五年级下册数学试题-奥数专题训练：第十二讲数阵图(无答案)全国通用

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一年级下册数学试题-奥数思维讲练：第十二讲巧填数阵图 (含答案)全国通用

第十二讲巧填数阵图数学乐园晶晶和莹莹来到了雪精灵国，天空中到处飘着洁白剔透的雪花，就像下面图中的样子.一个雪精灵告诉她们：“你们只要能够把1～7这七个数填在雪花的七个花瓣上，使每三个位于同一直线上的花瓣上的数之和都相等，你们就能见到雪精灵国的女王了.”你能帮她们填一填吗?.【教学思路】在开课的时候，老师可通过故事引入，激发学生对填数游戏的兴趣.让学生初步感知什么是数阵.因为填数阵有一定的难度，所以在这里我们不需要马上让孩子完成这个题，可以放在最后来解决这个问题.小朋友们，你喜欢这样的填数字游戏吗？要想准确的填出图中的每一个数，可不是一件容易的事，这就要我们小朋友们认真去观察图，观察数字的排列规律，这样才能找到填图的方法.下面我们就一起来学习吧！基础篇使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9做加法.在每一道题中，同一个数字不能重复出现.数阵图是小学奥数中比较重要的一个知识点，现在我们把它放在一年级开始学习似乎有些过难.但这节课我们只是希望通过一些简单的填数字游戏，使学生初步感知到什么样的是数阵，让学生用自己喜欢的方法来巧填数字，培养他们的思维能力.在鼓励学生去研究方法的同时，教师引导学生去发现数阵的简单规律，以及填数阵的基本方法，通过找数阵中的关键数来找到解题的钥匙.在今后的不断学习中，能把这种方法灵活应用到实际中去.【教学思路】一般在解答这类填数问题时，把同一条边上出现两个数字的空格先填.之前我们已经有过这样的练习，学生有了一定的基础.这道题的答案不止一个，我们只要求学生能找到其中的一种就达到要求了.（1）右边两个圆的和应该是9，所以里可填（0，9）（2，7）（3，6）.（2）告诉我们中间的数字是2，剩下两边上两个数字的和应该是9-2=7.0+7=1+6=3+4，所以剩下两边上两个数可以填（0，7），（1，6），（3，4）（3）7+6=13，15-13=2，所以第2条线中间填2.左边第一条线：15-7=8，0+8=3+5，数字不重复共两种填法.第三条线15-6=9，0+9=4+5，数字不重复共两种填法（4）6+4=10，13-10=3，所以第2条线最下是3，.左边第一条线：13-6=7，0+7=2+5，数字不重复共两种解法.第三条线：13-3=10，1+9=2+8，数字不重复共两种解法.拓展练习(1)填数，使横行、竖行的三个数相加都得11. (2)填数，使每条线上的三个数之和都得15.【答案】【答案】在每个方格中填入适当的数，使每一横行、竖行的和以及两斜行的三个数之和都是18.【教学思路】方法一：填数时，首先要看哪一行已经有了两个数，然后用18减去这两个数，就得出这一行的第三个数.填数的顺序如下：方法二：从斜行来考虑：要使表格中每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18，下面每个方框里应填什么数？【教学思路】首先我们要找到填这个表格的突破口，一般情况下我们先找每行、每列以及每条对角线上已知两个数的来先填.找到这个突破口，后面就容易多了.方法一：从竖行入手.方法二：分别从两条对角线入手.拓展练习在下列两图的空格中填上数，使横行和竖行或每条对角线上的三个数相加都等于15.【答案】【答案】把1，2，3，4，5，6六个数，分别填入○内，使每条线上3个数的和相等.【教学思路】比较三个已知数1，2，3，和1比2大1，3大2.还剩下三个数4，5，6要我们来填，5+6=11 6+4=10 5+4=9 ，要使每边和相等，5+6+1=6+4+2=5+4+3=12，答案如下：提高篇把3，4，5，6，7这五个数分别填入下面的空格里，使横行、竖行的三个数相加都得15.【教学思路】方法一：观察法.要使横行、竖行的三个数相加都得15，我们就要考虑中间填什么数.观察这五个数3，4，5，6，7，我们发现4和6，3和7可以组成10，它们分别再加上多出来的5都得15，所以中间这个数应该填5，上下，左右可以分别填4和6，3和7，如图：方法二：观察这些图，容易发现，中间方框中的数比较特殊，它既在横行上，又在竖列中，在数阵中这样的数称为“重叠数”.只要我们确定了中间的“重叠数”填几，别的空格就简单了.那么横行3个数的和加上竖列3个数之和就等于所要填入的5个数的和与重叠数的和.于是（3+4+5+6+7）+重叠数=15+15，重叠数=30-25=5，所以中间的这个数应该填5，在剩下的4个数3，4，6，7中，只有3+7=4+6=10，填法如图.建议：在这两种方法中，学生习惯用第一种方法来观察出答案，但是这种方法对于以后数字大的题就很难把握，因此老师在学生掌握了第一种方法的前提下，要介绍第二种解答数阵图的一般方法，不要求学生马上掌握，但是要让学生明确解答这样的题要从重叠数开始入手分析，以后练得多了就能融会贯通了.如果老师觉得这几个数太大学生不容易接受，还可以改成更小的数.拓展练习把2，3，4，5，6这五个数分别填入圆圈中，使每条线上三个数相加的和都等于1 2.【答案分析】中间○即为特殊的重叠数，因为它既是横线上的数，又是竖线上的数.中间的数填什么呢?横行加上竖行之和应为 12+12=24，而2+3+4+5+6=20，中间的要多加一次，所以应为4.把1，2，3，4，5，7分别填入○里，使每一个大椭圆上的四个数之和等于13.【教学思路】方法一：观察法，在这6个数中，有两个数是公共的，那么剩下的四个数两两相加应该相等，观察1，2，3，4，5，7中1是公共数，这时我们发现2+7和4+5都等于9，因此剩下的3也应该是公共数，2和7，4和5应该分别填在这两个圆的左边和右边.经检验每个大椭圆上的四个数这和等于13.方法二：每个椭圆里的四个数之和等于13，那么两个椭圆里的四个数之和就是13+13=26，另外这6个数相加的和是1+2+3+4+5+7=22，26和22之间相差的是什么呢？只有中间的这两个重叠数被多加了1次，这相差的4应该是两个重叠数的和，1+3=4，所以中间的这两个重叠数应该是1和3.剩下的数2+7=4+5=9.把1，2，3，4，5，6，7这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为12.【教学思路】方法一：观察法，在1，2，3，4，5，6，7这七个数中，除去中间的重叠数，剩下的六个数两两相加应该相等，经验算，当重叠数是4时，1+7=2+6=3+5=8，8+4=12，如图：方法二：因为图中共有3条直线，所以中心的重叠数重叠了2次，于是（1+2+3+4+5+6+7）+重叠数×2=12+12+12.重叠数=（36-28）÷2=8.那么中间的数应该填14剩下的6个数1，2，3，5，6，7，中，2个数的和等于12-4=8的有1+7=2+6=3+5，如图：拓展练习把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15.把2，3，4，5，6，7，8这七个数分别填入圆圈中，使两个正方形中四个数之和相等19.【教学思路】先考虑求两个正方形公共的中间数.2+3+4+5+6+7+8+重叠数=19+19．重叠数=3，那么中间圆圈里面应该填3.剩下的数中2+6+8=4+5+7=19-3=16，所以每个正方形中，剩下的三个数应该填：2，6，8或4，5，7.具体填法如下：拓展：如果使两个正方形中四个数之和相等21，又应该怎样填？我会做一做把1，2，3，4，5，6，7这7个数分别填入右图中，使得每条直线上的3个数的和相等.【教学思路】这道题的答案不唯一.附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64.【答案】【教学思路】如果有充足的时间，建议这题可放在例3的后面做一个加深，这道题也主要是利用加减法之间的关系来解答的.这个题我们要从已知三个加数的第二列入手开始填，先计算出这三个加数的和，再用64减去这三个加数的和就得到了这第四个加数.用图中已有的三个数填满其余的空格，每个数字必须使用三次．使得每行、每列和两条对角线上的三个数之和相等.【答案】【答案】把1～9这九个数字填入下列圆圈内，使每条横线、竖线、斜线连接起来的三个圆圈内的数之和都等于15.【答案】【教学思路】这道题可参考放在例6的后面，做一个拓展.在例6的基础上，我们只需要调动四条边上各数的位置就可以验证出结果.使用数字0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9求和.而且同一个数在一幅图中不能重复出现.【答案】【答案】把1～11这十一个数分别填入图中的圆圈里，使每条直线上的三个数的和都等于18.【答案】练习十二1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是12.【答案】2.把3～8这6个数，填在下图中使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.【答案】3. 把1，2，3，4，5这五个数分别填入下面的○里，使横行、竖行的三个数相加都得10.【答案】4.把3，4，5，7，9，11，13这七个数分别填入○里，使每条直线上的三个数相加的和都为20.【答案】5. 将1，2，3，4，5，6这6个数分别填入下图中，使两个大圆上4个数的和都等于14.【答案】6.把数字1，2，3，5，6，7，9填在下面的○里，使每边上的和为15.【答案】小朋友，你在少年宫里走过“勇敢者的道路”吗？道路崎岖，充满艰难险阻.但是，它能培养小朋友的勇敢精神和不怕困难的毅力.这里有两幅图，也叫“勇敢者的道路”.图中的道路狭窄、曲折，不易通过，需要小朋友细心和有耐心.现在请小朋友用一枝铅笔，按照图中箭头的方向画出通行路线，而且线条不能碰到两边的“围墙”.小朋友，这可真不容易哦！。

