理论力学 陈立群 第9章习题解答

第九章平衡问题——能量方法 习题解答
9-1质量为3 kg 的质点以5 m/s 的速度沿水平直线向左运动。

今对其施以水平向右的的常力，此力的作用经30 s 而停止，这时质点的速度水平向右，大小为55 m/s 。

求此力的大小及其所做的功。

解：取质点m 为研究对象。

由质点动量定理；
()12v v F -=m t ：()12v v m Ft +=，
解得：()())N (630
555312=+=+=
t v v m F .
由质点动能定理； ()()
)J (450055532
121222122=-⨯⨯=-==v v m Fs W .
9-2如图所示，一弹簧振子沿倾角为ϑ的斜面滑动，已知物块重G ，弹簧刚度系数为k ，
动摩擦因数为f ；求从弹簧原长压缩s 的路程中所有力的功及从压缩s 再回弹λ的过程中所有力的功。

解：取物块为研究对象。

物块受到重力G ，弹簧力F ，斜面摩擦力m ax F 和法向反力N F 作用，其中仅法向反力N F 不作功。

在弹簧压缩过程中，所有力的功为 ()22
1cos sin ks s f G W -
-=ϑϑ 在弹簧压缩s 再回弹λ的过程中，所有力的功为 ()()[]
2
22
1cos sin λλϑϑ--+--=s s k f G W 。

9-3弹簧原长l ，刚度系数为k ，一端固定在O 点，此点在半径为r = l 的圆周上。

如弹簧的另一端由图示的B 点拉至A 点，求弹簧力所做的功。

AC ⊥BC ，OA 为直径。

解：在B 点弹簧的变形为(
)
l 121-=
λ，
在A 点弹簧的变形为l =2λ。

弹簧力所做的功为
(
)()
22221122
1kl k W --=-=
λλ。

9-4图示机构在力F 1和F 2作用下在图示位置平衡，不计各构件自重和各处摩擦，OD=BD=l 1，AD=l 2。

求F 1/F 2的值。

解：用解析法解题。

()j i F ϑϑcos sin 11-=F , i F 22F = 点A 和B 的坐标及其变分为
()()j i r ϑϑsin cos 2121l l l l A ++--= ，
i r ϑcos 21l B -=
题9-2图
题9-3图
质点的受力图
()()j i r δϑϑδϑϑ⋅++⋅-=cos sin δ2121l l l l A ，i r δϑϑ⋅=sin 2δ1l B 。

按虚功原理，有
0=⋅∑i i
i F r δ，021=⋅+⋅B A r F r F δδ，
即
()()[]
0sin 2cos sin 12212
212
1=++--ϑϑϑl F l l l l F ，
()
ϑ
ϑ212121sin 21sin 2-+=l l l F F 。

本题也可以用虚速度方法计算A 点和B 点的虚位移关系。

9-5图示机构中曲柄AB 和连BC 为匀质杆，长度相同，重量均为P1。

滑块C 的重量为P2，可沿倾角为ϑ的导轨滑动。

设约束都是理想的，求机构在铅垂面内的平衡位置。

解：选ϑ广义坐标，诸力作用点的y 坐标及其变分为
()ϕϑ+=sin 211l y C ， ()δϕϕϑδ⋅+=cos 2
1
1l y C ； ()ϑϕϑϕ-+=sin 21sin cos 22l l y C ， ()δϕϑϕϑϕδ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+-=cos 21sin sin 22l l y C ;
ϑϕsin cos 2l y C =, δϕϑϕδ⋅-=sin sin 2l y C .
按虚功原理，有 0=⋅∑i i
i F r δ, 021121=++C C C y P y P y P δδδ,
解得：()ϑϕcot 2tan 2
11
P P P +=。

9-6两相同的匀质杆，长度为l ，重为G ，其上作用有如图之力偶M ，
试求平衡时杆与水平线的夹角21,ϑϑ。

解：本题是2自由度系统，选21,ϑϑ为广义坐标，计算两杆的形心坐标及其变分
1sin 211ϑl y C =， 11cos 2
1
1δϑϑδ⋅=l y C ； 21sin 21sin 2ϑϑl l y C +=， 2211cos 2
1
cos 2δϑϑδϑϑδ⋅+⋅=l l y C 。

