对角互补+角平分线模型
2022年九年级中考数学冲刺-几何模型讲义
2022年中考几何模型一、角平分线模型知识精讲1. 过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题2. 若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：已知：AD是的平分线，，过点D于点E，则.3. 在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF4. 过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：已知：点D是平分线上的一点，过点D作三角形，即.5. 有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.6. 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的另一边相交，则可得到一个等腰三角形，例：已知：OE平分∠AOB，点D在OA上，DE⊥OE，则可延长DE交OB于点F，则DE＝EF，OD＝OF，∠ODF＝∠OFD.7. 有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：4321DA4231EFCB（1）已知：OC 平分，点E 、F 分别在OA 、OB 上，过点E M ，过点F N（2）已知：OC 平分，点E 、F 在OC 上，于点M ，于点N ，则（3）已知：OC 平分，点E 、F 在OC ，8. 利用“在同圆或等圆中，相等的圆周角（圆心角）所对的弦相等”可得相等线段，例：已知：∠BAC 是圆O 的圆周角，∠DOE 是圆O 的圆心角，AF 平分∠BAC ，OG 平分∠DOE ，连接BF 、CF 、DG 、EG ，则BF ＝CF ，DG ＝EG .9. 【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D ，则.10. 【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D ，则.11. 【外外模型】如图，交于点D ，则.二、中点模型知识精讲1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角. 3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点E是△AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：如图，已知点C边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，四边形ADBC为平行四边形.6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC 交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则.9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.三、平行模型知识精讲在一些有平行线却没有截线的问题中，通常需要添加辅助线构造“三线八角”，再运用平行线的有关知识解题，常见的辅助线添加方式如下：如果遇到两条平行线之间夹折线，一般应过折点作出与已知平行线平行的直线.1. 如图，已知AB∥CD，点E为AB、CD间的一点，过点E作EF∥AB，则∠A＋∠C＝∠AEC.2. 如图，已知AB∥CD，则∠A＋∠AEC＋∠C＝360°.3. 如图，AB∥CD，则∠B＝∠D＋∠E.4. 如图，AB∥CD，则∠BEG＋∠D＋∠F＝180°.5. 如图，AB∥CD，则∠ABE＝∠D＋∠E.四、垂直模型1. 在三角形中，若题目中已经有一边的高了，常作另一边上的高，然后用同角的余角相等证明角相等.例：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交AC于点E，交AD于点F，则∠CBE＝∠CAD，∠AFE＝∠C＝∠BFD.除了能得到角度间的关系外，还可以通过构造相似三角形来证明线段成比例或者用于求线段的长度.2. 在四边形中，如果有高线，可以再作垂线，构造特殊的四边形或者直角三角形.例：如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，则四边形BCDE为矩形，△ADE为直角三角形.3. 在直角三角形中，常作斜边上的高，利用同角（等角）的余角相等，可得到相似三角形.例：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，则∠A＝∠DCB，∠B＝∠ACD，△ABC∽△CBD∽△ACD.4. 若题中已有直线的垂线时，可再作已知直线的垂线，得到两条平行线.例：如图，在△ABC中，AF⊥BC于点F，过AB上一点D作DE⊥BC于点E，则DE∥AF，∠BDE＝∠BAF，∠ADE＋∠BAF＝180°，△BDE∽△BAF.5. 若存在过一条直线上两点同时向另一条直线作垂线，可以再作一条垂线，构造一组平行线，利用平行线等分线段定理解决问题.6. 当两条互相垂直的弦的交点恰好在圆上，构成90°的圆周角，可构造直径.例：如图，点A在圆O上，∠BAC＝90°，连接BC，则BC就是圆O的直径.7. 当圆中有互相垂直的弦时，经常作直径所对的圆周角，可以得到垂直于同一条直线的两条直线，利用平行弦所夹的弧相等来解决问题.例：在圆O中，弦AB⊥CD于点E，连接CO并延长交圆O于点F，连接DF，则FD⊥CD，FD∥AB，.8. 当圆中有和弦垂直的线段时，作直径所对的圆周角，可以得到直角三角形，通过相似三角形来解决问题.例：如图，△ABC内接于圆O，CD⊥AB于点D，连接CO并延长交圆O于点E，连接AE，则△ACE∽△DCB.五、对角互补模型知识精讲1. 全等型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，OC平分∠AOB.则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③2. 如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90º，OC 平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.3. 全等型—60º和120º如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120º，OC平分∠AOB.则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.4. 全等型—和如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.5. 相似型—90º如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90º，∠BOC＝.结论：CE＝CD·.六、半角模型知识精讲1. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则BE＋DF＝EF.2. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.3. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，则4. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.5. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，. 简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.6. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90º得到△AGB，连接GM.通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90º，即可证.7. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME△DFN△AMN△BAN△DMA△AFE.简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.8. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，又∵△AMN△AFE，∴.【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到9. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.10. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.简证：设，在Rt△CEF中，，化简得，.11. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF.证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.∵∠EAF＝45º，∴∠EOF＝90º，设，则，∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF大值.12. 如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45º，AE、AF分别与BD相交于点M、N简证：由结论8可得△△ECA△NDA，同理可得补充：等腰直角三角形与“半角模型”如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45º，则.证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90º得到△，连接.∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，在△DCE与△中，ED＝，∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90º，∴，.七、倍半角模型知识精讲一、二倍角模型处理方法1. 作二倍角的平分线，构成等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.2. 延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.二、倍半角综合1. 由“倍”造“半”已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.如图，若，则（）2. 由“半”造“倍”已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.如图，在Rt△ABC（∠A＜45º）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.三、一些特殊的角度1. 由特殊角30º求tan15º的值如图，先构造一个含有30º角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15º，.2. 由特殊角45º求tan22.5º的值由图可得，.3. “345”三角形（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，；（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，，.八、全等模型知识精讲一、几何变换中的全等模型1. 平移全等模型，如下图：2. 对称（翻折）全等模型，如下图：3. 旋转全等模型，如下图：二、一线三等角全等模型4. 三垂直全等模型，如图：5. 一线三直角全等模型，如图：6. 一线三等角与一组对应边相等全等模型，如图：三、手拉手全等模型7. 等腰三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△ADE均为等腰三角形，且∠BAC＝∠DAE，连接BD、CE，则△ABD ≌△ACE.8. 等边三角形中的手拉手全等模型如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，点B、C、E三点共线，连接AE、BD，则△BCD≌△ACE.9. 一般三角形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作等边△ADB，以AC为边作等边△ACE，连接DC、BE，则△ADC≌△ACE.10. 正方形中的手拉手全等模型如图，在任意△ABC中，以AB为边作正方形ABDE，以AC为边作正方形ACFG，连接EC、BG，则△AEC≌△ABG.九、相似模型知识精讲1. A字型与反A字型相似2. 8字型与反8字型相似3. 蝴蝶型相似4. 共角共边相似模型5. 一线三等角6. 旋转相似模型拓展讲解：1. 射影定理（1）双垂直，如图：结论①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC；②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB；③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.（2）斜射影相似结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2. 对角互补相似如图，在Rt△ABC中，∠C＝90º，点O是AB的中点，若∠EOF＝90º，则.证明：过点O作OD⊥AC于点D，OH⊥BC于点H，如图所示：通过△ODE∽△OHF即可得到3. 三平行相似如图，AB∥EF∥CD，若，则.证明：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB，∴，即①同理△BEF∽△BCD，∴，即②①＋②，得，.4. 内接矩形相似如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，则△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，.十、倍长中线模型知识精讲1. 如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.2. 如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.3. 如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证（1）DF＝BF；（2）DF⊥BF.4. 如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90º，BE＝EC，求证：（1）AE＝DE；（2）∠AED＝2∠ABO.十一、弦图模型知识精讲1. 证法一以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2. 证法二以a、b为直角边（b＞a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于3. 证法三以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于4. 证法四如图所示，分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，图中3个正方形的边长分别为a、b、c，整个图形的面积为S5. 证法五分别以a、b为直角边，以c为斜边的四个直角三角形全等，将它们按如图所示拼成一个多边形，并延长AC交DF于点P.。
中考数学全等三角形的五种模型
结论
①△ABF≌△BCE； ②EC＝AB－FC
模型应用
7. (2016·深圳改编)如图，CB＝CA，∠ACB＝ 90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边 形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA 的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给 出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形 CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF. 其中正确的结论的个数是( )
∵∠1＝∠2，AD⊥FG于D，AH⊥EF于H， ∴AD＝AH， ∵AD＝AB， ∴AH＝AB， 又∵AH⊥EF于H，AB⊥BC于B， ∴AE平分∠BEF，故①正确； ∵AE平分∠BEF， ∴∠AEB＝∠AEH， ∵∠AEB＋∠BAE＝90°，
∠AEH＋∠HAE＝90°， ∴∠BAE＝∠HAE，
又∵EH⊥AH于H，EB⊥AB于B， ∴BE＝HE， ∵BE＝DG， ∴HE＝DG， ∵EF＝HE＋FH，GF＝DG＋FD，EF＝GF， ∴FH＝FD，故②正确； ∵△AEF≌△AGF， ∴S△EAF＝S△GAF. ∵△ABE≌△ADG，
叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在
有如下4个结论：
①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③∠GDE
＝45°；④DG＝DE.
