精典平面几何题(大全)(适合八年级)
(典型题)沪教版八年级上册数学第十九章 几何证明含答案
沪教版八年级上册数学第十九章几何证明含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在正方形OABC中，点B的坐标是(6，6)，点E，F分别在边BC，BA 上，OE=3 .若∠EOF=45°，则F点的纵坐标是 ( )A.2B.C.D. －12、下列说法中正确的是（）①角平分线上任意一点到角的两边的距离相等；②等腰三角形两腰上的高相等；③等腰三角形的中线也是它的高；④线段垂直平分线上的点（不在这条线段上）与这条线段两个端点构成等腰三角形A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④3、在平面直角坐标系xOy中有一点P（8,15），那么OP与x轴正半轴所夹的角的正弦值等于( )A. B. C. D.4、如图，在△ABC中，AB=AC=m，P为BC上任意一点，则PA2+PB•PC的值为（）A.m 2B.m 2+1C.2m 2D.（m+1）25、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12，BC=5，AM=AC，BN=BC，则MN的长为( )A.2B.2.6C.3D.46、如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC=1，E、F为线段AB上两动点，且∠ECF=45°，过点E、F分别作BC、AC的垂线相交于点M，垂足分别为H、G．现有以下结论：①AB= ；②当点E与点B重合时，MH= ；③AF2+BE2=EF2；④MG•MH= ，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.47、如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为( )A.70°B.48°C.45°D.60°8、如图所示，在中，，，D是BC的中点，连接AD，，垂足为E，则AE的长为（）A.4B.6C.2D.19、如图，在中，，，于，是的平分线，且交于，如果，则的长为（）A.2B.4C.6D.810、直角三角形的两直角边分别为5cm，12cm，其斜边上的高为（）A.6cmB.8.5cmC. cmD. cm11、如图是一个圆锥的主视图，则该圆锥的侧面积是（）A.6πB.3πC.D.12、已知：如图，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于（）A. B. C. D.13、如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB，BD于M，N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A. B. C.1 D.14、若⊙P的半径为13，圆心P的坐标为（5, 12 )，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是（)A.在⊙P内B.在⊙P上C.在⊙P外D.无法确定15、如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A.9cmB.8cmC.7cmD.6cm二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，三角形ABC三边的长分别为AB＝m2﹣n2， AC＝2mn，BC＝m2+n2，其中m、n都是正整数．以AB、AC、BC为边分别向外画正方形，面积分别为S 1、S2、S3，那么S1、S2、S3之间的数量关系为________．17、若一个直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边的长为________．18、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=10，CD=8，则BE=________．19、三角形的三边a，b，c满足(a－b)2＝c2－2ab，则这个三角形是________.20、如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD=________．21、直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是________．22、如图，在中，点为弧的中点，弦，互相垂直，垂足为，分别与，相于点，，连结，.若的半径为2，的度数为，则线段的长是________.23、我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为________．24、如图所示，△ABC为等边三角形，AD为BC边上的高，且AB＝2，则正方形ADEF的面积为________．25、如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=130°，则∠ABC=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.27、如图,已知, ，与交于, .连接.求证：是等腰三角形.28、如图，BC=3cm，AB=4cm，AF=12cm，且∠B=∠FAC=90°，求正方形CDEF的面积．29、如图所示，△ABC中，D为BC边上一点，若AB=13cm，BD=5cm，AD=12cm，BC=14cm，求AC的长．30、在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、B4、A5、D6、C7、B8、C9、C10、D12、A13、C14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)27、29、。
平面几何100题及答案(前80题)
第一题、如图，F为。
0外一点，PA、PB分别切6于A、B, PCD为ST割线，CO 交CX）于另一点E, AC、EB交于点F,证明：CD平分匕ADF。
"证明方法一：如图，延长ED交CA于K,根据条件知四边形CADB为调和四边形，故ED、EC、EA、EB构成一组调和线束，进而知K、C、A、F构成一组调和点列。
而KD±CD, 故CD平分ZADFo 3证明方法二：如鼠连結OA、OE、AB、BC,因为ZAFB = ZACE-ZBEC =ZAOE-ZBOC ISCT-NAOC-NBOC 半，且PA = PB,故点P为TkABF的外心。
于是知ZPFA= ZPAC = ZPDA,所以P、A、D、F 四点共圆。
又PA= PF,故CD 平分Z A DF。
3第二题、如图，AB为©0直径，C、D为O。
上两点，且在AB同侧，。
在C、D两处的切城交于点E, BC、AD交于点F, EF交AB于证明：E、C、页、D四点共圆。
“证明：如图，延长白C、BD交于点K,则BC1AK, AD丄BK,从而知F^)AKAB的垂心。
又在圆内接六边形CCADDB中使用帕斯卡定理，知K、E、F三点共线，从而KM丄卽于価。
于是知匕CMF = ZCAF= ZCDE,所以E、C、页、D四点共圆。
K第三题、如图，AB为。
直径，C、D为伽上两点'且在AB同侧，O0在C. D两处的切线交于点E, BC、AD交于点F, EB交0。
于点G,证明；ZCEF = 2/AGF。
“证明：如图，根据条件知匕CF D =典牌=(脸-®；(i对-命)=Z CAB + / DBA = ZECF + ZEDF；且EC = ED；故点E 为△CED 外心。
于是知/EFC = ZECF = ZCAB = ZCGE,敌E、C、F、G四点共圆。
所以“ZCGF = ZCEF = 2(90° - ZECF)= 2(90° - ZCAB)= 2ZABC 二2ZAGC " 0lWZAGF = —=—,即得ZCEF = 2ZAGFo，2 2第四題、如图，AB为直径，P为AB延长线上一点，PC切于C,点C关于朋的对称点为点D, CE1AD于E, F为CE中点，AF交于K,求证：AP为ZXPCK外扬圆的切线。
(完整word版)经典：空间几何大题
（Ⅱ)求 与平面 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点 到平面 的距离．
16、如图所示四棱锥 中， 底面 ,四边形 中， ， ， ， ， 为 的中
点， 为 中点。
(1）求四棱锥P－ABCD的体积；（2)求证： 平面 ;
（3)在棱PC上是否存在点M（异于点C），使得BM∥平面PAD，
若存在，求 的值，若不存在 ，说明理由.；
10如图，在直三棱柱 中， , ，且 是 中点.
(I）求证： 平面 ；（Ⅱ）求证： 平面 .
11如图， 在四棱锥P—ABCD中， AB∥CD， AB⊥AD， CD=2AB， 平面PAD⊥底面ABCD， PA⊥AD. E和F分别是CD和PC的中点。 求证:
(Ⅰ） PA⊥底面ABCD;(Ⅱ) BE∥平面PAD；
6。如图,在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD,PA⊥PB， BP＝BC,E为PC的中点．（1)求证：AP∥平面BDE;（2）求证:BE⊥平面PAC．
7如图， 是边长为 的正方形， 平面 ， ， 且 。
（1）求证: ∥平面 ；（2)求证： 平面 平面（3）求几何体ABC NhomakorabeaEF的体积
8。如图，在正三棱锥 中, , 分别为 , 的中点。
(1）求证： 平面 ；（2）求证：平面 平面 .
9。 如图， 直三棱柱ABC—A1B1C1中， D， E分别是AB， BB1的中点.
（Ⅰ) 证明: BC1∥平面A1CD;(Ⅱ) 设AA1=AC=CB=2, AB=2 ， 求三棱锥C—A1DE的体积。
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC.
3。 如图,四棱锥P—ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD= ,AD=2,PA=PD= ,E,F分别是棱AD,PC的中点.
