《周长固定三角形面积的最大值》
周长固定的三角形面积最大值
周长固定的三角形面积最大值当我们谈论三角形的时候，很多人可能会觉得这只是数学里的一种图形，挺简单的。
可是，嘿，别小看这个小家伙哦！三角形可是有着丰富的故事和深邃的秘密。
想象一下一个三角形，它的周长是固定的。
听起来是不是有点无聊？其实不然！在这个固定的周长条件下，三角形的面积可以说是变幻莫测，像个调皮的小孩子，总是让人意想不到。
就拿这个问题来说吧，固定周长的三角形，哪种形状的面积最大呢？大家都知道，三角形有很多种类型，直角三角形、等边三角形、锐角三角形，甚至还有不规则的三角形。
不过，这些三角形中，有一种神奇的存在，它就是等边三角形。
为什么呢？就像人们常说的“好的开始是成功的一半”，等边三角形就像是一个完美的开始。
无论你怎么变化，如何调整它的边长，等边三角形的面积总是最大。
这就好比，想在一个聚会上吸引眼球，等边三角形简直就是那个闪耀的明星，让人忍不住想去接近它。
想象一下，在一个草地上，我们用绳子围出一个三角形。
然后，我们开始移动这三根绳子，试图把这个三角形变得更大。
你可能会试着拉长一边，缩短另一边，但你发现，无论你怎么搞，最终的结果似乎总是没法比得上那种完全均匀的等边三角形。
就像炒菜时，调料放多了，味道反而没了，和谐才是王道，三角形也是如此。
这个等边三角形就像是掌握了某种神秘的法则，永远都能在周长不变的情况下给你最丰厚的“面积”回报。
大家一定听过“量变引起质变”这个说法，三角形的变化其实也是如此。
我们把一根绳子围成一个固定的三角形，不同的形状会给我们不同的面积。
可是，一旦我们找到那个等边的完美形状，哇，那就是质的飞跃！不再是简单的面积计算，而是一种几何的享受，仿佛整个三角形在跟我们跳舞，真是让人感到兴奋。
你有没有想过，为啥三角形这么重要？生活中到处都是三角形的身影，建筑的结构、桥梁的设计，甚至你喝咖啡时的那把勺子。
科学家和工程师们早已发现，三角形的稳定性让它在各种设计中都能派上用场。
周长固定的三角形，究竟是怎么能在稳定中求变，创造出最大的面积？这就像是一场魔术表演，让我们目不暇接。
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值
二次函数的最值问题——求线段，三角形周长及面积的最值摘要：二次函数作为初中最重要的函数，近几年来，中考拉分题常常利用二次函数求线段的最值、三角形周长的最小值及面积的最大值问题。
在解决二次函数的最值问题时，一般构建二次函数模型，通过数形结合把求三角形的周长、三角形面积的最值问题转化为求线段长度的问题。
关键词：二次函数；最值问题；轴对称；数形结合一、将军饮马“K”字形，两点之间线段最短问题1.二次函数与x轴交于点A（-1，0），B（3,0），与y轴交于点C（0,3）．在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的分析：由已知，可求得二次函数的对称轴为，又因为二次函数图像关于对称轴对称可知：A、B两点关于对称，,连接BC与对称轴的交点为所求P点，则,所以CH＋EH的最小值为。
小结：利用二次函数求两线段和的最小值问题，我们通常是作其中一点关于对称轴的对称点，连接对称点与另一点得到的线段长度为我们所求的两线段和的最小值。
变式1.如问题1改为：的周长是否存在最小值？若存在，请求出的周长；若不存在，请说明理由。
分析：延伸1看起来跟问题1不一样，但实际上，万变不离其宗。
，已知A,C两点坐标，由勾股定理可得，,题目中要求周长的最小值可转化为求的最小值，也就转化为问题1，即：,问题2.如图，直线与抛物线交于点A（0,3），B(3,0) ,点F是线段AB上的动点，FE x轴，E在抛物线上，若点F的横坐标为m，请用含m的代数式表示EF的长并求EF的最大值。
分析：利用E、F分别在抛物线及一次函数上可得到，,因为,所以,可求得当时，EF的最大值为小结：利用二次函数求竖直线段的最大值，一般是通过设未知数表示出二次函数及一次函数图像上的两点，由横坐标相等，利用两点纵坐标相减可得到线段的长度，再利用二次函数求最值方法可求出线段的最大值。
变式1：问题2改为过E作,求的最大值是多少？分析：因为该一次函数，可知为等腰直角三角形，，要求的最大值只需求得的最大值，由此就转化为问题2，所以小结：求斜线段的最大值问题，一般转化为求平行于y轴线段的最值问题，再利用三角函数可求得斜线段的最大值。
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
周长一定的直角三角形面积最大值
周长一定的直角三角形面积最大值哎呀，今天咱们聊聊一个挺有趣的数学话题，直角三角形的面积和周长的关系。
听起来是不是有点枯燥？别急，让我带你走进这个有趣的世界。
你知道吗，直角三角形这玩意儿，简单得很，但里面却藏着不少秘密。
比如说，周长固定的时候，怎样才能让它的面积达到最大值呢？这是个挺有意思的问题，值得咱们好好探讨一番。
想象一下，咱们有一个直角三角形，周长就像那条围裙，系得紧紧的。
无论怎么拉扯，周长就是这么大。
于是，我们就得在这块区域里，找到一个面积最大的地方。
有人可能会想，哎，随便一边长点，面积不就大了吗？可是，实际上可没那么简单。
正所谓，做事情得讲究方法，随便糊弄可不行。
直角三角形的两个直角边分别叫做a和b，斜边叫做c。
你看，这里就出现了一个新朋友：斜边c。
别小看它，c的存在可是至关重要。
咱们先来算算面积吧。
直角三角形的面积公式可简单了，面积等于一半的底乘以高，也就是(frac{1{2ab)。
而周长呢，则是a加b再加c，周长公式一出，立马显得复杂起来。
要想让面积最大，周长就得固定在某个数值上。
这个时候，咱们就要开动脑筋了，怎么才能让a和b配合得天衣无缝，争取到最大面积呢？你瞧，这可就引出了一个有趣的结论：当a和b相等的时候，也就是形成一个等腰直角三角形，面积就能达到最大值。
没错，平时大家可能觉得“等腰”有点奇怪，但在这里，它可是个“万里挑一”的好选择。
脑海里浮现出一个画面：如果这两个边一边长一边短，面积可就缩水得厉害，真是可惜！所以，聪明的你，下一次遇到这个问题的时候，可得记得，两个边一样长才是王道。
这就像选朋友一样，找对了，事半功倍，反之则可能得不偿失。
数学这东西嘛，没那么可怕。
就像吃饭，最重要的是搭配得当，量足味美。
我们日常生活中常常会用到直角三角形，比如说，盖房子的时候，师傅们用的那些测量工具，很多都是基于直角三角形的道理。
想象一下，一个个师傅在屋顶上忙活，量来量去，争取把每个角度都调整到位，保证房子的稳固。
三角形中求周长、面积的最值
三⾓形中求周长、⾯积的最值三⾓形中求周长、⾯积的最值⼀、解答题1．已知ABC ?的内⾓,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+. (1)求⾓A 的⼤⼩;(2)若2a =,求ABC ?周长的取值范围.2．在ABC ?中，⾓,,A B C 所对的边分别是,,a b c 且()22sin B sin A sinC sinB sinC -=?-.（1）求⾓A ；（2）若ABC ?为钝⾓三⾓形，且b c >，当a =b c -的取值范围.3．已知ΔABC 的内⾓A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其⾯积为S ，且√3(b 2+c 2?a 2)=4S （1）求⾓A 的⼤⼩；（2）若a =√3，当b +2c 取得最⼤值时，求cosB4．已知ABC ?的内⾓分别为,,A B C ，其对应边分别是,,a b c ，且满⾜cos cos 2cos b C c B a B +=．（Ⅰ）求⾓B 的⼤⼩；（Ⅱ）若b =2+a c 的最⼤值.5．