圆的直径式方程
圆的周长计算公式
圆的周长计算公式有哪些圆的周长计算方法圆的周长=直径×圆周率=半径×2×圆周率字母公式：C=πD=2πR公式说明：π是圆周率，约等于3.14，D是圆的直径，R是圆的半径应用实例：圆的直径是6米，周长C=πD=3.14×6=18.84米圆的半径是3米，周长C=2πr=2×3.14×3=18.84米2圆相关公式有哪些面积公式1.圆的面积：S=πr²=πd²/42.扇形弧长：L=圆心角（弧度制） * r = n°πr/180°（n为圆心角）3.扇形面积：S=nπ r²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）4.圆的直径： d=2r5.圆锥侧面积： S=πrl（l为母线长）6.圆锥底面半径： r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）周长公式圆的周长：C=2πr 或 C=πd圆的方程1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4.故有：（1）当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；（2）当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；（3）当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
怎样推导圆的周长公式？推导圆的周长公式是小学数学教学的重要内容之一。
这是因为在这部分知识中，不仅要使学生认识圆的周长、理解圆的周长与直径之间的关系；还要掌握圆的周长公式，并能正确计算圆的周长。
圆的直径式方程在解题中的妙用
詢•解题技巧与方法JIETI JIQIAO YU FANGFA•圆的直径式方程在解题中的妙用◎陈昌燕(江苏联合职业技术学院盐城机电分院，江苏盐城224000)【摘要】在新课程改革背景下，高中数学题目的形式日渐丰富，因此对学生的解题思维提出了更高的要求•在高中数学知识中，以圆的标准方程、参数方程和一般方程为重要考查点，需要学生深刻把握这些知识，而圆的直径式方程在考纲中不做要求，但是仍然存在许多和圆的直径密切相关的问题，如果学生可以在解题的过程中合理运用圆的直径式方程，就可以在一定程度上降低题目的难度，收获良好的效果•基于此，本文将以圆的直径式方程为例，探究其在解题中的运用.【关键词】圆的直径式方程；解题;妙用我们可以将圆的方程分成标准方程和一般方程两种形式，如果已知点A(*',y')和点B(*2,y2)分别是圆的直径的两个端点，而圆上任意一点M的坐标为(*,y)，可知m A-MB=0,可以计算出圆的方程为(*—*')(*—*2)+(y—) (y—y2)=0,此即圆的直径式方程•圆的直径式方程在解题中的应用十分广泛，本文将为大家简要介绍圆的直径式方程在解题中的具体用法.一、圆的直径式方程在解题中的作用以圆的直径为斜边作直角三角形，则另一点永远在圆上.将三角形的两条直角边的向量用坐标的形式表示，便可以通过两向量坐标垂直的性质推导出圆的直径式方程：(*—*')(*—*2)+(y—y2)(y—y2)=0.尽管圆的直径式方程不是高考的重要考查内容，但是如果题目中含有和圆的直径相关的题目，就可以借助圆的直径式方程进行解答，这样可以有效降低学生的解题难度，所以我们需要提高对这一方程的关注•此外,掌握圆的直径式方程的解法可以让学生在高考中多一种选择,那运用一种解题方法解题,并通过其他方法进行题目的验算,这可以切实提升学生的答题准确度，从而在高考中取得优异的成绩.二、圆的直径式方程的推导过程若圆的直径的两端点坐标分别为A(*',y2),B(*2,y2),则圆的直径式方程为(*—*')(*—*2)+(y—y2)(y—y2)=0,这可以通过向量进行证明.首先，假设P(*,y)是圆上一点，那么向量(*-*',y-y2)表示向量P A,(*—*2,y—y2)则表示向量PB.因为AB是圆的直径,所以对于圆上的任意一个非A,B 的点，厶APB=90°.所以可以确定两向量的内积为0,即(*—*')(*—*2)+ (y一y i)(y—了2)=a当P与A或B点重合时,两向量之一为0向量，因为0向量与任意向量垂直，所以上式仍成立，所以所有的圆上的点都符合方程(*—*')(*—*2)+(y—y2)(y—y2)=0.又因为所有满足向量(*—*',y—y2)垂直向量(*—*2,y—y2)的点都在圆上，所以可以确定(*—*')(*—*2)+(y—y2) (y—y2)=0就是该圆的方程.三、圆的直径式方程的运用(一)圆的方程例1请计算出过直线/：2*+y+4=0和圆C：*2+y2+2*—4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程.解析面积最小的圆也就是以交点连线为直径的圆，因此可以运用直径式方程进行解题.解由题目可知，交点坐标同时满足*2+y2+2*—4y+1=题目所求是以点(—3,2)和(-I1，：)为直径两端点的圆，可以列出：(*+3)(兀+丁)+(y—2)(y―寸)=0,整理可得面积最小的圆的方程为*2+y2+5*—5y+5=0.例2已知点A和点B是直线y=k*+b和双曲线*2—y2=4的两个交点，试计算出直径为AB的圆的方程.解由题意，可设A(*',y'),B(*2*2)，则点A和点B同时满足*2—y2=4和y=k*+b，将两式联立并消去字母y,可得(k2—1)*2+2kb*+b2+4=0,根据韦达定理，可得**2kb*'+*2=i八，①1—kb2+4'*2=k2—f②所以y i+y2=k(*'+*2>+2b= 2,③1—k2224k2—b2y i y2=k**i*2+kb(*i+*2)+犷=k2—i，④直径为AB的圆的方程为(*—*')(*—*2)+(y—y i)(y—y2)=0,将此式展开可得*2—(*'+*2)*+*'*2+y2—(y i+歹2”+y1y2=0.将①②③④分别代入上述方程,可以确定所求圆的方*22kb*y22b y4k2+4.程为*2+k2—1*+y2+k2—i y+k2—1=0例3从圆外一点P向圆0：*2+y2=1作两条切线，点P的坐标为(2,1),直线和圆0的切点分别为A,B，请求出经过A,B两点的直线方程.解析根据圆的直径式方程的性质，可以确定以线段0P为直径的圆的方程的解析式为圆0：*(*—2)+y(y—1)=0,由于点A和点B皆为圆0的切点，所以点A和点B同时在圆0和圆Q上，因此，可以将两个圆的方程式作减法，确定经过两个圆的公共弦的方程为*(*—2)+y(y—1)—(*2+y2—1)=0,可得2*+y—1=0,也就是直线AB的方程.2021.13解题技巧与方法•JIETI JIQIAO YU FANGFA由此可见，借助圆的直径式方程的性质和解法，可以有效简化解题过程,让解题更加快速,切实提升解题的准确率.(二)直线与圆的位置关系例4已知点P和点Q是直线/：x+2y-3=0和圆C：x'+y'+x-G y+m=0的两个交点，点0为坐标原点，如果0P丄0Q,请计算出实数m的值.