五年级下册数学奥数有趣的数阵图人教版

按照前面学习的方法，先列出一个等式，再考虑三个未知的数吧。
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
假设重叠数是a、b、c 5+6+7+8+9+10+a+b+c=24×3
45+a+b+c=72 a+b+c=27
8+9+10=27
8 76 9 5 10
2 9 561 3 8 45～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
中间的三个数只加一次，三个角上的数都加了两次，有三个数要设字母吗？
例4：把5～10这六个数，分别填入图中三角形三条边的六个○内，使每边上的三个○内数的和都是24。
1
3
2
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6
5
36+a+b=42 a+b=6
4
8
7
1+5=6或2+4=6
将1、3、5、7、9、11、13、15这八个数，分别填入图中的八个○内，使得每个大圆上五个○内数的和都是39。
1+3+5+……+15=64
3
5
1
39×2-64=14
7
9
中间的两个圆圈数重叠一次， 15 13 11
例5：将1～8这八个数分别填入下图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。
假设重叠数是a、b
2
3
1
1+2+…+7+8+a+b=21×2 6

五年级奥数数阵问题

课时3 数阵问题（一）一．数阵填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，主要讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二．例题精析例1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D ＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

小试牛刀把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

例2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。

在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。

当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。

小试牛刀1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。

2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

66666小学奥数专题之数阵图练习题例

小学奥数专题之——————数阵图数阵是由幻方演化出来的另一种数字图。

幻方一般均为正方形。

图中纵、横、对角线数字和相等。

数阵则不仅有正方形、长方形，还有三角形、圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合。

变幻多姿，奇趣迷人。

一般按数字的组合形式，将其分为三类，即辐射型数阵、封闭型数阵、复合型数阵。

数阵的特点是：每一条直线段或由若干线段组成的封闭线上的数字和相等。

它的表达形式多为给出一定数量的数字，要求填入指定的图中，使其具备数阵的特点。

解数阵问题的一般思路是：1.求出条件中若干已知数字的和。

2.根据“和相等”，列出关系式，找出关键数——重复使用的数。

3.确定重复用数后，对照“和相等”的条件，用尝试的方法，求出其他各数。

有时，因数字存在不同的组合方法，答案往往不是唯一的。

\1.10.5.2辐射型数阵例1 将1～5五个数字，分别填入下图的五个○中，使横、竖线上的三个数字和都是10。

解：已给出的五个数字和是：1＋2＋3＋4＋5＝15题中要求横、竖每条线上数字和都是10，两条线合起来便是20了。

20－15＝5，怎样才能增加5呢？因为中心的一个数是个重复使用数。

只有5连加两次才能使五个数字的和增加5，关键找到了，中心数必须填5。

确定中心数后，按余下的1、2、3、4，分别填在横、竖线的两端，使每条线上数的和是10便可。

例2将1～7七个数字，分别填入图中的各个○内，使每条线上的三个数和相等。

:解：图中共有3条线，若每条线数字和相等，三条线的数字总和必为3的倍数。

设中心数为a，则a被重复使用了2次。

即，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋2a＝28＋2a，28＋2a应能被3整除。

（28＋2a）÷3＝28÷3＋2a÷3其中28÷3＝9…余1，所以2a÷3应余2。

由此，便可推得a只能是1、4、7三数。

当a＝1时，28＋2a＝30 30÷3＝10，其他两数的和是10－1＝9，只要把余下的2、3、4、5、6、7，按和为9分成三组填入两端即可。

小学奥数：数阵图(一).专项练习

例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-1.数阵图【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？（1）【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

CBA【例 4】将1至6这六个数字填入图中的六个圆圈中(每个数字只能使用一次)，使每条边上的数字和相等．那么，每条边上的数字和是．789fedcba 789【例 5】将1到8这8个自然数分别填入如图数阵中的8个圆圈，使得数阵中各条直线上的三个数之和都相等，那么A 和B 两个圆圈中所填的数之差(大数减小数)是______．BA【例 6】如图所示，圆圈中分别填人0到9这10个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个数A与B的和是________。

BA【例 7】把2～11这10个数填到右图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个22的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少？11109 8765432【例 8】下图中有五个正方形和12个圆圈，将1~12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等．那么这个和是多少?861102912311457【例 9】如图，大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形的四个顶点上．⑴能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？⑵能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．246824688642【例 10】将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.【例 11】一个3 3的方格表中，除中间一格无棋子外，其余梅格都有4枚一样的棋子，这样每边三个格子中都有12枚棋子，去掉4枚棋子，请你适当调整一下，使每边三格中任有12枚棋子，并且4个角上的棋子数仍然相等（画图表示）。

一起学奥数填数阵图五年级

A=4+E=4+5+I=9+I，因为A≤13，所以I≤4，3、4已经给出，则I=1或2
J+K=G G+K=D 即J+K+K=D≤13，所以K≤6。当K=6时，J=1，则C=4（不符），而3 、4、5已经给出，所以K=1或2
当K=2，I=1，可以按要求填出如图所示的数
当K=1时，G=J+1，D=J+2，C=J+3说明J、G、D、C是连续自然数，剔除I、E、H的值，剩余数为6、8、9、10、12、13，没有连续四个自然数，所以不符。
c
d
b
a
e
g
f
【分析】在填数阵图时，我们要学会代数思想的运用，左图是“形” ，“形”可以形象的表示对象与对象之间的关系，“数”可以进行计算并定位。
填数阵图的过程，也就是对每个圆圈进行准确定位。但我们只知道七个圆圈内要填的数是1~7这七个数，而不知道哪个数对应哪个圈。
当“数”与“形”存在不确定关系时，我们可以用代数思想，用符号来表示某个“形”所代表的数。
E
G
【分析】先问大家一个问题，1、2、3……8，这8个数中任意两个数相减（大数减小数），差最大是多少？
当然是7。最大的那个数减去最小的数，差肯定最大。所
C
A
B
D
以，8和1必须是一对。
假设A=8,C=1。第二个问题是，把大数放在8周围，得到小
F
H
差值，是否可行显然是不行的。如果F=7,E=6 ，那么剩下的数2、3、4、5
风子编辑
填数阵图
五年级
教育目标
认识和了解一些简单的数阵图结构掌握填数阵图的两种方法：待定系数法和试验法学会代数思想的运用，并能够用来解决实际问题

五年级奥数：数阵图(一)

数阵图(一)一、考点、热点回顾1、在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。

它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。

2、那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。

右上图就更有意思了，1～9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15，不信你就算算。

上面两个图就是数阵图。

准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。

要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。

我们还是先从几个简单的例子开始。

二、典型例题例1、把1～5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。

同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。

下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。

分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。

也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。

因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。

例2 、把1～5这五个数填入下页左上图中的○里(已填入5)，使两条直线上的三个数之和相等。

分析与解：与例1不同之处是已知“重叠数”为5，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数。

所以，必须先求出这个“和”。

根据例1的分析知，两条直线上的三个数相加，只有重叠数被加了两遍，其余各数均被加了一遍，所以两条直线上的三个数之和都等于[(1+2+3+4+5)+5]÷2=10。

小学奥数之数阵图解题方法(完整版)

小学奥数之数阵图解题方法1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．模块一、封闭型数阵图【例 1】把1～8的数填到下图中，使每个四边形中顶点的数字和相等。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】学而思杯，3年级，第6题【解析】5-1-3-1.数阵图教学目标知识点拨例题精讲【答案】【例 2】将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？【考点】封闭型数阵图【难度】2星【题型】填空【解析】为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如下图（2）.由条件得出以下四个算式：a+b+c=14（1） c+d+e=14 （2） e+f+g=14 （3）a+h+g=14 （4）由（1）+（3），得：a+b+c+e+f+g=28，（a+b+c+d+e+f+g+h ）-（d+h ）=28，d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，由（2）+（4），同样可得b+f=8，又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.又1要出现在顶点上，d+h 与b+f 只能有2+6和3+5两种填法. 又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5. a ，c ，e ，g 可取到1，4，7，8若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，4，7，8中，不行.若c=1，则a=14-（1+2）=11，不行. 若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行. 若g=1，则a=8，c=4，e=7. 说明：例题为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数8765432187654321（）（2）h gf ed c ba阵的解题突破口.【答案】【例 3】在如图6所示的○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点上的三个数的和是。

五年级奥数《数阵》练习题

第四讲：数阵练习（必做与选做）1. 如下图，每行、每列、每条对角线上数的和都相等，那么a 、b 、c 、d 有什么关系？A. a ＞b ＞c ＞dB. a ＜b ＜c ＜dC. a=b=c=dD. 无法判断解析：c b c a b a =→+=+d c d c c a =→+=+d a c b d c b a =→=+=+,，那么由此可推出d c b a ===。

