高中数学向量专项练习(含答案)

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高三向量练习题及答案

高三向量练习题及答案向量是数学中重要的概念之一，它广泛应用于各个领域，尤其在几何学和物理学中。

本文将为高三学生提供一些向量练习题，并附上详细的答案和解析，以帮助他们更好地理解和掌握向量的相关知识。

1. 练习题一已知向量A = (3, -2) 和向量B = (-1, 4)，求向量A + B的结果。

答案解析：向量A + B的结果等于将A和B的对应分量相加，所以A +B = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。

2. 练习题二已知向量C = (5, -3) 和向量D = (-2, 1)，求向量C - D的结果。

答案解析：向量C - D的结果等于将C和D的对应分量相减，所以C -D = (5 - (-2), -3 - 1) = (7, -4)。

3. 练习题三已知向量E = (2, 5)，求向量E的模长。

答案解析：向量E的模长等于它的分量平方和的平方根，所以|E| = √(2^2 + 5^2) = √(4 + 25) = √29。

4. 练习题四已知向量F = (3, -4)，求向量F的单位向量。

答案解析：向量F的单位向量等于将F除以它的模长，所以F的单位向量 = (3/|F|, -4/|F|) = (3/5, -4/5)。

5. 练习题五已知向量G = (1, 2) 和向量H = (3, -1)，求向量G和向量H的数量积。

答案解析：向量G和向量H的数量积等于将G和H的对应分量相乘，然后再相加，所以G·H = (1 * 3) + (2 * (-1)) = 3 - 2 = 1。

6. 练习题六已知向量I = (2, -3) 和向量J = (-4, 5)，求向量I和向量J的向量积。

答案解析：向量I和向量J的向量积等于将I和J的对应分量相乘，然后再相减，所以I × J = (2 * 5) - ((-3) * (-4)) = 10 - 12 = -2。

通过以上的练习题，我们可以看到向量的运算方法和性质。

高中数学平面向量经典练习题(附答案)

D、m= -2+2 3，n= 2 +2 3
12、已知向量a与b， 3a + b = 6，a − 3b = 8，若则a ⊥ b，则 + 的值是（）
A、2
B、9
C、 6
D、 10
13、在△APD 中，AC=CD，AB=2BC，点 E 在 PA 上，H 在 PD 上，F 是 EH 的中
点，G 是 PC 与 EH 的交点，则 =（
3 23
2
解得：a=2b
已知 C 是 AD 的中点，设 = n ,
所以
=
2
+2
设 S = t KS,
-----------------------------------------⑤
得：
= 2tb
+（1-t） b
-----------------------⑦
由⑤、⑦式中对应系数相等，2tb = 2 （1 − t） b = 2
（ + ）·（ + ）=0 ------------------------⑨
由⑦，⑧，⑨，得：
cos（ + ， + ）= （ + ）·（3 + ）
+ ∙3 +
=0 所以：向量 + ， + 的夹角为 90°
故答案为：C
第 18 题解：已知 2 − 3 = 7 等号两边同时平方，得： 4 2- 12 ∙ +9 2 = 7 将 = 2， · =3 代入上式， 4·22-12·3+9 2 = 7 化简得： = 3
则
=
。
=（3，2）
8、已知向量，满足 = 3 ， ⊥（2 + 3 ），则向量与的夹角

平面向量经典练习题(含答案)

高中平面向量经典练习题【编著】黄勇权一、填空题1、向量a=（2，4），b=（-1，-3），则向量3a-2b的坐标是。

2、已知向量a与b的夹角为60°，a=（3，4），|b | =1，则|a+5b | = 。

3、已知点A（1，2），B（2，1），若→AP=（3，4），则→BP= 。

4、已知A（-1，2），B（1，3），C（2，0），D（x，1），若AB与CD共线，则|BD|的值等于________。

5、向量a、b满足|a|=1，|b|= 2 ，(a+b)⊥(2a-b)，则向量a与b的夹角为________。

6、设向量a，b满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6 ，则a·b＝。

7、已知a、b是非零向量且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a与b的夹角是。

8、在△ABC中，D为AB边上一点，→AD =12→DB，→CD =23→CA + m→CB，则m= 。

9、已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，a⊥（2a+b），则a与b的夹角是。

10、在三角形ABC中，已知A（-3，1），B（4，-2），点P（1，-1）在中线AD上，且→AP= 2→PD，则点C的坐标是（）。

二、选择题1、设向量→OA=（6，2），→OB=（-2，4），向量→OC垂直于向量→OB，向量→BC平行于→OA，若→OD +→OA=→OC，则→OD坐标=（）。

A、（11，6）B、（22，12）C、（28，14）D、（14，7）2、把A（3,4）按向量a（1,-2）平移到A',则点A'的坐标（）A、（4 , 2）B、（3，1）C、（2，1）D、（1，0）3、已知向量a，b，若a为单位向量, 且 | a| = | 2b| ,则（2a+ b）⊥（a-2b），则向量a与b的夹角是（）。

A、90°B、60°C、30°D、0°4、已知向量ab的夹角60°，| a|= 2，b=（-1，0），则| 2a-3b|=（）A、 15B、 14C、 13D、 115、在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，|2·→0C ＋→CD|＝4，则,|→BC+→CD|＝______.A、12B、8C、4D、26题、7题、8、若向量a＝(3,4)，向量b＝(2,1)，则a在b方向上的投影为________．A、2B、4C、8D、169题、10、已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则→AE·→BD＝.A、-1B、1C、-2D、2三、解答题1、在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，求→AB·→AC的值。

