概率论第一章习题参考解答

概论论与数理统计 习题参考解答 习题一

8. 掷3枚硬币, 求出现3个正面的概率. 解: 设事件A ={出现3个正面}

基本事件总数n =23, 有利于A 的基本事件数n A =1, 即A 为一基本事件, 则125.081

2

1)(3====

n n A P A . 9. 10把钥匙中有3把能打开门, 今任取两把, 求能打开门的概率. 解: 设事件A ={能打开门}, 则A 为不能打开门

基本事件总数2

10C n =, 有利于A 的基本事件数27C n =, 467.015

7

910212167)(2102

7==⨯⨯⋅⨯⨯==C C A P

因此, 533.0467.01)(1)(=-=-=A P A P .

10. 一部四卷的文集随便放在书架上, 问恰好各卷自左向右或自右向左的卷号为1,2,3,4的概率是多少?

解: 设A ={能打开门},

基本事件总数2412344=⨯⨯⨯==P n , 有利于A 的基本事件数为2=A n , 因此, 0833.012

1)(===

n n A P A . 11. 100个产品中有3个次品,任取5个, 求其次品数分别为0,1,2,3的概率. 解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3,

基本事件总数5

100C n =, 有利于A i 的基本事件数为3,2,1,0,5973==-i C C n i i i

则

00006

.098

3351

2

196

979697989910054321)(006

.098

33595

32195

969739697989910054321)(138

.098

332094

95432194

959697396979899100543213)(856

.033492031

4719969798991009394959697)(51002

97335

100

3

9723225

100

4

971151005

9700=⨯⨯=

=

⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====⨯⨯⨯=

⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⋅⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⨯===⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C n n A P C C C n n A P C C n n A P C C n n A P

12. N 个产品中有N 1个次品, 从中任取n 个(1≤n ≤N 1≤N ), 求其中有k (k ≤n )个次品的概率. 解: 设A k 为有k 个次品的概率, k =0,1,2,…,n ,

基本事件总数n

N C m =, 有利于事件A k 的基本事件数k

n N N k N k C C m --=11,k =0,1,2,…,n ,

因此, n k C C C m m A P n

N

k

n N N k N k k ,,1,0,)(1

1 ===-- 13. 一个袋内有5个红球, 3个白球, 2个黑球, 计算任取3个球恰为一红, 一白, 一黑的概率.

解: 设A 为任取三个球恰为一红一白一黑的事件,

则基本事件总数3

10C n =, 有利于A 的基本事件数为121315C C C n A =, 则25.041

2358910321)(3

10

1

21315==⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯===C C C C n n A P A 14. 两封信随机地投入四个邮筒, 求前两个邮筒内没有信的概率以及第一个邮筒内只有一封

信的概率.

解: 设A 为前两个邮筒没有信的事件, B 为第一个邮筒内只有一封信的事件, 则基本事件总数1644=⨯=n , 有利于A 的基本事件数422=⨯=A n , 有利于B 的基本事件数632=⨯=B n , 则25.04

1164)(====

n n A P A 375.08

3166)(====

n n B P B .

15. 一批产品中, 一, 二, 三等品率分别为0.8, 0.16, 0.04, 若规定一, 二等品为合格品, 求产品的合格率.

解: 设事件A 1为一等品, A 2为二等品, B 为合格品, 则 P (A 1)=0.8, P (A 2)=0.16,

B =A 1+A 2, 且A 1与A 2互不相容, 根据加法法则有 P (B )=P (A 1)+P (A 2)=0.8+0.16=0.96

16. 袋内装有两个5分, 三个2分, 五个一分的硬币, 任意取出5个, 求总数超过一角的概率. 解: 假设B 为总数超过一角,

A 1为5个中有两个5分, A 2为5个中有一个5分三个2分一个1分, A 3为5个中有一个5分两个2分两个1分, 则

B =A 1+A 2+A 3, 而A 1,A 2,A 3互不相容, 基本事件总数25276235

43216

789105

10=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=

=C n

设有利于A 1,A 2,A 3的基本事件数为n 1,n 2,n 3, 则

5

.0252

126

252601056)(,

602

14532,

1052,

563216

7825

23

1

2

31

53312238221==++==⨯⨯⨯⨯===⨯===⨯⨯⨯⨯=

=B P C C C n C C C n C C n 17. 求习题11中次品数不超过一个的概率.

解: 设A i 为取到i 个次品, i =0,1,2,3, B 为次品数不超过一个, 则B =A 0+A 1, A 0与A 1互不相容, 则根据11题的计算结果有 P (B )=P (A 0)+P (A 1)=0.856+0.138=0.994

19. 由长期统计资料得知, 某一地区在4月份下雨(记作事件A )的概率为4/15, 刮风(用B 表示)的概率为7/15, 既刮风又下雨的概率为1/10, 求P (A |B ), P (B |A ), P (A +B ). 解: 根据题意有P (A )=4/15, P (B )=7/15, P (AB )=1/10, 则

633

.03019

303814101154157)()()()(275.08

3

15/410/1)())|(214.0143

15/710/1)()()|(==-+=-+=-+=+========

AB P B P A P B A P A P PAB A B P B P AB P B A P

20. 为防止意外, 在矿内同时设有两种报警系统A 与B , 每种系统单独使用时, 其有效的概

率系统A 为0.92, 系统B 为0.93, 在A 失灵的条件下, B 有效的概率为0.85, 求 (1) 发生意外时, 这两个报警系统至少有一个有效的概率 (2) B 失灵的条件下, A 有效的概率

解: 设A 为系统A 有效, B 为系统B 有效, 则根据题意有 P (A )=0.92, P (B )=0.93, 85.0)|(=A B P