参数的取值范围例解

参数的取值范围例解

参数的取值范围例解

2021 11 马洪亮

波利亚提到的思维方法告诉我们：时刻不忘未知量，参数取值范围的求解问题，因为

涉及到两个或者两个以上的字母，显得抽象繁琐，还可能考察到二次函数、指数、对数函数、三角函数、向量、解析几何、分段函数等，解题方法也较灵活多样，不易掌握。以下

归纳，以作参考。

例1.若不等式

的所有实数m都成立，求x的取值范围。

析：已知参数m的取值范围而求未知数x的取值范围，可采用变换主元的策略，原不

等式可变形为

时恒成立。当做以m为自变量的函数

，则原问题可等价转化为函数

在区间[－2，2]上的函数值恒小于零，从而有

例2.已知对任意实数x，不等式

恒成立。求实数k的取值范围。

解：原不等式两端可视为两个函数

与y＝kx，在同一坐标系中画出这两个函数的图象，问题的解决方法自然产生。如图，只有当直线

的斜率k取区间[0，1]上的任一值时，才有

恒成立。故实数k的取值范围为

3. 分离参数

上的增函数。若

恒成立，求实数m的取值范围。

解：依题意，原不等式

分离参数m，应用得：

在函数定义域中恒成立

分离参数m，应用得：

由①、②可知，实数m的取值范围为

4.最值性质：（1）

例4.求使不等式

有解的实数a的取值范围。

的最小值，只要a大于其最小值即可，求出坐标轴上到两点和的最小值。答案：

）内有相异的两个实根

。求实数a的取值范围。

，则由题设知，直线

有两个不同的交点A（

即原点O到直线

的距离小于1，即

不过点（1，0），即

点评：将代数问题构造平面图形后，用平面解析几何的有关知识解题，实际上是数形结合思想的灵活应用。

6.利用函数的单调性求解

例6.已知函数

上的一切x值恒有意义，求a的取值范围。

上任意x的值恒成立

上任意x的值恒成立。

上是增函数，则

7.构造向量巧解

由向量的数量积公式：

（其中θ为向量a与b的夹角），

，则易得到以下推论：

；（2）

（3）当a与b同向时，

；当a与b反向时，

（4）当a与b共线时，

例7.设x,y为正数，不等式

恒成立，求a的取值范围。

8. 利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f(x) (或m

例8、已知函数

,对f(x)定义域内任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范围

解：函数f(x)的定义域为（0，+∞），由f(x)≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立

对一切x∈（0，+∞）恒成立，

对x∈（0，+∞）恒成立

，由h′(x)=0解

h′(x)>0时，解得0＜x＜

, h′(x)＞0时x＞

所以h(x)在（0，

）上递增，在（

，+∞）上递减,

故h(x)的最大值为