在以上4个结论中，正确的共有
()
A. 1个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4个
3. C 解析：由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝ ∠C＝90°， ∴∠DFG＝∠A＝90°， ∴△ADG≌△FDG，①正确； ∵正方形边长是12， ∴BE＝EC＝EF＝6， 设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x， 由勾股定理，得EG2＝BE2＋BG2， 即(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得x＝4， ∴AG＝GF＝4，BG＝8， ∴BG＝2AG，②正确；
(完整版)第七讲对角互补模型
第七讲对角互补模型墓本图竝=如图1,在四边形FBDEH ^EDF-ZEBF=13O\族转^FBE稈到厶3BI,求证】iFBH^AEBI 如图Z,在四边孩FBD応中.ZEDF+ZEBF-1 .连接HD+ /DBE=/CBF AHCD^1/?=^ 脸蘇究.线段DE、DF、BD之闾的数量关系______________________ -规国M在四边形證DE孔三EDF-£EBF=1财，连損Bd ^1DBE=上CB巴若BDlDC^DCB^O^ 探究：线段□驭口I BD之间旳数量关系j圈1 圉2常和甬平分线性质一起考，一般凉两种解題方去（全等型一如叮（全等型_12厅）（全等型一任意角左）破解策略1.全零型之“9TT "如图.EDCE二曲,CT平分厶椒则⑴ CD=C£i（2.）①+偌=Jl OCi证明方^―■如團，11点匸分别作匸站丄函，口丄阳，垂足分别为掘工由角平分线的性假可得口/=口，Zjtv=90a.川而AJ€^A.\C^ (JSJ),故S②品证巴边形一遷吃为正方形”所氏他H-血=亦即舛_迹-2At/LL-切Ct = $正打仲如?方袪二=如图，过&作m■丄处交防于点F. 冨证ZZJCr=ZfiTf=45'・CQ=CF… QXA厶戡F所以△血也ZSQLJ5J)所以S広CD~FF,甬以\uto +比心=片讣=-()( -.【拓展】如图，兰乙DCE的一^与舶的延长线交于点Z?时，则*(1)CD=CE\(2)OE- 0D= 41 OC^如图.证明同上+方迭二 如匡，叹血为一边作ZFCO=^ ,交空于点穴则为等边三角形. 易证△ Dig 鱼ECF （討胡）.所以CD=CE ・时库二0F= DC 、SLac+ Ska:*= 5L B = —— OC *4【拓展】如图，当/磁的一边与図的延长线交于点疋时，则;⑴ CD=CE^（2）QD_ 址=g （3）5.^- S— OC :4如图.证明同上"全等型之“任意角"如图，GOB 三2住，^DCE^ 180° -2（y , PC 平分乙迦 贝山Cl ） CD=CE\ （.2）&）+ 便=20C ・心8庄！ （3）S^= OC^ sin （7 cos证明：方法一：如图，过点「分别作 少丄加 口丄0吕 垂足分别为M .V易证也］皿鸟疋（4短）■'■ CD= CE, OD^OE=2Qy=2OC- casff■'- ^cr+ IC = 2 Sioc = OC " - sinff cos U方4J-：如图，以£0为一边作ZFC0=Y^ ~2（X ,交 厨于点FZJ/?易证△ DCZ'EC心SDCD= CE t必+ 0E=0F=20C、za二氐临+ S二K=£血=OC " - sin Ct cos a【拓展】如图，当厦处的一边与於的延长线交于点占时，贝!：（1）CD=CE\（戈）0D- QE=20C・cosOr ;（3）— = OC '• sin（7 cos 如图*证明同上—、等边三角形L已知’ 4ABC是奪边三角形，Zl + ^2 = 120°,求证：Zl = Z2 = 60°.2•已知；AABC是等边三角形・4 = 60S求证* Z2 = 60°,3•己知：Zl = Z2 = _BAC = 60°P求证；AABC是等边三角形.4.已知：Zl = Z2 = Z3 = 60°,求证;：A ABC是等边三角形.-＞等腰直角三角形（对直角型）5.已知=A ABC是等腰直角三角形，ZL1+Z2=90°,求证：Z1 = Z2 = 45°.8•已知t Z1=Z2 = Z3 = 45% 求证，AABC是等腰直角三角形.三、等腰直角三角形（对45。
中考数学几何模型能力 对角互补模型(解析版)
中考数学几何模型 对角互补模型共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。
主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线. 类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，则有以下结论：CD CE =①； =2OD OE OC +②；21+=2OCD OCE S S OC V V ③作法1 作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以下结论：CD CE =①； -=2OE OD OC ②；21-=2OCE OCD S S OC V V ③作法1 作法2类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC 平分∠AOB ，则有以下结论：CD CE =①； =OD OE OC +②； 23+=4OCD OCE S S OC V V ③ 作法1 作法2（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC 平分∠AOB ，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则有以下结论：CD CE =①； -=2OE OD OC ②；21-=2OCE OCD S S OC V V ③作法1 作法2例题1. 如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP 旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．变式练习>>>1. 角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．例题2. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．变式练习>>>2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM 交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．变式练习>>>3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．变式练习>>>4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B 运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：PA＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.3. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.答案例题1. 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O 点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．【解答】解：当OP∥AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积的，即25，当OP在如图位置时，过O分别作CD，BC的垂线垂足分别为E、F，如图在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，∴S四边形OHCG＝S四边形OECF＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25．变式练习>>>1. 角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN．（1）求证：OM＝ON．（2）若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°，∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN（ASA），∴OM＝ON；例题2. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积．【解答】解：将△ABC绕点A旋转90°，使B与D重合，C到C′点，则有∠CDC′＝∠ADC+∠ADC′＝∠ADC+∠ABC＝180°，所以C、D、C′在同一直线上，则ACDC′是三角形，又因为AC＝AC′，所以△ACC′是等腰直角三角形，在△ABC和△ADC′中∴△ABC≌△ADC′（SAS），∴四边形ABCD的面积等于等腰直角三角形ACC′的面积，所以S四边形ABCD＝S△ACC′＝×2×2＝2．变式练习>>>2. 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD，若这个四边形的面积为12，则BC+CD=_______.答案：43例题3. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM 交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝ 3 ．【解答】解：如图作PQ⊥AB于Q，PR⊥BC于R．∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90°，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90°＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPF，∴△QPE∽△RPF，∴＝＝2，∴PQ＝2PR＝2BQ，∵PQ∥BC，∴AQ：QP：AP＝AB：BC：AC＝3：4：5，设PQ＝4x，则AQ＝3x，AP＝5x，BQ＝2x，∴2x+3x＝3，∴x＝，∴AP＝5x＝3．故答案为3．变式练习>>>3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．【解答】解：如图，连接BF，取BF的中点O，连接OE，OC．∵四边形ABCD是矩形，EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BCF＝90°，AB＝CD＝3，BC＝AD＝5，∵OB＝OF，∴OE＝OB＝OF＝OC，∴B，C，F，E四点共圆，∴∠EBF＝∠ECF，∴tan∠EBF＝tan∠ACD，∴＝＝，故选：B．【本题两种方法解答，过E作两垂线亦可】例题4. 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．【解答】解：（1）BE＝CF．证明：在△ABE和△ACF中，∵∠BAE+∠EAC＝∠CAF+∠EAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∵AB＝AC，∠B＝∠ACF＝60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）．∴BE＝CF；（3）能．△AEC的CE边上的高为等边△ABC的高，为2，∵△AEC的面积等于，∴底边CE＝2，∴BE＝6或2．变式练习>>>4. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B 运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．【解答】解（1）∵点A（x，y）是“完美点”∴x＝y∵x+y＝4∴x＝2，y＝2∴A点坐标（2，2）（2）①∵四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），∴AO＝AB＝BC＝4∴B（4，4）设直线OB解析式y＝kx过B点∴4＝4kk＝1∴直线OB解析式y＝x设点E坐标（x，y）∵点E在直线OB上移动∴x＝y∴不管t为何值，E点总是“完美点”．例题5. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线PA交射线OM于点A，将射线PA绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：PA＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．【解答】解：（1）作PE⊥OM，PF⊥ON，垂足为E、F∵四边形OEPF中，∠OEP＝∠OFP＝90°，∴∠EPF+∠MON＝180°，已知∠APB+∠MON＝180°，∴∠EPF＝∠APB，即∠EPA+∠APF＝∠APF+∠FPB，∴∠EPA＝∠FPB，由角平分线的性质，得PE＝PF，∴△EPA≌△FPB，即PA＝PB；（2）∵S△POB＝3S△PCB，∴PO＝3PC，由（1）可知△PAB为等腰三角形，则∠PBC＝（180°﹣∠APB）＝∠MON＝∠BOP，又∵∠BPC＝∠OPB（公共角），∴△PBC∽△POB，∴＝，即PB2＝PO•PC＝3PC2，∴＝达标检测领悟提升强化落实1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE、DF、EF，在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③四边形CDFE的面积保持不变；④DE长度的最小值为4；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是______________.答案：①②③2. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，求BE的长.答案：223. 如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC，BD的交点，点E在CD上，且DE＝2CE，连接BE．