分式方程增根练习题

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分式方程增根与无解专题

分式方程的增根和无解专题讲义题型一：解分式方程，解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为 0,所以解分式方程必须检验.x 1 4x 1 x 2 1专练一、解分式方程（每题5分共50分）题型二：关于增根：将分式方程变形为整式方程，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式，并越去分母，有时可能产生不适合原分式方程的根，这种根通常称为增根•…、 1 x 4例2、若方程」 7 有增根，则增根为 .x 3 3 x有增根，则增根是多少？产生增根的m 值又是多少？ (1) X 2 3 4xx 2 3 (2) 1200 1200 x 2 x30 (4) 空 5 =1 ⑸ 2x 5 5x 2 1 2 4 x 1 x 1 x 2 1 7 4 6 x 2 x x 2 x x 2 1 (7) (8) x 2x 5 5 5 2x (9) 1 1x 2 5x 6 x 2 x 6例1.解方程⑴ 例3 •若关于x 的方程 mx 2 9x 3评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是:(1) (2) (3) 专练习二:将所给方程化为整式方程；由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出）将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值。

3 —有增根，则增根为31、已知关于x 的方程-―m m 无解，求m 的值.1.若方程 2、使关于x 的方程 a 22x 4 产生增根的a 的值是（ 2 x A. 2B. C. 2 D.与a 无关 2x 3、若解分式方程二x 1 A. — 1 或一2 B.m ~~2 x 产生增根，则m 的值是（ C. 1 或 2 D. 1 或一2 4.当m 为何值时，解方程m -会产生增根？ 15、关于x 的方程k 2 ——会产生增根，求k 的值。

x 36、当k 为何值时，解关于 x 的方程: k 1 x2 只有增根X =1。

x 17、当a 取何值时，解关于 x 的方程: 2x 2 axx 2 x 1 无增根?题型三：分式方程无解 ①转化成整式方程来解 ,产生了增根；②转化的整式方程无解例4、无解，求m 的值. 2 x18的解为x ,则a =4例6、.关于x 的方程1的解大于零，求m 的取值范围 x 2注:解的正负情况：先化为整式方程，求整式方程的解 1.右分式方程 2(xa) 2 的解为x 3,则a =.a(x 1) 5 2、关于x 的方程■土空乙』Xx 3 3 x 优解，求m 的值。

七下提练第12招巧解分式方程的增根问题习题新版浙教版

(1)已知m＝4，求方程的解；
【解】原方程当 m＝4 时，分式方程为x－2 1＋(x－14)x(x＋2)＝x＋1 2，去分母，得 2(x＋2)＋4x＝x－1，解得 x＝－1，经检验：x＝－1 是原方程的根．
(2)若该分式方程无解，试求m的值．【解】原方程去分母得2(x＋2)＋mx＝x－1，整理得(m＋1)x＝－5, ∵分式方程无解，∴m＋1＝0或(x＋2)(x－1)＝0. 当m＋1＝0时，m＝－1；当(x＋2)(x－1)＝0时，x＝－2或x＝1.
当 x＝－2 时，－2(m＋1)＝－5，解得 m＝32；当 x＝1 时，m＋1＝－5，解得 m＝－6. ∴m＝－1 或－6 或32.
6.当 a 为何值时，关于 x 的分式方程xx－－a1－3x＝1 无解．【解】原方程化为整式方程为x(x－a)－3(x－1)＝ x(x－1)，整理，得(a＋2)x＝3. 当a＝－2时，方程无解，原分式方程无解；当x＝0时，方程无解；当x＝1时，原分式方程有增根，此时a＝1.综上，a的值为1或－2.
7.已知关于 x 的分式方程xx(x2＋－42)－x－x 2＝ax无解，求 a 的值．【解】原方程化为整式方程为x2＋4－x2＝a(x－2)，整理，得ax＝4＋2a. 当a＝0时，分式方程无解；当x＝0时，原分式方程有增根，此时a＝－2；当x＝2时，方程无解．综上，a的值为0或－2.
8. [2023·绍兴月考]已知关于 x 的分式方程x－2 1＋ (x－1m)(xx＋2)＝x＋1 2.
4.若关于 x 的分式方程3xx＋－12＝2＋x＋m 1 无解，求 m 的值．
【解】原方程去分母，得3x－2＝2(x＋1)＋m，整理，得x＝m＋4，由分式方程无解，得x＋1＝0，所以x＝－1. 将x＝－1代入x＝m＋4，得－1＝m＋4，解得m＝－5.

分式方程的增根答案 (1)(1)

