最新人教版高中数学选修2-2第一章变化率与导数1
人教新课标版数学高二选修2-2讲义 1.1.1变化率问题 导数的概念
1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1所示．图1-1-1【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx 2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程度．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，ΔsΔt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0_________.【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2. 【答案】 2[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：62952001】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．[再练一题]1．函数y ＝x 2＋1在[1,1＋Δx ]上的平均变化率是( ) A ．2 B ．2x C ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋Δx 2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx2Δx ＝2＋Δx ，故选C. 【答案】 C求瞬时速度(1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是_____． 【精彩点拨】 先求出Δs Δt ，再求lim Δt →0Δs Δt .【自主解答】 (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g Δt 2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：62952002】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．【解】(1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝lim Δt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬＝limΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝limΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数探究1试求质点在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．【提示】ΔsΔt＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt.探究2当Δt趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】当Δt趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx ＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝2.1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7C．14 D．13【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.【答案】 B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s【解析】∵ΔsΔt＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】 C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．(g＝10 m/s2)【解析】Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．【解】(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.。
人教版高中选修2-2数学1.1变化率与导数教案(4)
§1.1.2 导数的概念教学目标：1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;3.会求函数在某点的导数.教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念.教学难点：导数的概念.教学过程：一、创设情景(一)平均变化率(二)探究探究: 计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度,(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程: 如图是函数105.69.4)(2++-=t t t h 的图像,结合图形可知,)0(4965(h h =, 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--= 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s , 但实际情况是运动员仍然运动,并非静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.二、新课讲授1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度,那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,2t =时的瞬时速度是多少？考察2t =附近的情况:思考: 当t ∆趋近于0时,平均速度v 有什么样的变化趋势？结论: 当t ∆趋近于0时,即无论t 从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-.从物理的角度看,时间t ∆间隔无限变小时,平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s -为了表述方便,我们用0(2)(2)lim13.1t h t h t∆→+∆-=-∆ 表示“当2t =,t ∆趋近于0时,平均速度v 趋近于定值13.1-” 小结: 局部以匀速代替变速,以平均速度代替瞬时速度,然后通过取极限,从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值.2.导数的概念从函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是:0000()()limlim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆ 我们称它为函数()y f x =在0x x =出的导数,记作'0()f x 或0'|x x y = 即0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆ 说明: (1)导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率;(2)0x x x ∆=-,当0x ∆→时,0x x →,所以0000()()()limx f x f x f x x x ∆→-'=-. 三、典例分析例1 (1)求函数23x y =在1=x 处的导数. (2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析: 先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y ∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim . 解: (1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=-- (2)x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆ 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第xh 时,原油的温度(单位:C )为2()715(08)f x x x x =-+≤≤,计算第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.解: 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f 根据导数定义0(2)()f x f x f x x+∆-∆=∆∆ 22(2)7(2)15(27215)3x x x x+∆-+∆+--⨯+==∆-∆ 所以00(2)lim lim (3)3x x f f x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '= 在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5,说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.注: 一般地,'0()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.四、课堂练习1.质点运动规律为32+=t s ,求质点在3t =的瞬时速度为.2.求曲线3)(x x f y ==在1x =时的导数.3.例2中,计算第3h 时和第5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.五、回顾总结1.瞬时速度、瞬时变化率的概念.2.导数的概念.六、布置作业 p10。
人教版高中数学选修2-2全套课件
(2)根据导数的定义
f′(x0)＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝ lim Δx→0
2x0＋Δx2＋4x0＋Δx－2x20＋4x0 Δx
＝ lim Δx→0
4x0·Δx＋2Δx2＋4Δx Δx
＝ lim Δx→0
(4x0＋2Δx＋4)
＝4x0＋4，
∴f′(x0)＝4x0＋4＝12，解得 x0＝2.
(1)函数f(x)在x1处有定义． (2)Δx是变量x2在x1处的改变量，且x2是x1附近的任意一点， 即Δx＝x2－x1≠0，但Δx可以为正，也可以为负． (3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1， 则Δy＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
解析： (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) ＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝2Δx(2x0＋Δx)， ∴ΔΔyx＝2Δx2Δx0x＋Δx＝4x0＋2Δx. (2)由(1)可知：ΔΔxy＝4x0＋2Δx，当 x0＝2，Δx＝0.01 时， ΔΔyx＝4×2＋2×0.01＝8.02.
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
1.求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时
变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步
已知f(x)＝x2＋3.