选C 。

2. 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字之和都相等。

C 处分别可以填多少？A. 1、3、5B. 1C. 1、3D. 3、5 解析：中间的c 是两条直线上公共的点，所以如果将两条直线上的数都相加，是1＋2＋3＋4＋5＋c=15＋c ，因为两条直线上的三个数的和相等，所以（15＋c ）必须能被2整除，即c必须为奇数，c可以是1、3、5。

选A。

3.阿派将1、2、3、4、5、6、7这七个数填入下图的七个方框里，每个数只填一次，使得三条直线上的三个数之和恰好分别是8、11、15，e可以怎么填？A. 5B. 7C. 3D. 1解析：将三条线上的数都加在一起，中间的e加了3次，其它数都加了一次，所以三条线上三个数的和=1＋2＋……＋7＋2e=28＋2e，条件又说三条线上三个数的和分别是8、11、15，所以28＋2e=8＋11＋15，e=3。

选C。

4.将1～5填入右图的○中，使得横、竖、大圆上的几个数之和都相等每个数只能用一次，e处分别可以填什么？A. 1B. 5C. 3D. 无正确答案解析：先看“十字”上的两条直线，中间的e被加了两次，如果将两条直线上的数都相加，是1＋2＋3＋4＋5＋e=15＋e，因为两条直线上的三个数的和相等，所以（15＋e）能被2整除，即e为奇数，e可以是1、3、5。

当e=1时，其它四个数的和是2＋3＋4＋5=14，14÷2=7，7＋1=8，即每条直线上数的和是8，但是圆上的数的和是14，所以不满足；当e=3时，其它四个数的和是1＋2＋4＋5=12，12÷2=6，6＋3=9，即每条直线上数的和是9，但是圆上的数的和是12，所以不满足；当e=5时，其它四个数的和是1＋2＋3＋4=10，10÷2=5，5＋5=10，即每条直线上数的和是10，圆上的数的和也是10，满足条件。

五年级数学培优：数阵图、数字谜(含解析)

五年级数学培优：数阵图、数字谜（含解析）将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22.知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析.2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜.②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）.例1数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法. 名师点题【解析】首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6.在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等.那么b处应该填入的数是（）.【解析】这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b，进而得到2b=2.8，b=1.4.在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________.【解析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□=0），且有“□+□+1＝10+□”，从而□=9，☆=8.例3例2再由个位加法，推知○+△=8.从而口+○+△+☆=9+8+8=25.【巩固拓展】1.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数的和都相等，a共有（）种填法.【解析】由于每边上的三个数字和都相等，设每边和为S，从整体考虑将其全部相加和为5S，从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作8至18均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（8+9+......+18）+4a，列出等式为5S=（8+9+ (18)+4a，化简为5S=143+4a，要使等式成立，4a的末位必须为2，得出三种答案，8，13，18.2.将1-12这十二个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________.【解析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍.所以，6(12312)2S=++++⨯，得到S=26，即所求的相等的和为26.3.在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______.s t v av t s tt t v t t+【解析】首先可以判断t=1，所以s+v=11，v=t+t+1=3，可解得s=11-3=8，又因为a+t=t，所以a=0，1038tavs=.将自然数1、10、19、28、37、46、55分别填人右图中的七个方框中，使每条直线上的三数之和与每个圆周上的三数之和都相等．那么圆心上的那个数应该填多少？【解析】圆心上的数属于三条直线，其余数都属于一条直线一个圆周，所以除中心的数被计算3遍外.其余数都被计算2遍.由()11019283746552392++++++⨯+=+中心数中心数，应是5的倍数，推知中心数为28.【巩固拓展】将3、5、7、11、13、17、19、23、29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等.请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和.例1【解析】设三个顶点○内所填的数为a、b、c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K+++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷=，所以()a b c++的和应被3除余2，a b c++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=.请将1～9这9个数填入右图3×3表格中，使得第1,2行三数的乘积分别是70，24，第l、2列三数的乘积分别是21、72.【解析】因为70=2×5×7，21=1×3×7，所以A=7，D等于2或5，因为D×E×F=72，72不能被5整除，所以D为2，72=2×4×9，即E为4或9，且B×E×H=24.24不能被9整除，所以E为4，24=1×4×6，也就是B=1，H=6，剩下的数易得.最后结果为：F IHGEDCBA986542317【巩固拓展】能否在8行8列的方格表的每个空格中（如图），分别填入1、2、3这三个数字中的任一个，使得每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同？对你的结论加以说明.例2【解析】不可能.这里一共有8行、8列、2条对角线，每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同，所以数字和一共有8+8+2=18（个）；又根据题目要求，每行、每列及对角线的8个数的和最小取值是8×1=8，最大为8×3=24，8到24一共有17个数.17＜18，所以不可能实现每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同.将1、2、3、4、5填入5×5的正方形表格的小方格中，使每个数字在每行、每列、每条对角线上都只出现一次，其中部分数字已经填出，请按照以上要求填写其他小方格.【解析】①根据唯一解法，可以快速得到第四行第一列填5；②观察第5列，可知第5行第5列方格中不能填4、5（根据列摒除法）；再观察从左上至右下的对角线，可知第5行第5列方格中不能填1、3（根据对角线摒除法）.那么根据唯一解法，可以确定第5行第5列方格中填2；③对两条对角线进行分析，可以确定第3行第3列方格中只能填4；④再根据唯一解法确定第2行第2列方格中填5；⑤接着可确定第2行第4列方格中填2，第5行第1列方格中填3；至此我们已经填出第1行、第4行、两条对角线上的所有方格中的数字，根据以上解题思路，可以顺势得出其他方格中的数字，最终的问题答案如下：例3【巩固拓展】如右下图，9个3×3的小方格表合并成一个9×9的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3 3的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是.【解析】①先确定第6列4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（1+9+8+4+2）=21；②确定第2层第3宫（9宫格）4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（3+4+5+6+9）=18；③确定第1行第8列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是5；④确定第3行第1列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是2；所以10个“☆”处所填数的总和是：21+18+5+2=46.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为.□÷□+□+□□＝□÷□+□□例4【解析】因为左边必是奇数，所以右边最大值为87.（否则为88），经过尝试，得3÷1+5+79=6÷2+84【巩固拓展】请在算式1111⨯=⨯中填入不同的四个数字，使等号成立.【解析】在10-19这10个数中，剔除质数后只剩下6数，通过尝试可得到10×18=12×15.在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字.求A 、B 和C 分别代表什么数字.941A B CA B C⨯【解析】第一个部分积中的9是C×C 的个位数字，所以C 要么是3，要么是7，假设C =3，第二个部分积中的4是积3×B 的个位数字，所以B =8.同理，第三个部分积中的1是积3×B 的个位数字，因此A =7.如果C =7，类似地可知B =2，A =3，但这时第二个部分积不是四位数，因此C ≠7.【巩固拓展】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？例5【解析】显然的D=1，由AB×A=IF可知，A不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果A=3，那么B也不能超过3，所以B只能是2，这样的AB×B=32×3=96与AAH矛盾，所以A≠3，所以A=2，根据AB×B=AAH，可以尝试出B=8时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：I=5，F=6，E=0，G=9，所以被除数DEFGF是10696.（第十一届中环杯初赛试题及答案）从1至13中选出12个自然数填入3×4的方格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等（横行的和没有必要与竖列的和相等）.【解析】因为1+2+…+13=91，从中去掉一个数后应该能够被3以及4整除，即能被12整除.由于91÷12=7…7，应该去掉7，所有数的和为84.这样，每个横行的数字之和为84÷3=28，每个竖列的数字之和为84÷4=21.进一步分析可知，六个奇数必须有三个在一列，另外三个在另外一列.三个奇数和为21的，只有1+9+11和3+5+13两组，填好奇数，剩下的数就好填料.典型的两组答案（其余的答案均由这两个答案交换行列得到）如下：1 13 4 10 3 112 12例1如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：（1）能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？（2）能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由.【解析】（1）不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S.考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次.即()42468360S =+++⨯=.所以S=60÷4=15.但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等.（2）能，下图是一种填法.8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22.248668862244（第十二届中环杯试题）如图，纸片盖住了乘法算式的所有数字，但是已知每一个被盖住的数都是质数，那么积的个位数是（）【解析】积的个位数等于两个因数的个位数积的个位数；一位质数有2、3、5、7；2×3=6，2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35；其中符合积的个位数也是质数的只有3×5=15或5×7=35，故积的个位数是5.在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式.⨯数字谜数字谜谜谜谜谜谜【解析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破.由“⨯=数字谜谜谜”可知“谜”≠1，因此“谜”=5或6.例4例3（1）若“谜”=5，“⨯=数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”=2，由于“⨯=数字谜字谜”，可知“255⨯=字字”，“字”是单数且小于5，故“字”=1或3，当“字”=1时，21521546225⨯=，不符合条件，当“字”=3时，23523555225⨯=，符合题意.（2）若“谜”=6，同理，“⨯=数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由266⨯=字字，可知“字”=1，但21621646656⨯=，不符合条件.所以满足条件的算式是：23523555225⨯=.下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数.=美妙数学___________【解析】由⨯=美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”×“妙”＜10，所以“美”≥2，“秒”≤4，“美”+“学”=“数”；1）当“秒”=1，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和7，此时“美”+“学”=10，但题目中“美”+“学”=“数”＜10，所以“妙”不等于1；2）当“妙”=2，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和4，或者4和8，但4+8=12＞10，所以“美”、“学”为3和4，“数”=3+4=7，但274×3=822，积出现重复数字2，不合要求，273×4＞1000也不合要求.3）当“妙”=3，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和9，“美”+“学”＞10，不合要求.4）当“妙”=4，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和2，或者6和9，又“美”+“学”＜10，所以“美”、“学”为7和2，“数”=7+2=9.497×2=994，合乎要求.因此，2497=美妙数学【练习1】在5×5方格表的空白处填入1-5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各例5不相同？【解析】先确定右下角的方格，只能填“2”；左下角只能填3，最下一行只能是3、4、5、1、2.其他方格不难填成，结果如下图.【练习2】下图中有五个正方形和12个圆圈，将1-12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等.那么这个和是多少？【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1-12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得()++++=，x x121225 x=，具体填法如：26758649112310121【练习3】下图中有三个正三角形，其中有三条通过四点的线段.请你把1~9这九个自然数分别填在九个黑点的旁边，使每个正三角形顶点上三个数的和相等，每条线段上四个数的和也相等.【解析】每个正三角形顶点上三个数的和：（1+9）×9÷2÷3=15每条线段上四个数的和：[（1+9）×9÷2+15]÷3=20根据以上结论可以得到如下填法（答案不唯一）：【练习4】如下图所示，A B C D E F G H I J、、、、、、、、、表示0-9这10个各不相同的数字.表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“G+C=14”.请将表中其它的数全部填好.A B C D E F G H I J+56771414【解析】由于A+F=5，B+F=14，所以B-A=14-5=9，所以A 和B 只能是0和9.因此可以推出：A=0，B=9，C=6，D=3，E=2，F=5，G=8，H=1，I=4，J=7.可得下图.1013101041731694113107711881114147765+JI H G FE D C B A【练习5】电子数字0-9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：______________________.【解析】（1）显然乘积的百位只能是2；（2）被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除；（3）如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数.所以被乘数十位是2，相应得乘数是.（4）被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：28×8=224.【练习6】下面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?【解析】由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由积的百位数知“玩”=9.竖式化简为下式.由于“1真”×9= “10好”，所以“真”=2，“好”=8，“啊”=6.所以，“数学好玩”=1089.【练习7】在□中填入恰当的数字使算式能够成立.2【解析】①这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为0；②除数的2倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知商的万位数字为1，同样可知商的个位数字也为1，即商为10201；③又一个两位数的两倍必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1.而一个三位数与一个两位数之差为1，只能是100-99=1，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99×10201=1009899.。

