初值问题的Euler方法和梯形法

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常微分方程初值问题数值解法

常微分方程初值问题的数值解法在自然科学、工程技术、经济和医学等领域中，常常会遇到一阶常微分方程初值问题：(,),,(),y f x y a x b y a y '=≤≤⎧⎨=⎩ (1) 此处f 为,x y 的已知函数，0y 是给定的初始值。

本章讨论该问题的数值解法，要求f 在区域{(,)|,}G x y a x b y =≤≤<∞内连续，并对y 满足Lipschitz 条件，从而初值问题(1)有唯一的连续可微解()y y x =，且它是适定的。

1 几个简单的数值积分法1.1 Euler 方法（1）向前Euler 公式（显式Euler 公式）10(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +=+=⎧⎨=⎩(2) 其中h 为步长。

由此便可由初值0y 逐步算出一阶常微分方程初值问题(1)的解()y y x =在节点12,,x x 处的近似值12,,y y 。

该公式的局部截断误差为2()O h ，是一阶方法。

（2）向后Euler 公式（隐式Euler 公式）1110(,),0,1,2,,(),n n n n y y hf x y n y y a +++=+=⎧⎨=⎩(3) 这是一个隐格式，也是一阶方法。

这类隐格式的计算比显格式困难，一般采用迭代法求解。

首先用向前Euler 公式提供迭代初值，然后迭代计算：(0)1(1)()111(,),(,),0,1,2,n n n n k k n n n n y y hf x y y y hf x y k +++++⎧=+⎨=+=⎩ (4)1.2 梯形方法1110[(,)(,)],2(),(0,1,2,)n n n n n n h y y f x y f x y y y a n +++⎧=++⎪⎨⎪=⎩= (5) 这也是一个隐格式，是二阶方法。

一般也采用迭代法求解。

迭代公式如下：(0)1(1)()111(,),[(,)(,)],0,1,2,2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k +++++⎧=+⎪⎨=++=⎪⎩ (6)1.3 改进的Euler 方法11110(,),[(,)(,)],0,1,2,,2(),n n n n n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y n y y a ++++⎧=+⎪⎪=++=⎨⎪=⎪⎩(7) 为了便于上机编程计算，(7)可改写为110(,),(,),0,1,2,,1(),2(),p n n n cn n p n p c y y hf x y y y hf x y n y y y y y a ++=+⎧⎪=+⎪⎪=⎨=+⎪⎪=⎪⎩(8) 该格式是显式，也是二阶方法。

8.1用改进的Euler方法解初值问题

第八章常微分方程数值解法8.1用改进的Euler 方法解初值问题：取步长h=0.1计算，并与准确解相比较。

⎩⎨⎧=≤<+=1)0(10,'y x y x y 12−−=x e y x 8.2用改进的Euler 方法解初值问题：取步长h=0.1计算y(0.5)，并与准确解相比较。

⎩⎨⎧=−+=0)0('2y y x x y x e x x y −−+−=12习题８第八章常微分方程数值解法8.3对初值问题：证明Euler 公式和梯形公式求得的近似解分别为⎩⎨⎧=−=1)0('y y y ,)1(n n h y −=n n h h y ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=22并证明当时，它们都收敛于准确解。

0→h x e x y −=)(8.4取h=0.2,用经典R-K 法求解下列初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=≤<+=1)0(10,13')2(y x x y y ⎩⎨⎧=≤<+=1)0(10,')1(y x y x y第八章常微分方程数值解法8.5证明对任意参数t ，下列R －K 公式是二阶的：))1(,)1((),(),()(213121321hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n −+−+=++==++=+8.6对试验方程，试证明如下方法给出的绝对稳定条件。

（２）经典R-K 公式：（１）改进的Euler 公式：1|2)(1|2≤++h h λλ)0('<=λλy y 1|24)(6)(2)(1|432≤++++h h h h λλλλ第八章常微分方程数值解法本节内容完毕，点击自动返回章目录！。

数值分析习题解答

45习题八习题解答1.取步长h = 0.2,用欧拉方法解初值问题)6.00(1)0(2≤≤⎩⎨⎧=−−=′x y xy y y 解：由f (x ，y ) = – y – x y 2，欧拉公式为y n+1 = y n + h [– y n – x n y n 2]即y n+1 = (1 – h )y n – h x n y n 2由y 0 = 1计算，得y 1= 0.8，y 2= 0.6144，y 3 = 0.46132.用梯形公式解初值问题)21(2)1(38≤≤⎩⎨⎧=−=′x y y y取步长h = 0.2,小数点后至少保留5位. 解：由f (x ，y ) = 8 – 3 y ，梯形公式为y n +1 = y n + 0.5h [(8 – 3 y n ) + (8 – 3 y n +1)]将h = 0.2代入并整理，得13161371+=+n n y y 由y 0 = 2计算，得y 1 = 2.30769，y 2 = 2.47337，y 3 = 22.56258，y 4 = .61062，y 5 = 2.636493.用改进的欧拉公式计算初值问题)5.11(5.0)1(112<<⎪⎩⎪⎨⎧=−=′x y yx y x y 取步长h = 0.1,并与精确解xxx y +=1)(比较. 解：改进的Euler 公式为nn nn n x y y h y y )1(~1−+=+ ])~1(~)1([5.011++−+−+=n n n n n n n n x y y x y y h y y 由y 0 = 0.5计算得1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5y n0.5000 0.5238 0.5455 0.5653 0.5834 0.6001 y (x n )0.5000 0.5238 0.5455 0.5652 0.5833 0.6000 y n – y (x n ) 0 0.2570×10-40.4503×10-40.5962×10-40.7066×10-4 0.7902×10-44.写出用梯形公式求解初值问题⎩⎨⎧==+′1)0(0y y y 的计算格式,取步长1.0=h ,并求)2.0(y 的近似值,要求迭代误差不超过510−.46解：由梯形公式为：][211+++−=n n n n y y hy y ，故计算格式为 n n y hh y +−=+221故，y 1 =0.9048，y 2 =0.8186。

数值分析习题

习题11. 填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 _________ 的 _______ 运算; (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 _________ 数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 ______________ 分子的绝对值；(3) 误差有四大来源，数值分析主要处理其中的 __________ 和 ___________ ; (4) 有效数字越多•相对误差越_________ ;2. 用例1.4的算法计算価•迭代3次•计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式，并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数，指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.斗=0.3040, x 2 =5.1x10% 兀=400,些=°・°°3346, x 5 = 0.875x 1Q-55. 证明1.2.3之定理1. 1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积卩的相对误差将为多少。

