圆的直径式方程

圆的直径式方程

若圆的直径端点()()1122,,,A x y B x y ，则圆的方程为

()()()()12120x x x x y y y y --+--=

事实上，若设(),M x y 是圆上异于直径端点A B 、的点， 由 12

12

1y y y y x x x x --⋅=--- 得，

()()()()12120x x x x y y y y --+--= 显然A B 、也满足上式，所以，以AB 为直径的圆的方程为

()()()()12120x x x x y y y y --+--=

(1.1)

对于式(1.1)可分解变形为

()()22121212120x x x x x x y y y y y y -+++-++=

(1.2) 而式(1.2)可以看作是两式 ()212120x x x x x x -++= (1.3)

()212120y y y y y y -++=

(1.4)

迭加而成，且每一式中的一次项系数和常数项明确显露出韦达定理特征，据此着眼，对于某些直线与曲线相交问题，可将直线方程代入曲线方程分别得出关于x 及y 的一元二次方程，然后两式迭加即得以直线被曲线所截弦长为直径的圆的方程.

下面取曲线为圆2

2

2

x y r +=，去直线为()0y kx b k =+≠为例，设直线()

0y kx b k =+≠与圆2

2

2

x y r +=有两个交点()()1122,,,A x y B x y ，将y kx b =+代入2

2

2

x y r +=，消去y

得， ()2

2

22120k x

bkx b r +++-=

(1.5)

将y b x k

-=代入222

x y r +=，消去x ，得，

()2

2

222120k y

by b r k +-+-=

(1.6)

由韦达定理得，

22

12122

2

222

1212

22

2,112,11bk b r x x x x k k b b r k

y y y y k k -+=-=++-+==++ 所以以AB 为直径的圆的方程为 222222

2

2222

2201111bk b r b b r k x x y y k k k k

--+++-+=++++ (1.7)