(完整版)高中数学空间向量训练题

高中数学空间向量训练题（含解析）一．选择题1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．63．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 145．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．7．已知，则的最小值是（）第 1页（共 40页）8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则 =x +y ；③若 =x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y ．其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C． 3 D．49．已知向量 =（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D． 810．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z=．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥ l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD=．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．18．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面PAD⊥底面 ABCD， Q 为 AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求证：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 为棱 PC的中点，求异面直线AP 与 BM 所成角的余弦值．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．20．如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥侧面 PAB，△ PAB是等边三角形， DA=AB=2， BC=，E是线段AB的中点．（Ⅰ）求证： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦值．21．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为 AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求证：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C﹣PB﹣ E 的余弦值；（Ⅲ）在线段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点M 的地址；若不存在，说明原由．22．如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求证： AB⊥DE；（Ⅱ）求直线 EC与平面 ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，说明原由．23．如图，三棱柱 ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°， AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求证： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A﹣BC1﹣B1的余弦值．24．如图，在四棱锥P﹣ ABCD中， PA⊥平面，四边形ABCD为正方形，点M， N 分别为线段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求证： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C﹣AN﹣D 大小为时，求PN的长．上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．27．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四边形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求证： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A﹣PB﹣D 的余弦值为，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．28．如图，三棱柱 ABC﹣ A1B1C1中，侧面 BB1C1C 为菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）证明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值．29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面 PAD 为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为120°.（1）求点 P 到平面 ABCD 的距离；（2）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的余弦值.PCDBA30 如图，在三棱柱ABC ﹣ A 1B 1C1中， AA 1⊥底面ABC ，∠ ACB=90°，AC=BC=1 ， AA 1=2，D 是棱AA 1的中点．（Ⅰ）求证：B1C 1∥平面 BCD ；（Ⅱ）求三棱锥B﹣ C1CD 的体积；（Ⅲ）在线段BD 上可否存在点Q，使得 CQ ⊥ BC 1？请说明原由．31 如图，在三棱锥A﹣ BCD中， O、 E 分别为 BD、 BC中点， CA=CB=CD=BD=4，AB=AD=2（1）求证： AO⊥面 BCD（2）求异面直线 AB 与 CD所成角的余弦值（3）求点 E 到平面 ACD的距离．32 在三棱柱ABC﹣ A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形， AB=2， AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明： BC⊥AB 1；（2）若 OC=OA，求直线 CD与平面 ABC所成角的正弦值．2018 年 01 月 20 日 shu****e168的高中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共11 小题）1．已知 M 、N 分别是周围体 OABC的棱 OA，BC的中点，点 P 在线 MN 上，且 MP=2PN，设向量= ，= ，= ，则=（）A．+ +B．+ +C．+ +D．+ +【解答】解：以以下图，= +，=（+），=，=﹣，=．∴= += +=+ （﹣）=+=×（ + ） + ×=++=+ + ．应选： C．2．已知=（ 2，﹣ 1，2），=（﹣ 1， 3，﹣ 3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2B．3C． 4D．6【解答】解：∵=（2，﹣ 1， 2），=（﹣ 1，3，﹣ 3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（ 2，﹣ 1，2）=x（﹣ 1，3，﹣ 3）+y（13，6，λ）∴解得：应选： B．3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（）A．B．或C．D．或【解答】解：∵，∴与同向共线的单位向量向量，第10页（共 40页）4．已知向量，且，则x的值为（）A．12 B．10 C．﹣ 14D． 14【解答】解：由于向量，且，属于=﹣8﹣6+x=0，解得 x=14；应选： D．5．若 A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=++，则P，A，B，C四点（）A．不共面B．共面C．共线D．不共线【解答】解： A，B，C 不共线，对于空间任意一点O 都有=x +y +z，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是x+y+z=1，而=++，因此P，A，B，C四点不共面．应选： A．6．已知平面α的法向量是（ 2，3，﹣ 1），平面β的法向量是（ 4，λ，﹣ 2），若α∥β，则λ的值是（）A．B．﹣ 6 C．6D．【解答】解：∵α∥β，且平面α的法向量是 =（2，3，﹣ 1），平面β的法向量是 =（ 4，λ，﹣ 2），∴即存在实数μ使得，即（ 2，3，﹣ 1）=（4μ，λμ，﹣ 2μ），解得μ=，λ=6应选 C．7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：=（﹣ 1﹣t， t﹣1，﹣ t），∴==≥，当且仅当t=0时取等号．∴的最小值是．应选： A．8．有四个命题：①若 =x +y ，则与、共面；②若与、共面，则=x +y；③若=x +y，则 P，M ，A，B 共面；④若 P，M， A，B 共面，则=x +y．其中真命题的个数是（）A．1B．2C． 3D．4【解答】解：若=x +y ，则与，必然在同一平面内，故①对；若=x +y ，则、、三向量在同一平面内，∴ P、M、A、B 共面．故③对；若=x +y ，则与、共面，但若是，共线，就不用然能用、来表示，故②不对；同理④也不对．∴真命题的个数为 2 个．应选： B．9．已知向量=（2，﹣1，1）， =（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4D． 8【解答】解：设向量，的夹角为θ，=，=，∴ cosθ===．∴ sin θ==．∴以，为邻边的平行四边形的面积S=??sin θ==，应选： B．10．以以下图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中， AD=AA1=1，AB=2，点 E 是棱 AB 的中点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，以 D 为坐标原点，直线DA，DC， DD1分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，则D1（ 0， 0，1），E（1，1，0）， A（ 1， 0， 0），C（0，2，0）．=（ 1， 1，﹣ 1）， =（﹣ 1，2，0），=（﹣ 1， 0， 1），设平面 ACD1的法向量为=（a，b，c），则，取 a=2，得=（ 2， 1， 2），点 E 到平面 ACD1的距离为：h===．应选： C．11．正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线 DD1与平面 A1BC1所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵△ A1BC1是等边三角形， A1B1=BB1=B1C1，∴B1在平面 A1BC1上的射影为△ A1 BC1的中心 O，设正方体棱长为 1，M 为 A1C1的中点，则 A1B= ，∴ OB= BM==，∴ OB1==，∴ sin∠B1BO==，即BB1与平面A1BC1所成角的正弦值为，∵DD1∥BB1，∴直线 DD1与平面11 所成角的正弦值为．A BC应选： A．二．填空题（共 5 小题）12．已知向量=（ k， 12，1），=（4，5，1），=（﹣ k， 10，1），且 A、 B、 C 三点共线，则 k=．【解答】解：∵向量=（ k， 12，1）， =（4，5，1），=（﹣ k，10，1），∴=（4﹣k，﹣ 7，0）， =（﹣ 2k，﹣ 2， 0）．又 A、B、C 三点共线，∴存在实数λ使得，∴，解得．故答案为：﹣．13．正方体 ABCD﹣ A1B1C1D1的棱长为 1，MN 是正方体内切球的直径，P 为正方体表面上的动点，则?的最大值为．【解答】解：连接 PO，可得? ==++=﹣，当获取最大值时，?获取最大值为=．故答案为：．14．已知点 P 是平行四边形 ABCD所在的平面外一点，若是=（ 2，﹣ 1，﹣ 4），=（4，2，0），=（﹣ 1， 2，﹣ 1）．对于结论：① AP⊥AB；② AP⊥ AD；③是平面 ABCD的法向量；④∥．其中正确的选项是①②③ ．【解答】解：由 =（2，﹣ 1，﹣ 4），=（ 4， 2， 0）， =（﹣ 1，2，﹣ 1），知：在①中，=﹣2﹣2+4=0，∴⊥，∴ AP⊥AB，故①正确；在②中，? =﹣4+4+0=0，∴⊥，∴ AP⊥AD，故②正确；在③中，由 AP⊥AB， AP⊥ AD，AB∩AD=A，知是平面 ABCD的法向量，故③正确；在④中，=（ 2， 3， 4），假设存在λ使得 =，则，无解，∴∥．故④不正确；综上可得：①②③正确．故答案为：①②③．15．设空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，且点 P 满足向量关系，若 P，A，B，C 四点共面，则 x+y+z= 1 ．【解答】若空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，满足向量关系式：，则 P，A，B，C 四点共面的充要条件是： x+y+z=1，故答案为： 1．16．已知平面α⊥平面β，且α∩β =l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，并且 AC ⊥l，BD⊥l， AB=6，BD=24， AC=8，则 CD= 26 ．【解答】解：∵平面α⊥平面β，且α∩β=l，在 l 上有两点 A，B，线段 AC? α，线段 BD? β，AC⊥l， BD⊥ l，AB=6，BD=24，AC=8，∴=，∴=（）2==64+36+576=676，∴CD=26．故答案为： 26．三．解答题（共12 小题）17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中， PA丄平面 ABCD， AB 丄 BC，∠ BCA=45°，PA=AD=2，AC=1，DC=（Ⅰ）证明 PC丄 AD；（Ⅱ）求二面角 A﹣PC﹣ D 的正弦值；（Ⅲ）设 E 为棱 PA上的点，满足异面直线BE与 CD所成的角为 30°，求 AE的长．【解答】（本小分 13 分）明：（Ⅰ）∵在△ ADC中， AD=2，AC=1，DC=222∴ AC +AD =CD ，∴ AD⊥ AC，⋯（1 分）如，以点 A 原点建立空直角坐系，依意得 A（0，0，0）， D（ 2， 0， 0），C（0，1，0），B（，，0），P（0，0，2），得=（0，1， 2）， =（2，0，0），∴=0，∴ PC⊥AD．⋯（4 分）解：（Ⅱ），，平面 PCD的一个法向量=（ x， y， z），，不如令 z=1，得=（1，2，1），可取平面 PAC的一个法向量=（1，0，0），于是 cos＜＞==，从而 sin＜＞=，因此二面角 A PC D 的正弦．⋯（8分）（Ⅲ）点 E 的坐（ 0， 0， h），其中 h∈[ 0，2] ，由此得=（），由=（2， 1，0），故，∵ 足异面直BE与 CD所成的角 30°，∴=cos30°=，解得h=，即AE=．⋯（13分）18．如，在四棱 P ABCD中，底面 ABCD直角梯形， AD∥BC，∠ ADC=90°，平面 PAD⊥底面ABCD， Q AD 的中点， M 是棱 PC上的点， PA=PD=2，BC= AD=1，CD= ．（Ⅰ）求：平面 PQB⊥平面 PAD；（Ⅱ）若 M 棱 PC的中点，求异面直AP 与 BM 所成角的余弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD∥ BC，BC= AD，Q AD 的中点，∴四形 BCDQ平行四形，可得CD∥BQ．∵∠ ADC=90°，∴∠ AQB=90°即QB⊥AD．又∵平面 PAD⊥平面 ABCD，平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴BQ⊥平面 PAD．∵ BQ? 平面 PQB，∴平面 PQB⊥平面 PAD．（Ⅱ）∵ PA=PD，Q 为 AD 的中点，∴ PQ⊥ AD．∵平面 PAD⊥平面 ABCD，且平面 PAD∩平面 ABCD=AD，∴ PQ⊥平面 ABCD．（注：不证明 PQ⊥平面 ABCD直接建系扣 1 分）因此，以 Q 为原点、 QA、QB、QP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系，以以下图则 Q（0，0，0）， A（1，0， 0），P（0，0，），B（0，，0）， C（﹣ 1，， 0）∵ M 是 PC中点，∴ M （﹣，，）∴=（﹣ 1，0，），=（﹣，﹣，）设异面直线 AP 与 BM 所成角为θ，则 cosθ=|cos＜，＞| ==．∴异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中， SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD是正方形，且 SD=AD，E 是 SA 的中点．（1）求证：直线 BA⊥平面 SAD；（2）求直线 SA与平面 BED的夹角的正弦值．【解答】（本分 12 分）解：（ 1）明：∵ SD⊥平面 ABCD，∴ SD⊥AB，又 AD⊥AB，AD∩SD=D，∴ AB⊥平面 SAD，⋯（6 分）（2）以 D 原点，分以 DA、DC、 DS x，y， z 建立空直角坐系，如，AB=2， A（ 2， 0，0），S（0，0，2），B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0， 2），=（2， 2， 0），=（1，0， 1），⋯（ 8 分）平面 BED的一个法向量=（x，y，z），由得，取=（1， 1， 1），⋯（10 分）直 SA与平面 BED所成角θ，因 cos==，因此 sin θ=，即直 SA与平面 BED所成角的正弦⋯（ 12 分）20．如，四棱 P ABCD中，底面 ABCD是直角梯形，∠ DAB=90°AD∥BC， AD⊥ 面 PAB，△ PAB是等三角形， DA=AB=2， BC=，E是段AB的中点．（Ⅰ）求： PE⊥CD；（Ⅱ）求 PC与平面 PDE所成角的正弦．【解答】解：（Ⅰ）∵ AD⊥ 面 PAB，PE? 平面 PAB，∴ AD⊥EP．又∵△ PAB是等三角形， E 是段 AB 的中点，∴ AB⊥EP．∵AD∩ AB=A，∴ PE⊥平面 ABCD．∵CD? 平面 ABCD，∴ PE⊥ CD．⋯（ 5 分）（Ⅱ）以 E 原点， EA、EP分 y、 z ，建立如所示的空直角坐系．E（0，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（ 2，1，0），P（0，0，）．=（2， 1， 0），=（0，0，），=（1， 1，）．=（x，y，z）平面 PDE的一个法向量．由，令 x=1，可得=（ 1， 2，0）．⋯（ 9 分）PC与平面 PDE所成的角θ，得=因此 PC与平面 PDE所成角的正弦．⋯（12分）21．如，在四棱 P ABCD中，平面 PAD⊥平面 ABCD，E AD 的中点， PA⊥AD，BE∥CD，BE⊥AD，PA=AE=BE=2，CD=1．（Ⅰ）求：平面 PAD⊥平面 PCD；（Ⅱ）求二面角 C PB E 的余弦；（Ⅲ）在段 PE上可否存在点 M ，使得 DM∥平面 PBC？若存在，求出点 M 的地址；若不存在，明原由．【解答】解：（Ⅰ）明：由已知平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥ AD，且平面PAD∩平面 ABCD=AD，因此 PA⊥平面 ABCD．因此 PA⊥CD．又因BE⊥AD，BE∥CD，因此 CD⊥AD．因此 CD⊥平面 PAD．因 CD? 平面PCD，因此平面 PAD⊥平面 PCD．⋯（4 分）（Ⅱ）作 Ez⊥AD，以 E 原点，以的方向分x，y的正方向，建立如所示的空直角坐系 E xyz，点 E（0，0，0）， P（ 0， 2，2）， A（0， 2， 0），B（2，0，0）， C（ 1， 2， 0），D（0，2，0）．因此，，．平面 PBC的法向量=（ x，y，z），因此即令 y=1，解得=（ 2， 1， 3）．平面 PBE的法向量=（a，b，c），因此即令 b=1，解得=（ 0， 1， 1）．因此 cos＜＞=．由可知，二面角 C PB E 的余弦．⋯（10分）（Ⅲ）“ 段 PE上存在点 M，使得 DM∥平面 PBC”等价于“”．因，，λ∈（0，1），M （0，2λ 2，2 2λ），．由（Ⅱ）知平面 PBC的法向量=（ 2， 1， 3），因此．解得．因此段 PE上存在点 M ，即 PE中点，使得 DM∥平面 PBC．⋯（ 14 分）22．如，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直． AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC， EA⊥EB．（Ⅰ）求： AB⊥DE；（Ⅱ）求直 EC与平面 ABE所成角的正弦；（Ⅲ）段 EA 上可否存在点 F，使 EC∥平面 FBD？若存在，求出；若不存在，明原由．【解答】（Ⅰ ）明：取 AB 中点 O，接 EO，DO．因 EB=EA，因此 EO⊥ AB．⋯（1 分）因四形 ABCD直角梯形， AB=2CD=2BC， AB⊥ BC，因此四形 OBCD正方形，因此 AB⊥OD．⋯（2 分）因 EO∩OD=O因此 AB⊥平面 EOD．⋯（3 分）因 ED? 平面 EOD因此 AB⊥ED．⋯（4 分）（Ⅱ）解：因平面 ABE⊥平面 ABCD，且 EO⊥AB，平面 ABE∩平面 ABCD=AB因此 EO⊥平面 ABCD，因 OD? 平面 ABCD，因此 EO⊥OD．由 OB，OD，OE两两垂直，建立如所示的空直角坐系O xyz．⋯（5 分）因△ EAB等腰直角三角形，因此 OA=OB=OD=OE， OB=1，因此 O（0，0，0）， A（ 1，0，0），B（1，0，0）， C（ 1， 1， 0），D（0，1，0），E（ 0， 0， 1）．因此，平面 ABE的一个法向量．⋯（7 分）直 EC与平面 ABE所成的角θ，因此，即直 EC与平面 ABE所成角的正弦．⋯（ 9 分）（Ⅲ）解：存在点 F，且，有 EC∥平面 FBD．⋯（10 分）明以下：由，，因此．平面 FBD的法向量=（a，b，c），有因此取 a=1，得 =（ 1，1，2）．⋯（ 12 分）因=（1，1， 1）?（1，1，2）=0，且 EC?平面 FBD，因此 EC∥平面 FBD．即点 F 足，有 EC∥平面 FBD．⋯（ 14 分）23．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，AB=AC=CC1，平面 BAC1⊥平面 ACC1A1，∠ACC1=∠BAC1=60°，AC1∩ A1C=O．（Ⅰ）求： BO⊥平面 AA1C1C；（Ⅱ）求二面角 A BC1B1的余弦．【解答】明：（Ⅰ ）依意，四形 AA1C1C 菱形，且∠ AA1C1=60°∴△ AA1C1正三角形，又∠ BAC1=60°，∴△ BAC1正三角形，又 O AC1中点，∴BO⊥ AC1，∵平面 ABC1⊥平面 AA1C1C，平面 ABC1∩平面 AA1C1C=AC1，∵BO? 平面 AA1CC1，∴ BO⊥平面 AA1C1C．⋯（4 分）解：（Ⅱ）以 O 坐原点，建空直角坐系，如，令 AB=2，，C1（，，）010∴，平面 BB1 1的一个法向量，C由得，取 z=1，得⋯（9分）又面 ABC1的一个法向量∴⋯（11 分）故所求二面角的余弦⋯（ 12 分）24．如，在四棱P ABCD中， PA⊥平面，四形ABCD正方形，点M， N 分段PB，PC上的点， MN⊥PB．（Ⅰ）求： MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）当 PA=AB=2，二面角 C AN D 大小，求PN的．【解答】（Ⅰ ）明：在正方形ABCD中， AB⊥BC，∵PA⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD，∴ PA⊥ BC．∵AB∩PA=A，且 AB，PA? 平面 PAB，∴BC⊥平面 PAB， BC⊥PB，∵MN⊥PB，∴ MN∥BC，则 MN⊥平面 PAB；（Ⅱ）解：∵ PA⊥平面 ABCD，AB，AD? 平面 ABCD，∴ PA⊥AB，PA⊥ AD，又 AB⊥AD，如图，以 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则C（2，2，0）， D（ 0， 2， 0），B（2，0，0），P（0，0，2）．设平面 DAN 的一个法向量为 =（x，y，z），平面 CAN的一个法向量为 =（a，b，c），设 =λ，λ∈[ 0， 1] ，∵=（2，2，﹣2），∴=（2λ，2λ，2﹣2λ），又 =（0，2，0），∴，取 z=1，得=（，0，1），∵=（0，0，2）， =（2，2，0），∴，取 a=1 得，到=（1，﹣ 1，0），∵二面 C﹣ AN﹣ D 大小为，∴ | cos＜，＞| =cos=，∴ | cos＜，＞| =|| =|| =，解得λ=，∴，则 PN=．25．如题图，三棱锥 P﹣ABC中，PC⊥平面 ABC，PC=3，∠ ACB=．D，E分别为线段AB，BC 上的点，且 CD=DE=，CE=2EB=2．（Ⅰ）证明： DE⊥平面 PCD（Ⅱ）求二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值．【解答】（Ⅰ ）证明：∵ PC⊥平面 ABC，DE? 平面 ABC，∴ PC⊥DE，∵CE=2，CD=DE= ，∴△CDE为等腰直角三角形，∴ CD⊥DE，∵ PC∩CD=C，DE垂直于平面 PCD内的两条订交直线，∴DE⊥平面 PCD（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ CDE为等腰直角三角形，∠ DCE=，过点 D 作 DF 垂直 CE于 F，易知 DF=FC=FE=1，又由已知 EB=1，故 FB=2，由∠ ACB=得DF∥AC，，故AC= DF=，以 C 为原点，分别以，，的方向为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系，则C（0，0，0）， P（ 0， 0， 3），A（， 0， 0），E（0，2，0）， D（1， 1，0），∴ =（1，﹣ 1，0）， =（﹣ 1，﹣ 1，3）， =（，﹣ 1， 0），设平面 PAD的法向量=（ x， y， z），由，故可取=（2， 1， 1），由（Ⅰ）知 DE⊥平面 PCD，故平面 PCD的法向量可取=（1，﹣ 1，0），∴两法向量夹角的余弦值cos＜，＞==∴二面角 A﹣PD﹣ C 的余弦值为．26．如图，在几何体 ABCDE中，四边形 ABCD是矩形， AB⊥平面 BEC，BE⊥ EC，AB=BE=EC=2，G， F 分别是线段 BE，DC的中点．（1）求证： GF∥平面 ADE；（2）求平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值．【解答】解法一：（ 1）如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，∵G 是 BE的中点，∴ GH∥ AB，且 GH= AB，又∵ F 是 CD中点，四边形ABCD是矩形，∴DF∥AB，且 DF= AB，即 GH∥DF，且 GH=DF，∴四边形 HGFD是平行四边形，∴ GF∥ DH，又∵ DH? 平面 ADE，GF?平面 ADE，∴ GF∥平面 ADE．（ 2）如图，在平面BEG内，过点 B 作 BQ∥ CE，∵BE⊥EC，∴ BQ⊥BE，又∵ AB⊥平面 BEC，∴ AB⊥BE，AB⊥ BQ，以 B 为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则 A（0，0，2）， B（ 0， 0， 0），E（2，0，0）， F（ 2， 2， 1）∵ AB⊥平面 BEC，∴为平面BEC的法向量，设=（x，y，z）为平面 AEF的法向量．又=（2，0，﹣ 2），=（2，2，﹣ 1）由垂直关系可得，取 z=2 可得．∴ cos＜，＞==∴平面 AEF与平面 BEC所成锐二面角的余弦值为．解法二：（1）如图，取 AB 中点 M ，连接 MG，MF，又G 是 BE的中点，可知 GM∥AE，且 GM= AE又AE? 平面 ADE，GM?平面 ADE，∴GM∥平面 ADE．在矩形 ABCD中，由 M， F 分别是 AB， CD的中点可得 MF∥AD．又AD? 平面 ADE，MF?平面 ADE，∴ MF∥平面ADE．又∵ GM∩MF=M，GM? 平面 GMF，MF? 平面GMF∴平面 GMF∥平面 ADE，∵GF? 平面 GMF，∴ GF∥平面 ADE（ 2）同解法一．第30页（共 40页）27．如，在四棱P ABCD中， PD⊥平面 ABCD，四形 ABCD是菱形， AC=2，BD=2，E 是 PB 上任意一点．（Ⅰ）求： AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角 A PB D 的余弦，若 E PB的中点，求 EC与平面 PAB所成角的正弦．【解答】（I）明：∵ PD⊥平面 ABCD，AC? 平面 ABCD∴PD⊥AC又∵ ABCD是菱形，∴ BD⊥ AC，BD∩PD=D∴AC⊥平面 PBD，∵ DE? 平面 PBD∴AC⊥DE⋯（6 分）（ II）解：分以OA， OB， OE 方向x， y， z 建立空直角坐系，PD=t，由（ I）知：平面 PBD的法向量，令平面PAB 的法向量，根据得∴因二面角 A PB D 的余弦，，即，∴⋯（9 分）∴EC与平面 PAB所成的角θ，∵，∴⋯（12 分）28．如，三棱柱 ABC A1B1C1中，面 BB1C1C 菱形， AB⊥B1C．（Ⅰ）明： AC=AB1；（Ⅱ）若 AC⊥ AB1，∠ CBB1=60°， AB=BC，求二面角 A A1B1C1的余弦．【解答】解：（1）连接 BC1，交 B1C 于点 O，连接 AO，∵侧面 BB1 C1C 为菱形，∴BC1⊥B1C，且 O 为 BC1和 B1C 的中点，又∵ AB⊥ B1 C，∴ B1C⊥平面 ABO，∵ AO? 平面 ABO，∴ B1C⊥ AO，又B10=CO，∴ AC=AB1，（2）∵ AC⊥ AB1，且 O 为 B1C 的中点，∴ AO=CO，又∵ AB=BC，∴△ BOA≌△ BOC，∴ OA⊥OB，∴ OA， OB，OB1两两垂直，以 O 为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|| 为单位长度，的方向为 y 轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠ CBB1°，∴△ 1 为正三角形，又，=60CBB AB=BC∴ A（ 0， 0，）， B（ 1， 0， 0，）， B （，，），（，，）00 C 001∴=（0，，），= =（1，0，），==（﹣ 1，，0），设向量=（x，y，z）是平面 AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面 A1 B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴ cos＜，＞== ，∴二面角 A﹣A1B1﹣ C1的余弦值为29. 已知四棱锥P— ABCD ， PB⊥ AD，侧面PAD为边长等于 2 的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD 与底面ABCD所成的二面角为120°.（ 1）求点P 到平面ABCD的距离；（ 2）求面APB与面CPB所成二面角的大小.PCDBA（传统法）解（ 1）：以以下图，作 PO⊥平面 ABCD ，垂足为点 O. 连接 OB、 OA、OD ， OB 与 AD 交于点 E，连接 PE.PDCEO BA∵AD ⊥ PB，∴ AD⊥ OB.∵P A=PD ，∴ OA=OD .于是 OB 均分 AD ，点 E 为 AD 的中点，∴ PE ⊥AD. 由此知∠ PEB 为面 PAD 与面 ABCD 所成二面角的平面角，∴∠ PEB=120°，∠ PEO=60°. 由已知可求得 PE= 3，33，即点 P 到平面 ABCD 的距离为3 .∴PO=PE·sin60°=3×=222（2）（空间向量法）解法一：以以下图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点， x 轴平行于 DA .zPGCDOEyBAxP（ 0，0，333， 0）， PB 中点 G 的坐标为（ 0，33，3），连接 AG.）， B（ 0，2244又知 A（ 1，3，0）， C（－ 2，3 3，0） . 22由此获取 GA =（1，－3，－3），44PB =（0，3 3，－3）， BC =（－2，0，0）.22于是有 GA · PB =0， BC · PB =0，∴ GA ⊥ PB ， BC ⊥ PB . GA ， BC 的夹角 θ 等于所求二面角的平面角.于是 cos θ=GA BC|GA || BC |=－2 7，7由于题目中的二面角为钝角，因此所求二面角的大小为－2 7 。