如图所求扇形OPQ 的半径为1，圆⼼⾓为3π，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形，记COP a ?.（1）当AB =时，求tan2α的值；（2）记矩形ABCD 的⾯积为()f α，求()f α最⼤值，并求此时α的值.6．已知ΔABC 的内⾓A,B,C 的对边分别为a,b,c ，且a =bcosC ?√33csinB ．（1）求B ；（2）若点D 为边AC 的中点，BD =1，求ΔABC ⾯积的最⼤值．7．（本⼩题满分12分）已知函数f(x)=?sinωx(ω>0)在区间[0,π3]上单调递减，在区间[π3,2π3]上单调递增；如图，四边形OACB 中，a ，b ，c 为△ABC 的内⾓以B ， C 的对边，且满⾜tanA =sinB+sinc 4ω3cosBcosC．（Ⅰ）证明：b+c =2a ：（Ⅱ）若b=c ，设∠AOB =θ．(0<θ<π),OA =2OB =2，求四边形OACB ⾯积的最⼤值．8．在ΔABC 中，已知内⾓A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，且a 2+b 2=c 2+ab ，（1）若ab =cosBcosA ，且c =2，求ΔABC 的⾯积；（2）已知向量m ?? =(sinA,cosA ),n ? =(cosB,?sinB )，求|m ?? ?2n ? |的取值范围. 9．在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，（1）建⽴y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.（2）求y 的最⼩值，并指出x 的值.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为⾓A ，B ，C 的对边，设22222()()4f x a x a b x c =---. (1)若(1)0f =，且3B C π-=，求⾓C ；(2)若(2)0f =，求⾓C 的取值范围．11．在锐⾓ABC ?中，,,A B C 三内⾓所对的边分别为,,a b c ．设(cos ,),(cos ,),m A sinA n A sinA a ==-=r r12m n ?=-r r且（Ⅰ）若3b = ，求ABC ?的⾯积；（Ⅱ）求b c +的最⼤值.12．设ABC ?的内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满⾜sin a b A =．（I ）求B 的⼤⼩；（II ）求cos cos A C +的取值范围．参考答案1．（1）3π；（2）(]4,6. 【解析】【分析】(1)利⽤正弦定理化简边⾓关系式后可得1cos 2A =，从⽽可求A 的⼤⼩. （2）利⽤基本不等式和三⾓形两边之和⼤于第三边可求b c +的取值范围，从⽽可求周长的取值范围.【详解】(1)在ABC ?中，2cos cos cos a A c B b C =+Q ，2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ∴=+即()2sin cos s sin in A A C A B =+=，因为()0,A π∈，所以sin 0A >，1 cos 2A ∴=， (),0,.3A A ππ∴∈=Q(2)由于2,3a A π==由余弦定理有2221cos 22b c a A bc +-==， ()222442bc b cb c bc ∴=+-=+--，()243b c bc +-∴=⼜根据基本不等式有22b c bc +??≤ ，所以()22432b c b c +-+??≤解得4b c +≤(当且仅当2c b ==时等号成⽴) ⼜因为三⾓形两边之和⼤于第三边，所以2b c +>. 因为2a =，所以ABC ?周长a b c ++的取值范围为(]4,6. 【点睛】在解三⾓形中，如果题设条件是关于边的⼆次形式，我们可以利⽤余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内⾓正弦的齐次式，那么我们可以利⽤正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和⾓的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为⾓的关系式或边的关系式.与三⾓形有关的最值问题，我们可以利⽤基本不等式来求最值或利⽤正弦定理把边转化为关于⾓的三⾓函数式，再利⽤三⾓变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围. 2．（1）3π；（2）(2,. 【解析】【分析】（1）由正弦定理化简()22sin B sin A sinC sinB sinC -=?-可得222b c a bc +-=，再结合余弦定理即可得到⾓A ；（2）结合（1）可得23B C π+=，利⽤正弦定理把求b c -的范围转化为求4sin 3B π?-，结合三⾓形的性质可得223B ππ<<，由正弦函数的图形即可得到4sin 3B π?-的范围，从⽽得到b c -的取值范围。
定边对定角模型周长与面积的最值新表述
定边对定角模型周长与面积的最值新表述定边对定角模型是数学中经常涉及到的一个问题，它包括了求解周长与面积的最值问题。
通过对定边对定角模型的深入研究和探索，我们可以为该问题提供一个新的表述，使其更具有实用性和普适性。
在传统的定边对定角模型中，我们通常会面临一个给定边长的固定形状，其中角的大小是固定的，我们需要求解其对应的最大或最小周长和面积。
常见的例子包括求解给定周长下矩形的最大面积，或是给定周长下正多边形的最大面积等。
然而，这种问题的解法通常是基于已有的数学工具和技巧，而没有对问题本身进行更深入的思考和探索。
我们有必要对定边对定角模型进行重新审视，并提出一个新的表述方式。
我们可以从以下几个方面来重新表述定边对定角模型的周长与面积的最值问题：1. 定义问题：我们需要明确定义定边对定角模型的问题。
我们可以将其定义为在给定边长和角的情况下，求解该模型在约束条件下的最大或最小周长和面积。
2. 变量范围：我们可以考虑放宽原有问题中的一些限制条件，将问题转化为更一般化的情况。
可以考虑不同形状的边，或是允许角的大小在一定范围内变化。
这样做可以使问题更具有普适性，并且能够更全面地探索定边对定角模型的特性。
3. 模型优化：我们可以引入优化方法，通过数学建模和优化算法，求解定边对定角模型中的最优解。
这样可以提供一种定量的分析方法，帮助我们更好地理解问题的解空间和特征。
4. 观点与理解：基于对定边对定角模型的深入研究和探索，我们可以分享自己的观点和理解。
这包括对问题的解释、对解法的评价和建议等。
通过不同的观点和理解，可以丰富对问题的认识和理解。
总结回顾：通过重新表述定边对定角模型的周长与面积的最值问题，我们为这一经典问题提供了新的视角和解决思路。
通过逐步深入探讨问题，我们可以更加全面地理解定边对定角模型的本质和特性。
我们可以基于数学建模和优化方法，为问题提供定量的解决方法。
我们可以分享自己的观点和理解，促进对问题的讨论和交流。
三角形的周长与面积关系
三角形的周长与面积关系三角形是几何学中最基本的图形之一，它具有独特的性质和特征。
对于一个任意给定的三角形，我们可以通过边长计算其周长和通过边长和高计算其面积。
在本文中，我将探讨三角形的周长和面积之间的关系。
首先，让我们回顾一下三角形的定义和性质。
三角形是由三条边以及它们之间的三个角组成的图形。
根据边长的关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