(假定钢珠为标准的球形)7. 若跑道长的测量有0.欣的误差，对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使J 亦的近似数相对误差小于0. 05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件•直径d 为10・25±0・25mm.高力为40. 00± 1.00mm •则它的体枳卩的近似值、误差和相对误差为多少.10证明对一元函数运算有并求出/(x) = tanx,x = 1.57时的k 值，从而说明/(x) = tanx 在人任彳时是病态问题.11. 定义多元函数运算s =》g,其中工q =1，£(舌)“,r-l求出w(S)的表达式，并说明q 全为正数时，计算是稳定的，q 有正有负时，误差难以控制.12. 下列各式应如何改进•使计算更准确：其中"(4) y = ^p'+q 2 - P, (p>O,q>O,p»q)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 _______________ 主元素的绝对值太小会发生 ___________ ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ___________ .平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 __________ ;(3) 直接£〃分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 __________ ,追赶法解对角占优的三对角方程组肘的计算量以乘除法计为 _____________ ；⑷ ；)阀二——•114= ------- ・——；t 0(5) A =yt > 1 p{A) _________ , cond 2(A) = _________I"丿(6) A = b 9c > b > a > 0 p{A) _______________ , cond ?(A) = ________4. 用Gauss —Jordan 消元法求:(卜l 《l)f 1 1 -1)T(1)八1 2 -2 ,b =1一2 1 1 丿丄2 6、3(1)心10 -7 0 ,b = 7< 5 -1 5丿r4 3 2 r3 4 3 21(2) A =•—2 3 4 3 -1<1 2 3 4;r0 2 0 1、2 232-2 (2) A =b =4-3 01-76 1 -6-56 ,(i) y =⑵y =1l — x(心1)2・用Gauss 消元法求解下列方程组Ax = b3.用列主元消元法解下列方程组Ax = b.2 1 0 J -1 o>5. 用直接厶U 分解方法求1题中两个矩阵的厶（/分解，并求解此二方程组.6. 用平方根法解方程组Ax = b<3 2 1、‘4、2 2 1 ,b = 3J 1 1丿O7.用追赶法解三对角方程组Ax = b2 -1一1 2 0-I0 0 0T0 A = 0 一1 2 -1 0 ,b = 00 0 -1 2 -1<0 0 0 -1 2丿©8. 证明:（1）单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵. （2）两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵. 9. 由厶=却冴・・£［「（见（2. 18）式），证明：10 •证明向量范数有下列等价性质: （1）14^14^14⑶|HL<H 2<^Kii. 求下列矩阵的||州删2，lkt“（q ）.81 3、(2) A= 1 10 2、3 26,12. 求 cond 2 (A)1 A = 1-13)2丿'13. 证明:⑴若A 是正交矩阵，即A rA = /f 则cond 2(A) = l ； (2)若A 是对称正定阵，心是A 的最大特征值，人是最小特征值，则cond 2(A )=习题31. 填空题：(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 ____________ 时，线性方程组Ax=b 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法均收敛； (2) 当线性方程组的系数矩阵力对称正定时, ___________ 迭代法收敛. (3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 _________ 小于1; S0R 法收敛的必要条件是 ______________ ;(4) 用迭代法求解线性方程组，若⑷，q _______________ 时不收敛，g 接近 _______ 时收敛较快，g 接近 _______ 时收敛较慢；(5)(1 \\A= ?，$= _________ : Bs = _______ ； Q(坊)= _______ ； °(块)= ___ ・2. 用Jacobi 迭代法和Gauss —Seidel 迭代法求解方程组V 1 0、'3 ''-81 1 丫和‘1、 (1)1 2 1= -5 ; (2)1-5 1 x 2 = 16W 1 2,宀< 1 1 -仏丿6各分量第三位稳定即可停止.3•庄SOR 法解方程组，取60 = 0.9 ,与取CO = 1 (即Gauss-Seidel 法)作比较.(32 1]/ \<-5> -5 7 3 £ = 13 2 \ -5 7 /<X 3>4・下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性"5 2 1(\ 2) 1 3 2 ; ⑵…13 21 1 2\ / (1)flOO 99、99 9J(2) COS0A --sin& COS0 y6•设‘1 a 宀A= a 1 a ,d 为实数;⑴a 1；(1) 若q 正定，a 的取值范围；(2) 若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围.习题41. 填空题：(1) 毎法主要用于求一般矩阵的 __________________ 特征值，Jacobi 旅转法用于求对称矩阵的 ______ 待征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择 ______________ 的一对 _____________ 元素将其消为零； (3) Q?方法用于求 ___________ 矩阵的全部特征值，庾黑法加上原点平移用于一个近似特征值的 _________ 和求出对应的 ______________ ■2. 用嫁法求矩阵•〔6 2 1'-4 14 0、⑴ 2 3 1, (2)-5 13 0,1 1 1、-1 0 2 丿按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位.-11 11 1 '3.已知： A= 11 9 -2< 1—2 13>"-2 1 0 0'21 2、1 -2 10 1 2 1 ;(4)1 -2 1-2 1 2\、01 -2；10 -1 I —1 -1 _i -r -1 -15 -1 -1 10；5.方程组a\\ 如、 / 、丙=*<U2\ “22丿 1兀丿如证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是:5 -1取t =15,作原点平移的幕法，求按模最大特征值.‘4 1 4、4.A= I 10 1、4 1 10,用反無法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次.5.若A的特征值为人，易，…，九,r是一实数，证明：人―『是〃的特征值，且特征向量不变.6.已知x =(3,2,l)7求平面反射阵H使y = Hx=(0,*,0)‘，即使x的1, 3两个分量化零.5 3 2、7.A= 3 3 1<2 1 6丿试用Jacobi 转法求作一次症转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出〃角和结果./ r 0(3x2)、8.设已知2是人的特征值，相应的特征向量为(4卫2,6)丁，证明几也是丁的特征值，相应的特征向量为(坷,《2，偽,0,0『.9.证明定理4. 5.10.证明(4. 21)中的A,.和£+1相似.习题51.填空題(1)用二分法求方程x3+x-l = 0在［0,1］内的根，迭代一次后，根的存在区间为___________ ,迭代两次后根的存在区间为_____________ ；(2)设/(x)可微，则求方程x = /(%)根的Newton迭代格式为______________________ ;(3)(p(x) = x + C(x2-5),若要使迭代格式x k+} =(p(x k)局部收敛到a = >/5 ,则C取值范围为_____________ ;(4)用迭代格式x k+l=x k-AJ\x k )求解方程f(x) = x3-x2-x-\ = 0的根，要使迭代序列｛忑｝是二阶收敛，则心二;2 1(5)迭代格式兀+|=二忑+斗收敛于根a二_______________ ,此迭代格式是__________ 阶收3 x k敛的.2.证明Newton迭代格式(5. 10)满足3.方程/一9十+ 18尢一6 = 0, xe［0,+oo)的根全正实根，试用逐次扫描法(出1),找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01.4.用二分法求下列方程的根，精度£ = 0・001・仃)x-x+4=0(2) b+10x — 2 = 0 xe[0J]5.用迭代法求X3-2X-5= 0的正根，简略判断以下三种迭代格式:在x() = 2附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根.精度£ = 10_.6.方程= e~x(1)证明它在(0,1)区间有且只有一个实根；(2)证明x k+i = e~Xt,k = 0,1,---,在(0,1)区间内收敛;(3)用Newton迭代法求出此根,精确到5位有效数字.7.对方程X3-3X-1=0,分别用(1)Newton法(州=2)； (2)割线法(观=2,召=1.9)求其根.精度f = 10~4.8.用迭代法求下列方程的最小正根(1) x5 -4x-2 = 0: (2) 2tanx—x = 0 ；(3) x = 2sinx9.设有方程3x2-e x=0(1)以力=1,找出根的全部存在区间；(2)验证在区间［0,1］上Newton法的区间收敛定理条件不成立；⑶ 验证取x() = 0.21 ,用Newton法不收敛;(4)用Newton下山法，取x()=0.21求出根的近似值，精度£ = 10_・10.分别用Jacobi法,Gauss—Seidel法求解非线性方程组\+2y-3=0<2x2 + y2-5 = 0在(1.5,0. 7)附近的根,精确到IO-4.11.分别用Newton法,简化Newton法求解非线性方程组sin x + cos y = 0<x+y = l在(0,1)附近的根,精确到10*.习题61.填空題(1)设J\x) = x5+x3+x + \ ,则 /[0,1]______________ , /[0,1,2]= _________________ /[0,1,2,3,4,习= ___________ : /[0,1,2,3,4,5,6] = ________________ .(2)设?o(x)，/i(x),…,/”(%)是以节点0,1,2, •••,/?的Lagrange 插值基函数,则£儿(羽= _______________；£旳伙)= _______________ •;-() J-0(3)设/(0) = 0,/⑴=16,/(2) = 46,则/[0,1]= ____________ , /[0,1,2]= ____________ ,/(X)的二次Newton插值多项式为________________________ ・2.3-利用心在“畤能及壬处的值，求S哙的近似值，并估计误差.4.利用数据计算积分［千，当二时的兀的取值.5.试用Newton插值求经过点(一3,-1), (0,2), (3,-2), (6,10)的三次插值多项式.6.求满足Pg) = f(Xo),P(xJ = f(xJ及Pg = f(XQ)的次数不超过2次的插值多项式Pg,并给出其误差表达式.7.设比是互异节点,3 是Lagrange插值基函数(j =0,1,2,,证明(1)£<,(%)三1；(2)$>乂(力三十伙=0,1,2,…丿)；(3)£(◎一x)k/丿(x)三0 仏=0,1,2,•••/).8 •设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton向前，向后插值公式求出它的插值多项式. 9.试构造一个三次Hermite插值多项式使其满足/(0) = 1,广(0) = 0.5, /(1) = 2,广⑴=0.510・已知函数/(X)的数据表分别用Newton向前插值公式和向后插值公式求x=0. 05, x二0. 42, X二0. 75的近似值.11.对函数f(x) = sinx进行分段线性插值，要求误差不超过0.5x10"，问步长力应如何选取.12.设有数据用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1)570.25) = 1.0000 , 570.53) = 0.6868(2)S"(0.25) = —2 , S"(0.53) = 0.647913.证明定理6.6.习题81 •填空題⑴ “+1个点的插值型数值积分公式f 的代数精度至少是_____ ,最高不超过__________ .(2)梯形公式有______ 次代数精度，Simpson公式有______ 次代数精度.(3)求积公式打⑴川細(0)+ /(/?)]+ 加[八0)_/伽中的参数& =时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为__________ •2.确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度.(1)『/(X)厶a A)/(0) + AJ(//) + A2f(2h)f(f(x)dx q+ 2/(“) + 3/(x2)]⑶£ f(x)dx = A/(-D + AJ (-# + A J(4) jj Mdx a AJ(x{) + A2/(0) + AJ(l)⑸[/⑴厶« f(xj + f(x2)3.分别利用复化梯形公式，复化Simpson公式，复化Cotes公式计算下列积分(1)「一3 二8)Jo4 + x2(2)^yfxdx (n =10)(3)("=io)(4)(弘—抽讼・5二6)(5)P —Jx (/? =8)J() x4.用Romberg公式计算枳分(1) 丄(精度要求£ = 10一‘)⑵佃 + cos4xdx(精度要求£ = 10-5)5.分别取节点数为2, 3, 4利用Gauss—Legendre求积公式计算积分(1) 「一厶，(2) 「八心，(3) f-dxJ T I+ Q血Ji X6.利用Gauss型求积公式，分别取节点数2, 3, 4计算积分(1) £e~x yfxdx , (2) J e~x <1 + x2 dx7.用节点数为4的Gauss —Laguerre求积公式和Gauss—Hermite求积公式计算积分的近似值，并与准确值/=—作比较・28.分别用两点公式与三点公式求f(x)=一在x=l・0,x二1.2的导数值，并估计误差, (l + x)・其中/(x)的数据由下表给出习题91.填空題(1)解初值问题的Euler法是________ 阶方法，梯形方法是 _____ 阶方法，标准R-K方法是_____ 阶方法.(2)解初值问题#(x) = 20(x—y),y(O) = 1时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R-K方法，步长0V/Y ________ ・采用Euler方法，步长力的取值范围为______ ,若采用Euler 梯形方法，步长力的取值范围为_______ 若采用Adams外推法，步长力的范围为________ ,若采用Adams内插法，步长方的取值范围为__________ .(3) __________________________________________ 求解初值问题Euler方法的局部截断误差为_____________________________________________ Euler梯形方法的局部截断误差为_____________ , Adams外推法的局部截断误差为_______________ Adams内插法的局部截断误差为_____________ .2.对初值问题1 ?/ = ----- -2y~0<x<l1 + JC.y(o)= oX试用Euler法取步长〃二0. 1和“二0.2计算其近似解，并与准确解y =—匚进行比较.1 + JC3.利用Euler预测一校正法和四阶经典R-K方法，取步长h=Q. 1,求解方程y f = x+y 0<x<\y(O) = 1并与准确解y(x) = -x-\ + 2e x进行比较.4.用待定系数法推导二步法公式>\+1 = y> + ~ (5齐+1 + 一Z-i)并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差.5.用Adams预测一校正法求解y = -y20 < X < 1.y(o)= 1并与准确解y(x)=—进行比较.1 + x6.用Euler中点公式计算y f = -y O< x< 2.5y(O) = 1取步长/?=0. 25,与准确解>'=比较，并说明中点公式是不稳定的.7.写出用经典的R-K方法及Adams预测一校正法解初值问题)/ = _8y + 7z< z，=兀2 + yzy(O) = l,z(O) = O的计算公式.8.写出用Euler方法及Euler预测一校正法解二阶常微分方程初值问題),/r + siny = 0y(O) = 1, V(O) = 0的计算公式.9.证明用单步法y1+i = X+呵兀+£, x+,x)解方程= -2ax的初值问题，可以给出准确解.。

