高等结构动力学复模态分析基础

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结构动力学分析中的模态分析技术研究

结构动力学分析中的模态分析技术研究一、引言结构动力学指的是研究建筑物或其他工程结构在外部不规则加载下的运动特性、振动特性、固有频率、振动模式等的学科。

结构动力学的研究对于提高建筑物以及其它工程结构物在地震、风灾以及自然灾害等外部荷载下的抗震、抗风、以及其他抗震能力和稳定性起着非常重要的作用。

而模态分析技术则是结构动力学研究的一个重要的分析方法，在建设工程师的日常工作中通过对结构模态进行分析，可以有效的评估建筑物的稳定性。

二、模态分析技术的基本概念模态分析技术是一种用来计算和观察建筑物振动特征的工具，也被称为振型分析、频率响应分析。

模态分析的目的是为了找到建筑物或结构在某些特定条件下的固有频率和振型，频率与振型是对结构的响应表格进行评价的基础。

通过计算建筑物共振频率，并多角度观察它固有的振型，可以确定任何仍需改进的结构点，为进一步建设工程提供更加精确的数据。

三、模态分析的分类常见的模态分析通过计算建筑物的固有频率和振形偏差来确定任何仍需改进的结构点。

而这种分析方式涉及到不同的分类。

1.线性模态分析线性模态分析的目的是确定建筑物或结构的固有频率、振动模式和动态响应，它可以为未来的建筑物设计和改进提供重要信息和数据。

线性模态分析是一个有效的方法，可以确定建筑物在自然灾害发生时的稳定性。

2.非线性模态分析非线性模态分析是建立在线性分析基础上的，在非线性分析中，建筑物或结构在动荷载作用下会出现非线性振动现象，常见的非线性振动现象包括弹塑性振动和不稳定振动等。

四、模态分析技术的应用模态分析技术在建设工程中有着广泛的应用，下面介绍其中的几个模式。

1.模态分析在风电场中的应用模态分析技术可以用于风电场的安装设计，通过分析风力发电机的固有频率和振型，优化风电场的结构设计，提高风电机的稳定性和抗风能力，改善建筑物的周围环境。

2.模态分析在桥梁工程中的应用模态分析技术可用于评估桥梁的稳定性、预测桥梁的运动模式以及确定桥梁的动态响应。

第3讲多自由度系统复模态分析

与振动微分方程合写为系统的状态方程其中
C P M
K Q 0
Px ' Qx ' f '(t )
M ,对称矩阵,正定 0
x x ' , 称为状态空间矢量 x
0 , 对称矩阵，正定或半正定 M
f (t ) f '(t ) 0
自由振动复模态
令 f (t ) 0 ，则 Px ' Qx ' 0 t 设特解为 x ' Φ ' e 式中 Φ ' — x ' 的幅值列阵。代入上式得广义特征值问题 ( P Q)Φ ' 0 特征值方程为 P Q 0 这是的2n次实系数代数方程。式 Mx Cx Kx f (t ) 与式 Px ' Qx ' f '(t ) 所表示的系统为同一系统，故应有相同的特征值。
Φ ' PΦ ' diag[ai , ai ] Φ 'T QΦ ' diag[bi , bi* ]
其中
式中 y '
y y' * y
得解耦方程组
diag[ai , ai* ] y ' diag[bi , bi* ] y ' 0
— x ' 在这一复矢量空间中的坐标矢量， 2n 维； y、y* — n 阶列阵。
kmi mmi
i
2
kmi mmi
对角线元素可得
2Re i mmi cmi 0
kmi mmi 0
* i i
(i 1, 2,…, n)
定义复模态固有频率为 mi
i mi