按虚功原理，取虚位移 0,021=≠δϑδϑ， 虚功为
211C C y G M y G W δδϑδδ+-=
关于1ϑ的广义力
0cos cos 2
111=-+=M Gl l
G Q ϑϑ， 解得：Gl
M
32arccos 1=ϑ；
取虚位移 0,021≠=δϑδϑ， 虚功为
212C C y G M y G W δδϑδδ++=
关于2ϑ的广义力
题9-6图
题9-5图
0cos 2
22=-=M l
G Q ϑ 解得：Gl
M
2arccos 2=ϑ。

9-7在图示机构中，当曲柄OC 绕O 轴摆动时，滑块A 沿曲柄滑动，从而带动杆AB 在铅直导槽内移动，不计各构件自重和各处摩擦。

求机构平衡时F 1与F 2的关系。

解：本题的自由度为1，虚功方程为
021=+-A C r F r F δδ , (a) 计算虚位移。

选ϕ为广义坐标， ϕδϕδcos e l r =
, ϕδδa r =C , ϕ
δδδcos e
a A r r r ==. 代入（a ）式，导出 0cos 22
1=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+-ϕδϕl F a F
解得：22
1cos F a l
F ϕ
=。

9-8在图示机构中，曲柄OA 上作用一力偶M ，滑块D 上作用一力F 。

机构尺
寸如图示，不计各构件自重和各处摩擦。

求机构平衡时力F 与力偶M 的关系。

解：图示机构的自由度为1。

给机构任一虚位移，D 点的虚位移为D r δ,曲柄AO 的虚角位移为δϕ，列出虚功方程
0=-D r F M δδϕ， （a ） AB 杆和BD 杆的虚位移瞬心为BD AB C C ,，存在如下关系
ϑδϑδδϕδ2cos cos ,B A A r r a r ==，()ϑδϑδcos 290cos D B r r =-
.
代入式（a ），解得
ϑ2cot a
M
F =.
9-9重为G 1的杆AB 铅垂放置，一端A 搁在水平放置的斜面D 上平衡。

若D 的重量为G 2，试求（1）不计所有摩擦，水平力F 的大小；（2）水平面有摩擦，摩擦因数为f ，水平力F 的范围。

(a)解：在系统的虚位移中，AB 杆上的A 点作合成运动，如图示。

（1）不计所有摩擦时，列出虚功方程 01=-a e r G r F δδ
按速度合成定理，虚位移存在如下关系：βδδtan e a r r =，于是
导出 βtan 1G F =.
（2）水平面有摩擦时，当水平力F 较小，斜面D 有向左运动趋势，此时摩擦力方向向右，临界平衡时，虚功方程为
()01max =-+a e r G r F F δδ， 其中()f G G F 21max +=。

求得：()f G G G F 211tan +-≥β.
题9-7图
题9-8图
（a ）
题9-9图
同理，当水平力F 较大，斜面D 有向右运动趋势，此时摩擦力方向向左，临界平衡时，虚功方程为
()01max =--a e r G r F F δδ 求得：()f G G G F 211tan ++≤β。

合在一起写作 ()()f G G G F f G G G 211211tan tan ++≤≤+-ββ。

(b) 解：本体与上题在于ϑ是变量，只要将上题中的β表示成h 的函数即可。

易见βϑ-=
90，h
h R 2
2cot tan -==ϑβ，代入上式结果，分别得到（1）12
2G h
h
R F -=， （2）()()f G G G h
h R F f G G G h
h R 2112
22112
2+--≤
≤+--。