解设点P(x1 ,y1),点Q(x2,y2)•由于点P和点Q都是直线/上的一点，可以得出內= 3-2y1,"；=3-2y；•yy又因为0P丄0Q,可以确定'1-=-1,12所以有x1x2+y』2二(3-2y1)(3-2歹2)+歹化=5y〔歹2-6(歹1+歹2)+9=0①.将圆的方程x2+y2+x-6y+m=0和直线方程x+2y-3=0联立，可以得出(3-2y)2+y2+3-2y-6y+m=0,即 5y2-20y+ 12+m=0.因为y〔和y是方程的根，可以得出y〔+y=4』』2=笃“将y1匕」2；"代入①，可以得出12+m-24+9=0,经计算可得m=3.例5已知点N是抛物线y=4x2上的一点，经过点N 作圆C：(x-2)2+y2=1的切线，分别与圆C相切于点P和点Q,已知点P、点Q和点0三点在同一条直线上(其中点0为坐标原点)，试求出点N的坐标.解由于点N是抛物线上的一点，由y=4x2可设点N (t,4#)，而点P和点Q分别为直径为NC的圆D和圆C的两个交点.由此可以计算出圆D的方程为(x-2)(x-t)+y(y-)=0,可以将圆D方程转化为x；-(2+t)x+2t+y；-4t；y=0①，又因为圆C的方程为x2-4x+y2+3=0②，将②式与①式相减，可得(2-1)"+2—4#y-3=0,此方程就是直线PQ的表达式.由于P,Q,0三点在同一条直线上，可以确定直线PQ3经过坐标原点0,由此可知2t-3=0,计算出t=2•由此可以计算出点N的坐标为(2,9)•例6直线/：y=0x+1和双曲线C：2x；-y；=1的右半部分的交点分别为点A和点B.(1)请确定实数0的取值范围.(2)当0取什么值时，可以让以线段AB为直径的圆0经过双曲线C的右焦点F?如果不存在这样一个实数0,请说明理由.解(1)根据题目，可以计算出实数0的取值范围为-2<0<-2.(由于该题目不是本文所研究的内容，故省略过程)(2)由题意，可设点A("1,yj,点B(x；,y；),将直线/的方程代入双曲线C的方程，可以得出：(2-02)x2-20x-2=(2-02)(x-x1)(x-x2)=0①，联立双曲线和直线方程，还可以得(2-02)y2-4y-02+2=(2-0；)(y-y1)(y-y；)=0②，又因为点A和点B分别为圆0直径的两个端点，所以可以将①式和②式相加求出圆0的方程：(2-0；)(x-x1)("-"丿+心-02”y-yj(y-y2)=0,计算可得(2-02)x；-20x-2+(2-0；)y；-4y-0；+2=0③.如果存在一个实数0,可以让圆0经过双曲线C的右焦点F(c,0),因为c=；,则点F[6卫)，将其代入③式，可以得出502+260-6=0,计算可得0=-響或0=響(与(1)问的取值范围不符，故舍去)，所以当0=-6；6时，可以让以线段AB为直径的圆0经过双曲线C的右焦点F.(三)圆与圆的位置关系例7已知01和02两圆的方程分别为01:X2+y2-10x-10y=0和02:x；+y；+6x-2y=0,请计算出以公共弦为直径的圆的方程.解根据题意，联立X2+y2-10x-10y=0和X2+y2+6x-2y=0,计算可得x1=0,y1=0；X2=-2,y2=4.根据圆的直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)= 0,可以列出(x-0)(x+2)+(y-0)(y-4)=0.经计算，可得x；+y；+2x-4y=0,即以圆01和圆02的公共弦为直径的圆的方程为x；+y；+2x-4y=0.四、结束语总而言之，圆的直径式方程在解题过程中应用非常广泛，对于解题具有一定的作用•通过圆的直径式方程,可以将题目简化，帮助学生减少计算量,实现题目的由难化简，让学生脱离烦琐的计算流程，在最短的时间内找到问题的最优解•基于此，教师需要充分关注圆的直径式方程在解题过程中的作用，让学生可以针对题目内容选择合适的答题手段，强化学生对于圆的直径式方程的理解，争取在提升学生解题速度的基础上提升其解题准确率.【参考文献】[1]刘果.圆系方程在解题中的应用[J].语数外学习：语文教育,2020,12(1)：34.[2]刘立伟.例谈圆的一性质在解题中的妙用[J].中学生数学，2018,23(4)：18-19.[3]甘志国.圆的直径式方程的一个应用[J].数学教学研究,2018,37(3)：66-67.[4]程泽兵.微专题十八直线与圆的方程[J].中学数学教学参考,2018,14(1)：114-118.[5]陈桂明，刘新春.例说圆锥曲线方程在解题中的奇妙运用[J].中学数学月刊,2018,426(11)：59-62.[6]李仁兵.倡导学导式教学，提高高中数学教学效率：以苏教版“圆与方程：圆与圆的位置关系”为例[J].数学大世界,2019,15(10)：23.2021.13。
数学关于圆的资料
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)其实只要保证X方Y方前系数都是1就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)这可以作为一个结论运用的且r=根号（圆心坐标的平方和-F）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
圆的通用方程
圆的通用方程圆的通用方程圆是平面几何中的一种基本图形，它具有许多重要的性质和应用。
在数学中，圆可以用不同的方式来表示和描述，其中最常用的是通用方程。
一、圆的定义圆是一个平面上所有到定点距离相等的点构成的集合。
这个定点称为圆心，到定点距离称为半径。
半径相等的圆互相重合。
二、圆的标准方程在直角坐标系中，如果一个圆心坐标为(h,k)，半径为r，则这个圆可以表示为：(x-h)² + (y-k)² = r²这就是标准方程。
其中，(x,y)表示平面上任意一点的坐标。
三、通过图像理解通用方程通用方程也可以通过图像来理解。
假设有一个以原点为中心，半径为r 的圆，则它可以表示为：x² + y² = r²这个公式描述了所有到原点距离等于r的点构成的集合。
如果将原点移到(h,k)，则公式变成：(x-h)² + (y-k)² = r²这个公式描述了所有到(h,k)距离等于r的点构成的集合。
四、如何从通用方程求出其他参数？从通用方程可以求出圆的半径、圆心坐标和直径等参数。
具体方法如下：1. 半径：将通用方程中的r²提取出来，即可得到半径的值。
2. 圆心坐标：将通用方程展开，化简后得到形如x² + y² + Dx + Ey +F = 0的一般式方程。
然后，通过配方法，将它转化为(x - h)² + (y -k)² = r²的形式，即可得到圆心坐标(h,k)。
3. 直径：直径是圆上两点之间的最长距离。
因此，可以在通用方程中找到两个点，并计算它们之间的距离。
这个距离就是直径。
五、例题解析例题1：已知圆心坐标为(2,-3)，半径为5，求该圆的通用方程。
解：根据公式(x-h)² + (y-k)² = r²，代入已知数据可得：(x-2)²+ (y+3)² = 25这就是该圆的通用方程。
圆面积计算公式大全
圆面积计算公式大全一、圆的面积公式算法S=πr2或S=π*(d/2)2。
