二阶线性微分方程解的结构

二阶线性微分方程解的结构
()d ()d *()()d p x x p x x y x e e f x x -⎰⎰=⎰。

容易验证，*()y x 是方程（A.1）的一个特解。

这符合线性方程解的结构规律。

例1 求解一阶常微分方程
'21y y -=
解 此时()2()1p x f x =-=，,由（A.5）式，解为
2222()1d 12x x x x y x Ce e e x
Ce -=+⋅=-⎰‘
其中C 是任意常数。

A.2 二阶线性常微分方程
将具有以下形式的方程
"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，， （A.6） 称为二阶线性常微分方程，其中(),(),()p x q x f x 都是变量x 的已知连续函数。

称
"()'()0y p x y q x y x I ++=∈，， （A.7） 为与（A.6）相伴的齐次方程.
A ．2．1 二阶线性微分方程解的结构
首先讨论齐次方程（A.7）解的结构。

定理A.2 如果函数12()()y x y x 与是线性齐次方程（A.7）的两个解，则函数1122()()y c y x c y x =+仍为该方程的解，其中12,c c 是任意的常数。

定理1 说明齐次线性常微分方程（A.7）的解如果存在的话，一定有无穷多个。

为了说明齐次线性常微分方程（A.7）通解的结构，首先给出函数线性无关
的定义。

定义A.1设函数12(),(),
,()n y x y x y x 是定义在区间I 上的n 个函数，如果存在n 个不全为零的常数
12,,n k k k ，，使得1122()()()0n n k y x k y x k y x ++=在区间I 上恒成立，则称函数12(),(),,()n y x y x y x 在区间上线性相关，否则称为线性无关。

例如函数221cos ,sin x x ，在整个数轴上是线性相关的，而函数x x e e -和在任
何区间(,)a b 内是线性无关的。

特别的，对于两个函数的情形，它们线性相关与否，只需要看它们的比值是否为常数即可，比值为常数，那么它们线性相关，否则线性无关。

有了函数线性无关的概念，就有如下二阶线性齐次微分方程（A.7）通解结构的定理。

定理A.3假设线性齐次方程（A.7）中，函数()()p x q x 与在区间I 上连续，则方程（A.7）一定存在两个线性无关的解。

类似于代数学中齐次线性方程组，二阶线性齐次常微分方程的解集合也存在基础解系。

定理A.4 若12()()y x y x 与是二阶线性齐次常微分方程（A.7）的两个线性无关的特解，则1122()()y c y x c y x =+是该方程的通解，其中12,c c 是任意的常数。

从定理A.4可以看出二阶线性齐次常微分方程（A.7）的任何两个线性无关的特解构成其基础解系。

关于二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解，有如下结论
定理A.5 若函*()y x 是方程（A.6）的一个特解，()Y x 是方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，则()()*()y x y x Y x =+是二阶线性非齐次常微分方程
（A.6）的通解。

从定理A.4,A.5可以得到求解二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的通解的一般步骤：
（１） 求解与（A.6）相伴的齐次方程（A.7）的线性无关的两个特解
12()()y x y x 与，得该齐次方程的通解1122()()()Y x c y x c y x =+；
（２） 求二阶线性非齐次常微分方程（A.6）的一个特解*()y x ，那么方程（A.6）
的通解为()()*()y x y x Y x =+
对于一些相对复杂的问题，如下的线性微分方程的叠加原理是非常有用的。

定理A.6 设二阶线性非齐次常微分方程为
12"()'()()()y p x y q x y f x f x ++=+, （A.8） 且12*()*()y x y x 与分别是
1"()'()()y p x y q x y f x ++=
和
2"()'()()y p x y q x y f x ++=
的特解，则12*()*()y x y x +是方程（A.8）的特解。

A ．2．1 二阶常系数线性常微分方程的解法
如果二阶线性常微分方程为
"'()y py qy f x ++=,
（A.9）
其中,p q 均为常数，则称为二阶常系数线性常微分方程。

以下分两种情形讨论方程（A.9）的解法。

一、二阶常系数线性齐次方程的解法
此时问题为
"'0y py qy ++=, （A.10） 考虑到方程中的系数,p q 均为常数，可以猜想该方程具有形如rx
y e =的解，其中r 为待定常数，将'rx y re =和2"rx y r e =‘及rx y e =代入方程"'0y py qy ++=得， 2()0rx e r pr q ++=,
由于0rx e ≠，因此，只要r 满足方程
2
0r pr q ++=,
(A.11) 即只要r 是上述一元二次方程的根时，rx
y e =就是（A.10）的解，方程(A.11)称为方程(A.10)的特征方程，它的根称为特征根。

