一元二次函数
一元二次函数的解法
一元二次函数的解法函数定义了一个点集中的每个点的坐标关系，其中一元二次函数是最常用的函数之一，它可以描述许多实际中出现的应用。
一元二次函数的定义是：函数y=ax2+bx+c（a≠0），其中a、b、c是实数，称为一元二次函数。
一元二次函数的特点是它可以根据函数图像分析出它的特征，例如，对于一元二次函数图像，可以分析出它的顶点坐标、凹凸性和函数一阶导数的符号以及二阶导数的符号等。
一元二次函数的求解方法也有多种，例如，可以采用直接法、差商法和因式分解法等。
1、直接法直接法是指通过求解方程，直接求解函数的值。
例如，一元二次函数y=ax2+bx+c，将其化为一元二次方程ax2+bx+c=0，可以使用两个不等式相减或方程根定理求解该一元二次方程。
2、差商法差商法是通过求解指定的函数的差商来求解的。
例如，一元二次函数y=ax2+bx+c，可以求解两个不同点（x1，y1）、（x2，y2）处的三阶差商和四阶差商，从而求解出该函数的系数a、b、c的值。
3、因式分解法因式分解法是通过求解一元二次函数的因式展开式，求解出该函数系数a、b、c的值。
例如，一元二次函数y=ax2+bx+c，可以将它分解成（x+α）（x+β）＝0的形式，然后给出α，β的值，从而求得该函数的系数a、b、c。
4、特例求解法特例求解法是指利用某些特殊的情况来直接求解一元二次函数的，例如当一元二次函数的b=0时，可以直接求解出它的系数a、b、c的值。
以上就是一元二次函数的求解方法和分析，一元二次函数的研究和分析有着重要的实际意义，它可以应用于工程设计、投资管理、金融预测等等。
有了对一元二次函数的准确掌握，就可实现精准的计算。
总之，一元二次函数是一种非常常用的函数，它可以应用于各种实际工程领域的计算和分析，掌握其一元二次函数的求解方法既有利于开展理论研究，又有利于实际工程中的应用。
一元二次函数归纳
一元二次函数的图象一、 定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 其中，x 是自变量，a,b,c 分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项。
二、一元二次函数y ＝ax ²＋bx ＋c ﹙a ≠0﹚的图象(其中a,b,c 均为常数)1.当a ＞0时 函数图象开口向上；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最小值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递减；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递增；2.当a ＜0时函数图象开口向下；对称轴为x ＝﹣2a ／b ，有最大值且为﹙4ac －b ²﹚／4a ； 当x ∈﹙﹣∞,﹣2a ／b]时递增；当x ∈[﹣2a ／b,﹢∞﹚时递减；2.△＝b ²－4ac当△＞0时，函数图象与x 轴有两个交点； 当△＝0时，函数图象与x 轴只有一个交点； 当△＜0时，函数图象与x 轴没有交点。
(如下图所示)三、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1) a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.例1：画出212y x =- 2y x =- 22y x =-的图象212y x =- 22y x =- 2y x =-归纳：一般地，抛物线2y ax =的对称轴是y 轴，顶点是原点，当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大。
(2)b 和a共同决定抛物线对称轴的位置例2：画出二次函数21(1)2y x =-+，211)2y x =--（的图象，考虑他们的开口方向、对称轴和顶点。
21(1)2y x =-+ 211)2y x =--（可以看出，抛物线21(1)2y x =-+的开口向下，对称轴是进过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线211)2y x =--（的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）。
关于一元二次函数,一元二次方程,一元二次不等式及其关系
1. 一元二次函数函数 2y ax bx c =++ (0)a ¹叫做一元二次函数，其中,,a b c 是常数 一般式2y ax bx c =++ ( 0a ¹)顶点式 ()2y a x h k =-+ (0a ¹),其中(),h k 为抛物线顶点坐标两点式()()12y a x x x x =-- ( 0a ¹), 其中12,x x 是抛物线与x 轴交点的横坐标。