结构动力学中的模态分析研究

结构动力学中的模态分析研究在结构动力学研究中，模态分析是一项重要的技术，用于研究结构的固有振动模态。

通过模态分析，我们可以得到结构的固有频率、振型以及结构的动力特性，这对于设计及改进结构的稳定性和安全性具有重要意义。

本文将详细介绍模态分析的原理、实验准备和过程以及该技术在实际应用中的专业性角度。

模态分析原理:模态分析基于结构动力学原理，主要使用了弹性力学和振动理论的知识。

根据牛顿运动定律以及弹性体的振动理论，可以推导出结构的振动模态方程。

根据该方程，可以得到结构的固有频率和对应的振动模态。

通过测量结构在不同频率下的加速度响应，可以确定结构的固有频率和振型。

实验准备和过程：1. 实验设备准备：- 数据采集系统：包括加速度传感器、信号放大器、模态分析器等，用于测量结构的加速度响应。

- 激励器：用于施加激励信号以产生结构的振动。

- 数据处理软件：用于分析和处理采集的振动数据。

2. 实验前准备：- 对结构进行几何参数和材料性质的测量，以获取结构的几何尺寸和物理特性。

- 确定激励位置和方式，根据结构的特点选择适当的激励方式，如冲击激励或连续激励。

- 安装加速度传感器，并校准传感器以确保准确测量。

3. 实验过程：- 施加激励信号：按照预定的激励方式施加激励信号，生成结构的振动。

- 采集振动数据：通过数据采集系统获取结构在激励下的加速度响应数据。

- 数据处理和分析：利用数据处理软件对采集的数据进行滤波和傅里叶变换等处理，得到结构的频域响应。

- 模态参数识别：通过分析频域响应数据，确定结构的固有频率、阻尼比以及模态振型。

实验应用和专业性角度：模态分析在结构动力学研究和工程实践中具有广泛的应用。

以下是几个重要的应用和涉及的专业性角度：1. 结构设计与改进：- 通过模态分析，可以确定结构的固有频率，评估结构的稳定性和自由振动特性，以指导结构的设计与改进。

- 固有频率信息有助于识别结构的薄弱环节，进而进行结构的优化设计。

高等结构动力学讲义概要共88页

高等结构动力学讲义概要
26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。
谢谢你的阅读
❖ 知识就是财 ❖ 丰富你的人生
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非