分式方程的增根、无解、特殊解答案一、选择题1．（2021·武冈市第二中学八年级月考）若方程（）xx -3﹣2＝kx -3会产生增根，则k 的值为A．6﹣x B．x﹣6 C．﹣3 D．3 【答案】D【分析】由于方程xx -3﹣2＝kx -3会产生增根，故x＝3，所以把x＝3 代入x-2（x−3）＝k，求得k的值即可．【详解】解：∵所给的关于x 的方程有增根，即有x−3＝0，∴增根是x＝3，而x＝3 一定是整式方程x-2（x−3）＝k 的解，将其代入，得3-2（3−3）＝k，解得：k＝3．故选：D．【点睛】本题考查对分式方程增根的理解，因为增根是使方程分母为零的数值，所以在解关于增根的方程时会形成一个关于另一个字母的整式方程，要注意体会二者之间的联系．2．（2021·上海九年级专题练习）若关于x 的分式方程取值范围是( )1x +k=5x -1的根为正数，则k 的A．k<-1且k≠-1 B．k≠-1 C．-51 1<k<1 D．k<-5 5【答案】A【分析】先去分母求出分式方程的解，再根据此方程的解为正数，列出关于k 的不等式，注意此方程有解，则x≠1，x≠﹣k，求出k 的取值范围即可．【详解】方程两边同时乘以（x+k）（x-1）得：⎩x ﹣1=5x +5k 解之：x = -5k +14∵x ＞0 且 x ≠1，x ≠﹣k ∴ -5k +1＞0 且-5k +1≠1 且-5k +1≠﹣k ，4 44解得：k ＜ - 1且 k ≠﹣1，5∴k ＜ - 1且 k ≠﹣15故答案为：A 【点睛】本题考查分式方程的解、解分式方程、解一元一次不等式，理解分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答的关键，注意使分式有意义的隐含条件． 3．（2021·山东日照市·八年级期末）已知关于 x 的分式方程x - a = 1的解是非负数，那么x - 2 2a 的取值范围是（） A ． a ≥ 1 【答案】CB ． a ≤ 1C ． a ≥ 1且 a ≠ 2D ． a ≥ 1且 a ≠ 1【分析】先解分式方程，再根据方程 x - a = 1的解为非负数，列不等式组可以求得 a 的取值范围． x - 2 2【详解】解：x - a = 1 ，x - 2 2方程两边同乘 2（x ﹣2），得 2（x ﹣a ）＝x ﹣2，去括号，得 2x ﹣2a ＝x ﹣2，移项、合并同类项，得 x ＝2a ﹣2， ∵关于 x 的分式方程x - a = 1的解为非负数，x ﹣2≠0， x - 2 2⎧2a - 2 0 ∴ ⎨2a - 2 - 2 ≠ 0 ，解得 a ≥1 且 a ≠2．故选：C ．【点睛】⎩ m 本题考查解一元一次不等式组、分式方程的解，解答本题的关键是明确解分式方程的方法，注意：分式方程分母不能为 0．4．（2021·河北廊坊市·八年级期末）若关于x 的分式方程 m- 3= 1的解是非负数， x -1 1- x则 m 的取值范围是（）A ． m ≥ -4 ， m ≠ 1 C ． m ≥ 2且m ≠ 3B ． m ≥ -4 且 m ≠ -3 D ． m > -4【答案】B 【分析】先去分母得到整式方程 m +3＝x ﹣1，再由整式方程的解为非负数得到 m +4≥0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为 0 得到 m +4≠1，然后求出不等式的公共部分得到 m 的取值范围．【详解】解：去分母得 m +3＝x ﹣1，整理得 x ＝m +4，因为关于 x 的分式方程 -3=1 的解是非负数，所以 m +4≥0 且 m +4≠1，解得 m ≥﹣4 且 m ≠﹣3，故选：B ．【点睛】x -1 1- x本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于 0 的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，可能产生增根，增根是令分母等于 0 的值，不是原分式方程的解．⎧2(x +1) -1 3 5．（2021·沙坪坝区·重庆八中九年级期末）若关于 x 的不等式组⎨x - a ≥ 0无解，且关于 y 的分式方程y= a - 6 -1有正整数解，则所有满足条件的 a 的值之和为（） y -3 3- yA ．16B ．15C ．13D ．12【答案】D 【分析】先根据不等式组无解解得 a > 1，再计算分式方程当 y 为正整数解时，解得符合条件的 a 的⎩ 值，最后求和．【详解】⎧2(x +1) -1 3① 解： ⎨x - a ≥ 0②解不等式①得： x ≤ 1，解不等式② 得： x ≥a此方程无解，∴a > 1y = a - 6 -1 y -3 3- y∴y = 6 - a -y - 3 y - 3 y - 3 y - 3∴y y - 3 = 6 - a - y + 3 y - 3此分式方程有正整数解，∴ y ≠ 3∴ y = 6 - a - y + 3 ∴ y =9 - a > 0, y 为正整数2∴1 < a < 9, y = 1、2、4即∴9 - a = 2、9 - a = 4、9 - a = 8∴ a = 7、a = 5所有满足条件的 a 的值的和为： 5 + 7 = 12 故选：D ．【点睛】本题考查解一元一次不等式组、分式方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．6．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学八年级开学考试）若整数 a 使关于 x 的不等式组+⎧ 1(x - 4) + x ≥ 3 ⎪ 2 2 ax 3 无解，且使关于 x 的分式方程 + = 2有整数解，那么所有满足 ⎨ a - x x - 3 3 - x ⎪ ≥ 0 ⎩⎪ 4条件的 a 的值的和是（）A ．2B ．3C ．7D ．8【答案】B【分析】解不等式组中的两个不等式，根据不等式组无解得出 a 的范围；解分式方程知 x =33，2 - a由分式方程有整数解可知【详解】2 - a=±1、-3，求得 a 的值后求和即可得.1x 解：解不等式 2 （x -4）+ 2≥3 得 x ≥5，a - x 解不等式4≥0，得 x ≤a ，∵不等式组无解，∴a ＜5；ax3 解方程组= 2得 x = 3 ， x - 3 3 - x ∵分式方程有整数解， 32 - a∴2 - a=±1、-3，解得：a =1、-1 或 3，∴所有满足条件的 a 值的和为 1-1+3=3，故选：B ．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组和分式方程的能力，解题的关键是熟练掌握解不等式（组）和分式方程的基本技能，并求得符合条件的 a 的值．7．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学九年级月考）若整数 a 使关于 x 的分式方程3xa - 5 ⎧ y + a > 7 y - 4 - = 1的解为正数，且使关于 y 的不等式组 ⎪ y -1 2 y -1 有且只有两个整数x - 2 2 - x ⎨ ≤解，则所有符合条件的整数a 的和为（） ⎩⎪ 2 3⎪ ⎪ A ． -2 【答案】AB ． -3C ．1D ．4【分析】根据题意可以求得 a 的取值范围，从而可以得到符合条件的a 的整数值，从而可以解答本题．【详解】3x 解：由方程- a - 5 = 1， x - 2 2 - x 解得： x = 3 - a ，2⎧ 3 - a > 0 ⎪ 2 ∴ ⎨3 - a ，≠ 2 ⎩⎪ 2解得： a < 3且 a ≠ -1；⎧ y + a > 7 y - 4⎪ 解不等式组⎨ y -1 ≤2 y -1 ， ⎩⎪ 2 3⎧ y < 4 + a 解得： ⎨ 6 ， ⎪⎩ y ≥ -1∵不等式组有且只有两个整数解，∴0 < 4 + a ≤ 1，6∴ -4 < a ≤ 2， ∵ a < 3且 a ≠ -1； ∴ -4 < a ≤ 2，且 a ≠ -1，∴所有符合条件的整数 a 有： -3， -2 ，0，1，2； ∴ -3 + (-2) + 0 +1+ 2 = -2 ；故选：A ．【点睛】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式（组）、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答．⎨ ⎨ ⎨ ⎧ 2x + 3 ≥ x -18．（2021·上海九年级专题练习）如果关于x 的不等式组⎪3 有且只有两个奇数 ⎪⎩4x - 6 > a - 4解，且关于 y 的分式方程3y - a -10= 1的解为非负整数，则符合条件的所有整数 a 的 y - 2 2 - y和为（）A ．8B ．16C ．18D ．20【答案】B【分析】⎧ 2x + 3 ≥ x -1a + 2由关于 x 的不等式组⎪3 可得 < x ≤ 6，由关于y 的分式方程 4 ⎪⎩4x - 6 > a - 43y - a -10 = 1可得 y = 8 - a，进而可由不等式组的解有且只有两个奇数解和分式方程y - 2 2 - y2的解为非负整数可求解．【详解】⎧ 2x + 3 ≥ x -1a + 2解：由关于x 的不等式组⎪3 可得 < x ≤ 6，4 ⎪⎩4x - 6 > a - 4∵关于 x 的不等式组有且只有两个奇数解， ∴1 ≤a + 2 < 3 ，解得： 2 ≤ a < 10，4由关于 y 的分式方程3y- a -10 = 1可得 y = 8 - a 且 y ≠ 2 ，y - 2 2 - y 2∵关于 y 的分式方程的解为非负整数， ∴ a ≤ 8且 a ≠ 4 的整数，∴综上可得符合条件 a 的值有 2、6、8； ∴它们的和为 2+6+8=16；故选 B ．【点睛】本题主要考查一元一次不等式组的解法及分式方程的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法及分式方程的解法是解题的关键．二、填空题9．（2021·广西河池市·八年级期末）若方程x -1=x - 52mx -5无解，则m =．【答案】2【分析】当分母不为0 时，方程可转化为x -1 = 2m ，根据题意原方程无解，则可知当分母为0 时，原方程无解，即当x - 5 = 0 时，方程无解，所以x = 5，将x = 5代入x -1 = 2m 即可求出m 的值．【详解】当分母不为0 时，去分母得：x -1 = 2m ，根据题意可知原方程无解，则当分母为0 时，原方程无解，即当x - 5 = 0 时，方程无解，所以x = 5，将x = 5代入x -1 = 2m ，得：5 -1 = 2m ，所以m = 2 ．故答案为：2 ．【点睛】本题主要考查了分式方程无解的条件，解题的关键是熟知当分式方程的分母为0 时，该方程无解．10．（2021·福建省福州第一中学八年级期末）若关于x 的分式方程x -a=1无解，则a = ．【答案】2【分析】2x - 4 3先去分母，将原方程化为整式方程，根据一元一次方程无解的条件看能否得出一类a 值，再根据分式方程无解的条件看能否得出另外一类a 值即可．【详解】x -a 1解：=，2x - 4 3去分母得： 3(x - a )＝2x - 4 ，整理得： x = 3a - 4，由于此方程未知数的系数是 1 不为 0，故无论 a 取何值时， 3(x - a )＝2x - 4 都有解，故此情形下无符合题意的 a 值；由分式方程无解即有增根，可得 2x ﹣4＝0，得 x =2 把 x ＝2 代入 x = 3a - 4，解得：a ＝2，故此情形下符合题意的 a 值为 2；综上，若要关于 x 的分式方程x - a = 1无解，a 的值为 2． 2x - 4 3故答案为： 2．【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程及整式方程无解的条件是解题的关键． 3x -a 1 211．（2021·广东阳江市·九年级一模）若分式方程 x 2 - 2x＋x - 2＝ x有增根，则实数 a的取值是．【答案】4 或 8 【分析】化为整式方程 2x ＝a ﹣4，当 x ＝0 或 x ＝2 时，分式方程有增根，分别求出 a 的值即可．【详解】解：∵ 3x - a +1 = 2， x 2 - 2x x - 2 x去分母得，3x ﹣a +x ＝2x ﹣4，整理得，2x ＝a ﹣4， ∵分式方程有增根，∴x ＝0 或 x ＝2，当 x ＝0 时，a ＝4；当 x ＝2 时，a ＝8．故答案是 4 或 8．【点睛】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为 0 是解题的关键．⎩ ⎩12．（2021·湖南常德市·八年级期末）已知方程 2 - a + 2 = 3，且关于 x 的不等式组⎧x ≥ a 只aa有 3 个整数解，那么b 的取值范围是．【答案】3≤b ＜4 【分析】⎨x ≤ b首先解分式方程求得 a 的值，然后根据不等式组的解集确定 x 的范围，再根据只有 3 个整数解，确定 b 的范围．【详解】解：解方程2 - a + 2 = 3， a a两边同时乘以 a 得：2-a ＋2a =3，解得：a =1，⎧x ≥ a∴关于 x 的不等式组 ⎨x ≤ b ，则解集是 1≤x ≤b ，∵不等式组只有 3 个整数解，则整数解是 1，2，3，∴3≤b ＜4．故答案是：3≤b ＜4．【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和解分式方程，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．13．（2021·全国九年级专题练习）若关于 x 的方程 x +1 - 1 x 2- x 3x = k 3x - 3有增根，k 的值是；若关于 x 的方程【答案】6 6 或 2【分析】x +1 - 1 x 2 - x 3x = k3x - 3 无解，k 的值是．①增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母3x (x -1) = 0 ，得到 x = 0 或 3，然后代入化为整式方程的方程算出 k 的值； ②分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到最简公分母为 0 求出 x 的值，代入整式方程即可求出 k 的值．⎪ 【详解】解：①方程两边都乘3x (x -1)，得3(x +1) - x +1 = kx ∵原方程有增根，∴最简公分母3x (x -1) = 0 ，解得 x = 0 或 1，当 x = 0时，方程不成立．当 x = 1时， k = 6 ，故 k 的值是 6．②分式方程去分母得： 3x + 3 - x +1 = kx ，移项合并得： (k - 2)x = 4，当k - 2 = 0，即 k = 2时，方程无解；当 k = 6 时，分式方程有增根，故 k 的值是 6 或 2，故答案为 6；6 或 2．【点睛】本题考查对分式方程的增根和无解的理解，分式方程有增根即对应化简后的整式方程有解，并且解为使得最简公分母为 0 的值，而分式方程无解包含有增根或对应整式方程无解两种情况．⎧ x -1< 7 - x x⎪ 214．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学九年级期末）若关于的一元一次不等式组 ⎨x -1 a ≥ ⎩⎪ 4 2有解，且关于 y 的分式方程 y - a + 7= 1有非负整数解，则符合条件的所有整数 a 的和1 - y y - 1为．【答案】 -14【分析】先对不等式组进行求解，然后根据不等式组有解得出 a 的取值范围；再求解分式方程，结合⎪ ⎩分式方程有非负整数解以及增根的情况讨论出所有符合题意的整数 a 的值，最终求和即可．【详解】⎧ x -1< 7 - x⎪ 2⎧x < 5对于 ⎨x -1 a≥ ，解得： ⎨x ≥ 2a +1，⎩⎪ 4 2∵该不等式组有解，∴ 2a +1 < 5，解得： a < 2 ，对于y - a+ 7 = 1，解得： y = 8 + a ，1 - y y - 1 2∵ y = 1为原分式方程的增根， ∴ y ≠ 1，即：8 + a ≠ 1，解得： a ≠ -6 ，2又∵原分式方程有非负整数解，且 a < 2 ， ∴8 + a ≥ 0 ，解得： -8 ≤ a < 2且 a ≠ -6 ，2∴在此范围内能使得 y =8 + a 是非负整数的整数 a 是 -8、- 4、- 2、0 ，2∴符合条件的所有整数 a 的和为 -8 - 4 - 2 + 0 = -14 ，故答案为： -14．【点睛】本题考查含参分式方程与不等式组的求解，通过题目条件，准确分步求出参数的范围是解题关键．15．（2021·全国九年级专题练习）已知关于 x 的分式方程2 - ax - 1+1＝0 有整数解，⎧3x ≤ 2(x - 1) 1- x x -1⎪ 且关于 x 的不等式组 ⎨ 2x -1 解集为 x ≤﹣1，则符合条件的所有整数 a 的个数是．⎪2x - < a⎩⎪3【答案】2【分析】解分式方程得出 x ＝4 a +1，根据题意得出 a +1＝±1 或 a +1＝±2 或 a +1＝﹣4，据此得出 a ＝0⎪或﹣2 或 1 或﹣3 或﹣5；解不等式组两个不等式，根据解集为 x ≤﹣1，得出综合以上两点得出整数 a 的值，从而得出答案． 3a -1 5＞﹣1；【详解】解：分式方程2 - ax - 1+1＝0，1- x x -1去分母，得：ax ﹣2﹣1+x ﹣1＝0，4解得：x ＝，a +1∵关于 x 的分式方程2 - ax - 1+1＝0 有整数解，1- x x -1∴a +1＝±1 或 a +1＝±2 或 a +1＝﹣4，∴a ＝0 或﹣2 或 1 或﹣3 或﹣5，⎧3x ≤ 2(x - 1)① ⎪ 2 ⎨x -1 ， ⎪2x - < a ② ⎩⎪ 3解不等式①得：x ≤﹣1， 3a -1 解不等式②得：x ＜，5∵不等式组的解集为 x ≤﹣1， 3a -1 ∴54 ＞﹣1，即 a ＞﹣3则整数 a 的值为 0，1，∴符合条件的所有整数 a 的个数为 2，故答案为 2．【点睛】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式组，解题的关键是根据分式方程的解的情况及不等式组解集的情况得出 a 的取值范围．16．（2021·全国九年级专题练习）关于 x 的分式方程⎧ 4x -13 +1 < xx + m x - 2 +2m2 - x＝3 的解为正实数，且不等式组 ⎨ ⎪⎩ 12 4 无解，则满足条件的正整数m 之和等于．x - m ≥ 0【答案】13⎩【分析】表示出分式方程的解，由分式方程解为正数，得到 m 的取值范围；不等式组变形后，根据不等式组无解，确定出 m 的范围，进而求出 m 的值，得到所有满足条件的正整数 m 之和．【详解】解：分式方程去分母得：x +m ﹣2m ＝3x ﹣6， 6 - m 解得：x ＝，26 - m6 - m 由分式方程的解为正数，得到： 2∴m ＜6 且 m ≠2，＞0 且2≠2，⎧ x < 1不等式组整理得： ⎨x ≥ m ，∵不等式组无解，∴m ≥1，∴综上，m 的范围为 1≤m <6 且 m ≠2∴整数 m ＝1，3，4，5∴所有满足条件的正整数 m 之和是 13，故答案为：13．【点睛】本题考查由分式方程的解求参数范围、由不等式组的解集情况求参数，掌握解分式方程和解不等式组的方法是解题的关键．三、解答题x17．（2021·全国九年级专题练习）若关于 x 的分式方程= 2 -m 的解为正数，求正整数 m 的值．x - 2 2 - x【答案】 x 解：方程= 2 - m两边同时乘以(x - 2) 得：x - 2 2 - xx = 2(x - 2) + m ，∴ x = 2 x - 4 + m ， ∴ x = 4 - m ，∵解为正数，∴4 - m > 0， ∴ m < 4 ，又 m 为正整数，∴ m = 1或 m = 2 或 m = 3．∵当 x = 4 - m = 2 时， x - 2 = 0，∴ m = 2 不符合题意．∴正整数 m 的值为 1 或 3．18．（2021·全国九年级专题练习）已知，关于 x 的分式方程a 2x + 3 -b - x = 1．x - 5（1）当a = 1,b = 0 时，求分式方程的解； ab - x（2）当 a = 1时，求 b 为何值时分式方程2x + 3 - = 1无解； x - 5【答案】（1） x = - 10 ；（2） b = 11或b = 5 ．11 2【分析】（1）将 a 和 b 的值代入分式方程，解分式方程即可；（2）把 a 的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论 b 的值，使分式方程无解即可．【详解】解：（1）把 a = 1,b = 0 代入分式方程a 2x + 3 -b - x = 1中，得x - 51 - 2x + 3 -x = 1x - 5方程两边同时乘以(2x + 3)(x - 5) ，得(x - 5) + x (2x + 3) = (2x + 3)(x - 5)x - 5 + 2x 2 + 3x = 2x 2 - 7x -15解得， x = - 1011检验：把x =-10代入(2x + 3)(x - 5) ≠ 0 ，所以原分式方程的解是x =-10．11 11答：分式方程的解是x =-10．11（2）把a = 1代入分式方程a-b -x= 1得，1-b -x= 1 2x + 3方程两边同时乘以(2x + 3)(x - 5) ，x -52x + 3 x - 5 (x - 5) - (b -x)(2x + 3) = (2x + 3)(x - 5)x - 5 + 2x2 + 3x - 2bx - 3b = 2x2 - 7x -15(11- 2b)x = 3b -1011①当11 - 2b = 0 时，即b ，方程无解；2=。

