函数.又函数y x =以及3y x =均是R 上的增函数，所以()3f x x x =+是增函数，故B 项正确；对于C 项，令()3x g x =，函数定义域为R ，()1333xx x g x --==≠，所以函数不是奇函数，故C 项错误；对于D 项，令()cos h x x =，函数定义域为R ，()()()cos cos h x x x h x -=-==，所以函数为偶函数，不是奇函数，故D 项错误. 故选：B. 3．函数sin 4xx xy e+=的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性，可排除C 、D ，利用()1f 和x →+∞时，()0f x →，结合选项，即可求解.【详解】由题意，函数()sin 4xx xf x e+=的定义域为R ， 且()()sin()4()sin 4x xx x x xf x f x e e --+-+-==-=-， 所以函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D ； 当1x =时，可得()sin141(1,2)f e+=∈，且x →+∞时，()0f x →， 结合选项，可得A 选项符合题意. 故选：A.4．已知函数()log 23a y x =++的图象恒过定点A ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，且点A 在角α的终边上，则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．12-B ．2C ．12D ．-2【答案】A【分析】根据对数型函数求出恒过定点A ，根据任意角的三角函数求出tan α，代入求解. 【详解】函数()1og 23a y x =++的图象恒过定点A211log 133a x x y y +==-⎧⎧∴⇒⎨⎨=+=⎩⎩，所以()1,3A -点()1,3A -在角α的终边上tan 3α∴=-()πtan tanπtan 13114tan π41tan 1321tan tan 4ααααα++-+⎛⎫∴+====- ⎪---⎝⎭-⋅ 故选：A5．已知扇形的周长为6cm ，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积（ ） A ．24cm B ．22cmC ．21cm 2D ．21cm 4【答案】B【分析】求出扇形半径，然后由扇形面积公式计算． 【详解】设扇形半径为r ，则26r r +=，2r =， 所以扇形的面积211222S =⨯⨯=．故选：B ． 6．函数()2ln 1f x x x =--的零点所在的区间是（ ） A ．()3,4 B ．()2,3C ．1,2D ．0,1【答案】B【分析】根据函数解析式，结合()f x 在(0,1)、(1,)+∞的值域情况、单调性，结合零点存在性定理判断零点所在区间即可.【详解】()f x 的定义域为{|0x x >且1}x ≠， 在(0,1)上，()2ln 01f x x x =-<-恒成立，不存在零点，排除D ； 在(1,)+∞上，2ln ,1y x y x ==--均递增，即()f x 在该区间上单调递增， 由解析式知：(2)ln 220f =-<，(3)ln 310f =->，2(4)ln 403f =->， ∴零点所在的区间是()2,3. 故选：B.7．设函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 的图象关于直线π12x =-对称B ．()f x 的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数D ．()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【分析】对于A ，求出函数的对称轴，可知不存在Z k ∉使得对称轴为直线π12x =-，A 错误； 对于B ，求出函数的对称中心，可知不存在Z k ∉使其一个对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，B 错误；对于C ，由()f x 求出6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用诱导公式，结合偶函数的定义，可得C 正确；对于D ，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求出整体π23u x =-的范围，验证cos y u =不是单调递增，D 错误.【详解】由π2=π,Z 3x k k -∈解得ππ,Z 62k x k =+∈，所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴为ππ,Z 62k x k =+∈，由πππ6212k +=-解得1Z 2k =-∉，故A 错误；由ππ2=π+,Z 32x k k -∈解得5ππ,Z 122k x k =+∈， 所以函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称中心为5ππ,0,Z 122k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由5πππ1226k +=解得1Z 2k =-∉，故B 错误； πcos 2cos2663y f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，而()()cos 2cos 2cos 2x x x ⎡⎤-=-=⎣⎦， 所以6y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是偶函数，C 正确；令π23u x =-，当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，πππ2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦即ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，此时cos y u =在ππ,33u ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦不是单调递增函数，故D 错误.故选：C.8．已知5log 4a =，0.2log 2b =，0.22c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a b c << C ．b<c<a D ．c b a <<【答案】A【分析】根据对数函数及指数函数单调性，比较a ，b ，c 与0，1的大小关系即可得答案. 【详解】解：因为5550log 1log 4log 51=<<=，0.20.2log 2log 10<=，0.20221>=， 所以01a <<，0b <，1c >， 所以b a c <<，9．要得到函数2cos y x =的图象，只需将函数2sin(2)4y x π=+的图象上所有的点的A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度C ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度 【答案】A 【详解】令，当函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，函数为，若图象再向左平行移动4π个单位长度，则函数为，于是选A.二、填空题10．化简cos 480的值是_____. 【答案】12-##0.5-【分析】利用三角函数诱导公式和特殊角三角函数值即可求得cos 480的值. 【详解】()cos 480cos 480360cos120=-= ()1cos 18060cos602=-=-=-，故答案为：12-.11．函数tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是______.【答案】,,Z 12343k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭【分析】根据正切函数的单调性即可得出答案. 【详解】解：令3242k x k πππππ-+<-<+，得,Z 12343k k x k ππππ-+<<+∈，所以函数tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间是,,Z 12343k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭.故答案为：,,Z 12343k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭. 12．下列说法正确的是_____________________①若2323ba⎛⎫== ⎪⎝⎭，则11a b +的值为1； ②已知110,0,4a b a b>>+=，则4a b +的最小值为9；③设x ∈R ，则“250x x -<”是“11x -<”的充分而不必要条件. 【答案】①【分析】①由2323ba⎛⎫== ⎪⎝⎭，得323log 2,log 2a b ==，再利用对数运算求解判断；②由基本不等式求解判断； ③利用充分条件和必要条件的定义判断；【详解】解：①由2323ba⎛⎫== ⎪⎝⎭，得323log 2,log 2a b ==，则11a b +222222log 3log log 3log 2133⎛⎫=+=⨯== ⎪⎝⎭，故正确；②由()111441149554444b a a b a b a b a b +=+⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4b aa b =，即33,48a b ==时，等号成立，故错误； ③由250x x -<，得05x <<，由11x -<，得02x <<，所以“250x x -<”是“11x -<”的必要不充分条件，故错误； 故选：A13．已知函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是______. 【答案】1243ω≤≤ 【分析】利用题给条件列出关于ω的不等式组，解之即可求得ω的取值范围. 【详解】函数()()2sin 0f x x ωω=>在区间3ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，且在区间[]0,2π内恰好取得一次最大值2，则3ππ425π2π2π2π2ωωω⎧-≥-⎪⎪⎪>⎨⎪⎪≤⎪⎩，解之得1243ω≤≤故答案为：1243ω≤≤三、双空题14．已知函数|1|e ,0()43,0x x f x x x x +⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，函数()y f x a =-有四个不同零点，从小到大依次为1234,,,x x x x ，则实数a 的取值范围为___________；1234x x x x +的取值范围为___________. 【答案】 (1,e] [4,5)【分析】根据函数性质画出()f x 的图象，将问题化为()f x 与y a =有四个交点，数形结合法求a 范围，再由12,x x 是22(1)ln 0x a +-=的两个根、34,x x 是2(3)40x a x -++=的两个根，结合根与系数关系求1234x x x x +的范围.【详解】由题设，当(,1)x ∈-∞-时，1e (1,)x y --=∈+∞，且单调递减； 当(1,0]x ∈-时，1e (1,e]x y +=∈，且单调递增； 当(0,2)x ∈，43(1,)y x x=+-∈+∞，且单调递减； 当(2,)x ∈+∞，43(1,)y x x=+-∈+∞，且单调递增； 综上，()f x 的函数图象如下：所以()y f x a =-有四个不同零点，即()f x 与y a =有四个交点，由图知：1e a <≤，则12,x x 在|1|e x y +=上，34,x x 在43y x x=+-上， 令12|1||1|e e x x a ++==，则12|1||1|ln x x a +=+=，即12,x x 是22(1)ln 0x a +-=的两个根，故2121ln x x a =-，而34,x x 是43x a x+-=，即2(3)40x a x -++=的两个根，故344x x =， 所以123425ln [4,5)x x x a x =-∈+.故答案为：(1,e]，[4,5)【点睛】关键点点睛：将问题转化为()f x 与y a =有四个交点，数形结合求参数范围，进而把1234,,,x x x x 看作对应方程的根，应用根系关系及对数性质求范围.四、解答题15．已知幂函数()ag x x =的图象经过点(，函数()()241g x b f x x ⋅+=+为奇函数.(1)求幂函数()y g x =的解析式及实数b 的值；(2)判断函数()f x 在区间()1,1-上的单调性，并用的数单调性定义证明.【答案】(1)()g x =0b =(2)()f x 在()1,1-上单调递增，证明见解析【分析】（1）首先代点，求函数的解析式，利用奇函数的性质()00f =，求a ，再验证；（2）根据函数单调性的定义，设1211x x -<<<，作差()()12f x f x -，判断符号，即可判断函数的单调性.【详解】（1）由条件可知2a12a =，即()12g x x ==，所以()42g =， 因为()221x b f x x +=+是奇函数，所以()00f b ==，即()221xf x x =+， 满足()()f x f x -=-是奇函数，所以0b =成立； （2）函数()f x 在区间()1,1-上单调递增，证明如下， 由（1）可知()221xf x x =+，在区间()1,1-上任意取值12,x x ，且12x x <， ()()()()()()211212122222121221221111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，因为1211x x -<<<，所以210x x ->，1210x x -<，()()2212110x x ++>所以()()120f x f x -<， 即()()12f x f x <，所以函数在区间()1,1-上单调递增.16．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中π0,0,2A ωϕ>><）的图像如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若将函数()y f x =的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，()3π,,π56g αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求cos α的值.【答案】(1)()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭334-【分析】（1）先利用题给图像求得,,A ωϕ的值，进而求得函数()f x 的解析式； （2）先求得()g α的解析式，再利用两角差的余弦公式即可求得cos α的值.【详解】（1）由7ππ4123T =-，可得πT =，则2π2πω==， 由函数()f x 的图像过点7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得1A =，7π3π22π+,Z 122k k ϕ⨯+=∈，解之得π2π+,Z 3k k ϕ=∈，又π2ϕ<，则π3ϕ=，则函数()f x 的解析式为()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）将函数()y f x =的图像上的所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()g x 的图像，则()πsin 3g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()π3sin 35g αα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，由π,π6α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得ππ4π,323α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则5π34cos α⎛⎫+==- ⎪⎝⎭则ππππππcos cos cos cos sin sin 333333αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦413525=-⨯+=17．