圆的半径：r直径：d圆周率：π(数值为3.1415926至3.1415927之间……无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值。
因此，圆的面积只需要用圆的半径的平方乘以 3.14即可。
二、关于圆的所有公式有哪些一.面积公式：1.圆的面积：S=πr²=πd²/42.扇形弧长：L=圆心角(弧度制) * r = n°πr/180°(n为圆心角)3.扇形面积：S=nπ r²/360=Lr/2(L为扇形的弧长)4.圆的直径： d=2r5.圆锥侧面积： S=πrl(l为母线长)6.圆锥底面半径： r=n°/360°L(L为母线长)(r为底面半径)二.周长公式：圆的周长：C=2πr 或 C=πd三.圆的方程1、圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r(r>0)的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4.故有：(1)、当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以(√D^2+E^2-4F)/2为半径的圆。
(2)、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点(-D/2，-E/2)。
(3)、当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
3、圆的参数方程：以点O(a，b)为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数)圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为(x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0圆的离心率e=0，在圆上任意一点的半径都是r。
例谈求解圆的方程常用方法
例谈求解圆的方程常用方法杜红全(甘肃省康县教育局教研室㊀７４６５００)摘㊀要:圆是高考热点ꎬ也是必然考查的内容.主要考查圆的方程㊁直线与圆的位置关系㊁圆与圆的位置关系以及圆的几何性质等ꎬ但是会求圆的方程是基础.本文从直接法㊁几何性质法㊁待定系数法等五个方面举例说明圆的方程的常用求法ꎬ希望起到抛砖引玉的作用.关键词:直接法ꎻ几何性质法ꎻ待定系数法ꎻ利用圆的直径式方程ꎻ利用圆系方程中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１０－０３收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:杜红全(１９６９.９－)ꎬ男ꎬ甘肃省康县人ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀圆是简单的二次曲线ꎬ是高中数学的一个基本内容ꎬ也是高考常考的内容ꎬ会求圆的方程才是硬道理.下面举例说明求圆的方程的常用方法ꎬ供参考.㊀㊀一㊁直接法直接法就是根据圆的定义ꎬ利用已知条件ꎬ确定圆心坐标和半径ꎬ直接求出圆的标准方程.例１㊀求满足下列条件的圆的方程:(１)圆心在点Ｃ(３ꎬ－４)处ꎬ半径是５ꎻ(２)经过点Ｐ(５ꎬ２)ꎬ圆心是点Ｃ(４ꎬ－１).分析㊀根据题设条件ꎬ可利用圆的方程的定义来解决.㊀解㊀(１)因为圆心是在点Ｃ(３ꎬ－４)ꎬ半径是５ꎬ所以圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ＋４)２＝５.(２)因为圆的半径是ｒ＝｜ＰＣ｜＝(５－４)２＋(２＋１)２＝１０ꎬ圆心是Ｃ(４ꎬ－１)ꎬ所以圆的方程是(ｘ－４)２＋(ｙ＋１)２＝１０.点评㊀确定圆的标准方程只需要圆心的坐标和圆的半径即可ꎬ因此圆心和半径是圆的两要素.㊀㊀二㊁几何性质法几何性质法就是通过研究圆的性质㊁直线和圆㊁圆和圆的位置关系ꎬ求出圆心坐标与半径ꎬ从而得到圆的标准方程.常用的几何性质有:圆心与切点的连线垂直于切线ꎻ圆心到切线的距离等于圆的半径ꎻ圆的弦的垂直平分线过圆心ꎻ两条弦的垂直平分线的交点为圆心等.例２㊀求过点Ａ(１ꎬ－１)和Ｂ(－１ꎬ１)ꎬ且圆心在直线ｘ＋ｙ－２＝０上的圆的方程.分析㊀利用圆的几何性质求出圆的圆心和半径后ꎬ再写出方程.解法一㊀设点Ｃ为圆心ꎬ因为点Ｃ在直线ｘ＋ｙ－２＝０上ꎬ所以可设点Ｃ的坐标为(ａꎬ２－ａ).又因为该圆经过ＡꎬＢ两点ꎬ所以｜ＣＡ｜＝｜ＣＢ｜.所以(ａ－１)２＋(２－ａ＋１)２＝(ａ＋１)２＋(２－ａ－１)２ꎬ解得ａ＝１.所以圆心Ｃ的坐标为(１ꎬ１)ꎬ半径ｒ＝｜ＣＡ｜＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.解法二㊀由已知可得线段ＡＢ中点的坐标为(０ꎬ０)ꎬｋＡＢ＝１－(－１)－１－１＝－１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的斜率为ｋ＝１ꎬ所以弦ＡＢ的垂直平分线的方程为ｙ－０＝１ˑ(ｘ－０)ꎬ即ｙ＝ｘ.而圆心是直线ｙ＝ｘ与ｘ＋ｙ－２＝０的交点ꎬ由ｙ＝ｘꎬｘ＋ｙ－２＝０ꎬ{得ｘ＝１ꎬｙ＝１ꎬ{即圆心为(１ꎬ１)ꎬ圆的半径为(１－１)２＋[１－(－１)]２＝２.故所求圆的标准方程为(ｘ－１)２＋(ｙ－１)２＝４.点评㊀一般地ꎬ在解决有关圆的问题时ꎬ有时利用圆的几何性质作转化较为简单ꎬ充分体现了解析几何问题的代数方法和几何方法的有机结合的特点.本题还可以用待定系数法求解.㊀㊀三㊁待定系数法圆的方程中ꎬ有三个独立系数ꎬ因此必须具备三个独立条件才能确定一个圆ꎬ确定系数的方法就是待定系数法.待定系数法就是先设出圆的方程ꎬ然后根据条件求出方程中的参数.０１１.设圆的标准方程例３㊀求与ｘ轴交于Ａ(１ꎬ０)和Ｂ(５ꎬ０)两点ꎬ且半径为５的圆的方程.分析㊀可设出圆的标准方程ꎬ再把ＡꎬＢ两点的坐标代入ꎬ用待定系数法求解.解㊀设圆的标准方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.因为ＡꎬＢ在圆上ꎬ所以ＡꎬＢ坐标满足方程(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝５.把ＡꎬＢ坐标分别代入该方程再联立ꎬ得(１－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ(５－ａ)２＋(０－ｂ)２＝５ꎬ{解得ａ＝３ꎬｂ＝１ꎬ{或ａ＝３ꎬｂ＝－１.{所以所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－１)２＝５或(ｘ－３)２＋(ｙ＋１)２＝５.点评㊀如果由已知条件容易求得圆心坐标㊁半径或需要利用圆心的坐标或半径列方程问题ꎬ一般采用圆的标准方程ꎬ再用待定系数法求出ａꎬｂꎬｒ.本题还可以用几何性质法求解.２.设圆的一般方程例４㊀已知әＡＢＣ的三个顶点为Ａ(１ꎬ４)ꎬＢ(－２ꎬ３)ꎬＣ(４ꎬ－５)ꎬ求әＡＢＣ的外接圆方程.分析㊀已知三个顶点都在圆上ꎬ可采用圆的一般方程ꎬ利用待定系数法求出圆的方程.