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D.二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）11．在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足，则12．设是两个不共线的向量，则向量b=与向量a=共线的充要条件是_______________13．圆心为O，半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且|PO|=2，则=_______________14．已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且（0≤t≤1），则的最大值为______________三、解答题15．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知若A、B、C三点共线,求k的值.16．（12分）设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值17．（14分）已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，求使向量a+b 与a+b的夹角是锐角时，的取值范围20．已知向量、、、及实数、满足，，若，且.⑴求关于的函数关系式及其定义域;⑵若时,不等式恒成立，求实数的取值范围．附加题（可不做）1．已知点P分所成的比为－3，那么点分所成比为（）A． B. C. D.2．点（2，－1）按向量a平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到（）A．(2,－1) B. (－2,1) C. (6,－3) D. (－6,3))高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解一、选择题1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( ) A．－4 B．4C．－2 D．2[解析] a在b方向上的投影为eq \f(a·b,|b|) ＝ eq \f(－12,3) ＝－4.(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,3)C. eq \f(2π,3)D. eq \f(π,3) 或 eq \f(2π,3)[答案] B[解析] 由条件知， eq \f(a·b,|b|) ＝2， eq \f(a·b,|a|) ＝1，a·b＝4，∴|a|＝4，|b|＝2，∴cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a|·|b|) ＝ eq \f(4,4×2) ＝ eq \f(1,2) ，∴〈a，b〉＝ eq \f(π,3) .2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于( )A．－ eq \f(9,2) B. eq \f(9,2)C．－2 D．2[解析] 由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是( )A．t＋k＝1 B．t－k＝1C．t·k＝1 D．t－k＝0[答案] D[解析] m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t －5k＝0，∴t－k＝0.3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) 等于( )A．－16 B．－8C．8 D．16[答案] D[解析] 因为∠C＝90°，所以 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，所以 eq\o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(CB,\s\up6(→)) )· eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝AC2＝16.(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB， eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝1，则 eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( ) A．2 eq \r(3) B. eq \f(\r(3),2)C. eq \f(\r(3),3)D. eq \r(3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \r(3) eq\o(BD,\s\up6(→)) )· eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＋ eq\r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ，又∵AB⊥AD，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(AC,\s\up6(→)) · e q \o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) eq \o(BD,\s\up6(→)) · eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB ＝ eq \r(3) | eq \o(BD,\s\up6(→)) |·cos∠ADB＝ eq \r(3) ·| eq \o(AD,\s\up6(→)) |＝ eq \r(3) .4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝( )A．150° B．120°C．60° D．30°[答案] B[解析] ∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－ eq \f(1,2) ，∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足 eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t eq \o(PA,\s\up6(→)) ＋t eq \o(OB,\s\up6(→)) ，则 eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝( )A. eq \f(1,3)B. eq \f(1,2)C．2 D．3[答案] B[解析] ∵ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝2t( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) )＋t eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2t,2t＋1) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(t,2t＋1) eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∵P在直线AB上，∴ eq \f(2t,2t＋1) ＋ eq \f(t,2t＋1) ＝1，∴t＝1，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq\o(OA,\s\up6(→)) － eq \f(1,3) eq \o(OB,\s\up6(→)) ，eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq\o(OB,\s\up6(→)) － eq \f(2,3) eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝－2 eq \o(PA,\s\up6(→)) ，∴ eq \f(|\o(PA,\s\up6(→))|,|\o(PB,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(1,2) .6．(文)平面上的向量 eq \o(MA,\s\up6(→)) 、 eq \o(MB,\s\up6(→)) 满足| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，且 eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，若向量 eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ，则| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是( )A. eq \f(1,2) B．1C．2 D. eq \f(4,3)[答案] D[解析] ∵ eq \o(MA,\s\up6(→)) · eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(MA,\s\up6(→)) ⊥ eq\o(MB,\s\up6(→)) ，又∵| eq \o(MA,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(MB,\s\up6(→)) |2＝4，∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，eq \o(MA,\s\up6(→)) ＝(－1－x，－y)， eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝(1－x，－y)，∵ eq \o(MC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(MA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \o(MB,\s\up6(→)) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x，－y)) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－x)) 2＋y2＝ eq \f(10,9) － eq\f(2,3) x，∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，| eq \o(MC,\s\up6(→)) |2取得最大值为 eq \f(16,9) ，∴| eq \o(MC,\s\up6(→)) |的最大值是 eq \f(4,3) .(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则 eq\o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为( )A．8 B．6C．5 D．4[答案] B[解析] 建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，∴A(0,0)，N(2，－1)， eq \o(AN,\s\up6(→)) ＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)， eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝(x，y)由坐标系可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0≤x≤2①,－2≤y≤0 ②))∵ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) ＝2x－y，设2x－y＝z，易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，∴ eq \o(AN,\s\up6(→)) · eq \o(AM,\s\up6(→)) 的最大值为6，故选B.7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝ eq \r(7) ，则 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) 等于( )A. eq \f(3,2)B. eq \f(5,2)C．2 D．3[答案] B[解析] eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) ·( eq\o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) )＝ eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq\o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ，因为OA＝OB.所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) 在 eq \o(AB,\s\up6(→)) 上的投影为 eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |，所以 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(AB,\s\up6(→)) |＝2，同理 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq\o(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) | eq \o(AC,\s\up6(→)) |·| eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝ eq \f(9,2) ，故 eq \o(AO,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(9,2) －2＝ eq \f(5,2) .8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为( )A. eq \f(π,6)B. eq \f(π,4)C. eq \f(π,3)D. eq \f(π,2)[答案] C[解析] 根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝ eq \f(a·b,|a||b|) 求解”．由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝ eq \f(a·b,|a||b|) ＝ eq\f(3,2×3) ＝ eq \f(1,2) ，所以α＝ eq \f(π,3) .9.(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中， eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ∈ eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,8)，\f(3\r(3),8))) ，其面积S＝ eq \f(3,16) ，则 eq \o(AB,\s\up6(→)) 与 eq \o(BC,\s\up6(→)) 夹角的取值范围是( )A. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))B. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))C. eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))D. eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(3π,4)))[答案] A[解析] 设〈 eq \o(AB,\s\up6(→)) ， eq \o(BC,\s\up6(→)) 〉＝α，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq\o(BC,\s\up6(→)) ＝| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |cosα，S＝ eq \f(1,2) | eq\o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |·sin(π－α)＝ eq \f(1,2) | eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq\o(BC,\s\up6(→)) |·sinα＝ eq \f(3,16) ，∴| eq \o(AB,\s\up6(→)) |·| eq \o(BC,\s\up6(→)) |＝ eq\f(3,8sinα) ，∴ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→))＝ eq \f(3cosα,8sinα) ＝ eq \f(3,8) cotα，由条件知 eq \f(3,8) ≤ eq \f(3,8) cotα≤ eq \f(3\r(3),8) ，∴1≤cotα≤ eq \r(3) ，∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) >0，∴α为锐角，∴ eq \f(π,6) ≤α≤ eq \f(π,4) .10.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且 eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则 eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) 的值是( )A．－ eq \f(3,4) B．－ eq \f(8,9)C．－ eq \f(1,4) D．不确定[答案] B[解析] ∵ eq \o(BF,\s\up6(→)) ＝2 eq \o(FA,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \o(BA,\s\up6(→)) ，∴| eq \o(FA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) | eq \o(BA,\s\up6(→)) |＝ eq \f(1,3) ，eq \o(FD,\s\up6(→)) · eq \o(FE,\s\up6(→)) ＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AE,\s\up6(→)) )＝( eq \o(FA,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AD,\s\up6(→)) )·( eq \o(FA,\s\up6(→)) － eq \o(AD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(FA,\s\up6(→)) |2－| eq \o(AD,\s\up6(→)) |2＝ eq \f(1,9) －1＝－ eq \f(8,9) .二、填空题11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝______.[答案] 5[解析] 设AC与BD相交于点O，则( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(DC,\s\up6(→)) )·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OD,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝[( eq \o(OB,\s\up6(→)) － eq \o(OD,\s\up6(→)) )＋( eq \o(OC,\s\up6(→)) － eq\o(OA,\s\up6(→)) )]·( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝( eq \o(DB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )( eq \o(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BD,\s\up6(→)) )＝| eq \o(AC,\s\up6(→)) |2－| eq \o(BD,\s\up6(→)) |2＝5.12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若| eq \o(OA,\s\up6(→)) |＝7，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |＝5，则 eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) －eq \o(OB,\s\up6(→)) )的值为________．[答案] 12[解析] eq \o(PA,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) ， eq \o(PB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OB,\s\up6(→)) ，由条件知，| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝49，| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＝25，| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＝| eq \o(PB,\s\up6(→)) |，∴| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) ＋ eq\o(OB,\s\up6(→)) |2，即| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OA,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OA,\s\up6(→)) ＝| eq \o(PO,\s\up6(→)) |2＋| eq \o(OB,\s\up6(→)) |2＋2 eq \o(PO,\s\up6(→)) · eq\o(OB,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PO,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝－12，∴ eq \o(OP,\s\up6(→)) ·( eq \o(OA,\s\up6(→)) － eq \o(OB,\s\up6(→)) )＝12.13.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足 eq\o(OP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(OA,\s\up6(→)) ＋λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，则λ＝ eq \f(1,2) 时， eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )的值为______．[答案] 0[解析] 由已知得 eq \o(OP,\s\up6(→)) － eq \o(OA,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝λ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) )，当λ＝ eq \f(1,2) 时，得 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq\o(AC,\s\up6(→)) )，∴2 eq \o(AP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ，即 eq \o(AP,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AC,\s\up6(→)) － eq \o(AP,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝ eq \o(PC,\s\up6(→)) ，∴ eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) ＝eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(BP,\s\up6(→)) ＝0，∴ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·( eq \o(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(PC,\s\up6(→)) )＝ eq \o(PA,\s\up6(→)) ·0＝0，故填0.三、解答题16．(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°且 eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50.(1)求sin∠BAD的值；(2)设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求 eq \f(S△ABD,S△BCD) 的值．[解析] (1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，则AC＝10，cos∠CAD＝ eq \f(4,5) ，sin∠CAD＝ eq \f(3,5) ，又∵ eq \o(AB,\s\up6(→)) · eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝50，AB＝13，∴cos∠BAC＝ eq \f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(AC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(5,13) ，∵0<∠BAC∠180°，∴sin∠BAC＝ eq \f(12,13) ，∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝ eq \f(63,65) .(2)S△BAD＝ eq \f(1,2) AB·ADsin∠BAD＝ eq \f(252,5) ，S△BAC＝ eq \f(1,2) AB·ACsin∠BAC＝60，S△ACD＝24，则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝ eq \f(168,5) ，∴ eq \f(S△ABD,S△BCD) ＝ eq \f(3,2) .(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.[分析] 要证明AD⊥BC，则只需要证明 eq \o(AD,\s\up6(→)) · eq \o(BC,\s\up6(→)) ＝0，可设 eq\o(AD,\s\up6(→)) ＝m， eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b，将 eq \o(BC,\s\up6(→)) 用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．证明：设 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝c， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝b， eq \o(AD,\s\up6(→)) ＝m，则 eq \o(BD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝m－c， eq \o(CD,\s\up6(→)) ＝ eq \o(AD,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝m－b.∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，∴m·(c－b)＝0，即 eq \o(AD,\s\up6(→)) ·( eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) )＝0，∴ eq \o(AD,\s\u p6(→)) · eq \o(CB,\s\up6(→)) ＝0，∴AD⊥BC.17．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t满足( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0，求t的值．[解析] (1)由题设知 eq \o(AB,\s\up6(→)) ＝(3,5)， eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(－1,1)，则 eq\o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(2,6)， eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq \o(AC,\s\up6(→)) ＝(4,4)．所以| eq \o(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \o(AC,\s\up6(→)) |＝2 eq \r(10) ，| eq \o(AB,\s\up6(→)) － eq\o(AC,\s\up6(→)) |＝4 eq \r(2) .故所求的两条对角线长分别为4 eq \r(2) ，2 eq \r(10) .(2)由题设知 eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(－2，－1)， eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝(3＋2t,5＋t)．由( eq \o(AB,\s\up6(→)) －t eq \o(OC,\s\up6(→)) )· eq \o(OC,\s\up6(→)) ＝0得，(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－ eq \f(11,5) .(理)(安徽巢湖质检)已知A(－ eq \r(3) ，0)，B( eq \r(3) ，0)，动点P满足| eq \o(PA,\s\up6(→)) |＋| eq \o(PB,\s\up6(→)) |＝4.(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，求 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围．[解析] (1)动点P的轨迹C的方程为 eq \f(x2,4) ＋y2＝1；(2)解法一：①当直线l的斜率不存在时，M(1， eq \f(\r(3),2) )，N(1，－ eq \f(\r(3),2) )， eq\o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,4) ；②当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则x1＋x2＝ eq \f(8k2,1＋4k2) ，x1x2＝ eq \f(4k2－1,1＋4k2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2＝ eq \f(k2－4,1＋4k2) ＝ eq \f(1,4) － eq \f(\f(17,4),1＋4k2) < eq \f(1,4) .又当k＝0时， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 取最小值－4，∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) < eq \f(1,4) .根据①、②得 eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．解法二：当直线l为x轴时，M(－2,0)，N(2,0)， eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝－4. 当直线l不为x轴时，设过(1,0)的直线l：x＝λy＋1，代入曲线C的方程得(4＋λ2)y2＋2λy－3＝0.设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则y1＋y2＝ eq \f(－2λ,4＋λ2) ，y1y2＝ eq \f(－3,4＋λ2) .eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ＝x1x2＋y1y2＝(λ2＋1)y1y2＋λ(y1＋y2)＋1＝ eq \f(－4λ2＋1,4＋λ2) ＝－4＋ eq \f(17,4＋λ2) ∈(－4， eq \f(1,4) ]．∴－4≤ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) ≤ eq \f(1,4) .∴ eq \o(OM,\s\up6(→)) · eq \o(ON,\s\up6(→)) 的取值范围为[－4， eq \f(1,4) ]．高中数学平面向量章末复习题（二）【提高篇】一、选择题1、下面给出的关系式中正确的个数是（ C ）① ②③④⑤(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=，＝，则＝（ B ）（A） + （B）－（C）＋（D）－3．已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（ D ）（A）（B）（C）＋（D）4. 设a，b为不共线向量，＝a＋2b，＝－4 a－b，＝－5 a－3 b，则下列关系式中正确的是（B ）（A）＝（B）＝2 （C）＝－（D）＝－25. 设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（ C ）（A） 1 （B）－1 （C）（D）任意不为零的实数6. 在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足－,则等于 ( A )A. B. C. D.7．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a＋3b丨＝（ C ）A．B．C． D．48．已知| |=4, |b|=3, 与b的夹角为60°，则| +b|等于（ D ）。

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题(带答案)

高中数学必修二第六章平面向量及其应用专项训练题单选题1、定义空间两个向量的一种运算a⃑⊗b⃑⃑=|a⃑|⋅|b⃑⃑|sin⟨a⃑,b⃑⃑⟩，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A．λ(a⃑⊗b⃑⃑)=(λa⃑)⊗b⃑⃑B．(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑=a⃑⊗(b⃑⃑⊗c⃑)C．(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则a⃑⊗b⃑⃑=|x1y2−x2y1|答案：D分析：A．按λ的正负分类讨论可得，B．由新定义的意义判断，C．可举反例说明进行判断，D．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．A．(λa⃑)⊗b⃑⃑=|λa⃑||b⃑⃑|sin<λa⃑,b⃑⃑>，λ>0时，<λa⃑,b⃑⃑>=<a⃑,b⃑⃑>，(λa⃑)⊗b⃑⃑=λ|a⃑||b⃑⃑|sin<a⃑,b⃑⃑>=λ(a⃑⊗b⃑⃑)，λ=0时，λ(a⃑⊗b⃑⃑)=0,(λa⃑)⊗b⃑⃑=0，成立，λ<0时，<λa⃑,b⃑⃑>=π−<a⃑,b⃑⃑>，sin<λa⃑,b⃑⃑>=sin(π−<a⃑,b⃑⃑>)=sin<a⃑,b⃑⃑>(λa⃑)⊗b⃑⃑=−λ|a⃑||b⃑⃑|sin< a⃑,b⃑⃑>=−λ(a⃑⊗b⃑⃑)，综上，A不恒成立；B．a⃑⊗b⃑⃑是一个实数，(a⃑⊗b⃑⃑)⊗c⃑无意义，B不成立；C．若a⃑=(0,1),b⃑⃑=(1,0)，c⃑=(1,1)，则a⃑+b⃑⃑=(1,1)，<a⃑+b⃑⃑,c⃑>=0，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑=|a⃑+b⃑⃑||c⃑|sin0=√2×√2×0=0，<a⃑,c⃑>=π4,<b⃑⃑,c⃑>=π4，(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)=1×√2×sinπ4+1×√2×sinπ4=2，(a⃑+b⃑⃑)⊗c⃑≠(a⃑⊗c⃑)+(b⃑⃑⊗c⃑)，C错误；D．若a⃑=(x1,y1)，b⃑⃑=(x2,y2)，则|a⃑|=√x12+y12，|b⃑⃑|=√x22+y22，cos <a ⃑,b ⃑⃑>=1212√x 12+y 12×√x 22+y 22，sin <a ⃑,b ⃑⃑>=√1−cos 2<a ⃑,b ⃑⃑>=√1−(x 1x 2+y 1y 2)2(x 12+y 12)(x 22+y 22)=1221√(x 1+y 1)(x 2+y 2)，所以a ⃑⊗b ⃑⃑=|a ⃑||b ⃑⃑|sin <a ⃑,b⃑⃑>=|x 1y 2−x 2y 1|，成立．故选：D ．小提示：本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin <a ⃑,b ⃑⃑>用cos <a ⃑,b⃑⃑>，而余弦可由数量积进行计算． 2、若|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=5，|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=8，则|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围是（） A ．[3,8]B ．(3,8)C ．[3,13]D ．(3,13)答案：C分析：利用向量模的三角不等式可求得|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|的取值范围. 因为|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，所以，||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|−|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，即3≤|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|≤13. 故选：C.3、已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，下列结论中正确的是（）（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则a ⃗=b ⃑⃗；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗//b⃑⃗ （3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则a ⃗⊥b ⃑⃗（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则a ⃗=b ⃑⃗或a ⃗=−b⃑⃗ A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（2）（3）（4）答案：B解析：根据向量的数量积运算，以及向量模的计算公式，逐项判断，即可得出结果.已知非零平面向量a ⃗，b ⃑⃗，c ⃗，（1）若a ⃗⋅c ⃗=b ⃑⃗⋅c ⃗，则(a ⃗−b ⃑⃗)⋅c ⃗=0，所以a ⃗=b ⃑⃗或(a ⃗−b ⃑⃗)⊥c ⃗，即（1）错；（2）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗|+|b ⃑⃗|，则a ⃗与b ⃑⃗同向，所以a ⃗//b⃑⃗，即（2）正确；（3）若|a ⃗+b ⃑⃗|=|a ⃗−b ⃑⃗|，则|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2+2a ⃗⋅b ⃑⃗=|a ⃗|2+|b ⃑⃗|2−2a ⃗⋅b ⃑⃗，所以2a ⃗⋅b ⃑⃗=0，则a ⃗⊥b⃑⃗；即（3）正确；（4）若(a ⃗+b ⃑⃗)⋅(a ⃗−b ⃑⃗)=0，则|a ⃗|2−|b ⃑⃗|2=0，所以|a ⃗|=|b⃑⃗|，不能得出向量共线，故（4）错；故选：B.小提示：本题主要考查向量数量积的运算，考查向量有关的判定，属于基础题型.4、已知向量a ⃑，b ⃑⃑满足|a ⃑|=√3，|b ⃑⃑|=2，且a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑)，则a ⃑与b⃑⃑的夹角为（） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°答案：A分析：利用数量积的定义，即可求解.解：a ⃑⊥(a ⃑−b ⃑⃑),所以a ⃑⋅(a ⃑−b ⃑⃑)=0,即|a →|2−|a →||b →|cos <a →,b →>=0，解得cos <a →,b →>=√32,又因为向量夹角的范围为[0°,180°]，则a ⃑与b ⃑⃑的夹角为30°，故选：A. 5、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a +b )2−c 2=4，C =120°，则△ABC 的面积为（）A ．√33B ．2√33C ．√3D ．2√3 答案：C解析：利用余弦定理可求ab 的值，从而可求三角形的面积.因为C =120°，故c 2=a 2+b 2−2abcos120°=a 2+b 2+ab ，而(a +b )2−c 2=4，故c 2=a 2+b 2+2ab −4=a 2+b 2+ab ，故ab =4，故三角形的面积为12×ab ×sin120°=√34×4=√3，故选：C.6、△ABC 内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=bc ，则A =（）A ．π6B ．5π6C ．π3D ．2π3答案：C分析：利用余弦定理求出cosA ，再求出A 即可.∵b 2+c 2−a 2=bc ,∴cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，∵0<A <π，∴A =π3. 故选：C7、已知向量a ⃑=(−1,m )，b ⃑⃑=(m +1,2)，且a ⃑⊥b⃑⃑，则m =（） A ．2B ．−2C ．1D ．−1答案：C分析：由向量垂直的坐标表示计算．由题意得a ⃑⋅b⃑⃑=−m −1+2m =0，解得m =1 故选：C ．8、已知直角三角形ABC 中，∠A =90°，AB =2，AC =4，点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上，则PB⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最大值为（）A ．16+16√55B ．16+8√55C ．165D ．565答案：D分析：建立如图所示的坐标系，根据PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5可求其最大值. 以A 为原点建系，B (0,2),C (4,0)，BC:x 4+y 2=1，即x +2y −4=0，故圆的半径为r =√5 ∴圆A:x 2+y 2=165，设BC 中点为D (2,1)，PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2−14BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−14×20=|PD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2−5， |PD |max =|AD |+r =√5+√5=√5，∴(PB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑·PC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)max =815−5=565，故选：D.多选题9、下列说法正确的有（）A ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑B ．若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑C ．若a ⃑//b ⃑⃑，则a ⃑与b⃑⃑的方向相同或相反D ．若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线，则A 、B 、C 三点共线答案：BD分析：取b⃑⃑=0⃑⃑可判断AC 选项的正误；利用向量相等的定义可判断B 选项的正误；利用共线向量的定义可判断D 选项的正误.对于A 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑、c ⃑均为非零向量，则a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑成立，但a ⃑//c ⃑不一定成立，A 错；对于B 选项，若a ⃑=b ⃑⃑，b ⃑⃑=c ⃑，则a ⃑=c ⃑，B 对；对于C 选项，若b ⃑⃑=0⃑⃑，a ⃑≠0⃑⃑，则b⃑⃑的方向任意，C 错；对于D 选项，若AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑、BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑共线且AB 、BC 共点B ，则A 、B 、C 三点共线，D 对.故选：BD.10、下列说法正确的是（）A ．向量不能比较大小，但向量的模能比较大小B ．|a ⃑|与|b ⃑⃑|是否相等与a ⃑与b⃑⃑的方向无关 C ．若a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，则a ⃑//c ⃑D ．若向量AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上答案：AB分析：根据向量的定义以及向量模的定义可判断A ，B ；举反例b⃑⃑=0⃑⃑时可判断C ；由共线向量的定义可判断D ，进而可得正确选项.对于A ：向量即有大小又有方向不能比较大小，向量的模可以比较大小，故选项A 正确；对于B ：|a ⃑|与|b ⃑⃑|分别表示向量a ⃑与b ⃑⃑的大小，与a ⃑，b⃑⃑的方向无关，故选项B 正确；对于C ：当b ⃑⃑=0⃑⃑时，向量a ⃑与c ⃑可以是任意向量都满足a ⃑//b ⃑⃑，b ⃑⃑//c ⃑，故选项C 不正确；对于D ：若向量AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑与向量CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑是共线向量，表示AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑与CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑方向相同或相反，得不出A ，B ，C ，D 四点在一条直线上，故选项D 不正确；故选：AB.11、设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2cosAsinB =b 2sinAcosB ，则△ABC 的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形答案：AC分析：根据正弦定理和二倍角公式进行求解.∵a 2cosAsinB =b 2sinAcosB∴由正弦定理得sin 2AcosAsinB =sin 2BsinAcosB ，∵sinAcosA ≠0∴sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B∴2A =2B 或2A +2B =π，即该三角形为等腰三角形或直角三角形.故选：AC.填空题12、已知a ⃗,b ⃑⃑是空间两个向量，若|a ⃗|=2,|b ⃑⃗|=2,|a ⃗−b ⃑⃗|=√7，则cos 〈a ⃗,b⃑⃑〉＝________．答案：18 分析：根据向量几何法的模长公式，可得向量数量积的值，根据向量夹角余弦值的公式，可得答案.由|a ⃑−b ⃑⃑|=√7，可知(a ⃑−b ⃑⃑)2=7，则|a ⃑|2−2a ⃑⋅b⃑⃑+|b ⃑⃑|2=7， ∵|a ⃑|=2,|b ⃑⃑|=2，∴a ⃑⋅b ⃑⃑=12，则cos⟨a ⃑⋅b ⃑⃑⟩=a ⃑⃑⋅b ⃑⃑|a ⃑⃑|⋅|b ⃑⃑|=18. 所以答案是：18. 13、如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =2，DE =2EC ，M 为BC 的中点，若点P 在线段BD 上运动，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗的最小值为______.答案：2352 分析：构建直角坐标系，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗求P 的坐标，进而可得PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗，由向量数量积的坐标表示及二次函数的性质求最值即可.以A 为坐标原点，AB ，AD 分别为x ，y 建系，则E(2,2)，M(3,1)，又AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3,0)，AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(0,2)，令AP⃑⃑⃑⃑⃑⃗=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+(1−λ)AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3λ,2−2λ)，0≤λ≤1，故P(3λ,2−2λ)，则PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ,2λ)，PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(3−3λ,2λ−1)， PE⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(2−3λ)(3−3λ)+2λ(2λ−1) =13λ2−17λ+6，所以λ=1726时，PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃗⋅PM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗取最小值2352. 所以答案是：2352.14、海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得CD =45m ，∠ADB =135°，∠BDC =∠DCA =15°，∠ACB =120°，则AB 两点的距离为______m ．答案：45√5分析：先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。