对于一个任意的三角形ABC，其周长可以用边长a、b、c表示，即周长P=a+b+c。
接下来，我们来探讨三角形的面积。
三角形的面积是指三角形所覆盖的平面区域大小，它可以用底和高的乘积除以2来计算，即面积S=（底×高）/2。
对于三角形ABC，我们可以选择一个边作为底，然后根据这个底的垂直高计算三角形的面积。
这个垂直高可以通过不同的方法求得，例如使用勾股定理或正弦定理。
现在让我们来研究一下三角形的周长和面积之间的关系。
首先，我们可以观察到，对于具有相同底和高的两个三角形，它们的面积是相等的。
这是因为面积的计算公式中包含了底和高的乘积，而与两个三角形的其他边长无关。
因此，如果我们保持底和高不变，两个三角形的面积将始终相等。
其次，我们可以考虑到周长和面积之间的一个重要关系，即周长和面积之间存在一个不等式关系。
根据三角形的性质，任意一个三角形的周长必须大于其任意两边之和，并且小于其任意两边之差加上其最大边长。
换句话说，对于一个任意给定的三角形，其周长P一定满足不等式 a+b>c 且 a+c>b 且 b+c>a。
基于这个不等式关系，我们可以推导出三角形的面积S的范围。
根据不等式的性质，我们可以得出S的最小值和最大值。
最小值发生在当且仅当三角形为等边三角形时，此时面积S=（边长的平方×√3）/4。
最大值发生在当且仅当三角形为直角三角形时，此时面积S=（底×高）/2。
因此，我们可以看出，对于一个给定的三角形，其面积S的范围始终在这两个极端值之间。
高考数学专题：解三角形中面积(周长)最值的求法
解三角形中面积（周长）最值的求法一、考法解法命题特点分析在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。
这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。
解题方法荟萃求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：（1）用余弦定理+基本不等式（2）用正弦定理+三角函数的取值范围二、典型题剖析 例1 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,41cos ==a A .（1）若6=+c b ，且b <c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。
【解析】 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 212)(162--+= ∴8=bc ，又∵,6=+c b b <c ，解方程组⎩⎨⎧==+86bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．∴4,2==c b（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 211622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴332≤bc ，又415sin =A ∴3154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC即c b =时三角形最大面积为3154 例2在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)s i n s i n ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。
（1）求角A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围。
【解析】解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ，即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A （2） 由正弦定理334sin 2==A a R C R CB R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S ABC sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 334B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,21()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S三、达标与拓展基础过关1．、在ABC ∆中，22223a b c ab +=+，若ABC ∆的外接圆半径为322，则ABC ∆的面积的最大值为 . 【解析】 解：又22223a b c ab +=+及余弦定理得2221cos 23a b c C ab +-==，所以22sin 3C =， 又由于2sin 4c R C ==，所以2222cos c a b ab C =+-即2221623ab a b ab +=+≥ 所以12ab ≤，又由于12sin 4223S ab C ab ==≤，故当且仅当23a b ==时，ABC ∆的面积取最大值42智能拓展2.已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且23A C π+=，1b =． （Ⅰ）记角A x =，()f x a c =+，若ABC ∆是锐角三角形，求()f x 的取值范围；（Ⅱ）求ABC ∆的面积的最大值．【解析】解：（Ⅰ）在ABC ∆中，A B C π++=，23A C π+=，∴3B π=． ∵在ABC ∆中，sin sin sin a b c A B C==，1b =， ∴11232sin sin sin sin 33sin sin 33a c A C A A πππ⎡⎤⎛⎫+=⋅+⋅=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 2322sin sin cos cos sin 3sin cos 2sin 3336A A A A A A πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 即()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． ∵ABC ∆是锐角三角形，∴62A ππ<<，得2363x πππ<+<，于是()32f x <≤，即()f x 的取值范围为(3,2⎤⎦．（Ⅱ）由（1）知3B π=，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得22212c o s 3a c a c π=+-，∴2212a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时，等号成立． 此时1133sin sin 22344ABC S ac B ac ac π∆===≤，故当a c =时，ABC ∆的面积取得最大值34．。
解三角形中面积与周长最值问题探究