工程力学中的结构动力模态分析

工程力学中的结构动力模态分析在工程力学的广袤领域中，结构动力模态分析宛如一把神奇的钥匙，能够帮助我们解锁结构在动态载荷下的行为特征和内在规律。

这一重要的分析方法在众多工程领域中都发挥着举足轻重的作用，从航空航天的飞行器设计，到土木工程中的桥梁与高层建筑，再到机械工程中的各类机械装备，都离不开它的身影。

那么，什么是结构动力模态分析呢？简单来说，它是研究结构在振动状态下的固有特性的一种方法。

这些固有特性包括结构的固有频率、振型以及阻尼比等。

通过对这些特性的深入了解，工程师们能够更好地预测结构在实际工作中的动态响应，从而优化设计，提高结构的可靠性和安全性。

为了更直观地理解，我们可以想象一个简单的例子——一座桥梁。

当车辆在桥上行驶时，桥体会产生振动。

如果这种振动的频率与桥梁的固有频率接近，就可能引发共振现象，导致桥梁结构的损坏甚至坍塌。

而通过结构动力模态分析，我们可以事先确定桥梁的固有频率和振型，从而采取相应的措施，比如改变桥梁的结构设计或者增加阻尼装置，来避免共振的发生。

在进行结构动力模态分析时，通常需要建立结构的数学模型。

这个模型可以是基于有限元方法、边界元方法或者其他数值分析方法。

有限元方法是目前应用最为广泛的一种。

它将结构离散成许多小的单元，通过求解这些单元的力学方程，得到整个结构的动态特性。

建立好数学模型后，接下来就是求解模型的特征值和特征向量。

特征值对应的就是结构的固有频率，而特征向量则代表了结构的振型。

在求解过程中，需要考虑各种边界条件和约束条件，以确保结果的准确性。

然而，实际的结构往往是复杂多样的，存在着各种不确定性因素，比如材料的不均匀性、制造误差、连接方式的复杂性等。

这就给结构动力模态分析带来了挑战。

为了克服这些困难，工程师们需要不断改进分析方法和技术，提高模型的精度和可靠性。

在实验方面，结构动力模态分析通常通过模态试验来进行。

在试验中，会在结构上布置一系列的传感器，用于测量结构在激励作用下的响应。

结构动力学分析 - 复件

4.1谐响应分析方法
谐响应分析有三种方法，分别为：完全法、模态叠加法和缩减法。三种方法在谐响应分析方面的共同点有：所有载荷必须随时间正弦变化；所有载荷必须有相同频率；不允许有非
线性特性；只考虑线性问题；
4.2 谐响应分析的基本步骤
ANSYS谐响应分析的主要步骤有8步：
(1) 模型建立和网格划分(前处理) (2) 建立初始条件该步骤中设置位移边界条件等。 (3) 设定求解器及其参数该步骤中确定求解器和其他参数，如求解所用方法、预应力效应等。 GUI：Main Menu>Solution> Analysis Type>Analysis Options
结构谐响应分析是指结构在承受外力为随时间变化的简谐力( 亦即sin或cos函数形式)时，结构的响应，所以1-2可以表示成
Mx Cx Kx Fsin t
(1 4)
分析得到结构位移(或应力、应变等)随频率变化的幅频曲线。谐响应分析是用于确定线性结构在承受随时间按正弦(简谐) 规律变化的载荷时稳态响应的一种方法。通过动力响应随频率变化规律可以了解结构的动力工作性能，以此作为判断结构能否避免共振的参考依据，同时也可以利用共振的有利方面，对结构进行优化。
(1 2)
隐式算法
显式算法
完全法
缩减法
完全法
缩减法
动力学方程求解方法
2.1 直接积分法
式1-2中包含了n(自由度个数)个联立的二阶常微分方程式，可以将它化成2n个一阶的常微分方程式，然后直接积分去解变位x，这就是直接积分法的基本构想。当在进行直接积分时，有很多方法可以利用，但可以归纳成两类方法：隐式算法和显式算法。 ANSYS计算时采用的算法是隐式算法，而LS-DYNA 则是采用显式算法。比较两种算法显式算法要求积分时间步长的值非常小(否则不容易收敛)，较适合于非常短暂的冲击和高度非线性问题的分析。隐式算法则可以容许较大的积分时间步长，但是对于短暂的冲击、高度非线性问题的分析则常有收敛的困难。

高等结构动力学(云大土木系)01-结构动力学基础r.

m1
m2
例如：房屋结构一般简化为层间剪切模型。
m3
例如：
m
m1
m2
mk
mN
m1 x1 m2 x2 mk xk
mN xN
2. 广义坐标法
假定具有分布质量的结构在振动时的位移曲线可用一系列规定的位移曲线的和来表示：
适用于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构。例如：右图简支梁的变形可以用三角函数的线性组合来表示。
简谐荷载周期确定非周期动荷载风荷载不确定地震荷载其他无法确定变化规律的荷载非简谐荷载冲击荷载突加荷载其他确定规律的动荷载
确定性荷载：荷载的变化是时间的确定性函数。
FP
例如：简谐荷载
t
FP
冲击荷载
t
FP
突加荷载
t
非确定性荷载：荷载随时间的变化是不确定的或不确知的，又称为随机荷载。例如：
输出（动力反应）
第三类问题：荷载识别。
第四类问题：控制问题
实验研究
• • • • • • 材料性能的测定；结构动力相似模型的研究；结构固有（自由）振动参量的测定；结构动力响应的测定；振动环境试验等；风洞试验；
•
振动台试验。
实验研究
§1-4 结构离散化方法
1. 集中质量法
把结构的分布质量按一定的规则集中到结构的某个或某些位置上，成为一系列离散的质点或质量块。适用于大部分质量集中在若干离散点上的结构。
2、张亚辉、林家浩编著，结构动力学基础大连理工出版社
3、杨茀康编著，结构动力学，人民交通出版社 4、徐赵东等编著，结构动力学，科学出版社 5、A.K.Chopra,Dynamics of structures.Prentice Hall.2000

高等结构振动学-第7章-多自由度系统的复模态理论基础

{0} f (t)}

{
}Tr
{
f
(t
)}
（7－41）
在零初始条件下，（7－40）的解为：
1
zr ~ r
t 0
~ Fr
(t )er
(t
)d
1
~ r
t 0
{
}Tr
{
f
(
)}er
(t
)d
（7－42）
因为：
{y}