八年级数学上册 尺规作图(习题及答案)(人教版)
八年级数学上册尺规作图(习题及答
案)(人教版)
尺规作图是一种古老的几何学方法，可以使用尺子和圆规来进行几何图形的构造。
在练中，我们需要注意作图语言的描述是否正确，例如延长线段、作平分线、作弧等。
同时，我们还需要掌握一些基本的作图方法，如已知边长作等边三角形、作角平分线等。
在完成题目时，要保留作图痕迹，并根据题目要求进行精确的构造。
尺规作图起源于古希腊的数学课题，其目的是使用圆规和直尺有限次来解决平面几何作图问题。
XXX是最早提出作图要有次数限制的人，但由于政治原因被囚禁并判处死刑。
在狱中，他用一根绳子画圆、用破木棍作直尺来思考改圆成方等问题，因此尺规作图也被称为“安那萨哥拉斯问题”。
尺规作图的三大难题包括：化圆为方问题、三等分角问题和倍立方问题。
其中，化圆为方问题要求求出一个正方形的边长，使其面积与一已知圆的面积相等；三等分角问题要求求出一角，使其角度是一已知角度的三分之一；倍立方问题要求求出一立方体的棱长，使其体积是一已知立方体的二倍。
以化圆为方问题为例，其解法为：（1）作线段AB使AB=a；（2）分别以点A、点B为圆心，a长为半径作弧，两弧交于点C；（3）连接AC、BC。
则△XXX即为所求。
中考数学平面几何压轴(三角形与四边形)训练15题(精选无答案)
中考平面几何压轴（三角形与四边形）训练15题（精选）1.如图，四边形ABCD 是平行四边形，且对角线AC , BD 交于点O ，点M , N 分别在AD , BC 上，且AM = CN ,点E ，F 分别是BD 与AN ，CM 的交点.(1)求证:OE = OF ;(2)连接BM 交AC 于点H ,连接HE ，HF ;(i)如图2，若HE ∥AB ,求证: FH ∥AD ;(ii)如图3,若四边形ABCD 为菱形且DM = 2AM ,∠EHF=60°，求AC BD 的值.2.(1)如图①，在矩形ABCD 的AB 边上取一点E ，将ΔADE 沿DE 翻折，使点A 落在BC 上的A′处，若AB =6，BC =10，求AEEB 的值；(2)如图②，在矩形ABCD 的BC 上取一点E ，将四边形ABED 沿DE 翻折，使点B 落在DC 的延长线上B′处，若BC ·CE =24，AB =6，求BE 的值；(3)如图③，在ΔABC 中，∠BAC =45°，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD =10，AE =6，过点E 作EF ⊥AD 交AC 于点F ，连接DF ，且满足∠DFE =2∠DAC ，直接写出BD+53EF 的值.3. 在正方形ABCD 中，AB =10, AC 是对角线，点O 是AC 的中点，点E 在AC 上，连接DE ，点C 关于DE 的对称点是C',连接DC' ,EC'.(1) 如图1，若DC'经过点O ,求证:OC ′CE = √22. (2) 如图2，连接CC'，BC',若∠ADC' = 2∠CBC',求CC'的长;(3) 当点B , C', E 三点共线时，直接写出CE 的长.4.如图，正方形ABCD中，点M在边BC上，点E是AM的中点，连接ED，EC．（1）求证：ED= EC；（2）将BE绕点E逆时针旋转，使点B的对应点B′落在AC上，连接MB′．当点M在边BC上运动时（点M不与B，C 重合），判断△CMB′的形状，并说明理由．（3）在（2）的条件下，已知AB= 1，当∠DEB′=45°时，求BM的长．5.如图，在正方形ABCD中，点M、N在直线BD上，连接AM，AN并延长交BC、CD于点E、F，连接EN.(1)如图1，若M，N都在线段BD上，且AN = NE，求∠MAN;(2)如图2.当点M在线段DB 延长线上时,AN = NE,(1)中∠MAN的度数不变，判断BM，DN，MN之间的数量关系并证明;(3)如图3,若点M在DB的延长线上,N在BD的延长线上,且∠MAN=135°(i)AB=√6,MB=√3,求DN.(ii)求证:2AM2 - MB 2= MN2 - BN2.6.如图，在RtΔABC与RtΔBDE中,∠BAC=∠BDE=90°,∠ABC=∠DBE=α.（1)如图1,当α= 60°,且点E为BC的中点时,若AB=2,连接AD.求AD的长度；（2)如图2,若α≠ 60°,且点E为BC中点时,取CE中点F,连接AF、DF。
平面几何练习题(1)(原创)(免财富)
平面几何练习题（1）一.如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α，△CDH中，∠CDH=90°，∠HCD=α，连接AH，取AH的中点M，连接MB、MD（1）求证:MB=MD（2）求∠BMD（用α表示）MH DCBA二.如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=α，△CDH中，∠CDH=90°，∠HCD=α，连接AH，取AH的中点M，连接MB、MD（1）求证:MB=MD（2）求∠BMD（用α表示）MH DCB A三. 如图，△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=α，△CDH 中，∠CDH=90°，∠HCD=α，连接AH ，取AH 的中点M ，连接MB 、MD （1）求证:MB=MD（2）求∠BMD （用α表示）ABCDHM四. 如图，△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=α，△CDH 中，∠CDH=90°，∠HCD=α，连接AH ，取AH 的中点M ，连接MB 、MD （1）求证:MB=MD（2）求∠BMD （用α表示）MHDCBA中点M ，连接MB 、MD （1）求证:MB=MD（2）求∠BMD （用α表示）ABCDHM六. 如图，△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=α，△CDH 中，∠CDH=90°，∠HCD=α，连接AH ，取AH 的中点M ，连接MB 、MD （1）求证:MB=MD（2）求∠BMD （用α表示）MHDCBAAB CDHM中点M ，连接MB 、MD （1）求证:MB=MD（2）求∠BMD （用α表示）八. 如图，△ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=α，△CDH 中，∠CDH=90°，∠HCD=α，连接AH ，取AH 的中点M ，连接MB 、MD （1）求证:MB=MD（2）求∠BMD （用α表示） MHDCBA。
平面几何100题(1)
平面几何100题1.非等腰锐角三角形ABC 的外接圆为ω，H 为△ABC 的垂心，M 是AB 的中点。
在不含C 的圆弧AB 上取点P、Q，使得∠ACP=∠BCQ＜∠ACQ，过H 分别作CQ、CP 的垂线，垂足为R、S。
证明：P，Q，R，S 共圆且点M 是该圆的圆心。
2.在△ABC 中，点M、N、K 分别在边BC、CA、AB 上且不与顶点重合，若∠BAC=∠KMN 且∠ABC=∠KNM，则称△MNK 为完美三角形。
证明：如果在△ABC 中有两个具有共同顶点且不重合的完美三角形，则△ABC 是直角三角形。
3.四边形ABCD 满足AD//BC，∠ABC>90⁰，M 是线段AB 上不同于A、B 的一点，设△MAD、△MBC 的外心分别为21,O O 。
△D MO 1的外接圆不同于M 的交点为N。
求证：点N 在直线21O O 上。
4.在凸四边形（非平行四边形）ABCD 的对角线上分别取点B′、C′，使得△ACB′、△BDC′都为正三角形，其中点B 和B′位于AC 的同侧，点C 和C′位于BD 的同侧，如果CD AB C B +=''，求∠BAD+∠CDA 的值。
5.给定一个凸六边形ABCDEF，其中AB//DE，BC//EF，CD//FA。
设BD 和AE、AC 和DF、CE 和BF 的交点分别为M、N、K。
证明：过M、N、K 分别作AB、CD、EF 的垂线交于同一点。
6.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点K，点M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点，△ADM 和△BCM 的外接圆交于点M、L，证明：K，L，M，N（这些点两两不重合）四点共圆。
7.圆内接四边形ABCD 的外接圆为圆Ω且AB=AD，在线段BC、CD 上分别取点M、N，使得MN=BM+DN。
直线AM 交圆Ω于点P （不同于A），直线AN 交圆Ω于点Q （不同于A）。
求证：△APQ 的垂心在MN 上。
8.给定四边形ABCD，其中∠B=∠D=90⁰，在线段AB 上取点M 使得AD=AM。
平面解析几何经典题（含答案）
平面解析几何一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角与斜率、直线的倾斜角与斜率（1）倾斜角a 的范围000180a £<（2）经过两点的直线的斜率公式是（3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率2.两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k Û=。
特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。
的关系为平行。
（2）两条直线垂直如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ^Û=-注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。
如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。
互相垂直。
二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称名称方程的形式方程的形式 已知条件已知条件 局限性局限性 点斜式点斜式为直线上一定点，k 为斜率为斜率 不包括垂直于x 轴的直线轴的直线 斜截式斜截式k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线轴的直线 两点式两点式是直线上两定点是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线直线截距式截距式a 是直线在x 轴上的非零截距，b 是直不包括垂直于x 轴和y 轴或线在y 轴上的非零截距轴上的非零截距过原点的直线过原点的直线 一般式一般式A ，B ，C 为系数为系数 无限制，可表示任何位置的直线直线 三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式1.两条直线的交点设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
几何经典题(含简答)
管理类联考几何模块经典分类60题[编写] 孙华明说明：1.试题答案三天后公布，由于本书要出版，试题详解不便给出，需要请选择购买方式： 促销商品栏目中的预测200题。
2.关于试题讲解请登录云学堂: 押题与技巧栏目收听（需要报名vip3数学押题班），具体请咨询QQ ：824375504.第一篇 平面几何部分一、问题求解题：1．记一个圆的外切等边三角形的面积为1S 、内接正方形的面积为2S ，则12:S S =（ ） A ．2:3 B ．5:23 C ．23:1 D ．33:2 E ．5:32. 图中大三角形分成5个小三角形，面积分别为40、30、35、x 、y ，则x =（ ）A ．72B ．70C ．68D ．66E ．643、如图，矩形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 上的点，且2,3,4ABECEFADFS SS===,则AEFS=（ ）。
A.92B. 6C. 7D. 8E.1324．图中ABCD 是边长为2的正方形，以AB 为直径的半圆以及以AB 为半径的两个14圆在正方形中划分出小面积1S ，2S ，3S ，4S ，则41S S -=（ ） A ．423π- B ．32π- C ．843π-D ．342π- E ．2π+5、如图，正方形ABCD 顶点B 坐标为(5,0)，顶点D 在221x y +=上运动。
