基本函数的拉氏变换

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拉氏变换

)
=
⎧0(t
⎨ ⎩
t
(t
< ≥
0) 0)
L[t] =
1 s2
4.加速度函数
f
(t )
=
⎪⎧ ⎨ ⎪⎩
0(t < 0) 1 t 2 (t ≥ 0) 2
L[ 1 2
t2] =
1 s3
5
时间域：δ(t)→ 1(t)→t→ t2/2 复数域： 1→1/s→1/s2→1/s3
4.指数函数
f (t) = e−at (t ≥ 0)
t →0+
s→∞
证明方法同上。只是要将s→∞取极限。
15
(6) 衰减定理若f2(t)=e-at f1(t), 则
F2(s) =F1(s+a)
L[e−at f (T )] = F (s + a)
16
8
(7) 延迟定理（处理复杂时间函数）若 f2(t)=f1(t-a), 则 F2(s)=e-as F1(s)
=
f (t) ∞ 0
= lim t→∞
f (t) −
f (0)
右边 = lim [sF (s) − f (0)] = lim sF (s) − f (0)
s→0
s→0
∴ lim f (t ) = lim sF (s)
t→∞
s→0
14
7
(5)初值定理
若 f(t) 在t=0+处有初值f(0+)，则
lim f (t) = f (0+ ) = lim sF (s)
1
= 1 (1 − 1)
(s + a)(s + b) b − a s + a s + b

常用的拉氏变换表

常用的拉氏变换表在工程技术和科学研究中，拉氏变换是一种非常重要的数学工具。

它能够将时域中的函数转换为复频域中的函数，从而使得许多问题的分析和求解变得更加简便。

而要熟练运用拉氏变换，掌握常用的拉氏变换表是必不可少的。

拉氏变换的定义为：对于一个定义在0, ＋∞）上的实值函数 f(t)，其拉氏变换 F(s)定义为：＼F(s) ＝＼int_{0}＾｛＼infty} f(t) e^｛st} dt\其中，s ＝σ ＋jω 是一个复变量。

下面我们来介绍一些常用的函数的拉氏变换：1、单位阶跃函数 u(t)单位阶跃函数在 t ＜ 0 时，函数值为 0；在t ≥ 0 时，函数值为 1。

其拉氏变换为：＼Lu(t) ＝＼frac{1}｛s}＼2、单位脉冲函数δ(t)单位脉冲函数在 t ＝ 0 时，函数值为无穷大，且在整个时间轴上的积分值为 1。

其拉氏变换为：＼Lδ(t) ＝ 1\3、指数函数 e^（at) （a 为常数）其拉氏变换为：＼Le^｛at} ＝＼frac{1}｛s ＋ a}＼4、正弦函数sin(ωt)其拉氏变换为：＼Lsin(ωt) ＝＼frac{＼omega}｛s^2 ＋＼omega^2}＼5、余弦函数cos(ωt)其拉氏变换为：＼Lcos(ωt) ＝＼frac{s}｛s^2 ＋＼omega^2}＼6、 t 的幂函数 t^n （n 为正整数）其拉氏变换为：＼Lt^n ＝＼frac{n!｝｛s^｛n ＋ 1}｝＼7、斜坡函数 t其拉氏变换为：＼Lt ＝＼frac{1}｛s^2}＼8、二次斜坡函数 t^2其拉氏变换为：＼Lt^2 ＝＼frac{2!｝｛s^3} ＝＼frac{2}｛s^3}＼掌握这些常用函数的拉氏变换，可以帮助我们在解决各种问题时快速进行变换和求解。

例如，在电路分析中，通过拉氏变换可以将时域中的电路方程转换为复频域中的方程，从而更方便地求解电路的响应。

在控制系统中，拉氏变换也有着广泛的应用。

通过对系统的输入和输出进行拉氏变换，可以得到系统的传递函数，从而对系统的性能进行分析和设计。

(完整版)典型常见函数拉氏变换表

t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
L
d dt
f
(t)
SF(s)
f
(0)
L
d
2f dt
(t
2
)
S 2F(s)
Sf (0)
f
(0)
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
Lf (t)g(t)= F sGs
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19
=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
= arctan
典型常见函数拉氏变换表
典型常见函数拉氏变换表
序号 1
原函数 f(t) (t >0)
1 (单位阶跃函数)
象函数 F(s)=L[f(t)]
1 s
2
(t) (单位脉冲函数)
1
3
K (常数)
K s
4
t (单位斜坡函数)
1 s2
典型常见时间函数拉氏变换表
序号 5 6 7 8
原函数 f(t) (t >0)
t n (n=1, 2, …) e -at