{x} {x}

[
]{z(t
（7－35）
将（7－35）代入（7－8），并前乘[ ]T 得到 2n 个完全解耦的方程：
diag([~ r ]){z} diag([K~]){z} {F~(t)}
（7－36）
其中，
{ddFii~aa(ggt)[[}K~~rr][][][T{]FT]T[([KtM)}][][] ]
（7－11）
设其特征解为： {y(t)} { }e t
代入方程（7－11），得到： ([M ] [K ]){ } {0}
（7－12）（7－13）
其特征方程为：
[M ] [K] 0
（7－14）
将[M ], [K ]的定义式代入：
即：

[0] [m]
[m]
[c]
（7－1）
则在系统的主模态空间中，系统的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼矩阵是完全
解耦的。当结构的阻尼矩阵可以假设为比例阻尼或者满足上面的解耦条件时，
可以采用实模态理论进行振动分析，即用实模态构成的模态坐标变换式对方程
进行坐标变换，使方程解耦后，采用模态叠加法进行动力学响应计算。
但是对于一般的线性阻尼系统，系统的振动方程无法用实模态矩阵进行解

高等结构振动学-第10章-模态综合方法

（10－23）
{F (t)} [S]T {P(t)}
（10－24）
在模态综合法中，为了描述结构在空间的运动和变形状态，采用两类广义坐
标来描述，分别为“物理（几何）坐标”和“模态坐标”，物理坐标描述结构各
节点的几何坐标位置，而模态坐标则表示物理坐标响应中各个模态成份大小的
量。
对于模态综合法中的“模态”一词，它比“振型”具有更加广义的内涵，它
（1）按结构特点划分子结构（2）计算并选择分支模态进行第一次模态坐标变换（3）在全部模态坐标中，选择不独立的广义坐标（4）由位移对接条件，形成广义坐标的约束方程，得到独立坐标变换阵 [S ] （5）对组集得到的质量矩阵、刚度矩阵进行合同变换，得到独立坐标下的质量
矩阵，刚度矩阵，形成整个系统的振动方程（6）根据坐标变换关系，再现子结构物理参数
（10－5）
通常，[ ], [ ] 的个数远少于对应子结构的自由度数。
记：
{
p}

p p

[
M
]

[
M 0
]
0 [M ]
[
K
]

[
K 0
]
0 [K ]
（10－6）
[M ] [ ]T [m ][ ] [M ] [ ]T [m ][ ]
[]T [K ][] diag[2]
（10－38）
子结构柔度矩阵为：
[G] [K ]1 [](diag[2 ])1[]T [k ](diag[k2 ])1[k ]T [d ](diag[d2 ])1[d ]T
（10－15）
{
p}

高等结构动力学读书札记

《高等结构动力学》读书札记一、章节概览在我研读《高等结构动力学》我对各个章节的内容进行了深入的剖析和理解，现将各章节的主要内容概述如下：第一章：绪论。

本章介绍了结构动力学的定义、发展历程和研究现状，以及它在土木工程领域的重要性和应用价值。

通过对结构动力学的基本概念的理解，为后续的深入研究奠定了基础。

第二章：结构动力学的基本原理。

主要讲述了结构动力学的基本原理，包括结构的动力特性、运动方程的建立以及动力荷载的识别和分析等。

本章对理解后续复杂结构的动力响应分析提供了基础。

第三章：振动理论与模态分析。

介绍了结构振动的分类和特征，以及模态分析的基本原理和方法。

模态分析是研究结构动力特性的重要手段，对后续研究具有重要的指导意义。

第四章：结构动力响应分析。

主要讲述了结构在动力荷载作用下的响应分析，包括强迫振动、自振、非线性振动等内容。

这些内容为分析复杂结构在各种外部荷载作用下的性能提供了重要的理论依据。

第五章：地震作用下的结构动力响应分析。

本章重点介绍了地震作用下结构的振动特性和响应分析，包括地震波的特性、地震作用下的结构响应分析方法和抗震设计的基本原理等。

第六章：风荷载作用下的结构动力响应分析。

主要介绍了风荷载的特性，以及风荷载作用下结构的振动特性和响应分析方法。

对理解和研究风力作用下的建筑结构性能提供了重要的理论依据。

在接下来的学习中，我将深入研究每一章节的内容，通过案例分析、理论推导和数值计算等方法，深入理解并掌握结构动力学的核心知识，以期将其应用于实际工程中，解决实际问题。