向量高考经典试题(附详细答案)

向量高考经典试题一、选择题1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与bA ．垂直B ．不垂直也不平行C ．平行且同向D ．平行且反向解．已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，30300a b ⋅=-+=，则a 与b 垂直，选A 。

2、（文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a （）A ．1BC ．2D ．4【答案】:C 【分析】：2(3,)n -a b =，由2-a b 与b 垂直可得：2(3,)(1,)30n n n n ⋅-=-+=⇒= 2=a 。

3、（文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；答案：32；解析：1311122a a ab ⋅+⋅=+⨯⨯=， 4、（天津理10）设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(,sin ),2mb m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则mλ的取值围是( )A.[6,1]-B.[4,8]C.(,1]-∞D.[1,6]-【答案】A【分析】由22(2,cos )a λλα=+-,(,sin ),2mb m α=+2,a b =可得2222cos 2sin m m λλαα+=⎧⎨-=+⎩，设k m λ=代入方程组可得22222cos 2sin km m k m m αα+=⎧⎨-=+⎩消去m 化简得2222cos 2sin 22k k k αα⎛⎫-=+ ⎪--⎝⎭，再化简得22422cos 2sin 022k k αα⎛⎫+-+-= ⎪--⎝⎭再令12t k =-代入上式得222(sin 1)(16182)0t t α-+++=可得2(16182)[0,4]t t -++∈解不等式得1[1,]8t ∈--因而11128k -≤≤--解得61k -≤≤.故选A5、（理11）在直角ABC ∆中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是（A ）2AC AC AB =⋅ （B ） 2BC BA BC =⋅ （C ）2AB AC CD =⋅ （D ） 22()()AC AB BA BC CD AB⋅⨯⋅=【答案】:C.【分析】： 2()00AC AC AB AC AC AB AC BC =⋅⇔⋅-=⇔⋅=，A 是正确的，同理B 也正确，对于D 答案可变形为2222CD AB AC BC ⋅=⋅，通过等积变换判断为正确.6、（全国2 理5）在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，CD =CB CA λ+31,则λ=(A)32(B)31(C) -31(D) -32 解．在∆ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ，=CB CA λ+31，则22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-=1233CA CB +，4 λ=32，选A 。

高中数学必修四向量练习题(附解析)

向量专项练习参考答案一、选择题1．(文)(2014·月考)设向量a ＝(m,1)，b ＝(1，m )，如果a 与b 共线且方向相反，那么m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案]A[解析]设a ＝λb (λ<0)，即m ＝λ且1＝λm .解得m ＝±1，由于λ<0，∴m ＝－1. [点评]1.注意向量共线与向量垂直的坐标表示的区别，假设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 1，y 2)，那么a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，当a ，b 都是非零向量时，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，同时还要注意a ∥b 与x 1x 2＝y 1y 2不等价．2．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，假设存在实数λ，使得b ＝λa ，那么向量a 与b 共线(平行)． (2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，假设x 1y 2－x 2y 1＝0，那么向量a ∥b . (3)对于向量a ，b ，假设|a ·b |＝|a |·|b |，那么a 与b 共线．要注意向量平行与直线平行是有区别的．(理)(2013·荆州质检)向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，假设m a ＋n b 与a －2b 共线，那么mn＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－12D ．12[答案]C[解析]由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.2．(2014·期中)设a ，b 都是非零向量，以下四个条件中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝－13bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ⊥b[答案]A[解析]由题意得a |a |＝－b |b |，而a |a |表示与a 同向的单位向量，－b|b |表示与b 反向的单位向量，那么a 与b 反向．而当a ＝－13b 时，a 与b 反向，可推出题中条件．易知B ，C ，D都不正确，应选A.[警示]由于对单位向量、相等向量以与共线向量的概念理解不到位从而导致错误，特别对于这些概念：(1)单位向量a|a |，要知道它的模长为1，方向同a 的方向；(2)对于任意非零向量a 来说，都有两个单位向量，一个与a 同向，另一个与a 反向；(3)平面的所有单位向量的起点都移到原点，那么单位向量的终点的轨迹是个单位圆；(4)相等向量的大小不仅相等，方向也必须一样，而相反向量大小相等，方向是相反的；(5)相等向量和相反向量都是共线向量，但共线向量不一定是相等向量，也有可能是相反向量．3．(2015·执信中学期中)在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，假设PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，那么BC →＝( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)[答案]B[解析]由条件知，PC →＝2PQ →－PA →＝2(1,5)－(4,3)＝(－2,7)， ∵BP →＝2PC →＝(－4,14)， ∴BC →＝BP →＋PC →＝(－6,21)．4．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，那么四边形ABCD 为( )A ．平行四边形B ．矩形C ．梯形D ．菱形 [答案]C[解析]∵AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ＝2BC →， ∴四边形ABCD 为梯形．5．(文)(2014·模拟)设OB →＝xOA →＋yOC →，x ，y ∈R 且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，那么x ＋y ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．2 [答案]B[解析]如图，设AB →＝λAC →，那么OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →) ＝OA →＋λOC →－λOA →＝(1－λ)OA →＋λOC → ∴x ＝1－λ，y ＝λ，∴x ＋y ＝1.[点评]用向量来表示另外一些向量是用向量解题的根本功．在进展向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法那么进展求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用向量表示出来．(理)(2013·二模)a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，假设A ，B ，C 三点共线，那么点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案]B[解析]∵A ，B ，C 三点共线， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.那么x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy⇒xy ＝1，应选B.6．(2014·调研)如下图的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，那么OP →＋OQ →＝( )A.OH → B ．OG → C.EO → D ．FO →[答案]D[解析]由平行四边形法那么和图示可知，选D.二、填空题7．a ＝(2，－3)，b ＝(sin α，cos 2α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，假设a ∥b ，那么tan α＝________.[答案]－33[解析]∵a ∥b ，∴sin α2＝cos 2α－3，∴2cos 2α＝－3sin α，∴2sin 2α－3sin α－2＝0， ∵|sin α|≤1，∴sin α＝－12，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos α＝32，∴tan α＝－33. 8．(文)(2014·质检)如下图，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，假设AM →＝λAB →＋μAC →，那么λ＋μ＝________.[答案]12[分析]由B ，H ，C 三点共线可用向量AB →，AC →来表示AH →.[解析]由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH→＝12xAB →＋12(1－x )·AC →，又AM →＝λAB →＋μAC →.所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. [点评]应用平面向量根本定理表示向量的实质是利用平行四边形法那么或三角形法那么进展向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用．当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的．(理)(2014·二调)在△ABC 中，AC ＝1，AB ＝2，A ＝2π3，过点A 作AP ⊥BC 于点P ，且AP→＝λAB →＋μAC →，那么λμ＝________.[答案]1049[解析]由题意知AB →·AC →＝2×1×cos 2π3＝－1，∵AP ⊥BC ，∴AP →·BC →＝0，即(λAB →＋μAC →)·(AC →－AB →)＝0，∴(λ－μ)AB →·AC →－λAB →2＋μAC →2＝0，即μ－λ－4λ＋μ＝0，∴μ＝52λ，①∵P ，B ，C 三点共线，∴λ＋μ＝1，② 由①②联立解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝27μ＝57，即λμ＝27×57＝1049.9．(文)G 是△ABC 的重心，直线EF 过点G 且与边AB 、AC 分别交于点E 、F ，AE →＝αAB →，AF →＝βAC →，那么1α＋1β＝______.[答案]3[解析]连结AG 并延长交BC 于D ，∵G 是△ABC 的重心，∴AG →＝23AD →＝13(AB →＋AC →)，设EG →＝λGF →，∴AG →－AE →＝λ(AF →－AG →)，∴AG →＝11＋λAE →＋λ1＋λAF →，∴13AB →＋13AC →＝α1＋λAB →＋λβ1＋λAC →， ∴⎩⎪⎨⎪⎧α1＋λ＝13，λβ1＋λ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧1α＝31＋λ，1β＝3λ1＋λ，∴1α＋1β＝3.三、解答题10．(文)O (0,0)、A (2，－1)、B (1,3)、OP →＝OA →＋tOB →，求(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第四象限？ (2)四点O 、A 、B 、P 能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由． [解析](1)OP →＝OA →＋tOB →＝(t ＋2,3t －1)．假设点P 在x 轴上，那么3t －1＝0，∴t ＝13；假设点P 在y 轴上，那么t ＋2＝0，∴t ＝－2；假设点P 在第四象限，那么⎩⎪⎨⎪⎧t ＋2>03t －1<0，∴－2<t <13.(2)OA →＝(2，－1)，PB →＝(－t －1，－3t ＋4)．假设四边形OABP 为平行四边形，那么OA →＝PB →.∴⎩⎪⎨⎪⎧－t －1＝2－3t ＋4＝－1无解．∴四边形OABP 不可能为平行四边形．同理可知，当t ＝1时，四边形OAPB 为平行四边形，当t ＝－1时，四边形OPAB 为平行四边形．(理)向量a ＝(1,2)，b ＝(cos α，sin α)，设m ＝a ＋t b (t 为实数)． (1)假设α＝π4，求当|m |取最小值时实数t 的值；(2)假设a ⊥b ，问：是否存在实数t ，使得向量a －b 和向量m 的夹角为π4，假设存在，请求出t ；假设不存在，请说明理由．[解析](1)∵α＝π4，∴b ＝(22，22)，a ·b ＝322，∴|m |＝a ＋t b2＝5＋t 2＋2t a ·b＝t 2＋32t ＋5＝t ＋3222＋12，32 2时，|m|取到最小值，最小值为22.∴当t＝－。

高三数学向量专项练习题及答案

高三数学向量专项练习题及答案一、选择题1. 设向量a = (2, 3)、b = (4, -1)，则a + b的坐标表示为：A. (6, 2)B. (2, 2)C. (6, -2)D. (2, -2)答案：A. (6, 2)2. 设向量a = (3, 2)，则2a的坐标表示为：A. (3, 2)B. (6, 4)C. (2, 3)D. (6, 2)答案：B. (6, 4)3. 已知向量a = (5, -3)和b = (1, 2)，则向量a与向量b的数量积为：A. 5B. 1C. -7D. -1答案：C. -74. 向量a, b的夹角θ满足sinθ = 1/2，则θ的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C. 60°5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的面积为：A. 4B. 6C. 7D. 8答案：B. 6二、填空题1. 设向量a = (2, 5)，则|a|的值为________。

答案：sqrt(29)2. 设向量a与向量b的夹角θ满足cosθ = 1/√2，则θ的大小为________。

答案：45°3. 平面直角坐标系中，若点A(3, 4)到点B(-2, -3)的距离为√k，则k= ________。

答案：504. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，则向量a - b = (_______,_______)。

答案：(-2, 4)5. 平面上三点A(1, 2)，B(3, 4)，C(5, 1)所确定的三角形ABC的周长为________。

答案：约9.21三、解答题1. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (4, -1)，求向量a与向量b的数量积。