正方形ABCD 的面积为S ，则S 的最大值为（ ）A ．25B ．36C ．49D ．18E ．4926.如图，等边△ABC 边长为10cm ，以AB 为直径的⊙O 分别交CA 、CB 于D 、E 两点，则图中阴影部分的面积是（ ）cm 2。
A.32526π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B. 32523π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C. 32532π⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D. 2533π⎛⎫-⎪⎝⎭E. 以上都不正确7、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，则34a b +的值为（ ）A 、35B 、43C 、89D 、97E 、908．如图，正方形ABCD 的边1=AB ，BD 和AC 都是以1为半径的圆弧，则无阴影部分的两部分的面积之差是（ ）A ．12-πB ．41π-C ．13-π D ．61π-E ．以上都不正确9、如图，梯形ABCD 对角线相交于点O ，已知△AOB 的面积为252cm ,△BOC 的面积为352cm ，那么梯形ABCD 的面积为（ ）A ．1402cmB ．144 2cmC ．160 2cm D ．1502cmE ．164 2cm10、如图，在斜边长为2的等腰直角三角形内，不断作正方形，设这些正方形的面积的分别为n S S S ,...,,21，则n S S S +++...21的结果最接近于（ ）A 、21 B 、1 C 、43 D 、54 E 、6511、如图中的大、小正方形的边长均为整数(厘米)，它们的面积之和等于74平方厘米。
平面几何经典测试题(含答案)
平面几何经典测试题(含答案)1. 题目：已知正方形ABCD，边长为a，点O是正方形中线的中点，连接AO、BO、CO、DO，求角AOB的大小。
解答：首先，我们知道正方形的中线与边的交点是该边的中点。
因此，点O是正方形ABCD的中心点，且AO、BO、CO、DO都是正方形的对角线。
由于正方形的对角线互相垂直且平分对方角，所以角AOB的大小是90度。
2. 题目：在平面直角坐标系中，点A(1, 3)和点B(4, -2)确定了一条直线L，求直线L的斜率和截距。
解答：直线的斜率可以用两点的坐标来计算。
斜率表示了直线的倾斜程度。
设两点的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，则直线的斜率k可以计算为：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)在这个题目中，点A的坐标为A(1, 3)，点B的坐标为B(4, -2)。
将这些值代入斜率公式，可以计算出直线L的斜率。
斜率 k = (-2 - 3) / (4 - 1) = -5/3直线的截距表示了直线与y轴的交点的纵坐标。
设与y轴的交点坐标为(0, b)，则直线的截距b可以计算为：b = y - kx将点A或B的坐标代入，就可以计算出直线L的截距。
以点A(1, 3)为例，截距 b = 3 - (-5/3) * 1 = 8/3所以，直线L的斜率为-5/3，截距为8/3。
3. 题目：已知三角形ABC，边长分别为a、b、c，其中a=4，b=5，c=6，判断三角形ABC的类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）。
解答：根据三角形的边长关系，如果三边满足任意两边之和大于第三边，那么这个三角形是一个合法的三角形。
在这个题目中，三角形的边长分别为a=4，b=5，c=6。
我们可以验证一下是否符合三角形的边长关系：4 +5 > 65 +6 > 46 + 4 > 5由于以上的不等式都成立，所以这个三角形是一个合法的三角形。
接下来，判断三角形的类型。
根据三角形的内角和，我们可以知道：如果三角形的所有内角都小于90度，则这个三角形是一个锐角三角形。
(精心整理)平面几何经典难题及解答
平面几何经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CEBO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 BF经典难题（二）1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O（1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．经典难题（三）1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）经典难题（四）1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·4、平行四边形ABCD 中，设E、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）经典难题（五）1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC0，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDA CBPD经典难题解答:经典难题（一）1.如下图做GH⊥AB,连接EO。
平面几何中线面平行的经典方法+经典题(附具体解答)
DB A 1高中立体几何证明平行的专题(基本方法)立体几何中证明线面平行或面面平行都可转化为 线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些方法： (1)通过“平移”。
(2)利用三角形中位线的性质。
(3)利用平行四边形的性质。
(4)利用对应线段成比例。
(5)利用面面平行，等等。
(1) 通过“平移”再利用平行四边形的性质1．如图，四棱锥P －ABCD 的底面是平行四边形，点E 、F 分 别为棱AB 、 PD 的中点．求证：AF ∥平面PCE ；分析：取PC 的中点G ，连EG.，FG ，则易证AEGF 是平行四边形2、如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3， 过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC.（Ⅰ）求证：BC ⊥面CDE ； （Ⅱ）求证：FG ∥面BCD ；分析：取DB 的中点H ，连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形3、已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D, E, F 分别为AA 1, CC 1, AB 的中点， M 为BE 的中点, AC ⊥BE. 求证：（Ⅰ）C 1D ⊥BC ； （Ⅱ）C 1D ∥平面B 1FM. 分析：连EA ，易证C 1EAD 是平行四边形，于是MF//EA（第1题图）4、如图所示, 四棱锥P -ABCD 底面是直角梯形,,,AD CD AD BA ⊥⊥CD=2AB, E 为PC 的中点,证明: //EB PAD 平面;分析:：取PD 的中点F ，连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2) 利用三角形中位线的性质5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、CD 、BD 、BC 的中点，求证：AM ∥平面EFG 。
分析：连MD 交GF 于H ，易证EH 是△AMD 的中位线6、如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，E 是PC 的中点。
平面几何辅助线经典题及参考答案(中考版)
2.如图, 直线MN与直线PQ垂直相交于点O, 点A在直线PQ上运动, 点B在直线MN上运动, (1)如图,已知AE, BE分别是BAO和ABO的角平分线,点B, A在运动的过程中, AEB的 大小是否会发生变化 ?若发生变化, 请说明变化的情况 : 若不发生变化, 请说明理由,并求出 AEB的大小, (2)如图,已知AB不平行CD, AD, BC分别是BAP和ABM的角平分线, AD, BC的延长线交于点F, ADC的角平分线DE和BCD的角平分线CE相交于点E, ①点A, B在运动的过程中, F的大小是否会发生变化 ?若发生变化, 请说明变化的情况, 若不发生变化, 请说明理由 ②点A、B在运动的过程中, CED的大小是否会发生变化？若发生变化, 请说明变化的情况 若不发生变化, 请说明理由
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13.如图,已知线段AC与BC相交于点O,连接AB, DC, E为OB的中点, F为OC的中点,连接EF,若A D, OEF OFE,求证 : AB DC
14.如图,已知ABC是等腰三角形, BAC 900 , CD 1 BC, DE CE, 2
DE CE,连接AE,点M是AE的中点, (1)如图,若点D在BC边上,连接CM,当AB 4时,求CM的长 (2)如图,若点D在ABC的内部,连接BD,点N是BD中点,连接MN, NE, 求证 : MN AE
6.如图,在ABC中, AB 3AC, BAC的平分线交BC于点D,过B作BE AD, 垂足为E,求证 : AD DE 7.如图,在ODC中, D 900 , CE是DCO的角平分线, 且OE CE,过E作EF OC交OC于点F,猜想 : 线段EF与OD之间的关系,并证明
八年级数学下册专题11一次函数几何压轴训练(原卷版)
专题11 一次函数几何压轴训练1．（2023秋•东阳市期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于点B，A，直线OC⊥AB，垂足为点C，D为线段OA上一点（不与端点重合），过点D 作直线l∥x轴，交直线AB于点E，交直线OC点F．（1）求线段OC的长；（2）当DE＝EF时，求点D的坐标；（3）若直线l过点C，点M为线段OC上一点，N为直线l上的点，已知OM＝CN，连结AN，AM，求线段AN+AM的最小值．2．（2023秋•和平县期末）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，直线AB：y＝kx+与直线AC：y＝﹣2x+b交于点A，两直线与x轴分别交于点B（﹣3，0）和C （2，0）．（1）求直线AB和AC的表达式．（2）点P是y轴上一点，当P A+PC最小时，求点P的坐标．（3）如图2，点D为线段BC上一动点，将△ABD沿直线AD翻折得到△ADE，线段AE 交x轴于点F，若△DEF为直角三角形，求点D坐标．3．（2023秋•槐荫区期末）如图，直线和直线l2与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线l2与y轴相交于点D（0，﹣4），OA＝2OB．（1）求出直线l2的函数表达式；（2）E是x轴上一点，若S△ABC＝2S△BCE，求点E的坐标；（3）若F是直线l1上方且位于y轴上一点，∠ACF＝2∠CAO，判断△BCF的形状并说明理由．4．（2023秋•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，直线BC与x轴负半轴交于点C，且CO＝2AO．（1）求线段AC的长；（2）动点P从点C出发沿射线CA以每秒1个单位的速度运动，连接BP，设点P的运动时间为t（秒），△BPO的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，在线段BC上是否存在点D，连接DP，使得△BDP是以BP为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．5．