数值分析习题

习题11．填空题(1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为的运算； (2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个数作减法运算；为避免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的和； (4) 有效数字越多,相对误差越； 2. 用例1.4的算法计算10,迭代3次,计算结果保留4位有效数字.3. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差.4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对误差限.95123450304051104000003346087510., ., , ., .x x x x x -==⨯===⨯5. 证明1.2.3之定理1.1.6. 若钢珠的的直径d 的相对误差为1.0%,则它的体积V 的相对误差将为多少。

（假定钢珠为标准的球形）7. 若跑道长的测量有0.1%的误差,对400m 成绩为60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差和相对误差.8. 为使20的近似数相对误差小于0.05%,试问该保留几位有效数字.9. 一个园柱体的工件,直径d 为10.25±0.25mm,高h 为40.00±1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少． 10 证明对一元函数运算有r r xf x f x k x k f x εε'≈=()(())(),()其中并求出157f x x x ==()tan ,.时的k 值，从而说明f x x =()tan 在2x π≈时是病态问题．11. 定义多元函数运算111,,(),n ni i i i i i S c x c x εε====≤∑∑其中求出S ε()的表达式，并说明i c 全为正数时，计算是稳定的，i c 有正有负时，误差难以控制． 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：111 11212 11-cos23 14 00xy x x xy x xy x x y p p q p q -=-++===>>(),()()()(),()(),(,,)习题21. 填空题(1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素的绝对值太小会发生 ;(2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ;(3) 直接LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ; (4) ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2011A =1A , =2A , =)(A ρ ; (5) 1100>⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t t A , )(A ρ , 2cond ()A = ; (6) 0>>>⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b c c b a A , )(A ρ , 2cond ()A = ; 2．用Gauss 消元法求解下列方程组b Ax =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101,112221111)1(b A , ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111,4321343223431234)2(b A 3．用列主元消元法解下列方程组b Ax =．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=674,5150710623)1(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6720,5616103423221020)2(b A 4. 用Gauss －Jordan 消元法求：1011012111-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 5．用直接LU 分解方法求1题中两个矩阵的LU 分解，并求解此二方程组．6．用平方根法解方程组b Ax =321422131116,A b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．用追赶法解三对角方程组b Ax =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------=00001,2100012100012100012100012b A8．证明：(1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵．(2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵．9．由111211----=n L L L L ，(见(2.18)式)，证明:⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-111111,321323121n n n n n l l l ll l l L10．证明向量范数有下列等价性质：∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤xn x xxn x x x n x x 21212)3()2()1(11．求下列矩阵的()12,,,A A A A ρ∞．()()5131312110212326;.A A ⎛⎫⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭12．求()2cond A()()10099129998cos sin ;.sin cos A A θθθθ-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭13．证明：(1)若A 是正交矩阵，即T A A I =, 则()2cond 1A =;(2)若A 是对称正定阵， 1λ是A 的最大特征值， n λ是最小特征值，则()12cond nA λλ=. 习题31. 填空题:(1) 当A 具有严格对角线优势或具有对角优势且时，线性方程组Ax =b 用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法均收敛;(2) 当线性方程组的系数矩阵A 对称正定时, 迭代法收敛.(3) 线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的小于1; SOR 法收敛的必要条件是 ;(4) 用迭代法求解线性方程组,若q = ρ (B ), q 时不收敛, q 接近时收敛较快, q 接近时收敛较慢; (5)1112,A ⎛⎫= ⎪⎝⎭J B = ;S B = ; ()J B ρ= ; ()S B ρ= ．2．用Jacobi 迭代法和Gauss －Seidel 迭代法求解方程组(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛453210*********x x x ； (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---7161411151118321x x x 各分量第三位稳定即可停止．3．用SOR 法解方程组，取0.9ω=，与取1ω= (即Gauss-Seidel 法)作比较．1233215573132573x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 4．下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛性(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛211231125； (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2321；(3)212121212⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭； (4)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----210012*********2； (5)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------101111511111011115 ； (6)112211221122111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 5．方程组0,0,2211212122211211≠≠⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a b b x x a a a a证明用Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：122112112<=a a a a r ． 6．设为实数；a a a a a a a A ,111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=(1)若A 正定，a 的取值范围；(2)若Jacobi 迭代法收敛，a 的取值范围．习题41. 填空题：(1) 幂法主要用于求一般矩阵的特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩阵的特征值；(2) 古典的Jacobi 法是选择的一对元素将其消为零;(3) QR 方法用于求矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似特征值的和求出对应的． 2．用幂法求矩阵．⑴⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111132126， ⑵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---20101350144按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位．3．已知： ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1321291111111A取t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值．4． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10141101414A用反幂法加原点平移求最接近12的特征值与相应的特征向量，迭代三次．5．