解答：向量a与向量b的数量积为：a·b = 2×4 + 3×(-1) = 8 - 3 = 5。

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）

含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）含解析高中数学《平面向量》专题训练30题（精）1．已知向量．（1）若，求x的值；（2）记，求函数y＝f（x）的最大值和最小值及对应的x的值．【答案】（1）（2）时，取到最大值3；时，取到最小值.【解析】【分析】（1）根据，利用向量平行的充要条件建立等式，即可求x的值．（2）根据求解求函数y＝f（x）解析式，化简，结合三角函数的性质即可求解最大值和最小值及对应的x的值．【详解】解：（1）∵向量．由，可得：，即，∵x∈[0，π]∴．（2）由∵x∈[0，π]，∴∴当时，即x＝0时f（x）max＝3；当，即时．【点睛】本题主要考查向量的坐标运用以及三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．2．已知中，点在线段上，且，延长到，使．设．（1）用表示向量；（2）若向量与共线，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）由向量的线性运算，即可得出结果；（2）先由(1)得，再由与共线，设，列出方程组求解即可.【详解】解：（1）为BC的中点，，可得，而（2）由（1）得，与共线，设即，根据平面向量基本定理，得解之得，．【点睛】本题主要考查向量的线性运算，以及平面向量的基本定理，熟记定理即可，属于常考题型.3．（1）已知平面向量、，其中，若，且，求向量的坐标表示；（2）已知平面向量、满足，，与的夹角为，且（+）（），求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）设，根据题意可得出关于实数、的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设，由，可得，由题意可得，解得或.因此，或；（2），化简得，即，解得4．已知向量，向量.（1）求向量的坐标；（2）当为何值时，向量与向量共线.【答案】（1）（2）【解析】【详解】试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;试题解析：（1）（2），∵与共线，∴∴5．已知向量与的夹角，且，．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出的值；（2）计算出的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得与的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得，；（2）设与的夹角为，则，因此，与的夹角的余弦值为.6．设向量,,记（1）求函数的单调递减区间；（2）求函数在上的值域．【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】分析：（1）利用向量的数量积的坐标运算式，求得函数解析式，利用整体角的思维求得对应的函数的单调减区间；（2）结合题中所给的自变量的取值范围，求得整体角的取值范围，结合三角函数的性质求得结果.详解：（1）依题意,得．由,解得故函数的单调递减区间是．（2）由（1）知,当时,得,所以,所以,所以在上的值域为．点睛：该题考查的是有关向量的数量积的坐标运算式，三角函数的单调区间，三角函数在给定区间上的值域问题，在解题的过程中一是需要正确使用公式，二是用到整体角思维.7．在中，内角，，的对边分别是，，，已知，点是的中点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求中线的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）由正弦定理，已知条件等式化边为角，结合两角和的正弦公式，可求解；（2）根据余弦定理求出边的不等量关系，再用余弦定理把用表示，即可求解；或用向量关系把用表示，转化为求的最值.【详解】（Ⅰ）由已知及正弦定理得.又，且，∴，即.（Ⅱ）方法一：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴在和中，由余弦定理得，，①.②由①②，得，当且仅当时，取最大值.方法二：在中，由余弦定理得，∵，当且仅当时取等号，∴.∵是边上的中线，∴，两边平方得，∴，当且仅当时，取最大值.【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在三角形中应用，考查基本不等式和向量的模长公式的灵活运用，是一道综合题.8．已知平面向量，.(1)若，求的值；(2)若，与共线，求实数m的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】（1）求出，即可由坐标计算出模；（2）求出，再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)，所以；(2)，因为与共线，所以，解得m＝4.9．已知向量．（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若，求向量与夹角的大小．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出的坐标，再根据，可得，即可求出，再根据向量模的坐标表示计算可得；（Ⅱ）首先求出的坐标，再根据计算可得；【详解】解：（Ⅰ）因为，所以，由，可得，即，解得，即，所以；（Ⅱ）依题意，可得，即，所以，因为，所以与的夹角大小是．10．如图，在中，，，，，.（1）求的长；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将用和表示，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值，即可得出的长；（2）将利用和表示，然后利用平面向量数量积的运算律和定义计算出的值．【详解】（1），，，，，，.；（2），，，.【点睛】本题考查平面向量模与数量积的计算，解题的关键就是选择合适的基底将题中所涉及的向量表示出来，考查计算能力，属于中等题.11．如图所示，在中，，，，分别为线段，上一点，且，，和相交于点.（1）用向量，表示；（2）假设，用向量，表示并求出的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）把放在中，利用向量加法的三角形法则即可；（2）把，作为基底，表示出，利用求出.【详解】解：由题意得，，所以，（1）因为，，所以.（2）由（1）知，而而因为与不共线，由平面向量基本定理得解得所以，即为所求.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.12．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求k；（2）求，；（3）求与的夹角的余弦值【答案】（1）；（2），；（3）.【解析】【分析】（1）利用向量共线定理即可求解.（2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模.（3）利用向量数量积即可夹角余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以.（2），，（3）.13．已知.（1）当为何值时，与共线（2）当为何值时，与垂直？（3）当为何值时，与的夹角为锐角？【答案】（1）；（2）；（3）且.【解析】【分析】（1）利用向量共线的坐标表示：即可求解.（2）利用向量垂直的坐标表示：即可求解.（3）利用向量数量积的坐标表示，只需且不共线即可求解.【详解】解：（1）.与平行，，解得.（2）与垂直，，即，（3）由题意可得且不共线，解得且.14．如图，在菱形ABCD中，，．（1）若，求的值；（2）若，，求．（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由向量线性运算即可求得值；（2）先化，再结合（1）中关系即可求解；（3）由于，，即可得，根据余弦值范围即可求得结果．【详解】解：（1）因为，，所以，所以，，故．（2）∵，∴∵ABCD为菱形∴∴，即．（3）因为，所以∴的取值范围：．【点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算；(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．15．已知，，与夹角是．（1）求的值及的值；（2）当为何值时，？【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义及其向量的运算性质，即可求解；（2）由于，可得，利用向量的数量积的运算公式，即可求解．【详解】（1）由向量的数量积的运算公式，可得，.（2）因为，所以，整理得，解得．即当值时，．【点睛】本题主要考查了数量积定义及其运算性质、向量垂直与数量积的关系，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，以及向量垂直的坐标运算是解答的关键，着重考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．设向量（I）若（II）设函数【答案】（I）（II）【解析】【详解】(1)由＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值 1.所以f(x)的最大值为.17．化简．（1）．（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果；（2）利用平面向量加法的三角形法则化简可得所求代数式的结果.【详解】（1）；（2）.18．已知点,,，是原点.（1）若点三点共线，求与满足的关系式；（2）若的面积等于3，且,求向量.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】(1)由题意结合三点共线的充分必要条件确定m,n满足的关系式即可；(2)由题意首先求得n的值，然后求解m的值即可确定向量的坐标.【详解】（1），，由点A，B，C三点共线，知∥，所以，即；（2）由△AOC的面积是3，得，，由，得，所以，即,当时，，?解得或，当时，，方程没有实数根，所以或．【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19．如图，在直角梯形中，为上靠近B的三等分点，交于为线段上的一个动点．（1）用和表示；（2）求；（3）设，求的取值范围．【答案】(1)；(2)3；(3).【解析】【分析】(1)根据给定条件及几何图形，利用平面向量的线性运算求解而得；(2)选定一组基向量，将由这一组基向量的唯一表示出而得解；(3)由动点P设出，结合平面向量基本定理，建立为x的函数求解.【详解】(1)依题意，，，；(2)因交于D，由(1)知，由共起点的三向量终点共线的充要条件知，，则，，；(3)由已知，因P是线段BC上动点，则令，，又不共线，则有，，在上递增，所以，故的取值范围是.【点睛】由不共线的两个向量为一组基底，用该基底把相关条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．20．设向量满足，且．（1）求与的夹角；（2）求的大小.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由已知得，展开求得，结合夹角公式即可求解；（2）由化简即可求解．【详解】（1）设与的夹角为θ由已知得，即，因此，得，于是，故θ=，即与的夹角为；（2）由．21．已知，，(t∈R)，O是坐标原点．（1）若点A，B，M三点共线，求t的值；（2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值．【答案】（1）t；（2）当t时，?的最小值为.【解析】【分析】（1）求出向量的坐标，由三点共线知与共线，即可求解t的值．（2）运用坐标求数量积，转化为函数求最值．【详解】（1），，∵A，B，M三点共线，∴与共线，即，∴，解得：t.（2），，，∴当t时，?取得最小值．【点睛】关键点点睛：（1）由三点共线，则由它们中任意两点构成的向量都共线，求参数值.（2）利用向量的数量积的坐标公式得到关于参数的函数，即可求最值及对应参数值.22．设向量，，.(1)求；(2)若，，求的值；(3)若，，，求证：A，，三点共线.【答案】(1) 1(2)2(3)证明见解析【解析】【分析】（1）先求，进而求；（2）列出方程组，求出，进而求出；（3）求出，从而得到，得到结果.(1)，；(2)，所以，解得：，所以；(3)因为，所以，所以A，，三点共线.23．在平面直角坐标系中，已知，.（Ⅰ）若，求实数的值；（Ⅱ）若，求实数的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）求出向量和的坐标，然后利用共线向量的坐标表示得出关于的方程，解出即可；（Ⅱ）由得出，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数的方程，解出即可.【详解】（Ⅰ），，，，，，解得；（Ⅱ），，，解得.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查利用共线向量和向量垂直求参数，考查计算能力，属于基础题.24．在中，，，，点，在边上且，.（1）若，求的长；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先设，，根据题意，求出，，再由向量模的计算公式，即可得出结果；（2）先由题意，得到，，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到，即可求出结果.【详解】（1）设，，则，，因此，所以，，（2）因为，所以，同理可得，，所以，∴，即，同除以可得，.【点睛】本题主要考查用向量的方法求线段长，考查由向量数量积求参数，熟记平面向量基本定理，以及向量数量积的运算法则即可，属于常考题型.25．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求与的夹角及与的夹角．【答案】（1），；（2），．【解析】【分析】（1）由、，结合平面向量数量积的运算即可得解；（2）记与的夹角为，与的夹角为，由平面向量数量积的定义可得、，即可得解.【详解】（1）因为向量，，，且，所以，所以，又，所以；（2）记与的夹角为，与的夹角为，则，所以．，所以．【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.26．平面内给定三个向量，，.（1）求满足的实数，；（2）若，求实数的值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）依题意求出的坐标，再根据向量相等得到方程组，解得即可；（2）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示计算可得；【详解】解：（1）因为，，，且，，，，.，解得，.（2），，，.，，，.，解得.27．如图，已知中，为的中点，，交于点，设，．（1）用分别表示向量，；（2）若，求实数t的值．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用分别表示向量，；（2）用分别表示向量，，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，为的中点，，可得，，．∵，∴，∴（2）∵，∴∵，，共线，由平面向量共线基本定理可知满足，解得．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.28．已知，向量，.（1）若向量与平行，求k的值；（2）若向量与的夹角为钝角，求k的取值范围【答案】（1）或；（2）.【解析】（1）利用向量平行的坐标表示列式计算即得结果；（2）利用，且不共线，列式计算即得结果.【详解】解：（1）依题意，，，又，得，即解得或；（2）与的夹角为钝角，则，即，即，解得或.由（1）知，当时，与平行，舍去，所以.【点睛】思路点睛：两向量夹角为锐角（或钝角）的等价条件：（1）两向量夹角为锐角，等价于，且不共线；（2）两向量夹角为钝角，等价于，且不共线.29．已知．(1)若，求的值；(2)若，求向量在向量方向上的投影．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先得到，根据可得,即可求出m；（2）根据求出m=2,再根据求在向量方向上的投影.【详解】；；；；；；；在向量方向上的投影为．【点睛】本题主要考查了向量坐标的加法和数量积的运算，向量垂直的充要条件及向量投影的计算公式，属于中档题.30．平面内给定三个向量.（1）求；（2）求满足的实数m和n；（3）若，求实数k.【答案】（1）6；（2）；（3）.【解析】（1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可；（2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果；（3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可.【详解】解：（1）由，得，；（2），，，，故，解得；（3），，，，，，即，解得.【点睛】结论点睛：若，则等价于；等价于.试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页。

(完整版)向量相关练习题及答案

向量相关练习一：选择题（共12题，每题5分，共60分）1．设向量,,a b c 满足0a b c ++=,,||1,||2a b a b ⊥==,则2||c = （）A ．1 B.2 C.4 D.52． O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足)||||(AC AB OA OP +=λ，[)∞∈＋，0λ，则P 的轨迹一定通过△ABC 的（）A.外心B.内心C.重心D.垂心3.已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=（）A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10） 4、已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（） A. －1 B. 1 C. －2 D. 25．已知向量a b 、满足1,4,a b ==，且2a b =，则a 与b 的夹角为 ( )A ．6π B ．4πC ．3πD ．2π6．设向量a=(1, －2),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为( )A.(2,6)B.(－2,6)C.(2,－6)D.(－2,－6) 7.如图，在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（）A.→--AB ＝→--DCB.→--AD ＋→--AB ＝→--AC C.→--AB －→--AD ＝→--BD D.→--AD ＋→--CB ＝→8.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F. 若a AC =, b BD =,则=AF （） A ．1142a b + B.2133a b + C.1124a b + D. 1233a b +9.已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =m x －7与线段M 1M 2的交点分有向线段M 1M 2的比为3：2，则m 的值为 A 32- B 23- C14D 4 10.点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v =-（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为v 个单位）．设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（） A （-2，4） B （-30，25） C （10，-5） D （5，-10）11. （2007上海）直角坐标系xOy 中，i j ，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角形ABC 中，若j k i AC j i AB+=+=3,2，则k 的可能值个数是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．412.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =2,CE EA =2,AF FB =则AD BE CF ++与BC ( ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直二：填空题（共四题，每题4分，共14分）ABD13.若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则a b+的值等于_________.14．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，且|AB|＝3，则OB OA ⋅ ＝ 15．已知向量(1,0),(1cos ,sin ) OA OB θθ==+，则向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是[,]32ππ．16.关于平面向量，，a b c ．有下列三个命题：①若a b =a c ，则=b c ．②若(1)(26)k ==-，，，a b ，∥a b ，则3k =-。

高中数学关于向量问题的经典试题(含答案)

解得A=л/4
又三角形ABC的面积S=bcsinA/2=3
得bc=62
因为b+c=2+32
所以cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
=[(b+c)^2-2bc-a^2]/2bc
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
高中数学关于向量问题的经典试பைடு நூலகம்（含答案）
高中数学经典试题：已知向量a=(sinx，cosx)，b=(6sinx+cosx，7sinx-2cosx)，设函数f(x)=a*b.(1)求函数f(x)的最大值(2)在锐角三角形ABC中A，B，C的对边分别为a，b，c，f(A)=6，且三角形ABC的面积为3，b+c=2+3根号2，求a值
高中数学经典试题答案
f(x)=6(sinx)^2+sinxcosx+7sinxcosx-2(cosx)^2
=6*(1-cos2x)/2+4sin2x-(1+cos2x)
=4sin2x-4cos2x+2
=42sin(2x-л/4）+2
(1)f(x)=42+2
(2)由f(A)=6可得42sin(2x-л/4）+2=6
解得a^2=10，即a=10
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。

高中数学经典题型-向量大题第1专辑(含详细答案)

D M
因为 N 在 AC 上，因为 O 是对角线的交点，所以 AO=CO（注意：AO,CO 这里是长度，不是向量）则 ON= 1 1 OC= AC 3 6 1 1 2 AC+ AC = AC, 2 6 3
AN=AO+ON =
→ 2 → 也就是： AN= AC -------------④ 3 在三角形 ABC 中， C A B → → → → → → 注意三个向量的箭头方向，得：AC= AB + BC,已知AB=a，BC= AD =b → 即：AC= a + b ----------------⑤ → 2 又④⑤知， AN= （a + b ） 3 → → → （2）求MN，在三角形 NOM 中，必须先求出MO、ON,
（2）3b，就是 b 方向不变，延长 3 倍，3b 的长度为 3，如下图。
（3）【特别提示】a+3b，并不是 a 与 3b 的收尾相连，a 与 3b 的收尾相连，恰恰是 a-3b。要想得到 a+3b，就得作 a 的平行向量，怎么做？就是从 3b 的末端，即 3b 的箭头，作 a 的平行线，其长度等于 1，如下图：
高中数学经典题型
向量
第一辑
【编著】黄勇权
【第 1 题】已知 a，b 均为单位向量，它们的夹角为 60°，那么|a＋3b|＝(
A、 7 B、 10 C、 13 D、4
)
解：手把手教你
对于向量，要学会画图，画好图，题就简单多了。
（1） a，b 均为单位向量，所以 a 与 b 的长度是 1，而且它们的夹角为 60°，按照题意画好图。
【第 9 题】已知向量 a＝(3x+3，x)，b＝(x＋1,2)，其中，x＞0，若 a∥b，

高中数学平面向量专项测试(含答案)