9-10不计梁的自重，求图示水平梁在支座B 和C 处的约束力。

（a ）解：图示组合梁的自由度为零。

为用虚功原理求解，须解除一个约束，使之成为自由度为1的系统。

先解除滑动铰链C ，将约束力C F 当作主动力。

给系统任一虚位移δϑ，列出虚功方程 0=-δϑδM r F C C
虚位移的关系为δϑδl r C =，代入上式，导出
l M F C /=
其次解除滑动铰链B ，同理列出虚功方程 0=+-δϑδδM r F r F D B B ，
虚位移的关系为δϑδδl r r D B ==2，代入上式，导出 (),/21l M F F B -=
(b)解：先解除滑动铰链B ，给系统任一虚位移δϑ，列出虚功方程：
02
21=+-+-δϑδϑδϑδϑl F l
F M l F B ，
解得： ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+
=l M F F F B 221 再解除滑动铰链C ，给系统任一虚位移δϑ，列出
虚功方程：
0222
221=-++-δϑδϑδϑδϑl F l
F M l F C
解得： ⎪⎭
⎫ ⎝⎛++-=
l M F F F C 22121 （b ）
题9-9图
题9-10图（a ）
9-11不计杆重，求图示结构固定端A 处约束力的铅垂分量。

解：解除固定端A 的铅垂方向的约束，并代之以约束反力Ay F ，系统的自由度为1。

给系统任一虚位
移：AC 杆为虚平移r δ，B 点为水平虚位移B r δ。

找得BC 折杆的瞬心CB C ，如图（a ）所示。

列出虚功方程：
()
0δδ21=⋅+⋅-D Ay r F r F F ，
题9-11图 题9-11图（a ） 其中，l r h r D δδ=。

解得： l h F F F Ay /21-=。

9-12水平力F 1和F 2分别作用于杆BC 和杆CD 的中点，如图示。

不计`杆重，试计算固定端A 的约束力偶M A 。

解：解除固定端的转动约束而成为固定铰链，并代之以约束力偶，如图（a ）所示。

给机构
任一虚位移：AB 杆绕A 的虚转动ϑδ，BC 杆的瞬时虚平移C r h r δδδB ==ϑ，
CD 杆绕D 的虚转动h r C 2δδ=ϕ。

列出虚功方程：
021=--δϕδδϑh F r F M B ，解得：
()h F F M A 2/21+=。

9-13三根相同的匀质杆用铰链连接后，一端用铰链固定，一端有水平力作用如图示。

设杆重G ，求平衡时的角ϑ值。

解：本题为3自由度系统。

总势能为
()21cos cos cos 5ϑϑϑ++-=Gl V 力F 作用点的x 坐标为
()21sin sin sin 2ϑϑϑ++-=l x , 平衡方程为
ϑϑ
Q V
=∂∂ 其中，ϑ
ϑ∂∂-=x
F Q 。

即
ϑϑcos 2sin 5Fl Gl =，
解得： G
F 52arctan =ϑ。

9-14计算图示机构在图示平衡位置时主动力之间的关系。

不计各构件自重和各处摩擦。

（a ）解：图示机构的自由度为1，选ϑ位广义坐标，给机构任一虚位移δϑ，列出平衡方程 0=--C x F M δδϑ
其中ϑcos 2l x C =，ϑδϑδsin 2l x C -=。

解出：Fl M 3=
（b ）解：图示机构的自由度为1，选ϑ位广义坐标，给机构任一虚位移δϑ（顺时针），计
题9-13图 题9-13图（a ）
例9-13图 受力图
算虚位移。

取D 为动点，杆AB 为动系，虚位移合成图如图示，
ϑδδe l r =，ϑδ260cos δδe
a l r r ==
DC 杆的虚角位移为l
r
a δ=δϕ，（顺时针）。