㊀㊀㊀解三角形中面积与周长最值问题探究◉广州市玉岩中学㊀余国超㊀㊀１引言解三角形是高考必考内容,其中有关变化三角形面积与周长的最值问题也是其他考试的热点之一,本文中介绍其中几种常见的模型,帮助学生找到解决此类问题的一般思路．２问题探究在研究三角形有关性质与特点过程中,我们知道三角形涉及到六个元素,即三边三角．如果三角形已知其中三个元素,并且这三个元素至少有一条边,在这样的条件下,利用方程的思想及正弦或余弦定理,可以求解三角形,即此时三角形是确定的．当三角形的条件只已知一边一角时,三角形的形状不确定,在其变化过程中面积与周长就会在一定范围内变化．在已知一边及一角的情况,变化三角形主要存在两种模型,即已知一边及其对角和已知一边及其邻角．下面笔者就对这两种模型进行讨论．模型一㊀在三角形中,已知一边及其对角,求三角形面积与周长的最值．例１㊀әA B C 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a ＝２,øA ＝π３,求әA B C 面积的最值．图１分析:在此问题中,如果从平面几何的角度去研究,如图１所示,三角形已知B C ＝２,øA ＝π３,利用正弦定理可知其外接圆确定,由图形可知,әA B C 底边确定,当其为等边三角形时高最大,其面积最大,无最小值．如果我们用函数的观点解决该三角形面积的最值问题,需要引入恰当的变量,建立函数关系,再利用函数的观点求函数的最值．对于三角形来说,其牵涉到两类元素,即边和角,那么就可以从边或者角入手,引入边或者角做变量表示面积,然后用函数的方法或者基本不等式求其最值．解法一:由余弦定理得,a ２＝b ２＋c ２－b c ,即４＝b ２＋c ２－b c①由面积公式得S ＝１２b c s i n A ＝３４b c ．在①式中,由基本不等式可得４＝b ２＋c ２－b c ȡ２b c －b c ,即b c ɤ４,当b ＝c 时,b c ()m a x ＝４,所以S m a x ＝３．解法二:由正弦定理b s i n B ＝c s i n C ＝a s i n A ＝４３３,得b ＝４３３s i n B ,c ＝４３３s i n C ,所以S ＝１２b c s i n A ＝４３３s i n B s i n C ．因为B ＋C ＝２π３,所以S ＝４３３s i n B ˑs i n ２π３－B æèçöø÷,化简得S ＝２３３s i n ２B －π６æèçöø÷＋３３,其中０＜B ＜２π３．所以当B ＝π３时,S m a x ＝３．在以上两种方法中,解法一是以边做变量,利用余弦定理确定两边的关系式,再利用基本不等式求出两边乘积的最值,最终就求出面积的最值;而解法二是以角度为变量,利用正弦定理表示边,从而用角表示了面积,最终将三角形面积的最值问题转化为三角函数求最值．两种方法在解决三角形没有其他限定条件的时候都适用,相比较而言,利用基本不等式求最值计算量相对较小．对于求面积的最值问题,两种方法的本质都是引入恰当的变量,通过建立函数关系式,用函数的观点求其最值,运用相同的思路,也可以求三角形周长的最值．真题再现(２０２０Ⅱ卷理科)әA B C 中,s i n ２A －s i n ２B －s i n ２C ＝s i n B s i n C ．(１)求A ;(２)若B C ＝３,求әA B C 周长的最大值．解析:(１)由正弦定理可得:B C ２－A C ２－A B ２＝A C AB ,所以c o s A ＝A C ２＋A B ２－B C ２２A C A B ＝－１２．因为A ɪ０,π(),所以A ＝２π３．(２)由余弦定理得:B C ２＝A C ２＋A B ２－２A CA B c o s A ＝A C ２＋A B ２＋A C A B ＝９,即A C ＋A B ()２－A C A B ＝９．由A C A B ɤA C ＋A B ２æèçöø÷２(当且仅当A C ＝A B 时取等号),得３６２０２２年４月上半月㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀复习指引复习备考Copyright ©博看网. All Rights Reserved.㊀㊀㊀９＝A C＋A B()２－A C A BȡA C＋A B()２－A C＋A B２æèçöø÷２＝３４A C＋A B()２．解得:A C＋A Bɤ２３(当且仅当A C＝A B时取等号)．所以әA B C周长L＝A C＋A B＋B Cɤ３＋２３．因此әA B C周长的最大值为３＋２３．思考:如果三角形有约束条件时,以上两种方法还可以用来求面积或者周长的最值吗我们将以上问题变式后提出以下两个问题．变式１:钝角әA B C的内角A,B,C的所对边分别为a,b,c,已知a＝２,øA＝π３,әA B C的面积存在最值吗若存在,请求出最值;若不存在,请求出面积的取值范围．变式２:锐角әA B C的内角A,B,C的所对边分别为a,b,c,已知a＝２,øA＝π３,求әA B C面积的取值范围．分析:在变式１中将三角形变为钝角三角形,如果还采用基本不等式去解决问题,会发现等号成立的条件不成立,因此不能判断三角形的面积是否存在最值,更不能求出其面积的取值范围;在变式２中将三角形改为锐角三角形,问题改为求面积的取值范围,若采用基本不等式,可以求得面积有最大值,但不能求得三角形面积的最小值或者范围的下界,此时显然用基本不等式不能完整地解决此类问题．因此引入角度做变量,用角度表示边后将函数转化为三角函数求值域问题,不过需要注意角度的取值范围．通过对以上几个问题的探究,如果已知条件是对边及对角,并且对三角形的形状没有做要求的时候,用边做变量,利用余弦定理建立变量之间的关系,再用基本不等式求面积或者周长的最值,此方法计算量较小,但对三角形的形状有限制的时候,如果基本不等式成立的条件不能成立,此时则需要引入角度做变量,转化为三角函数去求面积和周长的最值㊁范围．模型二㊀在三角形中,已知一边及其邻角,求三角形面积与周长的最值．例２㊀(２０１９课标Ⅲ卷)әA B C的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知a s i n A＋C２＝b s i n A．(１)求B;(２)若әA B C为锐角三角形,且c＝１,求әA B C面积的取值范围．图２分析:(１)易得B＝６０ʎ．对于第(２)问,从平面几何角度,要满足三角形为锐角三角形,由图２可知C在C１与C２之间移动,当C逼近C１时,面积逼近最小值,当C逼近C２时,面积逼近最大值,结合图形可以求出满足条件的面积取值范围．应用模型一的思想,则可以引入边长或者角度建立函数关系式,如果边长入手,利用余弦定理得b２＝a２＋１－a,面积S＝１２a c s i n B＝３４a,要求面积的取值范围,必须求出a的取值范围,而此题中对三角形的形状有限制,在限制条件下去求边长的取值范围较难,所以引入边长做变量去求面积的取值范围在本题中不可取,因此引入角度做变量去解决本题较易处理．解:(１)由正弦定理得s i n A s i n A＋C２＝s i n B s i n A．因为s i n Aʂ０,所以s i n A＋C２＝s i n B．由A＋B＋C＝１８０ʎ,可得s i n A＋C２＝c o s B２,故c o s B２＝２s i n B２c o s B２．因为c o s B２ʂ０,所以s i n B２＝１２,因此B＝６０ʎ．(２)由题设及(１)知әA B C的面积SәA B C＝３４a．由正弦定理得a＝c s i n As i n C＝s i n１２０ʎ－C()s i n C＝３２t a n C＋１２．由于әA B C为锐角三角形,故０ʎ＜A＜９０ʎ,０ʎ＜C＜９０ʎ．由(１)知A＋C＝１２０ʎ,所以３０ʎ＜C＜９０ʎ,t a n Cɪ３３,＋¥æèçöø÷．因此,１２＜a＜２,从而３８＜SәA B C＜３２．故әA B C面积的取值范围是３８,３２æèçöø÷．３结束语在三角形中,已知两边长,求三角形面积与周长的最值的时候,此类问题相对较易,这里就不做深入探讨．通过对形状不确定三角形的面积与周长的研究,可以总结出处理此类问题的一般思路,即从角或者边入手,建立函数关系,再去求最值．如果三角形的形状没有限定,一般选择从边入手,利用基本不等式求最值,这样计算量相对较小,如果是三角形的形状有限定,利用基本不等式时等号成立的条件不成立,那就需要从角入手,利用三角函数的知识解决,一般来说,利用角度都可以解决此类问题,应注意计算的准确性以及角的取值范围,利用相同的思路也可以解决三角形中某些线段的最值问题．Z４６复习备考复习指引㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２２年４月上半月Copyright©博看网. All Rights Reserved.。