已知函数()2cos 2cos f x x x x ωωω=+且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为π2.(1)求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；(2)当,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最值，并写出相应的自变量的取值.【答案】(1)1ω=，πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；(2)当π3x =-时，()f x 取最小值1-；当0x =时，()f x 取最大值2.【分析】（1）先利用函数()f x 的周期求得ω的值，再利用整体代入法即可求得函数()f x 的单调递增区间；（2）利用正弦函数的图像性质即可求得函数()f x 的最值及相应的自变量的取值.【详解】（1）()2cos 2cos f x x x x ωωω=+π21cos 22sin 216x x x ωωω⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭又函数()f x 图像中相邻两条对称轴间的距离为π2，则π22T =，解之得πT =，则2ππ2ω=，解之得1ω=， 则π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.由πππ2π22π262k x k -≤+≤+，可得ππππ36k x k -≤≤+，则函数()f x 的单调递增区间为πππ,π,Z 36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）由（1）可得，π()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭当,02πx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π5ππ2,666x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则π11sin 262x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 则π12sin 2126x ⎛⎫-≤++≤ ⎪⎝⎭. 当π3x =-，即ππ262x +=-时，函数()f x 取最小值1-； 当0x =，即ππ266x +=时，函数()f x 取最大值2. 18．已知二次函数2()23f x mx x =--，关于x 的不等式()f x <0的解集为(1,)n -(1)求实数m 、n 的值；(2)当1a <时，解关于x 的不等式21(1)2ax n m x ax ++>++；(3)当(0,1)a ∈是否存在实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，关于x 的函数1()()3x x g x f a a +=-有最小值-5.若存在，求实数a 值；若不存在，请说明理由【答案】(1)1,3m n ==；(2)答案见解析；(3)存在，a =【分析】（1）利用给定条件结合一元二次不等式与一元二次方程的关系，借助韦达定理计算作答.（2）分类讨论求解一元二次不等式即可作答.（3）换元，借助二次函数在闭区间上最值，计算判断作答.【详解】（1）依题意，不等式2230mx x --<的解集是(1,)n -，因此，1,n -是关于x 的一元二次方程2230mx x --=的二根，且0m >， 于是得2131n m n m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得1,3m n ==， 所以实数m 、n 的值是：1,3m n ==.（2）当1a <时，由（1）知：221(1)22(1)40ax n m x ax ax a x ++>++⇔-++>(2)(2)0ax x ⇔-->，当01a <<时，22a>，解得：2x <或2x a >， 当0a =时，解得2x <，当a<0时，不等式化为：2()(2)0x x a--<，解得：22x a <<， 所以，当01a <<时，原不等式的解集是2(,2)(,)a-∞⋃+∞，当0a =时，原不等式的解集是(,2)-∞，当a<0时，原不等式的解集是2(,2)a.（3）假设存在实数(0,1)a ∈满足条件，由（1）知，2()23f x x x =--，12()()3(32)3x x x x g x f a a a a a +=-=-+-， 因[1,2]x ∈，则设2[,]x a t a a =∈，函数()y g x =化为：2(32)3y t a t =-+-，显然3212a +>， 于是得2(32)3y t a t =-+-在2[,]a a 上单调递减，当t a =时，2min 223y a a =---，由22235a a ---=-解得：a =0a =<（舍去）(0,1)，所以存在实数(0,1)a ∈满足条件，a =. 【点睛】易错点睛：解含参数的一元二次不等式，首先注意二次项系数是否含有参数，如果有，必须按二次项系为正、零、负三类讨论求解.。
天津市第一中学滨海学校2022-2023学年高一上学期期末检测数学试题
2022-2023-1 高一年级 数学学科随堂检测试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分100分，考试时间45分钟.第Ⅰ卷 选择题（40分）一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案填入答题纸中的答题栏内. 1.已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （ ）A ．∅B ．SC ．TD ．Z2.已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:1q x>，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知5log 2a =，0.13b =，36log (sin )7c π=，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．b c a <<4.函数222()cos x xf x x x−−=+在[],ππ−的图象大致为（ ）ABCD5.函数212()log (4)f x x 的单调递增区间是（ ）A. (0,) B. (0), C. (2,)D. (,2)6.下列函数中最小值为4的是（ ）A ．224y x x =++B ．222x x y −=+C ．4sin sin y x x =+D ．4ln ln y x x=+7.要得到函数y x =的图象，只需将函数)4y x π=+的图象上所有的点的（ ） A. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 B. 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度C. 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度 D. 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度8.下列命题中正确的个数是（ ）①命题“0,2sin 0xx x ∃>+<”的否定是“0,2sin 0xx x ∀>+≥”； ②幂函数的图象一定不会出现在第四象限； ③函数23()log f x x x=−的零点所在区间是(2,3)，且()f x 只有一个零点； ④函数sin ||y x =是最小正周期为π的周期函数；⑤()f x =|22,42x k x k k ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭Z ；⑥在锐角三角形ABC 中，不等式sin sin cos cos A B A B +>+恒成立. A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷 （60分）注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共8小题，共60分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.51log 2266161174()2log 3log 4()cos 4953π−⨯++++=_________.10.已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为_________. 11.已知tan()24πα−=，则25sin 2sin αα−=_________.12.设,x y ∈R ，1,1a b >>，若3xya b ==，a b +=则11x y+的最大值为________. 13.天津之眼，全称天津永乐桥摩天轮，是世界上唯一一个桥上瞰景的摩天轮．如图，已知天津之眼的半径是55 m ，最高点距离地面的高度为120 m ，开启后按逆时针方向匀速转动，每36 min 转动一圈．喜欢拍照的李津同学想坐在天津之眼上拍海河的景色，她在距离地面最近的舱位进舱．已知在距离地面超过92.5 m 的高度可以拍到最美的景色，则在天津之眼转动一圈的过程中，李津同学可以拍到最美景色的时间是_________分钟．14.给出下列命题：①若角α的终边过点(3,4)(0)P k k k ≠，则4sin 5α=； ②若,αβ是第一象限角，且αβ>，则sin sin αβ>； ③函数()4sin(2)3f x x π=+的图象关于点(,0)6π−对称；④若函数()3cos(32)f x x ϕ=+是奇函数，那么ϕ的最小值为4π；⑤若角C 是ABC 的一个内角，且1sin cos 2C C +=，则ABC 是钝角三角形； ⑥已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ⎡⎤−⎢⎥⎣⎦单调递增，则02ω<≤. 其中正确命题的序号是_____________.三、 解答题：本大题共2小题，共30分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分10分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问4分）已知1sin()sin()2()3cos()2f παπααπα++−+=−. （Ⅰ）若α是第三象限角，且3cos 5α=−，求()f α的值；（Ⅱ）若()4f α=−，求sin 1cos αα−的值.16.（本小题满分20分，第Ⅰ问10分，第Ⅱ问4分，第Ⅲ问6分）已知函数2()()2sin()cos 2f x x x x ππ=+−+−（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）当,42x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最大值和最小值，以及相应x 的值； （Ⅲ）若014()625f x π−=，03,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0sin 2x 的值.。
浙江省台州市2023-2024学年高一上学期期中数学试题含解析
2023年学年第一学期期中考试试卷高一数学（答案在最后）总分：150分考试时间：120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}|210B x x =->，则()A B ⋂R ð等于（）A.{}1,0- B.{}1,2C.{}1,0,1- D.{}0,1,2【答案】A 【解析】【分析】先求B R ð，然后由交集运算可得.【详解】因为{}1|210|2B x x x x ⎧⎫=->=>⎨⎬⎩⎭，所以1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭R ð，所以(){}1,0A B ⋂=-R ð.故选：A2.命题“2000,10x x x ∃∈++<R ”的否定为（）A.2000,10x x x ∃∈++≥R B.2000,10x x x ∃∈++>R C.2,10x x x ∀∈++≥R D.2,10x x x ∀∈++>R 【答案】C 【解析】【分析】在写命题的否定中要把存在变任意，任意变存在.【详解】因为特称命题的否定为全称命题，所以2000,10x x x ∃∈++<R 的否定即为2,10x x x ∀∈++≥R .故选：C.3.设x ∈R ，则“220x x -<”是“12x -<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解不等式，再判断不等式解集的包含关系即可.【详解】由220x x -<得()0,2x ∈，由12x -<得()1,3x ∈-，故“220x x -<”是“12x -<”的充分不必要条件.故选：A.4.已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，则下列说法错误的是（）A.0a >B.不等式0bx c +>的解集是{}6x x <C.0a b c ++< D.不等式20cx bx a -+<的解集是1|3x x ⎧<-⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭【答案】B 【解析】【分析】先求得,,a b c 的关系式，然后对选项进行分析，所以确定正确答案.【详解】由于关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{|2x x <-或}3x >，所以0a >（A 选项正确），且2323b ac a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，整理得,6b a c a =-=-，由0bx c +>得60,6ax a x --><-，所以不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-，所以B 选项错误.660a b c a a a a ++=--=-<，所以C 选项正确.()()22260,6121310cx bx a ax ax a x x x x -+=-++<--=-+<，解得13x <-或12x >，所以D 选项正确.故选：B5.已知函数()y f x =的定义域为{}|06x x ≤≤，则函数()()22f xg x x =-的定义域为（）A.{|02x x ≤<或}23x <≤B.{|02x x ≤<或}26x <≤C.{|02x x ≤<或}212x <≤ D.{}|2x x ≠【答案】A 【解析】【分析】由已知列出不等式组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，02620x x ≤≤⎧⎨-≠⎩，解得，02x ≤<或23x <≤.故选：A ．6.已知函数5(2),22(),2a x x f x a x x⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A.()0,2 B.()1,2 C.[)1,2 D.(]0,1【答案】C 【解析】【分析】由题可得函数在2x ≤及2x >时，单调递减，且52(2)22aa -+≥，进而即得.【详解】由题意可知：ay x=在()2,+∞上单调递减，即0a >；5(2)2y a x =-+在(],2-∞上也单调递减，即20a -<；又()f x 是R 上的减函数，则52(2)22aa -+≥，∴02052(2)22a a a a ⎧⎪>⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12a ≤<．故选：C ．7.已知函数()y f x =的定义域为R ，()f x 为偶函数，且对任意12,(,0]x x ∈-∞都有2121()()0f x f x x x ->-，若(6)1f =，则不等式2()1f x x ->的解为（）A.()(),23,-∞-⋃+∞ B.()2,3- C.()0,1 D.