中考数学专题练习分式方程的增根(含解析)

2019中考数学专题练习-分式方程的增根（含解析）一、单选题1.下列关于分式方程增根的说法正确的是（）A. 使所有的分母的值都为零的解是增根B. 分式方程的解为零就是增根C. 使分子的值为零的解就是增根D. 使最简公分母的值为零的解是增根2.解关于x的方程产生增根，则常数的值等于（）A. －1B. －2C. 1D. 23.关于x的方程﹣=0有增根，则m的值是（）A. 2B. -2C. 1D. -14.若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）A. -1B. -2C. 2D. 15.若关于x的分式方程−m＝无解，则m的值为（）A. m=3B. m=C. m=1D. m=1或6.解关于x的方程＝产生增根，则常数m的值等于（）A. -1B. -2C. 1D. 27.如果关于x的方程无解，则m等于（）A. 3B. 4C. -3D. 58.分式方程+1＝有增根，则m的值为（)A. 0和2B. 1C. 2D. 09.解关于x的分式方程时不会产生增根，则m的取值是（）A. m≠1B. m≠﹣1C. m≠0D. m≠±110.若解分式方程产生增根，则m的值是（）A. 或B. 或2C. 1或2D. 1或11.若关于x的分式方程+ =1有增根，则m的值是（）A. m=0或m=3B. m=3C. m=0D. m=﹣112.下列说法中正确的说法有（）（1）解分式方程一定会产生增根；（2）方程=0的根为x=2；（3）x+ =1+是分式方程．A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个13.若关于x的方程有增根，求a的值（）A. 0B. -1C. 1D. -2二、填空题14.若关于x的分式方程= ﹣有增根，则k的值为________15.如果﹣3是分式方程的增根，则a=________．16.关于x的分式方程- =0无解,则m=________.17.关于x的方程+1= 有增根，则m的值为________．18.若分式方程有增根，则这个增根是________19.若关于x方程= +1无解，则a的值为________．20.若方程有增根，则它的增根是________，m=________；三、解答题21.当m为何值时，解方程会产生增根？22.计算：当m为何值时，关于x的方程+ = 会产生增根？答案解析部分一、单选题1.下列关于分式方程增根的说法正确的是（）A. 使所有的分母的值都为零的解是增根B. 分式方程的解为零就是增根C. 使分子的值为零的解就是增根D. 使最简公分母的值为零的解是增根【答案】D【考点】分式方程的增根【解析】【解答】解：分式方程的增根是使最简公分母的值为零的解．故答案为：D．【分析】本题考查了分式方程的增根，使最简公分母的值为零的解是增根．2.解关于x的方程产生增根，则常数的值等于（）A. －1B. －2C. 1D. 2【答案】B【考点】分式方程的增根【解析】【解答】解：方程两边同乘x-1，得x-3=m，因为方程有增根，所以x=1，把x=1代入x-3=m，所以m=-2；故选B.【分析】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值.3.关于x的方程﹣=0有增根，则m的值是（）A. 2B. -2C. 1D. -1【答案】A【考点】分式方程的增根【解析】【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故选A．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x﹣1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．4.若关于x的分式方程有增根，则k的值是（）A. -1B. -2C. 2D. 1【答案】D【考点】分式方程的增根【解析】【解答】解：方程两边都乘（x﹣5），得x﹣6+x﹣5=﹣k，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣5）=0，解得x=5，当x=5时，k=1．故选：D．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣5）=0，得到x=5，然后代入化为整式方程的方程算出k的值．5.若关于x的分式方程−m＝无解，则m的值为（）A. m=3B. m=C. m=1D. m=1或【答案】D【考点】分式方程的增根【解析】【分析】方程两边都乘以（x-3)得到x-m（x-3)=2m，整理得（1-m)x+m=0，由于关于x的分式方程−m＝无解，则x-3=0，解得x=3，然后把x=3代入（1-m)x+m=0可求出m的值．【解答】去分母得x-m（x-3)=2m，整理得（1-m)x+m=0，当1-m=0，即m=1时，（1-m)x+m=0无解，∵关于x的分式方程−m＝无解，∴x-3=0，解得x=3，∴（1-m)×3+m=0，∴m=．故选D．【点评】本题考查了分式方程的解先把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分式方程左右两边成立，那么这个解就是分式方程的解；若整式方程的解使分式方程左右两边不成立，那么这个解就是分式方程的增根．6.解关于x的方程＝产生增根，则常数m的值等于（）A. -1B. -2C. 1D. 2 【答案】B【考点】分式方程的增根【解析】解；方程两边都乘（x-1)，得x-3=m，∵方程有增根，∴最简公分母x-1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=-2．故选：B．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．本题的增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．增根问题可按如下步骤进行：①确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．7.如果关于x的方程无解，则m等于（）A. 3B. 4C. -3D. 5【答案】A【考点】分式方程的增根【解析】【分析】关于x的方程无解，即分式方程去掉分母化为整式方程，整式方程的解就是方程的增根，即x=5，据此即可求解。