小学数学五年级《数阵、数字谜综合》练习题(含答案)

《数阵、数字谜综合》练习题（含答案）解决数阵类问题可以从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.Ⅰ、数阵问题【例1】（★★★）如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大可能是多少?分析：第一步：确定关键区格，计算三条边时，其中有3个角上共6个区格内的数被重复计算了2遍，而位于每条边中心位置的区格值计算了一次.第二步：由于，边上的三个数分别计算了1遍，因此（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2再减去三个边上的数，所得应该为3的倍数，当三条边上的三角形中分别填入1、2、3时，这个和取得最大值，各条边上的和也取得最大值28.第三步：通过试验得到可行的填法：【例2】（★★）把1，2，3，…，13这13个数分别填在下图所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．31 4 7_5_4_6 _7_8_9_3 _2_12 11 125 6 8 910 1331 4 7分析：第一步：由已知可推出6只能填在中间的圆中.第二步：由已经填的数可以得到：2、5、8、11不能出现在第一个圆中，且（2、8）和（5、11）不能在第二个圆中成对出现，（2、5）（5、8）（8、11）不能在第三个圆中成对出现，判断5和8的位置的各种情况，可以得出5、8只能都填在在第二个圆中，2、11填在第三个圆中.第三步：判断其余几个数的位置关系：13只能填在第一个圆中，9只能填在第二个圆中，12只能填在第三个圆中，10只能填在第一个圆中.【例3】（★★★）请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和．分析：第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出这四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则20=x+w+3（y+z ），所以y+z 不超过6（事实上不超过5，此处可以讨论一下）.第二步：由于y+z 的和不超过5所以，y 和z 只可能为1和2，1和3，1和4，2和3,通过尝试可以得到不止一个答案，下面的答案是其中一个.20911638421720[前铺]把1．2，3．7，6．5，2．9，4．6分别填在下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少?分析：设个小圆中的数依次为a1、a2、a3、a4、a5，则三个正方形中的数依次为123a +a +a 3、234a +a +a 3、345a +a +a 3，继而求出三角形中的数值为12345a +2a +3a +2a +a 9.所以，a 3中应该填入最小的数1.2，a 2、a 4中应该填入次大的2.9和3.7，a 1、a 5中填入4.6和6.5.Ⅱ、数阵问题乘法解决数字谜类问题也需要寻找关键的突破口，运用的主要知识和方法主要有： 1、数字乘法个位数字的规律，2、数值大小的考量，3、加减法进位规律，4、合数分解质因数性质，5、奇偶数性质规律.6、余数性质.【例4】（★★保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）下面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的乘积是．分析：容易看出，乘数个位为9，而被乘数个位不小于5．依次验证各种可能情况，通过奇偶性等分析乘积的十位，可知只有7可能．此时乘数十位必须是6才能使乘积十位为4．故所求为47×69=3243．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、奇偶分析等【例5】（★★★全国小学数学奥林匹克）在下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是．分析：为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0．从c ab ⨯的个位数是1，b 可能是3，7，9三数之一，两位数ab 应是（100+f ）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5也明显不行．102=17×6，则ab =17，C 只能取3，317c ab ⨯=⨯，不是三位数；104=13×8,则13ab =，c 可取7，c ×ab =7×13，仍不是三位数；108=27×4，则ab =27，c 是3．327c ab ⨯=⨯，还不是三位数．只有106=53×2，53ab =，c=7，753c ab ⨯=⨯是三位数．因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数字乘法个位数字规律.【例6】（★★★2005年全国小学数学奥林匹克）下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是．分析：如式(2)，由题意a ≠2，所以b ≥6，从而d ≥6．由22□÷c ≥60和c ＞2知c=3，所以22□是225或228，75de =或76．因为75×399＜30 000，所以76de =．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数量大小的考量，合数的分解等.【例7】（★★★★2003年北京市迎春杯数学邀请赛）在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 .分析：观察竖式可知：乘数个位数字，“习”×“争”的个位数字是1，则“习”与“争”取值有两种情况：①“习”=3，“争”=7；②“习”=7，“争”=3．先看第①种情况：“习”=3，“争”=7时，第二个部分的积其末位与千位对齐，可知“力=0”，“数学学习”×7，积仍为四位数，则“数”只能为1，“学”只能是2．又由于“学”×7+2(进位)=“学”，不能成立．所以“习”=3，“争”=7时，不能成立，无解. 再看第②种情况：由“习”=7，“争”=3，推出“数”=2或l ，“学”=9．当“数”=2时，积千位为8，则“努”×7的末位数应为“1”，不符合条件．所以“数”=1，“学”=9，“习”=7，“争”=3，则“努”=2，“努力力争”=2003．所以“努力力争”四个汉字所代表的数字和为5．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律等.【例8】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字?分析：由于乘积最后一位是1，还有三个9，可知乘数是7773或3337．于是可以逐一来确定被乘数的每一位，就知7773不符合，只有3337合适，并且逐一定出被乘数是4543．4543×3337—15 159 991．所以，“新年”两字是15．[点评]本题运用到的主要数学方法和知识点有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律.Ⅲ、数字谜除法【例9】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面的除法算式(1)是一个小数的除法竖式，其中所注明的两个字母要求：A＜B，那么满足这个竖式的除数与商的和是．C，分析：因为能够除尽但含有两位小数，所以除数含有因子2或5．由式(2)知除数应大于60，且能整除00所以除数只能是75，C≤7．又商的整数部分是9，75×9=675，B=5，因为A＜B，所以C≥5．因为5≤C C是75的倍数，所以C=6，从而被除数等于675+6=681．这个和是75+681÷75=84．08．≤7，且00[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法主要有：整除性质、数值大小的考量等.【例10】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面这个残缺算式中，只知道其中两个数字，请补全．那么这个除法算式的商数是．分析：容易看出，第三行首位是9．另外，第三行的个位与第四行首位数字之和不小于10．如果商的首位数字大于1，那么除数要小于50，故第四行首位数字小于5，而第三行个位数字不小于6．分别验证6，7，8，9四种情况，知均不满足条件．如果商的首位数字等于1，验证第三行个位数字各种情况，知只有2满足条件．此时除数等于92，而商等于109．[点评]本题运用到的知识点和数学方法主要有：十进制数进位规律、数值大小的考量等.【例11】（★★2004年全国小学数学奥林匹克）已知下面的除法算式中，每个□表示一个数字，那么被除数应是．分析：由竖式知，商的十位是0，并且商的千位比百位大，只能是9，所以商是9807．因为除数乘8是两位数，乘9是3位数，所以除数是12．被除数=9807×12=117 684．[点评]本题运用到的知识点和数学方法有，数值大小的考量等.【例12】（★★★2002年全国小学数学奥林匹克）在下面的算式中，只有四个4是已知的，则被除数为．分析：设除数为4m n，商为abc，根据除法竖式可知4m n×b=□□4，再由减法竖式可知4m n×b=9□4．因为4m n×c=4□□，所以m≤4．试验：m=1时，由4m n×b=9□4，推出b=7，n=2；由142×a=□□4，推出a=2；由142×c=4□□，推出c=3．所以被除数为142×273=38 766．m=2，3，4时，均无解．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、乘法个位数字规律等.练习1、（★★）有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：第一步：首先确定数阵图中的关键区格，即相邻两个正方形相交的两个区格；第二步：由于9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，2+3+……11=65除以3余2，因此被重复计算两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值，第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个正方形中的和也取得最小值24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数和为24，如图：4697103811522、（★★武汉明心奥数挑战赛）下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是．分析：容易看出，乘数的个位大于8，故只能是9．又被乘数的9倍是三位数，8倍是两位数，它只能是12．故所求为12×89=1068．3、（★★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面算式(1)中。