()()2,01,3-⋃【答案】B 【解析】【分析】由2121()()0f x f x x x ->-知，在(,0]-∞上单调递增，结合偶函数，知其在在[0,)+∞上单调递减即可解.【详解】对120x x ∀<≤，满足()()21210f x f x x x ->-，等价于函数()f x 在(,0]-∞上单调递增，又因为函数()f x 关于直线0x =对称，所以函数()f x 在[0,)+∞上单调递减.则()21f x x ->可化为26x x -<，解得23x -<<.故选：B.8.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，则n 的最大值是（）A.8B.11C.14D.18【答案】C 【解析】【分析】令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++ ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+ .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤- ，因为()5314n h x ≤≤故5314n -≤，故max 14n =.故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对实数a ，b ，c ，d ，下列命题中正确的是（）A.若a b <，则22ac bc <B.若a b >，c d <，则a c b d ->-C.若14a ≤≤，21b -≤≤，则06a b ≤-≤D.a b >是22a b >的充要条件【答案】BC 【解析】【分析】利用不等式的性质一一判定即可.【详解】对于A ，若0c =，则22ac bc =，故A 错误；对于B ，c d c d <⇒->-，由不等式的同向可加性可得a c b d ->-，故B 正确；对于C ，2121b b -≤≤⇒≥-≥-，由不等式的同向可加性可得06a b ≤-≤，故C 正确；对于D ，若102a b =>>=-，明显22a b <，a b >不能得出22a b >，充分性不成立，故D 错误.故选：BC10.已知函数()42f x x =-，则（）A.()f x 的定义域为{}±2x x ≠ B.()f x 的图象关于直线=2x 对称C.()()56ff -=- D.()f x 的值域是()(),00,-∞+∞ 【答案】AC 【解析】【分析】根据解析式可得函数的定义域可判断A ，利用特值可判断，直接求函数值可判断C ，根据定义域及不等式的性质求函数的值域可判断D.【详解】由20x -≠，可得2x ≠±，所以()f x 的定义域为{}±2x x ≠，则A 正确；因为()14f =-，()34f =，所以()()13f f ≠，所以()f x 的图象不关于直线=2x 对称，则B 错误；因为()453f -=，所以()()56f f -=-，则C 正确；因为2x ≠±，所以0x ≥，且2x ≠，所以22x -≥-，且20x -≠，当220x -≤-<时，422x ≤--，即()2f x ≤-，当20x ->时，402x >-，即()0f x >，所以()f x 的值域是(](),20,-∞-+∞ ，故D 错误．故选：AC.11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为七界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，如：[]1.21=，[]1.22-=-，[]y x =又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费，出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的描述，正确的是（）A.x ∀∈R ，[][]22x x =B.x ∀∈R ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦C.x ∀，R y ∈，若[][]x y =，则有1x y ->-D.方程[]231x x =+的解集为【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：取12x =，不成立；对于B ：设[]x x a =-，[0,1)a ∈,讨论10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭与1,1)2a ⎡∈⎢⎣求解；对于C ：,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，由||x y -=||1t s -<得证；对于D ：先确定0x ≥，将[]231x x =+代入不等式[][]()2221x x x ≤<+得到[]x 的范围，再求得x 值.【详解】对于A ：取12x =，[][][]1211,2220x x ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦==，故A 错误；对于B ：设11[],[0,1),[][][]22x x a a x x x x a ⎡⎤⎡⎤=-∈∴++=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12[]2x a ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,[2][2[]2]2[][2]x x a x a =+=+，当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，11,122a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[0,1)a ∈，则102a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]0a =则1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎣⎦，[2]2[]x x =,故当10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时，131,22a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，2[1,,)2a ∈则112a ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[2]1a =则1[]2[]1[2]],2[12x x x x x ⎡⎤++=+=+⎢⎣⎦，故当1,1)2a ⎡∈⎢⎣时1[]2[]2x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦成立.综上B 正确.对于C ：设[][]x y m ==，则,01x m t t =+≤<，,01y m s s =+≤<，则|||()x y m t -=+-()|||1m s t s +=-<，因此1x y ->-，故C 正确;对于D ：由[]231x x =+知，2x 一定为整数且[]310x +≥，所以[]13x ≥-，所以[]0x ≥，所以0x ≥，由[][]()2221x x x ≤<+得[][][]()22311x x x ≤+<+，由[][]231x x ≤+解得[]33 3.322x +≤≤≈，只能取[]03x ≤≤，由[][]()2311x x +<+解得[]1x >或[]0x <(舍)，故[]23x ≤≤，所以[]2x =或[]3x =，当[]2x =时x =[]3x =时x =，所以方程[]231x x =+的解集为，故选：BCD.【点睛】高斯函数常见处理策略:(1)高斯函数本质是分段函数,分段讨论是处理此函数的常用方法.(2)由x 求[]x 时直接按高斯函数的定义求即可.由[]x 求x 时因为x 不是一个确定的实数,可设[]x x a =-，[0,1)a ∈处理.(3)求由[]x 构成的方程时先求出[]x 的范围,再求x 的取值范围.(4)求由[]x 与x 混合构成的方程时,可用[][]1x x x ≤<+放缩为只有[]x 构成的不等式求解.12.函数()1f x a x a =+--，()21g x ax x =-+，其中0a >.记{},max ,,m m n m n n m n ≥⎧=⎨<⎩，设()()(){}max ,h x f x g x =，若不等式()12h x ≤恒有解，则实数a 的值可以是（）A.1B.12 C.13 D.14【答案】CD 【解析】【分析】将问题转化为()min 12h x ≥；分别在a ≥和0a <<的情况下，得到()f x 与()g x 的大致图象，由此可得确定()h x 的解析式和单调性，进而确定()min h x ，由()min 12h x ≤可确定a 的取值范围，由此可得结论.【详解】由题意可知：若不等式()12h x ≤恒有解，只需()min 12h x ≥即可.()1,21,x x af x a x x a +≤⎧=⎨+-≥⎩，∴令211ax x x -+=+，解得：0x =或2x a=；令2121ax x a x -+=+-，解得：x =或x =；①当2a a≤，即a ≥时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),02,02,g x x h x f x x a g x x a ⎧⎪≤⎪⎪∴=<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，()h x ∴在(],0-∞上单调递减，在[)0,∞+上单调递增，()()()min 001h x h g ∴===，不合题意；②当2a a>，即0a <<时，则()f x 与()g x大致图象如下图所示，()()()(),0,0,g x x h x f x x g x x ⎧≤⎪∴=<<⎨⎪≥⎩()h x ∴在(],0-∞，a ⎡⎣上单调递减，[]0,a，)+∞上单调递增；又()()001h g ==，21hg a ==，∴若()min 12h x ≥，则需()min h x h =，即1212a ≤，解得：14a -≤；综上所述：实数a的取值集合10,4M ⎛⎤-= ⎥ ⎝⎦，1M ∉ ，12M ∉，13M ∈，14M ∈，∴AB 错误，CD 正确.故选：CD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式能成立问题的求解，解题关键是将问题转化为函数最值的求解问题，通过分类讨论的方式，确定()f x 与()g x 图象的相对位置，从而得到()h x 的单调性，结合单调性来确定最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若幂函数()f x 过点()42，，则满足不等式()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围是__________．【答案】312⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】【分析】利用待定系数法求出幂函数()f x 的解析式，再利用函数定义域和单调性求不等式的解集．【详解】设幂函数()y f x x α==，其图像过点()42，，则42α=，解得12α=；∴()12f x x ==，函数定义域为[)0,∞+，在[)0,∞+上单调递增，不等式()()21f a f a ->-等价于210a a ->-≥，解得312a ≤<；则实数a 的取值范围是31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭14.已知0a >，0b >，且41a b +=，则22ab +的最小值是______．【答案】18【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【详解】由题意可得24282221018b a b ab a b a ab +=++=⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝++≥⎭，当且仅当13a =，6b =时，等号成立．故答案为：1815.若函数()()22()1,，=-++∈f x x xax b a b R 的图象关于直线2x =对称，则=a b +_______．【答案】7【解析】【分析】由对称性得()(4)f x f x =-，取特殊值(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩求得,a b ，再检验满足()(4)f x f x =-即可得，【详解】由题意(2)(2)f x f x +=-，即()(4)f x f x =-，所以(0)(4)(1)(3)f f f f =⎧⎨=⎩，即15(164)08(93)b a b a b =-++⎧⎨=-++⎩，解得815a b =-⎧⎨=⎩，此时22432()(1)(815)814815f x x x x x x x x =--+=-+--+，432(4)(4)8(4)14(4)8(4)15f x x x x x -=--+-----+432232(1696256256)8(644812)14(168)32815x x x x x x x x x x =--+-++-+---+-++432814815x x x x =-+--+()f x =，满足题意．所以8,15a b =-=，7a b +=．故答案为：7．16.设函数()24,()2,ax x a f x x x a-+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩存在最小值，则a 的取值范围是________.【答案】[0,2]【解析】【分析】根据题意分a<0，0a =，02a <≤和2a >四种情况结合二次函数的性质讨论即可》【详解】①当a<0时，0a ->，故函数()f x 在(),a -∞上单调递增，因此()f x 不存在最小值；②当0a =时，()24,0()2,0x f x x x <⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，当0x ≥时，min ()(2)04f x f ==<，故函数()f x 存在最小值；③当02a <≤时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，2()(2)(2)0f x x f =-≥=.若240a -+<，则()f x 不存在最小值，故240a -+≥，解得22a -≤≤.此时02a <≤满足题设；④当2a >时，0a -<，故函数()f x 在(),a -∞上单调递减，当x a <时，2()()4f x f a a >=-+；当x a ≥时，22()(2)()(2)f x x f a a =-≥=-.因为222(2)(4)242(2)0a a a a a a ---+=-=->，所以22(2)4a a ->-+，因此()f x 不存在最小值.综上，a 的取值范围是02a ≤≤.故答案为：[0,2]【点睛】关键点点睛：此题考查含参数的分段函数求最值，考查二次函数的性质，解题的关键是结合二次函数的性质求函数的最小值，考查分类讨论思想，属于较难题.四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{|13}A x x =<<，集合{|21}B x m x m =<<-．（1）若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)0,∞+（2）(],2-∞-【解析】【分析】（1）根据B 是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得m 的取值范围.（2）根据p 是q 的充分条件列不等式，由此求得m 的取值范围.【小问1详解】由于A B ⋂=∅，①当B =∅时，21m m ³-，解得13m ≥，②当B ≠∅时，2111m m m <-⎧⎨-≤⎩或2123m mm <-⎧⎨≥⎩，解得103m ≤<．综上所述，实数m 的取值范围为[)0,∞+．【小问2详解】命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，故A B ⊆，所以2113m m ≤⎧⎨-≥⎩，解得2m ≤-；所以实数m 的取值范围为(],2-∞-．18.2018年8月31日，全国人大会议通过了个人所得税法的修订办法，将每年个税免征额由42000元提高到60000元.2019年1月1日起实施新年征收个税.