三角形面积的最值
三角形面积的最值
三角形面积的最值（最大值或最小值）取决于所给定的条件和要求。
以下是几个常见的关于三角形面积最值的情况：
1.周长固定，求最大面积：当三角形的周长固定时，根据海
伦公式（Heron's formula），可以得出三角形的最大面积为
等边三角形。
也就是说，当三角形的三边长度相等时，其
面积最大。
2.两边长度固定，求最大面积：当三角形的两边长度固定时，
最大面积可以通过使得这两边夹角为90度的直角三角形
来实现。
这个结论可以由勾股定理得出。
3.给定一个顶点，求最大面积：当一个三角形的两边长度固
定，且有一个顶点固定时，最大面积通常发生在另外两个
顶点形成的直角三角形情况下。
也就是说，将固定顶点与
另外两个顶点连成的线段垂直时，所得的三角形面积最大。
需要注意的是，这些结果只是在特定条件下给出了三角形面积的最大或最小值。
在其他情况下，三角形的面积可能会有不同的取值。
因此，根据具体的条件和要求，解决三角形面积最值问题的方法和结果也会有所不同。
周长为定值的三角形中等边三角形面积最大.doc
在周长为 2p (常数) 的一切三角形中，等边三角形面积最大。
证明一：设三角形的三边长为x , y ， z ,则面积为S =为简化计算，取目标函数：u f (x,y,z)2lnS ln p ln(p x)ln(p y)ln(p z)===+-+-+- 而约束条件为(x,y,z)x y z 2p 0f =++-=取F(x,y,z,)f (x,y,z)(x,y,z)l =+l f ln p ln(p x)ln(p y)ln(p z)(x y z 2p)=+-+-+-+l ++-令，1x 1y 1z F (p x)0F (p y)0F (p z)0F x y z 2p 0---l ¢=--+l =¢=--+l =¢=--+l =¢禳镲镲睚镲镲î=-=þ++ 得到唯一驻点：0002p 3x 2p y 3z 2p 3骣琪骣琪琪琪=琪琪琪琪桫琪琪桫2max S \=证明二： 设三角形的三个边长分别是X ，Y ，Z.面积是ϕ.由海伦公式，有 ϕ=))()((Z P Y P X P P ---已知X+Y+Z=2p 或Z=2P-X-Y ，将它代入(8)式之中，有ϕ=))()((P Y X Y P X P P -+--因为三角形的每边长是正数而且小于半周长p ，所以ϕ的定义域 D=(){}P Y X P Y P X Y X >+<<<<,0,0|, 已知ϕ的稳定点与P 2ϕ的稳定点相同. 为计算简便，求ϕ=P 2ϕ=（P-X ）（P-Y ）（X+Y-P ）的稳定点.解方程组,()()⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+-+--==---=--+-+--=0)22)(())(())((,0)22)(())(())((,''x y p x p y p x p p y x x p y x y x p y p y p x p p y x y p y x y x ϕϕ 在区域D 内有唯一稳定点⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32p p 求二阶偏导数. )(2),("y p y x xx --=ϕ, ()p y x y x xy 3)(2,"-+=ϕ,)(2),(""x p y x yy --=ϕ[]222""2"588444),(),(),(p py px y xy x y x y x y x yy xx xy +--++=-ϕϕϕ 在稳定点⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32p p ，△=032<-p , A=-032<p 从而，稳定 点⎪⎭⎫ ⎝⎛32,32p p 是函数ϕ极大点。
高考数学专题：解三角形中面积(周长)最值的求法
解三角形中面积（周长）最值的求法一、考法解法命题特点分析在正余弦定理的运用中，有一类题目值得关注。
这类题有一个相同的特点，即知道三角形的一条边和边所对的角，求三角形面积（或周长）的最值（或范围），但在解题方法的选择上有值得考究的地方。
解题方法荟萃求三角形面积（或周长）的最值（或范围），一般可有两种思路去解决：（1）用余弦定理+基本不等式（2）用正弦定理+三角函数的取值范围二、典型题剖析 例1 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,41cos ==a A .（1）若6=+c b ，且b <c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。
【解析】 解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc bc c b 212)(162--+= ∴8=bc ，又∵,6=+c b b <c ，解方程组⎩⎨⎧==+86bc c b 得4,2==c b 或2,4==c b (舍)．∴4,2==c b（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=， ∴bc c b 211622-+= ∵bc c b 222≥+ ∴332≤bc ，又415sin =A ∴3154sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC即c b =时三角形最大面积为3154 例2在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，2=a ，向量)s i n s i n ,1(),1),(sin(C B b B A a -=-=→→，且→a ⊥→b 。
（1）求角A ；（2）求ABC ∆面积的取值范围。
【解析】解：（1）→→⊥∴b a ，01)sin (sin 1)sin(=⨯-+⨯-∴C B B A ，0sin cos cos sin sin sin cos cos sin =--+-B A B A B B A B A ， 即B A B sin cos 2sin =,因0sin ≠B ， 故21cos =A ,又︒<<︒1800A ， 所以︒=60A （2） 由正弦定理334sin 2==A a R C R CB R b sin 2,sin 2== 又 120=+c b A bc S ABC sin 21=∆ 60sin )sin 2()sin 2(21⨯⨯=C R B R C B sin sin 334=)120sin(sin 334B B -= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=B B B sin 21cos 23sin 334[]B B B 2sin cos sin 3332+= 332cos 212sin 23332+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=B B 33)302sin(332+-= B )120,0( ∈B )210,30(302 -∈-∴B ]1,21()302sin(-∈- B ]3,0(∈∴∆ABC S三、达标与拓展基础过关。
与三角形周长(面积)相关的一类最值问题
与三角形周长(面积)相关的一类最值问题
最大周长(最大面积)三角形问题