解㊀设әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０.因为ＡꎬＢꎬＣ在圆上ꎬ所以将坐标分别代入ꎬ有１＋１６＋Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ４＋９－２Ｄ＋３Ｅ＋Ｆ＝０ꎬ１６＋２５＋４Ｄ－５Ｅ＋Ｆ＝０ꎬìîíïïï解得Ｄ＝－２ꎬＥ＝２ꎬＦ＝－２３.ìîíïïï所以әＡＢＣ的外接圆方程为ｘ２＋ｙ２－２ｘ＋２ｙ－２３＝０.点评㊀如果已知条件与圆心和半径都无直接关系ꎬ通常采用圆的一般方程ꎬ再用待定系数法求出常数ＤꎬＥꎬＦꎻ本题还可以用几何性质法求解.㊀㊀四㊁利用圆的直径式方程已知一个圆的一条直径的端点是Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ则圆的方程可表示为(ｘ－ｘ１)(ｘ－ｘ２)＋(ｙ－ｙ１)(ｙ－ｙ２)＝０ꎬ此方程称为圆的直径式方程.例５㊀求过直线２ｘ＋ｙ＋４＝０和圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０的交点ꎬ且面积最小的圆的方程.分析㊀设直线和圆的交点为ＡꎬＢꎬ面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆.故可以利用圆的直径式方程求解.解㊀由２ｘ＋ｙ＋４＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０ꎬ{得交点Ａ(－１１５ꎬ２５)ꎬＢ(－３ꎬ２).因为面积最小的圆是以ＡＢ为直径的圆ꎬ所以所求的圆方程为(ｘ＋１１５)(ｘ＋３)＋(ｙ－２５)(ｙ－２)＝０ꎬ即ｘ２＋ｙ２＋２６５ｘ－１２５ｙ＋３７５＝０.点评㊀求解本题的关键是知道面积最小的圆是以直线和圆的交点为直径的圆ꎬ此题虽然还可以利用圆的性质求出圆心的坐标和半径求解ꎬ但是用圆的直径式方程求解比较简便.当然本题还可以用过直线与圆交点的圆系方程求解.㊀㊀五㊁利用圆系方程具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系ꎬ含有参数的圆的方程称为圆系方程.常用的圆系方程类型有以下几种:(１)同心圆系①以(ａꎬｂ)为圆心的同心的圆系方程为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝λ２(λ为参数ꎬλ>０)ꎻ②与圆ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０同心的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋λ＝０(λ为参数)ꎻ同心圆系图形特点是位置相同ꎬ大小不同.(２)半径相等的圆系方程为(ｘ－ｍ)２＋(ｙ－ｎ)２＝ｒ２(ｍ㊁ｎ为参数)ꎬ图形特点是大小一样ꎬ位置不同.(３)过直线与圆交点的圆系方程.设直线ｌ:Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０与圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０相交ꎬ则方程ｘ２＋ｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋λ(Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ)＝０(λ为参数)表示过直线ｌ与圆Ｃ的两个交点的圆系方程.(４)过两圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＝０和Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２＝０交点的圆系方程为ｘ２＋ｙ２＋Ｄ１ｘ＋Ｅ１ｙ＋Ｆ１＋λ(ｘ２＋ｙ２＋Ｄ２ｘ＋Ｅ２ｙ＋Ｆ２)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１ꎬ且不含圆Ｃ２)ꎬ特别提示:①由于该圆系方程不包括圆Ｃ２ꎬ因此直接应用该圆系方程必须检验Ｃ２是否满足题意ꎬ谨防漏解ꎻ②当参数λ＝－１时ꎬ该方程为过两圆交点的一条直线方程:(Ｄ１－Ｄ２)ｘ＋(Ｅ１－Ｅ２)ｙ＋(Ｆ１－Ｆ２)＝０.例６㊀有一圆与直线ｌ:４ｘ－３ｙ＋６＝０相切于点Ａ(３ꎬ６)ꎬ且圆经过点Ｂ(５ꎬ２)ꎬ求此圆的方程.分析㊀将点Ａ(３ꎬ６)视为 点圆 :(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＝０ꎬ然后利用过直线与圆交点的圆系方程求解.解㊀根据题意可设所求圆的方程为(ｘ－３)２＋(ｙ－６)２＋λ(４ｘ－３ｙ＋６)＝０ꎬ把点Ｂ(５ꎬ２)的坐标代入方程ꎬ解得λ＝－１.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１０ｘ－９ｙ＋３９＝０.点评㊀所谓 点圆 就是半径为０的圆ꎬ所以一个孤立的点Ｃ(ａꎬｂ)的图形可以看成 点圆 ꎬ即点Ｃ(ａꎬｂ)的圆的方程可表示为(ｘ－ａ)２＋(ｙ－ｂ)２＝０ꎬ在求与已知直线或已知圆相切于某一已知点的圆的问题时ꎬ把切点视为 点圆 是一个重要方法技巧.本题还可用几何性质法和待定系数法求解.１１例７㊀求以圆Ｃ１:ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０和圆Ｃ２:ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０的公共弦为直径的圆的方程.㊀分析㊀可先求公共弦所在直线的方程ꎬ再利用过两圆交点的圆系方程求解.解㊀联立两圆方程ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＝０ꎬｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５＝０ꎬ{相减得公共弦所在直线的方程为４ｘ＋３ｙ－２＝０.设所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－１２ｘ－２ｙ－１３＋λ(ｘ２＋ｙ２＋１２ｘ＋１６ｙ－２５)＝０(λ为参数ꎬλʂ－１)ꎬ由此可得圆心Ｃ(－１２λ－１２２(１＋λ)ꎬ－１６λ－２２(１＋λ)).因为圆心Ｃ在公共弦所在的直线上ꎬ所以４－(１２λ＋１２)２(１＋λ)＋３ －(１６λ＋２)２(１＋λ)－２＝０ꎬ解得λ＝１２.所以所求圆的方程为ｘ２＋ｙ２－４ｘ＋４ｙ－１７＝０.点评㊀一般地ꎬ求过两个圆交点的圆的方程利用圆系方程求解比较简捷ꎬ应学会使用此法.本题还可先求出公共弦的端点坐标ꎬ再得所求圆的方程.㊀㊀参考文献:[１]高杲.圆与方程知识点及常考题型分析[Ｊ].中学生数理化(高一版)ꎬ２０１４(１２):３－６.[责任编辑:李㊀璟]２０１９年北京卷文科第１９题的推广与变式刘才华(山东省泰安市宁阳第一中学㊀２７１４００)摘㊀要:本文给出了２０１９年北京高考文科第１９题在椭圆㊁双曲线及圆中的推广与变式.关键词:椭圆ꎻ双曲线ꎻ圆ꎻ定点ꎻ定值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)３１－００１２－０２收稿日期:２０２０－０８－０５作者简介:刘才华(１９６９.