高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习

一、选择题

1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-若(2).a b b -⊥则a =（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4 2．化简+

+

+

的结果是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（ ） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．8

4．已知向量(1,1)a =-，(1,)b m =，若(2)4a b a -⋅=，则m =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2

5．设向量(12)a =-，

,(1)b m =，，若向量a 与b 平行，则a b ⋅= A ．27-

B ．21-

C ．23

D ．2

5

6．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ⋅=（ ） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．

1233AC AB + B ．5233AB AC - C ．2133AC AB - D ．2133

AC AB + 8．在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ⋅的值为 （ ）．

A ．6

B ．12

C ．24

D ．48

9．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→

→

=+=+若()()m n m n →

→

→

→

+⊥-，则=λ（ ） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-

10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a b

A ．()1,5-

B ．()1,5

C ．()1,6-

D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a b

A ．()1,5-

B ．()1,5

C ．()1,3--

D ．()1,3

13．ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB =，则CB 在CA 方向上的投影为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．3

14．已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于（ ） A 、4- B 、4 C 、0 D 、9

15．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则实数m 的值为 （ ） A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-

16．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）

A 、1b =

B 、a b ⊥

C 、1a b ⋅=

D 、()

4C a b +⊥B 17．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅= （ ） A 、232a -

B 、234a -

C 、234a

D 、232

a 18．已知向量a ，

b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )

A ．1313-

B ．1313

C ．21313-

D ．213

13

19．已知向量a =（1，3），b =（-2，-6），|c |=，若（a +b ）·c =5，则a 与c 的夹角为（ ）

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120° 20．已知向量(2,1),(5,3)a b →

→

==-，则a b →→

⋅的值为

A ．-1

B ．7

C ．13

D ．11

21．如图，平行四边形ABCD 中，)2,3(),0,2(-==AD AB ，则=⋅AC BD （ ）

A ．6-

B ．4

C ．9

D ．13 22．若向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BC =（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)--

的取值范围为 （A ）39(,

)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13

(,)24

24．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（ ） A ．(4,6)-- B ．(4,6) C ．(2,2)-- D ．(2,2) 25．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=

A ． （5,7）

B ． （5,9）

C ． （3,7）

D ． （3,9） 26．已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则实数a ＝（ ） A ．－1 B ．2或－1 C ．2 D ．－2

27．在ABC ∆中，,AB c =AC b =若 点D 满足2BD DC =，则AD =（ ） A ．

2133b c + B ．5233c b - C ．2133c b - D ．2233

b c + 28．已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（ ） A ．(3,6)- B ．(2,0) C ．(6,2) D ．(2,0)- 29．在矩形ABCD 中，4,2,AB AD ==则BA BD BC ++=（ ） A ．12 B

．6 C ．

．30．已知向量(1,2)a = ,(3,1)b = ,则b a -=（ ）． A ．(2,1)- B ．(2,1)- C ．(2,0) D ．(4,3)

31．若向量)1 , ( n a =与) , 4( n b =共线且方向相同，则=n （ ） A ．

2

1

B ．1

C ．2

D ．2± 32．设,,a b c 是单位向量，且0,a b ⋅=则()()a c b c -⋅-的最小值是（

） A ．1

B

1 C ．1

1

33．如图所示，D 是ABC 的边AB 上的中点，记,BC a BA c ==，，则向量DC （ ）

A

C

B

A ．12a c --

B ．12a c -+

C ．12

a c - D ．12a c + 34．如图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=中，是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于 （ ）

A ．0

B ．4

C ．8

D ．4- 35．已知平面向量b a 与的夹角为

3

π

，1,223,b a b a =+==且则（ ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．3

36．已知向量()()3,4,sin ,cos ,a b αα==且a 与b 共线，则tan α=（ ）

A ．

34 B ．34- C ．43 D ．4

3- 二、填空题

37．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅＝_____________. 38．设(1,2)a =，(2,)b k =，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-

39．空间四边形OABC 中，OB OC =，60AOB AOC ∠=∠=︒，则cos ,OA BC <>=（ ） A ．2

1 B ．2

2 C ．12

- D ．0

40．已知向量a ，b ，c 满足||=2a ，||3b a b =⋅=，若(2)(23)0c a b c -⋅-=，则||b c -的最大值是 ． 41．化简：

= ．

42．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=，则

ABC ∆的面积为 ．

43．已知向量=（1，2），•=10，|+|=5

，则||= ．

44．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE x AB y AD =+，则x y += ．

E

D

C

B

45．若|a |=1，|b |=2，c =a +b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为________。 46．向量22(