高中数学平面向量专项测试（含答案）一、单选题（本大题共14小题，共70.0分）1. 设x R ∈，向量()(),1,1,2a x b ==-，且a b ⊥，则()a = A. 5 B. 25 C. 10 D. 102. ABC 中，点P 满足(),AP t AB AC BP AP CP AP =+⋅=⋅，则ABC 一定是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形 3. 若则，那么下面关于的判断正确的是() A.B. C. D.4. 若O 是ABC 所在平面内一点，且满足|||2|OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形 5. 已知向量(2,1)a =，(,2)b x =-，若//a b ，则a b +等于() A. (2,1)-- B. (2,1) C. (3,1)- D. (3,1)- 6. 已知||1a =，||2b =，且()a a b ⊥-，则向量a 与向量b 的夹角为()A. 6πB. 4πC. 3πD. 23π 7. 已知向量a ，b 满足||1a =，2b =，5a b -=，则2()a b -=A. 2B. 5C. 6D. 258. 已知向量(1,2)a =，(,4)b x =-，若//a b ，则a b ⋅等于() A. 10- B. 6- C. 0 D. 69. 已知O 为正ABC 内的一点，且满足(1)0OA OB OC λλ+++=，若OAB 的面积与OBC 的面积的比值为3，则λ的值为()A. 12B. 52C. 2D. 3 10. 已知下面四个命题：①0AB BA +=；②AB BC AC +=；③AB AC BC -=；④00.AB ⋅=其中正确的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 已知向量(1,)a k =，(2,2)b =，且a b +与a 共线，那么k 的值为()A. 1B. 2C. 3D. 412. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒，则()BD CD ⋅=A. 232a -B. 234a -C. 234a D. 232a13. 如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，若AB a =，AD b =，则()AF =A. 1124a b -B. 1142a b + C. 1124a b +D. 14二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）14. 已知(3,1)a =-，(1,2)b =-，则正确的有()A. 5a b ⋅=B. 与a 共线的单位向量是31010(,)1010-C. a 与b 的夹角为4πD. a 与b 平行15. 下列命题中正确的是()A. 若a b =，则32a b >B. BC BA DC AD --=C. 若向量,a b 是非零向量，则||||||a b a b a +=+⇔与b 方向相同D. 若//a b ，则存在唯一实数λ使得a b λ=三、单空题（本大题共8小题，共40.0分）16. 已知1e →，2e 是平面单位向量，且1212e e →⋅=，若平面向量b 满足121b e b e →⋅=⋅=，则||b =______. 17. 已知向量(2,1),(3,2),a b ==-若()(2),a b a b λ+⊥-则λ= ______.18. 在Rt OAB ∆中，90O ∠=︒，13OE OA =，23OF OB =，连接AF ，BE 相交于点M ，若OM OA OB λμ=+，则_____.λμ+=19. 已知向量a ，b ，||3a =，2a b ⋅=，则()a a b ⋅-=______ .20. 在边长为2正三角形ABC 中，D 为BC 边中点，则AD =______________21. 已知点(4,1)A ，(1,5)B ，则与向量AB 共线的单位向量为__________.22. 如图，11AB C ∆，122C B C ∆，233C B C ∆是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边33B C 上有2个不同的点1P ，2P ，则()212AB AP AP ⋅+=______.23. 已知1e ，2e 是平面单位向量，且，若平面向量b 满足121b e b e ⋅=⋅=，则||b =________.四、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 24. 已知点(0,0)O ，(1,2)A ，(4,5)B 及OP OA t AB =+⋅，试问：(1)当t 为何值时，P 在x 轴上．(2)若OB OP ⊥，求t 的值25. 已知向量，，向量与夹角为，(1)求；(2)求在的方向上的投影.26. 已知||4a =，||3b =，()()23261.a b a b -⋅+= (1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a b +和||a b -27. 已知||4a =，||3b =，(23)(2)61.a b a b -⋅+=(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求||a b +；答案和解析1.【答案】A解：因为a b ⊥ ，所以()1120x ⨯+⨯-=，解得2x =，因此22215a →=+=2.【答案】B【解析】试题分析：设D 是BC 中点，由()AP t AB AC =+可得点P 在三角形ABC 的中线AD 所在直线上．再由BP AP CP AP ⋅=⋅，可得AP BC ⊥，从而得到三角形ABC 的边BC 上的中线与高线重合，可得三角形ABC 是等腰三角形．()AP t AB AC =+，设D 是BC 中点，则2AB AC AD +=，2AP t AD ∴=⋅，故点P 在三角形ABC 的中线AD 所在直线上．BP AP CP AP ⋅=⋅，()0AP BP CP ∴⋅-=，即0AP BC ⋅=，即.AP BC ⊥即AP BC ⊥，故三角形ABC 的边BC 上的中线与高线重合，所以，三角形ABC 是等腰三角形，其中AB AC =，3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】A解：根据题意，向量(2,1)a =，(,2)b x =-，若//a b ，则有12(2)x ⋅=⋅-，即4x =-，即(4,2)b =--，则(2,1)a b +=--，6.【答案】B解：()a a b ⊥-；()0a a b ⋅-=；11cos ,0a b ∴-<>=； 2cos ,2a b ∴<>=； ∴向量a 与b 的夹角为.4π 7.【答案】A解：向量a ，b 满足||1a =，||2b =，a b →→-=可得22221425a b a b a b a b →→→→→→→→-=+-⋅=+-⋅=，解得0a b ⋅=，所以2222448a b a b a b →→→→→→-=+-⋅=，所以2a b →→-=8.【答案】A 解：向量(1,2)a =，(,4)b x =-，//a b ，420x ∴--=， 2.x ∴=-则82810a b x ⋅=-=--=-，9.【答案】C解：(1)0OA OB OC λλ+++=，变为()0.OA OC OB OC λ+++=如图，D ，E 分别是对应边的中点，由平行四边形法则知()2,2OA OC OE OB OC OD λλ+=+=，故OE OD λ=-①，//DE AB ，在正三角形ABC 中， 1111133263OBC AOB ABC ABC BEC S S S S S ==⨯==，且OBC 与BEC 同底边BC ，故O 点到底边BC 的距离等于E 到底边BC 的距离的三分之一，2OE OD ∴=-，由①②得 2.λ=10.【答案】C解：对于①，AB 与BA 是互为相反向量，0AB BA ∴+=，正确；对于②，根据向量的三角形合成法则知AB BC AC +=，正确；对于③，根据向量的减法法则知AB AC CB -=，AB AC BC ∴-=错误；对于④，根据平面向量数量积的定义知00AB ⋅=正确．综上，正确的命题是①②④．11.【答案】A解：(1,)a k =，(2,2)b =，(3,2)a b k ∴+=+，又a b +与a 共线，1(2)30k k ∴⨯+-=，解得： 1.k =12.【答案】D 解：菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=︒， 22BA a ∴=，21cos602BA BC a a a ⋅=⋅⋅︒=， ()BD CD BA BC CD ∴⋅=+⋅， 2BA BA BC =+⋅， 23.2a = 13.【答案】C解：由已知E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则111222BE BC AD b ===，12AF AE =，因为12AE AB BE AB BC =+=+，BC AD b ==，则1122AE AB AD a b =+=+，所以11111.22224AF AE a b a b ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭14.【答案】AC解：A ：31(1)(2)5a b ⋅=⨯+-⨯-=，A ∴正确，B ：22||3(1)10a =+-=，∴与a 共线的单位向量为31010(,)1010-或31010(,)1010-，B ∴错误， C ：22||3(1)10a =+-=，22||1(2)5b =+-=，cos a ∴<，522||||105a b b a b ⋅>===⋅⋅， a <，[0,]b π>∈，a ∴<，4b π>=，C ∴正确，D ：3(2)(1)1⨯-≠-⨯，a ∴ 与b 不平行，D ∴错误，15.【答案】BC解：向量不能比较大小，所以A 不正确；BC BA DC BC CD AB BD AB AD --=++=+=，所以B 正确；若向量,a b 是非零向量，则||||||a b a b a +=+⇔与b 方向相同，所以C 正确；若//a b ，当0b ≠时，则存在唯一实数λ使得a b λ=，所以D 不正确.16.【答案】233解：1e →，2e 是平面单位向量，且1212e e →⋅=，1e →∴，2e 夹角为60︒，向量b 满足121b e b e →⋅=⋅=b ∴与1e →，2e 夹角相等，且为锐角，b ∴应该在1e ，2e 夹角的平分线上，即b <，1e b →>=<，230e >=︒，||1cos301b ⨯⨯︒=，23||3b ∴= 17.【答案】29解：向量(2,1)a =，(3,2)b =-，且2a b a b λ→→→→⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1,3,243,22a b a b λλλ→→→→+=--=+-， 4366290λλλ--+-=-=，解得29λ=， 18.【答案】57解：如下图，因为13OE OA =，23OF OB =，所以32OM OA OB OA OF λμλμ→→→→→=+=+，3OM OA OB OE OB λμλμ→→→→→=+=+，又 A ，M ，F 和B ，M ，E 三点共线，所以31231λμλμ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得1747λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以5.7λμ+= 19.【答案】7解：向量a ，b ，||3a =，2a b ⋅=，则2()927.a a b a a b ⋅-=-⋅=-=20.解：边长为2的等边ABC ， ||2AB →∴=，2AC →=，,60AB AC →→=︒， ()12AD AB AC =+ 2222AB AC AB AB AC AC →→→→→→∴+=+⋅+ 4222cos604=+⨯⨯⨯︒+ 444=++12.= ()1 3.2AD AB AC =+= 21.【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭解：(4,1)A ，(1,5)B ，()3,4.AB ∴=-(5AB ∴=-=，∴与向量AB 共线的单位向量是()1343,4,.555ABAB ⎛⎫±=±-=±- ⎪⎝⎭ 22.【答案】9解：由图可知，2330B AC ∠=︒，又2260AC B ∠=︒，222AB B C ∴⊥，又2233//B C B C ，233AB B C ∴⊥，2330AB C B ∴⋅=；2122331332()[()()]AB AP AP AB AC C P AC C P ∴⋅+=⋅+++，2323323233AB AC AB mC B AB AC AB nC B =⋅+⋅+⋅+⋅，232AB AC =⋅，23cos30=⨯︒，9.=23.【答案】2解： 12,e e →→ 是平面单位向量，且121,2e e →→=-，则12,e e →→的夹角为120︒，因为平面向量 b → 满足121b e b e →→→→⋅=⋅= ，所以 b →与12,e e →→夹角相等，且为锐角，则b →应该在12,e e →→夹角的平分线上，即12,,60b e b e →→→→==︒，1cos 601b →⨯⨯︒= 则2b →=，24.【答案】解：由已知可得(1,2)OA =，(3,3)AB =，所以(13,23)OP OA t AB t t =+⋅=++，(1)当P 在x 轴上时，230t +=，解得23t =-； (2)若OB OP ⊥，则若0OB OP ⋅=，所以4(13)5(23)0t t +++=，即14270t +=，解得14.27t =- 25.【答案】解：(1)2(2)348a b →→⋅=⨯-+⨯=，a →==b →==cos 65a ba b θ→→→→⋅∴==⋅(2)b →在a →的方向上的投影为cos 6513b θ→==26.【答案】解：(1)(23)(2)61a b a b →→→→-⋅+=， 2244361a a b b →→→→∴-⋅-=，||4a →=，||3b →=，2244443cos 3361θ∴⨯-⨯⨯-⨯=， ∴解得1cos 2θ=-，120θ∴=︒ ；222(2)||216243cos120913a b a a b b →→→→→→+=+⋅+=+⨯⨯︒+=，||a b →→∴+=∴同理可得||a b →→-=27.【答案】解：(1)由(23)(2)61a b a b -⋅+=，得2244361a a b b -⋅-=，将||4a =，||3b =，代入，整理得6a b ⋅=-； 61(2)cos 432||||a b a b θ⋅-===-⨯，又0θπ，所以23πθ=，2222||243a b a a b b +=+⋅+=+。

(完整版)平面向量专项训练(含答案)

平面向量专题训练知识点回顾1．向量的三种线性运算及运算的三种形式。

向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。

主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法→--OA +→--OB =→--OC→--OB -→--OA =→--AB记→--OA =(x 1,y 1)，→--OB =(x 1,y 2) 则→--OA +→--OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)AB OB --→=u u u r -→--OA =（x 2-x 1,y 2-y 1）→--OA +→--AB =→--OB实数与向量的乘积→--AB =λ→aλ∈R记→a =(x,y) 则λ→a =(λx,λy)两个向量的数量积→a ·→b =|→a ||→b | cos<→a ,→b >记→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2) 则→a ·→b =x 1x 2+y 1y 2（3）两个向量平行：设a =（x 1,y 1），b =(x 2,y 2)，则a ∥b ⇔a b λ=r r⇔x 1y 2-x 2y 1=0（4）两个向量垂直：设→a =(x 1,y 1), →b =(x 2,y 2)，则→a ⊥→b⇔a 0b •=r r ⇔x 1x 2+y 1y 2=0 课堂精练一、选择题1. 已知平面向量a =,1x （），b =2,x x （－），则向量+a b ( )A 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线C.平行于y 轴D.平行于第二、四象限的角平分线2. 已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =（） A ．77(,)93 B ．77(,)39-- C ．77(,)39 D ．77(,)93--ECBA 3.已知向量(1,0),(0,1),(),a b c ka b k R d a b ===+∈=-，如果//c d 那么 ( ) A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向 4已知平面向量(11)(11)==-，，，a b ，则向量1322-=a b （）Ａ．(21)--，Ｂ．(21)-，Ｃ．(10)-，Ｄ．(12)，5.设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r，则（）A.0PA PB +=u u u r u u u r rB.0PC PA +=u u u r u u u r rC.0PB PC +=u u u r u u u r rD.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r6.已知向量a = (2,1)，a ·b = 10，︱a + b ︱=b ︱=（） 7.设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c bc -•-的最小值为( )A.2-2C.1-D.18已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与b 垂直，则=a（）A ．1BC ．2D ．49平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b= 则2ab +=( )B.10.若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=( )A.3a+bB. 3a-bC.-a+3bD. a+3b11.如图1， D ，E ，F 分别是∆ABC 的边AB ，BC ，CA 的中点，则 ( )A ．0AD BE CF ++=u u u r u u u r u u u r rB ．0BD CF DF -+=u u u r u u u r u u u r rC ．0AD CE CF +-=u u u r u u u r u u u r rD ．0BD BE FC --=u u u r u u u r u u u r r12.已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，那么（）Ａ．AO OD =u u u r u u u rＢ．2AO OD =u u u r u u u rＣ．3AO OD =u u u r u u u rＤ．2AO OD =u u u r u u u r13.设非零向量a 、b 、c 满足c b a c b a =+==|,|||||，则>=<b a ,( )A ．150° B.120° C.60° D.30°14.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -垂直，则实数λ的值为( )A.17-B.17C.16-D.1615.已知1,6,()2==-=g a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是（）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π16.已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（） A ．-2B ．0C ．1D ．217.在ABC △中，AB =u u u r c ，AC =u u u r b ．若点D 满足2BD DC =u u u r u u u r ，则AD =u u u r （）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b c D ．1233+b c 18.在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若(2,4)AB =u u u r ，(1,3)AC =u u u r ,则BD =u u u r （）A ．（－2，－4）B ．（－3，－5）C ．（3，5）D ．（2，4）19.设)2,1(-=,)4,3(-=,)2,3(=则=⋅+)2( （）A.(15,12)-B.0C.3-D.11- 二、填空题1.若向量a r ，b r 满足12a b ==r r ，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +=r r ．2.设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ3.已知向量a 与b 的夹角为120o，且4==a b ，那么(2)+gb a b 的值为4.已知平面向量(2,4)a =r ，(1,2)b =-r ．若()c a a b b =-⋅r r r r r ，则||c =r____________．5.a r ，b r 的夹角为120︒，1a =r，3b =r 则5a b -=r r ．6.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是7.若向量a 、b 满足b a b a 与,1==的夹角为120°，则b a b a ··+＝8.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ， (,2)c k =r ，若()a c b -⊥r r r则k = ．9.已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r ，若()a c -r r∥b r ，则k = ．10.在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC,AD ∥BC,已知点A(－2，0)，B （6，8），C(8,6),则D 点的坐标为__________.平面向量专题训练答案：一选择题1 C2 D3 D 4Ｄ 5 B 6 C 7 D 8 Ｃ 9 B 10 B11 A 12 Ａ 13 B 14 A 15 C 16 D 17 A 18 B 19 C 二填空题2 23 0 _4 285 76 -37 -18 09 5 10_（0，－2）。

高中数学经典向量选择题(含答案)