（2023秋•金牛区期末）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与x轴、y轴分别交于点A、点B，S△AOB＝4，点C（3，m）是直线AB上一点，在直线AB左侧过点C的直线交y轴于点D，交x轴于点E．（1）求m和b的值；（2）当∠ACD＝45°时，求直线CD的解析式；（3）如图2，在（2）的条件下，过C作CM⊥x轴，在直线AC上一点P，直线CD上一点Q，直线CM上一点H，当四边形AHQP为菱形时，求P点的坐标．6．（2023秋•咸阳期末）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象与x 轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，8）．（1）求该一次函数的表达式；（2）点C为点B上方y轴上的点，在该一次函数的图象上是否存在点P，使得以点P、B、C为顶点的三角形与△OAB全等？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．7．（2023秋•历城区期末）如图1，直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A（3，0），B两点，点A沿x轴向右平移3个单位得到点D．（1）分别求直线AB和BD的函数表达式．（2）在线段BD上是否存在点E，使△ABE的面积为，若存在，求出点E坐标；若不存在，说明理由．（3）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当点P运动时，点K的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．8．（2023秋•江门期末）如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a，b满足+（a﹣4）2＝0．（1）a＝，b＝；（2）如图1，若点C的坐标为（﹣1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；（3）如图2，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，当点M在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM﹣S△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．9．（2023秋•简阳市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+8分别与x 轴、y轴交于A、B两点，过点B作BC⊥AB交x轴于点C．（1）求点C的坐标；（2）点D为直线AB上一点，且∠DCA＝∠DAC，求直线CD的解析式；（3）若点Q是x轴上一点，连接BQ，将△ABQ沿着BQ所在直线折叠，当点A落在y 轴上时，求点Q的坐标．10．（2023秋•天桥区期末）如图1，已知函数y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称．（1）请写出点A坐标，点B坐标，直线BC的函数解析式；（2）设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．①若△PQB的面积为，求点Q的坐标；②点M在线段AC上，连接BM，如图2，若∠BMP＝∠BAC，直接写出P的坐标．11．（2023秋•万州区期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+4的图象与x轴，y轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点．（1）求直线AC的解析式；（2）如图2，若点M是直线AC上的一动点，当S△ABM＝2S△AOC时，求点M的坐标；（3）将直线AB向右平移3个单位长度得到直线l，若点E为平移后直线l上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点，AE为边的四边形为菱形，若存在，请直接写出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．12．(2023秋•盐都区期末）如图，直线AB：y＝x+b分别与x、y轴交于A，B两点，点A的坐标为（−4，0），过点B的直线交x轴正半轴于点C，且OB：OC＝4：3．（1）求直线BC的函数表达式；（2）在x轴上方是否存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等．若存在，画出△ABD，并求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点P是y轴上的一点，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折，当点B的对应点B′恰好落在x轴上时，请直接写出此时直线CP的函数表达式．13．（2023春•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）．（1）求直线l2的解析式；（2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标；（3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标．14．(2023春•潮阳区期末）如图，直线y＝x﹣3交x轴于A，交y轴于B，（1）求A，B的坐标和AB的长（直接写出答案）；（2）点C是y轴上一点，若AC＝BC，求点C的坐标；（3）点D是x轴上一点，∠BAO＝2∠DBO，求点D的坐标．15．（2023春•武穴市期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝x+2与x轴交于点A，直线l2：y＝3x﹣6与x轴交于点D，与l1相交于点C．（1）求点D的坐标；（2）在y轴上一点E，若S△ACE＝S△ACD，求点E的坐标；（3）直线l1上一点P（1，3），平面内一点F，若以A、P、F为顶点的三角形与△APD 全等，求点F的坐标．16．（2023春•淅川县期末）如图，已知直线y＝kx+b经过A（6，0）、B（0，3）两点．（1）求直线y＝kx+b的解析式；（2）若C是线段OA上一点，将线段CB绕点C顺时针旋转90°得到CD，此时点D恰好落在直线AB上．①求点C和点D的坐标；②若点P在y轴上，Q在直线AB上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标，否则说明理由．17．（2023春•拜泉县期末）综合与探究．如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的两条邻边分别在x轴、y轴上，对角线，点B的坐标为B（2a，a）．（1）A，C．（2）把矩形OABC沿直线DE对折使点C落在点A处，直线DE与OC、AC、AB的交点分别为D，F，E，求直线DE的解析式（问题（1）中的结论可直接使用）．（3）若点M在y轴上，则在平面直角坐标系中的x轴及x轴的下方，是否存在这样的点N，使得以A、D、N、M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．（2023春•唐县期末）（1）基本图形的认识：如图1，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E是边BC上一点，AB＝EC，BE＝CD，连结AE、DE，求证：△AED是等腰直角三角形．（2）基本图形的构造：如图2，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，3），连结AB，过点A在第一象限内作AB的垂线，并在垂线截取AC＝AB，求点C的坐标；（3）基本图形的应用：如图3，一次函数y＝﹣2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线AC交x轴于点D，且∠CAB＝45°，求点D的坐标．19．（2023春•新罗区期末）数形结合作为一种数学思想方法，数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，A表示的数为a，B表示的数为b，则A，B两点的距离可用式子|a﹣b|表示．研一研：如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A（a，0）、点B（0，b），且a、b满足（a﹣6）2+|b﹣4|＝0．（1）直接写出以下点的坐标：A（，0），B（0，）．（2）若点P、点Q分别是y轴正半轴（不与B点重合）、x轴负半轴上的动点，过Q作QC∥AB，连接PQ．已知∠BAO＝34°，请探索∠BPQ与∠PQC之间的数量关系，并说明理由．（3）已知点D（3，2）是线段AB的中点，若点H为y轴上一点，且，求S△AHD＝S△AOB，求点H的坐标．20．（2023春•红安县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+8分别交x轴，y 轴于点A，B，点A（8，0）．直线l2：经过线段AB的中点Q，分别交x轴，y 轴于点C，D．（1）请直接写出k的值；（2）请求出直线l2的解析式；（3）点P（t，0）为x轴上一动点，过点P作PE∥y轴交l1，l2于点E，F；①当EF＝2EP时，求t的值．②连接BC，当∠OBC＝∠ABF时，求t的值．21．（2023春•樊城区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2＝kx交于P（2，1），且PO＝P A．（1）求点A的坐标；（2）求函数y1，y2的解析式；（3）点D为直线y1＝ax+b上一动点，其横坐标为t（t＜2），DF⊥x轴于点F，交y2＝kx于点E，且DF＝2EF，求点D的坐标；（4）在（3）的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y＝mx+n将四边形OBDE 分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2．若≤2，直接写出m的取值范围．22．（2023春•松北区期末）如图，直线y＝x+10交x轴于点A，交y轴于点B，直线y＝kx+b 过点A，交y轴于点C，且C为线段OB的中点．（i）求k、b的值；（2）点P为线段AC延长线上一点，连接PB，设点P的横坐标为t，△P AB的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点D在线段AO的延长线上，连接CD、PD，且，点E在AD上，且∠DPE＝45°，过点C作CF∥PE，交x轴于点F，若AF＝DE，求P点的坐标．23．（2023春•碑林区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣2x+b与x轴，y轴分别交于A、B两点．直线交线段AB于点C（1，m），且S△AOB＝2S△BOC．（1）求b的值；（2）若点D是y轴上一点，点E为平面上一点，是否存在以点A，B，D，E为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出点E的坐标，若不存在请说明理由．24．（2023春•台江区期末）已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为直线AB上的一个动点，过点P分别作PF⊥x轴于点F，PE⊥y轴于点E，如图所示．（1）若点P为线段AB的中点，求OP的长；（2）若四边形PEOF为正方形时，求点P的坐标；（3）点P在AB上运动过程中，EF的长是否有最小值，若有，求出这个最小值；若没有，请说明理由．25．（2023春•舞阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x轴、y轴分别交于点D、C，直线AB与y轴交于点B（0，﹣3），与直线CD交于点A（m，3）．（1）求直线AB的解析式；（2）点E是射线CD上一动点，过点E作EF∥y轴，交直线AB于点F．