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉普拉斯变换是一种重要的数学工具，用于求解线性常系数常微分方程和线性差分方程。

在控制工程、信号与系统、电路分析等领域中，拉普拉斯变换被广泛应用。

下面是拉普拉斯变换中一些常用的公式：1.输入信号：f(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[f(t)] = ∫[0,∞] (e^(-st))(f(t)) dt2.单位阶跃函数u(t)的拉普拉斯变换：U(s)=L[u(t)]=1/s3.延时函数f(t-T)的拉普拉斯变换：L[f(t-T)]=e^(-Ts)F(s)4.积分操作的拉普拉斯变换：L[∫[0,t]f(τ)dτ]=1/sF(s)5.导数操作的拉普拉斯变换：L[dⁿf(t) / dtⁿ] = sⁿF(s) - sⁿ⁻¹f(0) - sⁿ⁻²f'(0) - ... - f⁽ⁿ⁻¹⁾(0)6.二阶导数操作的拉普拉斯变换：L[d²f(t) / dt²] = s²F(s) - sf(0) - f'(0)7.卷积操作的拉普拉斯变换：L[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)8.乘法操作的拉普拉斯变换：L[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)9.常用单位阶跃函数和冲激函数的拉普拉斯变换：(1)f(t)=u(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[u(t)]=1/s(2)f(t)=t^nu(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[t^nu(t)]=n!/s^(n+1)(3) f(t) = e^(at) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) u(t)] = 1 / (s - a)(4) f(t) = sin(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) u(t)] = ω / (s² + ω²) (5) f(t) = cos(ωt) u(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) u(t)] = s / (s² + ω²) (6)f(t)=δ(t)的拉普拉斯变换：F(s)=L[δ(t)]=1(7) f(t) = e^(at) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[e^(at) δ(t)] = 1 / (s - a)(8) f(t) = sin(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[sin(ωt) δ(t)] = ω / (s² + ω²)(9) f(t) = cos(ωt) δ(t)的拉普拉斯变换：F(s) = L[cos(ωt) δ(t)] = s / (s² + ω²)拉普拉斯变换的公式非常有用，可以将时域问题转化为复频域问题，从而更容易进行分析和求解。

(完整word版)常用函数的拉氏变换

附录A 拉普拉斯变换及反变换4194204213．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >）式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ （F-1）式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→ （F-2）或iss i s A s B c ='=)()( （F-3）式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1(F-4)②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；422其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。

拉氏变换详解

称为拉氏反变换。记为 L1[ F (s)] 。
由F(s)可按下式求出
f
(t)

L1[F (s)]

1
2
j
C j

C j
F (s)est ds(t

0)
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。 12
2.常用函数的拉氏变换
数学知识回顾
(1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。

F (s) Ae st dt

A e st

A
0
s
0
s
1
单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 s 。
(2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。
lim lim
F (s) (t)est dt
3
证：根据拉氏变换的定义有
L[
f
(t)]

0
f
(t)est dt

s
0
f
(t)est dt

f
(t )e st
0
sF(s) f (0)
原函数二阶导数的拉氏变换
L[ f (t)] sL[ f (t)] f (0) s[sF (s) f (0)] f (0)
则象函数及其自变量都增加（或减小）同
样倍数。即：L[ f ( t )] aF (as)
证：
a L[ f ( t )] f ( t )est dt
a 0a