(1)求f(x)在x＝1处的导数；
(2)求f(x)在x＝a处的导数．
[思路点拨]
确定函数 的增量
高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
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1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
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【课标要求】
1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率
的过程，了解导数概念的实际背景． 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数． 【核心扫描】
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误区警示 忽略导数定义中 Δx 与 Δy 的对应关系 【示例】 设函数 y＝f(x)在 x＝x0 处可导， fx0－3Δx－fx0 且 lim ＝1, 则 (x0)等于( Δ x Δx→0 A．1 1 C．－3 [错解] B．－1 1 D.3 fx0－3Δx－fx0 lim ＝ Δ x Δx→0
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Δy fx2－fx1 fx1＋Δx－fx1 (3)在公式 ＝ ＝ 中，当 x1 取定值，Δx Δx Δx x2－x1 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 Δy 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则 ＝0. Δx
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题型二 物体运动的瞬时速度 【例 2】 一质点按规律 s(t)＝at2＋1 作直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若该质点在 t＝2 s 时的瞬时速度为 8 m/s，求 常数 a 的值． Δs [思路探索] 求物体的瞬时速度，应先求出平均速度 Δt ，再取 极限．
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高中数学人教A版选修2-2(同步课件)：1.1 变化率与导数1.1.1-1.1.2
(3)若设x2＝x1＋Δx.分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 A.1 C.2
(1)如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的 B.－1 D.－2
平均变化率等于( B )
解析
Δy f3－f1 由图知， 函数 y＝f(x)在 A， B 两点间的平均变化率为 ＝ Δx 3－1
Δy fx2－fx1 则平均变化率 Δx＝ 表示割线P1P2的 斜率 . x2－x1
答案
知识点二 瞬时速度
思考1
Hale Waihona Puke 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t2.试求物体在[1,1＋Δt]这段
时间内的平均速度.
Δs 答 Δs＝5(1＋Δt) －5＝10Δt＋5(Δt) ， v ＝ ＝10＋5Δt. Δt
答案
函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率
Δy fx2－fx1 (1)定义式：Δx＝ . x2－x1
(2)实质： 函数值 的增量与 自变量 增量之比. (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢. (4)几何意义：已知 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，
2 2
思考2
当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于几？怎样理解这一
速度？
答
Δs 当Δt趋近于0时， 趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度. Δt
答案
瞬时速度
(1)物体在 某一时刻 的速度称为瞬时速度.
(2)一般地，设物体的运动规律是 s＝s(t)，则物体在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内 Δs st0＋Δt－st0 Δs 的平均速度为 Δt ＝ . 如果 Δ t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 Δt Δt Δs 极限 是 v，这时 v 就是物体 某个常数 v，我们就说当 Δt 趋近于 0 时，Δt 的_____ st0＋Δt－st0 Δs 在时刻 t＝t0 时的瞬时速度，即瞬时速度 v＝ lim ＝ lim . Δt Δx→0 Δt Δx→0
人教版高中数学选修2-2第1讲：变化率与导数(学生版)
D． f ′（x0) ＝b
5．若 f ( x) ＝ x3， f ′（x0) ＝ 3，则 x0 的值是 (
)
A． 1
B．－ 1
C．± 1 二、填空题 6．汽车行驶的路程
D． 3 3 s 和时间 t 之间的函数图象如图
1－ 1－3 所示． 在时间段 [ t 0，t 1] ，[ t 1，t 2 ] ，
[ t 2， t 3] 上的平均速度分别为 v 1， v 2， v 3，其三者的大小关系是 ________．
置的直线 PT 称为曲线在点 P 处的切线 .
问题：⑴割线 PPn 的斜率 k n 与切线 PT 的斜率 k 有什么关系？
⑵切线 PT 的斜率 kห้องสมุดไป่ตู้为多少？
容易知道，割线 PPn 的斜率是 kn
f ( xn ) f ( x0 ) ,当点 Pn沿着曲线无限接近点 xn x0
P 时， k n 无限趋近
于切线 PT 的斜率 k ，即 k
:
①求出 P 点的坐标 ;
②求出函数在点 x0 处的变化率 f (x0)
lim f ( x0 x0
x) f ( x0 ) k ，得到曲线在点 ( x0 , f (x0)) 的 x
4
切线的斜率； ③利用点斜式求切线方程 .
类型一：求函数的平均变化率
例 1、求 y 2 x2 1 在 x0 到 x0
值.
4x 3 平行，求切点坐标与切线方
程
【变式 2】曲线 y x3 在点（ 1 ， 1）处的切线与 x 轴、直线 x 2 所围成的三角形的面积为
________.
【变式 3】曲线 y e2 x cos3 x 在（ 0， 1）处的切线与 l 的距离为 5 ，求 l 的方程 .
人教版高中数学选修2-2《1.1变化率与导数》
吹气球的理想化数学模型
▪随着气球体积的增大，当气球体积增加量相同时， 相应半径的增加量越来越小。
能用数量关系来定量解释这个现象吗？
增量比
你能用数量关系来定量解释这个现象吗？
看图说话
▪随着气球体积的增大，当气球 体积增加量相同时，相应半径 的增加量越来越小。
现实背景：高台跳水问题 问题3：
（1）请你计算，在 0 t 0.5 这段时间内运动员的平均速度； （2）请你计算，在 1 t 2 这段时间内运动员的平均速度.