分式方程增根专题

确定增根
2m 1 10或 2m 1 10
m 4或m 6
把增根代入整式方程求出字母的值
当 m 4或m 6 时原分式方程有增根
自学检测1:(4分钟)
1、若分式方程 m x 1有增根，则m的值为 1 。 x 1
2、分式方程
1 x2
学习目标:(1分钟)
1.有关分式方程增根求字母系数问题；
2.有关分式方程无解求字母系数问题；
3.有关分式方程根的符号求字母系数取值范围的问题。
自学指导1:(3分钟)
解
方
程
：x x
1

1
（x

3 1)(x

2)
解：xx 2 x 1x 2 3
x2 2x x2 x 2 3 整式方
自学检测3（3分钟）
1、若方程
x3Leabharlann 3x2
k
有负数根,则k的取值范围
解：3x 3k 2x 6
x 6 3k
x 0且x 3且x k
6 3k 0 由题意得不等式6 3k k
6 3k 3 解得：k 2且k 3
变式1： 3+4分钟

m1 x2 x

x 1 x
产生增根，
A.－1或－2 B. －1或2 C. 1或2 D. 1或－2
7.当k为何值时，解关于x的方程
1
k 5 k 1x
xx 1 xx 1 x2 1 只有增根x=1。
当堂训练（5分钟）
1.解方程
X=2是增根原方程无解
2.关于x的方程
有增根,则a＝_7_ 。

分式方程增根练习题

分式方程增根练习题一、基础题1. 解方程：$\frac{2}{x3} = 4$2. 解方程：$\frac{3}{x+2} + \frac{1}{x1} = 2$3. 解方程：$\frac{5}{x4} \frac{2}{x+3} = 1$4. 解方程：$\frac{4}{x+5} + \frac{3}{x2} = \frac{7}{x}$5. 解方程：$\frac{2}{x3} \frac{1}{x+4} = \frac{3}{2x6}$二、提高题6. 解方程：$\frac{3}{x1} + \frac{2}{x+2} =\frac{5}{x^2+x2}$7. 解方程：$\frac{4}{x+3} \frac{3}{x2} =\frac{1}{x^2+x6}$8. 解方程：$\frac{5}{x4} + \frac{2}{x+1} =\frac{7}{x^23x4}$9. 解方程：$\frac{6}{x+5} \frac{1}{x3} =\frac{5}{x^2+2x15}$10. 解方程：$\frac{7}{x6} + \frac{3}{x+2} =\frac{10}{x^24x12}$三、综合题11. 已知分式方程$\frac{2}{x1} + \frac{3}{x+2} =\frac{5}{x^2+x2}$的增根是$x=1$，求方程的解。

12. 已知分式方程$\frac{4}{x+3} \frac{1}{x2} =\frac{3}{x^2+x6}$的增根是$x=3$，求方程的解。

\frac{7}{x^23x4}$的增根是$x=4$，求方程的解。

14. 已知分式方程$\frac{6}{x+5} \frac{3}{x3} =\frac{5}{x^2+2x15}$的增根是$x=5$，求方程的解。

15. 已知分式方程$\frac{7}{x6} + \frac{1}{x+2} =\frac{8}{x^24x12}$的增根是$x=6$，求方程的解。

分式方程增根、无解(学生版)

分式方程增根、无解
1．若解关于x的方程1时产生增根，那么常数m的值为（）A．4B．3C．－4D．－1
2．若关于x的分式方程1有增根，则a的值为（）
A．2B．－2C．4D．－4
3．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为（）A．m＞－6且m≠3B．m＜6
C．m＞－6且m≠－3D．m＜6且m≠－2
4．若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m≥2且m≠1
C．m≥2D．m≥－1且m≠1
5．若关于x的方程有增根，则增根为（）
A．x＝6B．x＝5C．x＝4D．x＝3
6．已知关于x的方程的增根是x＝1，则字母a的值为（）A．－1B．1C．－2D．2
7．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）
A．1B．－1C．3D．－3
8．关于x的分式方程无解，则m的值为．
9．若关于x的分式方程无解，则m的值为．
10．若关于x的分式方程有正整数解，则整数m的值是．
11．关于x的分式方程2的解为非负数，则a的取值范围为．12．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围为．13．若关于x的分式方程有增根，则m的值是．。

2021年九年级数学中考复习知识点专题突破训练：分式方程的增根(附答案)

