判定正定二次型的三种方法

判定正定二次型的三种方法

1.行列式法

对于给定的二次型f（x1,x2,...，xn）=xtax，写出它的矩阵，根据对称矩阵的所有顺序主子式是否全大于零来判定二次型 (或对称矩阵)的正定性。

2.正惯性指数法

对于给定的二次型，先将化为标准形，然后根据标准形中平方项系数为正的个数是否等于

通过正交变换，将二次型化成标准形后，标准形为平方项的系数就是二次型矩阵的特征值。因此，可以先求二次型矩阵的特征值，然后根据大于零的特征值个数与否等同于

定义：设有实二次型,如果对于任意一组不全为零的实数,都有f(x)＞0,则称此二次型为正定二次型,并把其对称矩阵a称为正定矩阵.

方法一：利用二次型的等距矩阵的特征值去推论.

先写出二次型的矩阵:

由于:

可得其全部特征值:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

方法二：利用二次矩阵的各阶顺序主子式来判定.

由于此二次型的矩阵为:

因为它的个阶顺序主子式:＞0,＞0,＞0

故此二次型为正定二次型.

除了正定二次型外,还有其他类型的二次型.

定义：建有实二次型,如果对于任一一组不全为零的实数,都存有f(x)＜0,则表示此二次型为奇函数二次型,等距矩阵a称作奇函数矩阵；如果都存有f(x)≥0,则表示此二次型为半正定二次型,并说其矩阵为半正定矩阵；如果都存有f(x)≤0,则表示此二次型为半奇函数二次型,并说其矩阵为半奇函数矩阵。