个人所得税税率表（2019年1月1日起执行）级数全年应纳税所得额所在区间（对应免征额为60000）税率（%）速算扣除数1[]0,36000302(]36000,1440001025203(]144000,30000020X 4(]300000,42000025319205(]420000,66000030529206(]660000,96000035859207()960000,+∞45181920有一种速算个税的办法：个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数.（1）请计算表中的数X ；（2）假若某人2021年税后所得为200000元时，请按照这一算法计算他的税前全年应纳税所得额.【答案】（1）16920X =（2）153850元.【解析】【分析】（1）根据公式“个税税额=应纳税所得额×税率－速算扣除数”计算，其中个税税额按正常计税方法计算；（2）先判断他的全年应纳税所参照的级数，是级数2还是级数3，然后再根据计税公式求解.【小问1详解】按照表格，假设个人全年应纳税所得额为x 元(144000300000x ≤≤)，可得：()()20%14400020%1440003600010%360003%x X x -=-⨯+-⨯+⨯，16920X =.【小问2详解】按照表格，级数3，()30000030000020%16920256920-⨯-=；按照级数2，()14400014400010%2520132120-⨯-=；显然1321206000019212020000031692025692060000+=<<=+，所以应该参照“级数3”计算.假设他的全年应纳税所得额为t 元，所以此时()20%1692020000060000t t -⨯-=-，解得153850t =，即他的税前全年应纳税所得额为153850元.19.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，且当0x >时，()2f x >-.（1）求()0f 的值，并证明()2f x +为奇函数；（2）求证()f x 在R 上是增函数；（3）若()12f =，解关于x 的不等式()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）(0)2f =-,证明见解析（2）证明见解析（3）{1x x <-或}2x >【解析】【分析】（1）赋值法；（2）结合增函数的定义，构造[]1122()()f x f x x x =-+即可；（3）运用题干的等式，求出(3)10f =，结合（2）的单调性即可.【小问1详解】令0x y ==，得(0)2f =-.()2()2(0)20f x f x f ++-+=+=，所以函数()2f x +为奇函数；【小问2详解】证明：在R 上任取12x x >，则120x x ->，所以12()2f x x ->-.又[]11221222()()()()2()f x f x x x f x x f x f x =-+=-++>，所以函数()f x 在R 上是增函数.【小问3详解】由(1)2f =，得(2)(11)(1)(1)26f f f f =+=++=，(3)(12)(1)(2)210f f f f =+=++=.由2()(12)8f x x f x ++->得2(1)(3)f x x f -+>.因为函数()f x 在R 上是增函数，所以213x x -+>，解得1x <-或2x >.故原不等式的解集为{1x x <-或}2x >.20.已知函数()2,R f x x x k x k =-+∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性（写出结论，不需要证明）；（2）如果当[]0,2x ∈时，()f x 的最大值是6，求k 的值.【答案】（1）答案见解析（2）1或3【解析】【分析】（1）对k 进行分类讨论，结合函数奇偶性的知识确定正确答案.（2）将()f x 表示为分段函数的形式，对k 进行分类讨论，结合二次函数的性质、函数的单调性求得k 的值.【小问1详解】当0k =时，()f x ＝||2x x x +，则()f x -＝||2x x x --＝()f x -，即()f x 为奇函数，当0k ≠时，(1)f ＝|1|2k -+，(1)|1|2f k -=-+-，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|0f f k k k k +-=-+-+-=--+≠，则()f x 不是奇函数，(1)(1)|1|2|1|2|1||1|40f f k k k k --=-++++=-+++≠，则()f x 不是偶函数，∴当0k =时()f x 是奇函数，当0k ≠时，()f x 是非奇非偶函数.【小问2详解】由题设，()f x ()()222,2,x k x x k x k x x k ⎧+-≥⎪=⎨-++<⎪⎩，函数()22y x k x =+-的开口向上，对称轴为2122k kx -=-=-；函数()22y x k x =-++的开口向下，对称轴为2122k k x +=-=+-.1、当1122k k k -<+<，即2k >时，()f x 在(,1)2k-∞+上是增函数，∵122k+>，∴()f x 在[]0,2上是增函数；2、当1122k k k <-<+，即2k <-时，()f x 在1,2k ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上是增函数，∵102k-<1，∴()f x 在[]0,2上是增函数；∴2k >或2k <-，在[]0,2x ∈上()f x 的最大值是(2)2|2|46f k =-+=，解得1k =（舍去）或3k =；3、当1122k kk -≤≤+，即22k -≤≤时，()f x 在[]0,2上为增函数，令2246k -+=，解得1k =或3k =（舍去）.综上，k 的值是1或3.【点睛】研究函数的奇偶性的题目，如果要判断函数的奇偶性，可以利用奇偶函数的定义()()f x f x -=或()()f x f x -=-来求解.也可以利用特殊值来判断函数不满足奇偶性的定义.对于含有绝对值的函数的最值的研究，可将函数写为分段函数的形式，再对参数进行分类讨论来求解.21.已知函数()2f x x =-，()()224g x x mx m =-+∈R .（1）若对任意[]11,2x ∈，存在[]24,5x ∈，使得()()12g x f x =，求m 的取值范围；（2）若1m =-，对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式()200g x x n k -+≥成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）54m ⎡∈⎢⎣（2）(],4∞-【解析】【分析】（1）将题目条件转化为()1g x 的值域包含于()2f x 的值域，再根据[]11,2x ∈的两端点的函数值()()1,2g g 得到()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，从而得到()()min g x g m =，进而求出m 的取值范围；（2）将不等式()200g x x n k -+≥化简得不等式024x n k ++≥成立，再构造函数()0024h x x n =++，从而得到()0max h x k ≥，再构造函数()(){}0max max ,8n h x n n ϕ==+，求出()min n ϕ即可求解.【小问1详解】设当[]11,2x ∈，()1g x 的值域为D ，当[]24,5x ∈，()2f x 的值域为[]2,3，由题意得[]2,3D ⊆，∴()()211243224443g m g m ⎧≤=-+≤⎪⎨≤=-+≤⎪⎩，得5342m ≤≤，此时()y g x =对称轴为[]1,2x m =∈，故()()[]min 2,3g x g m =∈，即()222243g m m m =-+≤≤得1m ≤≤1m ≤≤-，综上可得54m ⎡∈⎢⎣.【小问2详解】由题意得对任意n ∈R ，总存在[]02,2x ∈-，使得不等式024x n k ++≥成立，令()0024h x x n =++，由题意得()0max h x k ≥，而()()(){}{}0max max 2,2max ,8h x h h n n =-=+，设(){}max ,8n n n ϕ=+，则()min n k ϕ≥，而(){},4max ,88,4n n n n n n n ϕ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩，易得()()min 44n k ϕϕ=-=≥，故4k ≤.即实数k 的取值范围为(],4∞-.22.已知函数()()01ax g x a x =≠+在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为1．（1）求实数a 的值；（2）若函数()()()()()210x b f x b b g x +=-+>，是否存在正实数b ，对区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在以()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形？若存在，求实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2a =（2）存在，15153b <<【解析】【分析】（1）由题意()1a g x a x =-+，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，然后分a<0，0a >两种情况讨论函数()g x 的单调性，即可得出结果；（2）由题意()()0bf x x b x=+>，可证得()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()0b f g x f u u b u ==+>，从而把问题转化为：1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max2f u f u >时，求实数b 的取值范围．结合()bf u u u=+的单调性，分109b <≤，1193b <≤，113b <<，1b ≥四种情况讨论即可求得答案.【小问1详解】由题意()11ax a g x a x x ==-++，1,15x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦①当a<0时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，所以()max 151566a ag x g a ⎛⎫==-== ⎪⎝⎭，得6a =（舍去）．②当0a >时，函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，所以()()max 1122a ag x g a ==-==，得2a =．综上所述，2a =．【小问2详解】由题意()22211x g x x x ==-++，又115x ≤≤，由（1）知函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，∴()()115g g x g ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，即()113g x ≤≤，所以函数()g x 在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦．又因为()()()()()()()()()2211111x b x x b x b x b f x b b b g x x x++++++=-+=-+=-+，∴()()20x b bf x x b x x+==+>，令120x x <<，则()()()12121212121b b b f x f x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当1x ，(2x ∈时，()121210b x x x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x >，()f x 为减函数；当1x ，)2x ∈+∞时，()121210b x x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以()()12f x f x <，()f x 为增函数；∴()f x 在(为减函数，在)+∞为增函数，设()u g x =，由（1）知1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴()()()()0bf g x f u u b u==+>；所以，在区间1,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦上任意三个实数r 、s 、t ，都存在()()f g r 、()()f g s 、()()f g t 为边长的三角形，等价于1,13u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()min max 2f u f u >．①当109b <≤时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，∴()min 133f u b =+，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >，得115b >，从而11159b <≤．②当1193b <≤时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u =，()max 1f u b =+，由()()min max 2f u f u >得77b -<<+1193b <≤．③当113b <<时，()b f u u u =+在13⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，∴()min f u ==，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得74374399b -+<<，从而113b <<．④当1b ≥时，()b f u u u =+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴()min 1f u b =+，()max 133f u b =+，由()()min max 2f u f u >得53b <，从而513b ≤<．综上，15153b <<．。
天津市部分区2022-2023学年高三上学期期末练习数学试题含答案
2022~2023学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共45分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集{1,0,1,2,3}U =-，集合{0,1}A =，{1,1,3}B =-，则()UA B ⋂=（ ）A ．{1,1}-B ．{1,3}C ．{1,3}-D ．{1,1,3}-2．“x 为有理数”是“2x 为有理数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数()22sin x xy x -=-在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．从某小区抽取100户居民用户进行月用电调查，发现他们的用电量都在50350kW h ~⋅之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示．在被调查的用户中，用电量落在区间[100,200)内的户数为（ ）A ．45B ．46C ．54D ．705．设ln0.8a =，0.8e b =，e0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c a b <<6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴长为其中一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则双曲线的方程为（ ）A ．221313x y -= B ．2213x y -= C ．221124x y -= D ．2211216x y -= 7．若2log 31x =，则33xx-+的值为（ ） A ．32B ．2C ．52D ．38．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若32S S =甲乙，则VV =甲乙（ ）A ．7B ．7C ．94D ．219．已知函数()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．519,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．194,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．114,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷（共105分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