若A 的特征值为t n ,,,,21λλλ 是一实数，证明：t i -λ是tI A -的特征值，且特征向量不变．6．已知()321,,Tx =求平面反射阵H 使()00,*,Ty Hx ==，即使x 的1，3两个分量化零．7． ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=612133231A试用Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出θ角和结果．8．设 ()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⨯⨯⨯⨯222322333100T T T 已知λ是1T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 321,,，证明λ也是T 的特征值，相应的特征向量为()Ta a a 0,0,,,321．9．证明定理4.5．10．证明(4．21)中的s A 和1+s A 相似．习题51．填空题(1) 用二分法求方程310x x +-=在[0,1]内的根，迭代一次后,根的存在区间为，迭代两次后根的存在区间为；(2) 设()f x 可微，则求方程()x f x =根的Newton 迭代格式为；(3) 2()(5)x x C x ϕ=+-，若要使迭代格式1()k k x x ϕ+=局部收敛到α=C 取值范围为；(4) 用迭代格式1()k k k k x x f x λ+=-求解方程32()10f x x x x =---=的根，要使迭代序列{}k x 是二阶收敛，则k λ= ；(5) 迭代格式12213k k kx x x +=+收敛于根α= ，此迭代格式是阶收敛的．2．证明Newton 迭代格式(5.10)满足12()lim2()k k kf f εαεα+→∞''=-'3. 方程3291860, [0,)x x x x -+-=∈+∞的根全正实根，试用逐次扫描法(h =1)，找出它的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到0.01．4．用二分法求下列方程的根，精度0.001ε=．(1) 340 [2,1]x x x -+=∈-- (2) 1020 [0,1]x e x x +-=∈5．用迭代法求3250x x --=的正根，简略判断以下三种迭代格式：(1) 3152k k x x +-=； (2) 1252k k x x +=- ； (3)1k x +=在02x =附近的收敛情况，并选择收敛的方法求此根．精度410ε-=．6. 方程x e x-=(1) 证明它在(0,1)区间有且只有一个实根； (2) 证明 ,,,101==-+k ex kx k ，在(0,1)区间内收敛；(3) 用Newton 迭代法求出此根,精确到5位有效数字． 7．对方程3310x x --=，分别用(1) Newton 法0(2)x =；(2) 割线法01(2, 1.9)x x ==求其根．精度410ε-=．8．用迭代法求下列方程的最小正根(1) 5420x x --=； (2) 2tan 0x x -=； (3) 2sin x x = 9．设有方程 230xx e -=(1) 以1h =，找出根的全部存在区间；(2) 验证在区间[0,1]上Newton 法的区间收敛定理条件不成立； (3) 验证取00.21x =, 用Newton 法不收敛；(4) 用Newton 下山法，取00.21x =求出根的近似值，精度410ε-=．10．分别用Jacobi 法，Gauss —Seidel 法求解非线性方程组22230250x y x y +-=⎧⎨+-=⎩在(1.5,0.7)附近的根,精确到410-．11．分别用Newton 法，简化Newton 法求解非线性方程组s i nc o s 01x y x y +=⎧⎨+=⎩在(0,1)附近的根,精确到410-．习题61．填空题(1) 设53()1f x x x x =+++，则[0,1]f ，[0,1,2]f = ，[0,1,2,3,4,5]f = ；[0,1,2,3,4,5,6]f = ．(2) 设01(),(),,()n l x l x l x 是以节点0,1,2,…,n 的Lagrange 插值基函数，则()njj jl x ==∑ ；0()njj jl k ==∑ ．(3) 设(0)0,(1)16,(2)46,[0,1]f f f f ====则，[0,1,2]f = ，()f x 的二次Newton 插值多项式为．2．已知函数2)(x ex f -=的数据如下试用二次，三次插值计算=0.35，=0.55的近似函数值，使其精度尽量地高． 3．利用x sin 在3,4,6,0πππ=x 及2π处的值，求5sin π的近似值，并估计误差．4计算积分⎰=xdt ttx f 0sin )(, 当)(x f =0.45时的x 的取值． 5．试用Newton 插值求经过点(-3,-1),(0,2),(3,-2),(6,10)的三次插值多项式．6．求满足)()(),()(1100x f x P x f x P ==及)()(00x f x P '='的次数不超过2次的插值多项式)(x P ，并给出其误差表达式．7．设i x 是互异节点，)(x l j 是Lagrange 插值基函数(n j ,,2,1,0 =)，证明(1)1)(0≡∑=nj jx l；(2)k nj jk j x x l x≡∑=0)( (n k ,,2,1,0 =)；(3)0)()(0≡-∑=nj j k jx l x x(n k ,,2,1,0 =)．8．设有如下数据试计算此表中函数的差分表，并分别利用Newton 向前，向后插值公式求出它的插值多项式． 9．试构造一个三次Hermite 插值多项式使其满足5.0)1( ,2)1( ,5.0)0( ,1)0(='=='=f f f f10．已知函数)(x f 的数据表分别用x =0.75的近似值． 11．对函数()sin f x x =进行分段线性插值，要求误差不超过5105.0-⨯，问步长h 应如何选取．12用三转角插值法求满足下述条件的三次样条插值函数(1) 0000.1)25.0(='S ，6868.0)53.0(='S (2) 2)25.0(-=''S ， 6479.0)53.0(=''S 13. 证明定理6.6.习题81．填空题(1) 1n +个点的插值型数值积分公式()()nbj j aj f x dx A f x =≈∑⎰的代数精度至少是，最高不超过．(2) 梯形公式有次代数精度，Simpson 公式有次代数精度． (3) 求积公式20()[(0)()][(0)()]2hhf x d xf f h h f f h α''≈++-⎰中的参数α＝时，才能保证该求积公式的代数精度达到最高，最高代数精度为．2．确定下列求积公式的求积系数和求积节点，使其代数精度尽量高，并指出其最高代数精度． (1) )2()()0()(21020h f A h f A f A dx x f h++≈⎰ (2))](3)(2)1([)(2111x f x f f A dx x f ++-≈⎰-(3)1123111()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰ (4) )1()0()()(321111f A f A x f A dx x f ++≈⎰- (5))()()(212x f x f dx x f +≈⎰3．分别利用复化梯形公式，复化Simpson 公式，复化Cotes 公式计算下列积分 (1) ⎰+1024dx x x(n =8)(2) ⎰10dx x (n =10)(3) ⎰-12dx ex (n =10)(4) (n =6)(5)⎰20sin πdx xx(n =8) 4．用Romberg 公式计算积分(1) ⎰-1022dx e x π (精度要求510-=ε) (2) ⎰+404cos 1dx x (精度要求510ε-=)5．分别取节点数为2，3，4利用Gauss －Legendre 求积公式计算积分 (1) ⎰-+44211dx x ， (2) ⎰-10dx e x ， (3) 311dx x ⎰ 6．利用Gauss 型求积公式，分别取节点数2，3，4计算积分 (1) ⎰+∞-0dx x e x ， (2) ⎰+∞∞--+dx x e x212 7．用节点数为4的Gauss －Laguerre 求积公式和Gauss －Hermite 求积公式计算积分 ⎰+∞-=02dx e I x 的近似值，并与准确值2π=I 作比较．8．分别用两点公式与三点公式求2)1(1)(x x f +=在x =1.0，x =1.2的导数值，并估计误差，其中)(x f 的数据由下表给出9．已知)(x f x e -=的数据如下取=0.1，=0.2，分别用二点、三点公式计算=2.7处的一阶和二阶导数值．习题91．填空题(1) 解初值问题的Euler 法是阶方法，梯形方法是阶方法，标准R －K 方法是阶方法．(2) 解初值问题()20(),(0)1y x x y y '=-=时，为保证计算的稳定性，若用经典的四阶R －K 方法，步长0h << ．采用Euler 方法，步长h 的取值范围为，若采用Euler 梯形方法，步长h 的取值范围为若采用Adams 外推法，步长h 的范围为，若采用Adams 内插法，步长h 的取值范围为．(3) 求解初值问题Euler 方法的局部截断误差为 Euler 梯形方法的局部截断误差为， Adams 外推法的局部截断误差为 Adams 内插法的局部截断误差为 .2．对初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-+='0)0(1021122y x y x y试用Euler 法取步长h =0.1和h =0.2计算其近似解，并与准确解21x y x=+进行比较． 3．利用Euler 预测－校正法和四阶经典R －K 方法，取步长h =0.1，求解方程⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤+='1)0(10y x y x y 并与准确解x e x x y 21)(+--=进行比较．4．用待定系数法推导二步法公式)85(12111-++-++=i i i i i f f f h y y 并证明它是三阶公式，求出它的局部截断误差．5．用Adams 预测－校正法求解⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤-='1)0(102y x y y 并与准确解1()1y x x=+进行比较． 6．用Euler 中点公式计算0 2.5(0)1y yx y '⎧=-≤≤⎨=⎩取步长h =0.25，与准确解x e y -=比较，并说明中点公式是不稳定的．7．写出用经典的R －K 方法及Adams 预测－校正法解初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==+='+-='0)0(,1)0(782z y yz x z z y y的计算公式．8．写出用Euler 方法及Euler 预测－校正法解二阶常微分方程初值问题⎩⎨⎧='==+''0)0(,1)0(0sin y y y y的计算公式．9．证明用单步法1,(,)22i i i i i i h h y y hf x y f x y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭解方程ax y 2-='的初值问题，可以给出准确解．。