实际上，导数可以描述任何事物的变化率， 如效率、国内生产总值GDP的增长率，等等.
导数是微积分的核心概念之一
➢微积分是数学中的一门中心学科，是从数学的角度研究变 化，在涉及变化的地方，我们总会发现微积分。
➢历史上有两个伟大的人物牛顿和莱布尼茨对微积分的发展 作出了杰出的贡献。
➢牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧 重于几何学来考虑。
➢牛顿建立了无穷小概念，从而奠定了微积分的基础。
课后作业
➢阅读教材第6页例1 ➢完成教材第10页习题1.1第3题 ➢阅读教材第61页“走进微积分”
➢有兴趣的同学课后可上网查阅有关微积分创建的故事，了 解微积分创建的意义和伟大功绩。
谢谢
Hale Waihona Puke 恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，把笛卡尔 的坐标系、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分 共同称为十七世纪的三大数学发明.
走进数学史 了解“微积分”
变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见. 函数是描述运动变化规律的重要工具. 如何定量刻画千变万化
的变化现象，是数学研究的重要课题. 17世纪创立的微积分就 源于研究运动物体的变化规律，它是数学发展中的里程碑 .
高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数
f ( x0 x ) f ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
称它为函数y f ( x )在x x0处的导数. ' ' 记作f ( x ( x0 ) y lim lim f ( x0 ) x 0 x x 0 x
2 1
0.62>0.16
所以气球半径增加得越来越慢
P3 思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀
率是多少?
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢
• 问题2 高台跳水 • 运动员相对于水面的高度h(单位：米)
瞬时速度
当t 2，t 0时，平均速度v就趋近 于t 2时刻的瞬时速度.表示为：
为方便表示，我们用：
h(2 t ) h(2) lim 13.1, t t 0 表示t 2时刻的瞬时速度.
在t0时刻的瞬时速度呢？
当t t 0时，t趋近于0时，平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为：
函数
微积分（牛顿，莱布尼兹）
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函
数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。
•
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（小）值等 问题最一般、最有效的工具。
h(t0 t ) h(t0 ) lim t t 0
气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示？
r (V0 V ) r (V0 ) r lim lim V 0 V V 0 V
高中数学新课标选修2-2《1.1.1变化率与导数》课件
ΔΔyx不存在，则函数 y＝f(x)在 x＝x0 处不可导．
(2)位移函数在某一时刻的瞬时变化率(导数)叫瞬时速度，即 v＝
lim
Δt→0
Δt0＋ΔΔtt－st0.
(3)f′(x0)＝ xl→imx0 fxx－－fx0x0与定义中的 f′(x0)意义本质相同．
• 题型一 求平均变化率 • 【例1】 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0
(3)在公式ΔΔyx＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特别地，当函 数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
2．对瞬时速度的理解 (1)瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率． (2)在平均变化率ΔΔst中，Δt 趋近于 0 是指时间间隔 Δt 越来越短， 能越过任意小的时间间隔，但始终不能为 0. (3)Δt，Δs 在变化中都趋近于 0，其比值ΔΔst趋近于一个确定的常 数，这时此常数才称为 t0 时刻的瞬时速度．
第一章 导数及其应用
1．1 变化率与导数
1．1.1 变化率问题 1．1.2 导数的概念
• 【课标要求】 • 1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化
率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的 实际背景．
• 2．会求函数在某一点附近的平均变化率． • 3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数
．
• 【核心扫描】 • 1．求函数的平均变化率．(重点) • 2．求瞬时速度．(重点) • 3．利用导数的定义求函数在某点处的导数．(
名师点睛 1．关于平均变化率的理解
关于函数的平均变化率，应注意以下几点： (1)Δx 是自变量 x2 相对于 x1 处的改变量，且 x2 是 x1 附近的任意 一点，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可以为正，也可以为负． (2)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)；若 Δx＝x1－x2，则 Δy＝f(x1)－f(x2)．
高中数学选修2-2第一章第一节《变化率与导数》全套教案