天津市2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷(含解析)
天津市2022-2023学年高一上学期第一次月考数学试卷考试时间：120分钟；满分：120分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）一、单选题（本大题共14小题，共56.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知{|01}M x x =，{|}N x x p =，若M N ⋂=∅，则p 满足( ) A. 1p >B. 0p <C. 01p <<D. 1p <2. 给出下列命题：①若命题“p 或q 为真命题，则命题p 或命题q 均为真命题” ②命题p ：x R ∀∈，sin 1.x 则p ⌝：0x R ∃∈，使0sin 1x >；③已知函数()f x '是函数()f x 在R 上的导数，若()f x 为偶函数，则()f x '是奇函数； ④已知x R ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； 其中真命题的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 已知集合{|10}A x N x =∈<，则( ) A. 0A ∉B. A ∅∈C. {0}A ⊆D. {}A ∅⊆4. 已知集合{|||2}A x x =，2{|30}B x x x =->，则A B ⋂=( ) A. ∅B. {|3,x x >或2}x -C. {|3,x x >或0}x <D. {|3,x x >或2}x5. 设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知集合{0,1}A =，{1,2}B =，则集合{|,,}C z z x y x A y B ==+∈∈的子集个数为( )A. 7B. 8C. 15D. 167. 已知集合1{|,}24k P x x k Z ==+∈，1{|,}22k Q x x k Z ==+∈，则( ) A. P Q =B. P QC. P QD. P Q ⋂=∅8. 设0b a >>，c R ∈，则下列不等式中不一定成立的是( ) A. 1122a b <B.11c c a b->- C.22a ab b+>+ D. 22ac bc <9. 满足关系{1,2}{1,2,3,4,5}A ⊆⊆的集合的个数是( ) A. 4B. 6C. 8D. 910. 若关于x 的不等式210ax bx +->的解集是{|12}x x <<，则不等式210bx ax +-<的解集是( )A. 2{|1}3x x -<<B. {|1x x <-或2}3x >C. 2{|1}3x x -<<D. 2{|3x x <-或1}x >11. 已知集合2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=，且B A ⊆，则实数m =( )A. 11{0,,}23-B. 11{,}23-C. 11{,}23-D. 11{0,,}23-12. 使不等式110x+>成立的一个充分不必要条件是( ) A. 0x >B. 1x >-C. 1x <-或0x >D. 10x -<<13. 已知命题“x R ∃∈，214(2)04x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围是( ) A. (,0)-∞B. [0,4]C. [4,)+∞D. (0,4)14. 已知a ，b R ∈，2215a b ab +=-，则ab 最大值是( ) A. 15B. 12C. 5D. 3第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）15. 已知a R ∈，b R ∈，若集合2{,,1}{,,0}b a a a b a=-，则“20172018ab +”的值为______. 16. 当1x <-时，1()1f x x x =++的最大值为______.17. 若集合2{|320}A x ax x =++=中至多有一个元素，则a 的取值范围是______. 18. 已知集合{|12}A x x =-<<，{|11}B x x m =-<<+，若x A ∈是x B ∈成立的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是______.19. 已知2{|10}x ax ax -+<=∅，则实数a 的取值范围为__________. 20. 已知正数x ，y 满足5x y +=，则1112x y +++的最小值为______. 三、解答题（本大题共4小题，共40.0分。
2022-2023学年天津市海河名校高三年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022—2023第一学期高三数学期末质量调查一、单选题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 集合，则（）{}{}22,1,0,1,2,|20A B x x x =--=--<A B = AB.C.D.{}2,2-{}2,1,2--{}2-{}0,12. 设a ，，则“”是“”的（）b ∈R 0a b >>11a b <A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知，则的大小关系为（）0.33log 2,ln 2,2a b c ===,,a b c A. B. C. D.a b c>>c a b >>b c a>>c b a>>4. 已知函数，则的大致图像正确的是（）2()cos ln ||f x x x x =--()f xA. B.C. D.5. 在三棱锥中，平面，，且，则-P ABC PA ⊥ABC AB BC⊥2PA AB BC ===，三棱锥外接球的体积等于（）-P ABCB.D. 20π320π6. 已知函数，给出以下四个命题：()()1sin sin cos 2f x x x x =+-①的最小正周期为；()f x π②在上的值域为；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥⎣⎦③的图像关于点中心对称；()f x 11π,08⎛⎫⎪⎝⎭④的图像关于直线对称．()f x 3π8x =其中正确命题的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 47. F 1、F 2分别是双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲22x a22y b 线的左右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）8. 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，F 2:2(0)C y px p =>F C ,A B 若，则（）18FA FB ⋅=p =A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知函数，若关于的方程有四个1ln(),(0)()e ,(0)xx x f x x x --<⎧=⎨≥⎩x ()()220f x af x a a -+-=不等实根．则实数的取值范围为（ ）a A.B.C.D.()0,1()[,11,)∞∞--⋃+(]0,1(){}1,01- 二、填空题（本大题共6小题，共30分）10. 若复数满足为虚数单位），则复数的虚部是___．z (1i)=1+2i(i z -z 11.=_____________．3948(log 2log 2)(log 3log 3)++12. 已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是_______．22(nx x -13. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数:90l x -+=22:210C x y x m +++-=的值为__________.m 14. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为0,0x y >>28x y +=2425216xm mx y +>+m ________．15. 在四边形中，，，，，为的中点，ABCD //AB CD 6AB =2AD =3CD =E AD ，则_____；设点为线段上的动点，则最小19BE AC ⋅=- cos BAD ∠=P CD AP BP ⋅ 值为_____．三、解答题（本大题共5小题，共75．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知的内角的对边分别为，满足已知.ABC ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos +=a c Bb CA （1）求角的大小；A （2）若的值；cos B =sin(2)B A+（3）若，，求的周长.ABC 3a =ABC 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，P ABCD -ABCD ,AD BC AD BA ⊥∥平面，且，点在棱上（不包括端点），3,2,AD AB BC PA ===⊥ABCD 3PA =M PD 点为中点.N BC（1）若，求证：直线平面；2DM MP =MN PAB （2）求平面与平面的夹角的余弦值；CPD CPN （3）是否存在点，使与平面？若存在，求出的M NM PCD PMPD 值；若不存在，说明理由.18. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的{}n a {}n b 等比数列，．1323,18b b b =-=（1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）记，，求数列的前项和；nn n a c b =*n ∈N {}n c n n S （3）记，，证明数列的前项和．211n n n n n a d a a b ++-=*n ∈N {}n d n 12n T <19. 已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左2222:1(0)x y Ca b a b +=>>e =C 焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，F A B x （1）求椭圆的方程；C （2）若直线的斜率为，求弦的长度；AB 2-AB （3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭AB y D E y EF DF ⊥AE 圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，C G AB ABG AB 若不存在，说明理由.20已知函数()()11ln ,f x ax a x a R x=--+∈（1）若，求曲线在点处的切线方程；2a =-()y f x =()()1,1f （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；1a ≥()1f x >1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a （3）若，判断函数的零点的个数.1a e >()()1g x x f x a =++⎡⎤⎣⎦2022—2023第一学期高三数学期末质量调查一、单选题（本大题共9小题，共45分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 集合，则（）{}{}22,1,0,1,2,|20A B x x x =--=--<A B = A.B.C.D.{}2,2-{}2,1,2--{}2-{}0,1【答案】D 【解析】【分析】解二次不等式得集合，然后求即可.B A B ⋂【详解】因为，所以．{}{}2|20|12B x x x x x =--<=-<<A B ={}0,1故选：D.2. 设a ，，则“”是“”的（）b ∈R 0a b >>11a b <A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】方法1:解分式不等式，由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得结果.方法2:通过作差法可证得充分条件成立,通过举反例可说明必要条件不成立.【详解】方法1：∵11a b<∴即：110b a a b ab --=<()0ab b a -<∴或00ab b a >⎧⎨-<⎩00ab b a <⎧⎨->⎩解得：或或0b a <<0b a <<0b a>>∴由小范围能推出大范围，大范围不能推出小范围可得：是的充分而不必要条件.0a b >>11a b <方法2：∵0a b >>∴，0ab >0b a -<∴110b a a b ab --=<∴11a b<∴是的充分条件.0a b >>11a b <当，时，满足，但不满足，3a =-2b =11b a >0a b >>所以是的不必要条件.0a b >>11a b <综述：是的充分而不必要条件.0a b >>11a b <故选：A.3. 已知，则的大小关系为（）0.33log 2,ln 2,2a b c ===,,a b c A. B. C. D.a b c>>c a b >>b c a>>c b a>>【答案】D 【解析】【分析】根据放缩法得出的范围，利用对数的运算，比出和的大小，即可得出c a b 的大小关系.,,a b c 【详解】解：由题意，，321log 2log 3a ==21ln 2log e b ==0.30221c =>=∵22log 3log e 1>>∴22111log 3log ea b =<=<∴c b a >>故选：D.4. 已知函数，则的大致图像正确的是（）2()cos ln ||f x x x x =--()f xA. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值，即可判断；【详解】解：因为，所以2()cos ln ||f x x x x =--，所以()()()()22cos ln ||cos ln ||f x x x x x x x f x -=-----=--=为偶函数，函数图象关于轴对称，故BD 排除；2()cos ln ||f x x x x =--y 又，因为，所以，()22cos ln ||cos 1f e e e e e e =--=--cos 1e -<<2cos 10e -<--<，所以，故排除A ；2224e >=()2cos 10f e e e =-->故选：C5. 在三棱锥中，平面，，且，则-P ABC PA ⊥ABC AB BC ⊥2PA AB BC ===，三棱锥外接球的体积等于（）-P ABCB.D. 20π320π【答案】C 【解析】【分析】将三棱锥放入一个长方体中，求出长方体的体对角线即为长方体外接球的直径，利用球的体积公式即可求解.【详解】因为三棱锥中，平面，-P ABC PA ⊥ABC AB BC ⊥不妨将三棱锥放入一个长方体中，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，因为长方体的体对角线即为其外接球的直径，因为的长宽高分别为2PA AB BC ===，2,2所以三棱外接球的半径为-P ABCR ==所以三棱锥外接球的体积为-P ABC .3344ππ33V R ==⨯⨯=故选：C.6. 