１０－)ꎬ男ꎬ山东省泰安宁阳人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀章建跃先生在«数学教育心理学»中提到:变式就是变更对象的非本质特征的表现形式ꎬ变更观察事物的角度或方法ꎬ以突出事物的本质特征ꎬ突出那些隐蔽的本质特征.这就要求教师在教学过程中ꎬ善于 借题发挥 ꎬ一题多变ꎬ 以少胜多 ꎬ引导学生从不同的角度出发ꎬ对题目本身进行相应地理解以及挖掘ꎬ这对于提升学生的逻辑推理和数学运算等核心素养有着极大的帮助.下面对２０１９年北京市文科第１９题进行推广与变式ꎬ供教学参考.试题㊀已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１的右焦点为(１ꎬ０)ꎬ且经过点Ａ(０ꎬ１).(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂ１)与椭圆Ｃ交于两个不同点ＰꎬＱꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝２ꎬ求证:直线ｌ经过定点.将试题推广到一般的椭圆ꎬ我们得到如下命题１㊀设Ｏ为原点ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｔ(ｔʂｂ)与椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)交于两个不同点ＰꎬＱꎬＡ(０ꎬｂ)为椭圆Ｃ的上顶点ꎬ直线ＡＰ与ｘ轴交于点Ｍꎬ直线ＡＱ与ｘ轴交于点Ｎ.若ＯＭ ＯＮ＝ａ２ꎬ则直线ｌ经过定点Ｏ.证明㊀设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２).由ｙ＝ｋｘ＋ｔꎬｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１{得(ａ２ｋ２＋ｂ２)ｘ２＋２ｋｔａ２ｘ＋ａ２ｔ２－ａ２ｂ２＝０ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝－２ｋｔａ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬｘ１ ｘ２＝ａ２ｔ２－ａ２ｂ２ａ２ｋ２＋ｂ２ꎬ且Δ>０.直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｙ１－ｂｘ１ｘ＋ｂꎬ令ｙ＝０得ｘＭ＝－ｂｘ１ｙ１－ｂ＝－ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂ.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ２－ｂｘ２ｘ＋ｂꎬ同理得ｘＮ＝－ｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ.则ｘＭ ｘＮ＝ｂｘ１ｋｘ１＋ｔ－ｂｂｘ２ｋｘ２＋ｔ－ｂ＝ｂ２ｘ１ｘ２(ｋｘ１＋ｔ－ｂ)(ｋｘ２＋ｔ－ｂ).２１。
圆的一般方程圆心和半径公式
圆的一般方程圆心和半径公式圆的特点：1、圆有无数条半径和无数条直径，且同圆内圆的半径长度永远相同。
2、圆是轴对称、中心对称图形。
3、对称轴是直径所在的直线。
4、是一条光滑且封闭的曲线，圆上每一点到圆心的距离都是相等，到圆心的距离为R地点都在圆上。
一：求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2、圆心在任一弦的中垂线上．3、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的一般方程是x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0)，其中圆心坐标是（-D/2,-E/2），半径【根号（D+E-4F）】/2。
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4.故有：（1）、当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；（2）、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；（3）、当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
半径公式：直径是指通过一平面或立体图形中心到边上两点间的距离，通常用字母“d”表示，连接圆周上两点并通过圆心的直线称圆直径，连接球面上两点并通过球心的直线称球直径。
而半径就是直径的一半，所以半径=直径0.5。
圆方程知识点归纳总结
圆方程知识点归纳总结1. 圆的基本概念（1）圆的定义圆是平面上到定点距离等于定长（半径）的所有点的集合。
（2）圆的元素圆的重要元素包括圆心、半径、直径、圆弧、圆周、圆心角和半心角等。
其中，圆心是指圆的中心点，通常用字母O表示；半径是指圆心到圆周上任意一点的距离，通常用字母r 表示；直径是指穿过圆心，且两端都在圆周上的线段，通常用字母d表示；圆弧是指圆周的一部分；圆周是指圆的边界；圆心角是指以圆心为顶点的角；半心角是指以圆心为顶点的角的一半。
2. 圆的方程（1）圆的标准方程圆的标准方程为：(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。
（2）圆的一般方程圆的一般方程为：x²+y²+Dx+Ey+F=0 或(x-h)²+(y-k)²=r²，其中(h,k)为圆心坐标，r为半径长度。
（3）圆的参数方程圆的参数方程为：x=a+rcosθ，y=b+rsinθ，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度，θ为参数。
3. 圆的性质（1）圆心与半径的关系任意一点到圆心的距离等于圆的半径。
（2）圆的直径圆的直径等于圆的半径的两倍。
（3）圆的周长圆的周长等于圆周的长度，公式为：C=2πr。
（4）圆的面积圆的面积等于半径的平方乘以π，公式为：S=πr²。
（5）圆心角和弧长的关系圆心角和弧长的关系为：L=rθ，其中L为弧长，r为半径，θ为圆心角（弧度制）。
4. 圆与其他图形的关系（1）圆与直线的关系直线与圆的关系主要包括相离、相切和相交三种情况。
当直线与圆相离时，直线与圆没有交点；当直线与圆相切时，直线与圆只有一个交点；当直线与圆相交时，直线与圆有两个交点。
（2）圆与多边形的关系圆与多边形的关系主要包括外切和内切两种情况。
当一个多边形的所有顶点都在圆上时，该多边形与圆相切，称为内切；当一个多边形的每一条边都与圆相切时，该多边形与圆相切，称为外切。
圆的标准方程 ：圆的直径式方程推导过程
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例题：已知两点M1 (4,9)和M 2 (6,3)， 求以M1M 2为直径的圆的方程.