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，连接OF．求：（1）CF的长；（2）OF的长．【解答】解：（1）如图，在BE上截取BG＝CF，连接OG，∵RT△BCE中，CF⊥BE，∴∠EBC＝∠ECF，∵∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCF，在△OBG与△OCF中，，∴△OBG≌△OCF（SAS），∴OG＝OF，∠BOG＝∠COF，∴OG⊥OF，在RT△BCE中，BC＝DC＝6，DE＝2EC，∴EC＝2，∴BE＝＝＝2，∵BC2＝BF•BE，则62＝BF•2解得：BF＝，∴EF＝BE﹣BF＝，∵CF2＝BF•EF，∴CF＝；4. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF＝AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．【解答】解：（1）正方形ABCD的对角线AC，BD交于点P，∴PA＝PD，∠PAE＝∠PDF＝45°，∵∠APE+∠EPD＝∠DPF+∠EPD＝90°，∴∠APE＝∠DPF，在△APE和△DPF中∴△APE≌△DPF（ASA），∴AE＝DF，∴DE+DF＝AD；（2）如图②，取AD的中点M，连接PM，∵四边形ABCD为∠ADC＝120°的菱形，∴BD＝AD，∠DAP＝30°，∠ADP＝∠CDP＝60°，∴△MDP是等边三角形，∴PM＝PD，∠PME＝∠PDF＝60°，∵∠PAM＝30°，∴∠MPD＝60°，∵∠QPN＝60°，∴∠MPE＝∠FPD，在△MPE和△DPF中，∴△MPE≌△DPF（ASA）∴ME＝DF，∴DE+DF＝AD；5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝ 1 ；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．【解答】解：（1）当m＝n时，即：BC＝AC，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝1，∴＝1，故答案为1．（2）①∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ABC＝90°，∵CD⊥AB，∴∠DCB+∠ABC＝90°，∴∠A＝∠DCB，∵∠FDE＝∠ADC＝90°，∴∠FDE﹣∠CDE＝∠ADC﹣∠CDE，即∠ADE＝∠CDF，∴△ADE∽△CDF，∴＝，∵∠A＝∠DCB，∠ADC＝∠BDC＝90°，∴△ADC∽△CDB，∴＝＝，∴＝，故答案为．（3）由（2）有，△ADE∽△CDF，∵＝＝，∴＝＝＝，∴CF＝2AE，在Rt△DEF中，DE＝2，DF＝4，∴EF＝＝＝2，①当E在线段AC上时，在Rt△CEF中，CF＝2AE＝2（AC﹣CE）＝2（﹣CE），EF＝2，根据勾股定理得，CE2+CF2＝EF2，∴CE2+[2（﹣CE）]2＝40∴CE＝2，或CE＝﹣（舍）而AC＝＜CE，∴此种情况不存在，6.（2019·贵阳适应性）如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD的长度.。
专题13 全等三角形重难点模型(五大模型)(原卷版)
专题13全等三角形重难点模型（五大模型）模型一：一线三等角型模型二：手拉手模型模型三：半角模型模型四：对角互补模型模型五：平行+线段中点构造全等模型【典例分析】【模型一：一线三等角型】如图一，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC。
结论：Rt△BDC≌Rt△CEA模型二一线三等角全等模型如图二，∠D=∠BCA=∠E，BC=AC。
结论：△BEC≌△CDA图一图二应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。
【典例1】如图，平面直角坐标系中有点A（﹣1，0）和y轴上一动点B（0，a），其中a＞0，以B点为直角顶点在第二象限内作等腰直角△ABC，设点C的坐标为（c，d）．（1）当a＝2时，则C点的坐标为；（2）动点B在运动的过程中，试判断c+d的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若发生变化，请说明理由．【变式1】点A的坐标为（4，0），点B为y轴负半轴上的一个动点，分别以OB、AB为直角边在第三象限和第四象限作等腰Rt△OBC和等腰Rt△ABD．（1）如图一，若点B坐标为（0，﹣3），连接AC、OD．①求证：AC＝OD；②求D点坐标．（2）如图二，连接CD，与y轴交于点E，试求BE长度．【典例2】（1）猜想：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试猜想DE、BD、CE有怎样的数量关系，请直接写出；（2）探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；（3）解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点，D、E、A互不重合，在运动过程中线段DE的长度始终为n，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状，并说明理由．【变式2】已知，在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线m上，且DE ＝9cm，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC（1）如图①，若AB⊥AC，则BD与AE的数量关系为，CE与AD 的数量关系为；（2）如图②，判断并说明线段BD，CE与DE的数量关系；（3）如图③，若只保持∠BDA＝∠AEC，BD＝EF＝7cm，点A在线段DE上以2cm/s的速度由点D向点E运动，同时，点C在线段EF上以xcm/s的速度由点E向点F运动，它们运动的时间为t（s）．是否存在x，使得△ABD与△EAC全等？若存在，求出相应的t的值；若不存在，请说明理由．【模型二：手拉手模型】应用：①利用手拉手模型证明三角形全等，便于解决对应的几何问题；②作辅助线构造手拉手模型，难度比较大。
全等三角形的对角互补模型解析
全等三角形的对角互补模型解析全等三角形对角互补模型解析1.等腰直角对直角例1：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADB=45°，证明BD⊥CD。
例2：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADC=45°，证明∠XXX°。
例3：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠ADC=45°，∠ADB=45°，证明XXX。
例4：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=45°，∠ADC=45°，证明AB=AC。
例5：在直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠BDC=90°，证明AD平分∠XXX。
2.等腰直角旁直角例1：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADB=45°，求∠ADC的度数。
例2：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠ADC=135°，证明BD⊥CD。
例3：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠ADB=45°，∠ADC=135°，证明∠BAC=90°。
例4：在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，∠ADB=45°，BD⊥CD，证明AB=AC。
例5：在直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠XXX°，求∠ADC的度数。
3.等边对120°例1：在等边三角形ABC中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ACB=60°，证明∠BCD=120°。
例2：在等边三角形ABC中，AB=AD，∠BAD=60°，∠ACD=60°，证明∠ACB=60°。
例3：在等边三角形ABC中，AB=AD，∠ACB=60°，∠ACD=60°，证明∠BAD=60°。
第3讲对角互补模型(解析版)
第3讲对角互补模型(解析版)中考数学几何模型3：对角互补模型共顶点模型中，四边形或其他几何图形中，相对的角互补。
主要有两种类型：含90°的对角互补和含120°的对角互补，得出的结论会有所不同。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线。
类型一：含90°的对角互补模型1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：①CD=CE；②OD+OE=2OC；③S(OCD)+S(OCE)=OC²。
2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC；③S(OCE)-S(OCD)=OC²。
类型二：含120°的对角互补模型1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：①CD=CE；②OD+OE=OC；③S(OCD)+S(OCE)=3OC²/4.2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：①CD=CE；②OE-OD=2OC；③S(OCE)-S(OCD)=OC²。
典题探究例题1：如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值。
解答】当OP∥AD或OP经过C点，重叠部分的面积显然为正方形的面积，即25.当OP在如图位置时，过O分别作CD、BC的垂线垂足分别为E、F，在Rt△OEG与Rt△OFH 中，∠EOG=∠HOF，OE=OF=5，所以△OEG≌△OFH，因此S(四边形OHCG)=S(四边形OECF)=25，即两个正方形重叠部分的面积为25.变式练1.角线交于点O，点E、F分别在AB、BC上（AE＜BE），且∠EOF＝90°，OE、DA的延长线交于点M，OF、AB的延长线交于点N，连接MN。
专题05 全等模型-对角互补模型(原卷版)
专题05全等模型-对角互补模型全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，而且有一组邻边相等的几何模型。
思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点做双垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等。
常见的对角互补模型含90°-90°对角互补模型、120°-60°对角互补模型、2α-（180°-2α）对角互补模型。
模型1、旋转中的对角互补模型（90°--全等型）1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）条件：如图，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE OC ，③212ODCE COE COD S S S OC =+= .2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）条件：如图，已知∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D ，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OE －OD OC ，③212COE COD S S OC -= .例1．（2022秋·江苏·八年级专题练习）在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点．（1）如图1，E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF、求证：△DEF是等腰直角三角形例2、在ABC∠=︒，2==，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三AC BC∆中，90C角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形．（1）观察线段PD和PE之间有怎样的大小关系？并以图②为例，并加以证明；（2）观察线段CD、CE和BC之间有怎样的数量关系？并以图③为例，并加以证明；例3．（2022秋·四川绵阳·九年级校联考阶段练习）已知=90ACD ∠︒，AC DC =，MN 是过点A 的直线，过点D 作DB MN ⊥于点B ，连接CB ．(1)问题发现：如图(1)，过点C 作CE CB ⊥，与MN 交于点E ，BD 、AB 、CB 之间的数量关系是什么？并给予证明．(2)拓展探究：当MN 绕点A 旋转到如图(2)位置时，BD 、AB 、CB 之间满足怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．模型2、旋转中的对角互补模型（60°或120°--全等型）1）“等边三角形对120°模型”（1）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB .结论：①CD ＝CE ，②OD ＋OE ＝OC ，③24COD COE S S OC +=.2）“等边三角形对120°模型”（2）条件：如图，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点D ，结论：①CD ＝CE ，②OD －OE ＝OC ，③2COD COE S S -= .3）“120°等腰三角形对60°模型”条件：△ABC 是等腰三角形，且∠BAC =120°，∠BPC =60°。
对角互补模型