关于特征方程(A.11)的根与微分方程(A.10)的解的关系有如下结论。

１． 特征方程具有两个不相等的实根12r r 与，即12r r ≠。

此时函数1212()()r x r x y x e y x e ==和都是微分方程(A.10)的解，且因1212
r r x y e y -=≠（）常数，所以12()()y x y x ，线性无关，因而常微分方程的通解为 1212()r x r x y x c e c e =+.
２． 特征方程具有两个相等的实根，即122p r r ==-。

这时函数11()r x y x e =是微分方程(A.11)的一个特解，还需另找一个与之线
性无关的特解2()y x 。

为此设21()()()y x u x y x =，其中()u x 为待定的函数，将2()y x 及其一、二阶导数代入方程(A.10)得，
12111["(2)'()]0r x e u r p u r pr q u +++++=，
注意到12
p r =-是特征方程的根，且10r x e ≠，因此只要()u x 满足"()0u x =“，则12()()r x y x u x e =就是微分方程(A.10)的解。

特别地取12()r x y x xe =，此时微分方程(A.11)的通解为
1111212()()r x r x r x y x c e c xe c c x e =+=+.
３． 特征方程具有一对共轭复根，12r i r i αβαβ=+=-与。

这时两个线性无关的特解()()12i x i x y e y e αβαβ+-==与是两个复数解。

为了便于在实数范围内讨论问题，我们再构造两个线性无关的实数解。

由欧拉公式cos sin ix e x i x =+，可得
1(cos sin )x y e x x αββ=+，2(cos sin )x y e x x αββ=-,
于是由定理１知，函数
121cos 2x
e x y y αβ=+（），121sin 2x e x y y αβ=-（） 是微分方程(A.10)的解，容易验证它们线性无关，所以这时方程的通解可以表示为
12()(cos sin )x y x e c x c x αββ=+ .
上述求解二阶常系数线性齐次方程的方法称为特征根法，其具体步骤可总结如下
（１）写出所给微分方程的特征方程；
（２）求出特征根；
（３）根据特征根的三种不同情况求得对应的特解，并写出其通解。

特征方程20r pr q ++=的两个根12,r r 微分方程"'0y py qy ++=的通解
两个不相等的实根12r r ≠
两个相等的实根，即12r r =
一对共轭复根，12r i αβ=±，
1212()r x r x y x c e c e =+ 112()()r x y x c c x e =+ 12()(cos sin )x y x e c x c x αββ=+
例2 求解二阶齐次常微分方程 （1）"0y y -=； （2）"0y y +=.
解
(1) 特征方程为210r -=，其根为121r =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12(),()x x y x e y x e -==，所以通解可以表示为12()x x
y x c e c e -=+。

又cosh ,sinh 22
x x x x
e e e e x x --+-==，因而cosh sinh x x 和也是微分方程的解，并且它们也是线性无关的，因此也可以构成微分方程的基础解系，即方程的通解也可以表示为12()cosh sinh y x c x c x =+，这种表示方法在讨论某些问题时更加方便。

(2) 特征方程为210r +=，其根为12r i =±，所以微分方程的两个线性无关的解为12()cos ,()sin y x x y x x ==，所以通解可以表示为12()cos sin y x c x c x =+。

在实际应用中，我们经常遇到带有一些条件的微分方程，如
"4,(0)0,'(0)1x y y e y y +===或"23sin 2,(0)0,(1)0y y y x y y +-===‘
等，这些问题称为初值问题或边值问题。

例3 求方程"4'40y y y -+=的满足初始条件(0)1,'(0)4y y ==的特解 解 "4'40y y y -+=的特征方程为2
440r r -+=，有重根2r =，其对应的两个线性无关的特解为
2212()()x x y x e y x xe ==，,
所以通解为
212()()x y x c c x e =+,
求导得
22212'()2()x x y x c xe c c x e =++‘,
将(0)1,'(0)4y y ==代入以上两式得
121124
c c c =⎧⎨+=⎩, 解之得1212c c ==，，即得初值问题为
2()(12)x y x x e =+.
例 4 求含参数方程"0y y λ+=（λ为实数）满足边界条件(0)0,'()0y y l ==的特解。