变化率与导数课时分配:第一课变化率1个课时第二课导数的概念1个课时第三课导数的几何意义1个课时1. 1.1 变化率【教学目标】1. 理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；2.通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义；3.体会数形结合的思想方法；4.让学生掌握从具体到抽象，特殊到一般的思维方法；领悟极限思想和函数思想；提高类比归纳、抽象概括、联系与转化的思维能力．【教学重点】理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义【教学难点】通过具体实例，归纳、抽象出平均变化率和瞬时变化率的定义【学前准备】：多媒体，预习例题【教材分析】：平均变化率是导数概念建立的核心，教材通过研究学生熟悉的“气球膨胀率”、“高台跳水”这两个生活实例，归纳出它们的共同特征，总结出一般函数平均变化率概念，使学生理解平均变化率刻画了函数在某一区间上的变化情况，并掌握平均变化率解法的一般步骤。
从知识形成的先后顺序来看，平均变化率是本章内容学习的核心概念，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。
在概念的形成过程中，将进一步渗透从特殊到一般的化归思想，数形结合思想。
4. 说一说求函数“平均变化率”的步骤是什么？5. 这个式子还表示什么?由此你认为平均变化率的几何意义是什么? 讨论得出：210k k <<陡 峭 程 度 （越大） （越小）yAB O1k 2k 12||||k k <（1）、我们研究的是随着体积V 的变化，半径R 变化的快慢，引入函数解析式（2）、观察图象，你发现了什么？（教师操作，Excel 演示）3、当空气容量从V 1增到加V 2时，气球的平均膨胀率是多少？讨论得出： 观察图象，计算运动员在 0≤t≤这段时间内的平均速度，思考：(1). 运动员在这段时间内是静止的吗？(2). 你认为用平速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ (3). 如果教练想知道运动员在1秒时的瞬时速度, 你有何建议334()Vr V π=1212)()(r v v v r v --导数的概念【教学目标】（一）知识与技能理解导数的形成过程，掌握函数在某点处的导数的概念.（二）过程与方法通过观看国家运功员跳水视频，引出瞬时速度，进而结合瞬时变化率及极限的思想得出导数的概念.（三）情感、态度与价值观学生通过观看运动员跳水视频，理解瞬时速度及瞬时变化率，从而过渡到导数，培养了学生自主观察、发现新知的能力【教学重点难点】重点：导数的概念难点：导数的概念形成过程【学前准备】：多媒体，预习例题导数的几何意义【教学目标】1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题【教学重点】曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义【教学难点】导数的几何意义图3.1-2我们发现，当点沿着曲线无限接近点P 即Δx →0时，割线趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。
高中数学人教A版选修2-2课件1-1-1变化率问题2
[解析] ∵fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2
＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx.
∴函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为
6x0＋3Δx.
当x0＝1，Δx＝
1 2
时，函数在[1,1.5]上的平均变化率为k1＝
6×1＋3×0.5＝7.5；
A．6＋Δt
B．6＋Δt＋Δ9t
C．3＋Δt
D．9＋Δt
[答案] A [解析] 平均速度 v ＝s33＋＋ΔΔtt－－s33
＝3＋Δt2＋Δt3－32－3＝6Δt＋ΔtΔt2＝6＋Δt.
故应选A.
• 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1， xB＝，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为( )
f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率．习惯上用 Δx 表示 x2－x1，用
__x_1_＋__Δ_x_代替 x2；类似地，__Δ_y_＝__f(_x_2_)－___f(_x_1)_，于是平均变化率
可以表示为ΔΔyx.
牛刀小试
1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3＋Δt的平均速度
为( )
跟踪练习
求函数 y＝x3 从 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当 x0＝1， Δx＝12时平均变化率的值．
[分析] 本题可直接利用平均变化率的定义求解．先求出表达 式，再直接代入数据可以求得相应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从x0变化到x0＋Δx时，函数的平均变化 率为ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x30＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2
跟踪练习
• 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，设函数y＝f(x)从－1到1的 平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小 关系为( )
人教版数学选修22第一章变化率问题与导数概念
跟踪训练
2.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
√
跟踪训练
跟踪训练
4.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
微积分
为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数。随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑微积分的创立与处理四类科学问题直接相关已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知加速度作为时间的函数，求速度与路程求曲线的切线求函数的最大值与最小值求长度、面积、体积和重心等17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分
（2）试求物体的初速度.