对角互补模型对角互补模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补．解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两边的垂线． 类型一： 含90°角的对角互补模型【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③ 证明提示：①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=OC ；③22△OCE △OCD △DCE OC 21S S S =+=22△OCD △OCE OC 21S S =-类型三：含2α和180°－α的对角互补模型基本模型展示：如图，已知∠AOB＝2α，∠DCE＝180°－2α，OC平分∠AOB.则有以下结论：①CD＝CE；②OD＋OE＝2OC·cos α；③S△COD＋S△COE＝OC2·sin α·cos α.经典例题：例题1．如图，正方形ABCD 与正方形OMNP 的边长均为10，点O 是正方形ABCD 的中心，正方形OMNP 绕O 点旋转．求证：无论正方形OMNP 旋转到哪个位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值．解：①当OP ∥AD 时，S 重叠＝14S 正方形ABCD ＝25；②当OP 过点C 时，S 重叠＝S △OBC ＝12×5×10＝25；③设OP 交CD 于点G ，OM 交BC 于点H ，过点O 分别作CD ，BC 的垂线，垂足分别为E ，F ，则∠OEG ＝∠OFH ＝90°. ∵∠MOP ＝∠FOE ＝90°， ∴∠EOG ＝∠FOH. 又∵OE ＝OF ，∴△OEG ≌△OFH(ASA )．∴S 四边形OHCG ＝S 正方形OECF ＝14S 正方形ABCD ＝25，即两个正方形重叠部分的面积为25.例题2．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F 分别在AB ，BC 上(AE ＜BE)，且∠EOF ＝90°，OE ，DA 的延长线交于点M ，OF ，AB 的延长线交于点N ，连接MN. (1)求证：OM ＝ON.(2)若正方形ABCD 的边长为4，E 为OM 的中点，求MN 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴OA ＝OB ，∠DAO ＝45°，∠OBA ＝45°. ∴∠OAM ＝∠OBN ＝135°.∵∠EOF ＝90°，∠AOB ＝90°， ∴∠AOM ＝∠BON.∴△OAM ≌△OBN(ASA )． ∴OM ＝ON.(2)过点O 作OH ⊥AD 于点H. ∵正方形的边长为4， ∴OH ＝HA ＝2.∵E 为OM 的中点，AE ∥OH ， ∴HM ＝2AH ＝4.∴OM ＝22＋42＝2 5. ∴MN ＝2OM ＝210.例题3．如图1，∠QPN 的顶点P 在正方形ABCD 两条对角线交点处，∠QPN ＝α，将∠QPN 绕点P 旋转，旋转过程中∠QPN 的两边分别与正方形ABCD 的边AD 和CD 交于点E 和点F(点F 与点C ，D 不重合)．(1)如图1，当α＝90°时，DE ，DF ，AD 之间满足的数量关系是DE ＋DF ＝AD ． (2)如图2，将图1中的正方形ABCD 改为∠ADC ＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，(1)中的结论变为DE ＋DF ＝12AD ，请给出证明．(3)在(2)的条件下，若旋转过程中∠QPN 的边PQ 与射线AD 交于点E ，其他条件不变，当点E 落在线段AD 的延长线上时，探究DE ，DF ，AD 之间的数量关系(直接写出结论，不用加以证明)．解：(2)证明：取AD 的中点M ，连接PM. ∵四边形ABCD 为菱形，∠ADC ＝120°，∴BD ＝AD ，∠DAP ＝30°，∠ADP ＝∠CDP ＝60°. ∴△MDP 是等边三角形．∴PM ＝PD ，∠MPD ＝∠PME ＝∠PDF ＝60°. ∵∠QPN ＝∠MPD ＝60°， ∴∠MPE ＝∠DPF.在△MPE 和△DPF 中， ⎩⎨⎧∠PME ＝∠PDF ，PM ＝PD ，∠MPE ＝∠DPF ，∴△MPE ≌△DPF(ASA )． ∴ME ＝DF.∴DE ＋DF ＝DM ＝12AD.(3)如图，当点E 落在AD 的延长线上时，DF －DE ＝12AD.例题4．已知点P 是∠MON 平分线上的一动点，射线PA 交射线OM 于点A ，将射线PA 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB ＋∠MON ＝180°. (1)利用图1，求证：PA ＝PB.(2)如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB ＝3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值．(3)若∠MON ＝60°，OB ＝2，射线AP 的延长线交ON 于点D ，且满足∠PBD ＝∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 的长．解：(1)证明：过点P 作PE ⊥OM ，PF ⊥ON ，垂足分别为E ，F. ∵OT 平分∠MON ， ∴PE ＝PF.∵在四边形OEPF 中，∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∴∠EPF ＋∠MON ＝180°. ∵∠APB ＋∠MON ＝180°，∴∠EPF ＝∠APB ，即∠EPA ＋∠APF ＝∠APF ＋∠FPB. ∴∠EPA ＝∠FPB.∴△EPA ≌△FPB(ASA )． ∴PA ＝PB.(2)∵S △POB ＝3S △PCB ， ∴PO ＝3PC.由(1)可知△PAB 为等腰三角形，则∠PBC ＝12(180°－∠APB)＝12∠MON ＝∠BOP.又∵∠BPC ＝∠OPB ， ∴△PBC ∽△POB. ∴PB PO ＝PCPB ，即PB 2＝PO·PC ＝3PC 2. ∴PBPC＝ 3. (3)补全图形如图．过点B 作BH ⊥OT ，垂足为H. ∵∠MON ＝60°，∴∠APB ＝120°. ∵PA ＝PB ，∴∠PBA ＝∠PAB ＝12(180°－∠APB)＝30°.又∵∠PBD ＝∠ABO ，∠PBD ＋∠PBA ＋∠ABO ＝180°， ∴∠ABO ＝75°.∴∠OBP ＝105°.∴∠BPO ＝180°－∠OBP －∠BOP ＝45°. ∴∠BPO ＝∠PBH ＝45°.∴PH ＝BH.在Rt △OBH 中，12OB ＝1，OH ＝3，∴OP ＝OH ＋PH ＝OH ＋BH ＝3＋1.精品练习：1. 四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角△ABD和直角△CBD，其中∠A和∠C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，四边形ABCD的面积为．2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Rt△MPN，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝．3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝（）A．B．C．D．4.如图①，已知AC=BC，AC⊥BC，直线MN经过点B，过点A作AD⊥MN，垂足为D，连接CD．（1）动手操作：根据题意，请利用尺规将图①补充完整；（保留作图痕迹，不写作法）（2）探索证明：在补充完成的图①中，猜想CD、BD与AD之间的数量关系，并说明理由；（3）探索拓广：一天小明一家在某公园游玩时走散了，电话联系后得知，三人的位置如图②，爸爸在A处，妈妈在C处，小明在D处，B为公园大门口，若B、D在直线MN上，且AC⊥BC，AD⊥MN，AC=BC，AD=100m，CD=40m，求出小明到公园门口的距离BD 的长度.5. “如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．”这里，根据已学的相似三角形的知识，易证：＝．在图1这个基本图形的基础上，继续添加条件“如图2，点E是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F，设＝．”（1）探究发现：如图②，若m＝n，点E在线段AC上，则＝1；（2）数学思考：①如图3，若点E在线段AC上，则＝（用含m，n的代数式表示）；②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图4的情形给出证明；（3）拓展应用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，请直接写出CE的长．6. 如图①，∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线的交点处，∠QPN＝α，将∠QPN 绕点P旋转，旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边AD和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．（1）如图①，当α＝90°时，DE，DF，AD之间满足的数量关系是DE+DF＝AD；（2）如图②，将图①中的正方形ABCD改为∠ADC＝120°的菱形，其他条件不变，当α＝60°时，（1）中的结论变为DE+DF＝AD，请给出证明；（3）在（2）的条件下，若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E，其他条件不变，探究在整个运动变化过程中，DE，DF，AD之间满足的数量关系，直接写出结论，不用加以证明．7. 已知，点P是∠MON的平分线上的一动点，射线P A交射线OM于点A，将射线P A绕点P逆时针旋转交射线ON于点B，且使∠APB+∠MON＝180°．（1）利用图1，求证：P A＝PB；（2）如图2，若点C是AB与OP的交点，当S△POB＝3S△PCB时，求PB与PC的比值；（3）若∠MON＝60°，OB＝2，射线AP交ON于点D，且满足且∠PBD＝∠ABO，请借助图3补全图形，并求OP的长．8 用两个全等且边长为4的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD．把一个60°角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB，AC重合，将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时，（如图1），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明）；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图2），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由；（3）在上述情况中，△AEC的面积是否会等于？如果能，求BE的长；如果不能，请说明理由．9. 我们规定：横、纵坐标相等的点叫做“完美点”．（1）若点A（x，y）是“完美点”，且满足x+y＝4，求点A的坐标；（2）如图1，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A坐标为（0，4），连接OB，E点从O向B运动，速度为2个单位/秒，到B点时运动停止，设运动时间为t．①不管t为何值，E点总是“完美点”；②如图2，连接AE，过E点作PQ⊥x轴分别交AB、OC于P、Q两点，过点E作EF⊥AE 交x轴于点F，问：当E点运动时，四边形AFQP的面积是否发生变化？若不改变，求出面积的值；若改变，请说明理由．。
中考数学常见几何模型对角互补模型(从全等到相似)
专题04 对角互补模型（从全等到相似）全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就对角互补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.对角互补模型（全等模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
常见含90°、120°（60°）及任意角度的三种对角互补类型。