小学奥数：数阵图(二).专项练习及答案解析

1. 了解数阵图的种类2. 学会一些解决数阵图的解题方法3. 能够解决和数论相关的数阵图问题.一、数阵图定义及分类：1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3.二、解题方法：解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．复合型数阵图【例 1】由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数，每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________．313233212223131211【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题【分析】这9个数的和：111213212223313233++++++++10203031233198=++⨯+++⨯=（）（）由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就例题精讲知识点拨教学目标5-1-3-2.数阵图是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=．【答案】33【例 2】如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。

如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是64，那么，中间圆圈内填入的数是。

【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，复赛，第5题，5分【解析】 2 【答案】2【例 3】如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.（1）17894【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2），（2）a cb49817则有a+4+9=a+b+c （1）b+8+9=a+b+c （2）c+17+9=a+b+c （3）（1）+（2）+（3）：（a+b+c ）+56=3（a+b+c ），a+b+c=28，则 a=28－（4+9）=15，b=28－（8+9）=11，c=28-（17+9）=2解：见图.1789411215【答案】1789411215【例 4】请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？【考点】复合型数阵图【难度】3星【题型】填空【解析】为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.设A+B+C=A+F+G=A+D+E=B+D+F=C+E+G=k（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）+（C+E+G）=5k，3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，2（A+B+C+D+E+F+G）+A=5k，2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，56+A=5k.，因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12，因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.，解：得到一个基本解为：（见图）7654321【答案】7654321【例 5】在左下图的每个圆圈中填上一个数，各数互不相等，每个圆圈有3个相邻(即有线段相连的圆圈)的圆圈。

2022-2023学年小学四年级奥数测试卷(全国通用)12《有趣的数阵》(解析版)

【四年级奥数举一反三—全国通用】测评卷12《有趣的数阵》试卷满分：100分考试时间：100分钟姓名：_________班级：_________得分：_________一．选择题（共5小题，满分10分，每小题2分）1．（2分）（2006•创新杯）将非零的自然数l，2，3，⋯按如图格式排列，那么第10行第10列的数为( )A．90 B．91 C．109 D．110【解答】解：注意到第一列是完全平方数：1，4，9，16，25，⋯第1行第1列的数为2101-=，第3行的第3列数为2327-=，⋯，-=，第2行的第2列数为：2213由此类推第10行第10列数为：2-=；10991故选：B。

2．（2分）（2005•创新杯）将44⨯的正方形纸片剪去两个1l⨯的小正方形后得到四个图形甲、乙、丙、丁中，能够剪成7个相连的2l⨯小长方形的是()A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：如图：丙能够剪成7个相连的2l⨯小长方形；故选：C。

3．（2分）（2011•华罗庚金杯模拟）观察下图各数组成的“三角阵”，它的第15行左起的第7个数是()A．232 B．218 C．203 D．217⑤189【解答】解：前14行共有数：⨯+⨯-⨯÷14114(141)22=+⨯⨯÷，14141322=+，14182=；196第14行最后一个数就是196，第15行的左起7个数就是：197、198、199、200、201、202、203，所以第15行第7个数是203．故选：C。

4．（2分）根据如图所示的3条数列，找出其变化规律．那么，下一个出现的数列应该是A、B、C、D中的()A．B．C．D．【解答】解：因为第二列的数是由第一列的数去掉第三个数2所得，第三列的数是由第二列的数去掉第二个数4所得，所以第四列的数应该是第三列的数去掉第一个数5所得，即为9，7，8．故选：D。

5．（2分）（2013•华罗庚金杯）把自然数按如图所示的方法排列，那么排在第10行第5列的数是()A．79 B．87 C．94 D．101【解答】解：根据以上分析知第14斜行的最后一个数是：12314+++⋯+，(141)(132)(87)=++++⋯++，157=⨯，105=，1054101-=．故选：D。

五年级奥数-数阵图与数字谜(含解析)

数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。

精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。

【例1】（2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。

【分析】由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。

【例2】（2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。

【分析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。

所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。

【例3】（2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。

表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。

请将表中其它的数全部填好。

C BA【分析】由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。

因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。

可得右下图。

【例4】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

五年级奥数：数阵图(二)

数阵图(二)一、考点、热点回顾上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

1、一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题2、有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

一般地，在m边形中，每条边上有n个数的形如下图的图形称为封闭型m-n图。

与“辐射型m-n图只有一个重叠数，重叠次数是m-1”不同的是，封闭型m-n图有m个重叠数，重叠次数都是1次。

对于封闭型数阵图，因为重叠数只重叠一次，所以已知各数之和+重叠数之和=每边各数之和×边数。

二、典型例题例1 、将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为21×2-(1+2+…+8)=6。

在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。

每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。

如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有2+6+7=15和3+4+8=15，故有左下图的填法。