2021年九年级数学中考复习知识点专题突破训练：分式方程的增根（附答案）1．分式方程有增根，则m的值为（）A．0和2B．1C．1和﹣2D．22．若分式方程有增根，则a的值是（）A．﹣2B．0C．2D．0或﹣23．方程的解为增根，则增根是（）A．x＝2B．x＝0C．x＝﹣1D．x＝0或x＝﹣1 4．若方程＝1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1D．1和﹣15．已知分式方程有增根，则增根是（）A．x＝1B．x＝1或x＝0C．x＝0D．不确定6．若分式方程﹣＝有增根，则m的值是．7．若关于x的分式方程+＝2有增根，则m的值为．8．若分式方程﹣2＝有增根，则m的值为．9．若关于x的分式方程有增根时，则m的值为．10．关于x的方程+＝2有增根，则m＝．11．解分式方程+＝会产生增根，则m＝．12．若关于x的分式方程＝+1有增根，则m＝．13．关于x的分式方程有增根，则m的值为．14．若解关于x的方程产生增根，则m的值为．15．当m＝时，分式方程+3＝有增根．16．（1）若解关于x的分式方程+＝会产生增根，求m的值．（2）若方程＝﹣1的解是正数，求a的取值范围．17．已知关于x的方程+＝2有增根，求m的值．18．解方程：．19．计算：当m为何值时，关于x的方程+＝会产生增根？20．关于x的方程：﹣＝1．（1）当a＝3时，求这个方程的解；（2）若这个方程有增根，求a的值．21．＝有增根，求所有可能的t之和．22．m为何值时，关于x的方程+＝会产生增根？23．关于x的方程﹣＝有增根，求m的值．24．若关于x的方程+＝有增根，求增根和m的值．25．若关于x的方程﹣＝有增根，求增根和k的值．参考答案1．解：方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）﹣（x﹣1）（x+1）＝m，∵方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）（x+1）＝0，即增根是x＝1或﹣1，把x＝1代入整式方程，得m＝2，把x＝﹣1代入整式方程，得m＝0，方程无解，∴m＝2．故选：D．2．解：方程两边都乘（x+a）（x﹣2），得x+a+3（x﹣2）（x+a）＝（a﹣x）（x﹣2），∵原方程有增根，∴最简公分母（a+x）（x﹣2）＝0，∴增根是x＝2或﹣a，当x＝2时，方程化为：2+a＝0，解得：a＝﹣2；当x＝﹣a时，方程化为﹣a+a＝2a（﹣a﹣2），即a（a+2）＝0，解得：a＝0或﹣2．当a＝﹣2时，原方程可化为+3＝，化为整式方程得，1+3（x﹣2）＝﹣x﹣2，即：x＝，不存在增根，故不符合题意，当a＝0时，原方程可化为，化为整式方程得，x+3x（x﹣2）＝﹣x（x﹣2），解得x＝或x＝0，此时，有增根为x＝0，∴a＝0符合题意，故选：B．3．解：化为整式方程为：2x+2＝xm，整理得：（m﹣2）x＝2，则可得x≠0，∵原方程有增根，∴最简公分母x（x+1）＝0，解得x＝0或﹣1．∵x≠0，∴增根是﹣1．故选：C．4．解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）＝（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）＝0，可知增根可能是x＝1或﹣1．当x＝1时，m＝3，当x＝﹣1时，得到6＝0，这是不可能的，所以增根只能是x＝1．5．解：去分母得：6x＝x+5，解得：x＝1，经检验x＝1是增根．故选：A．6．解：去分母得，m﹣2（x﹣2）＝x+2，∵方程﹣＝有增根，∴x＝±2，当x＝2时，m＝4；当x＝﹣2时，m＝﹣8；故答案为4或﹣8．7．解：方程两边都乘（x﹣3），得2﹣x﹣m＝2（x﹣3）∵原方程增根为x＝3，∴把x＝3代入整式方程，得2﹣3﹣m＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．8．解：方程的两边都乘以（x﹣3），得x﹣2﹣2（x﹣3）＝m，化简，得原方程的增根为x＝3，把x＝3代入m＝﹣x+4，得m＝1，故答案为：1．9．解：，方程两边都乘（x﹣3）得x﹣5＝﹣m，方程化简得m＝﹣x+5，∵原方程增根为x＝3，∴把x＝3代入整式方程得m＝2．故答案为：2．10．解：去分母得：5x﹣3﹣mx＝2x﹣8，由分式方程有增根，得到x﹣4＝0，即x＝4，把x＝4代入整式方程得：20﹣3﹣4m＝0，快捷得：m＝，故答案为：11．解：去分母得：2x﹣2﹣5x﹣5＝m，由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）＝0，解得：x＝﹣1或x＝1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣2﹣2+5﹣5＝m，即m＝﹣4；把x＝1代入整式方程得：2﹣2﹣5﹣5＝m，即m＝﹣10，则m＝﹣10或﹣4，故答案为：﹣10或﹣412．解：＝+1，两边乘x+2得到，3＝m+x+2，∴x＝1﹣m，∵分式方程有增根，∴x＝﹣2，即1﹣m＝﹣2，∴m＝3，故答案为3．13．解：去分母得：7x+5x﹣5＝2m﹣1，由分式方程有增根，得到x﹣1＝0，即x＝1，把x＝1代入整式方程得：12﹣5＝2m﹣1，解得：m＝4，故答案为：414．解：方程两边同乘x﹣1得：x+3＝m+1，解得：x＝m﹣2，方程产生增根，当x﹣1＝0，即x＝1时，方程产生增根，∴m﹣2＝1，∴m＝3．故答案为：3．15．解：方程两边都乘以（x﹣1），得7+3（x﹣1）＝m，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）＝0，解得x＝1，把x＝1代入7+3（x﹣1）＝m，中，得m＝7．故答案为：7．16．解：（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2）∵最简公分母为（x+2）（x﹣2），∴原方程增根为x＝±2，∴把x＝2代入整式方程，得m＝﹣4．把x＝﹣2代入整式方程，得m＝6．综上，可知m＝﹣4或6．（2）解：去分母，得2x+a＝2﹣x解得：x＝，∵解为正数，∴，∴2﹣a＞0，∴a＜2，且x≠2，∴a≠﹣4∴a＜2且a≠﹣4．17．解：方程两边都乘x﹣2，得2﹣（x+m）＝2（x﹣2）∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2＝0，解得x＝2，当x＝2时，m＝0．18．解：方程两边同乘以（x+2）（x﹣2），得：x+2﹣（x+2）（x﹣2）＝4，整理，得：x2﹣x﹣2＝0，解此方程，得：x1＝2，x2＝﹣1，经检验：x＝2是增根，舍去x＝﹣1是原方程的根，则原方程的根为x＝﹣1．19．解：方程得两边都乘以（x+1）（x﹣1），得2（x﹣1）﹣5（x+1）＝m．化简，得m＝﹣3x﹣7．分式方程的增根是x＝1或x＝﹣1．当x＝1时，m＝﹣3﹣7＝﹣10，当x＝﹣1时，m＝3﹣7＝﹣4，当m＝﹣10或m＝﹣4时，关于x的方程+＝会产生增根．20．解：（1）当a＝3时，原方程为﹣＝1，方程两边同时乘以（x﹣1）得：3x+1+2＝x﹣1，解这个整式方程得：x＝﹣2，检验：将x＝﹣2代入x﹣1＝﹣2﹣1＝﹣3≠0，∴x＝﹣2是原方程的解；（2）方程两边同时乘以（x﹣1）得ax+1+2＝x﹣1，即（a﹣1）x＝﹣4，当a≠1时，若原方程有增根，则x﹣1＝0，解得：x＝1，将x＝1代入整式方程得：a+1+2＝0，解得：a＝﹣3，综上，a的值为﹣3．21．解：＝有增根，说明0或﹣1可能是方程的根，即（x+1）2+x2＝x+t，代入x＝0，有t＝1；代入x＝﹣1，有t＝2．故所有可能的t之和为3．22．解：原方程化为+＝，方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），整理得（m﹣1）x+10＝0，∵关于x的方程+＝会产生增根，∴（x+2）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣2 或x＝2，∴当x＝﹣2时，（m﹣1）×（﹣2）+10＝0，解得m＝6，当x＝2时，（m﹣1）×2+10＝0，解得m＝﹣4，∴m＝﹣4或m＝6时，原方程会产生增根．23．解：两边乘（x+2）（x﹣2）得到，x（x+2）﹣x﹣m＝2x（x﹣2）①∵方程有增根，∴x＝2或﹣2，x＝2时，8﹣2﹣m＝0，m＝6，x＝﹣2时，2﹣m＝16，m＝﹣14，经检验，m＝6或﹣14均符合题意，∴m的值为6或﹣14．24．解：去分母得：﹣3（x+1）＝m，由分式方程有增根，得到x2﹣1＝0，即x＝1或x＝﹣1，把x＝1代入整式方程得：m＝﹣6；把x＝﹣1代入整式方程得：m＝0（此时方程无解，舍去），则增根为x＝1，m＝﹣6．25．解：最简公分母为3x（x﹣1），去分母得：3x+3k﹣x+1＝﹣2x，由分式方程有增根，得到x＝0或x＝1，把x＝0代入整式方程得：k＝﹣；把x＝1代入整式方程得：k＝﹣．。