（2） 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∴函数s(t)在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
跟踪训练
跟踪训练
结束语
谢谢观看，祝大家学习愉快！
同学们加油！
1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
学习目标
如右图所示，向高为10cm的容器等速注水，10秒钟注满，若水深h是关于注水时间t 的函数，则下面两个图象哪一个可以表示上述函数？
斜率公式
变化率
变化率问题
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越快还是越来越慢？
函数值
自变量
斜率
函数的平均变化率
函数的平均变化率
平均速度与瞬时速度
高中数学选修2-2(人教A版)第一章导数及其应用1.1知识点总结含同步练习及答案
导数的几何意义当点趋近于点时，割线
趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P n P (,f ()) x 0x 0 P P n P P
)．
．
．
．
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解析：图像中每点的斜率均表示这一时刻的速度．
答案：解析：4. 如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 时刻五角星露出水面部分的图形面积为
，则导函数 的图象大致为
．
A ．
B ．
C
．D ．
A
导函数 为单位时间内五角星出水的面积率，由图可知当一个角出来时，面积率由 开始，逐渐增多，当一个角
都出完了，则面积率一下由最大开始减小，当出最后两个角时，面积率会先增加，然后减小到 ．
t S (t )(S (0)=0)y =(t )S ′()y =(t )S ′0。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《变化率与导数》教材梳理
庖丁巧解牛知识·巧学一、变化率问题一般地,已知函数y=f(x),x 0,x 1是定义域内不同的两点,记Δx=x 1-x 0,Δy=y 1-y 0=f(x 1)-f(x 0)=f(x 0+Δx)-f(x 0),则当Δx≠0时,商xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+)()(00称作函数y=f(x)在区间［x 0,x 0+Δx ］(或［x 0+Δx,x 0］)上的平均变化率.要点提示 ①在上式中,Δx,Δy 的值可正、可负,但Δx≠0,Δy 可以为零.若函数f(x)为常函数,则Δy=0.②在上式中,当x 0取定值时,Δx 取不同的数值,函数的平均变化率不同;当Δx 取定值,x 0取不同的数值时,函数的平均变化率也不一样. 二、导数的概念 1.平均速度一般地,物体在做直线运动时,它的运动规律可以用函数s=s(t)描述,这个式子叫做物体的运动方程(也叫位移公式).如果一个运动物体在时刻t 0时位于s(t 0),在时刻t 0+Δt(Δt 称为时间增量)时位于s(t 0+Δt),相应地,从t 0到t 0+Δt 这段时间内,物体的位移(即位移增量)是Δs=s(t 0+Δt)-s(t 0),那么位移增量Δs 与时间增量Δt 的比,就是这段时间内物体的平均速度v ,tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00. 联想发散 在高中物理中学习直线运动时,大家知道,若物体做匀速直线运动,则比值ts∆∆是恒定的;在非匀速直线运动中,比值ts∆∆不是恒定不变的. 2.瞬时速度当物体在做非匀速直线运动时,比值t s ∆∆不是恒定不变的,Δt 越小,这个平均速度v =ts ∆∆就越接近时刻t 的速度.因此,我们把物体在时刻t 0到t 0+Δt 这段时间内,Δt→0时的平均速度t s ∆∆的极限叫做物体在时刻t 0的瞬时速度,即v=tt s t t s t st t ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 0000.误区警示 ①Δt 趋近于0,是指时间间隔Δt 越来越短,能越过任意小的时间间隔,但始终不能为零.②Δt,Δs 在变化过程中都趋近于0,但它们的比值都趋近于一个确定常数. 知识拓展 求瞬时速度的步骤: ①设非匀速直线运动的规律s=s(t);②时间改变量Δt,位置改变量Δs=s(t 0+Δt)-s(t 0); ③平均速度v=ts ∆∆; ④瞬时速度:当Δt→0,ts∆∆→v(常数). 3.导数一般地,函数y=f(x)在x=x 0处的瞬时变化率是x fxx f x x f x x ∆∆=∆-∆+→∆→∆0000lim )()(lim,我们称它为函数y=f(x)在x=x 0处的导数,记作f′(x 0)或y′|x=x0, 即f′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000.深化升华 ①Δx 是自变量x 在x 0处的改变量,所以Δx 可正亦可负,但不能为零.当Δx>0(Δx<0)时,Δx→0表示x 0+Δx 从右边(或从左边)趋近于x 0,Δy 是相应函数的改变量,Δy 可正亦可负,也可以为零.②函数f(x)在x 0处可导,是指当Δx→0时,xy∆∆→l(常数). 知识拓展 由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x 0处的导数的步骤是: ①求函数增量Δy=f(x 0+Δx)-f(x 0); ②求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; ③取极限,得导数f′(x 0)=0lim→∆x x y ∆∆(或当Δx→0时,xy∆∆→f′(x 0)). 记忆要诀 上述求导方法可简记为:一差、二比、三极限.4.导函数如果f(x)在开区间(a,b)内每一点x 都是可导的,则称f(x)在区间(a,b)内可导.在区间内,f′(x)构成一个新的函数,我们把这个函数称为函数f(x)的导函数,简称导数.要点提示 ①函数在一点处的导数,就是在该点的函数改变量与自变量的改变量的比值的极限,它是一个数值,不是变数.②函数的导数,是对某一区间内的任意一点x 而言的,就是函数f(x)的导数f′(x)在点x=x 0处的导数值.