解 微分方程的特征方程为20r λ+=，λ为实数，分以下三种情形进行讨论：
① 当0<λ时，特征方程有两个互不相等的实根12r λ=，此时微分方程的两个线性无关的特解为12(),()x x y x y x e λλ==，因此其通解为 12()x x y x c c e λλ=+,
其中12,c c 是任意常数。

由条件(0)0,'()0y y l ==, 得
12120
l l c c c e c e λλ-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩, 解之得, 120c c ==, 从而()0y x ≡，也即方程没有非零解。

② 当0=λ时，方程退化为''0X =，其特征方程有两个相等的实根120r =，此
时微分方程的两个线性无关的特解为12()1,()y x y x x ==，因此其通解为
00()X x c d x =+.
其中00,c d 是任意常数（当然这个通解也可以直接由''0X =积分两次得到）。

由条件(0)0,'()0y y l ==, 得0000c d ==，，此时，方程没有非零解。

③ 当0>λ时，特征方程有两个互为共轭的复根12r i λ=±
，于是微分方程的两个线性无关的特解为12(),()y x x y x x λλ==，因此其通解为
12()y x c x c λλ=+,
其中12,c c 是任意常数。

代入边界条件，得
1120)0c c l c l λλ
λλ⎧=⎪-+=（, 由于0λ≠，所以10c =，故10c l λ=，要使()y x 不恒等于零，须
20c ≠，因此必有0l λ=1π,0,1,2,2l n n λ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，也即
2221π2,0,1,2,n n l λ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==，
相应的解为
21π2()sin n x y x c l
⎛⎫+ ⎪⎝
⎭=, 其中2c 为任意的数。

例5 求解如下带有周期条件的常微分方程问题
()()
''02y y y x y x λπ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩.
解 首先与上例同理可得常微分方程''0y y λ+=在参数λ取不同值时的通解
为
()120012(0)(0)(0)x x c x c x y x c d x c e
c e λλλλλλλ--⎧+>⎪=+=⎨⎪+<⎩.
结合周期条件()()2y x y x π+=，可求得参数2n λ=，0,1,2,
n =，而相应的解
为 ()120
cos sin (0)(0)c n c n n y x c n ϕϕ+≠⎧=⎨=⎩. 二、二阶常系数线性非齐次常微分方程的解法
由定理A.5, 线性非齐次常微分方程
"'()y py qy f x ++=,
的解可由其相伴齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的一个特解*()y x 之和构成。

因此，求解二阶常系数线性非齐次常微分方程的关键就在于确定它的一个特解*()y x 。

确定特解的方法很多，下面介绍常用的待定系数法，该方法的基本思想是：利用右端项()f x 的具体形式确定特解*()y x 的结构，然后代入到非齐次方程中确定其中系数。

下面分几种情形来讨论特解的求法。

1．自由项为多项式，即()()n f x P x =
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'()n y py qy P x ++=, （A.12） 其中()n P x 为x 的n 次多项式。

由于方程中系数p q ，都是常数，且多项式的导数仍为多项式，所以可设（A.12）的特解为
=*y ()k n x Q x ,
其中()n Q x 是与()n P x 同阶的多项式，k 是一个常数，当系数0q ≠时，k 取０，当00q p =≠，时，k 取１，当00q p ==，时，k 取２。

例6 求非齐次方程2
"2'y y y x -+=的一个特解。

解 使用待定系数法。

由于该方程中自由项2()f x x =是二次多项式，且1q =，故取0k =，所以设特解为=*y 2ax bx c ++，代入方程，合并同类项后有
22(4)(22)ax a b x a b c x +-++-+=,
比较两端系数可得1,4,6a b c ===。

于是求得特解为=*y 246x x ++。

2. 自由项()f x 为x Ae α型
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'x
y py qy Ae α++=, （A.13） 其中,A α均为常数。

考虑到p q ，都是常数，且指数函数的导数仍为指数函数，所以可设（A.13）的特解为
=*y k x bx e α, 其中b 为待定的系数，当α不是（A.13）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；当α是（A.13）的相伴齐次方程的单特征根时，k 取１；当α是（A.13）的相伴齐次方程的重特征根时，k 取２。