已知函数，给出以下四个命题：()()1sin sin cos 2f x x x x =+-①的最小正周期为；()f x π②在上的值域为；()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥⎣⎦③的图像关于点中心对称；()f x 11π,08⎛⎫⎪⎝⎭④的图像关于直线对称．()f x 3π8x =其中正确命题的个数是（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】由题知，进而结合三角函数性质依次讨论各选项即可.()π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】解：()()211sin sin cos sin cos sin 22f x x x x x x x =+-=+-，()11111πsin 21cos 2sin 2cos 22222224x x x x x ⎛⎫=+--=-=- ⎪⎝⎭所以的最小正周期为，①正确；()f x 2π2ππ2T ω===当，，π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，即，故②错ππ244x ⎛⎫⎛⎫-≤-≤⎪⎪⎝⎭⎝⎭π1242x ⎡⎛⎫-∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣误；当时，，故的图像关于对称，故③错误；11π8x =11ππ5π442π24x =-=-()f x 11π8x =当时，，故的图像关于对称，故④正确.3π8x =3πππ442π24x =--=()f x 3π8x =故正确命题的个数是2个.故选：B7. F 1、F 2分别是双曲线-=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线l 与双曲22xa 22y b 线的左右两支分别交于A 、B 两点，若△ABF 2是等边三角形，则该双曲线的离心率为（ ）【答案】D 【解析】【详解】如图，设等边三角形边长为，设，根据双曲线的定义有m 1AF x=，解得.在三角形中，由余弦定理得2m x m m x a +-=-=4,2m a x a ==12BF F ，化简得.()()()222π264264cos3c a a a a =+-⋅⋅⋅22428,c a e ==8. 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，F 2:2(0)C y px p =>F C ,A B 若，则（）18FA FB ⋅=p =A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】结合已知条件写出直线的方程，然后与抛物线方程联立，最后结合韦达定理AB 和抛物线定义即可求解.【详解】由题意知,，则直线的方程为：，(,0)2p F AB 2p y x =-设，，11(,)A x y 22(,)B x y 将代入的方程得，，2p y x =-C 22304p x px -+=则，，123x x p +=2124p x x =因为，且，12p FA x =+22pFB x =+18FA FB ⋅=所以，整理得，12()()1822p px x ++=()212121842p p x x x x +++=故，结合，解得.22318424p p p p +⋅+=0p >3p =故选：C.9. 已知函数，若关于的方程有四个1ln(),(0)()e ,(0)x x x f x x x --<⎧=⎨≥⎩x ()()220f x af x a a -+-=不等实根．则实数的取值范围为（ ）a A.B.C.D.()0,1()[,11,)∞∞--⋃+(]0,1(){}1,01- 【答案】C 【解析】【分析】画出函数的图象，利用换元法，并构造函数，通过讨论22()g t t at a a =-+-的取值范围即可求解.t 【详解】当，0x ≥()11()e ,()1e ,x x f x x f x x --'==-令解得，()1()1e 0x f x x -'=->01x ≤<令解得，()1()1e 0x f x x -'=-<1x >所以函数在单调递增，单调递减，()f x [)0,1()1,+∞，当时，，max ()(1)1f x f ==0x ≥()0f x >作出函数的图象如下，1ln(),(0)()e ,(0)xx x f x x x --<⎧=⎨≥⎩关于的方程有四个不等实根，x ()()220f x af x a a -+-=令，，则有两个不相等的实数根，()t f x =22()g t t at a a =-+-()0g t =（i ），，此时各有2个根，满足题意，10t =21t =()0,()1f x f x ==所以解得22(0)0(1)10g a a g a a a ⎧=-=⎨=-+-=⎩1,a =（ii ），()()()120,1,,01,t t ∈∈-∞+∞ 由，()()2110g a =->则函数的一个根在，另一个根在，()0g t =()0,1(),0∞-所以解得，2(0)0g a a =-<01a <<综上，.(]0,1a ∈故选:C.二、填空题（本大题共6小题，共30分）10. 若复数满足为虚数单位），则复数的虚部是___．z (1i)=1+2i(i z -z 【答案】##1.532【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的概念可求出结果.z 【详解】因为，(1i)12i z -=+所以，12i (12i)(1i)1i (1i)(1i)z +++==--+13i2-+=所以复数的虚部为.z 32故答案为：3211.=_____________．3948(log 2log 2)(log 3log 3)++【答案】.54【解析】【分析】利用换底公式化为常用对数，通分后进行化简计算．【详解】3948(log 2log 2)(log 3log 3)++lg 2lg 2lg 3lg 3()lg 3lg 9lg 4lg8=++，lg 2lg 2lg 3lg 3()(lg 32lg 32lg 23lg 2=++3lg 25lg 352lg 36lg 24=⋅=故答案为：．5412. 已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是_______．22(nx x -【答案】60【解析】【分析】根据二项式系数的和的性质，求得，结合二项展开式的通项，即可求解.6n =【详解】由的展开式的二项式系数之和为，可得，解得，即22()nx x -64264n =6n =262()x x-则展开式第三项为，22422266662()()(2)60C x C x x x -=-=所以展开式第三项的系数是.60故答案为：.6013. 若直线被圆截得线段的长为6，则实数:90l x -+=22:210C x y x m +++-=的值为__________.m 【答案】25【解析】【分析】先根据配方法确定圆的圆心和半径，然后再求出点到直线的距离后用弦长公式即可.【详解】，圆心()()2222210,10x y x m x y m m +++-=∴++=>()1,0,r -=又根据弦长公式4,d ==AB =625.m =∴=故答案为：2514. 已知，且恒成立，则实数的取值范围为0,0x y >>28x y +=2425216xm mx y +>+m ________．【答案】31m -<<【解析】【分析】利用基本不等式求出的最小值，再根据不等式恒成立转化为一元二次不42516xx y +等式即可求解.【详解】因为，所以，28x y +=82x y =-所以，()2582425442525161628y x x y xy x y -+=+=+-因为，()42514251825149292828288229y x x y x y x y x y ⎡⎛⎫⎛=⎫+=++≥+=⎢ ⎪ ⎪⎝⎣+⎝⎭+⎭当且仅当，即，即时取得等号，8252y x xy =45y x =1620,77x y ==所以有最小值为3，4252528x y +-因为恒成立，所以，即，2425216x m m x y +>+232m m >+2230m m +-<解得，31m -<<故答案为: .31m -<<15. 在四边形中，，，，，为的中点，ABCD //AB CD 6AB =2AD =3CD =E AD ，则_____；设点为线段上的动点，则最小19BE AC ⋅=- cos BAD ∠=P CD AP BP ⋅ 值为_____．【答案】 ①. ②. ．13499-【解析】【分析】以为基底，将用基底表示，根据已知结合向量的数量积运算律，,AB AD ,BE AC可求出；设用基底表示，求出关于cos BAD ∠(01),,DP DC AP BP λλ=≤≤ AP BP ⋅ 的二次函数，即可求出其最小值.λ【详解】为的中点，，E AD 12BE AE AB AD AB∴=-=-，，，//AB CD 6AB =3CD =，12AC AD DC AD AB∴=+=+ 11()()22BE AC AD AB AD AB ∴⋅=-⋅+ 22113224AD AB AB AD =--⋅，169cos 19BAD =--∠=-；3cos 1BAD =∴∠设，(01),2DP DC AP AD DC AD ABλλλλ=≤≤=+=+ ，(1)2BP AP AB AD ABλ=-=+-()[(1)]22AP BP AD AB AD AB λλ∴⋅=+⋅+- 22(1)(1)22AD AB AB ADλλλ=+-+-⋅ ，227499149(,0199λλλλ=-=--≤≤ 时，取得最小值为.79λ∴=AP BP ⋅ 499-故答案为：；.13499-【点睛】本题考查向量基本定理、向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题（本大题共5小题，共75．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. 已知的内角的对边分别为，满足已知.ABC ,,A B C ,,a b c cos cos 2cos +=a c Bb C A （1）求角的大小；A （2）若的值；cos B =sin(2)B A +（3）若，，求的周长.ABC 3a =ABC 【答案】（1）；（2；（3）.3π8【解析】【分析】(1)根据正弦定理，将题中条件进行转化，得到，再sin sin cos sin cos 2cos +=AC B B C A 根据三角形内角和为以及诱导公式，即可求得角的大小；πA (2)利用同角三角函数关系式即可得到，再利用正弦和角公式以及余弦倍角公式即可sin B 求得结果；(3)利用三角函数面积公式即可得到的值，再利用余弦定理即可求得的值，进而得bc b c +到的周长.ABC 【详解】解：（1），cos cos 2cos ac B b C A +=由正弦定理得：，sin sin cos sin cos 2cos +=A CB BC A 即，()sin sin 2cos A B C A +=又 ，sin()sin B C A += ，sin sin 2cos A A A =，，sin 0A ≠ 1cos 2A ∴=又，0A π<< ；3A π∴=（2）由题意知：sin B ==sin 22sin cos B B B ∴==又，21cos 22cos 13B B =-=-；sin(2)sin 2sin 2cos cos 2sin 333B A B B B πππ⎛⎫∴+=+=+=⎪⎝⎭（3），11sin 22S bc A bc ===，163bc ∴=由余弦定理得：，22222cos ()22cos =+-=+--a b c bc A b c bc bc A 即，2169()33b c =+-⨯解得：，5b c +=的周长为.ABC ∴ 8a b c ++=【点睛】方法点睛：与面积有关的问题，一般要用到正弦定理和余弦定理进行边和角的互化.17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，P ABCD -ABCD ,AD BC AD BA ⊥∥平面，且，点在棱上（不包括端点），3,2,AD AB BC PA ===⊥ABCD 3PA =M PD 点为中点.N BC （1）若，求证：直线平面；2DM MP =MN PAB （2）求平面与平面的夹角的余弦值；CPD CPN （3）是否存在点，使与平面？若存在，求出的M NM PCD PMPD 值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明过程见详解（2（3）存在，，理由见详解.13PM PD =【解析】【分析】(1) 取的一个靠近点的三等分点，连接，利用平行的传递性得PA P Q ,MQ QB 到，进而得到四边形为平行四边形，则，再利用线面平行BN MQ ∥MQBN MN BQ ∥的判定定理即可求解；(2)根据题意，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，代入向量CPD CPN 的夹角公式即可求解；(3)假设存在点，设，根据（2）中平面的法向量以及题中与平面M PMPD λ=CPD NM，求出即可求解.PCD λ【小问1详解】取的一个靠近点的三等分点，连接，PA P Q ,MQ QB 因为，所以且,2DM MP = MQ AD ∥113QM AD ==又因为，且，点为中点，AD BC ∥2BC =N BC 所以且，则四边形为平行四边形，BN MQ ∥=BN MQ MQBN 所以，平面，平面，所以直线平面.MN BQ ∥MN ⊄PAB QB ⊂PAB MN PAB 【小问2详解】如图所示，以点为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以A AB x AD y 所在直线为轴建立空间直角坐标系，APz 则，又为的中点，则，(2,0,0),(2,2,0),(0,3,0),(0,0,3)B C D P N BC (2,1,0)N 所以，,(0,3,3),(2,1,0),(2,1,3)PD CD PN =-=-=- (2,2,3)PC =- 设平面的法向量为，则，CPD 1(,,)n x y z =11·330·20PD n y z CD n x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩令，则，1x =1(1,2,2)n =设平面的法向量为，则，CPN 2(,,)n a b c =22·2230·230PC n a b c PN n a b c ⎧=+-=⎪⎨=+-=⎪⎩ 令，则，3a =2(3,0,2)n =所以，121212cos ,n n n n n n <>===所以平面与平面.CPD CPN 【小问3详解】存在，.13PM PD=假设存在点(不包括端点)，设，即，，M PMPD λ=PM PD λ= ()0,1λ∈由（2）得，且平面的法向量，(0,3,0),(0,0,3),(2,1,0)D P N CPD 1(1,2,2)n =，则，(0,3,3),(0,3,3)PD PM λλ=-=-0,3,(3)3M λλ-所以，因为与平面，(2,13,33)MN λλ=--NM PCD 则，111sin cos ,MN n MN n MN n θ=<>===⋅ 整理得：，解得：或（舍去），23410λλ-+=13λ==1λ故存在点，使与平面，此时.M NM PCD 13PM PD=18. 已知数列是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列是公比大于0的{}n a {}n b 等比数列，．1323,18b b b =-=（1）求数列和的通项公式；{}n a {}n b （2）记，，求数列的前项和；nn n a c b =*n ∈N {}n c n n S （3）记，，证明数列的前项和．211n n n n n a d a a b ++-=*n ∈N {}n d n 12n T <【答案】（1）,21n a n =-3nnb =（2）113n nn S +=-（3）证明见解析【解析】【分析】(1)根据等差等比数列通项公式直接求解；(2)利用错位相减法求和；(3)利用裂项相消求和.