1.1一元二次函数的基本性质1.1.1一元二次函数的定义域和值域 一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹的R一元二次函数2y ax bx c =++ ，(0)a ¹ 的值域是0a >时一元二次函数的值域是24,4ac ba 轹-÷ê÷+ ÷ê÷øë 0a <时一元二次函数的值域是24,4acb a 纟-çú- ççúèû1.1.2一元二次函数的单调性1. 2y ax bx c =++ ， ()0a > 在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调减函数 ，在区间,2ba 轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调增函数 。
当2b x a=-时 2min 44ac b y a-=， m ax y =无2. 2y ax bx c =++ ()0a <在区间,2ba 纟çú-?ççúèû上为单调增加函数，在区间,2ba轹÷ê-+ ÷÷êøë上为单调减函数 。
一元二次方程定义
一元二次方程定义一元二次方程是一种形如 $ax^2+bx+c=0$ 的代数式，其中 $a,b,c$ 都是实数且 $a \e 0$。
在数学中，一元二次方程是一类基本的二次函数，它在数学上的应用广泛，尤其在物理学、工程学、计算机科学等领域中，有着重要的作用。
一元二次方程的参数$a,b,c$ 分别代表二次项系数、一次项系数和常数项。
在解一元二次方程时，我们的主要任务就是求解方程的根。
通常来说，有三种常见的解法，即因式分解法、求根公式法和配方法。
不过，这三种方法并不一定适用于所有的一元二次方程。
在接下来中，我们将具体介绍这三种解法以及它们的应用场景。
1. 因式分解法因式分解法是最为直观的解法之一。
对于形如 $ax^2+bx+c=0$ 的一元二次方程，如果其二次项系数 $a$ 不为零并且其方程左边的多项式是可因式分解的，那么我们就可以使用因式分解法来解方程。
具体步骤如下：（1）观察方程左边的多项式，尝试将其因式分解为两个一次多项式的乘积，即 $ax^2+bx+c=(mx+p)(nx+q)$。
（2）将因式分解后的乘积式展开并合并同类项，得到一个新的二次方程，即 $mnx^2+(mq+np)x+pq=0$。
（3）将新的二次方程与原方程进行比较，即可得到各个系数的关系，从而求出方程的根。
需要注意的是，因式分解法并不适用于所有的一元二次方程。
具体来说，它只适用于一元二次方程的方程左边的多项式可以被分解为两个一次多项式的乘积的情况。
如果方程左边的多项式是一个完全平方式，则我们可以直接使用求根公式法来求解。
2. 求根公式法求根公式法是解一元二次方程时最为常见的一种方法。
它基于一种著名的求根公式，即 $x=\\frac{-b\\pm \\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。
这个公式也被称为一元二次方程的通项公式。
在使用求根公式法时，我们需要依次求出二次项系数 $a$、一次项系数$b$ 和常数项 $c$ 的值，并将其代入求根公式中即可求解方程的根。
一元二次函数配方法
一元二次函数配方法一元二次函数是指具有形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a不为零。
一元二次函数的配方法是指通过变形将一元二次函数转化为完全平方的形式，从而方便求解函数的最值、根、顶点等性质。
一元二次函数的配方法是学习高中数学中非常重要的一个知识点，掌握好配方法对于理解和应用一元二次函数具有重要意义。
首先，我们来了解一元二次函数的标准形式及完全平方形式。
一元二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a 不为零。
完全平方形式即为将一元二次函数重新排列写成一个平方式的样子。
一般来说，将一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c变形为完全平方形式，即将它写成一次平方项的和，即f(x) = a(x - h)^2 + k。
其中(h, k)就是函数的顶点坐标。
下面我们来讲解一下一元二次函数的配方法。
首先，对于一元二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，我们要先找到a、b两项的系数，然后进行配方法变形成完全平方形式。
如何变形呢？我们以一些例子来说明：例子1：将函数f(x) = x^2 + 4x + 3变形为完全平方形式。
首先，我们找到a、b的系数分别为1和4。
然后，我们将b项的系数4折半，得到2，然后加上一个平方的常数项，即+2^2 = 4。
注意，我们要保持等式的平衡，所以我们加4之后要减去4，这样才不改变原式。
于是，我们得到f(x) = (x + 2)^2 - 1。
这样，我们就将一元二次函数变形成了完全平方形式。
从而可以方便求得函数的最值、根、顶点等性质。
例子2：将函数f(x) = 2x^2 + 8x + 5变形为完全平方形式。
首先，找到a、b的系数分别为2和8。
然后，以与例子1相同的方法，我们将b项的系数8折半，得到4，然后加上一个平方的常数项，即+4^2 = 16。
于是，我们得到f(x) = 2(x + 4)^2 - 11。
一元二次方程概念
3
因数分解法
适用于形如ax²+ bx + c = 0，其中a = 1或a不等于1，可以通过因式分解法去解。
一元二次方程的图像
一次函数的图像
二次函数的图像
