《半导体物理》讲义：第二章 晶格振动和晶格缺陷

第二章 晶格振动和晶格缺陷

在上一章中，我们把组成晶体的原子或离子看成是固定不动的，都处在其平衡位置上。实际晶体中的原子却是不停地在其平衡位置附近做热振动的，并且随着温度的升高，振动会不断加剧。这种热振动也称晶格振动，它会破坏晶格的周期性，在晶格中造成缺陷，从而对半导体的性质产生重要影响。实际三维晶体中原子的振动现象很复杂，在这里我们只分析一维晶体（单原子和双原子链）的振动，然后将所得到的规律和结论推广到三维晶体中。 §2-1 一维均匀线的振动

为研究一维原子链的振动，首先复习一下一维均匀线中弹性波（纵波）的传播现象。设均匀线的质量密度为ρ，弹性模量为K ，又设线上每一点只能沿线本身的方向（纵向）运动，如图2-1所示。

若在线元x ∆上施加一作用力，它将引起x 点的纵向位移u （x ）。此时在x

处的相对伸长（即形变）为x

u

x e ∂∂=)(，在x x ∆+处的形变则为

x x

u

x e x x e ∆∂∂+=∆+22)()(。根据胡克定律（Hooke's law ），此时在线元x ∆上的作

用力为

[]x x

u

K x e x x e K F x ∆∂∂=-∆+=∆22)()( (2-1）

此作用力还可表示为线元质量x ∆ρ乘上加速度22t

u

∂∂，即

22t

u

x F x

∂∂∆=∆ρ （2-2）

从而有 22t

u ∂∂=22

222x u x u K ∂∂=∂∂υρ （2-3）

式中，ρ

υK

=

是弹性波的传播速度（声波速度），与振动频率无关。（2-3）式

称线性振动方程，其解为具有如下形式的简谐波

[])(ex p ),(t qx i A t x u ω-= （2-4）

式中，A 为振幅，πνω2=为角频率，

ν为振动频率，λ

π

2=q 为波矢（波数

λ

1

π2⨯）

。

由于波速λνυ=，从而有

q υλπυπνω===/22 （2-5） 即ω与波矢q 成正比。q 的绝对值可取∞→0，因而振动频率也可取∞→0，且与q 是一一对应的。（2-5）式也称波的色散关系。

***胡克定律：是力学基本定律之一，适用于一切固体材料的弹性形变。它指出：在弹性限度内，物体的形变与引起形变的外力成正比。这个定律是英国科学家胡克提出的，所以叫做胡克定律。（罗伯特·胡克，英国科学家，又译罗伯特·虎克（Robert Hooke ，1635年7月18日－1703年3月3日），英国博物学家，发明家。1635年7月18日生于英国怀特岛的弗雷斯沃特村，1703年3月3日卒于伦敦。在物理学研究方面，他提出了描述材料弹性的基本定律-胡克定律，在机械制造方面，他设计制造了真空泵，显微镜和望远镜，并将自己用显微镜观察所得写成《显微术》一书，细胞一词即由他命名。在新技术发明方面，他发明的很多设备至今仍然在使用。除去科学技术，胡克还在城市设计和建筑方面有着重要的贡献。但由于与牛顿的争论导致他去世后少为人知。胡克也因其兴趣广泛，贡献重要而被某些科学史家称为“伦敦的莱奥纳多（达芬奇）”）

§2-2 一维单原子链的振动

晶体由周期性排列的原子构成。由于晶体微观结构的这种不连续性，使得晶体中原子的振动具有与连续媒质弹性振动不同的特点。由于原子之间的相互作用，在晶体中每个原子的振动并不是彼此孤立的，而是一个原子的振动要依次传递给其他原子。晶体中的原子振动，总体而言，也是以波的形式在晶体中传播的。这种晶体中的原子振动波称格波。

下面分析由质量为m 、间距为a （晶格常数）的同种原子构成的一维单原子链的晶格振动。如图2-2所示，假设第n 个原子的位移为u n 。如果这个原子偏离平衡位置不远，则其受到的相互作用力可认为是准弹性的，并与原子间距的变化成比例。因此，在忽略包括次近邻以外原子的作用后，n 原子所受到的作用力F n 为n-1和n+1两个最近邻原子的作用力之和，即

)2()()(1111n n n n n n n n u u u u u u u F -+=---=-+-+βββ （2-6）

式中，β称准弹性力常数且a K /=β，即a K β=，K 为弹性模量。于是，第n 个原子的运动方程可写为

=22dt

u d m n

)2(11n n n u u u -+-+β （2-7）

该方程的解为简谐波

[])(ex p t qna i A u n ω-= （2-8） 将（2-8）代入（2-7）得

)2(2-+=--iqa iqa e e m βω=[]2

sin 4)cos 1(22qa

qa ββ-=-- 从而有 2

sin 42

2qa

m βω= （2-9） 于是得 2sin 2sin )(22/1qa

qa m m ωβω== （2-10）

式中，2/1)/(2m m βω=为最大振动角频率。（2-10）式即为一维单原子链的色散关系，也称频谱分布。从而一维单原子链中准弹性波的传播速度为

λ

πβπλπωλνλυa m sin )/(22/1==

= （2-11） 与波长有关。一维单原子链的格波（简谐波）具有以下性质：

1．所有原子都以相同的角频率ω和振幅A 作简谐振动；

2．各原子之间有一均匀变化的位相差。位相差的大小由原子之间的距离a 和波长q πλ2=

决定。近邻原子间的位相差为a a q λ

π

2=； 3．如果两个波矢'q q 和之间存在以下关系

l a

q q π

2'+

= （l 为任意整数） （2-12） 则相应于这两个波矢的格波所引起的原子振动是相同的。

**因为，对于'q 格波，原子振动为

[][]t)-ex p )2ex p()(ex p 2(ex p '

ωπωωπqna A nl i t qna i A t na l a q i A u n （

）=-=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-+= =u n (2-13)

与波矢为q 的格波所引起的原子的振动相同。因此，当q 在2π/a 的范围内变化时，能够给出所有的独立格波。为了明确起见，通常限制 a

q a π

π

<

≤-

（2-14）

波矢q 的这一变化范围，称为第一布里渊区。格波之所以具有上述性质，是因为晶体中的原子不是连续分布，而是周期排列的。由于q 在a

a

π

π

和

-之间取值，故

当a

q π

=

max 时，相应的格波波长最小，为a q 22max

min ==

π

λ。这个结果的物理意义