【小问1详解】设公差为，公比为，d q则由题可得数列的前8项的和，{}n a 11878828642a d a d ⨯+=+=因为，所以，所以，2d =11a =12(1)21n a n n =+-=-又因为，2132113,18b b b b q b q =-=-=所以解得或（舍），260q q --=3q =2q =-所以.1333n n n b -=⨯=【小问2详解】由（1）得，213n n n c -=所以，12n n S c c c =+++ 即，，21321333n n n S -=+++ 231113213333n n n S +-=+++ 两式相减得，123111111212222112122299321333333333313n n n n n n n n n S -+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪--+⎝⎭⎢⎥=++++-=+-=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦所以，113n n n S +=-【小问3详解】由（1）得21112(2)222111.(21)(21)3(21)(21)32(21)3(21)3n n n n n n n n n a n n d a a b n n n n n n +-+⎡⎤-+-+====-⎢⎥-+⋅-+⋅-⋅+⋅⎣⎦则123n nT d d d d =++++ 0112231111111111()(((2133333535373(21)3(21)3n n n n -⎡⎤=-+-+-++-⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⋅+⋅⎣⎦，0111()213(21)3n n =-⨯+⋅.1122(21)3n n =-+⋅因为所以102(21)3n n >+⋅111.22(21)32n nT n =-<+⋅19. 已知椭圆的离心率，短轴长为，椭圆的左2222:1(0)x y C a b a b +=>>e=C 焦点为，右顶点为，点在椭圆位于轴上方的部分，F A B x （1）求椭圆的方程；C （2）若直线的斜率为，求弦的长度；AB 2-AB （3）若直线与轴交于点，点是轴上一点，且满足，直线与椭AB y D E y EF DF ⊥AE 圆交于点.是否存在直线，使得的面积为2，若存在，求出直线的斜率，C G AB ABG AB 若不存在，说明理由.【答案】（1）22142x y +=（2（3）存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率AB ABGAB k =【解析】【分析】（1）由已知有，解方程组即可；2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩（2）直线的方程为，与椭圆方程联立，由弦长公式求解即可；AB ()()20y k x k =-<（3）由题意求出的坐标，进而可得直线的方程为，并与与椭圆方程,D E AE 12xky +=联立，可得点坐标，由此可判断关于原点对称，故直线过原点，G ,B G BG 所以，令求解即可()2180212ABG B G k S OA y y k k -=-=<+ ()282012ABG k S k k -==<+ 【小问1详解】由题意可得，2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得，2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆的方程为；C 22142x y +=【小问2详解】由（1）可知，设，直线的方程为()()2,0,A F (),BB B xy AB ，()()20y k x k =-<由得，()221422x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩()2222128840k xk x k +-+-=所以，，228412A B k x x k -⋅=+22812A B k x x k +=+所以AB =====【小问3详解】由（2）可知，即，228412A B k x x k -⋅=+224212B k x k -=+所以，即，22242421212B k ky k k k ⎛⎫--=-= ⎪++⎝⎭222424,1212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭直线的方程为，令，解得，即，AB ()()20y k x k =-<0x =2y k =-()0,2D k -设，由题意有，()0,EE y()()2220E E EF DF y k ky ⋅=-⋅=-=解得，即，1E y k =10,E k ⎛⎫ ⎪⎝⎭进而可得直线的方程为，AE 12xky +=由得，2214212x y x ky ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()221240k y ky +-=解得，进而，即，2412G k y k =+222412G k x k -=+222244,1212k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为，，222424,1212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭222244,1212k k G k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以关于原点对称，故直线过原点，,B G BG 所以，()2222811448202212121212ABG B G k k k kS OA y y k k k k k --=-=⨯⨯-==<++++ 当时，即，()282012ABG kS k k -==<+ ()224100kk k ++=<解得，k ===所以存在直线，使得的面积为2，此时直线的斜率AB ABG AB k =20. 已知函数()()11ln ,f x ax a x a R x=--+∈（1）若，求曲线在点处的切线方程；2a =-()y f x =()()1,1f （2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围；1a ≥()1f x >1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦a （3）若，判断函数的零点的个数.1a e >()()1g x x f x a =++⎡⎤⎣⎦【答案】（1）；（2）；（3）当时，函数恰有1个零点．=3y -2a >1a e >()g x【解析】【分析】（1）当时，对求导，求出切线的斜率，再利用点斜式求出切线方程；2a =-()f x （2）若，且在区间，上恒成立，即：在，上的最小值大于1a ()1f x >1[e ]e ()f x 1[e ]e 1；利用导数求判断函数的最小值．()f x （3）分类讨论判断的单调性与函数的最小值，从而验证在区间上单调递()g x '()g x (0,)+∞增．再构造新函数，证明，进而判断函数是否穿过()3(2ln 6)h a e a a =-+()0h a >()g x 轴即可．x 【详解】解：（1）若，则，2a =-1()2ln f x x x x =--+()13f =-所以，所以，所以切线方程为2(21)(1)()x x f x x -+-'=()10f '==3y -（2）依题意，在区间上1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦() 1.min f x >因为，．222(1)1(1)(1)()ax a x ax x f x x x -++--'==1a 令得，或．()0f x '=1x =1x a =若，则由得，；由得，．a e ()0f x '>1x e < ()0f x '<11x e < 所以，满足条件；()()111min f x f a ==->若，则由得，或；由得，1a e <<()0f x '>11x e a < 1x e < ()0f x '<11.x a <<，()1(),1min f x min ff e ⎧⎫⎛⎫∴=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭依题意，即，所以．()1111f e f ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪>⎩212e a e a ⎧>⎪+⎨⎪>⎩2e a <<若，则．1a =()0f x '所以在区间上单调递增，，不满足条件；()f x 1[,]e e 1()()1min f x f e =<综上，．2a >（3），．()0,x ∈+∞2()(1)ln (1)1g x ax a x x a x =-+++-所以．设，()2(1)ln g x ax a x '=-+()2(1)ln m x ax a x =-+．12(1)()2a ax a m x a x x +-+'=-=令得．()0m x '=12a x a +=当时，；当时，．102a x a +<<()0m x '<12a x a +>()0m x '>所以在上单调递减，在上单调递增．()g x '1(0,)2a a +1(,)2a a ++∞所以的最小值为．()g x '11((1)(1ln )22a a g a a a ++'=+-因为，所以．1a e >1111e e22222a a a +=+<+<所以的最小值．()g x '11()(1)(1ln )022a a g a a a ++'=+->从而，在区间上单调递增．()g x (0,)+∞又，5210352111()(62ln )1a g a e a e a e a +=++-设．()3(2ln 6)h a e a a =-+则．令得．由，得；32()e h a a '=-()0h a '=32a e =()0h a '<320e a <<由，得．所以在上单调递减，在上单调递增．()0h a '>32e a >()h a 32(0,)e 32(,)e +∞所以．32()()22ln 20min h a h e ==->所以恒成立．所以，．()0h a >3e 2ln 6a a >+32ln 61e a a +<所以．527272272111111111(1110a g e a e e a e e e a e e e +<+-=++-<++-<又，所以当时，函数恰有1个零点．()120g a =>1a e >()g x 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
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2022-2023学年天津市第一中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．若{}24xA x =<，{}12B x x =∈-<N ，则A B =（ ）A ．{}12x x -<<B ．{}0,1C ．{}1D ．{}13x x -<<【答案】B【分析】分别解指数不等式与绝对值不等式，列举法写出集合B ，再求交集可得结果. 【详解】∵242x x <⇒<，|1|213x x -<⇒-<< ∴{|2}A x x =<，{0,1,2}B = ∴{0,1}A B =. 故选：B.2．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为（ ） A ．x ∃∈R ，210x x ++≥ B ．x R ∃∉，210x x ++≥ C ．x ∀∈R ，210x x ++≥ D ．x R ∀∉，210x x ++≥【答案】C【分析】将存在量词改为全程量词，结论中范围改为补集即可得解. 【详解】“x ∃∈R ，210x x ++<”的否定为“x ∀∈R ，210x x ++≥”， 故选：C.3．已知3cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2sin 3πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．35B ．45C ．35 D ．45-【答案】C【分析】利用诱导公式化简所求表达式，结合已知条件得出正确选项. 【详解】因为23sin sin cos cos 362665πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 故选：C.【点睛】本小题主要考查利用诱导公式进行化简求值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题4．已知在三角形ABC 中，1sin 3A =，则()cosBC +的值等于（ ）A B ．C ．D ．89【答案】C【分析】利用三角形内角和定理、诱导公式和同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】因为在三角形ABC 中，πA B C ++=，则πC B A +=-， 所以()cos =cos(π)cos B C A A +-=-，又1sin 3A =，所以cos A ==所以()cos =B C +± 故选：C .5．若0.62a =，πlog 3b =，22πlog sin 3c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A【分析】利用指数、对数的单调性，以及三角函数特殊值，即可得出结果. 【详解】解：0.60221a =>=， πππ0log 1log 3log π1=<<=，01b <<，2222log sin πlog log 103c ==<=，∴a b c >>， 故选：A.6．要得到函数()sin(2)4f x x π=+的图象，可将函数()cos2g x x =的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向左平移8π个单位 C ．向右平移4π个单位D ．向右平移8π个单位【答案】D【分析】先将cos2x 转化为sin[2()]4x π+，由此根据三角函数图像变换的知识判断出正确选项.【详解】()cos2sin(2)sin[2()]24g x x x x ππ==+=+，()sin[2()]8f x x π=+，因为()()848x x πππ+=+-，所以需要将()g x 的图象向右平移8π个单位. 故选：D【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.7．已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，0πϕ≤<2，若对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，则ϕ=（ ）A ．π6B ．5π6C ．7π6D ．11π6【答案】D【分析】根据题意可知，函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，所以2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，根据0πϕ≤<2即可求得ϕ的值.【详解】由函数()()sin 2f x x ϕ=+对x ∀∈R ，()π3f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立可知函数()()sin 2f x x ϕ=+在π3x =时取最大值，即ππsin 2133f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，2ππ22π,Z 3k k ϕ⨯+=+∈，即π2ππ2π2π,Z 236k k k ϕ=-+=-+∈ 又因为0πϕ≤<2， 所以1k =时，π611ϕ= 故选：D 8．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->，则函数()f x 的定义域为R ，()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项，当02x π<<时，sin 0x >，则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A.9．已知函数()()πsin 2cos 206f x x x ωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭在[]0,π内有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．411,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．