一次函数的图像是一条直线，斜率代表了直线的倾 斜程度和函数的增长速度。
二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线， 顶点处为极值点。
一元二次方程的性质
1 判别式
判别式D = b²-4ac常用于判断一元二次方程的解的情况。
2 轨迹离散
当二次项系数a的值越小或越大时，抛物线的轨迹越趋向于x轴或y轴。
3 图像对称
抛物线关于顶点对称。
一元二次方程的应用
物理应用
抛物线的底部宽度可以应用于建 筑设计、设计跃高运动场地等需 要计算物体的轨迹的场合。
商业应用
二次函数的相关参数可以用于广 告投入和销售额的关系，以及生 产成本和产量的关系等商务领域 的计算。
我们为什么要学习一元二次方程？
研究一元二次方程有助于我们更深入地了解二次函数的基本概念
一元二次方程的一般形式
标准形式
一元二次方程的一般形式为：ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是已知 常数，x是未知变量。
无解情况
当b²-4ac小于0时，一元二次方程 没有实数根，称为无解情况。
解的总数
一元二次方程的应用？ຫໍສະໝຸດ 物理、商务和科学领域广泛 使用了一元二次方程的相关 数学概念。
一元二次方程有0、1或2个解。 具体解的数量取决于求方程的解 时一次项系数的符号和二次项系 数与常数项之间的关系。
一元二次方程的解的求法
1
配方法
适用于ax²+ bx + c = 0，通过配方将一元二次方程变为完全平方。
二次函数及一元二次不等式
一、一元二次函数及一元二次不等式一、二次函数1．函数)0(2≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。
2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。
3．任何一个二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式：ab ac ab x a y 44)2(22-++=，性质如下：（1）图象的顶点坐标为)44,2(2ab ac ab --，对称轴是直线ab x 2-=。
（2）最大（小）值① 当0>a ，函数图象开口向上，y 有最小值，a b ac y 442min -=，无最大值。
② 当0<a ，函数图象开口向下，y 有最大值，ab ac y 442max -=，无最小值。
（3）当0>a ，函数在区间)2,(ab --∞上是减函数，在),2(+∞-ab上是增函数。
当0<a ，函数在区间上),2(+∞-a b 是减函数，在)2,(ab --∞上是增函数。
【例1】求作函数64212++=x x y 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x x y【练习1】（1）求作函数362++=x x y 的图象。
（2）求作函数342+--=x x y 的图像【解】)34(3422-+-=+--=x x x x y 7)2[(]7)2[(22++-=-+-=x x （二）一元二次函数性质【例2】求函数962++=x x y 的最小值及图象的对称轴和顶点坐标，并求它的单调区间。
【解】 7)3(79626222-+=-++=++=x x x x x y 由配方结果可知：顶点坐标为)73(--，，对称轴为3-=x ； 01> ∴当3-=x 时， 7min -=y 函数在区间]3(--∞，上是减函数，在区间)3[∞+-，上是增函数。
【练习2】求函数1352++-=x x y 图象的顶点坐标、对称轴、最值及它的单调区间。
103)5(232=-⨯-=-ab ，2029)5(431)5(44422=-⨯-⨯-⨯=-ab ac∴函数图象的顶点坐标为)2029,103(，对称轴为2029=x05<- ∴当103=x 时，函数取得最大值2029=maz y函数在区间]103,(-∞上是增函数，在区间),3[+∞-上是减函数。
一元二次函数及应用
一元二次函数及应用
思考：小张家在农村，他建一个矩形养猪 场，现已备足可以砌20m长砖墙的材料， 如何设计，才能使得猪场的面积最大呢？ 这些实际生活中的问题就需要数学 知识来加以解决，在解决此问题前我们 首先学习一元二次函数的性质。 。
一、一元二次函数的性质
给定a、b、c⋲R,且a≠0,把函数 y=ax²+bx+c叫做一元二次函数，它的 定义域是实数集R，图像是一条抛物 线。 一元二次函数y=ax²+bx+c具有如下的性 质： b （1）图像具有对称轴x= − 2a b ，4ac−b2 （2）图像的顶点坐标（− ） 2a 4a
下面我们来帮助小张解决猪圈的设计 方案. 设矩形的长为xm，则宽为0.5（20-2x） (m),得矩形的面积为 S=x（10-x）=-x²+10x （0<x<10） 因为a=-1<0，因此函数有最大值。将 a=-1,b=10，c=0代入公式，得到矩 形的边长等于5m的正方形时，其面 积最大达到25㎡.
课堂巩固
解下列一元二次不等式： 解下列一元二次不等式：
（1）x²-x-6≥0； （2）-x²+4x-4>0; （3）x²+6x-7<0; （4）x²-x-12≥0.