,22

m =-），(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈，①若//m n ，则tan x = ； ②若m 与n 的夹角为

3

π

，则x = ． 47．已知平面向量a ()1,2-=，则 a =_________．

48．已知|a |=2，|b |=4，a ⊥（a ＋b ），则a 与b 夹角的度数为 ． 49．已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为 ． 50．已知向量()2,1,1a =-，(),1,1b t =-，R t ∈，若//a b ，则t = ． 51．已知向量()

1,3a =，向量,a c 的夹角是

3

π

，2a c ⋅=，则||c 等于_______． 52．已知1,3a b ==，它们的夹角为120，那么a b -= ．

53．已知向量a 与b 的夹角为45︒

，且||1a =，||32b =；则|2|a b -= ．

54．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为 ． 55．若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =

45ABC ∠=,则AC BD ⋅的值为 ．

56．已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = . 57． 已知2a = ，3b =，,a b 的夹角为60°，则2a b -=_____. 58．在ABC ∆中，已知4,1AB AC ==，且ABC ∆的面积3S =AB AC ⋅的值为 .

三、解答题

59．（本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2)a b ． （1）求a 与b 的夹角的余弦值；

（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值．

60．设向量(2,sin )a θ=，(1,cos )b θ=，θ为锐角． （Ⅰ）若13

6

a b ⋅=

，求sin cos θθ+的值； （Ⅱ）若//a b ,求sin(2)3

π

θ+

的值．

1．C 【解析】

试题分析：由已知2(3,)a b x -=，因为(2).a b b -⊥，所以2

(2)3(1)0a b b x -⋅=⨯-+=，3x =±，

所以21132a x =+=+=．故选C ． 考点：向量垂直的坐标运算，向量的模． 2．A 【解析】 试题分析：由于=

，=，即可得出．

解：∵=，=，

∴

+

+

+

=

， 故选：A ．

考点：向量的三角形法则． 3．A 【解析】

试题分析：因为22(1,2)(4,)(2,4)a b m m +=+-=-+，又2a b +与a 垂直，所以(1,2)(2,4)m ⋅-+＝

22(4)0m -++=，解得3m =-，故选A ．

考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件． 4．C ． 【解析】

试题分析：由已知得2(2,2)(1,)(3,2)a b m m -=--=--， 又∵(1,1)a =-，∴(2)324a b a m -⋅=+-=，∴1m =，故选C ． 考点：平面向量数量积． 5．D 【解析】

试题分析：()()()()()()21,22,221,4,22,4,12,3a b m m a b m m +=-+=--=--=-- 由两向量平行得()()1213422m m m -⨯=⨯--∴=-522

a b m ∴⋅=-+= 考点：向量平行的判定及向量的坐标运算 6．C 【解析】

试题分析：特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A （0，

0），），（），，

（2222222E C ，所以)22,2(),22,22(==AE AC ，所以

222222212AC AE ⋅==，故选C ．

考点：平面向量的数量积运算． 7．A 【解析】

试题分析：由于BC AC AB b c =-=-，因此()

2221

3333

AD AB BD c BC c b c b c =+=+=+-=+． 考点：向量的加法法则． 8．C 【解析】

试题分析：因为，2CD DB =，90BAC ∠=，所以1

()()3

AB AD AB AB BD AB AB BC ⋅=+=+

＝1[()]3AB AB AC AB +-＝223AB ＋13

AB AC ⋅＝223AB ＝22

6243⨯=，故选C ．

考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算． 9．B 【解析】 试

题

分

析

：

由题

(23,3),(1,1)

m n m n λ→→→→

+=+-=--，

()()()()0(23,3)(1,1)03m n m n m n m n λλ→

→

→

→

→

→

→

→

+⊥-∴+⋅-=⇒+⋅--=∴=-

考点：向量的运算，向量垂直的充要条件 10．A 【解析】

试题分析：因为两向量平行，所以可得1422x x ⨯=⨯⇒=，故选择A 考点：向量共线的坐标表示 11．D 【解析】

试题分析：由向量的坐标运算可得：()21,6a b += ,故选择D 考点：向量的坐标运算 12．A 【解析】

试题分析：根据向量的加法运算法则，可知(23,14)(1,5)a b +=-+=-，故选A ． 考点：向量的加法运算．

试题分析：由0

=+=++OC AB AB AC OA ,并且邻边相等，所以四边形OABC 是菱形，那么CB 在CA

方向上的投影是32

3

3230cos 0

=⨯=BC ． 考点：向量与平面几何的关系 14．D 【解析】

试题分析：由已知得，0=-⋅)(b a a ，所以（1，2）⋅（1-x ，4）=0，即1-x+8=0，所以x=9．故选D ． 考点：向量垂直及数量积的坐标运算． 15．D 【解析】