如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。

例2、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。

所以三个重叠数之和等于11×3-(1+2+…+6)=12。

1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。

如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。

容易发现，所填数不是1～6，不合题意。

同理，三个重叠数也不能是3，4，5。

经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。

例3 、将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。

四年级下册数学试题-奥数专题讲练：12 等差数列提高篇(解析版)全国通用

第十二讲等差数列在今天这节课中，我们来学习等差数列在实际解题过程中的综合运用.这节课主要以等差数列的综合运用为主，但考虑到许多学生没有系统接触过“等差数列”的知识，建议教师在本节课系统讲解一下. 知识点：1、等差数列在计算题中的综合运用.2、等差数列在数表中的综合运用.分析：通过审题可知，各个名次获奖的人数正好构成一个等差数列：1，2，3，…，15，根据求和公式，获奖总人数为：(1+15)×15÷2=120(人).[复习一]你能给大家说一说有关等差数列的性质、结论以及相关公式吗？快快举手，多多赢得小印章！（1）先介绍一下一些定义和表示方法：定义：从第二项起，每一项都比前一项大（或小）一个常数（固定不变的数），这样的数列我们称它为等差数列.譬如：2、5、8、11、14、17、20、…… 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、…… 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列（2）首项：一个数列的第一项，通常用a 1表示；末项：一个数列的最后一项，通常用a n 表示，它也可表示数列的第n 项. 每个数列都有最后一项吗？数列分有限数列和无限数列；项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示；和：一个数列的前n 项的和，常用S n 来表示 .（3）三个重要的公式：你还记得吗教学目标想挑战吗？育才小学举办“迎春杯”数学竞赛，规定前十五名可以获奖，比赛结果第一名1人，第二名并列2人，第三名并列3人……第十五名并列15人，你能快速计算出得奖的一共有多少人吗？① 通项公式：递增数列：末项=首项＋(项数-1)×公差， 1(1)n a a n d =+-⨯递减数列：末项=首项-(项数-1)×公差，1(1)n a a n d =--⨯回忆讲解这个公式的时候我们可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让同学明白末项其实就是首项加上（末项与首项的）间隔的公差个数，或者从找规律的情况入手.同时我们还可延伸出来这样一个有用的公式：(),()n m a a n m d n m -=-⨯> ② 项数公式：项数=（末项-首项）÷公差＋1由通项公式可以得到： 1()1n n a a d =-÷+ （1n a a >若）；1n ()1n a a d =-÷+（1n a a >若）. 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的！譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、……、40、43、46 ，分析：配组：（4、5、6）、（7、8、9）、（10、11、12）、（13、14、15）、……、（46、47、48），注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有48-4+1=45项，每组3个数，所以共45÷3=15组，原数列有15组. 当然，我们还可以有其他的配组方法. ③ 求和公式：和=（首项＋末项）×项数÷2，1()2n n s a a n =+⨯÷ 对于这个公式的得到我们可以从两个方面入手：（思路1）1＋2＋3＋…＋98+99+100＝101×50=5050（思路2）这道题目，我们还可以这样理解：即，和= (100＋1)×100÷2＝101×50＝5050（4）中项定理对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数. 譬如：（1）4＋8＋12＋…＋32＋36=（4+36）×9÷2=20×9=1800 ，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于20×9 ；（2）65＋63＋61＋…＋5＋3+1=（1+65）×33÷2=33×33=1089 ，题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于33×33 .[复习二]（1）5、8、11、14、17、20、…… ，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？（2）如果一等差数列的第4项为21，第10项为57，求它的第16项.（3）一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？分析：（1）它是一个无限数列，所以项数有无限多项.第n项=首项+公差×（n-1），所以，第99项=5+3×（201-1）=605，对于数列5，8，11，……，65，一共有：n=（65-5）÷3+1=21，即65是第21项. （2）要求第16项，必须知道首项和公差.第10项－第4项=（10－4）×公差，所以，公差= 6 ；第4项=首项+3×公差，21=首项+3×6 ，所以，首项=3 ；第16项=首项+15×公差=93 .（3）根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：8×7=56.专题精讲（一）等差数列在计算中的综合运用【例1】（1）(2+4+6+…+96+98+100)-(1+3+5+…+95+97+99)（2）1+3+4+6+7+9+10+12+13+…+66+67+69+70；（3）1000+999-998+997+996-995+…+106+105-104+103+102-101.（4）72+793+7994+79995+799996分析：（1）同学们可能已经发现和式2+4+…+98+100，l+3+5+…+97+99中的项成等差数列，从而可能想到先求和，再做减法.这样做，很自然，也比较简便，有其他更为简便的解法吗?再看题，你会冒出一个好想法：运用加减运算性质先做减法：2-l，4-3，6-5，…，100-99，它们的差都等于1，然后，计算等于1的差数有多少个.由于题中1至100的全部偶数之和作为被减数，奇数之和为减数，所以，相邻的奇偶数相减(以大减小)，共得50个差数1，从而，原式=(2-1)+(4-3)+…+(98-97)+(100-99)=50.（2）可以把这个数列拆分为两个数列1+4+7+10+13+…+67+70和3+6+9+12+…+66+69，对他们分别求和：原式=(1+70)×24÷2+(3+69)×23÷2=1680.（3）本题也可以按照上题的方法做，但我们还有更简便的办法，把式子中的减法都计算出来可以得到下式：1000+1+997+1+…+106+1+103+1．这是1000+997+…+106+103和1+1+…+1+1的组合，分别计算结果即可：原式=(1000+103)×300÷2+1×300=165750 .（4）原式=(80-8)+(800-7)+(8000-6)+(80000-5)+(800000-4)=888880-(8+7+6+5+4)=888850[评注]以上都是些常见的数列求和问题，以后我们遇到的题都是和这些题的类型相似的，我们应该熟练掌握他们的计算方法．【例2】在1～100这一百个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？分析：我们先计算l～100的自然数和，再减去能被9整除的自然数和，就是所有不能被9整除的自然数和了．1+2+…+100=(1+100)×100÷2=5050，9+18+27+…+99=(9+99)×11÷2=594，所有不能被9整除的自然数和：5050-594=4456．如果直接计算不能被9整除的自然数和，是很麻烦的，所以我们先计算所有1～100的自然数和，再排除掉能被9整除的自然数和，这样计算过程变得简便多了[前铺] 在1～100这一百个自然数中，所有能被9整除的数的和是多少分析：每9个连续数中必有一个数是9的倍数，在1～100中，我们很容易知道能被9整除的最小的数是9=9×1，最大的数是99=9×11，这些数构成公差为9的等差数列，这个数列一共有：11-1+1=11项，所以，所求数的和是：9+18+27+……+99=（9+99）×11÷2=594.[拓展]从401到1000的所有整数中，被8除余数为1的数有多少个？分析：（1）因为被8除余数为1的整数组成公差是8的等差数列，最小的是401，最大的是993，于是项数=(993—401)÷8+1=75．【例3】已知数列2、3、4、6、6、9、8、12、…，问:这个数列中第2000个数是多少?第2003个数是多少?分析:奇数项的排列规律是：2、4、6、8，… 偶数项的排列规律是：3、6、9、12，…先求出这两个数各自在等差数列中的项数：第2000个数在偶数项等差数列中是第2000÷2=1000个数，第2003个数在奇数项等差数列中是第（2003+1）÷2=1002个数，所以第2000个数是3000，第2003个数是2004 .[前铺一]已知数列2，4，6，8，……，问这个数列中第2000个数是多少？分析：根据等差数列通项公式：1(1)n a a n d =+-⨯，第2000个数为：2+（2000-1）×2=4000.（教师在这个数列中插入1，3，5，7，…，变为前铺二）[前铺二]已知数列：2，1，4，3，6，5，8，7……，问2008是这个数列的第多少项？分析：偶数项的排列规律是：1、3、5、7，… 奇数项的排列规律是：2、4、6、8，…可以看出两个数列都是等差数列.由于2008是偶数，所以在奇数项数列中，它的项数是：（2008-2）÷2+1=1004，所以在整个数列中，2008的项数是1004×2-1=2007，所以2008是这个数列的第2007项.[拓展]求出原题中的前100项和，并判断出100、111、120分别是数列中的第几项. 分析：前100项的和=（3＋150）×50÷2＋（2+100）×50÷2=255×25=6375 ， 100是2的倍数，所以是奇数项的第50项，原数列的第99项； 111是3的倍数，所以是偶数项的第37项，原数列的第74项；同样，120是原数列的第80项和第119项 .【例4】盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里.这时盒子里共有多少只乒乓球？分析：一只球变成3只球，实际上多了2只球.第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球.因此拿了十次后，多了2×1＋2×2＋…＋2×10＝2×（1＋2＋…＋10）＝2×55＝110（只）. 