三、区间
设a、b是两个实数，而且a<b: （1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭 闭 区间，表示为[a、b]； 区间 （2）满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区 开区 间，表示为（a、b）； （3）满足不等式a<x≤b的实数x的集合叫做半 半 开半闭区间，表示为（a、b]； 开半闭区间 （4）满足不等式a≤x<b的实数x的集合叫做半 半 闭半开区间，表示为[a、b)。 闭半开区间 这里的实数a与b叫做相应区间的端点 相应区间的端点。 相应区间的端点
一元二次函数知识点汇总
一元二次函数知识点汇总1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，. 5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x . ③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. (2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=,故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab 时,对称轴在y 轴右侧. (3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. (2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). (3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
一元二次函数标准形式
一元二次函数的标准形式是指一元二次函数的通式，即：
y=ax^2+bx+c
其中，a、b、c是常数，x是一元二次函数的自变量。
一元二次函数的标准形式可以表示各种不同的一元二次函数，只要给定不同的常数a、b、c，就可以得到不同的一元二次函数。
例如，当a=1、b=2、c=3时，一元二次函数的标准形式就可以表示为y=x^2+2x+3。
在使用一元二次函数的标准形式表示函数时，我们需要注意几点：
1.当a=0时，一元二次函数就变成了一元一次函数。
2.当a=0、b=0时，一元二次函数就变成了常数函数。
3.当a=0、c=0时，一元二次函数就变成了一元一次函数。
4.当a>0时，一元二次函数为二次凹函数，函数图像的开口向上，且函数的最小值
为：f(x)=c-b^2/(4a)。
当a<0时，一元二次函数为二次凸函数，函数图像的开口向下，且函数的最大值为：f(x)=c-b^2/(4a)。
一元二次函数的标准形式在数学中有着广泛的应用，可以用来描述各种不同的物理现象和经济过程。
例如，可以用一元二次函数来描述自由落体运动的位移与时间的关系，或者用一元二次函数来描述消费者的收入与消费水平的关系等。
一元二次函数知识点汇总
一元二次函数知识点汇总系统分析一元二次函数知识点统计分析1.定义：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常数，a0)，那么y叫做x的一元二次函数.2.二次函数yax2的性质(1)抛物线yax2（a0）的顶点是原点，对称轴是y轴.(2)函数yax2的图像与a的符号关系：时抛物线正方形开口向上顶点为其最低点；②当a0时抛物线开口向下顶点为其最高点3.二次函数yax2bxc的图像是坐标轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.0①当a4.二次函数yax2222bxc用配方法可化为：yaxhk的形式，其中hb，k4acb.2a4a5.抛物线yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a外环决定抛物线的开口轴线：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a越小，抛物线的开口越大，a越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y轴(或重合)的直线，记作xh.特别地，y轴记作直线x0.③定点是抛物线的最值点[最大值(a0时)或最小值(a0时)]，坐标为(h,k)。
6.求抛物线的顶点、直角的方法2bb4acbb4acb2(1)公式法：yaxbxcax，∴顶点是.（，），对称轴是直线x2a2a4a2a4a22(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式yaxhk的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是xh.2(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等几个的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，抛物线与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，一维再用公式法或对称性进行验证，才能分清万无一失★7.抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用(1)a大小不一同意开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.(2)b和a共同决定圆盘对称轴的位置位置.由于抛物线yax2bxc的圆心是直线x①b0时，对称轴为y轴；②ba2b2a,故：0时,对称轴在y轴左侧；③ba0时,对称轴在y轴右侧.(3)c的大小决定抛物线yaxbxc与y轴交点的位置.2当x0时，yc，∴抛物线yaxbxc与y轴有且只有一个交点(0，c)：①c0，抛物线经过原点;②c0,与y轴交于正半轴；③c0,与y轴交于负等速.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如双曲线的对称轴在y轴右侧，则ba0.8.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种型式：①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc.人脸特征如下：线性解析式开口方向对称轴顶点坐标2x0(y轴)yax(0,0)22222yax2k2当a0时开口向上a0时k当开口向下x0(y轴)xhxhxb2a(0,k)(h,0)(h,k)2yaxhyaxh2yax2bxc4acb，(2a4ab)9.用待定系数法求二次函数美国式的解析式(1)一般式：yax2bxc.已知图像上八五点或三对x、y的值，通常选择一般式.(2)顶点式：yaxhk.