因为M 1 (4,9), M 2 (6,3)，所以M 1M ( x 4, y 9), M 2 M ( x 6, y 3)；得( x 4)( x 6) ( y 9)( y 3) 0
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圆的标准方程 ：
圆的直径式方程推导过程
引例
例题：已知两点M1 (4,9)和M 2 (6,3)， 求以M1M 2为直径的圆的方程.
之前，我们学习了圆的标准方程，在知道圆的 圆心坐标和圆的半径后，我们能通过圆的标准方程 式得出该圆的方程；那么，当我们知道圆的直径上 两端点坐标时，是否可以直接得到此圆的方程呢？
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点拨
例题：已知两点M1 (4,9)和M 2 (6,3)， 求以M1M 2为直径的圆的方程.
在学习了平面向量的知识后，我们知道， 圆的直径所对的圆周角为90 ，也知道两向 量垂直，向量的数量积为0.
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分析
例题：已知两点M1 (4,9)和M 2 (6,3)， 求以M1M 2为直径的圆的方程.
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点评
通过对课本例题解法的进一 步挖掘，我们学会了用圆的直径 式方程求解此类问题，培养了同 学们探究问题的意识.
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圆的面积公式推导过程圆的面积怎么求圆的面积公式有哪些
圆的面积公式推导过程圆的面积公式有哪些圆周长（c）：圆的直径（D），那圆的周长（c）除以圆的直径（D）等于π，那利用乘法的意义，就等于π乘圆的直径（D）等于圆的周长（C），C=πd。
而同圆的直径（D）是圆的半径（r）的两倍，所以就圆的周长（c）等于2乘以π乘以圆的半径（r），C=2πr。
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。
长方形的宽就等于圆的半径（r），长方形的长就是圆周长（C）的一半。
长方形的面积是ab，那圆的面积就是：圆的半径（r）的平方乘以π，S=πr2 。
圆的面积怎么求π是固定比值，π读作pai，是圆周率的符号，数值在3.14159263.1415927之间，目前小学生用到的数值为3.14。
圆的直径一般用D来代表，当我们一直D的数字时，可以和固定数值π，组成不同的计算公式，如计算圆的周长（C），我们用公式C=πD来计算。
圆的半径用英文“r”表示，数值为直径D的一半，即½D=r，所以当已知半径时，我们可以求出直径、周长和面积的数值。
当我们已知圆的半径r时，用公式S=πr²计算，为：3.14*r²，得出的结果就是圆的面积。
当我们已知半径或直径的数值时，求圆的周长公式为π*D或π*2r，得出的结果就是圆的周长。
圆相关公式有什么周长：C=2πr （r半径）面积：S=πr²半圆周长：C=πr+2r半圆面积：S=πr²/2圆的标准方程：在平面直角坐标系中,以点O（a,b）为圆心,以r为半径的圆的标准方程是（xa）^2+（yb）^2=r^2.圆的一般方程：把圆的标准方程展开,移项,合并同类项后,可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0.和标准方程对比,其实D=2a,E=2b,F=a^2+b^2.圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点,则PO是点到圆心的距离）,P在⊙O外,PO＞r；P在⊙O上,PO＝r；P在⊙O内,PO＜r.直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做切点.以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P,则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离,PO＞r；AB与⊙O相切,PO＝r；AB与⊙O相交,PO＜r.两圆之间有5种位置关系：无公共点的,一圆在另一圆之外叫外离,在之内叫内含；有唯一公共点的,一圆在另一圆之外叫外切,在之内叫内切；有两个公共点的叫相交.两圆圆心之间的距离叫做圆心距.两圆的半径分别为R和r,且R≥r,圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交Rr＜P＜R+r；内切P=Rr；内含P＜Rr.。
圆的直径端点式方程
即
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图 ２
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《 理 天地 》 中版 数 高
数 学 基 础 精 讲
２１ ０ １年第 １ 期 １
圆 圈宜 囡 岛 囤
计 惠方 徐方 英 （ 浙江省杭州师范大学附属中学湖州第五高级中学 ３３０） １００ １ 圆的直 径 端点 式方 程 ． 人教 版数 学必 修 ⅡＰ 习题 ４ １ ５ ： ． 第 题
取 值．
＋
一
０ 立 即 可 得 ，
解 （ ）略 ． １
（ ）设 Ａ（ １ Ｙ ） Ｂ（ ， ２ ． ２ ｚ ， １ ， ２ Ｙ ）
ｒ ．ｍ ２
（ — ｚ１ （ — ｚ ）＋ （ — Ｙ ） — Ｙ ）一 ０ ）ｚ ２ １（ ２ ．
２ 推 广 ．
当点 Ｍ 位置 变化 时 ， 图 １ 记 以 Ａ 为 直 如 ， Ｂ
一
由性 质 （ ） 得 ａ… 一 ａ ＝ａ ３， ２ １＝ ． ＝ 注 此类 问题 也 可 采 用 不 动 点 法 求 解 ， 有 兴 趣 的 同学不 妨一 试 ．
例 ５ 设 数 列 ｛ ａ ）中 ， １ ａ ａ 一 一 １ａ — ２ ，３ ，
ｆ 一ｎ ｌ ｎ ， ３４５… ， ＝ ， ， ， 则称 ｛ 为“ 对 ａ｝ 绝
Ｄ
．
由性 质 （ ） 得 ３，
Ｓｌ 。 ｏ一 ２ Ｓ ５ ４— ２ ５× （ １＋ １ ２＋ ４ ＋ ）一 ２ ０ ０．
最小二乘法测量圆直径
在数学上,最小二乘法是指用一个变量(x)去替代原点所在的正方形中两个元素之一。