三、导数的几何意义函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0)的几何意义,就是曲线y=f(x)在点(x 0,f(x 0))处切线的斜率,即k=f′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000.知识拓展 利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤: ①求出函数y=f(x)在x 0处的导数f′(x 0);②根据直线的点斜式方程,得切线方程y-y 0=f′(x 0)(x-x 0). 问题·探究问题1 平均变化率表示的几何意义是什么呢?导数的几何意义是什么呢? 思路:平均变化率1212)()(x x x f x f x y --=∆∆(Δx 表示自变量的增量,Δy 表示函数的增量),实际上是两点的斜率公式.函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000=x fx ∆∆→∆0lim ,即为函数f(x)在x=x 0处的导数.探究:若函数用f(x)来表示,则f(x)从x 1到x 2的平均变化率为1212)()(x x x f x f x y --=∆∆(Δx 表示自变量的增量,Δy 表示函数的增量),它的实质就是曲线上两点间的斜率公式.因此,它表示了函数图象上两点(x≠x 2)连线的斜率.而导数是指当Δx→0时平均变化率的极限,即Δx 越小,任意两点的连线越趋近于x=x 0处的切线.因此,平均变化率的几何意义是f(x)图象上任意两点连线的斜率;而导数的几何意义表示f(x)在x=x 0处的切线的斜率. 问题2 怎样求曲线y=f(x)在点x 0处的切线？思路:先由导数的定义求出在x 0处的导数f′(x 0),再由点斜式求切线方程.探究:函数y=f(x)在x 0处可导,则曲线y=f(x)在点(x 0,y 0)处的切线方程为y-y 0=f′(x 0)(x-x 0). 问题3 函数y=f(x)在x 0处不可导,曲线在点x 0处的切线是否就不存在呢?思路:函数y=f(x)在x 0处可导,其导数即为过该点的切线的斜率.若在x 0处不可导,其斜率不存在,但并非不存在过该点的切线.探究:不一定.f′(x 0)=∞时就有垂直于x 轴的切线. 典题·热题例1求y=2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率. 思路分析:函数平均变化率的简单求解,要紧扣定义式xyx x f x x f ∆∆=∆-∆+)()(00进行操作.解:当自变量从x 0变到x 0+Δx 时,函数的平均变化率为xx x x x x f x x f ∆+-+∆+=∆-∆+]12[]1)(2[)()(202000=4x 0+2Δx. 深化升华 这一类题目是公式的简单应用,只要注重运算过程就可以了. 例2以初速度为v 0(v 0>0)做竖直上抛运动的物体,t 秒时的高度为s(t)=v 0t-21gt 2,求物体在时刻t 0处的瞬时速度.思路分析:先求出Δs,再求出t s ∆∆;当Δt→0时,t s ∆∆的极限即为所求. 解:因为Δs=v 0(t+Δt)-21g(t+Δt)2-v 0t 0+21gt 02=(v 0-gt 0)Δt -21gΔt 2,所以t s ∆∆=v 0-gt 0-21gΔt.当Δt→0时,ts ∆∆=v 0-gt 0.所以物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0-gt 0.深化升华 求瞬时速度实质就是求位置增量(Δs)与时间增量(Δt)比的极限. 例3用导数的定义,求函数y=f(x)=x1在x=1处的导数.思路分析:根据导数的定义,第一步求函数的增量Δy,第二步求平均变化率xy∆∆,第三步取极限得导数.解:因为Δy=f(1+Δx)-f(1) =xx x xx x∆+∆++∆--=∆+∆+-=-∆+1)11(11111111=xx x∆+∆++∆-1)11(所以x y ∆∆=xx ∆+∆++-1)11(1.从而f′(1)=21lim0-=∆∆→∆x y x .拓展延伸 利用导数的定义求函数y=12+x 的导数.解:因为Δy=11)(11)(11)(222222+++∆+--+∆+=+-+∆+x x x x x x x x x11)(2222+++∆+∆+∆=x x x x x x所以x y ∆∆=11)(222+++∆+∆+x x x x x .当Δx→0时,y′=21x x +.深化升华 利用导数的定义求导数时,应注意变形的技巧.例4抛物线y=x 2在哪一点处的切线平行于直线y=4x-5?思路分析:由于函数y=x 2在(-∞,+∞)上可导,先求其导函数,解方程即可.解:xx x x x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆2200)(lim lim =2x,令2x=4,解得x=2,即在点(2,4)处的切线平行于直线y=4x-5.方法归纳 有的同学设切线方程为y=4x+b,再由判别式确定b,进而解方程组求得所求的点,运算量较大,一般不宜采用此法.活用导数可以简化解题的过程.例5（2005全国高考）曲线y=2x-x 3在点(1,1)处的切线方程为___________. 思路解析:本题考查导数的几何意义及求切线方程的方法.因为f′(1)=xx x x ∆--∆+-∆+→∆)12()1()1(2lim 30=-1,所以曲线在(1,1)处的切线方程为y-1=-(x-1),即y=-x+2.答案:y=-x+2方法归纳 利用导数的定义求出切线的斜率是关键.例6（2005重庆高考）曲线y=x 3在点(a,a 3)(a≠0)处的切线与x 轴,直线x=a 所围成的三角形的面积为61,则a=______________. 思路解析:本题考查导数的几何意义及数形结合的思想.因为f′(a)=xa x a x ∆-∆+→∆330)(lim =3a 2,所以曲线在(a,a 3)处的切线方程为y-a 3=3a 2(x-a),切线与x 轴的交点为(32a,0). 所以三角形的面积为21|a-32a|·|a 3|=61,得a=±1. 答案:±1。
最新人教版高中数学选修2-2第一章《瞬时变化率与导数》课堂导学
