青岛大学附属中学数学一元二次方程单元试卷(word版含答案)

青岛大学附属中学数学一元二次方程单元试卷（word 版含答案）

一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）

1．如图，在长方形ABCD 中，边AB 、BC 的长（AB ＜BC ）是方程x 2-7x +12=0的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动，运动时间为t （秒）．

（1）求AB 与BC 的长；

（2）当点P 运动到边BC 上时，试求出使AP 长为10时运动时间t 的值；

（3）当点P 运动到边AC 上时，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1) AB ＝3，BC ＝4;(2) t ＝4;(3) t 为10秒或9.5秒或

535

秒时，△CDP 是等腰三角形.

【解析】

试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长；

（2）结合图形，利用勾股定理求解即可； （3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解.

试题解析：(1)∵x 2－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0

∴1x ＝3或2x ＝4 .

则AB ＝3，BC ＝4

(2)由题意得()223t-310?+=（）

∴14t =，22t =(舍去)

则t ＝4时，AP 10.

(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形.

①当PC ＝PD ＝3时， t ＝3431

++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4. 2234+＝5，CP 1＝

12AC ＝2.5 ∴t＝34 2.51

++ ＝9.5(秒)

③当PD＝CD＝3时，作DQ⊥AC于Q.

1

3412

2

15

5

2

DQ

⨯⨯

==

⨯

，

2

2

129

3

55

PQ

⎛⎫

=-=

⎪

⎝⎭

∴PC＝2PQ＝18 5

∴

18

3453

5

15

t

++

==(秒)

可知当t为10秒或9.5秒或53

5

秒时，△CDP是等腰三角形.

2．阅读与应用：

阅读1：

a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而

a+b≥2(当a＝b时取等号)．

阅读2：

若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝

，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：

已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝

时，周长的最小值为；

问题2：

汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，

1h的耗油量为yL．

(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；

(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．

【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.

【解析】

【分析】

（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；

（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．

【详解】

(1)∵x +≥2＝4，

∴当x ＝ 时，2(x +)有最小值8．

即x ＝2时，周长的最小值为8；

故答案是：2；8；

问题2：

，

当且仅当， 即x ＝90时，“＝”成立，

所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，

此时，百公里耗油量为，

所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．

【点睛】

本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．

3．元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.

（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？

（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x 元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960元，求x 的值.

【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）x 的值为2或7.

【解析】

【分析】

（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.

【详解】

（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为a 元/千克, b 元/千克.

由题得：()()18344282a b a b +=⎧⎨+++=⎩

解之得：108

a b =⎧⎨=⎩ 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克

（2）由题意得：()()()()410010214010960x x x x +-++-=

解之得：12x =，27x =