该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等. 【常见模型及结论】1）全等型—60º和120º：如图1，已知∠AOB ＝2∠DCE ＝120º，OC 平分∠AOB . 则可得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠234COD COESS+=. 2）全等型—90º：如图2，已知∠AOB ＝∠DCE ＝90º，OC 平分∠AOB . 则可以得到如下几个结论：∠CD ＝CE ，∠OD ＋OE ＝OC ，∠212ODCE OCD COES SSOC =+=. 3）全等型—2α和1802α︒-：如图3，已知∠AOB ＝2α，∠DCE ＝1802α︒-，OC 平分∠AOB .则可以得到以下结论：∠CD ＝CE ∠OD ＋OE ＝2OC ·cos ，∠2sin cos OCDCOESSOC αα+=⋅⋅.1．（2021·贵州黔东南·中考真题）在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ．（探究发现）（1）如图①，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＝∠ADC ＝90︒．求证：AD ＋AB ＝AC ； （拓展迁移）（2）如图②，若∠BAD ＝120︒，∠ABC ＋∠ADC ＝180︒．①猜想AB 、AD 、AC 三条线段的数量关系，并说明理由；②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）见解析；（2）①AD ＋AB ＝AC ，见解析；②【分析】（1）根据角平分线的性质得到∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，然后根据直角三角形中30o 是斜边的一半即可写出数量关系；（2）①根据第一问中的思路，过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ，构造AAS 证明∠CFB ≅∠CED ，根据全等的性质得到FB ＝DE ，结合第一问结论即可写出数量关系；②根据题意应用60o 的正弦值求得CE 的长，然后根据()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋的数量关系即可求解四边形ABCD 的面积．【详解】（1）证明：∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ，∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ， ∠∠ADC ＝∠ABC ＝90o ，，∠∠ACD ＝∠ACB ＝30o ，∠AD ＝1122AC AB AC ，＝．∠AD ＋AB ＝AC ， （2）①AD ＋AB ＝AC ，理由：过点C 分别作CE ∠AD 于E ，CF ∠AB 于F ．∠AC 平分∠BAD ，∠CF ＝CE ，∠∠ABC ＋∠ADC ＝180o ，∠EDC ＋∠ADC ＝180o ，∠∠FBC ＝∠EDC ，又∠CFB ＝∠CED ＝90o ，∠∠CFB ≅∠CED()AAS ，∠FB ＝DE ，∠AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，在四边形AFCE 中，由∠题知：AE ＋AF ＝AC ，∠AD ＋AB ＝AC ； ②在Rt ∠ACE 中，∠AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120o ∠∠DAC ＝∠BAC ＝60o ，又∠AC ＝10，∠CE ＝A sin 10sin 60o DAC ∠＝＝∠CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，∠()111222ABCD S AD CE AB CF AD AB CE ⨯⨯⨯四边形＝＋＝＋＝111022AC CE ⨯⨯⨯＝． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质和应用，解直角三角形，关键是辨认出本题属于角平分线类题型，作垂直类辅助线．2．（2022·广东深圳·一模）【问题提出】如图1，在四边形ABCD 中，AD CD =，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，2AB =，1BC =，求四边形ABCD 的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD ，由于AD CD =，所以可将DCB 绕点D 顺时针方向旋转60︒，得到'DAB △，则'BDB △的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD 的面积．（3）如图3，等边ABC 的边长为2，BDC 是顶角为120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一个60︒的角，角的两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，求AMN 的周长．'BDB ）将BDM 绕点，得到DCP ，则PD ，MBD ∠=，证明NMD ≅△，证得AMN 的周长4AC =．将DCB绕点∠DCB∠△='BD B DBDB△是等边三角形；'故答案为：等边三角形；（2）过B由（1）知，（3）解：将BDM绕点D顺时针方向旋转120︒，得到DCP，△，CDP=，PDC，=CP BMMD PD∠BDC是等腰三角形，且∠=∠BD CD=DBC又∠ABC等边三角形，∠=∠ABC ACB∠=∠MBD ACB∠同理可得NCD=∠PCD NCD+∠DCN NCP∠60MDN ∠=︒，∠=1206060PDC NDC MDB NDC BDC MDN ∠+∠=∠+∠=∠-∠︒-︒=︒， 即60MDN PDN ∠=∠=︒， 在NMD △和NPD 中，MD PD MDN PDN DN DN =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∠()NMD NPDSAS ≅△△，∠MN PN NC CP NC BM ==+=+，∠AMN 的周长224AM AN MN AM AN NC BM AB AC =++=+++=+=+=． 故AMN 的周长为4．【点睛】本题考查三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特殊角锐角三角函数，掌握三角形全等变换，等边三角形判定，四边形面积转化为三角形面积，图形旋转，直角三角形判定，三点共线，三角形的周长转化为两边之和，特别是利用图形旋转进行图形的转化特殊角锐角三角函数，是解题关键． 3．（2022·河南安阳·二模）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度大小进行比较，直观地得到线段之间的数量关系，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，120MAN ∠=︒，AC 平分,,MAN CD AM CB AN ∠⊥⊥，求证：AB AD AC +=．【拓展】（2）如图2，其他条件不变，将图1中的DCB ∠绕点C 逆时针旋转，CD 交MA 的延长线于点D ，CB 交射线AN 于点B ，写出线段AD ，AB ，AC 之间的数量关系，并就图2的情形说明理由．【应用】（3）如图3，ABC 为等边三角形，4AB =，P 为BC 边的中点，120MPN ∠=︒，将MPN ∠绕点P 转动使射线PM 交直线AC 于点M ，射线PN 交直线AB 于点N ，当8AM =时，请直接写出AN 的长．的结论可得PEM PFN ≌，）由（1）可得AE AF AC +=，CE CF =，∠MAN ∠=BAD ∠+∠CDA ∴∠=CED ∠=CED CFB ∴≌，ED ∴,AE ED AD AF =-=AE AF ED AD ∴+=-又AE AF AC +=，∴（3）①如图，当M 在AB P是BC 的中点，ABC 是等边三角形，AP ∴平分，∠B =∠C =60°∴）可得PEM PFN ≌，EM ∴AB 1122CP BC AB ∴===FPB =90°-60°=30°，1，3AE AF ∴==，AM AN AF FN AF ∴=+=在AB 上方时，过点同理可得EM FN =8332AN FN AF EM AF =-=-=--=．综上所述，AN 的长为14或2．【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的性质，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，作两垂线证明三角形全等是解题的关键．模型2.对角互补模型（相似模型）【模型解读】四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。
高考数学复习：对角互补模型
高考数学分析：对角互补模型破解策略1．全等型之“90°”如图，∠AOB ＝∠DCE ＝90°，OC 平分∠AOB ，则A O BDCE（1）CD ＝CE ； （2）OD ＋OEOC ； （3）212OCD OCE S S OC ∆∆+=． 证明 方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N ． 由角平分线的性质可得CM ＝CN ，∠MCN ＝90°． 所以∠MCD ＝∠NCE ， 从而△MCD ≌△NCE （ASA ），故CD ＝CE ．易证四边形MONC 为正方形． 所以OD ＋OE ＝OD ＋ON ＋NE ＝2ONC ．所以2212OCD OCE MONC S S S ON OC ∆∆+===正方形． 方法二：如图，过C 作CF ⊥OC ，交OB 于点F ．易证∠DOC ＝∠EFC ＝45°，CO ＝CF ，∠DCO ＝∠ECF ． 所以△DCO ≌△ECF （ASA ） 所以CD ＝CE ，OD ＝FE ， 可得OD ＋OE ＝OF．所以212OCD OCE OCF S S S OC ∆∆∆+==．【拓展】如图，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则：B AECO D（1）CD ＝CE ； （2）OE －ODOC ； （3）212OCE OCD S S OC ∆∆-=． 如图，证明同上．2．全等型之“120”如图，∠AOB ＝2∠DCE ＝120°，OC 平分∠AOB ，则：OBECDA（1）CD ＝CE ；（2）OD ＋OE ＝OC ； （3）24OCD OCE S S ∆∆+=． 证明 方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N ．所以22OCD OCE ONC S S S ∆∆∆+==易证△MCD ≌△NCE （ASA ），所以CD ＝CE ，OD ＋OE ＝2ON ＝O C ．方法二：如图，以CO 为一边作∠FCO ＝60°，交OB 于点F ，则△OCF 为等边三角形． 易证△DCO ≌△ECF （ASA ）． 所以CD ＝CE ，OD ＋OE ＝OF ＝OC ， ∴S △OCD ＋S △OCE ＝S △OCF ＝43OC 2 【拓展】如图，当∠DCE 的一边与BO 的延长线交于点E 时，则： （1）CD ＝CE ；（2）OD －OE ＝OC ；（3）S △OCD －S △OCE ＝43OC 2 如图，证明同上．3、全等型之“任意角”如图，∠AOB ＝2α，∠DCE ＝180°－2α，OC 平分∠AOB ，则：（1）CD ＝CE ；（2）OD ＋OE ＝2OC ·cos α；（3）S △ODC ＋S △OEC ＝OC 2·sin αcos α证明：方法一：如图，过点C 分别作CM ⊥OA ，CN ⊥OB ，垂足分别为M ，N易证△MCD ≌△NCE （ASA ）∴CD ＝CE ，OD ＋OE ＝2ON ＝2OC ·cos α∴S △ODC ＋S △OEC ＝2S △ONC ＝OC 2·sin αcos α方法二：如图，以CO 为一边作∠FCO ＝180°－2α，交OB 于点F ．易证△DCO≌△ECF（ASA）∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cosα∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC 2·sinαcosα【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：（1）CD＝CE；（2）OD－OE＝2OC·cosα；（3）S△ODC－S△OEC＝OC 2·sinαcosα如图，证明同上4、相似性之“90°”如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，∠COB＝α，则CE＝CD·tanα方法一：如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N易证△MCD∽△NCE，∴αtan===CMCNCDCEMDNE，即CE＝CD·tanα方法二：如图，过点C作CF⊥OC，交OB于点F．易证△DCO ∽△ECF ，∴αtan ===COCFCD CE OD FE ，即CE ＝CD ·tan α 方法三：如图，连接DE ．易证D 、O 、E 、C 四点共圆∴∠CDE ＝∠COE ＝α，故CE ＝CD ·tan α【拓展】如图，当∠DCE 的一边与AO 的延长线交于点D 时，则CE ＝CD ·tan α如图，证明同上．例题讲解例1、已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，在∠BAC 所对弧BC 上任取一点D ，连接AD ，BD ，C D ．（1）如图1，若∠BAC ＝120°，那么BD ＋CD 与AD 之间的数量关系是什么？ （2）如图2，若∠BAC ＝α，那么BD ＋CD 与AD 之间的数量关系是什么？图1图2解：（1）BD ＋CD ＝3AD图3如图3，过点A 分别向∠BDC 的两边作垂线，垂足分别为E 、F ． 由题意可得∠ADB ＝∠ADC ＝30°易证△AEB ≌△AFC ∴BD ＋CD ＝2DE ＝3AD⑵BD ＋CD ＝2AD sin2α． 如图4，作∠EAD ＝∠BAC ，交DB 的延长线于点E ．则△EBA ≌△DCA ，所以BE ＝CD ，AE ＝A D ．作AF ⊥DE 于点F ，则∠FAD ＝2α．所以BD ＋CD ＝DE ＝2DF ＝2AD sin 2α． 例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的对角线BD 上滑动，并使其一条直角边始终经过点A ，另一条直角边与BC 相交于点F ． ⑴求证：PA ＝PE ；⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且AD ＝10，CD ＝8，求AP ：PE 的值； ⑶如图3，在⑵的条件下，当P 滑动到BD 的延长线上时，AP ：PE 的值是否发生变化？解：⑴如图4，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．则PM ＝PN ，∠MPN ＝90°，由已知条件可得∠APE ＝90°，所以∠APM ＝∠EPN ，所以△APM ≌△EPN ． 故AP ＝PE ．⑵如图5，过点P 分别作PM ⊥AB ，PN ⊥BC ，垂足分别为M ，N ．则PM ∥AD ，PN ∥C D ．所以△BPM ∽△BDA ，△BNP ∽△BC D ．可得PM BP PN AD BD CD ==，所以54PM AD PN CD ==．易证△APM ∽△EPN ，所以54AP PM PE PN ==． DFBEOA 图4图3ADBEP FC ADBPCE 图2ADPBE C 图1图4A DPBE CN M⑶AP：PF的值不变．[如图，理由同⑵]进阶训练1．如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD，其中∠BAD和∠BCD都是直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABCD的面积为_________．答案：四边形ABCD的面积为2．