试题分析：因为//a b ，所以4022-=∴=-⨯-⋅m m )(1．故选D ． 考点：向量平行的充要条件． 16．D 【解析】 试题分析：

2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．

由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫

=⋅=⋅=⨯⨯-

=- ⎪⎝⎭

． ()()

2

422a b BC AB BC BC AB BC BC

∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫

=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭

．()

4a b BC ∴+⊥．故D 正确．

考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 17．D 【解析】

试题分析：()

2

222213

cos6022

BD CD BC CD CD BC CD CD BC CD a a a a ⋅=+⋅=⋅+=⋅+=+=．

故D 正确．

考点：1向量的加减法；2向量的数量积． 18．D 【解析】 试题分析：()()

(4,2)2

a b a b a ++-=

=-，()()(1,8)2a b a b b +--=

=-，则,a b 的夹角余弦值为20213

cos 13||||2065

a b a b θ⋅=

==⋅⨯．故选D. 考点：向量的基本运算.

试题分析：根据题意得2b a =-，从而有5a c ⋅=-，所以51

cos ,210a c a c a c

⋅-<>=

=

=-⋅⋅，所以a 与c 的夹角为120，故选D ．

考点：向量的数量积，向量夹角余弦公式．

20．B 【解析】

试题分析：因为(2,1)(5,3)1037a b →→

⋅=⋅-=-=，所以应选B ． 考点：1、平面向量的数量积； 21．C 【解析】 试

题

分

析

:

由

图

可

知

：

)

2,5()0,2()2,3(-=--=-=AB AD BD ；

)2,1()0,2()2,3(-=+-=+=AB AD AC ．则922)1()5()2,1()2,5(=⨯+-⨯-=-⋅-=⋅AC BD ．

考点：向量的运算． 22．B 【解析】

试题分析：因为向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，所以)1,1()4,2()3,1(A B C --=-=-=AB C ．故选B ． 考点：向量减法的坐标的运算． 23．A 【解析】

试题分析：当角A 趋近于直角时，按照平面向量基本定理则此时，向量AD 在向量AB 上的分量趋近于最大值，，又相似比求得此时x=

910，排除C ，D ，同理，若角A 趋近于平角，则此时x= 3

4

，结合选项得A 是正确的．

考点：平面向量基本定理，极限的思想． 24．C 【解析】

试题分析：由向量的减法法则()2,2--=-=AC AB CB ,所以选C ； 考点：1．向量的减法； 25．A 【解析】

试题分析：根据向量的坐标运算可得：()()()24,81,15,7a b -=--=，故选择A 考点：向量的坐标运算 26．B 【解析】

试题分析：因为//m n ，所以2)1(-=-a a ，解得022

=--a a ，故21=-=a a 或，故选B ．

27．A 【解析】

试题分析：由

2BD DC

=，

可

得

23

BD BC =

，

()

221212

333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b

=+=+=+-=+=+，故选择A

考点：平面向量基本定理

28．B 【解析】

试题分析：设点N 的坐标为(),x y ，由3MN a =-可得：()()5,63,6x y -+=-，解得20x y =⎧⎨=⎩

，故选择

B

考点：平面向量的坐标表示 29．C 【解析】

试题分析：由平行四边形法则可知BA BC BD +=，原式即为2BD ，而BD

为矩形对角线，所以

24BD

==考点：向量的加法 30．A 【解析】

试题分析：向量减法的定义，对应坐标分别相减，即(31,12)(2,1)b a -=--=- 考点：向量的减法 31．C 【解析】

试题分析：两向量共线，坐标满足2

1442,2n n n =⨯=∴=±=时，两向量共线，所以2n =- 考点：向量共线的判定 32．A 【解析】 试

题

分

析

：

设

c

与

a b

+的夹角为

θ

，

()

()

2

2

()()

0cos 1011a c b c a b c a b c c a b a b a b θ-⋅-=⋅-++=-++≥-++=-

++

22

11a b =++=-考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平面向量数量积的性质及其运算律 33．C 【解析】

试题分析：因为D 是ABC 的边AB 上的中点，所以11

DB BA c =-

=-，在BCD 中，由向量的三角

形法则可得1

2

DC DB BC a c =+=-

，故选C ． 考点：向量加减混合运算及其几何意义 34．B 【解析】

试题分析：2

21

()||4,4

AD AC AD AD DC AD AB ⋅=⋅+===选B ． 考点：向量数量积 35．C 【解析】

试题分析：223a b +=()