已知图像的正四面体或对称轴，通常选择顶点式.2(3)交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：yaxx1xx2.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）(1)y轴与抛物线yax2bxc得交点为(0,c)(2)与y轴平行的直线xh与抛物线yax2bxc有且只有一个交点(h,ah(3)抛物线与x轴的交点ax22bhc).二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应线性方程组bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点根可以由近似的一元二次方程的情况的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点(顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2bxck的两个实数根.而根的客观存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
一元二次函数的解法
一元二次函数的解法一元二次函数（quadraticfunction）是高中数学中常见的一种函数，在函数的概念与求解中，都非常重要。
它的求解解法也是中学生必须掌握和熟练掌握的知识点。
首先，我们来了解一下什么是一元二次函数，它是一元函数的一种，和一元函数不同，它的求解是以平方为基础的，而且其函数图像开口向上，即是凹凸函数图像。
一元二次函数的表达式可以表示为：y=ax+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
一元二次函数的求解有几种方法，其中主要的有四种：因式分解法、平方根法、求根公式法和幂指数法。
首先来说说因式分解法，这种求解一元二次函数的方法是最常用的一种，它的原理是将一元二次函数先转化为两个一次函数，再分别求解这两个一次函数，最后将这两个一次函数的根相加求出一元二次函数的根。
比如求解y=x-6x+8的根，先将y=x-6x+8按照x的平方=ax的平方-2ax的平方+a的平方的形式转换成两个一次函数，即y=x-2x+1=x-2+7，求出第一个一次函数的根x=1，求出第二个一次函数的根x=2，最后将x=1+2，即y=x-6x+8的根为3。
其次，还有平方根法，这种求解一元二次函数的方法也是常见的一种，它的原理是将函数表达式按照x=√a-b/2a的形式转换，然后将该式子分解平方开方，最后求出一元二次函数的根。
比如求解y=2x-4x+1的根，舍弃系数2，用指数形式表示y=x-2x+1/2，然后将该式子按照x=√a-b/2a的形式转换，即x=√1-2/2，再分解开方，最后求出x=1，即y=2x-4x+1的根为1。
并接着，有求根公式法，这种求解一元二次函数的方法也是常见的一种，它的原理是根据被求函数的系数推导出来的求根公式，然后求出一元二次函数的根。
比如求解y=3x+6x+2的根，先将y=3x+6x+2按照求根公式x=±√b-4ac/2a的形式转换，即x=±√6-4*3*2/2*3，再分解开方，最后求出x=-1和x=2，即y=3x+6x+2的根为-1和2。
专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)
专题09 一元二次函数的三种表示方式一、知识点精讲通过上一小节的学习，我们知道，一元二次函数可以表示成以下三种形式：1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．当抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有ax2＋bx＋c＝0．①并且方程①的解就是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b2－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac 存在下列关系：（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x 轴没有交点，则Δ＜0也成立．于是，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以x1＋x2＝ba-，x1x2＝ca，即ba＝－(x1＋x2)，ca＝x1x2．所以，y＝ax2＋bx＋c＝a(2b cx xa a++)= a[x2－(x1＋x2)x＋x1x2]＝a(x－x1) (x－x2)．由上面的推导过程可以得到下面结论：若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．二、典例精析【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求该一元二次函数的解析式．【答案】见解析【分析】：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a ．【解析】∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，∴顶点的纵坐标为2．又顶点在直线y ＝x ＋1上，所以，2＝x ＋1，∴x ＝1．∴顶点坐标是（1，2）．设该二次函数的解析式为2(1)2(0)y a x a =-+<，∵二次函数的图像经过点（3，－1），∴21(31)2a -=-+，解得a ＝－34． ∴二次函数的解析式为23(1)24y x =--+，即y ＝－34x 2＋32x+54． 【说明】：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．【典例2】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【分析一】：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x 轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．【解析一】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴可设二次函数为y ＝a (x ＋3) (x －1) (a ≠0)，展开得 y ＝ax 2＋2ax －3a ， 顶点的纵坐标为 2212444a a a a--=-， 由于二次函数图象的顶点到x 轴的距离2，∴|－4a |＝2，即a ＝12±． 所以，二次函数的表达式为y ＝21322x x +-，或y ＝－21322x x -+． 【分析二】：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线x ＝－1，又由顶点到x 轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函数的表达式．