6161.Euler方法常微分方程初值问题2.梯形公式

I 0 x dx
使其截断误差不超过 0.5×10-3,应算多少次函数值？
提示：
sin x 1
f ( x) x 0 cos(xt)dt
练习: 给定积分 3 e x sin xdx 1
当要求误差小于10-3时用复合梯形公式和Simpson公
式计算时, 需要计算多少次函数值？
11/16
一阶向后差商
f (a) f (a) f (a h) O(h) h
一阶中心差商
f (a) f (a h) f (a h) O(h2 ) 2h
二阶中心差商
f (a)
f (a h) 2 f (a) h2
f (a h) O(h2 )
5/16
8/16
Ex1.推导左矩形求积公式
b f ( x)dx (b a) f (a) f () (b a)2
a
2
令 F (u)
u
f ( x)dx
a
F(a) 0, F(a) f (a),F() f ()
F(u)= F(a) + (u-a)F’(a) +0.5(u-a)2F ”()
j1
f ( x2 j )]
S2m
12/16
Ex6. 定积分
b
f (x)dx
的计算问题可化为初值问题
a
y’= f (t) , y(a)=0 N 1
试证明用Euler公式计算结果为 y(b) f (tn )h
其中, h = (b – a )/N,
tn= a + n h
n0
( n = 0,1,2,···, N)
b f ( x)dx (b a) f (a) f () (b a)2

常微分方程初值问题

7
二、初值问题数值解的基本概念
1 构造数值解法的基本思想假设初值问题(1)的解y = y(x)唯一存在且足够光滑, 对求解区域[a,b]做剖分
{ x k } k n 0 , a x 0 x 1 x 2 x n b , h k x k x k 1
(k1,2, ,n)称为步长。
显式单步法: yk 1ykh (xk,yk,h)
(5)
隐式单步法: y k 1 y k h (x k,y k,y k 1 ,h )
(6)
11
注: 该式右端项含有 y k 1 , 因此若求 y k 1 , 需要解方程。
显式多步法: y k 1 y k h ( x k ,y k ,y k 1 ,,y k l 1N 1
注：此算法是单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。稳定性高于显式欧拉法。
24
例分别用显式Euler方法，梯形方法和预估－校正Euler方法解初值问题
dy y x 1, 0x1
dx
y(0) 1
解析解：y = e-x + x
f(x,y)yx1
解：取 h =0.1，
Euler方法为: y k 1 y k hk f ( x k , y k )
yk hk ( yk xk 1)
(1 hk ) y k hk x k hk
9
k1
10 yk 100 10
hk 0.1, xk khk 0.1k.
25
梯形方法为：
yk1yk
y0 , k0,1,2 ,n1
称为Euler中点公式或称双步Euler公式.
因此，求初值问题数值解的基本方法是步进法.即逐个节点计算, 由 yi ( ik ) 计算yk+1

初值问题与解方法

初值问题与解方法初值问题是数学中的一个重要概念，它涉及到微分方程的解的初始条件。

解决初值问题的方法有多种，本文将介绍几种常用的解法，并讨论它们的适用性和优缺点。

一、欧拉法（Euler's method）欧拉法是一种较为简单的数值解法，通过逐步逼近微分方程的解。

它的基本思想是将时间和空间分割成小的步长，并用线性逼近的方式求解微分方程。

欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + h * f(t_n, y_n)其中，y_{n+1} 是下一个时间步长上的解，y_n 是当前时间步长上的解，h 是步长（时间或空间），f(t_n, y_n) 是微分方程的右端函数。