2

2

21224122a b a a a ∴+=∴++=∴=

考点：向量的数量积与向量的模 36．C 【解析】

试题分析：a b ,

共线可知4sin 3cos αα∴=3tan 4

α∴= 考点：向量共线

37．32- 【解析】

试题分析：

22113

()()()222AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=-

考点：向量数量积

38．C 【解析】

试题分析：因为)4,4(2k b a +=+，60212)4(214)2(-=⇒=+=++⨯⇒⊥+k k k a b a 考点：1．平面向量的坐标运算；2．非零向量0=⋅⇔⊥b a b a ；3．数量积公式的坐标形式； 39．D 【解析】

试题分析：法一：如图，取BC 的中点D ，由OB OC =，可知OD BC ⊥，另一方面由

60OB OC

AOB AOC OAC OAB AC AB OA OA =⎫⎪

∠=∠=︒⇒∆∆⇒=⎬⎪=⎭

≌，而D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，进而

可得BC ⊥面OAD ，所以OA BC ⊥，所以cos ,0OA BC <>=，故选D.

法二：因为()||||cos 60||||cos 60OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅=︒-︒，因为

,OA OA OB OC ==，所以

0OA BC ⋅=，所以,90OA BC <>=︒，所以

cos ,cos900OA BC <>=︒=，故选D.

考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量的基本运算. 40．12+． 【解析】

试题分析：分析题意可知，设(1,1)A ，(3,0)B ，则a OA =，b OB =，设(,)C x y ， ∴(,)c OC x y ==，又∵(2)(23)0c a b c -⋅-=，∴(2)(63)(2)(03)0x x y y --+--=， 而2

2

(2)(1)1x y -+-=，即点C 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上， ∴22||(32)(01)112b c -≤-+-+=+，故填：12+． 考点：平面向量数量积及其运用． 41．．

【解析】

试题分析：利用向量加法的三角形法则即可求得答案． 解：

=（

）﹣（

+

）=

﹣

=，

故答案为：．

考点：向量加减混合运算及其几何意义． 42．22【解析】

试题分析：由cos 3cos cos b C a B c B =-得sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-

()1

sin 3sin cos cos 3B C A B B ∴+=∴=，由2BA BC ⋅=，得cos 26ac B ac =∴=

1122sin 622223

S ac B ∴=

=⨯⨯=

考点：1．正弦定理；2．向量数量积运算 43．5 【解析】

试题分析：先求出||，再求出|+|2

，问题得以解决． 解：∵向量=（1，2）， ∴||=

，

∵•=10，

∴|+|2

=||2

+||2

+2•=（5）2

，

∴||2

=25， ∴||=5

故答案为：5．

考点：平面向量数量积的运算． 44．

12

【解析】

试题分析：连接BD ，又E 为CD 的中点 所以1122

BE BD BC =

+ 又BD AD AB =-,BC AD = 所以111()222

BE AD AB AD AD AB =

-+=- 又BE x AB y AD =+ 所以1x =，1

2

y =- 所以12

x y +=

考点：向量的线性运算．

45．120 【解析】

试题分析：c ⊥a ，所以()

1

001cos 2

a b c a a b a a b a b

θ-=∴+=∴=-∴==

120θ∴= 考点：向量夹角 46．1-，512

π． 【解析】

试题分析：①：∵//m n

sin )0tan 1x x x -=⇒=-；②：显然||||1m n ==， ∴111cos 3

2m n π

⋅=⋅⋅=

，即1sin 222x x -=，∴1sin()42

x π-=，又∵(0,)x π∈， ∴54

6

12

x x π

π

π-

=

⇒=

． 考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形． 47．5 【解析】

试题分析：由向量的模的公式可得：

(22a =+=考点：求向量的模 48． 1200 【解析】

试题分析：设a 与b 夹角为θ．由a ⊥（a ＋b ）得，042402

=⨯+∴=⋅+θcos ,b a a ，解得，2

1-=θcos 所以︒=120θ．

考点：向量的数量积及其运算律并求向量的夹角． 49．-4 【解析】

试题分析：因为向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，所以12204x x ⨯+⨯=⇒=- 考点：平面向量数量积证明垂直 50．-2 【解析】 试题分析：

11

//,2211

t a b t -∴==∴=-- ．

考点：向量共线． 51．2 【解析】

试题分析：因为2a =，根据向量的数量积可知：221cos

23

2

a c c a

π

⋅=

=

=⨯．

考点：1．向量的数量积； 52【解析】 试题分析：

()

2

2222

22cos a b a ab b a a b b

θ-=-+=-+1,3,120a b θ===︒，所以

13a b -=

考点：向量的模

53

【解析】

试题分析：2

2

2

244418414510a b a b a b -=+-⋅=+-⨯⨯=,所以210a

b -=. 考点：1向量的数量积;2向量的模.