若以O、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，请求出点E的坐标；（3）设P是射线CD上一点，在平面内是否存在点Q，使以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．26．(2023秋•新都区期末）如图所示，直线l1：y＝x﹣1与y轴交于点A，直线l2：y＝﹣2x ﹣4与x轴交于点B，直线l1与l2交于点C．（1）求点A，C的坐标；（2）点P在直线l1上运动，求出满足条件S△PBC＝S△ABC且异于点A的点P的坐标；（3）点D（2，0）为x轴上一定点，当点Q在直线l1上运动时，请直接写出|DQ﹣BQ|的最大值．27．(2023秋•金华期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx+1交y轴于点A，交x轴于点B（4，0），过点E（2，0）的直线l2平行于y轴，交直线l1于点D，点P是直线l2上一动点（异于点D），连接P A、PB．（1）直线l1的表达式为，点D的坐标为；（2）设P（2，m），当点P在点D的下方时，求△ABP的面积S的表达式（用含m的代数式表示）；（3）当△ABP的面积为3时，则以点B为直角顶点作等腰直角△BPC，请直接写出点C 的坐标．28．(2023秋•新都区校级期末）如图，已知直线y＝x﹣2分别与x轴，y轴交于A，B两点，直线OG：y＝kx（k＜0）交AB于点D．（1）求A，B两点的坐标；（2）如图1，点E是线段OB的中点，连接AE，点F是射线OG上一点，当OG⊥AE，且OF＝AE时，在x轴上找一点P，当PE+PD的值最小时，求出△APE的面积；（3）如图2，若k＝﹣2，过B点BC∥OG，交x轴于点C，此时在x轴上是否存在点M，使∠OBM+∠OBC＝45°，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．(2023春•巴中期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+10与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的另一直线交x轴正半轴于点C，且△ABC面积为60．（1）求点C的坐标及直线BC的表达式；（2）若M为线段BC上一点，直线AM把△ABC的面积分成两部分，这两部分的面积之比为1：2，求M的坐标；（3）当△ABM的面积为20时，点E为直线AM上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D、E、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．30．(2023春•湘潭县期末）如图，长方形OABC，是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA＝10，OC＝6，在AB上取一点M使得△CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B′点．（1）求B'点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的表达式；（3）求折痕CM上是否存在一点P，使PO+PB'最小？若存在，请求出最小值，若不存在，请说出理由．。
初二几何难题大全
初二几何难题大全篇一：初二几何典型题1、已知：在△ABC中，BC=10, D是AC上一点且AB=BD, E, F 分别是AD、BC的中点.求:EF的长如图,已知∠ABC=∠ADC=90°,P、Q分别是AC、BD的中心。
AC=10,BD=8,求PQ的长在线等，答得快和好，追加分连结DP和BP,∵∠ABC=∠ADC=90°,△ADC和△ABC是RT△,∴DP=AC/2,BP=AC/2,(斜边的中线等于斜边的一半)∴DP=BP,∴△PDB是等腰△,∵DQ=BQ,∴PQ也是BD边上的高,∴PQ⊥BD.∵BP=5 QB=4∴PQ^2=BP^2-QB^2=9∵PQ >0∴PQ=3已知；如图，在△ABC中，∠BAC=90°, AB=AC, BD⊥AE, CE⊥AE.求证：BD=DE+CEBD⊥AE, CE⊥AE则BD//CE，∠DBC=∠BCEAB=AC，则∠ACB=∠ABD+∠DBC=45度RT三角形AC0 E中∠EAC=90-∠ACB-∠BCE=45-∠BCE=45-∠DBC=∠ABD又AB=AC所以RTABD与RT三角形CAE全等即AD=CE，BD=AE因为AE=AD+DE所以BD=AE=AD+DE=CE+DE连接BE，因为AB=BD，E是AD的中点，所以BE垂直于AD又因为F是BC的中点，且在直角△BEC中，斜边的中线等于其长度的一半所以EF=BC/2=5如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°，∠B=∠E=90°。
AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M，N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为？A.100°B.110°C.120°D.130°（2011?日照）如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线（1）求证：DE平分∠BDC；上的一点，且CE=CA．（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证：ME=BD满意回答回答者：莪昰呓伿貓2012-07-28 17:17解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC 于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA 延长线AH，∵∠EAB=120°，∴∠HAA′=60°，∴∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120证∴∠BAC=∠ABC=45°，∵∠CAD=∠CBD=15°，∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°，∴BD=AD．在△BDC与△ADC中，明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，BD=AD∠CBD=∠CADBC=AC，∴△BDC≌△ADC（SAS），∴∠DCB=∠DCA，又∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠DCB=∠DCA=45°．由∠BDM=∠ABD+∠BAD=30°+30°=60°，∠EDC=∠DAC+∠DCA=15°+45°=60°，∴∠BDM=∠EDC，∴DE平分∠BDC；（2）如图，连接MC．∵DC=DM，且∠MDC=60°，∴△MDC是等边三角形，即CM=CD．又∵∠EMC=180°-∠DMC=180°-60°=120°，∠ADC=180°-∠MDC=180°-60°=120°，∴∠EMC=∠ADC．又∵CE=CA，∴∠DAC=∠CEM．在△ADC与△EMC中，∠ADC=∠EMC篇二：初一几何难题_练习题(含答案)1、证明线段相等或角相等两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。
巧用面积法 妙解几何题
温故知新
填空：
1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积
为 25。
2.已为知AD为S△△AABBDC=的S△中。A线CD，则S △ABD与S △ACD的大小关系
3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形
论，并说明理由。
A
分析：此题的条件虽然发生了变化，
但是思路、方法不变，还是应用面
积法。连结PA、PB、PC，根据
S△ABC=S△ABP+S△ACP－S△BCP， 由AB=BC=AC，可得正确结论：
D B
EH
F C
PD+PF－PE=AH
P
• 证角相等
例3.点C是线段AB上一点，分别以AC、BC为边在 AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接BD、 AE交于O点，再连接OC，求证：∠AOC=∠BOC.
（提示：AB︰AC=S△ABD︰S△ACD）
※7.Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已 知AB=c，AC=b，BC=a，CD=h，求证： 1/a2+1/b2=1/h2（提示：a2+b2=c2）
A C
C
B
D
第6题
B AD
第7题
例2.（1）已知： △ABC中，AB=AC，P为底边
BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，
BF⊥AC于F，求证：PD+PE=BF.
A
分析：此题可构造矩形来证明，但较麻
烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可
尝试面积法。连接AP，根据
F
S△ABC=S△ABP+S△ACP，结合AB=AC，可得证。 D
平面直角坐标系背景下的几何问题(基础练)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题3.22平面直角坐标系背景下的几何问题（分层练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 为正方形，点C 坐标为()3,2，则点A 的坐标为（）A ．()2,2-B ．()2,3-C ．()3,2-D ．()3,3-2．（2023春·湖北武汉·七年级统考期中）如图在平而直角坐标系中，点(1,3)A --，点(3,1)B -，点(2,2)C ，则三角形ABC 的面积是（）A ．7B ．7.5C ．8D ．8.53．（2023春·湖北鄂州·七年级统考期末）如图，线段AB 经过原点O ，点C 在y 轴上，D 为线段AB 上一动点，若点()2,A m -，()4,B n ，()0,3C -，且12AB =，则CD 长度的最小值为（）A ．1B ．32C ．23D ．434．（2023·河南周口·统考三模）如图，已知点()()6,0,0,8A B ，点P 在y 轴负半轴上，若将PAB 沿直线AP 折叠，使点B 的对应点恰好落在x 轴正半轴上的点B '处，则点P 的坐标是（）A ．()0,10-B ．()0,12-C ．()0,14-D ．()0,16-5．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在PMN 中，,,(0,2),(2,2)PM PN PM PN P N =⊥-，则M 的坐标是（）A ．()-B ．(-C ．(-D ．(4,0)-6．（2019秋·广东潮州·八年级统考期中）如图，已知Rt OAB ，60OAB ∠=︒，90AOB ∠=︒，O 点与坐标系原点重合，若点P 在x 轴上，且APB △是等腰三角形，则点P 的坐标可能有（）个.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．（2023春·北京大兴·七年级统考期末）(),0A a ，()3,4B 是平面直角坐标系xOy 中的两点，当线段AB 的长度最小时，a 的值为（）A ．4-B ．3-C ．4D ．38．（2023春·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标()0,4A ，()1,B b -，()2,C c ，BC 经过原点O ，且CD AB ⊥，垂足为点D ，则AB CD ⋅的值为（）．A ．10B ．11C ．12D ．149．（2023春·福建福州·七年级校考期中）已知(),0A a ，()0,10B ，()5,0C 三点，且三角形ABC 的面积等于20，则a 的值为（）A ．1或9-B ．9C ．1或9D ．9或9-10．