【解析二】：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，∴对称轴为直线x ＝－1．又顶点到x 轴的距离为2，∴顶点的纵坐标为2，或－2．于是可设二次函数为y ＝a (x ＋1)2＋2，或y ＝a (x ＋1)2－2，由于函数图象过点(1，0)，∴0＝a (1＋1)2＋2，或0＝a (1＋1)2－2．∴a ＝－12，或a ＝12． 所以，所求的二次函数为y ＝－12(x ＋1)2＋2，或y ＝12(x ＋1)2－2． 【说明】：上述两种解法分别从与x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．【典例3】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．【答案】见解析【解析】设该二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得22,8,842,a b c c a b c -=-+⎧⎪-=⎨⎪=++⎩解得 a ＝－2，b ＝12，c ＝－8．所以，所求的二次函数为y ＝－2x 2＋12x －8．【说明】通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函数的表达式？三、对点精练1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定【答案】A【解析】214(1)(1)30=-⨯-⨯-=-<，∴函数y ＝－x2＋x －1图象与x 轴的交点个数是0个。
一元二次函数知识点(详细)
一元二次函数知识点1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的一元二次函数.2.二次函数2ax y =的性质(1)抛物线2ax y =）（0≠a 的顶点是原点，对称轴是y 轴. (2)函数2ax y =的图像与a 的符号关系：①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.4.二次函数cbx axy ++=2用配方法可化成：()kh x a y +-=2的形式，其中abac k ab h 4422-=-=，.5.抛物线c bx ax y ++=2的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越小，抛物线的开口越大，a 越大，抛物线的开口越小。
②对称轴为平行于y 轴(或重合)的直线，记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .③定点是抛物线的最值点[最大值(0<a 时)或最小值(0>a 时)]，坐标为(h ,k )。
6.求抛物线的顶点、对称轴的方法(1)公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.(2)配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是h x =.(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线上纵坐标相等的两个点连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.★用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失★ 7.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用(1)a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.(2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=,故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b 时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab时,对称轴在y轴右侧.(3)c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点(0，c )： ① 0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab .8. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.9.用待定系数法求二次函数的解析式(1)一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.(2)顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3)交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=.10.直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系） (1)y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(c ,0)(2)与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2).(3)抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程 02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点(顶点在x 轴上)⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. (4)平行于x 轴的直线与抛物线的交点同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.而根的存在情况仍如(3)一样由根的判别式判定。
一元二次函数及其图像
04
求零点问题：利用 二次函数求解方程 的零点问题
平移
平移的概念：将函数图像沿x 轴或y轴移动一定距离
平移的方法：确定平移的方向 和距离，然后对函数解析式进 行相应的变换
平移的性质：平移不改变函数 的形状，只改变函数的位置
平移的应用：解决实际问题中 函数图像的平移问题
伸缩
01
02
03
04
旋转
05
一元二次函数的单调性由a的值决定：当a>0 时，函数在x轴上方的单调递增；当a<0时， 函数在x轴下方的单调递减。
特殊类型
01
抛物线： y=ax^2+bx+c， 其中a≠0
02
双曲线： y=ax^2+bx+c， 其中a=0
03