分式方程增根的例题

分式方程增根的例题
在解析分式方程增根的例题的过程中，我们可以清楚地看到分式方程增根的具体步骤和方法。

首先，假设我们有一个分式方程：x/2 + 1 = 0。

那么，我们可以首
先将方程重写为：x/2 = -1，然后乘以2得到：x = -2。

这就是增根后的结果。

再来看一个更复杂一些的例子，假设我们有一个分式方程：2/(x-3) + 1 = 0。

首先，我们可以将这个方程重写为：2/(x-3) = -1，然后两边同时乘以x-3，得到：2 = -(x-3)。

最后，解开括号，将方程重写为：2 = -x + 3。

解这个方程，我们可以得到：x = 1。

这就是增根后的结果。

以上只是两个简单的例子，分式方程的增根需要逐步推理和运算，并不是一蹴而就的。

在遇到复杂的分式方程时，可能需要更多的步骤进行处理。

但无论如何，分式方程增根的基本原理都是相同的，那就是通过一系列数学操作，将分母消除，从而使得x变量的次数降低，以便于求解。

5.4.5分式方程的增根

一．选择题（共35小题）1．（2005•扬州）若方程=1有增根，则它的增根是（）A．0B．1C．﹣1D．1和﹣1【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，所以增根可能是x=1或﹣1．【解答】解：方程两边都乘（x+1）（x﹣1），得6﹣m（x+1）=（x+1）（x﹣1），由最简公分母（x+1）（x﹣1）=0，可知增根可能是x=1或﹣1．当x=1时，m=3，当x=﹣1时，得到6=0，这是不可能的，所以增根只能是x=1．故选：B．【点评】求增根只需将最简公分母等于0即可，但有两个或两个以上的增根时需进行检验．2．（2017秋•常熟市期末）若关于x 的分式方程有增根，则m的值为（）A．﹣2B．0C．1D．2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘以x﹣2，得：x+m﹣2m=3（x﹣2），∵方程有增根，第1页（共29页）∴x=2，将x=2代入整式方程，得：2+m﹣2m=0，解得：m=2，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．3．（2017•聊城）如果解关于x 的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．4D．﹣4【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第2页（共29页）4．（2017•毕节市）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（）A．1B．3C．4D．5【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）=0，解得x=1，当x=1时，7=2m﹣1，解得m=4，所以m的值为4．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．5．（2017•河南模拟）若关于x的分式方程+=1有增根，则m的值是（）A．m=0或m=3B．m=3C．m=0D．m=﹣1第3页（共29页）【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：3﹣x﹣m=x﹣4，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：3﹣4﹣m=0，解得：m=﹣1，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．6．（2017春•灌云县期末）若关于x 的方程+=0有增根，则m的值是（）A．﹣2B．﹣3C．5D．3【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可．【解答】解：∵关于x 的方程+=0有增根，∴x﹣5=0，∴x=5，∴2﹣x+m=0，∴m=3，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．第4页（共29页）7．（2017春•辉县市期末）若关于x 的方程=有增根，则m的值为（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：m﹣1=﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：m=﹣1，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．（2017春•建德市期末）若分式方程﹣=3有增根，则m的值为（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：分式方程去分母得：x+2m=3x﹣6，由分式方程无解，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程得：2+2m=0，解得：m=﹣1，故选：A．第5页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．9．（2017春•新城区校级期末）若关于x 的分式方程有增根，则m的值为（）A．3B．﹣C．D．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出值m的值．【解答】解：去分母得：x﹣2x+6=m2，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m2=3，解得：m=±，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10．（2017春•泗阳县期末）解关于x 的分式方程﹣1=时会产生增根，则增根可能为（）A．0或3B．3C．0D．以上都不对【分析】根据分式方程增根的定义得出x=0或3，再检验是不是整式方程x（2m+x）﹣x（x ﹣3）=2（x﹣3）的根即可解决问题．【解答】解：去分母得到x（2m+x）﹣x（x﹣3）=2（x﹣3）①第6页（共29页）∵关于x 的分式方程﹣1=时会产生增根，∴x（x﹣3）=0，∴x=0或x﹣3=0，∴x=0或3，x=0代入①，左右不等，说明x=0不是整式方程①的根，0不可能是增根，∴增根只能是3，故选：B．【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握增根的定义是解题的关键，11．（2017春•吉安县期末）若解分式方程=产生增根，则m=（）A．1B．0C．﹣4D．﹣5【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x+4），得x﹣1=m，∵原方程增根为x=﹣4，∴把x=﹣4代入整式方程，得m=﹣5，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；第7页（共29页）②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．12．（2017春•任城区期末）若分式方程有增根，则m等于（）A．3B．﹣3C．2D．﹣2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．【解答】解：分式方程去分母得：x﹣3=m，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，把x=1代入整式方程得：m=﹣2，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．13．（2017春•宝安区校级期末）解方程会产生增根，则m等于（）A．﹣10B．﹣10或﹣3C．﹣3D．﹣10或﹣4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，确定出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣5x﹣5=m，即﹣3x﹣7=m，由分式方程有增根，得到（x+1）（x﹣1）=0，即x=1或x=﹣1，把x=1代入整式方程得：m=﹣10，把x=﹣1代入整式方程得：m=﹣4，故选：D．第8页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．（2016秋•娄星区期末）已知关于x的方程﹣=0的增根是1，则字母a的取值为（）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【分析】去分母得出整式方程，把x=1代入整式方程，即可求出答案．【解答】解：﹣=0，去分母得：3x﹣（x+a）=0①，∵关于x的方程﹣=0的增根是1，∴把x=1代入①得：3﹣（1+a）=0，解得：a=2，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，能理解增根的意义是解此题的关键．15．（2017春•锦江区期末）解关于x 的方程=产生增根，则常数a的值等于（）A．2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【分析】先把分式方程化为整式方程得到x=a+6，由于原分式方程有增根，则增根只能为2，然后在整式方程中当x=2时，求出对应的a的值即可．【解答】解：去分母得x﹣6=a，第9页（共29页）解得x=a+6，因为关于x 的方程=产生增根，所以x=2，即a+6=2，解得a=﹣4．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为0，如果为0，则是增根；如果不是0，则是原分式方程的根．16．（2016秋•孝南区期末）如果方程有增根，那么m的值为（）A．1B．2C．3D．无解【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣3）=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得x=3m．∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣3）=0，解得x=3．m=x=1，故选：A．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第10页（共29页）17．（2016秋•肇源县期末）去分母解关于x 的方程=时产生增根，则m的值为（）A．m=1B．m=﹣1C．m=2D．m无法求出【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x﹣3=m，解得：x=m+3，由分式方程有增根，得到x=2，则有m+3=2，解得：m=﹣1，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．18．（2017春•东阳市期末）已知关于x 的方程有增根，则k=（）A．﹣1B．1C．﹣2D．除﹣1以外的数【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x﹣1=0，求出x的值，代入整式方程计算即可求出k的值．【解答】解：去分母得：k+1=﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，把x=1代入整式方程得：k=﹣2，故选：C．第11页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．19．（2017春•历下区期末）若关x 的分式方程﹣1=有增根，则m的值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：2x﹣x+3=m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m=6，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．20．（2017春•普宁市期末）若分式方程=2+有增根，则a的值为（）A．5B．4C．3D．0【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：x+1=2x﹣8+a，由分式方程有增根，得到x﹣4=0，即x=4，把x=4代入整式方程得：a=5，第12页（共29页）故选：A．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．21．（2017春•昆山市期末）若分式方程+1=有增根，则a的值是（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据分式方程增根的定义进行选择即可．【解答】解：∵分式方程+1=有增根，∴x﹣3=0，∴x=3，∴1+x﹣3=a﹣x，∴a=4，故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，掌握分式方程增根的定义是解题的关键．22．（2017秋•滦南县期中）若关于x 的分式方程=有增根，则m的值是（）A．﹣3B．1C．2D．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出m的值即可．【解答】解：去分母得：x﹣2=m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，第13页（共29页）把x=3代入整式方程得：m=1，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．23．（2017秋•新泰市期中）若关于x 的方程﹣=0有增根，则m的值是（）A．3B．2C．1D．﹣1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：m﹣1﹣x=0，由分式方程有增根，得到x﹣1=0，即x=1，把x=1代入整式方程得：m=2，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．24．（2017秋•文登区期中）关于x 的方程有增根，则m的值为（）A．﹣4B．6C．﹣4和6D．0【分析】把所给方程转换为整式方程，进而把可能的增根代入求得m的值即可．【解答】解：最简公分母为x2﹣4，当x2﹣4=0时，x=±2．去分母得：2（x+2）+mx=3（x﹣2），第14页（共29页）当增根为x=2时，8+2m=0，解得m=﹣4；当增根为x=﹣2时，﹣2m=3×（﹣4），解得m=6；故选：C．【点评】考查增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．25．（2017秋•环翠区校级期中）若关于x 的方程+1=0有增根，则a的值是（）A．1B．﹣1C．3D．4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根得到x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：分式方程去分母得：ax﹣1+x﹣1=0，整理得：（a+1）x=2，由分式方程有增根，得到a+1=0，即a=﹣1，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．26．（2017春•桑植县期中）若分式方程有增根，则a的值是（）A．1B．0C．﹣1D．3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计第15页（共29页）算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：1+3x﹣6=a﹣x，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入得：1+6﹣6=a﹣2，解得：a=3，故选：D．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．27．（2017春•江阴市期中）若关于x 的分式方程=2﹣有增根，则m的值为（）A．﹣3B．2C．3D．不存在【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣3），得x=2（x﹣3）+m，方程化简，得m=﹣x+6∵原方程增根为x=3，∴把x=2代入整式方程，得m=3，故选：C．第16页（共29页）【点评】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．28．（2017春•江阴市校级月考）若关于x的分式方程=3﹣有增根，则m的值为（）A．﹣5B．5C．2D．不存在【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．【解答】解：去分母得：x=3x﹣15+m，由分式方程有增根，得到x﹣5=0，即x=5，把x=5代入整式方程得：m=5，故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．29．（2017春•吴江区校级月考）如果关于x 的方程=1﹣有增根，那么m的值等于（）A．﹣3B．﹣2C．﹣1D．3【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3=0，得到x=3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边同乘以x﹣3，得第17页（共29页）2=x﹣3﹣m①．∵原方程有增根，∴x﹣3=0，即x=3．把x=3代入①，得m=﹣2．故选：B．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．30．（2017秋•太仓市校级月考）若分式方程=﹣2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．1D．﹣1【分析】先把分式方程化为整式方程得到m=x﹣1﹣2（x﹣2），再利用增根的定义得到x=2，然后把x=2代入m=x﹣1﹣2（x﹣2）中可计算出m的值．【解答】解：去分母得m=x﹣1﹣2（x﹣2），因为原方程有增根，则增根为x=2，把x=2代入m=x﹣1﹣2（x﹣2）得m=2﹣1=1．故选：C．【点评】本题考查了分式方程的增根：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．第18页（共29页）31．（2017春•南关区校级月考）若分式方程+2=0有增根，则a的值是（）A．a=2B．a=C．a=﹣D．a=﹣3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出a的值．【解答】解：去分母得：ax+2a+1+2x2﹣8=0，由分式方程有增根，得到x=2或x=﹣2，把x=2代入整式方程得：4a+1=0，即a=﹣；把x=﹣2代入整式方程，无解，则a的值为﹣，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．32．（2017春•惠安县校级月考）若关于x 的分式方程+1=有增根，则k的值为（）A．2B．﹣2C．1D．3【分析】去分母化分式方程为整式方程，将增根x=2代入整式方程即可得．【解答】解：去分母，得：3+x﹣2=k，∵分式方程有增根，∴增根为x=2，第19页（共29页）将x=2代入整式方程，得：k=3，故选：D．【点评】本题主要考查分式方程的增根，熟练掌握增根的定义是解题的关键．33．（2017春•下城区校级月考）若分式方程=3+有增根，则a的值为（）A．4B．2C．1D．0【分析】根据分式方程的解法即可求出a的值．【解答】解：去分母可得：x=3（x﹣4）+ax=把x=代入x﹣4=0，由于方程有增根，∴x﹣4=0∴﹣4=0，解得：a=4故选：A．【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．34．（2017秋•浦东新区月考）关于x 的分式方程有增根，则m的值为（）第20页（共29页）A．2B．﹣1C．0D．1【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得2x+m﹣3=3x﹣6∵原方程有增根，∴最简公分母x﹣2=0，解得x=2，当x=2时，4+m﹣3=0．解得m=﹣1．故选：B．【点评】本题考查了分式方程的增根，让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．35．（2017春•雁塔区校级月考）已知关于x 的方程有增根，则m的值为（）A．﹣3B．1C．1或0D．3或﹣5【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x（x﹣1）=0，得到x=0或x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘x（1﹣x），得3（x﹣1）+6x=x﹣m，第21页（共29页）化简，得8x=3﹣m．∵原方程有增根，∴最简公分母x（1﹣x）=0，解得x=0或x=1，当x=0时，m=3，当x=1时，m=﹣5．故m的值为3或﹣5．故选：D．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．二．填空题（共13小题）36．（2013秋•祁阳县校级期中）若方程有增根，则a的值可能是6．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣5）（x﹣6）=0，得到x=5或6，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣5）（x﹣6），得x（x﹣6）=（x﹣a）（x﹣5）∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣5）（x﹣6）=0，第22页（共29页）解得x=5或6，当x=5时，﹣1=0，这是不可能的．当x=6时，a=6，故a的值可能是6．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．37．（2009•邵东县自主招生）38．（2007•福州校级自主招生）若方程有增根x=2，则m=﹣6．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x﹣m﹣x（x+2）=2（x+2）（x﹣2）∵原方程增根为x=2，∴把x=2代入整式方程，得m=﹣6．【点评】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第23页（共29页）39．（2005•烟台）已知方程有增根，则k=﹣．【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母（2+x）（2﹣x）=0，所以增根是x=2或﹣2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出k的值．【解答】解：方程两边都乘（2+x）（2﹣x），得1+2×（2+x）（2﹣x）=﹣k（2+x）∵原方程有增根，∴最简公分母（2+x）（2﹣x）=0，∴增根是x=2或﹣2，当x=2时，k=﹣；当x=﹣2时，k无解．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．40．已知分式方程有增根，则a=0．【分析】先求得增根，再将分式方程化为整式方程，将增根代入求得a的值即可．【解答】解：∵有增根，第24页（共29页）∴x=﹣3或3，3a﹣a|x|=x2+4x+3，即x2+4x+3=0，解答x=﹣1或﹣3，∴﹣3为增根，原方程的解为：x=﹣1，当x=﹣1时，原分式方程为：，∴a=0．故答案为：0．【点评】本题考查分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．41．（2017•沭阳县校级二模）42．（2017•宿迁）若关于x 的分式方程=﹣3有增根，则实数m的值是1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．【解答】解：去分母，得：m=x﹣1﹣3（x﹣2），由分式方程有增根，得到x﹣2=0，即x=2，把x=2代入整式方程可得：m=1，故答案为：1．第25页（共29页）【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．43．（2017•黄石港区校级模拟）若关于x 的方程有增根，则m的值是4．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母（x﹣2）=0，得到x=2，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣2），得x+2=m∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣2）=0，解得x=2，当x=2时，m=2+2+4，故答案为：4．【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．46．（2017春•姑苏区期末）47．（2017春•金堂县期末）若关于x 的分式方程+=3有增根，则a=4．【分析】根据解分式方程的步骤可得到一个一元一次方程，由条件可知该方程的根即分式的第26页（共29页）分母为0的值，可求得a的值．【解答】解：方程两边同时乘（x﹣1），可得1﹣ax+3x=3（x﹣1），整理可得ax=4，∵分式方程有增根，∴方程的根为x=1，∴a=4，故答案为：4【点评】本题主要考查分式方程的增根，掌握分式方程的增根使其分母为0是解题的关键．48．（2017春•峄城区期末）三．解答题（共2小题）49．当k为何值时，关于x 的方程=+1，（1）有增根；（2）解为非负数．【分析】（1）根据分式方程有增根，得到最简公分母为0，代入整式方程计算即可求出k的值；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x，根据解为非负数求出k 的范围即可．【解答】解：（1）分式方程去分母得：（x+3）（x﹣1）=k+（x﹣1）（x+2），由这个方程有增根，得到x=1或x=﹣2，第27页（共29页）将x=1代入整式方程得：k=0（舍去）；将x=﹣2代入整式方程得：k=﹣3，则k的值为﹣3．（2）分式方程去分母得：（x+3）（x﹣1）=k+（x﹣1）（x+2），去括号合并得：x=k+1，根据题意得：k+1≥0且k+1≠1，k+1≠﹣2，解得：k≥﹣1且k≠0，k≠﹣3．故当k≥﹣1且k≠0时，关于x 的方程=+1解为非负数．【点评】此题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，弄清题意是解本题的关键．50．（2017秋•凤庆县期末）若解关于x的分式方程+=会产生增根，求m的值．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出m的值即可．【解答】解：去分母得：2x+4+mx=3x﹣6，由分式方程有增根，得到（x+2）（x﹣2）=0，解得：x=2或x=﹣2，当x=2时，4+4+2m=0，即m=﹣4；当x=﹣2时，﹣2m=﹣12，即m=6，综上，m的值是﹣4或6．【点评】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式第28页（共29页）方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．第29页（共29页）。