解决最大周长(最大面积)三角形问题的方法有以下几种：
1. 直接枚举法：通过依次枚举所有可能的三角形，找出最大面积或最大周长的三
角形，从而解决最大周长(最大面积)三角形问题。
2. 求解型数学模型法：利用凸多边形的性质，引入求解型数学模型，问题转化为
数学优化问题，求解最大面积或最大周长的三角形。
3. 贪心算法：根据贪心策略，每一步在当前状态下选择最好的决策，最终得到最
大面积或最大周长的三角形。
4. 动态规划法：根据最优子结构性质，将上一步或整个多边形拆分为若干子问题，建立动态规划模型，以便求解最大面积或最大周长的三角形。
5. 其他方法：利用旋转卡壳法求解最大面积或最大周长三角形，利用增量凸包算
法求解最大面积或最大周长三角形，也可以解决最大周长(最大面积)三角形问题。
6. 拓扑排序法：利用拓扑排序的思想，构建一个有向图，从而求解最大面积或最
大周长的三角形。
7. 深度优先搜索法：利用深度优先搜索的思想，搜索所有的三角形，找出最大面
积或最大周长的三角形。
8. 并行计算法：利用并行技术，利用大量的节点处理数据，从而求解最大面积或
最大周长的三角形。
面积最值问题 初中数学
面积最值问题初中数学面积最值问题是初中数学中一个常见的应用题类型，主要涉及到几何图形的面积，并要求寻找出图形面积的最大值或最小值。
通过解决这类问题，学生们可以加强对图形面积计算的理解，并培养数学建模和解决实际问题的能力。
一、矩形面积最值问题矩形是最为简单的几何图形之一，其面积公式为“面积=长×宽”。
当矩形的周长一定时，如何确定矩形的面积最大或最小值成为了问题的关键。
在解决这类问题时，我们可以利用变量法。
假设矩形的长为x，宽为y，则有以下两个约束条件：1. 2x + 2y = 周长（常数）2. 长和宽都不能为负数，即x ≥ 0, y ≥ 0根据矩形的面积公式，在限定条件下，可以得到矩形的面积S和变量x、y之间的关系式：S = xy。
由此可得，在常数周长和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = xy 的最值。
二、三角形面积最值问题三角形是常见的几何图形之一，其面积公式为“面积=底边×高/2”。
在解决三角形面积最值问题时，我们通常需要考虑两种情况。
情况一：确定一个边长，求解此边长对应的最大面积。
假设等腰三角形的底边长为x，两腰边长为y，则有以下两个约束条件：1. 2y + x = 周长（常数）2. 边长不能为负数，即x ≥ 0, y ≥ 0根据三角形的面积公式，在限定条件下，可以得到三角形的面积S和变量x、y之间的关系式：S = xy/2。
由此可得，在常数周长和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = xy/2 的最值。
情况二：确定一个角度，求解此角度对应的最大面积。
假设三角形的底边长为x，底边两边夹角为θ，则有以下约束条件：1. θ为常数，0°≤θ≤180°2. 底边不能为负数，即x ≥ 0根据三角形的面积公式，在限定条件下，可以得到三角形的面积S和变量x之间的关系式：S = x^2 sin(θ)/2。
由此可得，在限定角度和约束条件下，我们需要求解的就是面积函数S = x^2 sin(θ)/2 的最值。
三角形面积最值公式
三角形面积最值公式三角形是初中数学中最基本的几何形状之一，而三角形面积是求解三角形面积时的一个重要问题。
三角形的面积主要取决于三条边的长度，因此知道任意两条边的长度和其中夹角的大小，就可以求得三角形面积。
本文将介绍三角形面积最值公式及其应用。
一、三角形面积公式首先，我们来看一下三角形面积的公式。
对于任意三角形ABC，其面积S可以表示为S=1/2×AB×BC×sin∠ABC上式中，AB和BC分别代表三角形的两条边，∠ABC则是这两条边所夹的锐角的大小，sin∠ABC则是锐角∠ABC 的正弦值。
这个公式的推导过程可以通过三角函数的相关知识来进行。
由于该公式非常基础，因此在此不再赘述。
二、三角形面积最值公式三角形面积最值公式是指，在给定两条边的长度之后，希望求得三角形面积最大或最小时所使用的公式。
这个公式可以让我们快速、准确地求解三角形的最大或最小面积。
首先，假设三角形的两条边分别为a和b，且∠ABC的大小为θ，则三角形面积公式可以改写为：S=1/2×a×b×sinθ我们的目标是求得在a和b的长度已知的情况下，如何让S最大或最小。
1. 最大值为了让S最大，我们需要找到sinθ的最大值。
因为当sinθ达到最大值时，S也会达到最大值。
由于sinθ的取值在-1和1之间，因此在θ属于[0,π]的范围内，sinθ的最大值为1。
因此，为了使三角形的面积最大，我们需要让θ等于90度，此时sinθ=1。
这也就是著名的正弦定理中的情形。
因此，当给定三角形的两条边的长度a和b时，这个三角形所对的角度应该为90度，此时三角形面积的最大值为：S_max=1/2×a×b2. 最小值为了让S最小，我们同样需要找到sinθ的最小值。
由于sinθ的最小值在-1和1之间取得，因此在θ属于[0,π]的范围内，si nθ的最小值为-1。
因此，当给定三角形的两条边的长度a和b时，这个三角形所对的角度应该为180度，此时sinθ=-1。
周长一定三角形面积最大值
周长一定三角形面积最大值哎，今天我们来聊聊一个有趣的数学话题：周长一定的三角形，怎么才能把面积做到最大。
这个话题听起来可能有点儿枯燥，但其实里面大有文章。
三角形嘛，咱们从小就听过，不就是一堆线段连接起来的形状吗？但你要知道，这个小家伙可不简单。
尤其是当你限制它的周长，想要把面积做大的时候，那就得动动脑筋了。
想象一下，如果你有一根绳子，长度是固定的，你能把它弯成各种形状。
用这根绳子围成一个三角形，可能会觉得好像没什么特别。
但如果你认真想想，三角形的形状可以千变万化，有尖有圆，有小有大，真是让人眼花缭乱。
不过，咱们可得记住，周长固定的时候，形状的变化就得有讲究。
有人可能会想，哎，我就喜欢做个不规则三角形，感觉那样更有创意。
可是，实际上不太能省事儿。
来，咱们举个例子。
如果你做个锐角三角形，或者钝角三角形，看似都挺不错，面积也不小。
可当你把这根绳子围成一个等边三角形时，哎呀，面积就立马大了起来。
为啥呢？因为等边三角形的每一条边都一样长，角度也是一样的，真是完美的平衡，面积就像被施了魔法一样，蹭蹭蹭地往上飞。
所以说，等边三角形就像是一位默默无闻的英雄，光芒四射却不张扬。
它的美，体现在那种和谐的比例中。
想象一下，当你把这三角形画出来的时候，心里是不是有一种莫名的满足感。
每条边都那么整齐，每个角都那么均匀，真像是一道完美的风景线。
数学也能有这样美的享受，真是太妙了。
不过，有趣的是，很多人可能没意识到，这种美的背后其实还有深奥的道理。
物理、工程、建筑，甚至艺术设计中，等边三角形的应用可多着呢。
要是你走在大街上，看到的很多建筑，甚至那些精美的艺术品，里面都可能隐藏着这种几何的智慧。
数学从来不只是枯燥的公式，它也可以是生活中的点点滴滴。
再说说周长和面积这对好兄弟。
周长固定，面积的变化，真是一场心理战。
你想让面积最大，势必要把三角形调整到最佳状态。
就像做饭一样，你得把每种材料搭配得恰到好处，才能做出那道令人垂涎的美食。
《周长固定三角形面积的最大值》
《周长固定三角形面积的最大值》《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。
好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。
那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。
好了，现在我们对矩形也有一个印象了。