欧拉法的优点是简单易懂、计算量小。

然而，它的精度较低，对于具有较大步长或非线性的微分方程，可能会产生较大的误差。

二、改进的欧拉法（Improved Euler's method）改进的欧拉法是对欧拉法的一种改进方法，通过增加一个中间点的计算来提高精度。

改进的欧拉法的计算公式为：y_{n+1} = y_n + (h/2) * (f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_n + h * f(t_n, y_n)))改进的欧拉法通过使用两个不同的斜率来进行计算，提高了解的逼近精度。

相比于欧拉法，改进的欧拉法的精度更高，误差较小。

三、龙格-库塔方法（Runge-Kutta methods）龙格-库塔方法是一类常用的数值解法，包括一阶、二阶、四阶等不同精度的方法。

其中，最常用的是四阶龙格-库塔方法。

四阶龙格-库塔方法的计算公式为：k_1 = h * f(t_n, y_n)k_2 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_1/2)k_3 = h * f(t_n + h/2, y_n + k_2/2)k_4 = h * f(t_n + h, y_n + k_3)y_{n+1} = y_n + (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)/6四阶龙格-库塔方法通过使用多个斜率进行逼近，进而提高了解的精度。

偏微分方程数值解例题答案

yyy[y例11110.1[1(101)]0.9,10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,1(0.90.9019)0.900952p c y y y ì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î20.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,1(0.802740.80779)0.805262p c y y yì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. 表9.1 Euler 方法方法改进的Euler 方法方法准确值准确值n xn yny)(n x y0.1 0.9000000 0.9009500 0.9006235 0.2 0.8019000 0.8052632 0.8046311 0.3 0.7088491 0.7153279 0.7144298 0.4 0.6228902 0.6325651 0.6314529 0.5 0.5450815 0.5576153 0.5563460 0.6 0.4757177 0.4905510 0.4891800 0.7 0.4145675 0.4310681 0.4296445 0.8 0.3610801 0.3786397 0.3772045 0.9 0.3145418 0.3326278 0.3312129 1.0 0.2741833 0.2923593 0.2909884 从表9.1可以看出,Euler 方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler 方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler 方法的精度比Euler 方法高. 例2 试用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法在不同步长下计算初值问题ïîïíì=££+-=1)0(,10),1(d d y x xy y xy 在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果. 解对上述三种方法,每执行一步所需计算)1(),(xy y y x f +-=的次数分别为1、2、4。

计算物理学(刘金远)第5章：微分方程(课后习题及答案)

5.1 计算物理学第５章：微分方程课后习题答案初值问题【5.1.1】采用euler 方法求初值问题'2/, 01(0)1y y x y x y =-££ìí=î【解】取0.1h =，1(,)(2/)n n n n n n n n y y hf x y y h y x y +=+=+-x0.00.10.20.3y 1.000 1.1000 1.1918 1.2774【5.1.2】用euler 预测-校正公式求初值问题22', (0)1y x y y ì=-í=î【解】取0.1h =，1(,)n n n n y y hf x y +=+111(,)n n n n y y hf x y +++=+1000(,)0.9y y hf x y =+=221011(,)10.1(0.10.9)0.92y y hf x y =+=+´-=【5.1.3】用euler 公式和梯形公式建立的预测-校正公式求初值问题'23, 0(0)1y x y x y =+£ìí=î取0.1h =，(1)求(0.1)y ;(2)编程计算0:0.01:2x =【解】1111(,)1[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y y y h f x y f x y ++++=+=++10001000110.1(23) 1.30.05[(23)(23)]1.355y y x y y y x y x y =++==++++=【5.1.4】用显式Euler 方法，梯形方法和预估-校正Euler 方法给出求初值问题1,01(0)1d y y x x dx y ì=-++<<ïíï=î的迭代公式（取步长0.1h =）【解】取0.1h =，,0,1,k x kh k ==L ，（1）显式Euler 方法12(,)(1)(1)k k k k k k k y y hf x y y h y kh y h kh h+=+=+-++=-++1911010010k k k y y +=++（2）梯形方法为1121()2(2)(21)2219112110510k k k k k k k h y y f f h y k h h y hy k +++=++-+++=+=++（3）预估-校正Euler 方法为1111(,)[(,)(,)],20,1,,1x k k k k k k k k k k k y y h f x y h y y f x y f x y k n ++++=+ìïï=++íï=-ïîL 221(1/2)(/2)0.9050.00950.1k k k y y h h kh h h hy k +=-++-+=++【5.1.5】考虑下面初值问题2'''(0)1;'(0)2y y y t y y ì=-++í==î使用中点RK2，取步长0.1h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.1t h =='y u y æö=ç÷èø，012u æö=ç÷èø，2''(,)'y u f t u y y t æö==ç÷-++èø，1002(,)1k f t u æö==ç÷èø，2001212 1.111(,)(0.05,0.05)(0.05,)21 2.0522 2.05 2.050.891.1 2.050.05k f t h u hk f f æöæöæö=++=+=ç÷ç÷ç÷èøèøèøæöæö==ç÷ç÷-++èøèø102 1.2052.089u u hk æö=+=ç÷èø，1(0.1) 1.205y y ==【5.1.6】考虑下面初值问题2'''2''(0)1;'(0)0,''(0)2y y y t y y y ì=++í===-î使用中点RK2，取步长0.2h =，求出()y h 的近似值【解】00,0.2t h ==取表示符号'''y u y y æöç÷=ç÷ç÷èø，2''(,)''2''y u f t u y y y t æöç÷==ç÷ç÷++èø，0102u æöç÷=ç÷ç÷-èø，010002000'()0(,)''()262()''()y t k f t u y t y t y t t æöæöç÷ç÷===-ç÷ç÷ç÷ç÷++èøèø200121011(,)(0.1,00.12)2226 10.20.2(0.1,0.2) 1.4 1.41.4 3.9721( 1.4)0.1k f t h u hk f f æöæöç÷ç÷=++=+-ç÷ç÷ç÷ç÷-èøèøæö--æöæöç÷ç÷ç÷=-=-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷-´+-èøèøèø1020.960.281.206u u hk æöç÷=+=-ç÷ç÷-èø，(0.2)0.96y =【5.1.7】采用Rk4编程求下列微分方程的初值问题：（1）23'1, (0)0y y x y =++=（2）2'2(1), (1)2y y x y =+--=（3）'', ()0,'()3y y y y p p =-==【5.1.8】求下面微分方程组的数值解2323'2'4(0)1,(0)0x x y t t t y x y t tx y ì=-+--ï=+-+íï==î补充题【5.1.1】对微分方程'(,)y f x y =用Sinpson 求积公式推出数值微分公式【解】{}111111111'(,)4(,)(,)3n n x n n n n n n n n x y dx y y h f x y f x y f x y +-+---++=-=++ò【5.1.2】用标准的4阶龙格库塔方法求初值问题',(0)1y x y y =+ìí=î，取0.1h =，计算出(0.2)y 【解】()1123422/6i i y y h k k k k +=++++1213243(,)(/2,/2)(/2,/2)(,)i i i i i i i i k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ==++=++=++'(,)y f x y x y ==+，00(,)(0,1)x y =100200130024003(,)1(/2,/2) 1.1(/2,/2) 1.105(,) 1.2105k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()10123422/6 1.1103y y h k k k k =++++=，11(,)(0.1,1.1103)x y =111211*********(,) 1.2103(/2,/2) 1.3208(/2,/2) 1.3263(,) 1.4429k f x y k f x h y hk k f x h y hk k f x h y hk ===++==++==++=()2112342(0.2)22/6 1.2428y y y h k k k k y ==++++==然后由22(,)(0.2,1.2428)x y =计算3(0.3)y y =，。