54．12

【解析】

试题分析：()//k +a b c 考点：向量平行的坐标表示 55．-3 【解析】 试

题

分

析

：

由

题

意

可

知

，

1135CD BCD =∠=︒

，，所以()()

2

AC BD AB

BC BC CD AB BC AB CD BC BC CD

⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅

33121cos 453=︒-⨯++⨯︒=-．

考点：平面向量数量积的运算． 56【解析】

试题分析：∵(1,3)a =-，(1,)b t =，∴2(3,32)a b t -=--，∵(2)a b a -⊥， ∴(2)0a b a -⋅=，即(1)(

3)3(32)0t -⨯-+-=，即2t =，∴(1,2)b =，

∴2||12b =+=

考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模. 57【解析】

试题分析：因为2a =，3b =，,a b 的夹角为60°,所以2

2

2

244

13a b a a b b -=-⋅+=.所以

2a b -

=

考点：1.向量的数量积.2.向量的模. 58．2±

【解析】由三角形的面积公式，得

11sin 41sin 22

AB AC A A ⋅=⨯⨯=即23sin =A ,21cos ±=A ;

则1

cos 41()22

AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯±=±. 考点：三角形的面积公式、平面向量的数量积.

59．（1）

25（2）1

2

λ=- 【解析】

试题分析：（1）本题考察的是两向量的夹角的余弦值，一般我们采用向量的数量积公式进行求解．根据题目中所给条件可以求出a 与b 的数量积，然后通过模长公式分别求出a 与b 的模长，最后把求出的量代入数量积公式即可求得a 与b 的夹角的余弦值．

（2）本题考察的是两向量的平行（共线）问题，根据平行向量基本定理，把相应的数值代入公式，即可求出所求参数的值． 试题解析（1）

(4,3),(1,2)a b

()()

2

22241322,435,12a b a b ∴⋅=⨯-+⨯==+==

-+=

∴cos ,

⋅<>===a b a b a b （2） ∵(4,3),(1,2).a

b

∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b ∵向量λ-a b 与2+a b 平行，

∴

43278

λλ+-=

解得：1

2

λ=-

考点：（1）向量数量积（2）平面向量的坐标表示 60．（Ⅰ）

332；（Ⅱ）10

3

34-． 【解析】

试题分析：（Ⅰ）本题以向量为背景，实际考察三角函数及三角恒等变换，将向量数量积用坐标表示，求出θθcos sin ⋅的值，然后根据θθθθcos sin 21)cos (sin 2

⋅+=+，求出2

)cos (sin θθ+的值，从而根据θ为锐角求出sin cos θθ+的值；（Ⅱ）根据//a b 的坐标表示，可以求出tan 2θ=，可以根据同角三角函数基本关系式求出θθcos ,sin 的值，再利用二倍角公式，求出θθ2cos ,2sin 的值，再将)3

2sin(π

θ+按两角

和正弦公式展开，即可而求sin(2)3

π

θ+

的值．另外，也可以根据齐次式求出θθ2cos ,2sin 的值，再将

)3

2sin(πθ+

按两角和正弦公式展开，从而求sin(2)3π

θ+的值．注意公式的准确使用．

试题解析：（Ⅰ）∵13

2sin cos 6a b θθ⋅=+=，

∴1sin cos 6

θθ=

． ∴24(sin cos )12sin cos 3

θθθθ+=+=

又∵θ为锐角，∴sin cos θθ+=

（Ⅱ）法一：∵//a b ，∴tan 2θ=． ∴222224

sin 22sin cos 15

sin cos tan sin cos tan θθθθθθθθθ==

＝＝

＋＋， 2222

2

22213

cos 2cos sin 15

cos sin tan sin cos tan θθθθθθθθθ－－＝－＝＝＝－＋＋．

∴11434sin 2sin 2322252510

πθθθ-⎛

⎫

⎛⎫+

⨯⨯ ⎪

⎪⎝

⎭⎝⎭＝＝＋－＝ 法二 ∵//a b ，∴sin 2cos θθ=．

易得sin θ=

， cos θ=． ∴4

sin 22sin cos 5

θθθ=＝，

223

cos 2cos sin 5

θθθ＝－＝－．

∴11434sin 2sin 2322252510

πθθθ-⎛⎫

⎛⎫+

⨯⨯ ⎪

⎪⎝

⎭⎝⎭＝＝＋－＝ 考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．