（2023春·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在直角坐标系的x 轴负半轴和y 轴正半轴上分别截取OA OB ，，使OA OB =，再分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径作弧，两弧交于第二象限的点N ，若点N 的坐标为()226n n --，，则n 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2022秋·辽宁大连·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，()0,3A ，()1,0C -，AC BC =，AC BC ⊥，则B 点坐标为．12．（2022春·湖南益阳·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点()4,0A ，()0,3B ，若有一个直角三角形与Rt AOB △全等，且与其共OB 边，A '点是A 点的对应点，试写出所有满足条件的A '点的坐标13．（2023春·山西临汾·七年级统考期中）如图，(20),A -，()0,3B ，()2,4C ，()3,0D ，点P 在x 轴上，直线CP 平分四边形ABCD 的面积，则PD 的长为．14．（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，2OA =，5OB =，以A 点为直角顶点作Rt ABC △，90BAC ∠=︒，AB AC =，则C 点的坐标为．15．（2022秋·江苏南通·八年级统考阶段练习）如图，等腰Rt ABC △中，90ABC AB BC ∠=︒=，．点A 、B 分别在坐标轴上，且x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过C 点作CD x ⊥轴于点D ，交AB 的延长线于点E ，测得AM 的长度为6，则点C 的纵坐标为．16．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()0,4，点B 的坐标为()3,0，点C 、D 分别在y 轴、AB 上运动，连接BC CD 、，则BC CD +的最小值为．17．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A ，点B ，点C 的坐标分别是(4,4)-，(2,4)--，(4,2)-，点D 与点A 关于y 轴对称，顺次连接A ，B ，C ，D 四点得到四边形ABCD ，点P 是四边形ABCD 边上的一个动点，连接PB ，若PB 将四边形ABCD 的面积分为1：4的两部分，则点P 的坐标为．18．（2022春·上海·九年级统考自主招生）如图，在平面直角坐标系中，(6,0)A -、(2,2)B -，动点P 在直线y x =-上，动点Q 在x 轴上，则AP PQ QB ++的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2021秋·福建三明·八年级统考期中）如图，ABC 的三个顶点的坐标分别为()5,0A -，()4,0B ，()2,5C ．（1）求ABC 的面积；（2）画出ABC 关于y 轴对称的图形．20．（8分）（2023春·全国·七年级期末）在平面直角坐标系中，点()0A a ，，()2B b ，，()40C ，，且0a >．（1）若2(2)40a b --=，求点A ，点B 的坐标；（2）如图，在（1）的条件下，过点B 作BD 平行y 轴，交AC 于点D ，求点D 的坐标；21．（10分）（2023秋·河南濮阳·八年级校考期末）如图（1），已知()3,0A ，()0,1B -，ABC 是等腰直角三角形，90ABC ∠=︒，BA BC =．（1）如图，求C 点坐标；（2）如图（2），点P 为x 正半轴上一点，作等腰直角BPQ V ，其中90PBQ ∠=︒，BP BQ =，求证：PA CQ =．22．（10分）（2023春·山东济宁·八年级统考期中）如图所示，点(,)A a b ，(,)B c d 是平面直角坐标系中的两个点，且AC x ⊥轴于点C ，BD x ⊥轴于点D ．（1）||DC =__________，||||CA DB -=__________．（用含a ，b ，c ，d 的式子表示）（2）请构造直角三角形，利用勾股定理计算A ，B 两点之间距离的平方为__________．（用含a ，b ，c ，d 的式子表示）（3）若(3,5)E -，5(2,)F -，求E 、F 两点之间的距离．23．（10分）（2022秋·广东阳江·八年级统考期末）如图，已知()3,0A ，()0,1B -，连接AB ，过B 点作AB 的垂线段BC ，使BA BC =，连接AC ．（1）如图1，求C 点坐标；（2）如图2，若P 点从A 点出发沿x 轴向左平移，连接BP ，作等腰直角BPQ V ，连接CQ ，当点P 在线段OA 上，求证：PA CQ =．24．（12分）（2023春·广东东莞·七年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A 、C 的坐标分别是(,0)a 、(,4)c ，且满足2(4)40a c ++-=，连接AC ，交y 轴于点Q ，并过点C 作CB x ⊥轴于点B ．（1）求ABC 的面积；（2）当Q 的坐标为(0,2)，若y 轴上有一动点P ，使得ABC QCP S S =△△，求出点P 的坐标；（3）如图2，过点B 作BD AC ∥交y 轴于点D ，当AE ，DE 分别平分CAB ∠和ODB ∠时，写出AED ∠与CAB ∠，ODB ∠的数量关系，并写出证明过程．参考答案1．B【分析】如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点C 作CE x ⊥轴于点E ，根据正方形的性质，可证Rt Rt (ASA)AOD OCE △≌△，可得DO EC =，AD OE =，根据点C 的坐标可确定,OE CE 的长，由此即可求解．解：如图所示，过点A 作AD x ⊥轴于点D ，过点C 作CE x ⊥轴于点E，∵四边形OABC 是正方形，∴OA AB BC OC ===，=90AOC ∠︒，∴90AOD EOC ∠+∠=︒，90AOD OAD ∠+∠=︒，∴OAD EOC ∠=∠，在Rt ,Rt AOD OCE △△中，90OAD COE AO CO ADO OEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt (ASA)AOD OCE △≌△，∴DO EC =，AD OE =，∵()3,2C ，∴3OE =，2CE =，∴2,3OD AD ==，且点A 在第二象限，∴(2,3)A -，故选：B ．【点拨】本题主要考查几何图形，全等三角形的判定和性质，图像与坐标的综合，掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质，根据图像特点确定坐标的方法等知识是解题的关键．2．A【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解．解：如图所示，过点C 作DE x ∥轴，过点,A B 分别作,AE BD 垂直于ED ，垂足为点,E D ，∵()1,3A --，()3,1B -，()2,2C ，∴()1,2E -，()3,2D ，则5,4,3AE ED BD ===∴三角形ABC 的面积是()1115345331167.5 1.57222+⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=故选：A ．【点拨】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．3．B【分析】分别过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，得出2AE =，4BF =，3OC =，最后利用垂线段最短及三角形的面积公式解决问题．解：如图，分别过点A 、B 作y 轴的垂线，垂足分别为点E 、点F ，∵点()2,A m -，()4,B n ，()0,3C -，∴2AE =，4BF =，3OC =，∵垂线段最短，∴当CD AB ⊥时CD 有最小值，∵ABC AOC BOC S S S =+ ，∴11324391222AB CD ⋅=⨯⨯+⨯⨯=∵12AB =，∴32CD =，∴CD 长度的最小值为32，故选：B ．【点拨】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，掌握三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半是解题的关键．4．B【分析】根据勾股定理求得AB ，设()0,P t ，0t <，根据折叠的性质得出10AB AB '==，8PB PB t '==-，在Rt POB '△中，勾股定理即可求解．解：∵点()()6,0,0,8A B ，∴6,8OA OB ==，∴10AB ==，∵将PAB 沿直线AP 折叠，使点B 的对应点恰好落在x 轴正半轴上的点B '处，∴10AB AB '==∴10616OB OA AB ''=+=+=，设()0,P t ，0t <，∴8PB PB t'==-在Rt POB '△中，OP t =-，∴()()222168t t -+=-解得：12t =-，∴P 的坐标为()0,12-故选B.【点拨】本题考查了勾股定理与折叠问题，坐标与图形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．5．D【分析】过点N 作ND ⊥y 轴于点D ，利用P （0，2），N （2，−2），得出OP ＝2，OD ＝2，DN ＝2，根据“AAS”证明△MOP ≌△PDN ，OM ＝PD ，即可得出答案．解：过点N作ND⊥y轴于点D，∵P（0，2），N（2，−2），∴OP＝2，OD＝2，DN＝2，∴PD＝4，∵PM⊥PN，∴∠MPN＝90°，∴∠MPO＋∠DPN＝90°，又∵∠DPN＋∠PND＝90°，∴∠MPO＝∠PND，又∵∠MOP＝∠PDN＝90°，∴△MOP≌△PDN（AAS），∴OM＝PD＝4，∴M（−4，0），故D正确．故选：D．【点拨】本题考查了全等三角形的性质和判定，平面直角坐标系中点的坐标，作出辅助线，证明△MOP≌△PDN是解题的关键．6．D【分析】只要是x轴上的点且满足APB△为等腰三角形即可．解：如图，则在x轴上共有4个这样的P点．故选：D ．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的形状以及坐标与图形的简单结合，能够熟练掌握．7．D【分析】点A 在x 轴上的动点，根据垂线段最短，AB 长度的最小值即为点B 到x 轴的最短距离，此时点A 为从B 向x 轴作垂线的垂足，最短距离即为点B 的纵坐标．解：如图，过点B 作BA x ⊥轴于点A ，此AB 的长度最小，∵(),0A a ，()3,4B ，即当3a =时，线段AB 长度的值最小，此时线段AB 长度的最小值为4，故选：D ．【点拨】本题考查坐标与图形，垂线段最短，确定点A 的位置是解题的关键．8．C【分析】根据ABC 的面积等于AOB 的面积与AOC 的面积之和即可得．解：()0,4A ，()1,B b -，()2,C c ，BC 经过原点O ，AOB ∴ 的OA 边上的高为1，AOC 的OA 边上的高为2，4OA =，ABC AOB AOC S S S =+ ，且CD AB ⊥，1114142222AB CD ∴⋅=⨯⨯+⨯⨯，解得12AB CD ⋅=，故选：C ．【点拨】本题考查了点坐标与图形，正确找出ABC AOB AOC S S S =+△△△是解题关键．9．C【分析】根据已知可得：5CA a =-，10BO =，然后三角形的面积公式列式计算即可解答．解：∵(),0A a ，()0,10B ，()5,0C ，∴5CA a =-，10BO =，∵三角形ABC 的面积等于20，∴1202AC BO ⋅=，即0151022a -⋅=⨯，∴54a -=，∴54a -=或54a -=-，∴9a =或1a =，故选：C ．【点拨】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．10．