二、详细札记本章主要介绍了结构动力学的背景、研究内容及重要性。

结构动力学是研究结构在动态荷载作用下的响应和性能的科学。

它涉及到结构的振动、波动、稳定性以及能量传递等问题。

在实际工程中，结构动力学对于防灾减灾、桥梁设计、建筑抗震等领域具有广泛的应用价值。

本章详细阐述了结构动力学的基础理论，包括结构振动的基本原理、动力学方程的建立以及求解方法。

第1章结构动力学概述

F (t ) A sin t F (t ) A cos t F (t ) A sin( t )
可以是机器转动引起的不平衡力等。
p (t)
t
建筑物上的旋转机械
(a) 简谐荷载
2.非随机荷载的类型
高等结构动力学
非简谐周期荷载
定义：荷载随时间作周期性变化，是时间 t 的周期函数，但不能简单地用简谐函数来表示。例如：平稳情况下波浪对堤坝的动水压力；轮船螺旋桨产生
动力自由度:
动力分析中为确定体系在振动过程中任一时刻全部质量的几何位置所需要的独立参数的数目。独立参数也称为体系的广义坐标，可以是位移、转角或其它广义量。在振动的任一时刻，为了表示全部有意义的惯性力的作用，所必须考虑的独立位移分量的个数，称为体系的动力自由度
4.
离散化方法 W=2
高等结构动力学
结构动力分析的目的:
确定动力荷载作用下结构的内力和变形；通过动力分析确定结构的动力特性。
结构力学：
研究结构体系的动力特性及其在动力荷载作用下的动力反应分析原理和方法的一门理论和技术学科。
该学科的目的在于为改善工程结构体系在动力环境中的安全性和可靠性提供理论基础。
1.结构动力分析的主要目的
高等结构动力学
W=1
W=2
W=2
记轴变时 W=3 不计轴变时 W=2
W=2
W=3
W=2
4.
离散化方法
高等结构动力学
离散化方法（二）—体系的简化方法实际结构都是具有无限自由度的
离散化是把无限自由度问题转化为有限自由度的过程三种常用的离散化方法： 1、集中质量法 2、广义坐标法 3、有限元法

高等结构力学海大

dmy Fp t dt
1 2
F
i
pmi
i yi 0 yi mi y
i
1 4
设任一质量处的位移yi可用n个广义坐标(v1,v2vn)表示，即
yi t yi v1 (t ), v2 (t )vn (t )
1 5
P
i j
F
i
pmi
yi U WR WP v j v j v j v j

i
v j
U WR WP v j 因此： Fpm yi i v v j v j i j j 惯性力在虚位移上所作虚功为
§1.5 体系振动运动方程建立的基本原理
在通常情况下，把位移作为独立的几何参变数。为了求出各种动力响应，应先建立动力位移方程。描述动力位移方程的数学方程式称为结构的运动方程。运动方程的解就提供了位移过程（位移随时间变化规律），从而可求出其他各种所需的结构动力响应。运动方程的建立，是结构动力学的核心问题。只有运动方程建立正确，整个求解过程才有了可靠基础。建立运动方程有几种常用的基本原理。分别介绍如下。（1）达朗伯(D Alembert)原理根据牛顿第二定律，任何质量为m物体的动量变化率等于作用在这个物体上的力，即
a
b
d T m y y 因此 i i i i j dt v j
将(a) 和 (b)式代入(1-4)式，因为 vj（j=1,2,n）的任意性，得 d y y i i i i i v j d T T WR W mi y yi U m y v j mi y i P d i j dt 0 v v j i j

模态分析-复模态

（1）首先考虑无阻尼的方程组，然后讨论有阻尼的情况：比例阻尼和非比例阻尼。

这样它们之间的不同就变得显而易见了。

将用一个简单例子说明这些结论。

一般的物理系统的运动方程可以写成这儿【M】，【C】和【K】分别表示质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，连同相应的加速度、速度和位移以及外力一起组成运动方程。