列出平衡方程
0δδ2=-⋅ϕϑM l F
解得：Fl M =。

9-15图示机构中AC=CD=DE ，今在三杆上分别作用一力偶，并在图示位置平衡。

已知M 1，求M 2和M 3。

不计各构件自重和各处摩擦。

解：图示机构的自由度为2，选ϑ,x 为广义坐标。

1） 给系统一虚位移：0,0≠=δϑδx ， 此时，DE 杆作虚平移，虚功方程为 031=⋅+⋅-δϑδϑM M ，
解得：M 3= M 1 。

2） 给系统一虚位移：0,0=≠δϑδx 。

取E 为
动点，AB 杆为动系，AB 杆的虚角位移为
δϕ，
（逆时针）。

于是，δϕδl r =e ，δϕδδl r r 260sin e
a ==
，DE 杆虚角位移为
δϕδδψ2a
==
l
r 。

虚功方程为 021=⋅+⋅-δψδϑM M
解得， M 2= M 1/2。

9-16图示滑套D 套在直杆AB 上，并带动CD 杆在铅直滑道上滑动。

已知0=ϑ时弹簧为原长，弹簧刚度系数为5 kN/m ，不计各构件自重和各处摩擦。

求在任意位置平衡时应加
多大的力偶矩M ？
解：自由度为1，选ϑ为广义坐标，弹簧力为
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=1cos 1ϑkl F ；ϑcos l l AD =。

虚功方程为
0=-AD l F M δδϑ
(a1) (a2) （b1） (b2) 题9-14图
题9-15图 虚位移图
其中 δϑϑ
ϑ
δ2cos sin l l AD =。

解得 )m N (cos )
cos 1(sin 4503
⋅-=ϑ
ϑϑM 。

9-17 长度相等的两杆AB 和BC 在B 点用铰链连接，在D 、C 两点用弹簧连接，形成图示机构。

弹簧刚度系数为k ，当AC=a 时，弹簧为原长，不计各构件自重和各处摩擦。

今在点C 处作用一力F ，机构处于平衡，求距离AC 之值。

解：机构的自由度为1。

选x 为广义坐标，弹簧变形为 ()a x l
b
l -=
∆， 弹性势能为
()2
2⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a x l b k V ，
平衡方程为 x Q x
V
=∂∂，其中F Q x =，即
()F a x l b k =-⎪⎭
⎫
⎝⎛2
解得 2
⎪⎭
⎫
⎝⎛+==b l k F a x AC 。

9-18一质量为m 的小球A 可沿铅垂放置的半径为r 的光滑固定圆环运动，同时，小球用刚度系数为k 、原长为l 0＜2r 的弹簧连接，弹簧的另一端固定在圆环上的B 点，如图所示。

设kr ＞mg ，试求小球的平衡位置，并讨论其稳定性。

解：小球A 的势能为 ()202
cos 22
cos 2l r k
r mg V -+
-=ϑϑ 小球的平衡位置由下述方程决定
0=∂∂ϑ
V
，()0sin 2cos 2sin cos 40=--ϑϑϑϑr l r k r mg ()[]0sin cos 20=--ϑϑkl mg kr 。

所以，当()120
≥-=
mg kr kl σ时，唯一平衡位置01=ϑ 当()
120
<-=
mg kr kl σ时，除01=ϑ外，还有另一平衡位置 σϑarccos 2=。

稳定性讨论：
()()
ϑϑϑcos 2cos 21402
2
2rkl mg kr r V +--==∂∂ ()[]mg kr kl r V --=∂∂=2200
22ϑϑ，
∴当()
120
≥-=
mg kr kl σ时，唯一平衡位置01=ϑ稳定 ；
题9-18图
题9-17图
当()
120
<-=
mg kr kl σ时，平衡位置01=ϑ不稳定 ；
()()⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=∂∂=2
2
arccos 22
2142
mg kr kl mg kr mg kr r V
σ
ϑ
ϑ， ∴当()
120
<-=
mg kr kl σ时，平衡位置σϑarccos 2=稳定。

9-19质量为m 的单摆D 由不计质量的杆OD 连接，可绕O 转动，杆上一点A 与点B 以一刚度系数为k 、原长为l 0的弹簧连接。

设OA=l ，OD=L ，OB=2l 。

试求单摆的平衡位置，并讨论其稳定性。

解：选ϕ为广义坐标，系统的势能为
()
20cos 452
1
cos l l k mgL V --+-=ϕϕ，
令0=ϕ
d dV
，导出平衡位置为01=ϕ，πϕ=2 讨论其稳定性。

当0=ϕ时，
()l l kl mgL d V
d --==00
222ϕϕ 所以，)(20l l kl mgL ->时稳定； 当πϕ=时，
⎪⎭
⎫
⎝⎛-+-==l l kl mgL d V d 3202
2π
ϕϕ
所以，)3/(20l l kl mgL -<时稳定.
题9-19图。