D【分析】由作图可知，点N 在AOB ∠的角平分线上，推出点N 的横坐标与纵坐标互为相反数，由此即可解决问题．解：由作图可知，点N 在AOB ∠的角平分线上，两弧交于第二象限的点N ，∴点N 的横坐标与纵坐标互为相反数，∴2260n n -+-=，∴4n =，故选：D ．【点拨】本题考查作图-基本作图，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．11．()2,1-【分析】过B 点作BD x ⊥轴于点D ，证明BDC COA ≌△△即可作答．解：过B 点作BD x ⊥轴于点D ，如图，∵AC BC ⊥，∴90ACB ACO DCB ∠=︒=∠+∠，∵90ACO CAO ∠+∠=︒，∴DCB CAO ∠=∠，∵BD x ⊥轴，∴90BDC COA ∠=︒=∠，∵CAO DCB AOC CDB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴BDC COA ≌△△，∴DC OA =，BD CO =，∵()0,3A ，()1,0C -，∴3DC OA ==，1BD CO ==，∴2OD DC CO =-=，∴结合图形有：()2,1B -，故答案为：()2,1-．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形等知识，作出辅助线，证明BDC COA ≌△△是解答本题的关键．12．()4,3或()4,0-或()4,3-【分析】根据全等三角形的性质画出满足条件的Rt OBC △，然后写出对应顶点的坐标即可．解：如图，A '的坐标为：(4,3)或(4,0)-或(4,3)-．故答案为：(4,3)或(4,0)-或(4,3)-．【点拨】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边．13．3【分析】作CE x ⊥轴，根据四边形ABCD 的面积AOB CDE OBCE S S S =++ 梯形求得四边形的面积，设点(0),P x ，则3PD x =-，由直线CP 平分四边形ABCD 的面积列出方程求解可得．解：过点C 作CE x ⊥轴于点E ，∵(20),A -，()0,3B ，()2,4C ，()3,0D ，∴,,,24,321AO OB OE CE DE =====，∴四边形ABCD 的面积AOB CDEOBCE S S S =++ 梯形()1112334214222=⨯⨯+⨯+⨯+⨯⨯12=，设点(0),P x ，则3PD x =-，∵直线CP 平分四边形ABCD 的面积，∴11262PCD S =⨯= ，∴()13462x -⨯=，∴0x =，∴3PD =．故答案为：3．【点拨】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键．14．(7,2)--【分析】过C 作CM x ⊥轴于M 点，证明(AAS)MAC OBA △≌△，得到2CM OA ==，5MA OB ==，从而可得坐标．解：如图，过C 作CM x ⊥轴于M 点，CM OA ⊥Q ，AC AB ⊥，90MAC OAB ∴∠+∠=︒，90OAB OBA ∠+∠=︒，则MAC OBA ∠=∠，在MAC △和OBA △中，90CMA AOB MAC OBA AC BA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)MAC OBA ∴△≌△，2CM OA ∴==，5MA OB ==，∴点C 的坐标为(7,2)--，故答案为：(7,2)--．【点拨】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定和性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是本题的关键．15．3-【分析】根据已知条件分别证明()ASA ABM CBE ≌△△和()ASA ADE ADC ≌，进而得AM CE =，12DE DC CE ==，即可求解．解：90ABC ∠=︒ ，18090CBE ABC ∴∠=︒-∠=︒，在EBC 中，90E ECB ∠+∠=︒，又CD x ⊥轴，90ADE ADC ∴∠=∠=︒，在AED △中，90EAD E ∠+∠=︒，ECB EAD ∴∠=∠，在ABM 和CBE △中，EAD ECB AB CB ABC CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABM CBE ≌△△，6AM CE ∴==，又AD 平分EAC ∠，EAD CAD ∴∠=∠，在ADE V 和ADC △中，EAD CAD AD AD ADE ADC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ADE ADC ≌，132DE DC ∴===，∴点C 的纵坐标为3-．故答案为：3-．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．16．245/4.8/445【分析】先找出线段AB 关于y 轴的对称线段，再过点B 作这条对称线段的垂线段，这条垂线段的长度即位BC CD +的最小值．解：如下图所示，先找出点B 关于y 轴对称的对称点B '，截取AD =AD '，此时点D 与点D ¢关于y 轴对称，从而可知BC CD B C D C +=+'．再根据垂线段最短可知，当BD '是线段AB '的垂线段，BD '与y 轴交于点C 时，BC CD +即BC D C +'有最小值BD '．∵点A 的坐标为()0,4，点B 的坐标为()3,0∴点B '的坐标为()3,0-，BB '=6．AB '=5，AO =4，∴1122ABB S BB AO AB BD ''''=⨯⨯=⨯⨯△即1164522ABB S BD ''=⨯⨯=⨯⨯△∴245BD '=∴BC CD +的最小值为245故答案为：245．【点拨】本题考查线段和的最小值，掌握垂线段最短和找出线段AB 关于y 轴的对称线段时解题的关键．17．3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先根据各坐标求出四边形ABCD 的面积，再分情况讨论当点P 在AD 上和CD 上的点P 坐标．解：作BH AD ⊥于H ，点D 与点A 关于y 轴对称，点(4,4)A -，∴点D 坐标为(4,4)，点B ，点C 的坐标分别是(2,4)--，(4,2)-，2AH ∴=，6HD =，8BH =，6CD =，1128822ABH S AH BH =⋅⋅=⨯⨯=△，()()116864222CDHB S CD BH DH =⋅+⋅=⨯+⨯=梯形，42850ABCD S =+=四边形，如图1，当点P 在AD 上时，:1:4ABP CDPB S S = △四边形，10ABP S ∴=△，∴1102AP BH ⋅⋅=，52AP ∴=，53422-= ，∴点P 坐标为：3(2-，4)；如图2，当点P 在CD 上时，:1:4ACP CDPB S S = △四边形，10ACP S ∴=△，∴1102CP DH ⋅⋅=，103CP ∴=， 104233-=，∴点P 坐标为：4(4,)3综上，点P 坐标为3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为：3,42⎛⎫- ⎪⎝⎭或44,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点拨】本题考查了坐标系中图形的面积的求法，分情况讨论点P 的位置是解题关键．18．217【分析】作B 点关于x 轴的对称点B '，作A 点关于直线y x =-的对称点A '，连接A B ''交x 轴于点Q ，交直线y x =-于点P ，连接BQ ，根据轴对称的性质和由两点之间线段最短可知此时AP PQ QB ++最短，AP PQ QB ++最小值A B ''=，由勾股定理求出A B ''，即可求解．解：作B 点关于x 轴的对称点B '，作A 点关于直线y x =-的对称点A '，连接A B ''交x 轴于点Q ，交直线y x =-于点P ，连接BQ ，如图，∵B 点关于x 轴的对称点B '，(2,2)B -∴()2,2B '--，BQ B Q '=，∵A 点关于直线y x =-的对称点A '，(6,0)A -，∴()0,6A '，PA PA ='，∴AP PQ QB PA PQ B Q A B ++=+'='+''，此时，AP PQ QB ++值最小，最小值A B ''=，∵()0,6A '，()2,2B '--，∴A B ''=∴AP PQ QB ++最小值为．故答案为：【点拨】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知利用轴对称求最短距离、两点之间线段最短是解答此题的关键．19．（1）452；（2）见分析【分析】（1）结合点的坐标，直接利用三角形的面积公式求解即可；（2）分别确定A ，B ，C 关于y 轴对称的A '，B '，C '，再顺次连接即可．（1）解：∵()5,0A -，()4,0B ，∴9AB =，又∵()2,5C ，∴1459522ABC S =⨯⨯=△；（2）如图，A B C ''' 即为所求作的三角形．．【点拨】本题考查的是坐标与图形，求解网格三角形的面积，画关于y 轴对称的三角形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键．20．（1）()02A ，，()24B ，；（2）()21D ，【分析】（1）由非负性质得出20a -=，40b -=，得出2a =，4b =，即可得出答案；（2）延长BD 交OC 于M ，由题意得出点D 的横坐标为2，可得点D 是AC 的中点，即可得出答案．（1）解：2(2)0a -= ，20a ∴-=，且40b -=，2a ∴=，4b =，∴点()02A ，，()24B ，；（2）解：延长BD 交OC 于M ，如图所示：，BD x ∥轴，DM OC ∴⊥，点D 的横坐标为2，()02A ，，()40C ，，∴点D 是AC 的中点，()21D ∴，．【点拨】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形等知识，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．21．（1）()1,4C -；（2）见分析【分析】（1）构造出()AAS AOB BDC ≌△△,得出OA BD =，OB CD =，再求出3OA =，1OB =，即可求解；（2）利用等腰直角三角形的性质判断出PBA QBC ∠=∠，进而得出()SAS ABP CBQ △≌△，即可得证．（1）解：过点C 作CD OB ⊥于点D ，则90CDB ∠=︒，∴90BCD DBC ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90ABO DBC ∠+∠=︒，∴ABO BCD ∠=∠，在AOB 和BDC 中，90AOB BDC ABO BCD BA BC ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS AOB BDC ≌△△，∴OA BD =，OB CD =，又∵(30)A ，，(0)B ，-1，∴3BD OA ==，1CD OB ==，∴134OD OB BD =+=+=，∴()1,4C -；（2）证明：∵90PBQ ∠=︒，∴90PBA ABQ ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90QBC ABQ ∠+∠=︒，∴PBA QBC ∠=∠，在ABP 和CBQ △中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABP CBQ △≌△，∴PA CQ =．【点拨】本题主要考查了同角的余角相等，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．22．（1）c a -，bd -；（2）()()22c ad b -+-；（3）【分析】（1）CD 的长为A B 、两点的横坐标之差的绝对值；DB AC -为B A 、两点的纵坐标绝对值之差；（2）根据勾股定理可求A B 、两点之间的距离的平方；（3）利用两点间的距离公式计算．