课堂导学三点剖析一、求函数的平均变化率【例1】 求y=2x 2+1在x 0到x 0+Δx 之间的平均变化率.解：当自变量从x 0到x 0+Δx 时,函数的平均变化率为xx f x x f ∆-∆+)()(00 .24)12(]1)(2[02020x x xx x x ∆+=∆+-+∆+= 温馨提示求函数f(x)平均变化率的步骤:(1)求函数值的增量Δf=f(x 2)-f(x 1)， (2)计算平均变化率1212)()(x x x f x f x f --=∆∆. 二、利用导数的定义求导【例2】 利用导数的定义求下列函数的导数.(1)y=x 2+ax+b;(2)y=x 1.解：Δy=(x+Δx)2+a(x+Δx)+b -x 2-ax-b=(Δx)2+a(Δx)+2xΔx.x y ∆∆=xx x x a x ∆∆∙+∆+∆2)()(2=Δx+a+2x. y′=lim 0→∆x limΔx→0(Δx+a+2x)=2x+a. (2)Δy=x x ∆+1-x1=)(22x x x x x x x x x x xx x ∆++∆∙+∆-=∆∙+∆+- ∴x y ∆∆=)(12x x x x x x ∆++∆∙+-. ∴lim 0→∆x x y ∆∆=232121--=∙-x x x , 即y′=2321--x . 温馨提示利用定义求导数分三步:①求Δy;②求x y ∆∆;③lim 0→∆x x y ∆∆. 三、导数定义的应用【例3】 已知一物体的运动方程是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+<≤+,3,)3(329,30,2322t t t t 求此物体在t=1和t=4时的瞬时速度.分析：要求瞬时速度就是求s′(t).解：当t=1时，t s ∆∆=tt ∆+⨯-+∆+)213(2)1(322=6+3Δt, 所以s′(1)=limΔt→0(6+3Δt)=6.即当t=1时的瞬时速度为6.当t=4时，t s ∆∆=t tt ∆+=∆-+-∆++36])34(329[)34(32922, 所以s′(4)=limΔt→0(6+3Δt)=6.即当t=4时的瞬时速度为6.温馨提示本题是以分段函数的形式给出了运动方程，求解时要根据t 的值选取函数的解析式. 各个击破类题演练1求函数y=x 3-2,当x=2时,xy ∆∆的值. 答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x 3-2)=(2+Δx)3-23=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx. ∴xy ∆∆=(Δx)2+6Δx+12. 变式提升 1如果一个质点从定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y=f(t)=t 3+3,当t 1=4且Δt=0.01时,求Δy 和ty ∆∆. 答案：解:Δy=［(x+Δx)3-2］-(x 3-2)=(2+Δx)3-23=(Δx)3+6(Δx)2+12Δx. ∴xy ∆∆=(Δx)2+6Δx+12. 解:Δy=f(4+Δt)-f(4)=(4+Δt)3+3-43-3=Δt 3+48Δt+12Δt 2=(0.01)3+48×(0.01)+12×(0.01)2=0.481 201.∴x y ∆∆=01.0481201.0=48.120 1. 类题演练 2 求函数y=24x 在x=3处的导数. 解析:转化成导数的定义.lim 0→h hh x f h x f 2)()(00--+ =lim 0→h h x f h x f x f h x f 2)]()([)()(0000----+ =lim 0→h 21［h x f h x f h x f h x f h ---+-+→)()()()(00000lim ］ =21［lim 0→h h x f h x f h x f h x f h ---+-+→)()()()(00000lim ］ =21［f′(x 0)+f′(x 0)］=f′(x 0). 变式提升 2已知f(x)在x 0处可导,则lim 0→h hh x f h x f 2)()(00--+等于( ) A.21f′(x 0) B.f′(x 0) C.2f′(x 0) D.4f′(x 0) 解:Δy=22)3(9)6(494)3(4x x x x ∆+∆+∆-=-∆+, lim o x →∆x y ∆∆=lim o x →∆［-4·2)3(96x x ∆+∆+］=278-. y′|3=x =278-v. 答案:B类题演练 3火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100 m/s ，试问熄火后多长时间火箭速度为零？（g=9.8 m/s 2）解:火箭的运动方程为h(t)=100t-21gt 2. 在t 附近的平均变化率为 tgt t t t g t t t h ∆--∆+-∆+=∆∆]21100[])(21)(100[22=t g gt t t g t gt t ∆--=∆∆-∆∙-∆21100211002 h′(t)=lim 0→∆t (100-gt-21gΔt)=100-gt. 令h′(t)=0，即100-gt=0.解得t=8.9100≈10.2(s). 答：火箭熄火后约10.2 s 速度变为零.变式提升3已知f(x)=x 2,g(x)=x 3,求适合f′(x)+2=g′(x)的x 值.分析：要求x 的值，需利用导数的定义求出f′(x)、g′(x)，然后解方程. 解:由导数的定义知，f′(x)= limo x →∆x f ∆∆=lim o x →∆x x x x ∆-∆+22)(=2x, g′(x)=lim o x →∆x g ∆∆=lim o x →∆x x x x ∆-∆+33)(=3x 2. 因为f′(x)+2=g′(x)，所以2x+2=3x 2.即3x 2-2x-2=0,解得x=371-或x=371+.。
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请计算
o
t
h(t)=-4.9t +6.5t+10
请计 0 t 0.5和 1 t 2时的平均速度v : 算 h 2
o
t
f(x ) f ( x ) 2 1 上述问题中的变化率可用式子 表示 x2 x1
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
平均变化率定义:
• 若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
微积分主要与四类问题的处理相 关:
• 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 求物体在任意时刻的速度与加速度等; • 二、求曲线的切线; • 三、求已知函数的最大值与最小值; • 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函 数增减、变化快慢、最大（小）值等问题 最一般、最有效的工具。