【提示】易证A、B、C、D四点共圆，则∠BCA＝∠BDA＝∠ABD＝∠ACD，由“全等型之‘90°’”的结论可得S四边形ABCD＝12AC2＝2．2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，D是BC边的中点，∠EDF＝120°，DE与AB边相交于点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点F．⑴如图1，DF与AC边相交于点F，求证：BE＋CF＝12 AB；⑵如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与AC边的延长线交于点F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：BE＋CFBE－CF）．答案：略．图5A DBPCE NM图6ADB EPFCMNABCD第1题图第1题图1AEFCDBAEFCDBN第1题图2【提示】⑴过点D 作DG ∥AC 交AB 于点G ，证△DEG ≌△DFC ，从而BE ＋CF ＝BE ＋EG ＝BG ＝12A B ．⑵过点D 作DG ∥AC 交AB 于点G ，同⑴可得BE －CF ＝12AB ＝DC，延长AB 至点H ，使得BH ＝CF ，则DH ＝DF ＝DE ，从而BE ＋CF ＝HE＝2DN ，所以BE ＋CF（BE －CF ）．3．在菱形ABCD 中，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，∠MON ＋∠BCD ＝180°，∠MON 绕点O 旋转，射线OM 交BC 于点E ，射线ON 交CD 于点F ，连结EF ． ⑴如图1，当∠ABC ＝90°时，△OEF 的形状是____；⑵如图2，当∠ABC ＝60°时，请判断△OEF 的形状，并说明理由；⑶如图3，在⑴的条件下，将∠MON 的顶点移动到AO 的中点O '处，∠MO 'N 绕点O '旋转，仍满足∠MO 'N ＋∠BCD ＝180°，射线O 'M 交直线BC 于点E ，射线O 'N 交直线CD 于点F ，当BC＝4，且'98O EF ABCD S S V 四边形时，求CE 的长．答案：⑴等腰直角三角形；⑵△OEF 是等边三角形；⑶线段CE 的长为3或3． 【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得OE ＝OF ．⑶两种情况，如图：第1题答图1 AEFC D BG 第1题答图2A EFC DB NHG第3题图1 ADBCOME F NABC DOF E MN第3题图2BC第3题图3'第3题答图。
2022中考压轴：对角互补模型（二）
2022中考压轴：对角互补模型（二）
【分析】（1）求出∠DOC＝∠EOC＝45°，求出∠DCO＝∠DOC，
推出OD＝DC，根据OC=根号2，求出CD＝OD＝1，同理OE＝CE ＝1，即可得出答案；（2）过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，由（1）知：ON＝CN＝OM＝CM＝1，求出∠NCD＝∠ECM，证△CND≌△CME，推出ND＝ME，即可得出答案；（3）过C作CM⊥OB于M，CN⊥OA于N，由（1）知：ON＝CN＝OM＝CM＝1，求出∠NCD＝∠ECM，证△CND≌△CME，推出ND＝ME，即可得出答案．
【分析】先利用勾股定理求出OD ，再利用角平分线定理得出DE ＝CD ，即可得出结论；（1）先判断出∠DCQ ＝∠ECP ，进而判断出△CQD ≌△CPE ，得出DQ ＝PE ，即可得出结论；（2）①依题意即可补全图形；②同（1）的方法即可得出结论．
【分析】（1）利用同角的余角判断出∠EPQ＝∠FPN，即可判断
出△PQE≌△PNF（ASA），即可得出结论；（2）先判断出DN＝NF，同（1）的方法判断出△PQE≌△PNF（ASA），代换即可得出结论；（3）分两种情况，类似（2）的方法利用相似即可得出结论．。
07角平分线及其模型
一、常见模型 1. 角度计算：（1）角平分线＋高线：如图，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ， 则∠DAE ＝12B C ∠-∠ （2）角平分线的夹角模型（内心和旁心）： 如图①，点I 是△ABC 的内心，则∠I ＝90°＋12A ∠；如图②，点P 是△ABC 的一个旁心，则∠P ＝12A ∠；如图③，点Q 是△ABC 的一个旁心，则∠Q ＝90°－12A ∠.2. 角平分线＋平行线→等腰三角形3.角平分线＋高线（中线）：构造等腰三角形4.角平分线＋对角互补四边形： 如图，∠A ＋∠C ＝180°，BD 是∠ABC 的平分线，则AD ＝C D ．5.双角平分线＋梯形：如图，AD ∥BC ,AE 平分∠BAD ，BE 平分∠ABC ，则 ①DE ＝CE ；②AB ＝AD ＋BC ；③AE ⊥BE .构造轴对称图形．．．．．．．截长补短 补形法（构造法） ：作另一边垂线ABC 中AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC 于E ，若 B ＝40°，∠C ＝70°，求∠DAE.3.如图，△ABC的外角平分线AP，CP交于点P.（1）求证：BP平分∠ABC；（2）若∠B＝50°，求∠APC；（3）若∠ACE＝110°，求∠AP B.6. 条件同上题，猜测∠A，∠C，∠P的关系，并证明.2. 【面积问题】1.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，若AB＝14cm，AC＝10cm，DE＝3cm，求△ABC的面积.2.如图，点I是△ABC的内心，ID⊥BC于点D，△ABC 周长为18cm,ID＝3cm，求△ABC的面积.3.【角平分线＋平行线→等腰三角形】1. 如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB、AC于点E、F.若EF＝6,BE＝4,则CF＝.4. 5.2.如图，在△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点I，过点I作MN∥BC分别交AB、AC于点M、N.若AB＝14cm,AC＝10cm,求△AMN的周长.3. 已知：如图所示△ABC，∠ACB＝90°，D为BC延长线上一点，E是AB上一点，EM垂直平分BD，M为垂足，DE交AC于F，求证：E在AF的垂直平分线上.4.【角平分线＋角平分线的垂线】补形法2. 如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CE平分∠ACB交AB于点D，BE垂直CE于E.求证：CD＝2BE.5.【角平分线＋一边的垂线】1. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠AB C.求证：①DE＝CE；②AB＝AD＋BC；③AE⊥BE.B 1.2．如图，BD是∠ABC的平分线，BC＞AB,AD＝C D.若DE⊥BC于点E，求证：2BE＝BA＋B C.6.【截长补短】1．如图，BD是∠ABC的平分线，BC＞A B.（1）若∠A＋∠C＝180°，求证：AD＝CD；（2）若AD＝CD，求证：∠A＋∠C＝180°．2. 如图，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠AB C.求证：①DE＝CE；②AB＝AD＋BC；③AE⊥BE.3. 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，△ABC的角平分线AD，CE交于点O．（1）求∠AOC；（2）求证：OD＝OE；（3）求证：AC＝AE＋C D．。
第3讲对角互补模型(解析版)
第3讲对角互补模型(解析版)第3讲对角互补模型（解析版）对角互补模型是利用几何图形中的对角线互相垂直这一性质来解决问题的数学工具。
它是一种简洁而高效的方法，常用于几何图形的证明和问题求解。
本文将详细介绍对角互补模型的原理和应用。
1. 对角互补模型的原理对角互补模型是基于对角线互相垂直这一几何性质的。
对于一个四边形来说，如果它的两条对角线互相垂直，那么我们可以得到一些有用的结论。
首先，对角线的长相等，即对角线互为等长的线段。
其次，对角线所分割的各个部分的面积之和等于整个四边形的面积。
通过应用这两个规律，我们可以在解决问题时快速获得结果。
2. 对角互补模型的应用举例下面通过几个具体的例子来说明对角互补模型的应用。
例子1：证明正方形的对角线互相垂直对于一个正方形来说，我们可以通过对角互补模型证明其对角线互相垂直的性质。
首先，我们假设正方形的边长为a，连接正方形的对角线，分别为AC和BD。
根据对角互补模型的原理，我们可以得到AC和BD互相垂直，并且它们的长度相等，即AC=BD=a。
因此，我们证明了正方形的对角线互相垂直的性质。
例子2：计算菱形的面积对于一个菱形来说，我们可以利用对角互补模型计算其面积。
假设菱形的对角线分别为AC和BD，AC的长度为d1，BD的长度为d2。
根据对角互补模型的原理，我们知道AC和BD互相垂直，并且长度相等，即AC=BD。
菱形可以看作是两个等腰三角形拼接而成，所以菱形的面积等于两个等腰三角形的面积之和。
每个等腰三角形的底边长度为d1/2，高度为d2/2，所以一个等腰三角形的面积为(d1/2)*(d2/2)/2。
因此，菱形的面积为(d1/2)*(d2/2)/2 + (d1/2)*(d2/2)/2 = (d1*d2)/4。
3. 对角互补模型的优势对角互补模型的优势在于其简洁性和实用性。
通过利用对角线互相垂直的性质，我们可以减少问题求解的步骤，快速获得结果。
对于一些复杂的几何图形问题，对角互补模型可以帮助我们准确地找到关键点，从而简化计算过程，提高解题效率。
中考复习：对角互补和角含半角旋转
中考内容中考要求A B C图形的旋转了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角 能运用旋转的知识解决简单问题90120︒︒⎧⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎩对角互补模型：、、任意角正方形旋转角含半角模型等腰直角三角形线段的旋转：构造等腰三角形解题一、对角互补旋转模型1、全等型—90°已知：90AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠，D 、E 在OA 、OB 上OABCE DNOM A BCE D结论：（1）CD CE =（2）2CD CE OD OE OC +=+=（3）21=+2OCE OCD ODCE S S S OC =四边形△△对角互补和角含半角旋转中考大纲知识精讲知识网络图2、全等型—90°变式：已知：90AOB DCE ∠=∠=︒，OC 平分AOB ∠，D 在OA 反向延长线上，E 在OB 上EDBCAO结论：（1）CD CE =（2）OD OE -（3）212OCE OCD S S OC -=△△3、全等型—120°已知：120AOB ∠=︒，=60DCE ∠︒，OC 平分AOB ∠，D 、E 在OA 、OB 上OEDCB A OFEDCBA结论：（1）CD CE =（2）+OD OE OC =（3）2=+OCE OCD ODCE S S S =四边形△△ 4、全等型—任意角αOEDCBA【例题】如图，等腰直角三角形ABC 中，90B =︒∠，AB a =，O 为AC 中点，EO OF ⊥．求证：BE BF +为定值．OBEC F A4321OB ECF A【答案】连结OB 由上可知，1290+∠=︒∠，2390∠+=∠，13∠=∠，而445C =∠=︒∠，OB OC =． ∴OBE OCF ∆∆≌，∴BE FC =， ∴BE BF CF BF BC a +=+==．二、角含半角旋转模型秘籍：角含半角要旋转FED CBAG FED CBAABCDEFFED CBAGABCDEFGABC D E ABCD E F【例题】E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BACH FEGD BA【答案】延长CB 至G ，使BG DF =，连结AG ，易证ABG ADF △≌△，BAG DAF =∠∠，AG AF =． 再证AEG AEF △≌△，全等三角形的对应高相等（利用三角形全等可证得）， 则有AH AB =．三、线段的旋转线段绕着一个端点旋转一定的角度后，可以构造出等腰三角形解题．1、对角互补之全等模型的相关结论在AOB ∠中，C 是其中任意一点，过C 向两边做垂线，垂足分别为E 、D ， 若已知（1）180AOB ACB ∠+∠=︒，（2）OC 平分AOB ∠，如下图EDCBA O21结论（1）CA CB =（2）1()2OE OB OA =+（证明CBE CAD ≌△△即可） 【注意】1、当OBC △和OAC △不全等时，则两个条件和两个结论是知二推二的关系．2、若2AOB α∠=，则2cos OB OA OC α+=•解题方法技巧2、对角互补之相似模型的相关结论在AOB ∠，C 是其中任意一点，满足180AOB ACB ∠+∠=︒，过C 向两边做垂线，垂足分别为E 、D ，如下图：EBO结论（1）CBE CAD ∽△△ （2）sin 2==sin 1BC CE AC CD ∠∠ 3、角含半角模型的相关结论已知（1）正方形ABCD（2）45EAF ∠=︒DEFHABC结论（1）EF BE DF =+（2）CEF △周长为正方形周长的一半（3）AHF △为等腰直角三角形（连接AC 证AHF ABC ∽△△）4、角含半角模型变式的相关结论已知（1）正方形ABCD（2）45EAF ∠=︒CBAHFED结论（1）EF BE DF =-（2）CEF △周长=正方形周长的一半+2CE（3）AHF △为等腰直角三角形（连接AC 证AHF ABC ∽△△）1、角含半角经常和对角互补模型一起出现．2、对角互补模型中特别是关于正方形的一些结论要注意．易错点辨析【例1】 在ABC △中，BA BC BAC α=∠=，，M 是AC 的中点，P 是线段上的动点，将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ．（1）若α=60︒且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出CDB ∠的度数；（2）在图2中，点P 不与点B M ，重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想CDB ∠的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ QD =，请直接写出α的范围．