加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）.综合列式为：（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）.【例5】从1到50这50个连续自然数中，取两不同的数相加，使其和大于50，有多少种不同的取法？分析：设满足条件的两数为a、b，且a＜b，则若a=1，则b=50，共1种.若a=2，则b=49，50，共2种.若a=3，则b=48，49，50，共3种.…若a=25，则b=26，27，…50，共25种.若a=26，则b=27，28，…50，共24种.（a=26，b=25的情形与a=25，b=26相同，舍去）.若a=27，则b=28，29，…50，共23种.…若a=49，则b=50，共1种.所以，所有不同的取法种数为1+2+3+…+25+24+23+22+…+l=2×（1+2+3+…+24）+25=625.【例6】如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色.如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？分析：由题意可知，从上到下每层的正方形个数组成等差数列，其中a1＝1，d＝2，a n＝15，所以n＝（15－1）÷2＋1＝8，所以，白色方格数是：1＋2＋3＋…＋8＝（1＋8）×8÷2＝36，黑色方格数是：1＋2＋3＋…＋7＝（1＋7）×7÷2＝28.[巩固]用相同的立方体摆成右图的形式，如果共摆了10层，那么最下面一层有多少个立方体？分析：从图可以看出最底层每一列的立方数分别为10，9，8， (1)所以最底层立方体数目为：(10+1)×10÷2=55．要学会正确的读图．【例7】在右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍.如果最大的三角形共有8层，问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？分析：最大三角形共有8层，从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：层 1 2 3 4 5 6 7 8小三角形数 1 3 5 7 9 11 13 15火柴数 3 6 9 12 15 18 21 24由上表看出，各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也成等差数列.（1）最大三角形面积为：（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（平方厘米）.（2）火柴棍的数目为：3＋6＋9+…+24＝（3＋24）×8÷2=108（根）.[前铺]一只小虫沿笔直的树干跳着上行，每跳一次升高4厘米.它从离地面10厘米处开始跳，如果把这一处称为小虫的第一落脚点，那么它的第100个落脚点离地面多少厘米？分析：由下往上依次用①、②、③、…表示小虫的落脚点，见下表首项（即起始高度）为10，公差是4.到第100落脚点时，已跳了99次，因此，第100落脚点的高度为：10＋4×（100-1）＝406（厘米）.[数学小笑话]一个财主请来家庭教师给儿子教写字，第一天老师教了一个“一”字，第二天教了个“二”字，第三天教了个“三”字，这时那位儿子要求父亲把教师辞退，说他已经无师自通了.财主很高兴，让儿子给一位姓万的先生写信，儿子自信满满的拿着一摞纸到了书房，写了一上午都没有出来，财主等不及就到了书房，看见儿子正卖力的在纸上画线，地上已经有好多已经画满线的纸，财主很生气，说道：“我让你写信，你怎么偷懒啊？”儿子很委屈，回答道：“我在写信啊，谁让这个人姓万呢，我写了一上午，还差三百横呢！”原来儿子以为“万”字就是画一万横，结果一上午连一个姓也没有写出来.（二）等差数列在数表中的综合运用【例8】（希望杯数学邀请赛）观察下面的序号和等式，填括号.序号等式1 1 ＋2 ＋ 3= 63 3 ＋ 5 ＋ 7= 155 5 ＋ 8 ＋ 11= 247 7 ＋ 11 ＋ 15= 33∶∶∶∶∶（）（）＋（）＋7983=（）分析：可以这样想：（1）表中各竖行排列的规律是什么？（等差数列）（2）表中这四个括号，应先填哪一个？为什么？这个括号里的数怎么求？应先填左起第一个，因为它是序号，表示了其他三个括号里的数在各自的等差数列中所在的位置，即各自的项数.第一个括号：（7983-3）÷4＋1=1996 ，1＋（1996-1）×2=3991 ；第二个括号：1＋（1996-1）×2=3991 ；第三个括号：根据等差数列通项公式：2＋（1996-1）×3=5987 或 3991+1996=5987 ；第四个括号：根据等差数列通项公式：6＋（1996-1）×9=17961 或 5987×3=17961 .【例9】自然数按一定规律排成下表，问第60行第5个数是几？135791113151719212325272931333537394143454749............分析：从两个方面考虑：（1）先看组成这张表的数：1，3，5，7，9，….这是一个公差为2的等差数列.第60行第5个数是这数列中的一项，已知首项和公差，知道第60行第5个数是数列中的第几项即可求解.而这个项数就是排列第60行第5个数时所用去数的个数.（2）从表的排法来看，每行的数的个数也是等差数列：1，3，5，7，….第60行第5个数也就是排完59行后又排5个数.59行所排数的个数就是1，3，5，7，…，中的第59项.所以，第59行所用数的个数为：1＋2×（59-1）＝117（个），从第一行排到第59行所用数的总个数为：（1＋117）×59÷2=3481（个），到第60行第5数共用去数的个数为：3481＋5＝3486（个），第60行第5个数是数列1，3，5，7，…中第3486项，为：1＋2×（3486-1）＝6971[巩固]观察下面的数阵，容易看出，第n行最右边的数是2n，那么，第20行最左边的数是几？第20行所有数字的和是多少？分析:通过观察可以看出，每一行最左边的数等于上一行最右边的数加1，所以第20行最左边的数等于192＋1=362；每一行的数字个数为：1，3，5，7，9，……，可以看出成等差数列，所以第20行的数字个数为：1+（20-1）×2=39，每一行的数字都成公差为1的等差数列，所以第20行所有数字的和是：（362＋400）×39÷2=14559 .【例10】将自然数如下排列，12671516...3581417...491318...1012...11......在这样的排列下，数字3排在第2行第1列，13排在第3行第3列，问：1993排在第几行第几列？分析：不难看出，数表的排列规律如箭头所指，为研究的方便，我们不妨把原图顺时针转动45°，就成为三角阵（如下图），三角阵中，第1行1个数，第2行2个数…第n行就有n个数，设1993在三角阵中的第n行，则：1+2+3+…+n-1＜1993≤1+2+3+…+n即：n×（n-1）÷2＜1993≤n×（n+1）÷2用试值的方法，可以求出n=63.又因为1+2+…+62=1953，即第62行中最大的数为1953.三角阵中，奇数列的数字从左到右，依次增大，又1993-1953=40，所以，1993是三角阵中第63行从左开始数起的第40个数（若从右开始数，则为第24个数）.把三角阵与左图作比较，可以发现：①三角阵中每一行从左开始数起的第几个数，就位于左图的第几列.②三角阵中每一行从右开始数起的第几个数，就位于左图的第几行.由此，我们可知，1993位于原图的24行40列.专题展望本讲主要讲了等差数列在实际解题过程中的综合运用，在以后的学习中我们还会学习到关于等差数列的更多知识，希望同学们再接再厉，加油！练习十二1.（例1）巧算: 61+692+6993+69994+699995+6999996分析:原式=(70-9)+(700-8) +(7000-7)+(70000-6)+(700000-5)+(7000000-4)=7777770-(9+8+7+6+5+4)=77777312.（例2）100到200之间不能被3整除的数之和是多少？分析:考虑能被3整除的各数之和102＋105＋…＋198 ;然后（100＋101＋102＋…＋200）—（102＋105＋…＋198）＝10200.3.（例5）明明在玩棋子，他想把35枚棋子放到8个不同的空盒中，如果要求每个盒子都不空，且任意2个盒子里的棋子数目都不一样，明明能办到吗?如果能，他该怎么放?如果不能，说说为什么?分析：因为每个盒子都不空，所以盒子中至少有l枚棋子.同时，任意2个盒中的棋子数不一样，所以8个盒中共有的棋子数至少为：1+2+3+4+5+6+7+8=36(枚).题目中只给了35枚棋子，所以，明明不能办到.4.（例7）某次宴会结束时总共握手45次，如果参加宴会的每一个人，和其他参加宴会的每一个人都只握一次手.参加宴会的一共有多少人？分析:经试验：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9=45，所以一共有10人参加宴会.5.（例9）把自然数依次排成“三角形阵”，如图9－3.第一排1个数；第二排3个数；第三排5个数；…求：（1）第十二排第一个数是几？最后一个数是几？（2）207排在第几排第几个数？（3）第13排各数的和是多少？分析：（1）122，144（2）第十五排的第11个数（3）3925.数学故事从前有一个非常聪明的数学家，他能用数学知识为人们解决许多常见的生活问题，受到人们的爱戴．可是国王嫉贤妒能，总想找借口把年轻的数学家除掉，但一直没有如愿．那时国王正在修一个豪华的宫殿，将要落成的一天，国王看着漂亮的宫殿忽然想到一个为难数学家的好办法，于是派人把数学家找来，说有难事请他帮忙．数学家来到皇宫拜见国王，国王见到数学家心中就有气，他脸露一丝坏笑，说：“听说你很有能耐，什么难题都难不倒你，并以此得到了我臣民的拥护，能有你这样的臣民我应该很高兴，但我怕你是欺世盗名之徒，骗取我臣民的忠心，所以我要考考你，假如你能过关，我就相信你，并保证永远不会再为难你，否则，就将你永远赶出我的国家!”数学家被迫答应了．国王的问题是：新建的皇宫给国王的每一位妃子都建了一个寝宫，国王为了区分不同的妃子在哪个寝宫，决定在每个寝宫门口挂上数目不同的中国结．办法是在第一个门口中间挂上一个，在第二个门口除了中间的一个再分别在两侧各挂上一个，在第三个门口除了第二个门口的三个再在两侧各挂上一个……如此类推，国王共有50个妃子，问一共需要多少个中国结?国王不许数学家到宫门口去试，只许他用脑子想，要是一小时内没有结果就算失败．国王出完题之后命人看住数学家，不让他出去，自己想到后宫去休息一会儿．可还没等到他跨出门口就被数学家叫住了，数学家已经得出了答案：2500个中国结．国王半信半疑，急忙命人去试一下．试了半天，终于试完了，果然是2500个!国王被迫让数学家离开了，可是事后百思不得其解，数学家是怎样知道答案的呢?但碍于面子他宁死不向数学家请教，只是终日冥思苦想，再也没有心思害人了．但他最终也没想明白是怎么回事，终于积劳成疾，命不久矣．临死前他终于忍不住命人把数学家请来，客气地说：“我以前终日与你为难，最终还是难不住你，这些日子我一直对你算出中国结数目的事不解，不知道你如何能那么快得出答案，你能告诉我吗?”见国王时日无多，数学家恭敬地说：“是这样的，我把每个门口的中国结数目列在一起，想成一列数，它们相邻两个的差都是2，我称这样的数列为等差数列，第50个门口是99个，与第一个门口的一个合成100个，第49个门口是97个，与第二个门口的3个合成100个，……如此类推，一共可以合成25个100，合起来共是2500个中国结．”国王听完满意地点了点头，传出命令：“封数学家为全国最聪明的人……”说完永远闭上了双眼．。