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式1.拉氏变换的基本性质1齐次性线性定理叠加性2微分定理一般形式初始条件为0 时一般形式3积分定理初始条件为0 时4延缓定理（或称 t 域平移定理）5衰减定理（或称 s 域平移定理）6终值定理7初值定理8卷积定理L[ af (t )] aF ( s)L[ f1 (t) f 2 (t)] F1 ( s) F2 (s)df (t )] sF (s) f ( 0)L[dt2d f (t ) 2L[] s F ( s) sf (0) f （0）d n f (t )nnn k ( k 1)k 1sL dt n s F ( s) f (0)f ( k 1 ) (t) d k 1 f (t )dt k 1L[d n f (t )] s n F (s)dt nL[ f (t)dt]F (s) [ f (t )dt]t 0s sL[ f (t)(dt)2]F (s) [ f (t)dt]t 0 [ f (t )(dt)2 ]t 0s2 s2 s共 n个n共 n个nF (s) 1 nL[ f (t)(dt) ] [ f (t )(dt) ]t 0s n k 1 s n k 1共n个L[ f (t )(dt) n ] F( s)s nL[ f ( t T )1(t T )] e Ts F (s)L[ f (t) e at ] F ( s a)lim f (t) lim sF (s)t s 0lim f (t) lim sF (s)t 0 st) f2 ( )d ]t)d ] F1( s) F2 (s) L[ f1(t L[ f1(t) f2 (t0 012．常用函数的拉氏变换和序号拉氏变换E(s) 1 112 1 e Ts13s4 1 s25 1 s361 s n 17 1s a8 1 2( s a)9 as(s a)10 b a(s a)(s b) 11 s 2 212ss2 213( s2 2a)14 s a 2 2(s a)1 z变换表时间函数e(t)δ(t)T (t )(t nT )n 01(t )tt 22t nn!e atte at1 e ate at e btsin tcos te at sin te at cos tZ 变换 E(z)1zz 1zz 1Tz(z 1) 2T 2 z( z 1)2(z 1)3lim(1)n nzn ( aT)a 0 n! a z ezaTz eTze aT( z e aT ) 2(1 e aT )z( z 1)(z e aT )z zz e aT z e bTzsin Tz2 2z cos T 1z2z( z cos T )2 zcos T 1ze aT sin Tz2 2ze aT cos T e 2 aTz2 ze aT cos Tz2 2ze aT cos T e 2aTz15 s (1/ T ) ln a a t / T z a23．用表法行拉氏反用表法行拉氏反的关在于将式行部分分式张开，尔后逐表行反。

拉氏变换表(包含计算公式)

1拉氏变换及反变换公式1. 拉氏变换的基本性质 1线性定理齐次性)()]([s aF t af L =叠加性)()()]()([2121s F s F t f t f L ±=±2微分定理一般形式=-=][ '- -=-=----=-∑11)1()1(1222)()()0()()(0)0()(])([)0()(])([k k k k nk kn nnndtt f dt ffss F s dtt f dL f sf s F s dt t f dL f s sF dt t df L ）（初始条件为0时)(])([s F s dtt f dL nnn=3 积分定理一般形式∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰==+-===+=++=+=nk t nn k n nnn t t t dt t f sss F dt t f L sdt t f sdt t f ss F dt t f L s dt t f ss F dt t f L 112222]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个共个共初始条件为0时nnn ss F dt t f L )(]))(([=⎰⎰个共4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts-=--5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=-6 终值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t →∞→=7 初值定理 )(lim )(lim 0s sF t f s t ∞→→=8 卷积定理)()(])()([])()([21021021s F s F d t f t f L d f t f L tt =-=-⎰⎰τττττ22．常用函数的拉氏变换和z 变换表序号拉氏变换E(s)时间函数e(t) Z 变换E(z)1 1δ(t)12 Tse--11∑∞=-=)()(n T nT t t δδ1-z z 3 s1 )(1t1-z z 4 21st2)1(-z Tz5 31s22t32)1(2)1(-+z z z T6 11+n s!n tn)(!)1(limaTnn na ez zan -→-∂∂-7 as +1 ate- aTez z -- 8 2)(1a s + atte- 2)(aTaT ez Tze --- 9 )(a s s a + ate--1 ))(1()1(aTaTez z ze-----10 ))((b s a s ab ++- btatee---bTaTez z ez z ----- 11 22ωω+s tωsin 1cos 2sin 2+-T z z T z ωω12 22ω+s s tωcos1cos 2)cos (2+--T z z T z z ωω13 22)(ωω++a s t eatωsin - aTaT aTeT zez T ze22cos 2sin ---+-ωω 14 22)(ω+++a s a st eatωcos -aTaTaTeT ze zTzez 222cos 2cos ---+--ωω15aT s ln )/1(1-Tt a/az z-33．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

Laplace拉氏变换公式表

Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。

2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。

3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。

4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。

5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。

6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。

7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。

8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。

9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。

10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。

12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。

14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。

拉氏变换表(包含计算公式)

2．常用函数的拉氏变换和 z 变换表
序号拉氏变换 E(s)
时间函数 e(t)
1
1
δ(t)
2
1
1 nT) n0
1(t )
4
1
t
s2
5
1
t2
s3
2
6
1
tn
s n1
n!
7
1
sa
eat
8
1 (s a)2
te at
9
a
s(s a)
s si
式中， A(s) 为 A(s) 对 s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
f (t) L1
F(s)

L1

n
i1
s
ci si

＝
n i 1
ci e sit
② A(s) 0 有重根
设 A(s) 0 有 r 重根 s1 ，F(s)可写为
z za
2
3．用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设 F (s) 是 s 的有理真分式
F (s)

