复数的概念和加减

【知识梳理】 1.虚数单位i :

()1它的平方等于1-，即

21i =-;

()2实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2.i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另

一个根是i -.

3.i 的周期性：41n i i +=, 421n i +=-, 43n i i +=-, 41n i =.

4.复数的定义：形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部.全体

复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示

5.复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a bi

+的形式，叫做复数的代数形式.

6.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当0b =时，复数(,)a bi a b R +∈是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，

z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0

7.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘

8.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等.这就是说，如果a ，b ，c ，d R ∈，那么a bi c di +=+⇔a c =,b d = 【典型例题分析】

例1、判断下列结论是否正确

（1）a b R ∈、,则a bi +是虚数； （2）b R ∈，则bi 是纯虚数； （3）z=a 不是虚数；

（4）*

(,)z a bi a b N =+∈是虚数

变式练习：判断下列命题的真假 命题1：2

0∈≥若z C,则z

命题2：22,,,()()0,x y z C x y y z x y z ∈-+-===若则 命题3：,2a R a ∈+若则()i 是纯虚数

命题4：,,00,00p q C p q pq p q ∈>>>+>若且则且

例2、实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =++-是：

（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数

变式练习：

m 取何值时，复数226

(215)3

m m z m m i m -+=

+--+（1）是实数 （2）是虚数 （3）是纯虚数

例3、已知(310)(2)19i y i x i -+-+=-，求实数x,y.

变式练习1：已知223(1)2()x y i i x yi +-+=-，其中x,y 都是实数，求复数x+yi

变式练习2：2

2,11022

a

x R a x x i xi x i ∈--=--若试确定取什么实数时，等式3成立？ 例

4、求满足

221222

log (1)log (3)log (2)log (33),m m i n n n i m n ++->++--的实数的范围。

例

5、设复数

31(2)()Z z a a i a R a =-+-∈求为何值时，表示复数z 的点在第二象限？第三象限？

在实轴上？在虚轴上？能否在原点？

例

6

、

已

知

复

数

121235(1),2(23)(,),,,z x y i z y x i x y R z x y

=-++=+-∈若z 在复平面内对应的点重合，求

例7、已知复数22123(5),1(21)()z a a i z a a a i a R =-++=-++-∈，分别对应向量

12,()OZ OZ O 为原点若向量 121212Z Z (Z Z =z -z ) 对应的复数为纯虚数，求a 的值。

变式练习：

在复平面内，已知等边三角形ABC 的两个顶点AB 所表示的复数分别为1322

i +和2，求第三个顶点的坐标。

【课堂小练】

1. 已知z i =-1，则在复平面上与iz 对应的点所在的象限是 （ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限期 （D ）第四象限

2. 将复数1+i 对应的向量按顺时针方向旋转512

π

，再把它的模变为原来的2倍，则与所得到的向量对应的复数是 （ ）

（A ）-+3i （B ）--3i （C ）3-i （D ）3+i

3. 把复数z i =-+3所对应的向量→

OZ 绕原点逆时针旋转

π

3

后，再将所得向量的模伸长到原来的2倍 ，得向量→

OQ ，则向量→ZQ 对应的复数是 （ ） （A ）--232i （B ）-2i （C ）33+i （D ）--33i

4. 把复数z 1 与z 2所对应的向量→

OA 、→

OB 分别按逆时针方向旋转4π和3

4π后，恰重合于向量→

OM 。若z 2＝ 1 －3 i , 则z 1等于 （ ）

(A) － 2 －2i (B)－2＋2i (C) 1 －3i (D) 1 ＋ 3i

【课后练习】

1、复数2(1)(35)2(23)i m i m i +-+-+时纯虚数时，实数m 的取值为

2、a=0是复数z=a+bi 是纯虚数的 条件（必要，充分，充要）

3、如果210(7)z a a i a R =+-∈中（）,Rez=Imz 则a =

4、求是和下列各等式的x,y

222222(1)()(24)138;(2)()22;

(3)(1130)(6)0

x y x y i i x y xyi i x x y y i ++-=--+=--+++-=

5、已知

x 为实数，是否存在实数a 使得复数

22212123(1)271?z x x a i z x a ax z z =+-+=+-->和（+）i 满足关系

若存在，求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。

6、若复数(1-a)+(a 2

-4)i(i 为虚数单位)在复平面上的对应点在第三象限，则实数a 的范围为____________.