简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。
而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。
可知它的周长公式：L=2*(a + b)。
有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。
现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s 有最大值。
微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去―=‖，s有最大值因为：a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。
三角形周长一定面积最大证明
三角形周长一定面积最大证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：三角形是几何学中最基本的图形之一，是由三条边和三个角组成的闭合图形。
在我们熟悉的数学知识中，三角形的周长和面积是最基本的两个概念。
周长是指三角形边长的总和，而面积是指三角形内部的空间大小。
对于给定的三角形，我们可以通过一定的方法计算出它的周长和面积。
本文将探讨的问题是：在给定三角形的情况下，如何证明三角形的周长一定能够使其面积最大化。
我们来看一下三角形的面积是如何计算的。
常见的计算公式是：S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin CS代表三角形的面积，a和b分别代表两条边长，C代表这两条边之间的夹角。
这个公式来源于三角形的性质：一个三角形的面积与其底边和高有关，而正弦函数则是描述夹角与三角形内部结构之间的关系。
接着，我们来思考如何证明三角形的周长可以使其面积最大化。
要证明这个问题，我们需要利用一些数学方法和推理过程。
为了简化问题，我们可以假设这个三角形是等边三角形，也就是三条边的长度都相等。
这样，我们就可以用等边三角形的特性来解答这个问题。
在等边三角形中，三条边长都相等，我们假设边长为a。
此时，我们可以用勾股定理来计算三角形的高h：h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = \frac{3}{4}a^2根据等边三角形的性质，我们知道三角形的高h也就是三个高（垂直于底边的线段）的长度。
由此可知，在等边三角形中，三角形的面积S可以表示为：接着，我们来比较一下不同周长的等边三角形的面积大小。
假设现在我们有一个等边三角形的周长为L，即三个边的长度为\frac{L}{3}。
我们可以通过计算这个等边三角形的面积S来比较：S = \frac{3\sqrt{3}}{4}(\frac{L}{3})^2 =\frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{L}{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}(\frac{L^2}{9}) = \frac{\sqrt{3}L^2}{36}通过上面的计算，我们可以得出等边三角形的面积与周长的平方成正比，即周长越大，三角形的面积也越大。
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《周长固定三角形面积的最大值》——数学建模一例谈到，周长固定围成面积的问题，许多人会想到正方形和二次函数。
好吧，就从矩形开始吧！问题是这样的，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个矩形，问：什么样的矩形面积才是最大的？首先，我们要建立数学模型！那么什么是矩形呢？它有些什么性质呢？初等几何说：有一个角位直角（90°或者π/2）的平行四边形，叫做矩形。
那么什么是平行四边形呢？它有些什么性质呢？几何又说：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。
其中，平行四边形有一条重要的性质：平行四边形的对边相等。
好了，现在我们对矩形也有一个印象了。
简单来说是一个，四条互相垂直的线段组成的东西。
而且我们知道它的面积公式：s=a*b，由平行四边形的性质：平行四边形的对边相等。
可知它的周长公式：L=2*(a + b)。
有了这些，就可以建模分析了：首先，我们分析L=2*(a + b)，经过简单的变形处理（+、-、*、/）有：b=L/2-a 要注意条件，a是不为0的，即（a>0）。
现在，把b=L/2-a 代入s=a*b 就有：s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a （a>0）；这是关于a的一个二次函数，并且A=-1<0，函数s有最大值。
微积分的解法：因为：s= -a^2+ (L/2) *a （a>0），所以s`=-2a+L/2 （a>0）令s`=0有：2a= L/2 所以a= L/4。
所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max：最大值 b=a= L/4 (此时，矩形为正方形) 也可以用不等式：因为 (a - b)^2≥0，又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab，所以有：(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 当a=b，去“=”，s有最大值因为： a + b= L/2，s=a*b 所以：s≤（L/2）^2/4= L^2/16 。
现在，来谈一谈周长固定三角形面积的问题，说有一根长度固定为L的绳子，现在要围成一个三角形，问：什么样的三角形面积才是最大的？好像，一般三角形的性质并不多，一个三边关系定理：三角形两边之和大于第三边。
和一个内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。
还有个推论：三角形两边之差小于第三边。
不妨设绳子L，围成的三角形一边为x，则另外两边之和为L-x 。
根据三边关系定理有：x<L-x，于是有：(0<x<L/2) 物理学中在处理问题时，不是常用控制变量法吗！我们何不使用呢？假设x为一个常量，则L-x 也为常量。
且x<L-x 总成立，满足解析几何中椭圆的定义：2a= L-x， 2c=x，且有：2a>2c。
可以，以2c=x 的中点建立坐标系，则：a^2= (L-x/2)^2 ，b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/ 。
三角形与椭圆所以椭圆方程为：X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1函数图像的直观反映，三角形的面积为：s=(1/2)*( 2c)*Y ，因为，x=2c是固定的，所以s取决于Y，当Y取max时，即Y=b 时，s有最大值。
即：S=s(x)max （且此时，该三角形为等要三角形）=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2 =(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<x<L/2) 现在，我们得到了一个关于s最大值的函数，或者说以最大值s为自变量的函数S=s(x),可以说我们的目标是，函数最大值的最大值！Smax=max[s(x)max]，剩下的就是微积分的技巧了，对S=s(x)max，求导：S`= -LX/(L^2-2Lx)^1/2 +(L^2-2Lx)^1/2 令S`=0 有：LX/(L^2-2Lx)^1/2 =(L^2-2Lx)^1/2 ，则LX= L^2-2Lx 解之得：x=L/3，且有，x=L/3<L/2 满足三角形条件。