2021-2021学年度10月考卷1．在ABC ∆中，10BC ,2AC ,3AB ===，那么CA AB ⋅= 〔〕 A ．23 B ．32 C ．32- D ．23- 【答案】D 【解析】试题分析：根据题意，得4132210942cos 222=⨯⨯-+=⨯⨯-+=ABAC BC AB AC A ，所以13cos 2342CA AB CA AB A ⋅=-=-⨯⨯=-.应选D. 考点：余弦定理，向量的数量积. 2．以下向量中不是单位向量的是〔〕A ．()1,0-B ．()1,1-C ．()cos ,sin ααD ．a a〔0a ≠〕【答案】B 【解析】试题分析：单位向量的模是单位1，B 选项中21122=+，故B 选项不是单位向量.选B.考点：单位向量.3．平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0)a =，||2b =，那么|2|a b +=〔〕A B C ．7 D ．3 【答案】A 【解析】试题分析：∵平面向量a 与b 的夹角为23π，(3,0)a =，||2b =，∴21||||cos 32()332a b a b π•=•=⨯⨯-=-，∴222|2(2)4494a b a b a b a b +=+=++•=+⨯=应选A.考点：平面向量数量积的运算.4．平面向量(1,2)=a ，(2,)y =b ，且//a b ，那么2+a b =〔〕 A ．(5,6)- B ．(3,6) C ．(5,4) D ．(5,10) 【答案】D【解析】试题分析：由，2,4,12yy ==所以，2(1,2)2(2,4)(5,10)a b +=+=，应选D .考点：1.共线向量；2.平面向量的坐标运算.5．(3,2),(1,0)a b =- =- ，向量a b λ+ 与b 垂直，那么实数λ的值为〔〕 A ．3- B ．3 C ．13- D ．13【答案】A 【解析】试题分析：因为()()3,2,1,0,a b =-=- 所以()3,2a b λλ+=--又向量a b λ+ 与b 垂直，所以，()0a b b λ+⋅=，即()()310λ--⋅-=，解得：3λ=-应选A ．考点：向量的数量积的应用．6．向量AB 与AC 的夹角为120°,且32==,假设AC AB AP +=λ,且0)(=-⋅AB AC AP ，那么实数λ的值为〔〕A ．73 B ．712C ．6D ．13 【答案】B 【解析】试题分析：由题设cos ,23cos1203AB AC AB AC AB AC ⋅=⋅⋅<>=⨯⨯=- 所以由0)(=-⋅AB AC AP 得：()()0AB ACAC AB λ+-=所以，()2210AB AB AC AC λλ-+-⋅+= 所以，()43190λλ---+= ，解得：127λ= 应选B.考点：向量的数量积.7．向量(2,3)p =-，(,6)q x =且//p q ，那么||p q +的值为A B C ．5 D ．13 【答案】B 【解析】试题分析：由题意结合向量共线的充要条件可得：2×6-〔-3〕x=0，解得x=-4 故=+q p =〔-2，3〕，应选C考点：１．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；２．平面向量共线〔平行〕的坐标表示．8．m (),2a =-，n ()1,1a =-，那么 “a＝2〞是“m //n 〞的〔〕 A ．充要条件 B ．充分而不必要条件 C ．必要而不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：由m //n 2,,10)2(1)1(=-=⇔=-⨯--⇔a or a a a ，故知“a＝2〞是“m //n 〞的充分而不必要条件，应选Ｂ．考点：1．向量平行的条件；2．充要条件．9．O 是平面上的一个定点，A ，B ，C ，是平面上不共线三个点，动点P 满足),0(),cos ||cos ||(+∞∈++=λλCAC AC BAB AB OA OP ，那么动点P 的轨迹一定通过△ABC 的〔〕A.重心B.垂心C.外心D.内心【答案】B 【解析】试题分析：如下图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D 点．那么()cos cos cos BC AB B AB BC BC AB BAB Bπ-⋅==-,同理cos AC BC BC AC C⋅=,∵动点P 满足),0(cos ||cos ||(+∞∈+=λλCAC BAB OA OP∴),0(cos ||cos ||(+∞∈=λλC AC AC BAB AB AP∴(0cos ||cos ||(=+==BC BC CAC BC AC BAB BC AB BC AP λλ所以BC AP ⊥,因此P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心．考点：向量的线性运算性质及几何意义 .10．向量,a b 的夹角为45︒，且1a =，210a b -=，那么b =〔〕2 B.2 C.2 D.32【答案】D. 【解析】试题分析：∵|2|10a b -=，∴2222|2|(2)4410a b a b a a b b -=-=-⋅+=，即2||22||60b b --=，解得||32b =.考点：平面向量的数量积.11．向量a ，b 满足||3a =，||1b =，且对任意实数x ，不等式||||a xb a b +≥+恒成立，设a 与b 的夹角为θ，那么tan2θ=〔〕B. C.- D.【答案】D 【解析】试题分析：a xb a b +≥+222222222a xb a b a x b xab a b ab ⇒+≥+⇒++≥++因为向量||3a =，||1b =，所以23cos 4x θθ++≥+()2cos 10x θθ⇒+-+≥.又因为不等式||||a xb a b +≥+恒成立，所以()2cos 10x θθ+-+≥恒成立.所以∆=()()2410θθ++≤)220cos θθ⇒+≤⇒=，所以1sin 2θ=.即tan θ=22tan tan 21tan θθθ⇒==-考点：平面向量及应用.12．设向量,a b 满足||10a b +=，||6a b -=，那么a b ⋅=〔〕A.1B.2C.3D.5 【答案】A 【解析】试题分析：由10,6a b a b +=-=可得2210,6a b a b +=-=，即2222210,26a b ab a b ab ++=+-=，两式相减可得：1a b ⋅=.考点：向量的数量积.13．在ABC ∆中，D 是边AB 上的一点，假设2AD DB =，13CD CA CB λ=+，那么λ= A ．13 B ．23 C ．12 D ．34【答案】B 【解析】试题分析：由得CB CA CA CB CA AB CA AD CA CD 3231)(3232+=-+=+=+=，因此32=λ，答案选B. 考点：向量的运算与性质14．如图，ABC ∆的外接圆的圆心为O ,2AB =,3AC =,7BC =,那么⋅AO BC 等于〔〕A ． 32B ．52 C ． 2 D ．3【答案】B 【解析】试题分析：取BC 中点D ，连接,AD OD ,那么易知OD BC ⊥，1()2AD AB AC =+,由AO AD DO=+，22115()()()222AO BC AB AC AC AB AC AB ∴⋅=+-=-=．应选B考点：向量的线性运算；数量积的应用．15．向量)sin ,(cos θθ=a , )1,3(-=b 那么|2|b a -的最大值，最小值分别是〔〕 A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,0 【答案】D 【解析】试题分析：由易得，2(2cos 3,2sin 1)a b θθ-=-+，∴222(2cos 3)(2sin 1)a b θθ-=-++=88sin()3πθ++，由[]sin()1,13πθ+∈-，[]88sin()0,163πθ∴++∈，即[]20,4a b -∈．应选D ．考点：向量的坐标运算；三角函数的最值． 16．，是两个单位向量，且．假设点C 在∠AOB 内，且∠AOC=30°，〔m ，n ∈R 〕，那么=〔〕A ．B ．3C ．D ．【答案】D 【解析】试题分析：因为OA ，OB 是两个单位向量，且．所以OA OB ⊥，故可建立直角坐标系如下图．那么OA =〔1，0〕，OB =〔0，1〕，故=m 〔1，0〕+n 〔0，1〕=〔m ，n 〕，又点C 在∠AOB 内，所以点C 的坐标为〔m ，n 〕，在直角三角形中，由正切函数的定义可知，tan30°=n 3m =，所以m 3,n= 考点：平面向量数量积的运算．17．：12,e e 是不共线向量，1234=-a e e ，16=+b e k 2e ，且//a b ，那么k 的值为〔〕A ．8B ．8-C ．3D ．3- 【答案】B 【解析】试题分析：因为//a b ，故设λ=b a ，即16+e k 2e 1234λλ=-e e ，又12,e e 是不共线向量，所以有63,4k λλ==-，解得8k =-，应选择B. 考点：平面向量平行.18．在△ABC 中，||4,||1AB AC ==，3ABC S ∆=，那么AB AC ⋅的值为〔〕 A ．2- B ．2 C ．4± D ．2± 【答案】D 【解析】试题分析：由11sin 41sin 322ABC S AB AC A A ∆==⨯⨯⨯=，得3sin A =，因为0A π<<，所以1cos 2A =±，从而1cos 4122AB AC AB AC A ⎛⎫⋅==⨯⨯±=± ⎪⎝⎭，应选择D ．考点：平面向量的数量积及三角形面积公式．19．设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，那么|a －tb|(t ∈R)的最小值为( )B.12C.1D.2【答案】A【解析】试题分析：由于|a|＝|b|＝|a ＋b|＝1，于是|a ＋b|2＝1，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝1，即a ·b ＝－12|a －tb|2＝a 2－2ta ·b ＋t 2b 2＝(1＋t 2)－2ta ·b ＝t 2＋t ＋1≥34，故|a －tb|.选A考点:平面向量根本运算20．在ABC ∆中，有如下四个命题：①BC AC AB =-；②AB BC CA ++=0；③假设0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，那么ABC ∆为等腰三角形；④假设0>⋅AB AC ，那么ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是A ．①②B ．①④C ．②③D ．②③④ 【答案】C 【解析】试题分析：①CB AC AB =-错；②0=++CA BC AB 对；③()()022=-=-⋅+ACAB AC AB AC AB ，AB AC ∴=，对；④0>⋅AB AC ，A ∴为锐角，但不能判断三角形的形状.考点：平面向量的加法、减法和数量积的概念.21．设O 为坐标原点，()1,1A ，假设点()221,,01,01,x y B x y x OA OB y ⎧+≥⎪⎪≤≤⋅⎨⎪≤≤⎪⎩满足则取得最小值时，点B 的个数是( )A.1B.2C.3D.无数个【答案】B 【解析】试题分析：先画出点B 〔x ，y 〕满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≥+1010122y x y x 的平面区域如图，又因为y x OB OA +=⋅，所以当在点Ｍ〔0，1〕和点B 〔1，0〕处时，x+y 最小．即满足要求的点有两个．应选B ．考点：向量在几何中的应用．22．如图，D 是△ABC 的边AB 的中点，那么向量CD 等于〔〕A.12BC BA -+B.12BC BA --C.12BC BA - D.12BC BA +【答案】A 【解析】试题分析：12CD CB BD BC BA =+=-+ 考点：平面向量的运算.23．在ABC ∆中，假设||||BA BC AC +=，那么ABC ∆一定是〔〕.A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定【答案】C 【解析】试题分析：BC AB BC BA =，化简得0=⋅BC AB ，因此BC AB ⊥. 考点：判断三角形的形状.24．在椭圆193622=+y x 上有两个动点Q P ,，()0,3E 为定点，EP EQ ⊥，那么EP QP ⋅的最小值为〔〕A.6B.33-C.9D.3612- 【答案】A 【解析】试题分析：设00(,)P x y ，那么有22001369x y +=，因为EP EQ ⊥，所以()()()22EP QP EP EP EQ EPEP EQ EP⋅=⋅-=-⋅=()()22220000339136x x y x ⎛⎫=-+=-+⨯- ⎪⎝⎭，即20036184EP QP x x ⋅=-+，因为066x -≤≤，所以当04x =时，EP QP ⋅取得最小值6，应选择A.考点：向量、解析几何、二次函数在给定区间上的最值. 25．在△ABC 中，点P 是AB 上一点，且2133CP CA CB =+，Q 是BC 中点，AQ 与CP 交点为M ，又CM tCP =，那么t 的值为〔〕 A.21 B.32 C.54 D.43【答案】D 【解析】试题分析：因为,,A M Q 三点共线，所以可设AM AQ λ=，又21213333CM tCP t CA CB tCA tCB⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，所以21133AM CM CA t CA tCB ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭，12AQ CQ CA CB CA =-=-，将它们代入AM AQ λ=，即有2111332t CA tCB CB CA λλ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭，由于,CA CB 不共线，从而有2131132t t λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得31,42t λ==，应选择D.考点：向量的根本运算及向量共线根本定理.26．设向量(cos 25,sin 25),(sin 20,cos 20)a b =︒︒=︒︒，假设c a tb =+〔t ∈R 〕，那么()2c 的最小值为〔〕A.2B.1C.22D.21 【答案】D 【解析】试题分析：()()()()222222212sin(2025)c a tb a ta b t bt t =+=+⋅+=+︒+︒+22111222t t ⎛=++=++≥ ⎝⎭,应选择D. 考点：向量知识、三角函数和二次函数. 27．在△ABC 中，N 是AC 边上一点，且AN ＝12NC ，P 是BN 上的一点，假设AP ＝m AB ＋29AC ，那么实数m 的值为( ). A.19 B.13C ．1D ．3 【答案】B 【解析】试题分析：,12AN NC =,1()2BN BA BC BN ∴-=- ,那么2133BN BA BC =+;因为AP ＝m AB ＋29AC ，所以 2()9BP BA mBA Bc BA ∴-=-+-.，即72()99BP m BA BC =-+;P 是BN 上的一点，BP BN λ=∴,9497=-∴m ，即31=m .考点：平面向量的线性运算.28．如图，ABC ∆的AB 边长为2，P Q ，分别是AC BC ，中点，记AB AP BA BQ m ⋅+⋅=，AB AQ BA BP n ⋅+⋅=，那么〔〕A ．24m n ==，B ．31m n ==，C ．26m n ==，D ．3m n =，但m n ，的值不确定【答案】C. 【解析】试题分析：2111()()2222m AB AP BA BQ AB AP QB AB AC CB AB =⋅+⋅=+=+==，11()()()22n AB AQ BA BP AB AQ PB AB AC CQ PC CB AB AC CB AC CB =⋅+⋅=+=+++=+++233()622AB AC CB AB =+==. 考点：平面向量数量积.29．向量)0,2(=OB ，向量)2,2(=OC ，向量)sin 2,cos 2(αα=CA ，那么向量OA 与向量OB 的夹角的取值范围是〔〕A.]4,0[π B.]125,4[ππ C.]4,125[ππ D.]125,12[ππ【答案】D. 【解析】试题分析：如图，以O 为原点建立平面直角坐标系，那么由题意可知)0,0(O ，)0,2(B ，)2,2(C ，又由(22)CA αα=可知A 在以C 为圆心，2为半径的圆上，假设直线OA与圆相切，由图可知1264621222sin ππππ=-=∠⇒=∠⇒===∠AOB COA OC AC COA ，即OA 与OB 夹角的最小值为12π，同理可得OA 与OB 夹角的最大值为125π，即OA 与OB 夹角的取值范围为]125,12[ππ.考点：1.平面向量的坐标；2.直线与圆的位置关系.30．假设四边ABCD 满足0=+CD AB ,()0=⋅-AB DB AB ，那么该四边形是 A ．菱形 B ．矩形 C ．直角梯形 D ．正方形【答案】B 【解析】试题分析：由0=+CD AB 知，AB =DC ，所以//AB CD ，∴四边ABCD 是平行四边形，∵()AB DB AB -⋅=()AB BD AB +⋅=AD AB ⋅=0，∴AD ⊥AB ，∴四边ABCD 是矩形，应选B ．先将0=+CD AB 化为AB =DC ，根据相等向量的概念知//AB CD ，所以四边ABCD是平行四边形，由相反向量的概念及向量加法得()AB DB AB -⋅=()AB BD AB +⋅=AD AB ⋅=0，由向量垂直的充要条件知AD ⊥AB ，所以四边ABCD 是矩形，应选B ．考点：相反向量；向量相等的概念；向量加法；向量垂直的充要条件31．设向量)20cos ,20(sin ),25sin ,25(cos oooob a ==→→,假设→→→+=b t a c (t R),那么2()c 的最小值为A ．2 B.1 C.22D.21 【答案】D【解析】试题分析：由得)20cos 25sin ,20sin 25(cos t t c ++=，那么222()21c c t ==++，在对称轴处取到最小值21。

(完整word版)高中数学平面向量习题及答案

第二章平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72．而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量．二、填空题 11．－32．解析：A ，B ，C 三点共线等价于，共线，Θ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323．解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形．三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)．解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)．又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ．又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ．又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

高中数学向量等系数和线专题(等和线)习题含答案(图片版)

向量等和线专题
一、向量等和线原理向量等系数和线——等和线定理是专门解决有关基向量中系数之和的秒杀工具，对于系
数之和以及系数类有关问题，均可以尝试使用向量等系数和线原理。
三点共线原理： A, B,C三点共线 OC xOA yOB, x y 1
向量等和线原理：三点共线+平行线移动（三角形相似）
例 4.两个不共线向量 OA,OB 的夹角为 , M , N 分别为 OA 与 OB 的中点，点 C 在直线 MN
上，且 OC OA OB( , R) ，则 2 2 的最小值为
例 5.在边长为 2 的正六边形 ABCDEF 中，动圆 O 的半径为 1，圆心在线段 CD （含端点）
上运动， P 是圆 Q 上及其内部的动点，设向量 AP m AB n AF (m,n R) ，则 m n 的
取值范围是三、小试牛刀
1. M , N 分别在 ABC 的边 AB, AC 上，且 AM 1 , AN 1 ，BN 与 CM 交于点 P ，设 AB 3 AC 4
AB a, AC b ，若 AP a b( , R) ，则的值为
4
6.
11
3
5
ห้องสมุดไป่ตู้
3
2.如图， AB 是圆 O 的直径， C, D 是圆 O 上的点，
CBA 600,ABD 450,CD OA BC ,则的值为
3.如图，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD AB AC ，则

AP AB AD ，则的最大值为
.

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高中数学向量专项练习一、选择题1．已知向量(1,),(1,),a x b x ==-若(2).a b b -⊥则a =（） A ．2 B ．3 C ．2 D ．4 2．化简+++的结果是（）A ．B ．C ．D ．3．已知向量(1,2),(4,)a b m ==-，若2a b +与a 垂直，则m =（） A ．-3 B ．3 C ．-8 D ．84．已知向量(1,1)a =-，(1,)b m =，若(2)4a b a -⋅=，则m =（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．25．设向量(12)a =-，,(1)b m =，，若向量a 与b 平行，则a b ⋅= A ．27-B ．21-C ．23D ．256．在菱形ABCD 中，对角线4AC =，E 为CD 的中点，则AE AC ⋅=（） A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 7．在△ABC 中，若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A ．1233AC AB + B ．5233AB AC - C ．2133AC AB - D ．2133AC AB + 8．在ABC ∆中，已知90BAC ∠=，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ⋅的值为（）．A ．6B ．12C ．24D ．489．已知向量(1,1),(2,2),m n λλ→→=+=+若()()m n m n →→→→+⊥-，则=λ（） A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-10．已知向量(12)=，a ，(4)x =，b ，若向量//a b ，则实数的x 值为 A ．2 B ．2- C ．8 D ．8- 11．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则2+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,6-D ．()1,6 12．已知向量()()2,1,3,4==-a b ，则+=a bA ．()1,5-B ．()1,5C ．()1,3--D ．()1,313．ABC ∆的外接圆圆心为O ，半径为2，0OA AB AC ++=，且OA AB =，则CB 在CA 方向上的投影为A ．1B ．2C ．3D ．314．已知向量(1,2)a =，向量(,2)b x =-，且()a a b ⊥-，则实数x 等于（） A 、4- B 、4 C 、0 D 、915．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则实数m 的值为（） A ．1 B ．4 C ．1- D ．4-16．C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）A 、1b =B 、a b ⊥C 、1a b ⋅=D 、()4C a b +⊥B 17．已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD ⋅= （） A 、232a -B 、234a -C 、234aD 、232a 18．已知向量a ，b 满足(5,10)=-a +b ，(3,6)-=a b ，则a,b 夹角的余弦值为( )A ．1313-B ．1313C ．21313-D ．2131319．已知向量a =（1，3），b =（-2，-6），|c |=，若（a +b ）·c =5，则a 与c 的夹角为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° 20．已知向量(2,1),(5,3)a b →→==-，则a b →→⋅的值为A ．-1B ．7C ．13D ．1121．如图，平行四边形ABCD 中，)2,3(),0,2(-==AD AB ，则=⋅AC BD （）A ．6-B ．4C ．9D ．13 22．若向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，则BC =（） A ．(1,1) B ．(1,1)-- C ．(3,7) D ．(3,7)--的取值范围为（A ）39(,)410 （B ）19(,)210 （C ）33(,)54 （D ）13(,)2424．已知平面向量AB ()1,2=，AC ()3,4=，则向量CB =（） A ．(4,6)-- B ．(4,6) C ．(2,2)-- D ．(2,2) 25．已知向量(2,4)a =，(1,1)b =-，则2a b -=A ．（5,7）B ．（5,9）C ．（3,7）D ．（3,9） 26．已知向量(,2),(1,1)m a n a =-=-，且//m n ，则实数a ＝（） A ．－1 B ．2或－1 C ．2 D ．－227．在ABC ∆中，,AB c =AC b =若点D 满足2BD DC =，则AD =（） A ．2133b c + B ．5233c b - C ．2133c b - D ．2233b c + 28．已知点(5,6)M -和向量(1,2)a =-，若3MN a =-，则点N 的坐标为（） A ．(3,6)- B ．(2,0) C ．(6,2) D ．(2,0)- 29．在矩形ABCD 中，4,2,AB AD ==则BA BD BC ++=（） A ．12 B．6 C ．．30．已知向量(1,2)a = ,(3,1)b = ,则b a -=（）． A ．(2,1)- B ．(2,1)- C ．(2,0) D ．(4,3)31．若向量)1 , ( n a =与) , 4( n b =共线且方向相同，则=n （） A ．21B ．1C ．2D ．2± 32．设,,a b c 是单位向量，且0,a b ⋅=则()()a c b c -⋅-的最小值是（） A ．1B1 C ．1133．如图所示，D 是ABC 的边AB 上的中点，记,BC a BA c ==，，则向量DC （）ACBA ．12a c --B ．12a c -+C ．12a c - D ．12a c + 34．如图，在4,30,ABC AB BC ABC AD ∆==∠=中，是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于（）A ．0B ．4C ．8D ．4- 35．已知平面向量b a 与的夹角为3π，1,223,b a b a =+==且则（） A ．1 B ．3 C ．2 D ．336．已知向量()()3,4,sin ,cos ,a b αα==且a 与b 共线，则tan α=（）A ．34 B ．34- C ．43 D ．43- 二、填空题37．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，D 为BC 的中点，则AD BC ⋅＝_____________. 38．设(1,2)a =，(2,)b k =，若(2)a b a +⊥，则实数k 的值为（） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8-39．空间四边形OABC 中，OB OC =，60AOB AOC ∠=∠=︒，则cos ,OA BC <>=（） A ．21 B ．22 C ．12- D ．040．已知向量a ，b ，c 满足||=2a ，||3b a b =⋅=，若(2)(23)0c a b c -⋅-=，则||b c -的最大值是． 41．化简：= ．42．在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 3cos cos b C a B c B =-，2BA BC ⋅=，则ABC ∆的面积为．43．已知向量=（1，2），•=10，|+|=5，则||= ．44．如图，在ABCD 中，E 是CD 中点，BE x AB y AD =+，则x y += ．EDCB45．若|a |=1，|b |=2，c =a +b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角为________。