直线：y=bx+c， 其中a=0，b≠0
04
常数函数：y=c， 其中a=b=0
对称性：中心对称、轴对 称、原点对称等
2
渐近线：与x轴、y轴的交 点、斜率等
5
开口方向：向上、向下、 向左、向右等
3
截距：与x轴、y轴的交点、 截距值等
6
101
标准形式
一元二次函数 的一般形式： ax^2 + bx
+c=0
标准形式：y = ax^2 +
bx + c
其中，a、b、 c为常数，a
≠0
当a > 0时， 图像为向上开
口的抛物线
当a < 0时， 图像为向下开
口的抛物线
b^2 - 4ac决 定了图像的开 口方向和大小
顶点式
01
02
一元二次函数的顶点式：y=a(xh)^2+k
一元二次函数的三种取值范围
一元二次函数的三种取值范围一元二次函数是高中数学中常见的函数形式之一，其一般形式为y = ax^2 + bx + c。
在研究一元二次函数时，我们常常关注三个要素：系数a的正负性、判别式Δ的大小以及函数图像的开口方向。
首先，让我们来看系数a的正负性对一元二次函数的取值范围的影响。
当a>0时，函数图像开口朝上，称为正向开口；而当a<0时，函数图像开口朝下，称为负向开口。
这一点可以从函数的一元二次项的符号来判断。
正向开口的函数在定义域的两边分别有一个最小值，而负向开口的函数在定义域的两边分别有一个最大值。
因此，无论正向开口还是负向开口，一元二次函数的取值范围都没有上下限，可以取到正无穷或负无穷。
其次，我们来考虑判别式Δ的大小对一元二次函数的取值范围的影响。
判别式Δ主要涉及到函数的图像与x轴交点的情况。
判别式Δ的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
当Δ>0时，函数图像与x轴有两个交点，因此函数的取值范围是介于这两个交点之间的实数；当Δ=0时，函数图像与x轴有且仅有一个交点，此时函数的取值范围是一个确定的实数；而当Δ<0时，函数图像与x轴没有交点，此时函数的取值范围是一个空集。
因此，判别式Δ的大小对一元二次函数的取值范围有着重要的影响。
最后，让我们关注一元二次函数图像的开口方向对取值范围的影响。
除了前面提到的正向开口和负向开口，一元二次函数还可以是横向开口或闭口的。
当变量x为实数时，横向开口的函数没有上下限，可以取到正无穷或负无穷；而闭口的函数则有一个最值，最小值发生在“山谷”中间的x轴交点处，最大值发生在“山顶”上。
横向开口和闭口的函数图像可以通过一元二次函数公式中的系数b的正负性来决定。
综上所述，一元二次函数的三种取值范围主要与系数a的正负性、判别式Δ的大小以及函数图像的开口方向有关。
通过研究这三个要素，我们可以更好地理解一元二次函数的性质，并在解题中进行正确的判断和求解。
在数学的世界中，每个要素都有其重要性和意义，它们共同构建了一元二次函数的全貌，帮助我们掌握函数的取值范围，更好地应用数学知识解决实际问题。
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一元二次函数一、一元二次函数的定义形如y=ax 2+bx+c(其中a ≠0)的函数称之为一元二次函数。
一般情况下，我们会把一元二次函数改写成：224()24b ac b y a x a a-=++写成这样的目的主要是：〔1〕可以看出对称轴方程及顶点坐标；抛物线的对称轴的方程为：x= -2b a 顶点坐标为〔-2b a ，244ac b a-)〔2〕可以得到最大、小值：当a ＞0，y 取最小值，y= 244ac b a-当a<0，y 取最大值，y= 244ac b a-由一元二次函数的对称轴，从而我们可以知道一元二次函数的单调性：当a>0时，〔-∞，-2b a ]为单调减区间；[-2b a ，+∞〕为单调增区间。
当a<0时，[-2b a ，+∞〕为单调减区间；〔-∞，-2ba]为单调增区间〔3〕解答平移问题方便。
平移的法那么遵循两条：左加右减，上加下减。
题型一：平移图像，求新的解析式 【例题1】：y=x 2-2x+3向左移动一个单位，向上移动两个单位，移动后的解析式是什么？ 解答：y=(x-1)2+2根据“左加右减〞的原那么，向左移动一个单位，那么有：y=(x-1+1)2+2 根据“上加下减〞的原那么，向上移动两个单位，那么有y=(x-1+1)2+2+2 所以，最终的结果是：y=x 2+4题型二：三点求函数的解析式——方法：待定系数法【例题2】一元二次方程y=ax 2+bx+c 经过点A(1，3),B(2，4),C(3，11),求函数的解析式。
解答：根据题意有：a b c 34a 2b c 49a 3b c 11++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解上面的方程组，得：388a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以：y=3x 2-8x+8【例题3】函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的交点为A(-3，0),B(1，0),并且经过点〔4,21〕，求函数的解析式。
一般情况下，如果告诉你一元二次方程的两个解x 1，x 2；这个时候我们设：y=a(x-x 1)(x-x 2)最为方便。
解答：设y=a(x-1)(x+3) 因为函数经过点〔4,2〕， 所以：21=a(4-1)(4+3) 解得：a=1所以：y=(x-1)(x+3) 即：y=x 2+2x-3注意：最后我们最好将一元二次函数化为一般式。
【例题4】抛物线的顶点坐标为〔1,16〕，并且抛物线与x的交点间的距离为8，求抛物线解析式。
【分析】遇到有顶点坐标的题型，我们通常设y=a(x+m)2+n,这样由抛物线的顶点坐标，我们就可以知道m、n的值，只需求出a的值即可。
解答：设y=a(x-1)2+16方程a(x-1)2+16=0的两个根为：x1=1+ 2=1-所以：x1-x2=2所以：解得：a=-1所以：y=-(x-1)2+16即：y=-x2+2x+15三、给定区间的一元二次函数：函数y=ax2+bx+c〔a≠0，且m≤x≤n〕，求最大值最小值的问题。
【例题】：y=x2-2x-5,其中，-1≤x≤5，求函数的最值。
解：y=x2-2x-5=(x-1)2-6x=1是一元二次函数的对称轴；因为-1≤x≤5，在对称轴的两侧，所以：y min=-6f(-1)=-2 f(5)=10 f(5)>f(-1) 所以：y max=10四、一元二次函数与坐标轴的交点：1.对于函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕与y轴的交点，是很好求的，其交点是(0,c)。
那么，函数与x轴的交点呢？实际上，一元二次函数与x轴的交点，就是一元二次方程的解。
可以分成以下的三种情况。
∆= 24-b ac当∆>0时，函数与x轴有两个交点，当∆=0时，函数与x轴有一个交点，当∆<0时，函数与x轴没有交点。
特别注意的是，在这一种情况下，如果二次项系数a>0，那么，函数值恒大于0；如果a<0，函数值恒小于0。