如果所要测量的量度为"长×宽",那么使用这个方法就可以得到相关的结果了。
1：最小二乘法的定义最小二乘法是一种常用的估计方程方法，通常用于计算变量之间的相关系数。
它可以用来对一个二元函数进行线性回归分析、估计方程以及计算方程之间的误差等。
最小二乘法主要有两个步骤：1. 将测量数据分配到0和m个不同的区间上；2. 使用适当的迭代算法来重新调整所有测量数据，使得其达到最优。
在最小二乘法中，所有测试值都被认为相等于两个独立的点之间的距离，因此可以通过比较这两点来确定参数或方程的取值范围。
2：圆直径测量原理圆直径测量原理是将一个标准的圆形放在水平面上，然后使用一根绳子绕着这个圆形旋转，并通过绳索和地面之间的接触来测算绳索与地面之间距离。
如果绳子刚好能够穿过那个圆形的中心线孔洞，那么这根绳子就是中心线孔洞到平面的直线长度。
根据这个原理，我们可以利用计算机模拟来得出准确度更高的圆直径计算公式。
首先，确定所需要测量的圆的直径。
其次，在绳子上缠绕一颗小钢珠或者其他材料，形成一条足够长并且不会影响测量精度的曲线。
最后，让绳子按照我们想要测量的轨迹旋转，从而实现对圆的定位。
3: 常用方法及工具常用方法及工具包括：1、几何法。
使用直线或曲线的斜率来表示圆直径，通常称这些公式为“Moment’s Rule”。
这种方法可以适用于任何类型的圆，也可用于测量非圆截面图形的直径。
2、最小二乘法。
在已知未知数据(例如圆形半径和内角距)时，利用已知数据拟合得到一个常数度系数，将该系数与所需长度联系起来，从而达到计算圆周长的目的。
3、外推算法。
这是一种通过解析式来求出圆周长的方法。
它首先假设圆是平面图中的一点圆弧，然后根据弧长计算并拟合出其方程，最后得出计算结果。
4、微分法。
这种方法主要用于解决几何问题。
它首先假定圆心到边缘之间距离是一条直线，然后运用泰勒展开定理进行微分计算。
以mn为直径的圆的方程公式
以mn为直径的圆的方程公式1. 圆的基础知识圆是平面几何中的基本图形之一，由于其具有对称性和美感，被广泛应用于建筑、工程、装饰、艺术等领域。
在圆的研究中，最基本的是圆的定义和公式。
圆的定义为“平面上所有到定点距离相等的点构成的图形为圆”，记为O(r)，其中O为圆心，r为半径。
而圆的公式则包括圆的周长和面积公式。
圆的周长公式为C=2πr，其中π≈3.14159，是一个无理数，r为圆的半径。
圆的面积公式为S=πr²，其中r为圆的半径，π为常数。
由于圆的基本属性，其计算掌握是很重要的，而以mn为直径的圆的方程公式也是圆的基本内容之一。
2. “以mn为直径的圆”的定义以mn为直径的圆指的是：以mn段为圆的直径所得到的圆。
可以理解为在平面直角坐标系上，将坐标轴上的两点m、n所连线段mn的中点作圆心，长度为mn的一半作半径所得到的圆。
其示意图如下：picture3. “以mn为直径的圆”的方程公式在平面直角坐标系上，以点m、n的坐标为起点，则mn的中点坐标为：((m+n)/2, 0)。
以此为圆心，长度为mn的一半为半径，可以得到以mn为直径的圆的方程公式为：(x-(m+n)/2)²+y²=(mn/2)²。
其中，x、y分别为圆上任一点的横坐标和纵坐标，m、n为圆的直径两端点的横坐标，mn为圆的直径长度。
4. “以mn为直径的圆”的应用“以mn为直径的圆”的应用很广泛，其中包括以下几个方面：4.1. 几何应用“以mn为直径的圆”是两个相交的直线的外接圆。
在几何学中，这种相交的直线又称为割线。
通过“以mn为直径的圆”的定理，可以推导出一系列关于相交的两条直线和圆、圆与割线的基本性质和定理，例如“相交直线上的角互补”、“切线与半径垂直”等。
4.2. 工程应用在建筑、机械等工程领域，圆形的平衡性和韧性被广泛应用。
在设计过程中，可以通过以mn为直径的圆来确定某些构件的最佳直径、间隔、位置等参数。
以ab为直径的圆的方程公式
以ab为直径的圆的方程公式一、引言圆是平面几何中的重要概念之一，它由与圆心等距离的所有点组成。
本文将探讨以ab为直径的圆的方程公式，即以线段ab为直径的圆的数学表达式。
二、圆的基本概念在开始讨论以ab为直径的圆的方程公式之前，我们先来回顾一下圆的基本概念。
圆是由一个固定点（圆心）和与该点等距离的所有点组成的集合。
圆的直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段。
圆的半径是连接圆心和圆上任意一点的线段。
圆的直径等于其半径的两倍。
三、以ab为直径的圆的方程公式以ab为直径的圆的方程公式可以通过圆的性质得出。
根据圆的定义，圆上的任意一点到圆心的距离等于半径的长度。
而以ab为直径的圆的半径等于ab的长度的一半。
因此，圆上的任意一点到ab 的中点的距离等于半径的长度的一半。
令圆心为O，ab的中点为M，半径的长度为r，则OM的长度等于r。
根据勾股定理，我们可以知道线段OM的长度平方等于线段OA 的长度平方减去线段AM的长度平方。
即OM^2 = OA^2 - AM^2。
由于OM = r，OA = r + AM，我们可以得到以下方程：r^2 = (r + AM)^2 - AM^2化简上述方程，我们可以得到：r^2 = r^2 + 2r·AM + AM^2 - AM^2消去AM^2，我们可以得到：r^2 = r^2 + 2r·AM化简上述方程，我们可以得到：0 = 2r·AM由于半径的长度r不为0，所以上述方程可以变形为：AM = 0由此可知，以ab为直径的圆上的任意一点到ab的中点的距离等于0。
以ab为直径的圆的方程公式为AM = 0，其中A和B是ab的两个端点，M是ab的中点。
四、结论本文讨论了以ab为直径的圆的方程公式。
通过推导和分析，我们得出了该圆的方程为AM = 0，其中A和B是ab的两个端点，M是ab的中点。
这个方程表达了以ab为直径的圆上的任意一点到ab的中点的距离等于0的性质。
以两点为直径的圆的方程推导
以两点为直径的圆的方程推导
以两点为直径的圆的方程推导可以从圆的一般方程出发，即(x -h)²+ (y - k)²= r²，其中(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
假设我们有两个点A(x1, y1) 和B(x2, y2)，它们是圆的直径的两端点。
圆心C 位于直径的中点，因此圆心的坐标可以通过以下方式计算：
h = (x1 + x2) / 2