411,36⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．513,36⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】先化简函数式，然后根据x 的范围求出π23x ω+的范围，()f x 在[]0,π有且仅有3个零点，再利用正弦函数相关知识求ω的范围．【详解】πππ3π()sin(2)cos2sin 2cos cos2sin cos 2cos2)66623f x x x x x x x x ωωωωωωωω=++=++++，因为当[]0,πx ∈时，πππ2,2π333x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 在[]0,π上有且仅有3个零点，所以π3π2π4π3ω+<，综上：43611ω<， 故选：A10．已知函数()11,02lg ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在不相等的实数a ，b ，c ，d 满足()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（ ） A ．()0,+∞B ．812,10⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．612,10⎛⎤- ⎥⎝⎦D ．810,10⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】将问题转化为y m =与|()|f x 图象的四个交点横坐标之和的范围，应用数形结合思想，结合对数函数的性质求目标式的范围.【详解】由题设，将问题转化为y m =与|()|f x 的图象有四个交点，1,221,20|()|2lg ,01lg ,1xx xx f x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪+-<≤=⎨⎪-<≤⎪⎪>⎩，则在(,2]-∞-上递减且值域为[0,)+∞；在(2,0]-上递增且值域为(0,1]；在(0,1]上递减且值域为[0,)+∞，在(1,)+∞上递增且值域为(0,)+∞；|()|f x 的图象如下：所以01m <≤时，y m =与|()|f x 的图象有四个交点，不妨假设a b c d <<<， 由图及函数性质知：142011010a b c d -≤<-<≤<≤<<≤，易知：4a b +=-，101(2,]10c d +∈， 所以61(2,]10a b c d +++∈-. 故选：C二、填空题11．120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++= ⎪⎝⎭___________.【答案】4【分析】根据指数对数运算性质化简计算即可【详解】120318(π1)lg2lg52-⎛⎫+--++ ⎪⎝⎭()()()21313212lg 25--=+-+⨯4121=+-+ 4=故答案为：4.12．古代文人墨客与丹青手都善于在纸扇上题字题画，题字题画的部分多为扇环．已知某扇形的扇环如图所示，其中外弧线的长为60cm ，内弧线的长为20cm ，连接外弧与内弧的两端的线段均为18cm ，则该扇形的中心角的弧度数为____________．【答案】209【分析】根据扇形弧长与扇形的中心角的弧度数为α的关系，可求得9cm OC =，进而可得该扇形的中心角的弧度数. 【详解】解：如图，依题意可得弧AB 的长为60cm ，弧CD 的长为20cm ，设扇形的中心角的弧度数为α 则,AB OA CD OC αα=⋅=⋅，则60320OA OC ==，即3OA OC =． 因为18cm AC =，所以9cm OC =，所以该扇形的中心角的弧度数209CD OC α==． 故答案为：209. 13．已知tan 2θ=，则2sin cos sin sin θθθθ++的值为______.【答案】2310【分析】进行切弦互化即可求值【详解】22222sin sin tan 4cos 1sin θθθθθ===-，∴24sin 5θ=，∴22sin cos 11423sin 1sin 1sin tan 2510θθθθθθ++=++=++=.故答案为：231014．函数()2sin cos f x x x =+在区间2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是______.【答案】14##0.25【分析】由题得()2cos cos 1f x x x =-++，转化为求函数()21g t t t =-++，12[]2t ∈-的最小值得解.【详解】解：()221cos cos cos cos 1f x x x x x =-+=-++，设π212cos ,[,π],[432t x x t =∈∴∈-，所以()21g t t t =-++，12[2t ∈-.二次函数抛物线的对称轴为112(1)2t =-=⨯-, 由于111112424g ⎛⎫-=--+= ⎪⎝⎭，212211124g +=-=>⎝⎭.所以函数的最小值是14.故答案为：1415．已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，若实数a 满足()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______． 【答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为定义在R 上的偶函数，从而将所求不等式化为()()32log 21f a f ≤；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定()f x 在[)0,∞+上单调递增，由偶函数性质可知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可得3log 1a ≤，解不等式即可求得结果. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()()21ln 11f x x f x x-=+-=+， f x 为定义在R 上的偶函数，()()()()313333log log log log 2log f a f a f a f a f a ⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭；当0x ≥时，21y x =+单调递增，()2ln 1y x ∴=+在[)0,∞+上单调递增；又11y x=+在[)0,∞+上单调递减，f x 在[)0,∞+上单调递增，()f x 图象关于y 轴对称，f x 在(],0-∞上单调递减；则由()()32log 21f a f ≤得：3log 1a ≤，即31log 1a -≤≤，解得：133a ≤≤，即实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16．已知关于x 函数()322253sin x tx x x tf x x t++++=+在[]2022,2022-上的最大值为M ，最小值N ，且2022+=M N ，则实数t 的值是______.【答案】1011【分析】先利用常数分离法化得函数3253sin ()x x x f x t x t ++=++，再构造函数()3253sin x x xg x x t++=+，判断得()g x 为奇函数，从而利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为()()233222253sin 53sin t x t x x x x tx x x t f x x t x t++++++++==++3253sin x x x t x t ++=++，[]2022,2022x -∈，令()3253sin x x xg x x t++=+，[]2022,2022x -∈，则()()f x g x t =+，因为()g x 定义域关于原点对称，()33225()3()sin()53sin ()()x x x x x xg x g x x t x t-+-+-----===--++， 所以()g x 是在[]2022,2022-上的奇函数， 故由奇函数的性质得()()max min 0g x g x +=，所以()()max min max min ()()2022M N f x f x g x t g x t +=+=+++=， 所以22022t =，则1011t =. 故答案为：1011.【点睛】关键点睛：由于奇函数的图像关于原点对称，所以其最大值与最小值也关于原点对称，这一性质是解决本题的关键所在.三、解答题17．已知0,022ππαβ<<<<，且3cos ,cos()510ααβ=+=. (1)求sin 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；(2)求β的值.【答案】 (2)4πβ=.【分析】（1）由同角平方关系可得4sin 5α，再由二倍角正余弦公式有7cos 225α=-、24sin 225α=，最后利用和角正弦公式求值.（2）由题设可得sin()αβ+=，根据()βαβα=+-，结合差角余弦公式求出β对应三角函数值，由角的范围确定角的大小. 【详解】（1）由02πα<<，3cos 5α=，则4sin 5α， 所以27cos 22cos 125αα=-=-，24sin 22sin cos 25ααα==，而17sin 22cos 2)425αααπ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭（2）由题设0αβ<+<π，而cos()αβ+=sin()10αβ+=，而cos cos[()]cos()cos 3sin (45)si 5n βαβααβααβα=+-=+++==又02βπ<<，则4πβ=.18．已知函数ππ())cos()sin(2π)(0)44f x x x x ωωωω=+⋅+-+>，且函数()f x 的最小正周期为π．(1)求函数()f x 的解析式； (2)若将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值，并指出此时x 的值．【答案】(1)()2sin(2)3f x x π=+(2)0x =时，最小值为 512x π=时，最大值为 2．【分析】（1）利用三角恒等变换可得π()2sin(2)3f x x ω=+，再由最小正周期可得解；（2）利用三角函数的图象变换可得π()2sin(2)3g x x =-，再利用整体法可得解.【详解】（1）∵函数ππ())cos()sin(2π)44f x x x x ωωω=+⋅+-+ππ)sin 22sin 22sin(2)23x x x x x ωωωωω=++=+=+的最小正周期为π，∴2ππ2ω=，解得1ω=，π()2sin(2)3f x x ∴=+. （2）将函数()f x 的图象向右平移π3个单位长度， 得到函数πππ()2sin 2()2sin(2)333g x x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦的图象，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故当233x ππ-=-，即当0x =时，函数()g x 取得最小值为当ππ232x -=，即当5π12x =时，函数()g x 取得最大值为 2．19．已知函数()2cos 2cos f x x x x =+. (1)求函数()f x 的周期和单调递减区间；(2)将()f x 的图象向右平移6π个单位，得到()g x 的图象，已知()02313g x =，0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求0cos2x 值.【答案】(1)π，()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z(2)【分析】（1）首先利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）首先根据三角函数的平移变换规则求出()g x 的解析式，根据()02313g x =，得到05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据同角三角函数的基本关系求出0cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭，最后根据两角和的余弦公式计算可得；【详解】（1）解：∵()2cos 2cos f x x x x =+2cos 21x x =++122cos 212x x ⎫=++⎪⎪⎝⎭2sin 216x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以函数的最小正周期22T ππ==， 令()3222262k x k k πππππ+≤+≤+∈Z ，解得()263k x k k ππππ+≤≤+∈Z . 故函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z . （2）解：由题意可得()2sin 212sin 216666g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∵()002sin 2163231g x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，∴05sin 2613x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∵0,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以052266x πππ≤-≤，则012cos 2613x π⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，因此0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦125113132=-⨯=. 20．已知函数2()1mx nf x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =．（1）求()f x 的解析式；（2）已知0a >，0b >，且128a b+=，若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，求实数t 的取值范围．【答案】（Ⅰ）22()1x f x x =+；（Ⅱ）(2⎤⎦． 【解析】（1）根据题意分析可得()()0011f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解可得m 、n 的值，则可得出函数()f x 的解析式； （2）因为128a b +=，所以112282b b a a a b ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，展开利用基本不等式可得122b a +≥， 则只需使1()2f t >，然后求解不等式即可解得实数t 的取值范围． 【详解】解：（1）根据题意，函数2()1mx n f x x +=+是定义在[]1,1-上的奇函数， 则(0)0f =，可得0n =，则2()1mx f x x =+， 又由()11f =得，则12m =，可得2m =， 则22()1x f x x =+． （2）因为0a >，0b >，且128a b+=，所以1121211222828282b b b a a a a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当22b a a b =，即14a =，12b =时，等号成立， 若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，则1()2f t >，即22112t t >+，解得：22t <[]1,1t ∈-，所以实数t 的取值范围是(2⎤⎦．【点睛】本题主要考查根据函数奇偶性求解函数的解析式，考查基本不等式的运用，解答本题时注意以下几点：（1）当奇函数()f x 在0x =处有意义时，则有()00f =；（2）若存在a ，b 使()2b f t a >+成立，只需使min ()2b f t a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，然后根据128a b +=，利用基本不等式求解2b a +的最小值．。