2.如果一元二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕与x轴有交点，那么，在x的取值范围内，必然会存在两个点M(m,f(m))、N(n,f(n))使得f(m)·f(n)<0，换言之，如果在一元二次函数上存在两个点M(m,f(m))、N(n,f(n))使得f(m)·f(n)<0，那么，在m到n的范围内一元二次方程一定有解；反之，如果一元二次函数在x的取值范围内任意两个点都存在f(m)·f(n)>0，那么，一元二次函数与x轴没有交点，或者说这个一元二次方程无解。
M(m,f【例题】：方程x2+(a-6)x+a2+5=0有两个根，一个根大于2，一个根小于2，求a的取值范围。
【分析】由图像可知，如果方程的两个根一个大于2一个小于2，那么，由于二次项系数大于0，函数上必定存在一点Q(q,f(q)),使得f(q)>0，那么必然存在f(2)<0,否那么就是两个根都大于2或者两个根都小于2。
解答：由题意可知：f(2)<0,即有：4+2(a-6)+a 2+5<0 整理可得：a 2+2a-3<0 所以：〔a+3)(a-1)<0 即：-3<a<1试想一想，如果这里我们把题目改为“两个根都大于2〞或者“两个根都小于2〞，那么，解得的a 的结果应该是什么？答案：都小于2时，无解。
a 不存在。
都大于2或a>1注意：解一元二次函数的有关的题目时，待定系数法和数形结合法是我们常用的方法。
因此，学习一元二次函数，画图的技能是我们必备的技能，这样能够减少计算的步骤，有效减少失误和计算次数。
五、一元二次函数的对称性：如果存在f(x+m)=f(m-x)，那么，一元二次函数的对称轴就是x=m ；如果存在(p,f(p)),(q,f(p)), 那么，一元二次函数的对称轴就是x=2p q+。
例如，点(1,3),(3,3)是一元二次函数的上的点，由于纵坐标相等，那么，一元二次函数的对称轴就是〔1+3〕÷2=2，即：x=2 六、一元二次函数与几何题的结合：一元二次函数与几何题的结合已经成为现在中考的必考考题，而且是压轴题。
所以，这里，列出专题来讲。
从几何图形的角度来说，可以结合相似三角形、圆、平行四边形等等；从思维角度来说，可以运用到数形结合、分类讨论。
基于这些，一元二次函数与几何的结合是必须重视的内容。
【题型一】一元二次函数与相似三角形 〔黄冈—2021-25〕如图：抛物线方程C1：y=1m-(x+2)(x-m)〔m>0〕与x 轴的交点为B 、C ，与y 轴交于点E,且点B 在点C 的左侧。
〔1〕假设抛物线C1经过点M(2，2)，求实数m 的值。
〔2〕在〔1〕的条件下，求△BCE 的面积；〔3〕在〔1〕的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH+EH 最小，求出点H 的坐标；〔4〕在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？假设存在，求m 的值，假设不存在，说明理由。
x解答：〔1〕将点M(2，2)代入，得2=1m-〔2+2〕〔2-m〕解得：m=4(2)由〔1〕可知：y=14-(x+2)(x-4),那么点B(-2，0),C(4，0),E(0，2)所以：BC=6，OE=2，S△BCE=12×2×6=6(3)由〔1〕可知，一元二次函数的对称轴为x=1，点H在对称轴上，所以有BH=CH，要使得BH+EH最小，就是要使得EH+HC最小，此时，E、H、C在一条直线上。
设对称轴与x 轴交于点F，那么有：HF:EO=CF:CO,由于EO=2，CF=4-1=3，CO=4，解得HF=32，从而：点H的坐标为〔1，32〕【解法2】：由点E(0,2),C(4，0),解得，经过C、E两点的解析式为y= -12x+2,当x=1时，y=32,即：点H的坐标为〔1，32〕】x(4)由于图像过定点B(-2，0),E(0，2)，所以有∠EBO=45°；如图①作BF∥CE交抛物线与点F，如果有BC2=CE·BF，那么就必然有△BEC∽△FCB。
作FF’⊥X轴，垂足为F’。
此时，BC=m+2,CE= F的坐标为(x,1m-(x+2)(x-m)),由FF’∥OE知：△EOC∽△FF’B，从而：FF’:BF’=EO:CO，此时：()()1x2x m2mx+-+=2m解得：x=m+2,即F’(m+2,0)由CO:CE=BF’:BF,4mBF+=,从而解得：(mBFm+=，由于BC2=CE·BF，所以有：〔m+2〕2(mm+整理方程得：0=16，此时无解。
x图①如图②，BF⊥BE交抛物线与点F，作FF’⊥X轴，此时，∠EBC=∠CBF=45°，如果BC2=BE·BF，那么：△CEB∽△FCB，设F(x,1m-(x+2)(x-m)),由于FF’=BF’,所以有：1 m (x+2)(x-m)=x+2,解得：x=2m,所以：F’(2m,0),所以：BF’=2m+2，2m+2〕由BC2=BE·BF，得：〔m+2〕22m+2〕,解得：m=2±因为m>0,所以：综合以上，x【注意】1、第四题比拟繁琐，计算的时候要小心。
2、注意到函数的定点，从而有等腰直角三角形。
3、分类讨论，一个平行条件，一个垂直条件，这种题目是近几年中考的热点。
【题型二】一元二次函数与等腰三角形x〔扬州—2021—27〕如图：抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1，0),B(3，0),C(0,3),直线l是抛物线的对称轴。
〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，点P的坐标；〔3〕在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，假设存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由。
解答：题目〔1〕〔2〕可以参照上题解答。
题目〔3〕要求直接写出点的坐标。
因为是等腰三角形，所以，应该有以下几种可能性：①对称轴与x轴的交点，此时：AO=OM=1，且CO⊥AM，所以，根据三线合一，△CAM 为等腰三角形。
此时，点M(1，0)。
x②设点M(1，m)，由MA=MC可得：MA2=MC2,从而：〔-1-1〕2+m2=(0-1)2+(3-m)2,解得：m=1 此时，点M〔1,1〕x③x设点M〔1，m〕，由AM=AC可知：〔-1-1〕2+m2=(-1)2+32解得：m=此时，点M(1，或者M〔1，【注意】分类讨论是解决顶点问题的重要的手段，分类时一定要面面俱到，不能有遗漏。
【题型三】一元二次函数与直角三角形〔广州—2021—24〕如图：抛物线y=3-8x23-4x+3与x轴相交于点A,B，点A在点B的左侧，与y轴相交于点C。
〔1〕求A,B的坐标；〔2〕设点D是抛物线的对称轴上的一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D 的坐标。