用改进欧拉法和梯形法解初值问题

在数值分析领域，求解初值问题是一个非常重要的课题。

常见的数值方法有欧拉法和梯形法，但它们都存在一定的局限性。

本文将深入探讨如何改进欧拉法和梯形法，以更高效、精确地解决初值问题。

让我们回顾一下初值问题的基本概念。

初值问题是指，在已知微分方程初值条件的情况下，求解微分方程的数值解。

通常情况下，微分方程很难直接求解，因此需要借助数值方法来逼近微分方程的解。

欧拉法和梯形法是最常见的数值方法之一，它们都是通过离散化微分方程来逼近微分方程的解。

接下来，让我们讨论欧拉法的改进方法。

欧拉法是一种一阶精度的数值方法，它的局限性在于步长选择较大时，数值解会出现较大的误差。

为了改进欧拉法，可以考虑使用改进的欧拉法，如改进的Euler-Cauchy法，它通过使用更复杂的插值公式来提高精度。

也可以考虑使用四阶Runge-Kutta法等更高阶的方法来提高数值解的精度和稳定性。

另让我们分析梯形法的改进方法。

梯形法是一种二阶精度的数值方法，它对微分方程积分过程进行了更加精确的近似。

但梯形法在处理刚性微分方程时会出现数值不稳定的情况。

为了改进梯形法，可以考虑使用隐式的Runge-Kutta法，它可以更好地处理刚性微分方程，提高数值解的稳定性和精度。

总结来说，改进欧拉法和梯形法是为了解决数值解精度不高、数值不稳定等问题。

在实际应用中，根据不同的初值问题特性，选择合适的数值方法很关键。

只有综合考虑数值解精度、稳定性等因素，才能更好地求解初值问题。

从我个人的观点来看，改进欧拉法和梯形法是数值分析领域的一个重要研究方向。

随着科学技术的不断发展，解决初值问题需要更高效、精确的数值方法。

改进欧拉法和梯形法对于提高数值解的精度和稳定性具有重要意义。

在本文中，我们深入探讨了如何改进欧拉法和梯形法，以更高效、精确地解决初值问题。

通过对不同的改进方法进行分析，我们可以更好地理解数值方法的优缺点，为实际问题的求解提供参考。

希望本文能够对初值问题的数值解求解提供一定的帮助，也希望读者可以从中获得一定的启发和思考。

euler法解初值问题

Euler法解初值问题1.简介在数学上，初值问题是求解常微分方程的一种常见方法。

E ule r法是一种基本的数值解法，用于逼近常微分方程的解。

本文将介绍E ul er法的基本原理和应用，以及如何使用Eu ler法解决初值问题。

2. Eu ler法的原理E u ler法的基本思想是将微分方程的解近似为一系列有限步长的步进。

对于给定的初始条件，E ul er法通过计算每一步的斜率来逼近微分方程的解。

具体步骤如下：1.确定初始条件：给定微分方程的初始值，例如初始时刻的位置和速度。

2.确定步长：选择一个合适的步长$h$，表示近似解在每个步骤中的前进距离。

3.迭代计算：使用微分方程的导数公式，根据当前位置和速度计算下一个位置和速度。

3. Eu ler法的算法E u le r法的算法如下：输入：微分方程，初始条件，步长输出：近似解1.初始化初始条件2.根据微分方程的导数公式计算斜率3.根据初始条件和步长更新位置和速度4.重复步骤2和3，直到达到指定的迭代次数或满足终止条件5.输出近似解4. Eu ler法的应用举例4.1.经典物理力学问题假设一个物体在空气中自由下落，可以使用以下微分方程来描述其运动：v'=gx'=v其中，$v$为速度，$x$为位置，$g$为重力加速度。

如果给定初始速度和位置，使用E ul er法可以逼近物体在一段时间内的运动轨迹。

通过迭代计算每个步骤的位置和速度，可以得到物体的近似位置。

4.2.生物学应用在生物学中，很多生物体的种群增长可以用以下微分方程来描述：d p/d t=rp(1-p/K)其中，$p$表示种群数量，$t$表示时间，$r$表示增长率，$K$表示环境容量。

使用Eu le r法可以逼近种群数量随时间变化的情况。

通过迭代计算每个步骤的种群数量，可以得到种群数量随时间的近似曲线。

5.总结本文介绍了E ul er法解初值问题的基本原理和应用。

通过将微分方程的解近似为一系列有限步长的步进，E ule r法可以逼近微分方程的解。

euler法与梯形法求解微分方程

euler法与梯形法求解微分方程Euler方法和梯形法是常用的数值方法，用于求解微分方程的数值解。

这两种方法在数值计算中具有重要的应用价值，可以有效地近似微分方程的解。

我们来介绍一下Euler方法。

Euler方法是一种简单而直观的数值方法，用于求解一阶常微分方程。

它的基本思想是将微分方程转化为差分方程，通过逐步逼近真实解来得到数值解。

具体步骤如下：1. 将自变量的取值范围划分为一系列小的区间，并选择一个合适的步长h。

2. 根据微分方程的初值条件，确定初始值。

3. 使用差分逼近的方法，不断迭代计算每个区间的数值解。

4. 重复步骤3，直到达到所需的精度或计算到指定的自变量值。

Euler方法的优点是计算简单、易于实现，但它的精度相对较低。

由于它是通过线性逼近来近似解，所以在复杂的微分方程中可能会产生较大的误差。

因此，在某些情况下，我们需要使用更为精确的数值方法，如梯形法。

梯形法是一种改进的数值方法，用于求解一阶常微分方程。

它的基本思想是利用梯形的面积来逼近函数的曲线面积，从而得到更为精确的数值解。

具体步骤如下：1. 将自变量的取值范围划分为一系列小的区间，并选择一个合适的步长h。

2. 根据微分方程的初值条件，确定初始值。

3. 使用梯形规则，通过迭代计算每个区间的数值解。

4. 重复步骤3，直到达到所需的精度或计算到指定的自变量值。

梯形法相比于Euler方法，具有更高的精度。

它通过考虑两个相邻点之间的曲线，得到更准确的数值解。

然而，梯形法的计算量较大，需要进行更多的计算。

因此，在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的数值方法。

总结起来，Euler方法和梯形法是常用的数值方法，用于求解微分方程的数值解。

它们各自具有优缺点，适用于不同的求解问题。

在实际应用中，我们需要根据问题的要求和计算资源的限制，选择合适的数值方法来求解微分方程。

通过合理选择数值方法，可以有效地得到微分方程的数值解，从而解决实际问题。

使用欧拉法作为预估公式,梯形法作为校正公式

欧拉法和梯形法是常见的数值计算方法，在求解微分方程以及积分时被广泛应用。

本文将从基本原理、应用场景和具体算法等方面详细介绍欧拉法和梯形法的相关知识。

一、欧拉法的基本原理欧拉法是一种数值计算方法，用于求解常微分方程的数值解。

它的基本原理是根据微分方程的导数来进行逼近。

对于微分方程 dy/dx = f(x, y)，在给定初始条件 y0 = y(x0)，我们可以用如下的递推公式来求解微分方程的数值解：y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)其中 h 为步长，根据这个递推公式，我们可以逐步求解微分方程在不同点上的数值解。