变换到模态空间后，其形式为模态质量矩阵、模态刚度矩阵和某些情况下的模态阻尼矩阵都为对角阵。

模态振型将解耦质量矩阵、刚度矩阵和某些特定类型的阻尼矩阵。

为了理解这些情况，给出一个简单的例子。

例子中定义如下矩阵首先，考虑无阻尼的情况。

考虑质量矩阵【M】，刚度矩阵【K】和阻尼矩阵【C0】，由这组矩阵的特征值求解产生的频率、留数和振型为注意到模态振型为带符号（+或-）的实数值。

第1阶模态的两个自由度符号相同，这表明这两个自由度彼此同相位，只是幅值大小不同。

第2阶模态的两个自由度符号相反，这表明这两个自由度彼此反相位，且幅值大小也不同。

现在考虑第二种情况，比例阻尼，阻尼与系统的质量和/或者刚度成比例。

这儿考虑质量矩阵【M】，刚度矩阵【K】和阻尼矩阵【C P】。

由这组矩阵的特征值求解得出的频率、留数和模态振型为注意到这组特征值求解得出的模态振型与无阻尼的情况相同，这是因为阻尼与系统的质量和/或刚度成比例。

这样产生的模态称为“实模态”。

因此，显然无阻尼和比例阻尼情况得出的模态振型完全相同。

现在考虑第三种情况，此时阻尼不与系统的质量和/或者刚度成比例，即非比例阻尼。

考虑质量矩阵【M】，刚度矩阵【K】和阻尼矩阵【C N】。

这组矩阵得出的频率、留数和振型为对于这种情况，模态振型不同于前面的两种情况。

首先，模态振型是复数值。

仔细检查这些振型，可以看出每阶模态的各个自由度之间的相对相位关系已不再是完全同相位或反相位了。

这种情况下产生的模态称为“复模态”。

这跟前面两种情况大不相同。

系统阻尼与系统的质量和/或刚度不相关时，得出的模态就为复模态，此时的阻尼称为非比例阻尼。

高等结构动力学2_模态综合法(动态子结构方法)

a J
Φ
a p b Φ J b {0} p

[C ]{ p} {0}
d行
(n1+n2)个 p a
所以，有：
[C dd ]1[C dI ] { p} { p I } [ S ]{q} [I ]
独立的模态坐标
(n1+n2-d)个
[ M ]* [ S ]T [ M ][ S ], [ K ]* [ S ]T [ K ][ S ]
对于一般的动力学分析问题，也可以得到缩聚方程为：
} [C ]*{q } [ K ]*{q} {R}* [ M ]*{q
[C ]* [ S ]T [C ][ S ], {R}* [ S ]T {R}
动态子结构方法的基本思想：
按照工程的观点或结构的几何轮廓，遵循某些原则要求，把完整的大型复杂结构人为地抽象成若干个子结构。首先对自由度少得多的各个子结构进行动态分析，然后经由各种方案，把它们的主要模态信息予以保留，以综合总体结构的动态特性总系统（n个自由度）子结构1 dd ]1[C dI ] [S ] [ I ]
uJ uI
uI
a b u u a b I I {u } a , {u } b u J u J {u a } [Φ ]a { p a }, {u b } [Φ ]b { p b }
{ p} b p d个 pd 设{p}中独立广义坐标为{pI}，非独立广义坐标为{pd}： { p} p I (n1+n2-d)个 pd { pd } [C dd ]1[C dI ]{ p I } 可写为： [C dd ] [C dI ] {0} pI