B(s) A(s)

bm s m an s n
bm1s m1 b1s b0 an1s n1 a1s a0
Fs
B(s)
(s s1 )r (s sr1 )(s sn )
=
(s
cr s1
)
r

cr 1 (s s1 )r1

c1 (s s1)

cr 1 s sr1

拉氏变换表(包含计算公式)

拉氏变换及反变换公式1233．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。

拉氏变换常用公式

拉氏变换常用公式拉氏变换是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理、控制系统分析和电路设计等领域。

本文将介绍拉氏变换常用的公式，包括重要的拉氏变换和反变换公式，以及一些常见的拉氏变换性质。

1. 拉氏变换公式拉氏变换公式是将一个时间域函数变换成复频域的函数。

以下是一些常用的拉氏变换公式：（1）常数信号的拉氏变换：如果输入信号为常数，即f(t)=A，其拉氏变换为F(s) = A/s，其中A 为常数。

（2）指数信号的拉氏变换：指数信号的拉氏变换公式为：f(t) = e^(at) -> F(s) = 1/(s-a)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏变换：单位冲激信号的拉氏变换公式为：f(t) = δ(t) -> F(s) = 1，其中δ(t)表示单位冲激函数。

（4）正弦信号的拉氏变换：正弦信号的拉氏变换公式为：f(t) = sin(ωt) -> F(s) = ω/(s^2 + ω^2)。

其中ω为正弦信号的频率。

2. 拉氏反变换公式拉氏反变换是将复频域函数转换回时间域函数的过程，以下是一些常用的拉氏反变换公式：（1）常数信号的拉氏反变换：对于F(s) = A/s，其拉氏反变换为f(t) = A。

（2）指数信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1/(s - a)，其拉氏反变换为f(t) = e^(at)，其中a为常数。

（3）单位冲激信号的拉氏反变换：对于F(s) = 1，其拉氏反变换为f(t) = δ(t)。

（4）正弦信号的拉氏反变换：对于F(s) = ω/(s^2 + ω^2)，其拉氏反变换为f(t) = sin(ωt)。

3. 拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，其中包括线性性质、时间平移性质、频率平移性质、频率缩放性质、卷积定理等，这些性质对于信号处理和系统分析非常有用。

（1）线性性质：拉氏变换具有线性性质，即对于输入信号f1(t)和f2(t)，以及相应的拉氏变换F1(s)和F2(s)，有以下性质成立：a1*f1(t) + a2*f2(t) -> a1*F1(s) + a2*F2(s)。

拉氏变换及反变换

f1(t) fn (t)
例1 求
F(s) s 3 s 2 3s 2
的Laplace 反变换
解 F(s) s 3 s 3 s2 3s 2 (s 1)(s 2)
2 1 s 1 s 2
f (t) L1[F (s)] L1[ 2 ] L1[ 1 ]
z1,z2 ,..., zm
由线性性质可得
如果 f (t) 的拉普拉斯变换 F(s) 可分解为 F (s) F1 (s) Fn (s)
并假定 Fi (s) 的拉普拉斯变换容易求得，即
Fi (s) L[ fi (t)]
则 L1[F (s)] L1[F1(s)] L1[Fn (s)]
n! sn1
n!
s an1
w
s a2 w 2
sa
s a2 w 2
指数函数的拉氏变换
三角函数的拉氏变换（欧拉公式）
阶跃函数的拉氏变换
幂函数的拉氏变换
单位速度函数的拉氏变换斜坡函数
单位脉冲函数拉氏变换洛必达法则
单位加速度函数拉氏变换抛物线函数
拉氏变换的主要运算定理
线性定理微分定理积分定理位移定理延时定理卷积定理初值定理终值定理
线性定理
叠加定理
比例定理
多重微分原函数的高阶导数像函数中s的高次代数式
积分定理
多重积分原函数的n重积分像函数中除以sn
位移定理原函数乘以指数函数e-at像函数d在复数域中作位移a
延时定理原函数平移像函数乘以 e-s
应用拉氏变换法求解微分方程时，由于初始条件已自动地包含在微分方程的拉氏变换式中，因此，不需要初始条件就可得到微分方程的全解。

典型常见函数拉氏变换表

象函数 F(s) = L[f(t)]
n2 s2+2ns+n2
18
1
t n 1-2
e -nt sinn 1-2
1 e -nt sin(n 1-2 t-
) 1-2
19

=
arctan
1-2
1
s2+2ns+n2
s
s2+2ns+n2
典型时间函数的拉普拉斯变换
t
s0
L

d dt
f (t)
SF(s)
f (0)
Ld来自2f dt(t
2
)