（2012北京中考）真题链接对角互补和角含半角旋转一、对角互补旋转【例1】 在等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，M 是AB 的中点，点P 从B 出发向C 运动，MQ MP ⊥交AC 于点Q ，试说明MPQ ∆的形状和面积将如何变化．APMCQ B【例2】 如图所示，在四边形ABCD 中，90ADC ABC ∠=∠=︒，AD CD =，DP AB ⊥于P ，若四边形ABCD的面积是16，求DP 的长．PDCBA课堂练习【例3】 在五边形ABCDE 中，已知AB AE =，BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=，连接AD ．求证：AD 平分CDE ∠．EDCBA【例4】 在平面直角坐标系xOy 中，直线6y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求∠BAO 的度数； （2）如图1，P 为线段AB 上一点，在AP 上方以AP 为斜边作等腰直角三角形APD ．点 Q 在AD 上，连结PQ ，过作射线PF ⊥PQ 交x 轴于点F ，作PG ⊥x 轴于点G ． 求证：PF ＝PQ ； （3）如图2，E 为线段AB 上一点，在AE 上方以AE 为斜边作等腰直角三角形AED ．若P 为线段EB 的中点，连接PD 、PO ，猜想线段PD 、PO 有怎样的关系？并说明理由．图1图2二、角含半角旋转【例5】 E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且45EAF =︒∠，AH EF ⊥，H 为垂足，求证：AH AB =．CHF ED BA【例6】 如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆的中点，2AB =，等腰直角三角板45︒角的顶点与点P 重合，当此三角板绕点P 旋转时，它的斜边和直角边所在的直线与直径分别相交于C 、D 两点．设线段AD 的长为x ，线段BC 的长为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．A ．B ．C．D．（2020海淀一模）【例7】 阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒，连结EF ，则EF BE DF =+，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB ，AD 是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将ABE △绕着点A 逆时针旋转90︒得到ADG △，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）． 参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，90BAD ∠=︒，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，45EAF ∠=︒．若B ∠，D ∠都不是直角，则当B ∠与D ∠满足__________关系时，仍有EF BE DF =+； （2）如图4，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、E 均在边BC 上，且45DAE ∠=︒，若1BD =，2CE =，求DE 的长．（2020东城一模）【例8】 如图1，点E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，45EAF ∠=︒，连接EF ，则EF 、BE 、FD 之间的数量关系是：EF BE FD =+．连结BD ，交AE 、AF 于点M 、N ，且MN 、BM 、DN满足222MN BM DN =+，请证明这个等量关系；（2）在ABC △中， AB AC =，点D 、E 分别为BC 边上的两点．①如图2，当60BAC ∠=︒，30DAE ∠=︒时，BD 、DE 、EC 应满足的等量关系是__________；②如图3，当BAC α∠=(090)α︒<<︒，12DAE α∠=时，BD 、DE 、CE 应满足的等量关系是__________．【参考：22sin cos 1αα+=】A B CD EF图1B CDE 图2AB CDE 图3AMN（2020平谷一模）【例9】 问题1：如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC CD ==，点M ，N 分别在AD ，CD 上，若12MBN ABC ∠=∠，试探究线段MN ，AM ，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明；问题2：如图2，在四边形ABCD 中，AB BC =，180ABC ADC ∠+∠=︒，点M ，N 分别在DA ，CD 的延长线上，若12MBN ABC ∠=∠仍然成立，请你进一步探究线段MN ，AM ，CN 又有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给予证明．（2020东城一模）【例10】 在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别在直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图①M NDCBA 图②MND CBA N图③MD CBA（1）如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________；此时QL=__________ （2）如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图③，当点M N ，分别在边AB CA ，的延长线上时，若AN x =，则Q =_________（用x L ，表示）【例11】 已知：如图，正方形ABCD 的边长为a ，BM ，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足45MAN ∠=︒，连结MC ，NC ，MN ．（1）填空：与ABM △相似的三角形是△__________，BM DN ⋅=__________；（用含a 的代数式表示）（2）求MCN ∠的度数；（3）猜想线段BM ，DN 和MN 之间的等量关系并证明你的结论．（12年西城期末）三、线段的旋转【例12】 在ABC △中，AB AC =，将线段AC 绕着点C 逆时针旋转得到线段CD ，旋转角为α，且0180α︒<<︒，连接AD ，BD ．（1）如图1，当100BAC ∠=︒，60α=︒时，CBD ∠的大小为__________；（2）如图2，当100BAC ∠=︒，20α=︒时，求M 的大小；（3）已知BAC ∠的大小为m （60120m ︒<<︒），若M 的大小与（2）中的结果相同，请直接写出α的大小．（2020海淀一模）【例13】 已知：在ABC △中，ABC ACB α∠=∠=，点D 是AB 边上任意一点，将射线DC 绕点D 逆时针旋转α与过点A 且平行于BC 边的直线交于点E ．（1）如图1，当60α=︒时，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系__________；（2）如图2，当45α=︒时，判断线段BD 与AE 之间的数量关系，并进行证明；（3）如图3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD 与AE 之间的数量关系：__________．（用含α的式子表示，其中090α︒<<︒）（2020门头沟一模）图2DCB A图1 ABC D四、其他旋转综合【例14】 如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD 和一个长为2、宽为1的长方形CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形ABEF ．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至'''CE F D ，旋转角为α．（1）当点'D 恰好落在EF 边上时，求旋转角α的值；（2）如图2，G 为BC 中点，且090α︒<<︒，求证：''GD E D =；（3）小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，'DCD △与'CBD △能否全等？若能，直接写出旋转角α的值；若不能，说明理由．（2020密云一模）【例15】 在图1至图3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM MH =，FM MH ⊥；（2）将图1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：FMH ∆是等腰直角三角形； （3）将图2中的CE 缩短到图3的情况，FMH ∆还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）图1EHF G(N)DC(M)BA图2M NHG FEDC BA图3NHG M FEDCB A【例16】 如图1，两个等腰直角三角板ABC 和DEF 有一条边在同一条直线l 上，2DE =，1AB =．将直线EB 绕点E 逆时针旋转45︒，交直线AD 于点M ．将图1中的三角板ABC 沿直线l 向右平移，设C 、E 两点间的距离为k ． 解答问题：（1）①当点C 与点F 重合时，如图2所示，可得AMDM的值为__________； ②在平移过程中，AMDM的值为__________（用含k 的代数式表示）； （2）将图2中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变．当点A 落在线段DF 上时，如图3所示，请补全图形，计算AMDM的值； （3）将图1中的三角板ABC 绕点C 逆时针旋转α度，090α<≤，原题中的其他条件保持不变．计算AM DM的值（用含k 的代数式表示）．（2020初三上海淀期末）【练1】 如图，已知点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA AF ⊥． 求证：DE BF =．D CBEFA【练2】 如图，正方形ABCD 的边长为1，AB 、AD 上各存一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2，求∠PCQ 的度数．Q PDCBA【练3】 如图所示，ABC ∆是边长为1的正三角形，BDC ∆是顶角为120的等腰三角形，以D 为顶点作一个60的MDN ∠，点M 、N 分别在AB 、AC 上，求AMN ∆的周长．NM DCBA课后作业。
专题05 对角互补模型(知识解读)(老师版)
专题05对角互补模型（知识解读）【专题说明】共顶点模型，即四边形或构成的几何图形中，相对的角互补。
主要：含90°的对角互补，含120°的对角互补，两种类型，种类不同，得出的个别结论会有所区别。
解决此类题型常用到的辅助线画法主要有两种：旋转法和过顶点作两垂线.【方法技巧】类型一：含90°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：作法1作法2；；类型二：含120°的对角互补模型（1）如图，∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB，则有以下结论：作法1作法2；；（2）如图，∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则有以下结论：作法1作法2；；【类型一：含90°的对角互补模型】【典例1】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF ＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是；（不需要证明）（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．【解答】解：（1）EF＝BE+FD，理由如下：如图1，延长CB至G，使BG＝DF，连接AG，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EG，∵EG＝BG+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD，故答案为：EF＝BE+FD；（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，∴∠1＝∠D，在△ABM和△ADF中，，∴△ABM≌△ADF（SAS），∴AM＝AF，∠3＝∠2，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠3+∠4＝∠EAF，∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，在△MAE和△FAE中，，∴△MAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EM，∵EM＝BM+BE＝BE+DF，∴EF＝BE+FD；（3）（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，∴∠HAE＝∠FAE，在△HAE和△FAE中，，∴△HAE≌△FAE（SAS），∴EF＝EH，∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，∴EF＝BE﹣FD．【变式1-1】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，连接EF交AP于点G，以下五个结论：①∠B＝∠C＝45°；②AP＝EF；③∠AFP和∠AEP互补；④△EPF是等腰直角三角形；⑤四边形AEPF的面积是△ABC面积的，其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④⑤C．