二、欧拉法的应用场景欧拉法适用于一阶常微分方程，并且其计算简单、直观，因此在实际应用中被广泛采用。

特别是对于一些复杂的微分方程，往往无法通过解析方法求解，而通过欧拉法可以得到较为准确的数值解。

因此在物理、工程、生物等领域，欧拉法都有着重要的应用价值。

三、欧拉法的具体算法1. 初始化条件：给定微分方程的初始条件 y0 = y(x0)，以及步长 h。

2. 递推求解：根据递推公式 y_{n+1} = y_n + hf(x_n, y_n)，依次求解微分方程在各个点上的数值解。

3. 结果输出：得到微分方程在各个点上的数值解，并输出结果。

四、梯形法的基本原理梯形法是一种数值积分方法，用于对函数进行数值积分。

它的基本原理是将积分区间等分成若干小段，然后用梯形来逼近每个小段上的积分值。

具体来说，对于积分区间 [a, b] 上的函数 f(x)，我们可以用以下递推公式来求解积分的数值近似：I_{n+1} = I_n + h/2(f(x_n) + f(x_{n+1}))其中h 为步长，根据这个递推公式，我们可以逐步逼近积分的数值值。

五、梯形法的应用场景梯形法适用于对函数进行数值积分的场景，特别是对于无法通过解析方法求解积分的情况。

例如在泛函分析、数值计算等领域，梯形法都有着重要的应用价值。

梯形法的计算相对简单，适合通过计算机程序来实现，因此在实际应用中也被广泛采用。

euler法与梯形法求解微分方程

euler法与梯形法求解微分方程以Euler法与梯形法求解微分方程在数学和物理学中，微分方程是一种描述变量之间关系的方程，其中包含了未知函数的导数。

求解微分方程是许多科学和工程领域中的重要问题。

在本文中，我们将介绍两种常见的数值求解微分方程的方法：Euler法和梯形法。

Euler法是一种简单且易于实现的数值方法，用于求解一阶常微分方程。

它基于以下思想：在给定的初始条件下，通过计算导数来估计下一个时间步长上的函数值。

具体地说，Euler法使用以下迭代公式来逼近解函数的值：y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)其中，y_n是函数的近似解，在时间步长t_n处的值，h是时间步长，f(t, y)是微分方程的右手边。

通过不断迭代，可以得到函数在不同时间点的近似解。

尽管Euler法简单易用，但它的精度有限。

由于使用导数的线性逼近，它在处理高阶微分方程或具有快速变化的解时可能不够准确。

为了提高精度，可以使用更复杂的数值方法，如梯形法。

梯形法是一种改进的数值方法，用于求解一阶常微分方程。

它基于以下思想：通过使用导数的平均值来近似下一个时间步长上的函数值。

具体地说，梯形法使用以下迭代公式来逼近解函数的值：y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} \left(f(t_n, y_n) + f(t_{n+1}, y_{n+1})\right)在这个迭代公式中，需要通过求解一个非线性方程来确定y_{n+1}的值。

与Euler法相比，梯形法考虑了导数在当前时间步长和下一个时间步长的平均值，因此具有更高的精度。

虽然梯形法比Euler法更准确，但它的计算复杂度也更高。

在每个时间步长上，需要通过求解非线性方程来确定函数值的近似解。

这可能需要更多的计算资源和时间。

因此，在实际应用中，选择合适的数值方法需要综合考虑精度和计算效率。

除了Euler法和梯形法，还有许多其他数值方法可用于求解微分方程。

应用数值分析(第四版)课后习题答案第10章

第十章习题解答1、用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题'[0,1](0)2y x y x y ⎧=-∈⎨=⎩ 取0.1h =，并将计算结果与精确值相比较。

解：(,)f x y x y =-,由Euler 公式及改进的Euler 方法，代入0.1h =，有11Euler 0.90.1Euler 0.9050.0950.005n n nn n n y y x y y x ++=+=++方法改进的方法，依次计算结果如下01234567891000.10.20.30.40.50.60.70.80.9 1.02 1.8000 1.6300 1.4870 1.3683 1.2715 1.1944 1.1350 1.0915 1.0623 1.04612 1.8150 1.6571 1.5237 1.4124 1.3212 1.2482 1.1916 1.1499 1.12n n n n x y y ====17 1.1056 2 1.8145 1.6562 1.5225 1.4110 1.3196 1.2464 1.1898 1.1480 1.1197 1.1036y n y 为Euler 方法的结果，n y 为改进的Euler 方法的结果，y 为精确解。

2、用梯形公式求解初值问题'0(0)1y y x y ⎧=-≥⎨=⎩证明其近似解为()nn a h y a h-=+。

证明：采用梯形公式得近似解为112(1)(1),222n n n n h h hy y y y h++-+=-=+，因此可得21202222()()()2222n nn n n h h h h y y y y h hh h------=====++++。

证毕。

3、试用Euler 公式计算积分2xt edt ⎰在点x=0.5, 1, 1.5, 2的近似值。

解：2(,)2xf x y xe =由Euler 公式得212*0.5nx n n n y y x e +=+，计算可得0123400.51 1.5200.6420 2.0011 6.745034.0441n n n x y === 4、定初值问题'000sin ()y y x x y x y ⎧=≥⎪⎨=⎪⎩试用Taylor 展开法导出一个三阶的显式公式。

一阶常微分方程欧拉法与梯形公式局部截断误差与p阶精度Range

使用格式：[T,Y] = ode23('F',Tspan,y0)
其中，Tspan = [t0，tN]是常微分方程的求解区域，y0 是解的初值
实验例题1 蛇形曲线的常微分方程初值问题
y
x
1 2
1

2
y
2
MATLAB数值求解命令
y(0) 0
F=inline('1./(1+x.^2)-2*y.^2')；
dy f ( x, y) dx

yn1 h
yn

f ( xn, yn )
3/16
求近似解: 取定步长: h,记
dy

dx

f (x, y), x
x0
y( x0 ) y0
xn = x0 + nh, ( n = 1,2, ···, N ) Euler公式:
yn+1 = yn + h f( xn, yn )
转化为方向余弦
[cosij , sinij ] [
1, 1 kij
求解区域: 0≤ x ≤ 1.5
kij ] 1 kij
2/16
例2. Logistic模型 dy y(1 y)
dx
1
初值条件y(0)=0.2
y1( x) 1 4exp( x)
一阶常微分方程初值问题:
[x,y] = ode23('f',[a,b],y0)
dsolve('eqn1', ...) syms x y
f=inline('y-x.*y.^2'); [x,y]=ode23(f,[0,2],1)

用梯形法解初值问题

用梯形法解初值问题
梯形法又叫裴拉克斯方法，是非线性初值问题解法中最常用的算法之一，可以对多元非线性初值问题运用有效地求解。

该算法是指在一个n-1维近似投影平面上运用两点围成的梯形分割区域（此时称作梯形构件），从而求解初值问题，使得初值问题的求解变得更加简单方便。

首先，来看看梯形法是如何进行求解的：首先，梯形法对n维的非线性问题，一般就将其分成n-1维的近似投影平面进行计算；然后，再在这个平面上构建一个由两点组成的梯形构件，用梯形分割法将该平面分割成S面积；最后，求解初值问题，就是将这些面积当作搜索空间，利用最新的假设，用梯形构件来搜索，然后用最小值的方法来寻找函数最小值，从而求解初值问题。

其次，梯形法求解初值问题有一些好处：
（1）梯形法求解初值问题，利用了梯形分割法，可以减少计算量，进而提高求解效率。

（2）梯形法求解初值问题，可以有效避免出现局部最优解，从而求解出准确结果。

（3）梯形法可以在计算过程中不断重新调整梯形构件的范围，从而更快更有效地搜索最小值，从而提高搜索的效率。

最后，要说明的是，梯形法是一种数值解法，它可以有效地解决
多元非线性初值问题，但梯形法也有一些缺陷，比如对函数的二阶导数的计算，仍然存在很大的误差，这就需要对梯形法进行改进，才能更好地有效地解决初值问题。

总之，梯形法作为一种数值解法，在解决非线性初值问题方面可以起到比较好的效果，它简单且易于实现，可以有效地避免局部最优解，但仍然需要对其进行改进，才能更好地有效解决问题。