S 2F(s)

Sf
(0)
f
(0)
f (0 ) lim f (t) lim sF (s)
t 0
s
lim f (t) lim sF (s)
t
s0
t n (n=1, 2, …) e -at
tn e -at (n=1, 2, …)
t
1e T
T
象函数 F(s) = L[f(t)]
n! s n+1
1 s+a
n! (s+a) n+1
1 Ts + 1
典型时间函数的拉普拉斯变换
序号 9 10 11 12
原函数 f(t) (t >0)
sint cost
序号
原函数 f(t) (t >0)
1- 1 e -nt sin(n 1-2 t +
) 1-2
20
1-2
= arctan
象函数 F(s) = L[f(t)]

(完整版)最全拉氏变换计算公式

最全拉氏变换计算公式1233．用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。

分以下两种情况讨论。

① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。

∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。

i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。

复习拉氏变换知识

s+3 2+ j = s → −1 + j (s + 1 − j)(s + 1 + j) 2j s+3 2− i C 2 = lim (s + 1 + j) = s → −1− j (s + 1 − j)(s + 1 + j) − 2 j
2 + j ( −1+ j ) t 2 − j ( −1− j ) t = 1 e − t ( 2 + j )e jt − ( 2 − j )e − jt f(t) = e e − 2j 2j 2j 1 −t e ⋅ j[2 cos t + 4 sin t ] = e − t ⋅ [cos t + 2 sin t ] = 2j s+1 1 s +1+ 2 s+3 = +2 = F(s) = 解二：解二： 2 2 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 )2 + 12 (s + 1 ) + 1
11）复习拉普拉斯变换有关内容（11）
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y′′( t ) + a1 ⋅ y′( t ) + a2 ⋅ y( t ) = 1( t )
y(0) = y′(0) = 0
L变换变换
1 Y ( s) = s( s 2 + a1 s + a 2 )
L-1变换
1 ( s + a1 s + a 2 ) ⋅ Y ( s ) = s
2 常见函数的拉氏变换
1 t ≥ 0 （1）阶跃函数 f ( t ) = 0 t < 0 ∞ − 1 − st ∞ − 1 (0 − 1) = 1 L[1(t )] = ∫ 1 ⋅ e − st dt = e 0 = s s s 0

拉氏变换常用公式

常用拉普拉斯变换总结1、指数函数,其中,A 与a 为常数。

2、阶跃函数,其中,A 为常数。

3、单位阶跃函数0010)(><⎩⎨⎧=t t t u s t e t u L st 1d )]([0==⎰∞-4、斜坡函数000)(≥<⎩⎨⎧=t t Att f ,其中,A 为常数。

20d s A t e s A st ==⎰∞-A ＝1时得斜坡函数称为单位斜坡函数,发生在t=t 0时刻得单位斜坡函数写成r(t-t 0)5、单位斜坡函数6、正弦函数,其中A 为常数。

)(t f t 图2.3正弦函数和余弦函数)(t f t(a)(b)00根据欧拉公式: 拉式变换为:同理余弦函数得拉式变换为:7、脉动函数,其中,A 与t 0为常数。

脉动函数可以瞧做就是一个从t ＝0开始得高度为A /t 0得阶跃函数,与另一个从t ＝t 0开)(21sin t j t j e e j t ωωω--=始得高度为A /t 0得负阶跃函数叠加而成。

8、脉冲函数脉冲函数就是脉动函数得一种特殊极限情况。

9、单位脉冲函数当面积A =1得脉冲函数称为单位脉冲函数,或称为狄拉克(Disac)函数,量值为无穷大且持续时间为零得脉冲函数纯属数学上得一种假设,而不可能在物理系统中发生。

但就是,如果系统得脉动输入量值很大,而持续时间与系统得时间常数相比较非常小时,可以用脉冲函数去近似地表示脉动输入。

当描述脉冲输入时,脉冲得面积大小就是非常重要得,而脉冲得精确形状通常并不重要。

脉冲输入量在一个无限小得时间内向系统提供能量。

单位脉冲函数可以瞧作就是单位阶跃函数u(t-t 0)在间断点t=t 0上得导数,即相反,如若对单位脉冲函数积分:积分得结果就就是单位阶跃函数 u(t-t 0)利用脉冲函数得概念,我们可以对包含不连续点得函数进行微分,从而得到一些脉冲,这些脉冲得量值等于每一个相应得不连续点上得量值。

10、加速度函数,其中,A 为常数。