小学奥数训练题数阵(无标准标准答案)

数阵1．在下列各图中，将从1开始地连续自然数填入图中地○内，要求每边上地数字之和都相等，中心○处各有几种填法？（每小题给出一个解）2．将1～11填入左下图地○内，使每条虚线上地三数之和都等于18.3．将1～6填入右上图地○中，要求四条直线上地数字之和都等于10.4．将1～6填入左下图地六个○中，使三角形每条边上地三个数之和都等于k，请指出k地取值范围.5．将1～6填入右上图地六个○中，使每个大圆周上地四数之和都等于16.6．将1～9这九个自然数分别填入左下图中地九个○内，使三角形每边上地四数之和都等于20，且有一个顶点○内地数字为1.7．将1～10填入右上图地10个○中，使得每个菱形地4个顶点数之和都等于定数k.问：k 地最大值与最小值各是多少？请各给出一种填法.8．将1～9这九个自然数填入左下图地九个小三角形中，使得每个由四个小三角形构成地三角形内地四个数字之和都等于17.9．将1～8这八个自然数分别填入右上图中地八个○内，使四边形每条边上地三数之和都相等且尽可能大.10．将自然数1～8填在右图地八个○内，使每个小三角形三个顶点数字之和都等于13，并且8位于大正方形地一个顶点上.11．将1～8这八个自然数填入右图地四个圆相互分割地八个部分中，使每个圆内地三个数字之和都相等，并且这个和尽量小.12．将自然数1～10这10个自然数分别填入左下图地10个○内，使五边形每条边上地3数之和都等于17，并且数字1位于一个顶点上.13．将1～8填入右上图地八个○中，使小正方形地四个顶点数之和是大正方形地四个顶点数之和地两倍，并且大正方形每条边上地三个数之和都相等.14．小明玩布阵游戏，他要用360名士兵守卫一座城池（见左下图，图中间表示城区，四周表示城墙，方格中地数表示兵力分布），要求四个角地兵力相同.现在地兵力分布恰好每边有100名士兵，如果小明想使每边有150名士兵，那么兵力应如何分布？15．有座一长方形城堡，四周有10个掩体（如右上图）.守城地士兵有10件武器，各种武器地威力系数如下表.为了使每一面地武器威力系数都相同，并且尽量大，应如何在10个掩体中配备武器？16．将1～5填入右图地○中，使得横、竖、大圆周上地几个数之和都相等.17．将1～7七个数字填入左下图地七个○内，使每个圆周和每条直线上地三个数之和都相等.18．将1～8八个数字填入右上图地八个○内，使每个圆周和每条直线上地四数之和都相等. 19．将1～10填入左下图地10个○内，使3条直线上地4个数字之和相等，3个正三角形3个顶点上地数字之和也相等.20．将1～9填入右上图地九个○内，使得每个圆周和每条直线上地三数之和都相等，并且7，8，9依次位于小、中、大圆周上.21．左下图是大家都熟悉地奥林匹克地五环标志.请将1～9分别填入五个圆相互分割地九个部分，并且使每个圆环内地数字之和都相等.22．将1～7这七个自然数分别填入右上图地七个○内，使得三个大圆周上地四个数之和都等于定数，指出这个定数所有地可能取值，并给出定数为13时地一种填法.23．将1～7分别填入下右图中地A，B，C，D，E，F，G七个部分，使每个圆内地四个数字之和都等于14，并要求G部分填地是奇数.24．将1～7填入右图中地A，B，C，D，E，F，G七个部分，使每个内含四个数地三角形内地四个数之和都等于19.25．将1～9填入左下图地九个○内，使四个大圆周上地四数之和都等于定数16.26．右上图中地四个圆除阴影部分外被相互分割成A，B，C，D，E，F，G，H，I九个部分，将1～9这九个自然数分别填入这九个部分，使每个圆内地四个数字之和都等于20，并要求I部分填入奇数.27．右图中有5个正方形和12个圆圈，将1～12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中地数字之和都等于K，那么K等于几？28．下面各图中各有10个小三角形和4个大三角形，将1～10填入每个小三角形，使每个大三角形内地数字之和都等于25（其中已填好了3个数）：29．将1～9填入下列各图地九个○中（其中6和1已填好），使得每个三角形上地三个数之和都相等：30．下图地大三角形被分割成九个小三角形，大三角形地每条边都与其中五个小三角形有公共点.如果将1～9分别填入这九个小三角形，使得每条边上地五个小三角形内地数字之和都相等，那么这个和地最小值是多少？最大值是多少？31．自然数1～12中有些已填入右上图地○内，请将其余地数补充填入，使得每条直线上地四数之和都相等.32．将1～9填入下图地九个○内，使每个圆周上地四数之和都相等.33．下图中有6个正方形，将1～9填入图中地9个○内，使得每个正方形4个顶点上地数字之和都相等.34．将数字1～8分别填入右上图所示四面体地八个○中，使每个面上地四个○中地数字之和都等于14.35．将数字1～8标在下图所示立方体地八个顶点上，使得每个面上地四个顶点所标数字之和相等.36．在上图所示立方体地八个顶点上标出1～9中地八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出地数整除.37．将1～8填入下图所示立方体地八个顶点上，其中1已经填好，要使任意相邻地两条棱上地三个数之和都是两位数，A处应填几？38．下页上图中有三个正三角形，将1～9填入它们顶点处地九个○中，要求每个正三角形顶点地三数之和都相等，并且通过四个○地每条直线上地四数之和也相等.39．将1～12填入右上图地空格中（其中已填好四个数），使每个圆内地四个数之和都等于28.40．将九个连续自然数填入左下图地九个空格中，使每一横行和每一竖列地三数之和都等于60.41．将从1开始地九个连续奇数填入右上图地九个空格中，使每一横行、每一竖列及每条对角线上地三个数之和都相等.42．将九个数填入左下图地九个空格中，使得任一行、任一列以及任一条对角线上地三个数之和都等于定数k.43．将九个数填入右上图地空格中，使得每行、每列以及每条对角线上44．下列各图中地九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上地三个数之和都相等，求x和y.45．下列各图中九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上地三个数之和都等于24，求x和y.46．下列各图中地九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上地三个数之和都相等，求x和y.47求任一列、任一行以及任一条对角线上地三个数之和都等于267地三阶质数幻方. 48．求九个数之和为531地三阶质数幻方.49．求四个角上地四个数字之和为292地三阶质数幻方.50．在下列各图地每个方格中都填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上地四个数字都是1，2，3，4.51．在下列各图地空格中填入不大于12且互不相同地九个自然数（已填好一个），使每一横行、竖行及对角线上地三数之和都等于21.52．下图地九个小方格中填地数正好是1～9，并且满足：既不同行也不同列地任意三个数之和都等于15.符合题意地不同填法共有36种.下面各小题中都已填上了三个数，请将其余地数补上.53．将1～8填入右图中地○内，要求按照自然数顺序相邻地两个数不能填入有直线段连接地相邻地两个○内.54．将1～8填入右图地八个空格，使得横、竖、对角任何两个相邻空格中地数不是连续数.55．下图地九个○由线段相连，其中一个○里地数是6.请选出九个连续自然数（包括6在内）填入○中，使每条直线上地各数之和都等于23.56．将1～9填入右上图中地九个○内，使图中所有三角形（共七个）地三个顶点数之和都相等.57．将自然数1～11填入下图地11个○中，使得每条直线（共10条）上地三个数字之和都相等.58．在下图地六个○内各填入一个质数，使它们地和等于20，且每个三角形（共五个）地三个顶点数之和相等.59．将1，2，3，4，8，12这六个数填入右上图地六个○内，使三角形每条边上地三个数地乘积都相等.60．在下图地七个○内各填入一个质数，使每个小三角形（共六个）地三个顶点数之和相等，且为尽量小地质数.61．把20以内地质数分别填入左下图中地八个○，使图中用箭头连接起来地四个数之和都相等.62．20以内共有10个奇数，去掉9和15还剩八个奇数，将这八个奇数填入上图地八个○中（其中3已填好），使得用箭头连接起来地四个数之和都相等.63．在图地空格中任意填入八个自然数（可以相同），使每边地数字之和为5，而八个数地总和为12.如果八个数地总和为13，14，15，16呢？64．从1～13中选出12个自然数填入左下图地空格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等.65．将1～6分别填入右上图地六个○中，使得每个三角形三个顶点地数字之积能被它地三个顶点地数字之和整除，并且正方形四个顶点地数字之积也能被它地四个顶点地数字之和整除.66．将1～9填入下图地九个○中，使得三角形每条边（共有六条）上地三个数之和都相等.67．在下列各图地九个方格中已填入四个数，请再填入五个自然数，使得任一行、任一列地三个数之积都相等：68．在下列各图中分别填入五个自然数，使得每一横行、每一竖列地三个数地乘积都相等：69．在下列各图中分别填入六个自然数，使得每一横行、每一竖列地三个数地乘积都等于60：70．右图地四个圆被相互分割成八个部分，在这八个部分中分别填入1或2，使得各圆内地三个数字之和互不相同.71．在下图地六个○内填入1或2，使得每个大圆周上地四个数字之和互不相同.72．将前9个自然数填入左下图地9个方格中，使得任一行、任一列以及任一条对角线上地3个数之和互不相同，并且相邻地2个自然数在图中地位置也相邻.73．在右上图地五个○内各填入一个自然数，使得图中八个三角形地顶点数字之和互不相同.满足这个条件地自然数有很多组，求所填五个数之和最小地一组.74．下图中有三个正方形，在每个正方形地四个顶点上填入1，2，3，4四个数.问：（1）能否使八个三角形顶点数之和都相等？（2）能否使八个三角形顶点数之和互不相同？如果能，请画图填数；如果不能，请说明理由.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.IAg9q。

小学五年级奥数精品专项训练-数阵_周期问题

一、数阵一、知识要点填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。

这里，和同学们讨论一些数阵的填法。

解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。

待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。

试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。

把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

二、精讲精练【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

【思路导航】先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。

把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。

然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

练习1：1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

【答案】1.7、1、5、6、2、10、3、9、4、8（答案不唯一）2.1、2、3、8、5、4、9、6、7（答案不唯一）3.2、6、4、1、5、3、7（答案不唯一）【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。

【思路导航】设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2.即55＋a＋b=60，a＋b=5。