例7 求方程2"'2x
y y y e ++=的通解。

解 非齐次方程的相伴齐次方程的特征方程为210r r ++=，其特征根为121313,22
i i r r -+--==，所以齐次方程的通解为 121233()(cos sin )22x Y x e
c x c x -=+, 又2α=不是特征方程210r r ++=的特征根，取0k =，所以设特解为
=*y 2x be ，代入方程得
2222422x x x x be be be e ++=, 比较系数得27
b =，故原方程的一个特解为*()y x =227x e 。

因此2"'2x y y y e ++=的通解为12212233()(cos sin )722
x x y x e e c x c x -=++. 3．自由项()f x 为(cos sin )x e A x B x αββ+型
设二阶常系数线性非齐次常微分方程
"'(cos sin )x y py qy e A x B x αββ++=+, （A.14）
其中,,A B α均为常数。

考虑到指数函数的导数仍为指数函数，三角函数的导数仍为三角函数，所以可设（A.14）的特解为
=*y (cos sin )k x x e a x b x αββ+.
其中,a b 为待定的系数，当i αβ+不是方程（A.14）的相伴齐次方程的特征根时，k 取０；否则，k 取１。

将*y 代入非齐次方程确定系数,a b 。

例8 求方程"3'cos2x
y y y e x +-=的一个特解。

解 非齐次方程的自由项为cos2x e x ，且12i +不是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为
=*y (cos2sin 2)x e a x b x +. 代入方程，合并同类项得
[(10)cos2(10)sin 2]cos2x x e b a x b a x e x --+=,
即
(10)cos2(10)sin2cos2b a x b a x x --+=,
比较两端系数得
101100
b a b a -=⎧⎨+=⎩, 解之得110101101
a b =-=，，故所求特解为 =*y 110cos2sin 2101101x e x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
. 例9 求方程"sin y y x +=的通解。

解 非齐次方程的自由项为sin x ，且i 是相伴的齐次方程的特征根，故特解可设为
*()y x =(cos sin )x a x b x +,
代入方程，合并同类项得
2sin 2cos sin a x b x x -+=, 比较两端系数得102
a b =-=，，故所求特解为 *()y x =1cos22
x x -, 而对应的齐次方程"0y y +=的通解为
12()cos sin Y x c x c x =+,
故所求的通解为
121()cos2cos sin 2
y x x x c x c x =-++. A ．2．2 二阶变系数线性常微分方程的解法
定理A.4，定理A.5给出了二阶线性微分方程（A.6）
"()'()()y p x y q x y f x x I ++=∈，
的通解
()()*()y x y x Y x =+,
其中()Y x 是微分方程（A.6）相伴的齐次方程的通解，*()y x 是它的一个特解。

在上一小节中，我们给出了自由项为一些特殊结构的函数的常系数微分方程的求解方法。

对于变系数微分方程，一般情况下处理起来比较困难，这里我们给出两种方法分别用以求齐次方程的通解()Y x 和非齐次方程的特解*()y x 。

一、求二阶齐次线性微分方程的特解
对于二阶齐次线性微分方程（A.7）
"()'()0y p x y q x y ++=,
其通解为1122()()()y x c y x c y x =+，这里的12,c c 是任意常数，12()()y x y x ，是齐次方程的两个线性无关的解。

现假设我们已知二阶齐次线性微分方程的一个非零特解1()y x ，利用A.1 小节中的定理A.1，可以证明如下结论［ ］。

定理 A.7 假设在方程（A.7）中，函数(),()p x q x 连续，1()y x 是（A.7）的一个非零特解，则
()d 2121()()d ()p x x
e y x y x x y x -⎰=⎰ 是（A.7）的与1()y x 线性无关的特解。

例１０ 已知x
e 是二阶齐次常微分方程"(1)'0xy x y y -++=“
的一个特解，求该方程的通解。

解 由定理A.7，可以得到 ()1d 222()d d d ()1x x x
x
x x
x x x x x x x e xe y x e x e x e xe x e xe e x e e +---⎰====--=--⎰⎰⎰
所以方程的通解为
12()(1)x y x c e c x =++.
二、参数变异法
参数变异法可以从相伴齐次方程的通解出发求得非齐次方程的一个特解*()y x 。

设齐次方程的通解为
1122()()()y x c y x c y x =+.
所谓参数变异法就是设想非齐次方程（A.6）有一个形如
1122()()()()()y x c x y x c x y x =+,
（A.15）
的解，这里12()()c x c x ，是两个待定的函数，即参数12c c ，变异为函数了。