k = (y1 + y2) / 2
这样我们就得到了圆心的坐标(h, k)。
接下来，我们需要计算圆的半径r。
由于 A 和 B 是直径的两端点，半径是直径长度的一半。
因此，我们可以用距离公式来计算AB 的长度，然后除以2：
r = AB / 2
距离AB 可以表示为：
AB = √[(x2 - x1)²+ (y2 - y1)²]
将r 的表达式代入圆的一般方程中，我们得到以两点为直径的圆的方程：
(x - (x1 + x2) / 2)²+ (y - (y1 + y2) / 2)²= [√[(x2 - x1)²+ (y2 - y1)²]]²/ 4
这就是以两点为直径的圆的方程。
公共弦为直径的圆的方程
公共弦为直径的圆的方程
在解析几何中,如果一条直线与一个圆相交于两点,那么这条直线就被称为这个圆的一条弦。
如果这条直线过圆心,那么它就是圆的一条直径。
设圆的圆心坐标为(a,b),半径为r,过圆心的直线方程为y=mx+c,其中m为直线的斜率,c为直线的截距。
由于直线过圆心,因此可以将圆心坐标(a,b)代入直线方程,得到:
b = ma + c
解出c:
c = b - ma
将c代入直线方程,得到:
y = mx + b - ma
移项整理后,得到:
y - b = m(x - a)
两边平方,得到:
(y - b)^2 = m^2(x - a)^2
由于直线是圆的直径,因此m^2 = 1/r^2,代入上式得到: (y - b)^2 = (x - a)^2/r^2
进一步整理,得到:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
这就是以(a,b)为圆心,r为半径的圆的标准方程。
公共弦为直径的圆的方程为:
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
其中(a,b)为圆心坐标,r为圆的半径。
以两点连线为直径的圆的方程
以两点连线为直径的圆的方程在数学中，圆是一个几何形状，由平面上距离一个固定点的所有点组成，这个固定点称为圆心，距离称为半径。
而以两点连线为直径的圆是指以连接这两个点的线段为直径的圆。
我们先来看看圆的方程是如何推导出来的。
设圆的圆心坐标为(a, b)，半径为 r。
那么，圆上的任意一点 (x, y) 到圆心的距离等于半径r。
根据勾股定理，可以得到以下方程：(x - a)² + (y - b)² = r²这就是圆的方程。
根据这个方程，我们可以求解圆上的各个点的坐标。
现在，我们来看看以两点连线为直径的圆的方程。
假设两点的坐标分别为(x₁, y₁) 和(x₂, y₂)。
根据圆的定义，以两点连线为直径的圆的圆心坐标为两点连线中点的坐标。
根据中点公式，可以得到圆心坐标为：a = (x₁ + x₂) / 2b = (y₁ + y₂) / 2而圆的半径等于两点之间的距离的一半。
根据距离公式，可以得到半径为：r = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) / 2将圆心坐标和半径代入圆的方程中，即可得到以两点连线为直径的圆的方程：(x - (x₁ + x₂) / 2)² + (y - (y₁ + y₂) / 2)² = ((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²) / 4这就是以两点连线为直径的圆的方程。
通过这个方程，我们可以很方便地求解以两点连线为直径的圆的各个点的坐标。
只需要将具体的两点坐标代入方程中，并进行简单的计算，就可以得到圆上的各个点的坐标。
以两点连线为直径的圆在几何学中有着重要的应用。
例如，在三角形中，三条边的垂直平分线的交点就是以三个顶点为直径的圆的圆心。
这个圆称为三角形的外接圆，它有着许多重要的性质和应用。
以两点连线为直径的圆还可以用来构造一些几何图形。
例如，通过将一个正方形的对角线作为直径，可以得到一个内切于正方形的圆。
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圆的直径式方程
若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为
()()()()12120x x x x y y y y --+--=
事实上，若设(),M x y 是圆上异于直径端点A B 、的点， 由 12
12
1y y y y x x x x --⋅=--- 得，
()()()()12120x x x x y y y y --+--= 显然A B 、也满足上式，所以，以AB 为直径的圆的方程为
()()()()12120x x x x y y y y --+--=
(1.1)
对于式(1.1)可分解变形为
()()22121212120x x x x x x y y y y y y -+++-++=
(1.2) 而式(1.2)可以看作是两式 ()212120x x x x x x -++= (1.3)
()212120y y y y y y -++=
(1.4)
迭加而成，且每一式中的一次项系数和常数项明确显露出韦达定理特征，据此着眼，对于某些直线与曲线相交问题，可将直线方程代入曲线方程分别得出关于x 及y 的一元二次方程，然后两式迭加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程.
下面取曲线为圆2
2
2
x y r +=，去直线为()0y kx b k =+≠为例，设直线()
0y kx b k =+≠与圆2
2
2
x y r +=有两个交点()()1122,,,A x y B x y ，将y kx b =+代入2
2
2
x y r +=，消去y
得， ()2
2
22120k x
bkx b r +++-=
(1.5)
将y b x k
-=代入222
x y r +=，消去x ，得，
()2
2
222120k y
by b r k +-+-=
(1.6)
由韦达定理得，
22
12122
2
222
1212
22
2,112,11bk b r x x x x k k b b r k
y y y y k k -+=-=++-+==++ 所以以AB 为直径的圆的方程为 222222
2
2222
2201111bk b r b b r k x x y y k k k k
--+++-+=++++ (1.7)。