46．向量22(,22m =-），(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈，①若//m n ，则tan x = ； ②若m 与n 的夹角为3π，则x = ． 47．已知平面向量a ()1,2-=，则 a =_________．48．已知|a |=2，|b |=4，a ⊥（a ＋b ），则a 与b 夹角的度数为． 49．已知向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，则实数x 的值为． 50．已知向量()2,1,1a =-，(),1,1b t =-，R t ∈，若//a b ，则t = ． 51．已知向量()1,3a =，向量,a c 的夹角是3π，2a c ⋅=，则||c 等于_______． 52．已知1,3a b ==，它们的夹角为120，那么a b -= ．53．已知向量a 与b 的夹角为45︒，且||1a =，||32b =；则|2|a b -= ．54．已知平面向量(2,1)=-a ，向量(1,1)=b ，向量(5,1)=-c . 若()//k +a b c ，则实数k 的值为． 55．若等腰梯形ABCD 中,//AB CD ,3AB =,2BC =45ABC ∠=,则AC BD ⋅的值为．56．已知(1,3)a =-，(1,)b t =，若(2)a b a -⊥，则||b = . 57．已知2a = ，3b =，,a b 的夹角为60°，则2a b -=_____. 58．在ABC ∆中，已知4,1AB AC ==，且ABC ∆的面积3S =AB AC ⋅的值为 .三、解答题59．（本小题满分12分）已知向量(4,3),(1,2)a b ．（1）求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若向量λ-a b 与2+a b 平行，求λ的值．60．设向量(2,sin )a θ=，(1,cos )b θ=，θ为锐角．（Ⅰ）若136a b ⋅=，求sin cos θθ+的值；（Ⅱ）若//a b ,求sin(2)3πθ+的值．1．C 【解析】试题分析：由已知2(3,)a b x -=，因为(2).a b b -⊥，所以2(2)3(1)0a b b x -⋅=⨯-+=，3x =±，所以21132a x =+=+=．故选C ．考点：向量垂直的坐标运算，向量的模． 2．A 【解析】试题分析：由于=，=，即可得出．解：∵=，=，∴+++=，故选：A ．考点：向量的三角形法则． 3．A 【解析】试题分析：因为22(1,2)(4,)(2,4)a b m m +=+-=-+，又2a b +与a 垂直，所以(1,2)(2,4)m ⋅-+＝22(4)0m -++=，解得3m =-，故选A ．考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件． 4．C ．【解析】试题分析：由已知得2(2,2)(1,)(3,2)a b m m -=--=--，又∵(1,1)a =-，∴(2)324a b a m -⋅=+-=，∴1m =，故选C ．考点：平面向量数量积． 5．D 【解析】试题分析：()()()()()()21,22,221,4,22,4,12,3a b m m a b m m +=-+=--=--=-- 由两向量平行得()()1213422m m m -⨯=⨯--∴=-522a b m ∴⋅=-+= 考点：向量平行的判定及向量的坐标运算 6．C 【解析】试题分析：特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为22，以A 为原点，建立如图所示坐标系，则A （0，0），），（），，（2222222E C ，所以)22,2(),22,22(==AE AC ，所以222222212AC AE ⋅==，故选C ．考点：平面向量的数量积运算． 7．A 【解析】试题分析：由于BC AC AB b c =-=-，因此()22213333AD AB BD c BC c b c b c =+=+=+-=+．考点：向量的加法法则． 8．C 【解析】试题分析：因为，2CD DB =，90BAC ∠=，所以1()()3AB AD AB AB BD AB AB BC ⋅=+=+＝1[()]3AB AB AC AB +-＝223AB ＋13AB AC ⋅＝223AB ＝226243⨯=，故选C ．考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算． 9．B 【解析】试题分析：由题(23,3),(1,1)m n m n λ→→→→+=+-=--，()()()()0(23,3)(1,1)03m n m n m n m n λλ→→→→→→→→+⊥-∴+⋅-=⇒+⋅--=∴=-考点：向量的运算，向量垂直的充要条件 10．A 【解析】试题分析：因为两向量平行，所以可得1422x x ⨯=⨯⇒=，故选择A 考点：向量共线的坐标表示 11．D 【解析】试题分析：由向量的坐标运算可得：()21,6a b += ,故选择D 考点：向量的坐标运算 12．A 【解析】试题分析：根据向量的加法运算法则，可知(23,14)(1,5)a b +=-+=-，故选A ．考点：向量的加法运算．试题分析：由0=+=++OC AB AB AC OA ,并且邻边相等，所以四边形OABC 是菱形，那么CB 在CA方向上的投影是3233230cos 0=⨯=BC ．考点：向量与平面几何的关系 14．D 【解析】试题分析：由已知得，0=-⋅)(b a a ，所以（1，2）⋅（1-x ，4）=0，即1-x+8=0，所以x=9．故选D ．考点：向量垂直及数量积的坐标运算． 15．D 【解析】试题分析：因为//a b ，所以4022-=∴=-⨯-⋅m m )(1．故选D ．考点：向量平行的充要条件． 16．D 【解析】试题分析：2,2AB a AC a b ==+,AC AB b ∴=+,b AC AB BC ∴=-=．由题意知12,cos1201212b a b a b ⎛⎫=⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭． ()()2422a b BC AB BC BC AB BC BC∴+⋅=+⋅=⋅+212cos1202222402AB BC ⎛⎫=⋅+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭．()4a b BC ∴+⊥．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直． 17．D 【解析】试题分析：()2222213cos6022BD CD BC CD CD BC CD CD BC CD a a a a ⋅=+⋅=⋅+=⋅+=+=．故D 正确．考点：1向量的加减法；2向量的数量积． 18．D 【解析】试题分析：()()(4,2)2a b a b a ++-==-，()()(1,8)2a b a b b +--==-，则,a b 的夹角余弦值为20213cos 13||||2065a b a b θ⋅===⋅⨯．故选D. 考点：向量的基本运算.试题分析：根据题意得2b a =-，从而有5a c ⋅=-，所以51cos ,210a c a c a c⋅-<>===-⋅⋅，所以a 与c 的夹角为120，故选D ．考点：向量的数量积，向量夹角余弦公式．20．B 【解析】试题分析：因为(2,1)(5,3)1037a b →→⋅=⋅-=-=，所以应选B ．考点：1、平面向量的数量积； 21．C 【解析】试题分析:由图可知：)2,5()0,2()2,3(-=--=-=AB AD BD ；)2,1()0,2()2,3(-=+-=+=AB AD AC ．则922)1()5()2,1()2,5(=⨯+-⨯-=-⋅-=⋅AC BD ．考点：向量的运算． 22．B 【解析】试题分析：因为向量(2,4)AB =，(1,3)AC =，所以)1,1()4,2()3,1(A B C --=-=-=AB C ．故选B ．考点：向量减法的坐标的运算． 23．A 【解析】试题分析：当角A 趋近于直角时，按照平面向量基本定理则此时，向量AD 在向量AB 上的分量趋近于最大值，，又相似比求得此时x=910，排除C ，D ，同理，若角A 趋近于平角，则此时x= 34，结合选项得A 是正确的．考点：平面向量基本定理，极限的思想． 24．C 【解析】试题分析：由向量的减法法则()2,2--=-=AC AB CB ,所以选C ；考点：1．向量的减法； 25．A 【解析】试题分析：根据向量的坐标运算可得：()()()24,81,15,7a b -=--=，故选择A 考点：向量的坐标运算 26．B 【解析】试题分析：因为//m n ，所以2)1(-=-a a ，解得022=--a a ，故21=-=a a 或，故选B ．27．A 【解析】试题分析：由2BD DC=，可得23BD BC =，()221212333333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC c b=+=+=+-=+=+，故选择A考点：平面向量基本定理28．B 【解析】试题分析：设点N 的坐标为(),x y ，由3MN a =-可得：()()5,63,6x y -+=-，解得20x y =⎧⎨=⎩，故选择B考点：平面向量的坐标表示 29．C 【解析】试题分析：由平行四边形法则可知BA BC BD +=，原式即为2BD ，而BD为矩形对角线，所以24BD==考点：向量的加法 30．A 【解析】试题分析：向量减法的定义，对应坐标分别相减，即(31,12)(2,1)b a -=--=- 考点：向量的减法 31．C 【解析】试题分析：两向量共线，坐标满足21442,2n n n =⨯=∴=±=时，两向量共线，所以2n =- 考点：向量共线的判定 32．A 【解析】试题分析：设c与a b+的夹角为θ，()()22()()0cos 1011a c b c a b c a b c c a b a b a b θ-⋅-=⋅-++=-++≥-++=-++2211a b =++=-考点：（1）平面向量数量积的运算（2）平面向量数量积的性质及其运算律 33．C 【解析】试题分析：因为D 是ABC 的边AB 上的中点，所以11DB BA c =-=-，在BCD 中，由向量的三角形法则可得12DC DB BC a c =+=-，故选C ．考点：向量加减混合运算及其几何意义 34．B 【解析】试题分析：221()||4,4AD AC AD AD DC AD AB ⋅=⋅+===选B ．考点：向量数量积 35．C 【解析】试题分析：223a b +=()2221224122a b a a a ∴+=∴++=∴=考点：向量的数量积与向量的模 36．C 【解析】试题分析：a b ,共线可知4sin 3cos αα∴=3tan 4α∴= 考点：向量共线37．32- 【解析】试题分析：22113()()()222AD BC AB AC AC AB AC AB ⋅=+⋅-=-=-考点：向量数量积38．C 【解析】试题分析：因为)4,4(2k b a +=+，60212)4(214)2(-=⇒=+=++⨯⇒⊥+k k k a b a 考点：1．平面向量的坐标运算；2．非零向量0=⋅⇔⊥b a b a ；3．数量积公式的坐标形式； 39．D 【解析】试题分析：法一：如图，取BC 的中点D ，由OB OC =，可知OD BC ⊥，另一方面由60OB OCAOB AOC OAC OAB AC AB OA OA =⎫⎪∠=∠=︒⇒∆∆⇒=⎬⎪=⎭≌，而D 是BC 的中点，所以AD BC ⊥，进而可得BC ⊥面OAD ，所以OA BC ⊥，所以cos ,0OA BC <>=，故选D.法二：因为()||||cos 60||||cos 60OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅=︒-︒，因为,OA OA OB OC ==，所以0OA BC ⋅=，所以,90OA BC <>=︒，所以cos ,cos900OA BC <>=︒=，故选D.考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量的基本运算. 40．12+．【解析】试题分析：分析题意可知，设(1,1)A ，(3,0)B ，则a OA =，b OB =，设(,)C x y ， ∴(,)c OC x y ==，又∵(2)(23)0c a b c -⋅-=，∴(2)(63)(2)(03)0x x y y --+--=，而22(2)(1)1x y -+-=，即点C 在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上， ∴22||(32)(01)112b c -≤-+-+=+，故填：12+．考点：平面向量数量积及其运用． 41．．【解析】试题分析：利用向量加法的三角形法则即可求得答案．解：=（）﹣（+）=﹣=，故答案为：．考点：向量加减混合运算及其几何意义． 42．22【解析】试题分析：由cos 3cos cos b C a B c B =-得sin cos 3sin cos sin cos B C A B C B =-()1sin 3sin cos cos 3B C A B B ∴+=∴=，由2BA BC ⋅=，得cos 26ac B ac =∴=1122sin 622223S ac B ∴==⨯⨯=考点：1．正弦定理；2．向量数量积运算 43．5 【解析】试题分析：先求出||，再求出|+|2，问题得以解决．解：∵向量=（1，2）， ∴||=，∵•=10，∴|+|2=||2+||2+2•=（5）2，∴||2=25， ∴||=5故答案为：5．考点：平面向量数量积的运算． 44．12【解析】试题分析：连接BD ，又E 为CD 的中点所以1122BE BD BC =+ 又BD AD AB =-,BC AD = 所以111()222BE AD AB AD AD AB =-+=- 又BE x AB y AD =+ 所以1x =，12y =- 所以12x y +=考点：向量的线性运算．45．120 【解析】试题分析：c ⊥a ，所以()1001cos 2a b c a a b a a b a bθ-=∴+=∴=-∴==120θ∴= 考点：向量夹角 46．1-，512π．【解析】试题分析：①：∵//m nsin )0tan 1x x x -=⇒=-；②：显然||||1m n ==， ∴111cos 32m n π⋅=⋅⋅=，即1sin 222x x -=，∴1sin()42x π-=，又∵(0,)x π∈， ∴54612x x πππ-=⇒=．考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形． 47．5 【解析】试题分析：由向量的模的公式可得：(22a =+=考点：求向量的模 48． 1200 【解析】试题分析：设a 与b 夹角为θ．由a ⊥（a ＋b ）得，042402=⨯+∴=⋅+θcos ,b a a ，解得，21-=θcos 所以︒=120θ．考点：向量的数量积及其运算律并求向量的夹角． 49．-4 【解析】试题分析：因为向量(1,2),(,2)x ==a b ，且⊥a b ，所以12204x x ⨯+⨯=⇒=- 考点：平面向量数量积证明垂直 50．-2 【解析】试题分析：11//,2211t a b t -∴==∴=-- ．考点：向量共线． 51．2 【解析】试题分析：因为2a =，根据向量的数量积可知：221cos232a c c aπ⋅===⨯．考点：1．向量的数量积； 52【解析】试题分析：()2222222cos a b a ab b a a b bθ-=-+=-+1,3,120a b θ===︒，所以13a b -=考点：向量的模53【解析】试题分析：222244418414510a b a b a b -=+-⋅=+-⨯⨯=,所以210ab -=. 考点：1向量的数量积;2向量的模.54．12【解析】试题分析：()//k +a b c 考点：向量平行的坐标表示 55．-3 【解析】试题分析：由题意可知，1135CD BCD =∠=︒，，所以()()2AC BD ABBC BC CD AB BC AB CD BC BC CD⋅=+⋅+=⋅+⋅++⋅33121cos 453=︒-⨯++⨯︒=-．考点：平面向量数量积的运算． 56【解析】试题分析：∵(1,3)a =-，(1,)b t =，∴2(3,32)a b t -=--，∵(2)a b a -⊥， ∴(2)0a b a -⋅=，即(1)(3)3(32)0t -⨯-+-=，即2t =，∴(1,2)b =，∴2||12b =+=考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模. 57【解析】试题分析：因为2a =，3b =，,a b 的夹角为60°,所以22224413a b a a b b -=-⋅+=.所以2a b -=考点：1.向量的数量积.2.向量的模. 58．2±【解析】由三角形的面积公式，得11sin 41sin 22AB AC A A ⋅=⨯⨯=即23sin =A ,21cos ±=A ;则1cos 41()22AB AC AB AC A ⋅=⋅=⨯⨯±=±. 考点：三角形的面积公式、平面向量的数量积.59．（1）25（2）12λ=- 【解析】试题分析：（1）本题考察的是两向量的夹角的余弦值，一般我们采用向量的数量积公式进行求解．根据题目中所给条件可以求出a 与b 的数量积，然后通过模长公式分别求出a 与b 的模长，最后把求出的量代入数量积公式即可求得a 与b 的夹角的余弦值．（2）本题考察的是两向量的平行（共线）问题，根据平行向量基本定理，把相应的数值代入公式，即可求出所求参数的值．试题解析（1）(4,3),(1,2)a b()()222241322,435,12a b a b ∴⋅=⨯-+⨯==+==-+=∴cos ,⋅<>===a b a b a b （2） ∵(4,3),(1,2).ab∴(4,32)2(7,8)λλλ-=+-+=，a b a b ∵向量λ-a b 与2+a b 平行，∴43278λλ+-=解得：12λ=-考点：（1）向量数量积（2）平面向量的坐标表示 60．（Ⅰ）332；（Ⅱ）10334-．【解析】试题分析：（Ⅰ）本题以向量为背景，实际考察三角函数及三角恒等变换，将向量数量积用坐标表示，求出θθcos sin ⋅的值，然后根据θθθθcos sin 21)cos (sin 2⋅+=+，求出2)cos (sin θθ+的值，从而根据θ为锐角求出sin cos θθ+的值；（Ⅱ）根据//a b 的坐标表示，可以求出tan 2θ=，可以根据同角三角函数基本关系式求出θθcos ,sin 的值，再利用二倍角公式，求出θθ2cos ,2sin 的值，再将)32sin(πθ+按两角和正弦公式展开，即可而求sin(2)3πθ+的值．另外，也可以根据齐次式求出θθ2cos ,2sin 的值，再将)32sin(πθ+按两角和正弦公式展开，从而求sin(2)3πθ+的值．注意公式的准确使用．试题解析：（Ⅰ）∵132sin cos 6a b θθ⋅=+=，∴1sin cos 6θθ=． ∴24(sin cos )12sin cos 3θθθθ+=+=又∵θ为锐角，∴sin cos θθ+=（Ⅱ）法一：∵//a b ，∴tan 2θ=． ∴222224sin 22sin cos 15sin cos tan sin cos tan θθθθθθθθθ==＝＝＋＋， 2222222213cos 2cos sin 15cos sin tan sin cos tan θθθθθθθθθ－－＝－＝＝＝－＋＋．∴11434sin 2sin 2322252510πθθθ-⎛⎫⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＋－＝法二 ∵//a b ，∴sin 2cos θθ=．易得sin θ=， cos θ=． ∴4sin 22sin cos 5θθθ=＝，223cos 2cos sin 5θθθ＝－＝－．∴11434sin 2sin 2322252510πθθθ-⎛⎫⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝＝＋－＝考点：1．向量平行垂直的坐标表示；2．同角三角函数基本关系式；3．三角恒等变换公式的应用．。