下面我们来选择12()()c x c x ，，使()y x 成为非齐次方程的一个解。

由（A.15）有
11221122'()'()()'()()()'()()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++.
由于要确定两个函数12()()c x c x ，，但它们只需满足一个方程，所以可以对12()()c x c x ，添加一个约束条件，事实上如下的条件可以同时起到简化计算的作用，我们规定
1122'()()'()()0c x y x c x y x +=.
（A.16）
利用（A.15）和（A.16），有
1122'()()'()()'()y x c x y x c x y x =+，
11221122"()()"()()"()'()'()'()'()y x c x y x c x y x c x y x c x y x =+++““， 将以上两式代入方程（A.6）可得
112211221122112211110
222"()'()(()"()()"()'()'()'()'())
()(()'()()'())()(()()()())()("()()'()()())
()("()()y p x y q x y c x y x c x y x c x y x c x y x p x c x y x c x y x q x c x y x c x y x c x y x p x y x q x y x c x y x p x y =++=+++++++=++++“““211220
1122'()()())'()'()'()'()
'()'()'()'()
().
x q x y x c x y x c x y x c x y x c x y x f x =+++=+=由上式和式（A.15），待定函数12()()c x c x ，满足
11221122'()'()'()'()()'()()'()()0.
c x y x c x y x f x c x y x c x y x +=⎧⎨+=⎩，, 这是一个关于12'()'()c x c x ，的方程组，由克莱默法则
212112*********()
()0()'()'()()'(),'(),()()
()()
'()'()'()'()
y x y x f x y x y x f x c x c x y x y x y x y x y x y x y x y x == 记121212()()((),())'()
'()y x y x W y x y x y x y x =，则有 21121212()()()()'(),'(),((),())((),())
f x y x f x y x c x c x W y x y x W y x y x -=
= 积分求得 21121212()()()()()d ,()d ,((),())((),())
f x y x f x y x c x x c x x W y x y x W y x y x -==⎰⎰ 从而得到（A.6）的一个特解
21121212()()()()*()d ()d .((),())((),())
f x y x f x y x y y x x y x x W y x y x W y x y x -=+⎰⎰ （A.17） 例11 求方程"tan y y x +=“
的通解。

解 齐次方程"0y y +=“的通解为
12()cos sin Y x c x c x =+.
用参数变异法，求解方程组
1212'()cos '()sin 0,'()sin '()cos tan ,
c x x c x x c x x c x x x +=⎧⎨-+=⎩ 由此得
121'()tan sin cos ,cos '()tan cos sin .c x x x x x
c x x x x =-⋅=-
+=⋅= 积分可得
12()sin ln tan ,24()cos .
x c x x c x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-
故所求通解为
12()sin ln tan ,24()cos .
x c x x c x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-
所求通解为
1212sin ln tan cos cos sin cos sin 24ln tan cos cos sin .24x y x x x x c x c x x x c x c x ππ⎛⎫⎛⎫=-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭
其中12,c c 为任意的常数。

A.2.3 欧拉方程
在数理方程课程中还经常要用到一类特殊的二阶变系数线性常微分方程
21 "'()xy pxy q f x ++=, （A.18） 其中,p q 为常数。

这样的方程被称为欧拉方程,它虽然不是常系数方程，但其系数很特殊，可以通过简单的自变量变换后化为常系数方程。

令t
x e =，则 d d d 1d d dt d dt
y y t y x x x ==, 222222222'd 1d 1d 1d d 1d 1d d dt dt dt d dt dt y y y y t y y x x x x x x x ⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝⎭
, 代入方程（A.18），有
22d d (1)()d dt
t y y p qy f e t +-+=. 这是一个二阶线性常系数常微分方程，用A.2.1中的方法求得其通解，最后再进行自变量代换还原为x 的函数即可。

例 12 求解如下方程
22"'0x y xy n y +-=,
其中n 非负整数。

解 这是一个欧拉型常微分方程。

作代换t x e =，方程化为
2220d y n y dt
-=, 其解为
00(0)()(0)nt nt n n C e D e n y t C D t
n -⎧+≠=⎨+=⎩ ,
将变量还原为x ，得到解 001(0)()ln (0)n n n n C x D n y x x
C D x
n ⎧+≠⎪=⎨⎪+=⎩.。