分式的运算

分式的运算

概念总汇

1、分式的乘法法则

与分数的乘法法则类似，我们得到分式的乘法法则：两个分式相乘，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．

符号表示：．

说明：

（1）分式与分式相乘时，若分子和分母都是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再相乘。

（2）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式的分母看作1）与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变，当然能约分的要约分。

2、分式的除法法则

与分数的除法法则类似，我们得到分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．

符号表示：．

说明：

（1）当分式的分子与分母都是单项式时，运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

（2）当分子与分母都是多项式时：运算步骤是：

①把各个分式的分子与分母分解因式；

②把除式的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘；

③约分，得到计算结果.

3、分式的乘方

几个相同分式的积的运算叫做分式的乘方。法则：分式的乘方，等于把分式的分子、分母分别乘方。

符号表示：（为正整数）。

说明：

（1）分式的乘方，必须把分式加上括号。

（2）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘、除，有多项式时应先分解因式，再约分。

4、分式的加减法则

同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． 符号表示： ，．

说明：

（1）同分母分式相加减时应注意：

①当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。 ②分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式。

（2）异分母分式相加减时应注意：

①把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；

②通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。

5、分式的混合运算

分式的混合运算顺序和实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

6、整数指数幂运算性质 （1）同底数幂的乘法 n

m n

m

a

a a +=（m 、n 为整数，a ≠0）

（2）积的乘方

()m

m m

b a ab =（m 为整数，a ≠0，b ≠0）

（3）幂的乘方 ()

mn n

m

a a =（m 、n 为整数，a ≠0）

（4）同底数幂的除法 n

m n

m

a

a a -=÷（m 、n 为整数，a ≠0）

（5）在上述知识的基础上，进一步规定 p p

a

a

1

=

-（p 为正整数，a ≠0） （6）这样，又扩大了科学记数法可表示的数的范围：利用负指数幂，科学记数法不仅可以表示绝对值较大的数，也可以表示绝对值较小的数

方法引导

例1 （1）4

9

3222--⋅+-x x x x

（2）)

4(3)98(23232b x

b a xy y x ab -÷-⋅

难度等级：A 解：（1）原式＝

)2)(2()3)(3(32-+-+⋅+-x x x x x x ＝2

3

+-x x （2）原式＝x b b a xy y x ab 34)98(23232-⋅-⋅ =x

b

b a xy y x ab 34982323

2⋅⋅ =32916ax b 【知识体验】分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的。

【解题技巧】解题是，先利用符号法则，判断结果的符号，把答案符号写在分数线前；再约分，约分的时候先约掉系数，然后考虑字母。

【搭配练习】 计算： 1、 2

()x y

xy x xy

--÷

2、 22212(1)441x x x

x x x x

-+÷+⨯

++-

例2 计算：

（1）xy

y x xy y x 2

2)()(--

+. （2）22y x x -－22x y y - （3）

231x ＋x 43； （4）16

24

432---x x 难度等级：A

解：（1）xy

y x xy y x 2

2)()(--

+ ＝xy

y x y x 22)()(--+ ＝

xy y xy x y xy x )2()2(2222+--++ ＝xy xy 4＝4 （2）

2

2y x x

-－()()y x y x y x y x y x y y x x x y y -=+-+=-+-=-1222222

（3）

231x ＋x 43 ＝22129124x x

x + ＝21249x x +

（4）()()()()()

4424

44431624432+--+-+=---x x x x x x x

()()()()()()()4

34443441234424123+=

+--=+--=+--+=x x x x x x x x x x 【知识体验】分式的加减分同分母加减和异分母加减。分母是同分母还是异分母要进行辨别，如2

2

y x -和2

2

x y -，虽然表面上看上去不同，但对2

2

x y -添括号后可变成

()

22y x --，依然是同分母。异分母加减要确定好最简公分母。

【解题技巧】同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.

【搭配练习】 计算：

（1）211a a a --- （2）

4

22

a a +-+ （3）211111x x ⎛⎫⎛⎫

-

- ⎪⎪

-⎝⎭⎝⎭ （4）111()()()()()()

a b a c b c b a c a c b ++------