结构动力学中的模态分析和多自由度系统

结构动力学中的模态分析和多自由度系统
结构动力学是力学中的一个分支，研究的是结构在外界载荷作
用下的动力响应和变形。

而模态分析是结构动力学中常用的分析
方法之一，它可以帮助我们深入了解结构的固有特性和动力响应。

在多自由度系统中，模态分析更是必不可少的方法之一。

一、模态分析的原理和方法
模态可以理解为结构在其内部和外部刺激或载荷下，自然振动
的特征方程根的值，也叫固有频率。

模态分析旨在通过求解结构
的特征值和特征向量来研究结构的固有特性。

具体的分析方法可
以分为三步：建立结构模型，求解结构特征值和特征向量，利用
特征值和特征向量进行分析。

二、模态分析的应用
在结构工程中，模态分析有广泛的应用。

首先，在结构设计阶段，我们可以通过模态分析确定结构的自然振动模型，确保结构
固有频率超出工作载荷频率，避免发生共振。

此外，模态分析还
可以帮助优化结构材料、结构形式及构件设计等方面。

在结构运
行和维护阶段，模态分析可以用于诊断结构的损伤，预测结构的
剩余寿命等。

三、多自由度系统和模态分析
多自由度系统指的是系统中有多个自由度，其模态分析和单自
由度系统有相似之处，但分析复杂度更高，需要运用更复杂的数
学模型和方法。

对于多自由度系统，我们可以利用有限元法建立
数学模型进行模拟分析，求解结构特征值和特征向量。

总之，在结构设计、分析和维护过程中，模态分析是一种十分
重要的手段。

通过模态分析，我们可以深入了解结构的固有特性，为结构设计和运行提供更可靠的保障。

第一章模态分析理论基础

共振频率点
ds max d 1
• 粘滞阻尼系统
– Nyquist图
2
2
[H
R
( )]2
(H
I
( ))2
1
4k
1
4k
» 特点
»桃子形，阻尼比越小
轨迹圆越大
» ( 是变的，所以不是圆 )
在固有频率附近，曲线接近圆，仍可利用圆
的特性
第20页/共60页
速度与加速度频响函数特性曲线
• 关系回顾
HR 1, 2
(
)
4k
1 (1
)
2
1
g
2
半功率带宽反映阻尼大小阻尼越大，半功率带宽
越大，反之亦然
第17页/共60页
• 虚频图
• •
H
I
( )
g
k[(1 2 )2
（结构阻尼）（g粘2 ] 性阻尼）
• 以H结I构(阻) 尼k[为(1例：2 )22(2 )2 ]
– 系统共振时虚部达到最大值
– 系统共振时实部为零
m1
机架线
第30页/共60页
• 一般多自由度约束系统
机架线
– N自由度约束系统有N个共振频率,（N－1）个反共振频率 – 对原点函数共振反共振交替出现 – 对跨点频响函数无此规律 – 一般两个距离远的跨点出现反共振的机会比较近的跨点少
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– 自由系统
• 两自由度系统运动方程（无阻尼）
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单自由度系统频响函数分析
粘性阻尼系统
•阻尼力（与振动速度成正比）：
•强迫fd振动方c程x 及其解
..
.
m x•解c的x形式k（xs为复f 数）及拉氏变换：

高等结构动力学3_复模态分析基础

+ By = 0 Ay
正交性：
yiT Ayj = 0 yiT Ayi = ai yiT Byi
y = ye lt
yiT Byj = 0 = bi
bi -li = ai
-li = bi
归一化
yiT Ayi = 1
yiT Byi = bi
y2 y2n ùú û
定义 2n 阶方阵
Ψ = éê y2 ë
无阻尼自由振动解：
x = c1 cos wn t + c2 sin wn t = A cos ( wn t - q )
2. 引言2－对称阻尼矩阵
实际机械系统中不可避免地存在着阻尼: 材料的结构阻尼，介质的粘性阻尼等. 阻尼力机理复杂，难以给出恰当的数学表达在阻尼力较小时，或激励远离系统的固有频率时，可以忽略阻尼力的存在，近似地当作无阻尼系统当激励的频率接近系统的固有频率，激励时间又不是很短暂的情况下，阻尼的影响是不能忽略的。一般情况下，可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼
2. 引言2－对称阻尼矩阵
若 CP 非对角，则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则坐标方法都不再适用，振动分析将变得十分复杂为了能沿用无阻尼系统中的分析方法，工程中常采用下列近似处理方法
(1) 忽略 CP 矩阵中的全部非对角元素
cPi 第 i 阶主振型的阻尼系数
第 i 阶振型阻尼或模态阻尼
éc ù ê p1 ú ú CP = êê ú ê cpn úú êë û
é 0 ù ú Q(t ) = êê ú êë P(t ) úû
+ By = 0 Ay
y = ye lt
与物理空间的特征值问题相比：特征值相同 é lf ù y = êê úú êë f úû