①③④⑤D．①③④【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，故①正确；∵点P为BC的中点，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴AP＝CP，∠APC＝90°，∠BAP＝∠C＝45°，∵∠EPF＝∠APC，∴∠APE＝∠FPC，在△AEP和△CFP中，，∴△AEP≌△CFP（ASA），∴PE＝PF，∴△EPF是等腰直角三角形，∴四边形AEPF的面积为S△AEP +S△AFP＝S△CPF+S△APF＝S△APC＝S△ABC，故④正确，⑤不正确；∵∠BAC＝∠EPF＝90°，∴∠AFP和∠AEP互补，故③正确；∵PE不是定长，故②不正确．∴正确的有：①③④，故选：D．【变式1-2】（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD 上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是EF＝BE+DF（直接写结论，不需证明）；（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】证明：（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，∴∠EAF＝∠FAG＝50°，在△EAF和△GAF中，∵，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG＝DF+DG，∴EF＝BE+DF，故答案为：EF＝BE+DF；（2）结论仍然成立，理由如下：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，∵2∠EAF＝∠BAD，∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，∴∠GAE＝∠EAF，又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS），∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD；（3）如图，延长EA到H，使AH＝CF，连接BH，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴∠BAH＝∠BCF＝90°，又∵AH＝CF，AB＝BC，∴△ABH≌△CBF（SAS），∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，∵∠EBF＝45°，∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，∴∠EBH＝∠EBF，又∵BH＝BF，BE＝BE，∴△EBH≌△EBF（SAS），∴EF＝EH，∴EF＝EH＝AE+CF，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．【变式1-3】（1）如图①，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且∠EAF＝∠BAD．请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：．【解答】解：（1）如图1，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，易证△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（2）（1）中的结论EF＝BE+FD仍然成立．理由是：如图2，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG．∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，∴∠ABG＝∠D，∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴AG＝AF，∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠BAD＝∠EAF．∴∠GAE＝∠EAF．又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG＝EF．∵EG＝BE+BG．∴EF＝BE+FD（3）当（1）结论EF＝BE+FD成立，当图三中，EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．证明：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG．∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADF．∵在△ABG与△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS）．∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF．∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF＝∠BAD．∴∠GAE＝∠EAF．∵AE＝AE，∴△AEG≌△AEF（SAS）．∴EG＝EF∵EG＝BE﹣BG∴EF＝BE﹣FD．同理可得：∴EG＝EF∵EG＝BG﹣BE∴EF＝FD﹣BE．故答案为：（1）EF＝BE+FD；（2）成立；（3）EF＝BE+FD或EF＝BE﹣FD或EF＝FD﹣BE．\【变式1-4】问题探究：如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．①BE、CF与EF之间的关系为：BE+CF EF；（填“＞”、“＝”或“＜”）②若∠A＝90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．问题解决：如图2，在四边形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝130°，以D为顶点作∠EDF＝65°，∠EDF的两边分别交AB、AC于E、F两点，连接EF，探索线段BE、CF、EF之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）如图1中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∵DE＝DH，FD⊥EH，∴FE＝FH，在△FCH中，∵CH+CF＞FH，∴BE+CF＞EF．故答案为＞．（2）结论：EF2＝BE2+CF2．理由：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接CH，FH．∵BD＝CD，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH，∴△BDE≌△CDH（SAS），∴BE＝CH，∠B＝∠DCH，∵DE＝DH，FD⊥EH，∴FE＝FH，∵∠A＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠DCH＝90°，∴∠FCH＝90°，∴FH2＝CH2+CF2，∴EF2＝BE2+CF2．（3）如图3中，结论：EF＝BE+CF．理由：∵DB＝DC，∠B+∠ACD＝180°，∴可以将△DBE绕点D顺时针旋转得到△DCH，A，C，H共线．∵∠BDC＝130°，∠EDF＝65°，∴∠CDH+∠CDF＝∠BDE+∠CDF＝65°，∴∠FDE＝∠FDH，∵DF＝DF，DE＝DH，∴△FDE≌△FDH（SAS），∴EF＝FH，∵FH＝CF+CH＝CF+BE，∴EF＝BE+CF．【类型二：含120°的对角互补模型】【典例2】问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以70海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以90海里/小时的速度，前进2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．【解答】解：问题背景：由题意：△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，∴BE＝DG，EF＝GF，∴EF＝FG＝DF+DG＝BE+FD．故答案为：EF＝BE+FD．探索延伸：EF＝BE+FD仍然成立．理由：如图2，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，又∵AB＝AD，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，又∵∠EAF＝∠BAD，∴∠FAG＝∠FAD+∠DAG＝∠FAD+∠BAE＝∠BAD﹣∠EAF＝∠BAD﹣∠BAD＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+FD．实际应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°+90°+20°＝140°，∠FOE＝70°＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝60°+120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE+FB成立．即，EF＝AE+FB＝2×（70+90）＝320（海里）答：此时两舰艇之间的距离为320海里．【变式2-1】如图，△ABC是边长为6的等边三角形，BD＝CD，∠BDC＝120°，以点D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连结MN，则△AMN的周长是．【解答】解：∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°，∴∠BCD＝∠DBC＝30°，∵△ABC是边长为4的等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°，∴∠DBA＝∠DCA＝90°，延长AB至F，使BF＝CN，连接DF，在△BDF和△CND中，，∴△BDF≌△CND（SAS），∴∠BDF＝∠CDN，DF＝DN，∵∠MDN＝60°，∴∠BDM+∠CDN＝60°，∴∠BDM+∠BDF＝60°，在△DMN和△DMF中，，∴△DMN≌△DMF（SAS），∴MN＝MF，∴△AMN的周长是：AM+AN+MN＝AM+MB+BF+AN＝AB+AC＝6+6＝12．故答案为：12．【变式2-2】【问题背景】如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF ＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【探索延伸】如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．【学以致用】如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．【解答】（1）解：如图1，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；故答案为：EF＝BE+DF．（2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，在△ABE和△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴EF＝BE+DF；（3）解：如图3，延长DC到点G，截取CG＝AE，连接BG，在△AEB与△CGB中，∵，∴△AEB≌△CGB（SAS），∴BE＝BG，∠ABE＝∠CBG．∵∠EBF＝45°，∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBF＝45°，∴∠CBF+∠CBG＝45°．在△EBF与△GBF中，∵，∴△EBF≌△GBF（SAS），∴EF＝GF，∴△DEF的周长＝EF+ED+DF＝AE+CF+DE+DF＝AD+CD＝5+5＝10．。
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对角互补+角平分线模型
已知，四边形ABCD，∠B+∠D=180°，AC平分∠BCD 结论①AB=AD
结论①的证明有三种方法
1 四点共圆
2 双垂法3旋补法
其中双垂法是一种通法，有些变型题，其他俩种方法不好解决，但双垂法百试不爽。
下面，我介绍双垂法和旋补法。
方法一：双垂法
证明：分别过A作CD和CB得垂线AM和AN ∵AC平分∠BCD ∵AM=AN
又∵∠B+∠D=180°
∴∠ABN=∠D
∴△ABN≌△ADM
∴AB=AD
方法二：旋补法
证明：延长CD到E，作等腰△ACE
∴AC=AE，∠AEC=∠ACE=∠ACB
又∵∠B+∠D=180°
∴∠B=∠ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AB=AD
其实①∠B+∠D=180°②AC平分∠BCD③AB=AD 只要给出其中任意俩个条件，必定能推出第三个，大家可以自己用双垂法试试。
结论②BC+CD=2ACcosθ
证明：过A作AF⊥CD
由结论①可知：△ACE为等腰三角形，且BC=DE
∴BC+CD=CE=2CF
又∵CF=ACcosθ
∴BC+CD=2CF=2ACcosθ
结论③四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积=AC²sinθcosθ
∵黄≌绿，把黄割补到绿的位置
∴四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积
∵ACE的面积=AF*CF
(其中AF=ACsinθ,CF=ACcosθ)
∴四边形ABCD的面积=等腰三角形ACE的面积
=AC²sinθcosθ
特别地，当∠BCD=120°时，BC+CD=2ACcos60°=AC 四边形ABCD面积=正三角形ACE面积
特别地，当∠BCD=90°时，BC+CD=2ACcos45°=2AC 四边形ABCD面积=等腰直角三角形ACE面积。