分式方程增根

分式方程增根、无解专题复习1、解方程2344222+=---x x x x 22321++-=+-x x x x总结：增根产生的原因：，第一印象第一个方程有2个增根，但解完方程发现只有一个解，所以使分母为零的解不一定是次方程的增根无解的情况：例1：若方程)1)(1(6-+x x -1-x m =1有增根，则它的增根是？变式练习：若关于x 的方程7667=---x k x x 有增根，则增根为。

例题2：若分式方程：024122=+-+-x x a 有增根，求a 的值。

变式练习：关于x 的分式方程1122k x x +=--有增根，求k 的值。

题3：当a 取何值时，解关于x 的方程：()()x x x x x a x x x ---++=+-+12212212无增根？变式练习:当m 为时，分式方程()01163=-+--+x x m x x x 无增根？例题4：关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解为正数，则m 的取值范围是？变式练习：已知关于x 的方程322=-+x m x 的解是正数，则m 的取值范围为__ ___。

例题5：关于x 的分式方程131=---xx a x 无解，求a 的值？变式练习：当m= ，关于x 的分式方程132=-+x m x 无解。

例题6：当m 为何值时，分式方程()01163=-+--+x x m x x x 有根变式练习： a 为时，关于x 的方程4121x x x a x x -+=+-()有解？2、当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①会产生增根？变式：当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+①无解？3、当m 为何值时，关于x 的方程21112x x m x x x ---=+-无实根？4、已知关于x的方程x ax+-=-21的根大于0，求a的取值范围。

对应练习：1、若关于x的方程axx+--=1110有增根，则a的值为__________。

分式方程20道例题

分式方程20道例题一、基础题型例1：解方程(2)/(x + 1)=(1)/(x - 1)解析：1. 首先去分母，给方程两边同时乘以(x + 1)(x-1)（最简公分母），得到： - 2(x - 1)=x + 1。

2. 然后展开括号：- 2x-2=x + 1。

3. 接着移项：- 2x-x=1 + 2。

- 解得x = 3。

4. 最后检验：- 当x = 3时，(x + 1)(x - 1)=(3+1)×(3 - 1)=4×2 = 8≠0。

- 所以x = 3是原分式方程的解。

例2：解方程(x)/(x - 2)-1=(4)/(x^2)-4解析：1. 先将方程右边的分母因式分解，x^2-4=(x + 2)(x - 2)。

2. 去分母，方程两边同时乘以(x + 2)(x - 2)，得到：- x(x + 2)-(x + 2)(x - 2)=4。

3. 展开括号：- x^2+2x-(x^2-4)=4。

- x^2+2x - x^2+4 = 4。

4. 化简得：- 2x=0，解得x = 0。

5. 检验：- 当x = 0时，(x + 2)(x - 2)=(0 + 2)×(0 - 2)=-4≠0。

- 所以x = 0是原分式方程的解。

例3：解方程(3)/(x)+(6)/(x - 1)=(x + 5)/(x(x - 1))解析：1. 去分母，方程两边同时乘以x(x - 1)，得到：- 3(x - 1)+6x=x + 5。

2. 展开括号：- 3x-3+6x=x + 5。

3. 移项合并同类项：- 3x+6x - x=5 + 3。

- 8x=8，解得x = 1。

4. 检验：- 当x = 1时，x(x - 1)=1×(1 - 1)=0。

- 所以x = 1是增根，原分式方程无解。

二、有增根问题的分式方程例4：若关于x的分式方程(2)/(x - 2)+(mx)/(x^2)-4=(3)/(x + 2)会产生增根，求m的值。

初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练6(附答案详解)

34．若数a使得关于x的不等式组，有且仅有四个整数解，且使关于y的分式方程＝1有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是（）
A．3B．2C．﹣2D．﹣3
35．若关于x的分式方程有增根，则m的值为（）
A．﹣1或﹣2B．﹣1或2C．1或2D．0或﹣2
36．若方程有增根，则增根可能为( )
A．0B．2C．0或2D．1
17．关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（）.
A． B． C． D．
18．若数使关于的分式方程的解为正数，且使关于的不等式组的解集为，则符合条件的所有整数的和为（）
A．10B．12C．14D．16
19．若数a使关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的不等式组的解集为y＜﹣2，则符合条件的所有整数a的和为（）
A．4B．3C．2D．1
14．若关于的分式方程的根是正数，则实数的取值范围是（）.
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
15．若关于的分式方程的根是正数，则实数的取值范围（）.
A．且 B．且
C．且 D．且
16．已知关于x的方程的解是正数，那么m的取值范围为（）
A．m＞－6且m≠2B．m＜6C．m＞－6且m≠－4D．m＜6且m≠－2
初中数学分式方程的增根、无解问题选择题培优训练6（附答案详解）
1．若关于的方程的解为，则等于（）
A． B．2C． D．-2
2．若a使得关于x的分式方程有正整数解。且函数y=ax −2x−3与y=2x−1的图象有交点,则满足条件的所有整数a的个数为( )
A．1B．2C．3D．4
3．若分式方程 +3＝有增根，则a的值是（）