（1）解：,CD c a CA DB d b =--=-.故答案为：,c a d b --；（2）解：如图，过B 点作BE AC ⊥于E ，则A B 、两点之间的距离的平方为()()22c ad b -+-．故答案为：()()22c ad b -+-；（3）解：()2222355125EF ⎡⎤=--+--=⎣⎦（），所以EF =【点拨】本题考查了勾股定理，两点间的距离公式：设有两点1122A x y B x y （，），（，），则这两点间的距离为AB 23．（1）(1,4)-；（2）证明过程见详解【分析】（1）如图所示（见详解），过点C 作CD y ⊥轴于D ，证明(AAS)OAB DBC ≌△△，根据()3,0A ，()0,1B -，可求出OD ，DC 的长，由此即可求出C 点坐标；（2）90PBQ ABC ∠=∠=︒，可知PBA QBC ∠=∠，证明(SAS)PBA QBC ≌△△，即可求证．（1）解：如图所示，过点C 作CD y ⊥轴于D ，∵90AOB BDC ∠=∠=︒，AB BC ⊥，∴90OAB ABO ABO DBC ∠+∠=∠+∠=︒，∴OAB DBC ∠=∠，且BA BC =，∴(AAS)OAB DBC ≌△△，且()3,0A ，()0,1B -，∴3OA BD ==，1DC OB ==，∴4(0,)D -，(1,4)-C ．故C 点坐标为：(1,4)-．（2）证明：∵90PBQ ABC ∠=∠=︒，∴PBQ ABQ ABC ABQ ∠-∠=∠-∠，∴PBA QBC ∠=∠，在PBA △和QBC △中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴(SAS)PBA QBC ≌△△，∴PA CQ =．【点拨】本题主要考查三角形在平面直角坐标系的变换，三角形全等的判定和性质，掌握三角形的判定和性质是解题的关键．24．（1）16；（2）(0,10)或(0,6)-；（3）1()2AED CAB ODB ∠=∠+∠，理由见分析．【分析】（1）根据2(4)40a c ++-=，可求得a 和c 的值，确定点A ，B ，C 的坐标，进而求得AB 和BC 的长度，根据三角形面积公式计算即可求得答案．（2）先求得PQ 的长度，点P 的位置有两种情况：在点Q 上方或在点Q 下方，分情况写出点P 的坐标即可．（3）过点E 作EF AC ∥，根据平行线的性质可得到AED ∠与CAE ∠，BDE ∠的数量关系，根据角平分线的定义，进而求得AED ∠与CAB ∠，ODB ∠的数量关系．解：（1）∵2(4)40a c ++-=，∴40a +=，40c -=．∴4a =-，4c =．∴点A ，B ，C 的坐标分别为(4,0)-，(4,0)，(4,4)．∴8AB =，4BC =．∴11841622ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△．（2）∵QCP ABC S S =△△，∴16QCP S =△．∴1162c PQ x ⋅=，即216PQ =．∴8PQ =．∵点Q 的坐标为(0,2)，∴当点P 在点Q 上方时，点P 的坐标为(0,10)，当点P 在点Q 下方时，点P 的坐标为(0,6)-．∴点P 的坐标为(0,10)或(0,6)-．（3）1()2AED CAB ODB ∠=∠+∠．理由如下：如图，过点E 作EF AC ∥．∵AE ，DE 分别平分CAB ∠和ODB ∠，∴12CAE CAB ∠=∠，12BDE ODB ∠=∠．∵EF AC ∥，∴AEF CAE ∠=∠．∵EF AC ∥，BD AC ∥，∴EF BD ∥．∴DEF BDE ∠=∠．又AED AEF DEF ∠=∠+，∴111()222AED CAE BDE CAB ODB CAB ODB ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．【点拨】本题主要考查平面直角坐标系、平行线的性质、角平分线的定义，牢记平行线的性质和角平分线的定义是解题的关键．。
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一、等腰直角三角形 题一
/ACB=90 ,AC=BC,ED)± DF,D 为 AB 中点 ①②g S AABC =S^ ED +S A EF 磁 S AEDF =
②E 、F 分别在AG BC 内
②E 、F 分别在AG BC 外
①另知：DH AC, DF ± BC
1 - S AABC +S A EFC 2
题二
已知/ BAC=90 ,CD平分/ ACB AC=AB,CD_ AE,求证：CD=2 (OA+OD
题三：
已知/ BAC=90 , AC=AB,D 为AB中点，CD^AE,求证：/ BDE=Z CDA 换说法：求证A到DE的距离等于OA
B E
题四：
已知/ BAC=90 , AC=AB,D 为AC中点，CF//AB,求证：CF=AD
题五：F
已知 / ACB=90 , AC=BC,DA 平分/BAG H 为AB 中点，BE^AD,求证：CF=EC
判断：① AF=BE ② AF=2BD ③ AF垂直平分BE,④ AC+CF=AB ⑤S△ AC=S^AH⑥AG=BD
题六：
已知AB=AE BC=CA Bd CA, AD 平分/ BAC H 为AB 的中点。
求证：①△AFe △ BCED 2DE=AF ③判断△ BDG勺形状并证明
B
垂直角平分线
E C
/
题七：
已知/ B=45° , / C=30° , DEI CA AE=AF GE=DF 求证:
GC=2BD ③/ BAD=15
\
①4 AD劭等腰直角三角形，②
B C
D
题八：
已知正方形ABCD DE=AD DF=BD求证：①BF平分/ DBG ②FH=2DG③CD=CG
@S ACD=S DHG必）G为FH 中点
E
题九: 已知/ A=90° , AB=AG EFXAG, D为BC的中点。
求证：① CF=AG ②△ DGF为等腰直角三
角形
题十：
已知/ ACB=90 , AC=BC PAL AB, E 为AC 的中点，/ ACF=Z CBE CG平分/ ACB 求证：① AP=CG ② CF=2PE ③ CD! PB
题十一：
已知/ BAC=90 , AB=AC BE平分/ ABC D为BC的中点，M为EF中点。
求证：① DF=DN
②AE=CN③△ DMM等腰三角形，④/ BMD^ 45°
题十二：
已知/ BAC=90 , AC=AB, /ABP=ACP AQ// PC,求证：① AP平分/ BAC ②若BQ=PB+PA M 在BC上，△ BMP^等腰三角形，求/ BMP勺度数
二、等边三角形
题一：
已知△ ABC和4BDE为等边三角形。
①图E在AB上，求证：/ AM8 60° ,②图E在△ ABC 内，试说明AM BM CM之间的关系。
③图E在△ ABC外，直接写出AM BM CM之间的关系
②图
③图
E
已知△ ABE等边三角形，BE=AF EG! BF,求证：①/ BCEhABF②PE=2PG
题三：
已知△ ABC^△ BDE等边三角形，求证：① AD=CE②BM平分/ AMC
E
已知△ ABE等边三角形，D已AB, / APE=60 ,求证：BD=2CD
以上为题库题五：
已知如图，△ ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA= 3, PB= 4, PO 5.求：/ APB的度
等边三角形CEF与菱形ABCDi长相等. 求证：(1) / AEF=/ AFE (2)角B的度数旋转60度
、30度直角三角形
资料
、30度直角三角形
资料
、综合性三角形
/ABC=60 , DBL BC, EDXEB, HDL AB,BE 平分/ ABC F 为 CD 中点，求证:
Z ABC=60 , DB±BC, EDXEB, HD± AB,BE 平分/ ABC F 为 CD 中点，判断
AEF 形状，并说明理
由。
② 30度直角三角形 中线及中位线
题一： 已知/ A=90° ,
HF=EF ①
30度直角三角形
全等及中线性质
题二： 已知/ A=90° , A
B A
B
题一：
ZO= q OA i=OB, A 2B=BB2,人口二8区，。
，/ A2BiR=b i, / AB2R=b2, /A n+l B nR+产b n,求b l 和b n
题二：
BE平分/ ABC AB=BE BD=BC EFL AB,求证：AB况△ EBG ② BA+BC=2BF
题三：
S；A AB(=12, AB=AC BC=3, D为BC中点，EF垂直平分AC, P为EF上动点。
△ PCD周长最小值
题四:
AE=AC / 1 = /2=/3,求证：△ BAe△ DAE
题五：
将A i沿DE对折，/ 1+7 2=100° ,求/ A i度数
题六：
长方形ABCD AE=AM AF=AD贝U EF与DMW■何关系？注意垂直
题七:
D为BC的中点，BG/ AC, DH GF,求证：① BG=GF ② BE+CF> EF
题八
/BAE=/ BCEh ACD=9Q BC=CE 求证：△ AB黄△ DEC
C
题九：
/BAC=90 , BE 平分/ ABC AG平分/ DAC ADL BG 结论：①/ BAD= C,② AE=AF ③/ EBCW C,④EF=FG其中正确的有③④在/ C=3Q°时成立，请证明
题十:
ZA=105° , MN^直平分 AE, AB=CE 求/ B 度数
题十一：
P 为/AO 配定点，当^ PMN^长最小时，/ MPO=50 ,求/ AOB 度数 N 题十二：
BC=AC DB=DE, / BDE+ ACB=180 ,F 为 AE 的中点。
求证：① CF± DR2)/ ACB=90 ,其他 不变，证：CF± DF 且CF=DF ③/ ACB=60其他不变,证： CF± DF 且
CD=2DF A
B
F
题十二：
四边形ABCD / C=50° , / B=Z D=90°
题十三:A
D
F
当^ AEF周长最小时，/ EAF的度数
E为AC的中点，/ ACB=90 , BC=3,沿CD对折BE重合，求D到AC距离
六、与坐标相关的几何题
题一：
A (2, 0),
B (0, -10), C为x 轴正半轴上，OC=5OA 求：① S AABC②延长BA,使PA=AB
作PML OS M 求P坐标，③D为第三象限内，B已CD于E, O。
OD交BE延长线于F,当D运动时，OD/OF 是否发生变化？改变说明理由。
不变求值。
①②题
③
题二:
K (2, 2), l」l2,①若AC=BD 证△ AK%△ DKB ②求OB+OM值及S A ACK S A OCQ③ J 为AK上的动点，不与A K重合，作A已DJ,求/ DEK®数
题三:
B (0, 8), A (-8 , 0) ,
C (2, 0)① AFU BC,求证:
七、其他几何题△ AO四△ BOC且P坐标；②在①条件
下，连接OH证：/ AHOh CHO③D为AB的中点, M为y负半轴上运动，DNL MM D, S\ BDM S Z\AN D1否变化，不变求值，变则变化范围。
①②
如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F.求
证：2AF=FC
题二：
如图，将边长为1的正方形ABCD绕点C旋转到A'B'CD'的位置，若/ B'CB=30度，求
AE的长
题三：
在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边上的一个动点，且PB=PD DE垂直AC垂足为E。
(1)求证：PE=BO (2)设AC=3q AP=x,四边形PBDE勺面积为y,求y与x之间的函数关系式。
B D
已知△ ABC AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边向形外作等腰直角三角形。
求证：EF=2AD
题五：
如图，等边三角形ABC勺边长为2,点P和点Q分别是从A和C两点同时出发，做匀速运动，且他们的速度相同，点P沿射线AB运动，Q点沿点C在BC延长线上运动。
设PQ与直线AC 相交于点D,作PEI AC于点E,当P和Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论。