此时的三角形是一个正三角形！Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36，此模型的思想有点类似变分法，函数的函数（泛函），但还是有本质的差别。
也可以用海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，其中p=(a+b+c)/2 。
用不等式来解决！或者用二元函数的偏导及拉格朗日乘法，来解解决也行。
不要以为，海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微积分简单一些，前提是你必须知道这个公式，而且能够证明！我就给大家一个证明，这是我在分解因式中，遇到较麻烦的一次！要证明海伦公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2，首先，要知道余弦定理：勾股定理的扩展——余弦定理a^2=b^2+c^2-2bccosA，则有：cosA=（ b^2+c^2- a^2）/2bc 所以，sinA={1-[（ b^2+c^2- a^2）/2bc]^2}^1/2 ={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 又因为，三角形面积公式：s=(1/2)*bcsinA =(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 –2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2 =(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2 (与角度A并无直接关系) 又∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4 =b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4 = b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方)=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4 = c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+c^2(b+a)^2-c^4 = c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2 （分解因式）=c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2] = [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] （提公因式）=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2] =[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2]=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c) =[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b) ∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2=[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2 ={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2-c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2 在令： p=(a+b+c)/2 就得到海伦公式：s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 有了此公式，在利用不等式，问题就可以解决了。
需要知道的一个不等式：(a+b+c)^3 /27≥abc (a，b，c均为正数，当a=b=c时，取“=”) ∵(p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27，又∵2p=a+b+c；∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27 则有：[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2 所以：p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2 即：s≤(3^1/2 /36) p2，当p-a=p-b=p-c,即，a=b=c时，取“=”s有最大值(3^1/2 /36) L^2 （2006全国卷l理科第11题）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：㎝）的5根细棒围成一个三角形（允许连接，但不许折断），能够得到的三角形的最大面积是……（ B ） A 8*5^1/2 B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20 分析：首先，这几个整数成等差数列，公差为1，它们的和为20。
现在，要把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形，最后找出这些三角形中面积最大的一个。
如果，真的去分组，在统计比较，时间上显然不够！这个时候就需要你会建立，数学模型了，并且能够转化数学。
把离散组合，转化为连续的数学。
数学家在研究问题时，往往关注一些变中不变的东西，那往往是大规律、大道理，不以人的意志为之转移，带有根本性的。
把这5个数任意的分成3组，然后围成三角形。
无论怎么变化，有一条是不变的：它们的和为20；于是要解决的问题就是：当三角形周长固定时：什么样的三角形面积才是最大的？上面研究过，正三角形的面积最大，并且由S=s(x)max （且此时，该三角形为等腰三角形）=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2 (0<x<L/2) 的函数图像可知，x在区间[0，L/3]]为增函数，在（L/3，L/2] 为减函数。
所以，当三角形周长固定时：越接近正三角形形状的三角形面积越大！20/3≈6.6667，显然这里的5个数是组合不成6.6667的，只能退而求其次了，我们发现（猜出来的）：（2+5）、（3+4）、6的组合是最接近正三角形的，所以它的面积最大。
经过简单的计算，就知道结果了：B 6*10^1/2 我们在来做一件事，比较一下周长固定的面积最大的矩形与三角形的面积：L^2/16与(3^1/2 /36) L2。
为了方便比较，把它们换为小数：0.0625L^2与0.048112522L^2 我们发现四边形（正方形）的面积要大一些！根据这中经验，是否可以数学归纳，提出猜想1：在平面内曲线周长固定时，圆的面积最大！猜想2：在平面内曲线周长固定时，围成的n边形中，正n边形的面积最大！事实上，第一个猜想是正确的，不过需要变分法来处理。
同样需要微积分来研究，不过是高等微积分了。