分式方程有增根的例题

1、分式方程的概念分母里含有未知数的方程叫做分式方程2、解分式方程（1）解分式方程的基本思想:“转化”的数学思想，即把分式方程的分母去掉，使分式方程化成整式方程，就可以利用整式方程的解法求解了．（2）解分式方程的步骤：①转化：在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检验：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去．3、分式方程的应用其方法和步骤可归纳如下（1）审清题意，分清已知量和未知量；（2）设未知数；（3）根据题意寻找已知的或隐含的等量关系，列分式方程；（4）解方程，并验根；（5）写出答案．【例1】如果关于x 的方程2133m x x =---有增根，则m 的值为（）．A ．2B ．3C ．2-D ．3-【难度】★★【答案】C【解析】方程两边同时乘以3x -，可得：m x --=32，因为方程有增根，所以3=x 是这个方程的解，所以m --=332，则2-=m ．【总结】考察分式方程的解法和增根的定义．【例2】解方程：2236111x x x +=+--；【难度】★★【答案】无解；【解析】方程两边同时乘以12-x 可得：()()61312=++-x x 整理可得：55=x ，解得：1=x 经检验，1=x 是原方程的增根，所以方程无解．知识精讲例题解析【例3】若关于x 的方程223242mx x x x -=--+会产生增根，求m 的值．【难度】★★★【答案】64-=或m ．【解析】方程两边同时乘以()()22+-x x ，可得：()()2322-=-+x mx x ，因为方程有增根，所以2=x 或2-=x 是这个方程的解当2=x 是这个方程的解，则可得028=-m ，所以4=m 当2-=x 是这个方程的解，则可得122-=m ，所以6-=m 所以方程的解为64-=或m ．【总结】本题主要考察分式方程的增根的定义．【作业1】方程361(1)x m x x x x ++=--有增根，求m 的值？【难度】★★★【答案】53或-=m ．【解析】方程两边同时乘以()1-x x 可得：()m x x x +=+-613，解得：83+=m x ，因为方程有增根，所以0=x 或1=x ，当0=x ，所以083=+m ，则3-=m ，当1=x ，所以183=+m ，则5=m ，所以53或-=m ．【总结】考察分式方程增根的定义课后作业。

分式专项训练之07-分式方程的解与增根(含答案)

分式专项训练之七（分式方程的解与增根）含答案一．解答题（共30小题）1．已知关于x的分式方程无解，求m的取值范围．2．若关于x的方程﹣1=无解，求m的值．3．若关于x的方程无解，求m的值．4．若关于x的方程无解，求m的值．5．若关于x的方程无解，试确定a的值．6．如果关于x的分式方程：无解，试求可能的k值．7．（2012•锦州二模）若关于x的方程+1=无解，则m=_________．8．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．9．当m为何值时，分式方程的解不小于1．10．若方程2x+=﹣1的解是正数，求a的取值范围．11．若关于x的分式方程﹣=1的解为负数，求a的范围；若解为整数，求整数a的值．12．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是_________．13．已知分式方程=1的解为非负数，求a的取值范围．14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是_________；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．15．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是_________；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=的解是_________；（3）由（2）可知，在解方程：y+=时，可变形转化为x+=的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．16．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是_________；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是_________；知识拓展：（3）猜想关于x的方程x﹣=的解并验证你的结论（4）在解方程：y+=时，可将方程变形转化为（2）的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．17．（1）阅读以下内容：①根据以上规律，可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=_________（n为正整数）；②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=_________．（2）阅读下列材料，回答问题：关于x的方程：的解是x1=a，；的解是x1=a，；的解是x1=a，；…①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解；②请你写出关于x的方程的解．18．解方程：①=﹣1的解x=_________；②=﹣1的解x=_________；③=﹣1的解x=_________；④=﹣1的解x=_________；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并指出它的解．19．如下表，方程1，方程2，方程3…是按照一定规律排列的一列方程．===（2）已知方程的解是x=11，求a的值；该方程在表内的一列方程中吗？如果在，是第几个方程？（3）写出表内这列方程中的第n个方程和它的解，并验证这个解适合第n个方程．20．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．21．（2009•荆州二模）若关于x的方程有增根，求k的值．22．若关于x的方程=有增根，求m的值．23．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．24．若方程﹣=有增根，求m的值．25．关于x的方程=有增根，求m的值．26．m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？27．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．28．已知方程有增根x=1，求k的值．29．已知关于x的方程有增根，求m的值．30．（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．分式专项训练之七（分式方程的解与增根）含答案参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．已知关于x的分式方程无解，求m的取值范围．x=2．若关于x的方程﹣1=无解，求m的值．3．若关于x的方程无解，求m的值．解：方程x=4．若关于x的方程无解，求m的值．方程方程±5．若关于x的方程无解，试确定a的值．6．如果关于x的分式方程：无解，试求可能的k值．x=7．（2012•锦州二模）若关于x的方程+1=无解，则m=﹣4．解：∵+1=，8．（2008•安顺）若关于x的分式方程的解是正数，求a的取值范围．x=，∴9．当m为何值时，分式方程的解不小于1．x=分式方程∴10．若方程2x+=﹣1的解是正数，求a的取值范围．＞．11．若关于x的分式方程﹣=1的解为负数，求a的范围；若解为整数，求整数a的值．﹣=1，∴12．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是m＜8且m≠4．分式方程13．已知分式方程=1的解为非负数，求a的取值范围．14．通过观察，发现方程不难求得方程：的解是；的解是；的解是；…（1）观察上述方程及其解，可猜想关于x的方程的解是x1=a，x2=；（2）试验证：当都是方程的解；（3）利用你猜想的结论，解关于x的方程．）根据给的具体方程的解得特点易得到方程；分别代入方程左边，易得到左右两边相等，根据分式方程的解即可得到都是方程的解；）把方程变形得到=a+，=a+，得到具有（=a，于是有，分别解即可得到原方程的解．；1+1+代入方程，左边=，左边是方程）方程变形得，=a+，=a+=a，1=．15．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是x1=5，x2=；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=的解是x1=a，x2=；（3）由（2）可知，在解方程：y+=时，可变形转化为x+=的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．=3+，由材料得出y+1=x+=5+，=x+的解是：==y+===3+，+=3+，．16．先阅读下面的材料，然后回答问题：方程x+=2+的解为x1=2，x2=；方程x+=3+的解为x1=3，x2=；方程x+=4+的解为x1=4，x2=；…（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程x+=5+的解是x1=5，x2=；（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程x+=a+的解是x1=a，x2=；知识拓展：（3）猜想关于x的方程x﹣=的解并验证你的结论（4）在解方程：y+=时，可将方程变形转化为（2）的形式求解，按要求写出你的变形求解过程．x+=5+的解是；=a+的解是=﹣的解为=﹣﹣（﹣（﹣；y+1+=3+，可得y+1=，解得：﹣17．（1）阅读以下内容：①根据以上规律，可得（x﹣1）（x n+x n﹣1+x n﹣2+…+x+1）=x n+1﹣1（n为正整数）；②根据这一规律，计算：1+2+22+23+24+…22011+22012+22013=22014﹣1．（2）阅读下列材料，回答问题：关于x的方程：的解是x1=a，；的解是x1=a，；的解是x1=a，；…①请观察上述方程与解的特征，猜想关于x的方程的解；②请你写出关于x的方程的解．=3+3+，．18．解方程：①=﹣1的解x=0；②=﹣1的解x=1；③=﹣1的解x=2；④=﹣1的解x=3；（1）请完成上面的填空；（2）根据你发现的规律直接写出第⑤个方程和它的解；（3）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并指出它的解．方程为=的式子表示为=19．如下表，方程1，方程2，方程3…是按照一定规律排列的一列方程．===（2）已知方程的解是x=11，求a的值；该方程在表内的一列方程中吗？如果在，是第几个方程？（3）写出表内这列方程中的第n个方程和它的解，并验证这个解适合第n个方程．代入方程=，发现它是（），代入方程=所得方程为=个方程为====是方程=20．已知：方程﹣=﹣的解是x=，方程﹣=﹣的解是x=，试猜想：（1）方程+=+的解；（2）方程﹣=﹣的解（a、b、c、d表示不同的数）．﹣=﹣，先左右两边分别通分可得：化简可得：x=﹣=﹣，先左右两边分别为通分可得：化简可得：x=）先把方程分为两边差的形式：方程﹣=﹣x==421．（2009•荆州二模）若关于x的方程有增根，求k的值．22．若关于x的方程=有增根，求m的值．±．23．若关于x的方程﹣=有增根，求增根和k的值．24．若方程﹣=有增根，求m的值．25．关于x的方程=有增根，求m的值．26．m为何值时，关于x的方程+=会产生增根？+会+=+=27．若解关于x的分式方程会产生增根，求m的值．28．已知方程有增根x=1，求k的值．29．已知关于x的方程有增根，求m的值．30．（1）解分式方程：（2）当m为何值时，关于x的分式方程有增根．。

初分式方程增根题

初分式方程增根题
初分式方程是指一个方程中含有未知数的分式，并且方程的次数小于分母的次数。

增根题是指已经给定了方程的一些根（或称为解）的情况下，求使方程增加根的条件或新根的值的问题。

举个例子，假设有一个初分式方程为：$\\frac{2}{x} +
\\frac{3}{x-1} = \\frac{5}{x+2}$，已知该方程的根为
$x=3$。

要求该方程增加根，我们可以考虑通过乘法因式来引入新的根。

其中一个乘法因式可以是$(x-3)$，因为已知
$x=3$是方程的根。

将方程乘以$(x-3)$得到 $(x-3) \\cdot \\left(\\frac{2}{x} + \\frac{3}{x-1}\\right) = (x-3) \\cdot \\frac{5}{x+2}$，进一步化简得到 $2(x-3) + 3(x-3)
\\cdot \\frac{x}{x-1} = 5(x-3) \\cdot \\frac{1}{x+2}$。

这样，原方程增加了一个根$x=3$，并且引入了一个新的未知数$x-3$。

我们可以继续解这个新方程来求得引入根的条件或新根的值。

请注意，这只是一个简单的例子，分式方程的解法方法和增根的题目性质可能会因具体的方程形式而有所不同。

在实际应用中，可能需要运用代数化简、分子有理化、合并同类项等技巧来解决增根题。