运筹学作业汇总

作业一：

（1） Minf(X)=x 12+x 22+8

x 12-x 2≤0 -x 1- x 22+2=0 x 1, x 2≥0

解：该非线性规划转化为标准型为：

Minf(X)=x 12+x 22+8 g 1(X)= x 2- x 12≥0 g 2(X)= -x 1- x 22+2≥0 g 3(X)= x 1+x 22-2≥0 g 4(X)= x 1≥0 g 5(X)= x 2≥0

f(X)， g 1

2 0 ∣H ∣= = =4>0

0 2 -2 0

∣g 1∣= = =0≥0

0 0

0 0 ∣g 2∣= = =0

x 2

2

x 1x 2 x 1x 2

x 12 2f(X) 2

f(X) 2f(X) 2f(X)

x 22

x 1x 2

x 1x 2 x 12

2g 1(X) 2g 1(X)

2

g 1(X)

2

g 1(X) x 22

x 1x 2 x 1x 2

x 12 2

g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X) 2g 2(X)

0-2

设数（0<<1），令C(x)=x2，指定任意两点a和b，则

C(a+(1-)b)= 2a2+(1-)2b2+2(1-)ab (1)

C(a)+(1-)C(b)= a2+(1-)b2 (2)

于是C(a+(1-)b)- (C(a)+(1-)C(b))=a2(2-)-b2(1-)+2(1-)ab

=(2-)(a-b)2≤0

所以C(a+(1-)b)≤C(a)+(1-)C(b)

故C(x)=x2为凸函数，从而g3(X)=x1+x22-2为凸函数。

从而可知f(X)为严格凸函数，约束条件g3(X)为凸函数，所以该非线性规划不是凸规划。

（2）Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2

x12+x22≤4

5 x1+ x3=10

x1, x2, x3≥0

解：该非线性规划转化为标准型为：

Minf(X)=2x12+x22+x32-x1x2

g1(X)=4- x12-x22≥0

g2(X)= 5 x1+ x3-10=0

g3(X)= x1≥0

g4(X)=X2≥0

g 5(X)=X 3≥0

f(X)， g 1(X)，g 2(X)，g 3(X)，g 4(X)，g 5(X)的海赛矩阵的行列式分别为：

从而可知f(X)为严格凸函数，g 1(X)为严格凹函数，又g 2(X)为线性函数，所以该非线性规划是凸规划。 作业二：

分别用分数法和0.618法求函数 f(t)=t 2-6t+2

在区间[0,10]上的极小点，要求缩小后的区间长度不大于原区间长度的3%。 解：（1）分数法

∣H ∣=

由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=-7。

由1/F n≤0.03知，F n≥33.3，查表得n=8。

取a0=0，b0=10

t1= b0+F7/ F8（a0- b0）=3.824，t1’= a0+F7/ F8（b0- a0）=6.176

f(t1)=-6.321，f(t1’)=3.078，f(t1)< f(t1’)

所以a1=a0=0，b1= t1’=6.176，t2’= t1=3.824

t2= b1+ F6/ F7（a1- b1）=2.353，f(t2)=-6.581，f(t2)

所以a2=a1=0，b2= t2’=3.824，t3’= t2=2.353

t3= b2+ F5/ F6（a2- b2）=1.471，f(t3)=-4.662，f(t3) >f(t3’)

所以a3= t3=1.471，b3= b2=3.824，t4=t3’= 2.353

t4’= a3+ F4/ F5（b3- a3）=2.942，f(t4’)=-6.997，f(t4) >f(t4’)

所以a4= t4= 2.353，b4= b3=3.824，t5=t4’=2.942

t5’= a4+ F3/ F4（b4- a4）=3.236，f(t5’)=-6.944，f(t5)

所以a5= a4= 2.353，b5= t5’=3.236，t6’= t5=2.942

t6= b5+ F2/ F3（a5- b5）=2.647，f(t6)=-6.875，f(t6) >f(t6’)

所以a6= t6=2.647，b6= b5=3.236，t7=t6’=2.942

t7’= a6+ F1/ F2（b6- a6）=2.942，f(t7) =f(t7’)

t7=1/2（a6+ b6）=2.942

令t7’= a6+（1/2+ε）（b6- a6）=2.942+0.589ε

因为ε可以是任意小数，取ε=0.001，则t7’=2.943

f(t7) >f(t7’)

故t7’=2.943为函数的近似极小点，近似极小值为-6.997，缩短后的区间为[2.942，3.236]，区间长度为0.294，符合要求。

（2）0.618法

由于f’’(t)=2>0，故f(t)是严格凸函数，由f’(t)=2t-6=0解得t*=3是极小点，f(t*)=-7。取a0=0，b0=10

t1= a0+0.382（b0- a0）=3.82，t1’= b0-0.382（b0- a0）=6.18

f(t1)=-6.328，f(t1’)=3.112，f(t1)< f(t1’)

所以a1=a0=0，b1= t1’=6.18，t2’= t1=3.82

t2= a1+0.382（b1- a1）=2.361，f(t2)=-6.592，f(t2)< f(t2’)

所以a2=a1=0，b2= t2’=3.82，t3’= t2=2.361

t3= a2+0.382（b2- a2）=1.459，f(t3)=-4.625，f(t3)>f(t3’)

所以a3= t3=1.459，b3= b2=3.82，t4= t3’=2.361

t4’= b3-0.382（b3- a3）=2.918，f(t4’)=-6.993，f(t4)>f(t4’)

所以a4= t4=2.361，b4= b3=3.82，t5= t4’=2.918

t5’= b4-0.382（b4- a4）=3.263，f(t5’)=-6.931，f(t5)< f(t5’)

所以a5=a4=2.361，b5= t5’=3.263，t6’= t5=2.918

t6= a5+0.382（b5- a5）=2.706，f(t6)=-6.914，f(t6)>f(t6’)

所以a6= t6=2.706，b6= b5=3.263，t7= t6’=2.918

t7’= b6-0.382（b6- a6）=3.050，f(t7’)=-6.998，f(t7)>f(t7’)

所以a7= t7=2.918，b7= b6=3.263，t8= t7’=3.050

t8’= a7+0.382（b7- a7）=3.050，f(t8)=f(t8’)

令t8’= a7+（0.382+ε）（b7- a7）=3.050+0.345ε，ε为任意小数，则