对角互补+角平分线模型

对角互补+角平分线模型

已知，四边形ABCD，∠B+∠D=180°，AC平分∠BCD 结论①AB=AD

结论①的证明有三种方法

1 四点共圆

2 双垂法3旋补法

其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。下面，我介绍双垂法和旋补法。

方法一：双垂法

证明：分别过A作CD和CB得垂线AM和AN ∵AC平分∠BCD ∵AM=AN

又∵∠B+∠D=180°

∴∠ABN=∠D

∴△ABN≌△ADM

∴AB=AD

方法二：旋补法

证明：延长CD到E，作等腰△ACE

∴AC=AE，∠AEC=∠ACE=∠ACB

又∵∠B+∠D=180°

∴∠B=∠ADE

∴△ABC≌△ADE

∴AB=AD

其实①∠B+∠D=180°②AC平分∠BCD③AB=AD 只要给出其中任意俩个条件，必定能推出第三个，大家可以自己用双垂法试试。

结论②BC+CD=2ACcosθ

证明：过A作AF⊥CD

由结论①可知：△ACE为等腰三角形，且BC=DE

∴BC+CD=CE=2CF

又∵CF=ACcosθ

∴BC+CD=2CF=2ACcosθ

结论③四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC²sinθcosθ

∵黄≌绿，把黄割补到绿的位置

∴四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积

∵ACE的面积=AF*CF

(其中AF=ACsinθ,CF=ACcosθ)

∴四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积

=AC²sinθcosθ

特别地，当∠BCD=120°时，BC+CD=2ACcos60°=AC 四边形ABCD面积=正三角形ACE面积

特别地，当∠BCD=90°时，BC+CD=2ACcos45°=2AC 四边形ABCD面积=等腰直角三角形ACE面积