• 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1);
(2)计算平均变化率
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
练习：
• 过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q (1+Δx,1+Δy)作曲线的割线，求出当 Δx=0.1时割线的斜率.
又如何求 瞬时速度呢?
如何求（比如，
当Δt趋近于0时,平均 t=2时的）瞬时速度？ 速度有什么变化趋势?
通过列表看出平均速度的变化趋势
：
瞬时速度
• 我们用
t 0
lim h(2 t ) h(2) 13.1
t
表示 “当t=2, Δ t趋近于0时,平均速度趋于确 定值-13.1”.
r (V2 ) r (V1 ) V2 V1
问题2 高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面 的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单 位：秒）存在函数关系 h 2 h(t)=-4.9t +6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?
0 t 0.5和1 t 2时的平均速度v :
o t
65 计算运动员在0 t 这段时间里的平均速度， 49
65 h( ) h(0) 10 49
h v 0 t
思考下面问题； 1）运动员在这段时间里是静止的吗？
2）你认为用平均速度描述运动员的状态有什么问题吗？
瞬时速度.
• 在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态. 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速 度.
变化率问题
• 问题1 气球膨胀率
我们都吹过气球回忆一下吹气球的 过程,可以发现,随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度, 如何描述这种现象呢?
• 气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) r
3 3V 3 • 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4
我们来分 析一下:
3V r (V ) 4
3
• 问题1 气球膨胀率 我们都吹过气球回忆一下吹气球 的过程,可以发现,随着气球内空气容 量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?
• 当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1)极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
• 那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
h ( t t ) h ( t ) 0 0 lim t 0 t
导数的定义:
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2－2
1.1. 《变化率与导数》
教学目标
• 了解导数概念的实际背景，体会导数的 思想及其内涵;了解函数的平均变化率; 教学重点： • 函数的平均变化率;导数概念的实际背景， 导数的思想及其内涵;
一、变化率问题
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化 的快慢程度．
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δf=Δy==f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f x
f(x2 ) f ( x1 ) x2 x1
思考?
• 观察函数f(x)的图象
y f(x2 ) f ( x1 ) 平均变化率 x x2 x1
y
Y=f(x)
表示什么?
f(x2) f(x2)-f(x1)=△y A f(x1)
B
直线AB 的斜率
x2-x1=△x x x1 x2
O
做两个题吧!
• 1 、已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则 Δy/Δx=( ) D A 3 B 3Δx-(Δx)2 C 3-(Δx)2 D 3-Δx • 2、求y=x2在x=x0附近的平均速度。 2x0+Δx
1 0 0.62(dm / L)
• 当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) r (1) 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) r (1) 显然
2 1 0.16(dm / L)
0.62>0.16
思考?
• 当空气容量从V1增加到V2时,气球的平 均膨胀率是多少?
练习：
1.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+t)中
2
相应的平均速度为( A ) A. 6+t C.3+t 9 B. 6+t+ t D.9+t
• 2.物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直 线运动,求在4s附近的平均变化率.
25 3t
小结：
f ( x ) f(x2 ) f ( x1 ) • 1.函数的平均变化率 x2 x1 x
(1 x )3 13 2 2 k 3 3x ( x ) 3 3 0.1 0.1 3.31 (1 x ) x
二、导数的概念
问题2 高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高 度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒） 存在函数关系 h h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时 间段内的平均速度粗略 地描述其运动状态?